LIMITI E CONTINUIT`A 1. Funzioni reali di una variabile reale

LIMITI E CONTINUITÀ
ANTONIO IANNIZZOTTO
Sommario. Funzioni reali di variabile reale: informazioni generali. Limiti di funzioni e teoremi
relativi. Limiti notevoli. Asintoti al grafico di una funzione. Funzioni continue. Teoremi di
Weierstraß, dei valori intermedi e loro conseguenze. Risoluzione di equazioni e disequazioni
mediante funzioni continue. Punti di discontinuità. Uniforme continuità. Queste note sono un
mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalità o precisione.
Indice
1. Funzioni reali di una variabile reale
2. Limiti di funzioni
3. Funzioni continue
4. Funzioni uniformemente continue
Riferimenti bibliografici
1
4
12
19
20
Versione del 26 ottobre 2016
1. Funzioni reali di una variabile reale
Natura non facit saltus.
G.W. von Leibniz
Riprendiamo il concetto di funzione e quelli associati, già introdotti in [2], specializzandoli al caso
di funzioni reali di una variabile reale. Siano A, B ⊆ R e f : A → B una funzione di dominio A e
codominio B 1. Se C ⊂ A, definiamo la restrizione di f a C come la funzione f |C : C → B definita
da f |C (x) = f (x). Ricordiamo che l’immagine di f è l’insieme
f (A) = {y ∈ B : esiste x ∈ A t.c. f (x) = y}.
Talvolta una funzione f è indicata senza specificare il dominio. Allora intenderemo che esso
coincida con l’insieme di definizione, ovvero il più grande sottoinsieme di R in cui f è definita.
Inoltre, per ogni C ⊆ R denotiamo
f −1 (C) = {x ∈ A : f (x) ∈ C}.
√
Esempio 1.1. La funzione f (x) = x2 − 4 ha l’insieme di definizione
A =] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[.
Un numero y ∈ R è un maggiorante di f se è un maggiorante di f (A). Se f ammette un maggiorante
è detta superiormente limitata, e in tal caso il suo estremo superiore è
sup f = sup f (A),
A
1Nel seguito, quando non altrimenti specificato, assumeremo sempre B = R.
1
2
A. IANNIZZOTTO
altrimenti si pone supA f = +∞. Se esiste x ∈ A t.c. f (x) = supA f allora tale valore è detto
massimo di A e si scrive
max f = f (x).
A
Analoghe definizioni valgono per minorante, funzione inferiormente limitata, estremo inferiore e
minimo (rispettivamente denotati inf A f , minA f ). Una funzione superiormente e inferiormente
limitata è detta limitata.
Introduciamo alcune ulteriori nozioni:
Definizione 1.2. Una funzione f : A → R è detta
(i) non-decrescente se f (x1 ) 6 f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ;
(ii) non-crescente se f (x1 ) > f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ;
(iii) crescente se f (x1 ) < f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ;
(iv) decrescente se f (x1 ) > f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 .
Nei casi (i), (ii) f è detta monotona, nei casi (iii), (iv) strettamente monotona.
Chiaramente, una funzione strettamente monotona è iniettiva.
Esempio 1.3. L’implicazione inversa è falsa, per esempio la funzione f : [0, 2] → R definita da
(
x
se x ∈ [0, 1[
f (x) =
3 − x se x ∈ [1, 2]
è iniettiva ma non monotona.
Definizione 1.4. Siano A ⊆ R t.c. −x ∈ A per ogni x ∈ R, f : A → R. Allora f è detta
(i) pari se f (−x) = f (x) per ogni x ∈ A;
(ii) pari se f (−x) = −f (x) per ogni x ∈ A.
Definizione 1.5. Una funzione f : R → R è detta periodica di periodo T > 0 se f (x + T ) = f (x)
per ogni x ∈ R.
Definizione 1.6. Siano I ⊆ R un intervallo e f : I → R. La funzione f è detta
(i) convessa se f (τ x1 + (1 − τ )x2 ) 6 τ f (x1 ) + (1 − τ )f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ I;
(ii) concava se f (τ x1 + (1 − τ )x2 ) > τ f (x1 ) + (1 − τ )f (x2 ) per ogni x1 , x2 ∈ I.
Un modo molto efficace e sintetico di rappresentare le proprietà di una funzione è tracciarne il
grafico, ovvero l’insieme
gr(f ) = {(x, y) ∈ R × R : x ∈ A, y = f (x)},
su un piano in cui sia stato introdotto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico.
Osserviamo che gr(f ) interseca la retta x = h in un unico punto per ogni h ∈ A2. Dal grafico di
una funzione (anche disegnato approssimativamente) si evincono infatti diverse informazioni:
• se f è iniettiva, gr(f ) interseca la retta y = k in un unico punto per ogni k ∈ f (A);
• se f è biunivoca, gr(f −1 ) è l’insieme simmetrico di gr(f ) rispetto alla retta y = x;
• se f ammette un maggiorante (minorante) k ∈ R, gr(f ) si trova sotto (sopra) la retta y = k;
• se f è non-decrescente (non-crescente), gr(f ) è ascendente (discendente);
• se f è pari (dispari), gr(f ) è simmetrico rispetto all’asse ~y (all’origine);
2Questa proprietà caratterizza i grafici di funzioni tra i sottoinsiemi di R × R, che rappresentano delle relazioni,
ved. [2].
LIMITI E CONTINUITÀ
Figura 1. Le curve y = xn (n pari).
3
Figura 2. Le curve y = xn (n dispari).
• se f è periodica, gr(f ) è ottenuto per traslazione dal grafico di f ristretta a un intervallo di
lunghezza pari al periodo.
• se f è convessa (concava), gr(f ) giace sotto (sopra) il segmento che congiunge due suoi punti.
Esempio 1.7. La funzione f : R → R, f (x) = xn (n ∈ N, n > 2), ha caratteri diversi secondo la
scelta di n. Se n è pari (fig. 1), f è pari, crescente in [0, +∞[, decrescente in ] − ∞, 0], convessa, e
min f = 0, sup f = +∞.
R
R
Se n è dispari (fig. 2), f è dispari, crescente, convessa in [0, +∞[, concava in ] − ∞, 0], e
inf f = −∞, sup f = +∞.
R
R
Esempio 1.8. La funzione f : R → R definita da f (x) = ex ha il grafico rappresentato nella fig. 3.
Dal grafico si evince che f è crescente, convessa, non ha simmetrie o periodicità, e
inf ex = 0, sup ex = +∞.
x∈R
x∈R
f −1
La funzione inversa
:]0, +∞[→ R, definita da f (x) = ln(x), ha il grafico rappresentato nella
fig. 4. Essa è crescente, concava, non ha simmetrie o periodicità, e
inf ln(x) = −∞, sup ln(x) = +∞.
x>0
x>0
Esempio 1.9. La funzione f : R → R definita da f (x) = sin(x) ha il grafico rappresentato nella
fig. 5, da cui si evince che f è 2π-periodica, limitata, dispari, crescente in [0, π2 ] e in [ 3π
2 , 2π],
decresente in [ π2 , 3π
],
convessa
in
[π,
2π],
concava
in
[0,
π]
(e
negli
intervalli
traslati
di
2π),
mentre
2
min sin(x) = −1, max sin(x) = 1.
x∈R
x∈R
La funzione g : R → R definita da g(x) = cos(x) ha proprietà simili, descritte dal grafico nella fig.
6 (osserviamo che g è pari). Poiché per ogni x ∈ R si ha
π
cos(x) = sin x +
,
2
le due curve risultano traslate di π2 .
4
A. IANNIZZOTTO
Figura 3. La curva y = ex .
Figura 4. La curva y = ln(x).
Figura 5. La sinusoide.
Figura 6. La cosinusoide.
È bene conoscere approssimativamente il grafico delle funzioni elementari, quali quelle menzionate
in [1].
Esercizio 1.10. Tracciare i grafici delle funzioni f (x) = tan(x), g(x) = cot(x) e delle loro inverse,
specificando i rispettivi insiemi di definizione.
2. Limiti di funzioni
Gli esempi della sezione precedente mostrano grafici senza ’punti mancanti’. Per comprendere il
comportamento locale di una funzione intorno a uno di questi punti, occorre introdurre il concetto
di limite di una funzione in un punto d’accumulazione del suo dominio (analogo a quello di limite di
successioni trattato in [3]). La stessa nozione serve a descrivere il comportamento di una funzione
’all’infinito’.
Definizione 2.1. Siano f : A → R, x0 ∈ DA. Si ha
(i) lim f (x) = l (l ∈ R) se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. |f (x) − l| < ε per ogni
x→x0
x ∈ A ∩ Bδ (x0 ), x 6= x0 ;
(ii) lim f (x) = +∞ se per ogni K > 0 esiste δ > 0 t.c. f (x) > K per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ),
x→x0
x 6= x0 ;
LIMITI E CONTINUITÀ
5
(iii) lim f (x) = −∞ se per ogni K > 0 esiste δ > 0 t.c. f (x) < −K per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ),
x→x0
x 6= x0 .
La funzione è detta convergente in x0 nel caso (i), divergente nei casi (ii), (iii), altrimenti è detta
irregolare.
Una scrittura alternativa è f (x) → l per x → x0 .
Definizione 2.2. Siano A ⊆ R superiormente illimitato, f : A → R. Si ha
(i)
lim f (x) = l (l ∈ R) se per ogni ε > 0 esiste M > 0 t.c. |f (x) − l| < ε per ogni x ∈ A,
x→+∞
x > M;
(ii) lim f (x) = +∞ se per ogni K > 0 esiste M > 0 t.c. f (x) > K per ogni x ∈ A, x > M ;
x→+∞
(iii)
lim f (x) = −∞ se per ogni K > 0 esiste M > 0 t.c. f (x) < −K per ogni x ∈ A,
x→+∞
x > M.
Analoghe definizioni si enunciano, se A è inferiormente illimitato, per
lim f (x).
x→−∞
Inoltre, la scrittura
lim f (x) = l
|x|→+∞
significa che f (x) → l sia per x → +∞ che per x → −∞.
Osservazione 2.3. Nella Definizione 2.1 non si richiede che x0 ∈ A, né che in tal caso f (x0 )
soddisfi alcuna condizione: il valore di una funzione in un punto (se anche esiste) è indipendente
dal limite della funzione nello stesso punto.
Osservazione 2.4. (Definizione topologica di limite) Esiste un modo per unificare le Definizioni
2.1, 2.2. Introduciamo la retta reale estesa
R = R ∪ {+∞, −∞},
sulla quale è definito un ordinamento naturale. Sulla base di tale ordinamento si definisce una
topologia su R in cui gli intorni di +∞ (−∞) sono gli intervalli del tipo [a, +∞] ([−∞, a]), a ∈ R.
Con questa convenzione, per ogni c, l ∈ [−∞, +∞] la scrittura
lim f (x) = l
x→c
indica che per ogni intorno V di l esiste un intorno U di c t.c. f (x) ∈ V per ogni x ∈ U \ {x0 }.
Una caratterizzazione del caso di convergenza è fornita dal seguente risultato (la cui dimostrazione
è simile a quella del corrispondente risultato per le successioni visto in [3]):
Teorema 2.5. (Criterio di Cauchy) Siano f : A → R, x0 ∈ DA. Allora le seguenti affermazioni
sono equivalenti:
(i) esiste l ∈ R t.c. lim f (x) = l;
x→x0
(ii) per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. per ogni x1 , x2 ∈ A, 0 < |x1 − x0 |, |x2 − x0 | < δ si ha
|f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
I seguenti esempi descrivono varie situazioni:
6
A. IANNIZZOTTO
Figura 7. Il grafico di y = sin( x1 ).
Esempio 2.6. Si ha
lim (x2 − 1) = 3.
x→2
Infatti, per ogni ε > 0 la disequazione
|x2 − 4| < ε
√
√
è verificata (anche) nell’intervallo ] 4 − ε, 4 + ε[, che contiene l’intorno Bδ (2) per δ > 0
abbastanza piccolo.
Si ha:
1
π
= +∞, lim ex = +∞, lim arctan(x) = ,
2
x→−∞
x→+∞
x→0 x
2
mentre non esistono i limiti seguenti:
1
1
, lim , lim cos(x)
lim sin
x→0
x x→0 x x→+∞
(fig. 7). Per differenziare i casi di irregolarità introduciamo le seguenti nozioni più deboli di limite
destro e sinistro:
lim
Definizione 2.7. Siano f : A → R, x0 ∈ DA, l ∈ R. Si ha
(i) lim f (x) = l se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. |f (x) − l| < ε per ogni x ∈ A∩]x0 , x0 + δ[;
x→x+
0
(ii) lim f (x) = l se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. |f (x) − l| < ε per ogni x ∈ A∩]x0 − δ, x0 [.
x→x−
0
Analoghe definizioni valgono per le scritture
lim f (x) = ±∞, lim f (x) = ±∞.
x→x−
0
x→x+
0
Per esempio si ha
1
= ±∞,
x
1
lim sin
.
x
x→0±
lim
x→0±
mentre non esistono i limiti
LIMITI E CONTINUITÀ
7
Chiaramente, se si ha
lim f (x) = lim f (x) = l,
x→x−
0
x→x+
0
allora f (x) → l per x → x0 .
Esempio 2.8. Si ha
lim
x→0+
sin(x)
= 1.
x
Ricordiamo infatti la diseguaglianza
sin(x) < x < tan(x),
valida per ogni x ∈]0,
da cui segue
π
2 [.
Fissato ε > 0, esiste δ > 0 t.c. per ogni x ∈] − δ, δ[ si ha cos(x) > 1 − ε,
sin(x)
< 1.
x
→ 1 per x → 0− , cosı̀ che
1−ε<
Similmente si prova che
sin(x)
x
sin(x)
= 1.
x→0
x
La nozione di limite ora introdotta è legata a quella trattata in [3]:
lim
Lemma 2.9. (Definizione sequenziale di limite) Siano f : A → R, x0 ∈ DA, l ∈ R. Allora le
seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) lim f (x) = l;
x→x0
(ii) lim f (xn ) = l per ogni successione (xn ) contenuta in A \ {x0 } t.c. xn → x0 .
n
Dimostrazione. Proviamo che (i) implica (ii). Poiché x0 ∈ DA, esiste almeno una successione (xn )
del tipo richiesto. Fissato ε > 0, esiste δ > 0 t.c. |f (x) − l| < ε per ogni x ∈ A con 0 < |x − x0 | < δ.
D’altra parte, esiste ν ∈ N t.c. |xn − x0 | < δ per ogni n > ν (e |xn − x0 | > 0 per ogni n ∈ N).
Dunque, per ogni n > ν abbiamo
|f (xn ) − l| < ε.
Proviamo che (ii) implica (i), per assurdo. Se f (x) 9 l, allora esiste ε > 0 t.c. per ogni n ∈ N
possiamo trovare xn ∈ A t.c. 0 < |xn − x0 | < n1 e |f (xn ) − l| > ε, cosı̀ definendo una successione
(xn ) dimorante in A \ {x0 }, convergente a x0 , t.c. f (xn ) 9 l, contro (ii).
Osservazione 2.10. Osserviamo che il Lemma 2.9 richiede la convergenza di (f (xn )) per ogni
successione (xn ) convergente a x0 . Non è sufficiente studiare il limite di alcune successioni. Per
1
2
esempio, le successioni ( nπ
) e ( (2n+1)π
) convergono entrambe a 0, ma
π
lim sin(nπ) = 0, lim sin
+ nπ = 1,
n
n
2
dimostrando l’inesistenza del limite
1
lim sin
.
x→0
x
Ovviamente valgono risultati analoghi al Lemma 2.9 per i casi
lim f (x) = l, lim f (x) = ±∞,
x→±∞
x→x0
lim f (x) = ±∞.
x→±∞
A questo punto, i seguenti risultati sui limiti di funzioni si possono dimostrare semplicemente
applicando i corrispondenti risultati sui limiti di successioni (per semplicità riportiamo solo le
versioni ’al finito’, rimandando a [7] per gli altri casi):
8
A. IANNIZZOTTO
Teorema 2.11. (Unicità del limite) Siano f : A → R, x0 ∈ DA, l, m ∈ R t.c.
lim f (x) = l, lim f (x) = m.
x→x0
x→x0
Allora l = m.
Teorema 2.12. (Conservazione del segno) Siano f : A → R, x0 ∈ DA, l, m ∈ R t.c.
lim f (x) = l, m < l.
x→x0
Allora esiste δ > 0 t.c. f (x) > m per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ.
Teorema 2.13. (Confronto) Siano f, g : A → R, x0 ∈ DA, l, m ∈ R t.c.
lim f (x) = l, lim g(x) = m,
x→x0
x→x0
ed esista δ > 0 t.c. f (x) 6 g(x) per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ. Allora l 6 m.
Corollario 2.14. (Carabinieri) Siano f, g, h : A → R, x0 ∈ DA, l ∈ R, t.c.
lim f (x) = lim h(x) = l,
x→x0
x→x0
ed esista δ > 0 t.c. f (x) 6 g(x) 6 h(x) per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ. Allora
lim g(x) = l.
x→x0
Lemma 2.15. (Operazioni con i limiti) Siano f, g : A → R, x0 ∈ DA, l, m ∈ R t.c.
lim f (x) = l, lim g(x) = m.
x→x0
x→x0
Allora:
(i) lim (f (x) + g(x)) = l + m;
x→x0
(ii) lim f (x)g(x) = lm;
x→x0
f (x)
l
= ;
g(x)
m
(iv) se l > 0, lim f (x)g(x) = lm ;
(iii) se m 6= 0, lim
x→x0
x→x0
(v) se l > 0, l 6= 1, lim logf (x) (g(x)) = logl (m).
x→x0
Osservazione 2.16. L’analogia con i casi ’all’infinito’ non è completa: per esempio, se
lim f (x) = +∞
x→x0
e g è inferiormente limitata in un intorno di x0 , allora
lim (f (x) + g(x)) = +∞,
x→x0
senza bisogno che g sia regolare in x0 . Cosı̀ si ha
1 1
−
sin
= +∞.
lim
x→0 x2
x
Mediante i risultati precedenti si possono calcolare alcuni limiti senza fare uso delle Definizioni 2.1,
2.2. Quelli non banali appartengono di solito a una delle forme indeterminate
0 ∞ ∞
∞ − ∞, 0 · ∞, ,
, 1 , ∞0 .
0 ∞
LIMITI E CONTINUITÀ
9
Ricordiamo solo i seguenti limiti notevoli per le funzioni esponenziali e logaritmiche. Sia a > 0,
a 6= 1:
(
(
+∞ se a > 1
0
se a > 1
x
x
lim a =
, lim a =
,
x→+∞
0
se a < 1 x→−∞
+∞ se a < 1
(
(
+∞ se a > 1
−∞ se a > 1
lim loga (x) =
, lim loga (x) =
.
x→+∞
x→0
−∞ se a < 1
+∞ se a < 1
Dagli analoghi risultati riportati in [3] seguono alcuni limiti notevoli, che qui riportiamo:
xa
= 0 (a > 0, b > 1).
x→+∞ bx
loga (x)
= 0 (a > 0, a 6= 1, b > 0),
x→+∞
xb
lim
lim
Esempio 2.17. Con la tecnica del raccoglimento dell’infinito di ordine massimo, si dimostra che
il limite di una funzione razionale è

ah

±∞ se h > k, con il segno di bk

h
h−1
a
ah x + ah−1 x
+ . . . + a0
h
se h = k
=
lim
b
x→+∞ bk xk + bk−1 xk−1 + . . . + b0

k


0
se h < k.
Esempio 2.18. Come conseguenza del limite di Nepero (ved. [3]) e del Lemma 2.9 si ha:
ex − 1
ln(1 + x)
= 1, lim
= 1.
x→0
x→0
x
x
1
lim (1 + x) x = e, lim
x→0
Esempio 2.19. Come conseguenza del limite di (n sin( n1 )) e del Lemma 2.9 si ha:
lim
x→0
1 − cos(x)
1
tan(x)
sin(x)
= 1, lim
= , lim
= 1.
x→0
x
x2
2 x→0 x
Osservazione 2.20. (Simboli di Landau) Come nel caso discreto, si usa una speciale simbologia
per il confronto fra infiniti e infinitesimi. Se f, g : A → R, x0 ∈ DA e |f (x)|, |g(x)| → +∞ per
x → x0 , si scrive
f (x)
• f (x) = o(g(x)) se lim
= 0;
x→x0 g(x)
f (x) • f (x) = O(g(x)) se esistono M, δ > 0 t.c. 6 M per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ.
g(x)
Analoghe notazioni si introducono per gli infiniti per x → ±∞ e per gli infinitesimi.
Le funzioni monotone hanno limiti unilaterali in ogni punto:
Lemma 2.21. Siano f : A → R non-decrescente, x0 ∈ DA. Allora
(i) lim f (x) = sup f (x);
x→x−
0
(ii) lim f (x) =
x→x+
0
x∈A, x<x0
inf
x∈A, x>x0
f (x).
Inoltre (se entrambi i limiti hanno senso) si ha
lim f (x) 6 f (x0 ) 6 lim f (x).
x→x−
0
x→x+
0
Ovviamente, se f è non-crescente la situazione si capovolge:
lim f (x) =
x→x−
0
inf
x∈A, x<x0
f (x), lim f (x) =
x→x+
0
sup
x∈A, x>x0
f (x).
10
A. IANNIZZOTTO
La nozione corrispondente a quella di sotto-successione, nel campo delle funzioni, è quella di
funzione composta.
Lemma 2.22. Siano f : A → B, g : B → R, x0 ∈ DA, y0 ∈ DB t.c.
(i) lim f (x) = y0 , lim g(y) = l;
x→x0
y→y0
(ii) esiste ρ > 0 t.c. f (x) 6= y0 per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < ρ.
Allora
lim g ◦ f (x) = l.
x→x0
Dimostrazione. Fissato ε > 0, per (i) esiste δ > 0 t.c. |g(y) − l| < ε per ogni y ∈ B, 0 < |y − y0 | < δ.
Sempre per (i) esiste δ 0 ∈]0, ρ[ t.c. |f (x) − y0 | < δ per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ 0 . Tenendo conto
di (ii), per ogni x ∈ A con 0 < |x − x0 | < δ 0 si ha 0 < |f (x) − y0 | < δ, da cui |g(f (x)) − l| < ε. Il Lemma 2.22 è un altro utile strumento per il calcolo di limiti:
Esempio 2.23. Calcoliamo
cos(ex − 1) − 1 ex − 1 2
cos(ex − 1) − 1
=
lim
·
x→0
x→0
x2
(ex − 1)2
x
x
cos(y) − 1
e − 1 2
= lim
·
lim
y→0
x→0
y2
x
1
=− ,
2
dove abbiamo usato la funzione g : R\ → R, g(x) = ex − 1.
lim
Un altro strumento classico per il calcolo dei limiti, introdotto in [4], è il Teorema di de l’Hôpital.
I limiti infiniti o all’infinito determinano alcuni aspetti del grafico di una funzione. Sia f : A → R:
• se x0 ∈ DA e f (x) → ±∞ per x → x±
0 , la retta x = x0 è detta asintoto verticale a gr(f );
• se A è superiormente o inferiormente illimitato, l ∈ R, e f (x) → l per x → ±∞, la retta y = l è
detta asintoto orizzontale a gr(f );
• se A è superiormente o inferiormente illimitato, m, q ∈ R con m 6= 0, e si ha
f (x)
= m, lim (f (x) − mx) = q,
x→±∞ x
x→±∞
la retta y = mx + q è detta asintoto obliquo a gr(f ).
lim
Esempio 2.24. La funzione f : R \ { π2 + kπ : k ∈ Z} → R, f (x) = tan(x), ha come asintoti
verticali al grafico le rette x = π2 + kπ, k ∈ Z. La funzione g : R → R, g(x) = arctan(x) ha come
asintoti orizzontali al grafico le rette y = ± π2 .
Esempio 2.25. Sia f : R \ {0} → R definita da f (x) =
asintoti a gr(f ) (da entrambi i lati, fig. 8).
1
x.
Allora le rette x = 0, y = 0 sono
Esempio 2.26. La funzione f : R \ {1} → R definita da
x2 − 5x + 6
x−1
ha gli asintoti al grafico x = 1, y = x − 4 (fig. 9).
f (x) =
Per le funzioni irregolari si introducono nozioni ’surrogate’ di limite:
LIMITI E CONTINUITÀ
Figura 8. L’iperbole xy = 1.
11
Figura 9. Asintoti verticali e obliqui.
Definizione 2.27. Siano f : A → R, x0 ∈ DA, ρ > 0 t.c. f è superiormente limitata in
A ∩ Bρ (x0 ) \ {x0 }. Il massimo limite di f per x → x0 è
lim sup f (x) = inf
sup
ρ>0 x∈A, 0<|x−x |<ρ
0
x→x0
f (x).
Se f è superiormente illimitata in A ∩ Bρ (x0 ) \ {x0 } per ogni ρ > 0 si pone
lim sup f (x) = +∞.
x→x0
Lemma 2.28. Siano f : A → R, x0 ∈ DA, l ∈ R. Allora si ha
lim sup f (x) = l
x→x0
se e solo se
(i) per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. f (x) < l + ε per ogni x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ;
(ii) per ogni ε, δ > 0 esiste x ∈ A, 0 < |x − x0 | < δ t.c. f (x) > l − ε.
Analoghe sono la definizione e la caratterizzazione del minimo limite, denotato
lim inf f (x).
x→x0
Esempio 2.29. Si ha
1
1
= −1.
x→0
x
x
Infatti, basta studiare le successioni (sin( π2 + nπ)) e (sin(− π2 + nπ)).
lim sup sin
= 1, lim inf sin
x→0
Dal Lemma 2.28 (e dal suo analogo per il minimo limite) segue:
Lemma 2.30. Siano f : A → R, x0 ∈ DA t.c.
lim inf f (x) = lim sup f (x) = l.
x→x0
x→x0
Allora
lim f (x) = l.
x→x0
Esercizio 2.31. Sia f : R → R una funzione pari, dotata di limite per x → 0+ . Esiste il limite di
f (x) per x → 0? E se f è dispari?
12
A. IANNIZZOTTO
Esercizio 2.32. Dimostrare il Lemma 2.9 nei casi di divergenza o di limite all’infinito.
Esercizio 2.33. Calcolare i seguenti limiti:
2
ln(x + 1) + ex − 1
lim
,
x→0
x + 2x2
ln(ln(x)) + ln(x)
√
,
x→+∞
ex + x
lim
1
cos(x) + x − 1
, lim ln(1 + x) x ,
x→0
x→0
x
1 + x2 esin(x) − ex
lim x ln
,
lim
.
x→+∞
x→0
2x + x2
x
lim
Esercizio 2.34. Enunciare l’analogo del Lemma 2.28 per il minimo limite.
Esercizio 2.35. Calcolare
tan(x),
lim sup tan(x), lim inf
π
x→ 2
x→ π2
lim sup arctan
1
x→0
x
, lim inf arctan
1
x→0
x
.
Esercizio 2.36. Determinare l’insieme di definizione e gli eventuali asintoti al grafico della funzione
x − 1
f (x) = ln
.
x+1
Esercizio 2.37. Calcolare i seguenti limiti:
√
ln( x + 1)
lim (1 + x)
,
, lim x , lim
x→+∞
x→0
x→0
x
3 x
2x + ln(x)
ln(1 + x) − ln(1 − x)
lim 1 +
, lim
,
, lim
x→+∞
x→+∞ 3x + x4
x→0
x
x
2x + 3 1−x
2
, lim x x−1 , lim (x ln(x)) = 0,
lim
x→+∞
x→0
x→0
2x
√
√
lim sin(x) ln(x), lim (ln( x + 1) − ln( x + 1)), lim (ln(x2 − 2) − ln(3x)).
1
sin(x)
1
x
x→+∞
x→0
x→+∞
3. Funzioni continue
La funzione
sin(x)
x
è definita in R \ {0} e f (x) → 1 per x → 0. Cosı̀ il valore atteso per un’eventuale estensione di f
nel punto 0 è f (0) = 1. Le funzioni per le quali il valore effettivo in un punto coincide col valore
atteso sono dette continue.
f (x) =
Definizione 3.1. Siano f : A → R, x0 ∈ A. f è continua in x0 se vale una delle seguenti
condizioni:
(i) x0 è un punto isolato di A;
(ii) x0 ∈ DA e lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Inoltre, f è continua in A se è continua in x0 per ogni x0 ∈ A.
Il caso (i) viene incluso per ragioni di coerenza. Equivalentemente, f è continua in x0 se
(3.1)
per ogni ε > 0 esiste δ > 0 t.c. |f (x) − f (x0 )| < ε per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ).
LIMITI E CONTINUITÀ
13
Esempio 3.2. La funzione [·] : R → R detta parte intera è cosı̀ definita: per ogni x ∈ R esiste un
unico n ∈ Z t.c. n 6 x < n + 1, allora [x] = n. La parte decimale di un numero reale x è invece
x − [x]. Entrambe queste funzioni sono continue in R \ Z e discontinue in ogni punto di Z.
Esempio 3.3. La funzione f : R → R definita per ogni x ∈ R da

arctan 1
se x 6= 0
x2
f (x) = π

se x = 0
2
è continua nel suo insieme di definizione.
Esempio 3.4. La funzione f : R \ {0} → R definita per ogni x 6= 0 da
1
f (x) = sin
x
è continua nel suo insieme di definizione (segue dal Lemma 3.10), ma non ammette un’estensione
continua a R.
Verifichiamo la continuità della funzione f : R → R, f (x) = ex in 0. Fissato ε ∈]0, 1[, la disequazione
|ex − 1| < ε
equivale a
1 − ε < ex < 1 + ε,
che è verificata per ogni x ∈] ln(1 − ε), ln(1 + ε)[, che a sua volta contiene l’intorno ] − δ, δ[ per δ > 0
abbastanza piccolo. Dunque (3.1) è verificata. Similmente si verifica che le funzioni elementari
quali
xa , ax , loga (x), sin(x), cos(x), tan(x)
sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Dai risultati della Sezione 2 seguono alcuni utili
strumenti per verificare la continuità delle funzioni non elementari (osserviamo come, in questa
versione, i risultati appaiano scevri di condizioni del tipo x 6= x0 ).
Lemma 3.5. Siano f : A → R, x0 ∈ A. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) f è continua in x0 ;
(ii) lim f (xn ) = f (x0 ) per ogni successione (xn ) contenuta in A t.c xn → x0 .
n
Lemma 3.6. Siano f : A → R, x0 ∈ A, m ∈ R t.c. f è continua in x0 , f (x0 ) > m. Allora esiste
δ > 0 t.c. f (x) > m per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ).
Lemma 3.7. Siano f, g, h : A → R, x0 ∈ A t.c. f , h sono continue in x0 , f (x0 ) = h(x0 ) ed esiste
δ > 0 t.c. f (x) 6 g(x) 6 h(x) per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ). Allora g è continua in x0 .
Lemma 3.8. Siano f, g : A → R continue in x0 ∈ A. Allora:
(i) f + g è continua in x0 ;
(ii) f g è continua in x0 ;
(iii) se g(x0 ) 6= 0, fg è continua in x0 ;
(iv) se f (x0 ) > 0, f g è continua in x0 ;
(v) se f (x0 ) > 0, f (x0 ) 6= 1, logf (g) è continua in x0 ;
(vi) max{f, g}, min{f, g} sono continue in x0 .
Dal Lemma 3.8 (vi) segue in particolare che se f è continua in un punto, allora lo sono anche |f |,
f + , f − . Tuttavia queste implicazioni non si invertono.
14
A. IANNIZZOTTO
Esempio 3.9. Sia f : R → R definita da
(
1
f (x) =
−1
se x > 0
se x < 0.
Allora f è discontinua in 0, mentre |f (x)| = 1 è ovviamente continua in 0.
Lemma 3.10. Siano f : A → B, g : B → R, x0 ∈ A t.c. f è continua in x0 e g è continua in
f (x0 ). Allora g ◦ f è continua in x0 .
Esempio 3.11. La funzione f :]0, +∞[→ R definita per ogni x > 0 da
f (x) =
esin(x+1) − ln(x)
arctan(x2 )
è continua nel suo insieme di definizione (qual è questo insieme?), per i Lemmi 3.8, 3.10.
La continuità globale in un insieme si può anche caratterizzare in senso topologico:
Lemma 3.12. Sia f : R → R. Allora, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) f è continua in A;
(ii) f −1 (B) è aperto per ogni B ⊆ R aperto;
(iii) f −1 (B) è chiuso per ogni B ⊆ R chiuso.
Dimostrazione. Dimostriamo che (i) implica (ii). Fissato B ⊆ R aperto, per ogni x0 ∈ f −1 (B)
esiste ε > 0 t.c. Bε (f (x0 )) ⊆ B, e per (3.1) esiste δ > 0 t.c. f (x) ∈ Bε (f (x0 )) per ogni x ∈ Bδ (x0 ),
dunque Bδ (x0 ) ⊆ f −1 (B).
Dimostriamo che (ii) implica (iii). Fissato B ⊆ R chiuso, R \ B è aperto e f −1 (R \ B) = R \ f −1 (B)
risulta chiuso (come complementare di un aperto).
Dimostriamo che (iii) implica (i), per assurdo. Siano ε > 0 e (xn ) una successione in R t.c.
xn → x0 , ma per ogni n ∈ N
|f (xn ) − f (x0 )| > ε,
−1
allora si ha xn ∈ f (B) con B =] − ∞, f (x0 ) − ε] ∪ [f (x0 ) + ε, +∞[ chiuso, dunque x0 ∈ f −1 (B),
assurdo.
Facendo opportune ipotesi, di natura topologica, sul dominio di una funzione continua, si ottengono
risultati di grande importanza. Il primo assicura, per una funzione continua definita su un insieme
compatto, l’esistenza del minimo e del massimo.
Teorema 3.13. (Weierstraß) Siano A ⊂ R un insieme compatto, f : A → R continua. Allora
esistono x, x ∈ A t.c.
f (x) = inf f, f (x) = sup f.
A
A
Dimostrazione. Dimostriamo l’esistenza del minimo, ragionando per assurdo. Sia dunque f (x) >
inf A f per ogni x ∈ A. Due casi possono presentarsi:
• Se inf A f = −∞, allora per ogni n ∈ N esiste xn ∈ A t.c. f (xn ) < −n. Per il Teorema di BolzanoWeierstraß (ved. [3]) la successione (xn ) ammette una sotto-successione (xnk ) convergente a
qualche x0 ∈ A, da cui per continuità f (xnk ) → f (x0 ), contro f (xn ) → −∞.
• Se inf A f = l ∈ R, allora per ogni n ∈ N esiste xn t.c. l < f (xn ) < l + n1 . Come sopra, passiamo
a una sotto-successione (xnk ) t.c. xnk → x0 ∈ A, cosı̀ che f (xnk ) → f (x0 ) > l, assurdo.
Dunque si ha inf A f ∈ R, ed esiste x ∈ A t.c. f (x) = inf A f .
LIMITI E CONTINUITÀ
15
Chiaramente, nel Teorema 3.13 l’esistenza del minimo e quella del massimo possono essere studiate
indipendentemente. Per esempio si ha:
Corollario 3.14. Sia f : R → R continua. Allora:
(i) se
(ii) se
lim f (x) = +∞, allora esiste x ∈ R t.c. f (x) = inf R f ;
|x|→+∞
lim f (x) = −∞, allora esiste x ∈ R t.c. f (x) = supR f .
|x|→+∞
Dimostrazione. Dimostriamo (i). Sia c ∈ f (R). Se c = inf R f , siamo a posto. Se c > inf R f ,
poniamo
A = {x ∈ R : f (x) 6 c}.
L’insieme A è limitato: infatti, esiste K > 0 t.c. f (x) > c per ogni |x| > K, quindi A ⊂ [−K, K].
Inoltre, A è chiuso per il Lemma 3.12. In sintesi, A è compatto. Per il Teorema 3.13, esiste x ∈ A
t.c.
f (x) = inf f = inf f,
A
R
il che conclude la prova.
Esempio 3.15. Esiste il minimo della funzione f : [0, +∞[→ R definita per ogni x > 0 da
f (x) = e2x−2 − x2 .
Infatti f è continua e f (x) → +∞ per x → +∞.
I seguenti esempi mostrano invece dei casi in cui il minimo non viene raggiunto:
Esempio 3.16. Nei seguenti casi, la funzione f : A → R non ammette minimo:
• A =]0, 1], f (x) = x;
• A = [1, +∞[, f (x) = x1 ;
• A = [−1, 1], f (x) = [x] − x.
La precedente discussione non permette di stabilire ’dove’ la funzione assume i suoi valori estremi
(per risolvere questo problema ved. [4]).
Definizione 3.17. Siano f : A → R, x0 ∈ A. Il punto x0 è detto
(i) punto di minimo globale se f (x) > f (x0 ) per ogni x ∈ A;
(ii) punto di minimo locale se esiste δ > 0 t.c. f (x) > f (x0 ) per ogni x ∈ A ∩ Bδ (x0 ).
Definizioni analoghe si enunciano per i punti di massimo globale e locale. Ovviamente un punto
di minimo (massimo) globale è anche di minimo (massimo) locale, mentre l’inverso non è vero in
generale.
Esempio 3.18. Consideriamo la funzione f : R → R, f (x) = x3 − x. Lo studio del segno e
dei limiti di f (fig. 10), insieme al Teorema 3.13, permette di concludere che esistono x ∈]0, 1[ e
x ∈] − 1, 0[ punti, rispettivamente, di minimo e di massimo locale, mentre non esiste alcun punto
di minimo o massimo globale.
Se il dominio di una funzione continua è un intervallo, anche la sua immagine è un intervallo:
Teorema 3.19. (Valori intermedi) Siano I ⊆ R un intervallo, f : I → R continua, a < b < c
numeri reali t.c. a, c ∈ f (I). Allora b ∈ f (I).
16
A. IANNIZZOTTO
Figura 10. La cubica y = x3 − x.
Dimostrazione. Per semplicità supponiamo I = R. Ragioniamo per assurdo, supponendo che
f (x) 6= b per ogni x ∈ I. Definiamo gli insiemi
B1 = {x ∈ I : f (x) < b}, B2 = {x ∈ I : f (x) > b}.
Per il Lemma 3.12, B1 e B2 sono aperti. Per ipotesi essi sono non vuoti, B1 ∩ B2 = ∅ e R = B1 ∪ B2 .
Dunque B2 = R \ B1 è sia aperto che chiuso, assurdo.
Corollario 3.20. (Esistenza degli zeri) Siano I ⊆ R un intervallo, f : I → R continua t.c.
inf f < 0 < sup f.
I
I
Allora esiste x0 ∈ I t.c. f (x0 ) = 0.
I precedenti risultati si applicano allo studio dell’esistenza di soluzioni per equazioni non algebriche.
Esempio 3.21. Consideriamo l’equazione
ex − x2 = 0,
che non si può risolvere con metodi elementari. La funzione f : R → R, f (x) = ex − x2 è continua
e si ha
lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞,
x→+∞
x→−∞
in particolare f è illimitata sia superiormente che inferiormente. Per il Corollario 3.20, esiste
x0 ∈ R t.c. f (x0 ) = 0, cioè x0 risolve l’equazione.
Per i Teoremi 3.13, 3.19, se f : [a, b] → R è continua si ha
h
i
f ([a, b]) = min f, max f .
[a,b]
[a,b]
Osservazione 3.22. Una conseguenza importante del Teorema 3.19 è che, se I è un intervallo e
f : I → R è continua, allora gr(f ) è un insieme connesso in R × R, ovvero non esistono due insiemi
A, B aperti non vuoti in R × R t.c.
A ∩ B = ∅, gr(f ) ∩ A 6= ∅, gr(f ) ∩ B 6= ∅, gr(f ) ⊂ A ∪ B.
In termini più intuitivi, gr(f ) non è ’spezzato’ in due o più parti separate. Se una funzione, anche
continua, non è definita su un intervallo, questa proprietà può venir meno (ved. Esempio 2.25).
LIMITI E CONTINUITÀ
17
I punti x0 ∈ DA in cui f : A → R non è continua in x0 sono detti (punti di) discontinuità di f .
Per essi si stabilisce la seguente classificazione:
0. x0 è una discontinuità eliminabile se esiste lim f (x) = l, l ∈ R, ma f (x0 ) 6= l;
x→x0
1. x0 è un punto di salto se esistono finiti lim f (x) = l± ma l− 6= l+ ;
x→x±
0
2. x0 è un punto di infinito se almeno uno dei limiti lim f (x) è infinito;
x→x±
0
3. x0 è un punto di discontinuità essenziale se almeno uno dei limiti lim f (x) non esiste.
x→x±
0
Esempio 3.23. La funzione f : R → R definita da
(
f (x) =
sin(x)
x
0
se x 6= 0
se x = 0
ha in 0 una discontinuità eliminabile. La funzione di Heaviside
(
0 se x < 0
f (x) =
1 se x > 0
ha un salto in 0. Anche la funzione segno


1
f (x) = 0


−1
se x > 0
se x = 0
se x < 0
ha un salto in 0, con la differenza che f (0) non coincide col limite destro né col limite sinistro.
La funzione f (x) = x1 ha un punto d’infinito in 0. Infine, la funzione f (x) = sin( x1 ) ha un punto
singolare in 0. Osserviamo che, a parte le discontinuità eliminabili, il valore della funzione nel
punto non influisce sul tipo di discontinuità.
Esempio 3.24. La funzione di Dirichlet f : R → R è definita da
(
1 se x ∈ Q
f (x) =
0 se x ∈ R \ Q.
Questa funzione è discontinua (con discontinuità di tipo essenziale) in ogni punto del suo dominio.
I seguenti risultati ed esempi illustrano la relazione fra continuità e monotonia:
Lemma 3.25. Siano a < b numeri reali, f : [a, b] → R monotona, c ∈ [a, b] un punto di
discontinuità per f . Allora, c è una discontinuità eliminabile o un salto.
Dimostrazione. Segue dal Lemma 2.21.
Lemma 3.26. Siano I ⊆ R un intervallo, f : I → R continua e iniettiva. Allora f è strettamente
monotona.
Dimostrazione. Per assurdo: se f non è strettamente monotona, essendo iniettiva non è neanche
monotona. Per esempio, esistano x1 < x2 < x3 in I t.c. f (x2 ) < f (x1 ) < f (x3 ) (gli altri casi si
trattano in modo analogo). Scelto y ∈]f (x2 ), f (x1 )[, per il Teorema 3.19 esiste x0 ∈]x1 , x2 [ t.c.
f (x0 ) = y. Poiché y ∈]f (x2 ), f (x3 )[, esiste anche x00 ∈]x2 , x3 [ t.c. f (x00 ) = y. Dunque x0 < x00 e
f (x0 ) = f (x00 ), assurdo.
18
A. IANNIZZOTTO
Il Lemma 3.26 significa che nel campo delle funzioni continue su intervalli non possono verificarsi
casi come quello descritto dall’Esempio 1.3. Inoltre vale il seguente risultato (che non dimostriamo):
Teorema 3.27. Siano I, J ⊆ R intervalli, f : I → J continua e biunivoca. Allora f −1 : J → I è
continua.3
Esempio 3.28. Abbiamo visto che la funzione f : R →]0, +∞[, f (x) = ex è continua e biunivoca.
Pertanto anche la funzione f −1 :]0, +∞[→ R, f −1 (y) = ln(y) è continua.
Esempio 3.29. Siano A = [0, 1]∪]2, 3] e f : A → [0, 2] definita da
(
x
se x ∈ [0, 1]
f (x) =
x − 1 se x ∈]2, 3].
La funzione f è continua e biunivoca, ma la funzione inversa
(
y
se y ∈ [0, 1]
−1
f (y) =
y + 1 se y ∈]1, 2]
ha un salto in 1. Questo, alla luce del Teorema 3.27, si spiega osservando che A non è un intervallo.
Esercizio 3.30. Dimostrare che f (x) = sin(x) è continua in 0.
Esercizio 3.31. Le funzioni iperboliche sono definite per ogni x ∈ R da
ex − e−x
ex + e−x
, cosh(x) =
.
2
2
Dimostrare che esse sono continue, sinh è dispari, cosh è pari, studiarne la monotonia, tracciarne i
grafici approssimativi, e dimostrare la relazione
sinh(x) =
cosh(x)2 − sinh(x)2 = 1,
che ne illustra il nome (perché?).
Esercizio 3.32. Sul modello del Corollario 3.14, dimostrare quanto segue: se a < b, f :]a, b[→ R
è continua e
lim f (x) = lim f (x) = +∞,
x→a
x→b
allora f ammette minimo.
Esercizio 3.33. Fornire alcuni esempi di funzioni continue che non ammettono massimo nel loro
dominio.
Esercizio 3.34. Dire quali delle seguenti equazioni ammettono soluzione in R:
3
ln(x2 − 1) = −1, cos(2x + 3) = , x2 + ln(x2 + 1) = 0.
4
Esercizio 3.35. Determinare e classificare le discontinuità delle seguenti funzioni nei rispettivi
insiemi di definizione:
1
x−1
f (x) =
, f (x) = ln(x2 ), f (x) = x sin
.
x+1
x
Esercizio 3.36. (Difficilissimo) Sia f : [0, 1] → R non-decrescente. Dimostrare che esiste una
successione crescente (xn ) in [0, 1] t.c. f |A è continua, dove
A = {x ∈ [0, 1] : x 6= xn per ogni n ∈ N}.
3Una funzione f : A → B biunivoca, continua, t.c. f −1 : B → A è continua, è detta omeomorfismo.
LIMITI E CONTINUITÀ
19
4. Funzioni uniformemente continue
La Definizione 3.1 introduce la continuità come una proprietà locale: la continuità di una funzione
f in un punto x0 (non isolato) dipende dai valori di f in un intorno di x0 . In questa sezione
studieremo alcune forme più forti, globali di continuità.
Definizione 4.1. Una funzione f : A → R è uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste
δ > 0 t.c. |f (x1 ) − f (x2 )| < ε per ogni x1 , x2 ∈ A, |x1 − x2 | < δ.
Formalmente, la differenza fra le Definizioni 3.1 e 4.1 è che nella prima δ dipende dal punto in cui
si valuta la continuità, mentre nella seconda si richiede l’esistenza di un unico δ valido per ogni
punto del dominio.
Esempio 4.2. La funzione f : [1, +∞[→ R, f (x) = x1 è uniformemente continua. Infatti, fissato
ε > 0, per ogni 1 6 x1 < x2 t.c. x2 − x1 < ε si ha
x2 − x1
|f (x1 ) − f (x2 )| =
< ε,
x1 x2
quindi la Definizione 4.1 è verificata con δ = ε.
Esempio 4.3. La funzione f : R → R, f (x) = x2 è continua, ma non uniformemente continua.
Infatti, fissato ε > 0, per ogni δ > 0 possiamo trovare due punti 0 < x1 < x2 t.c. x2 − x1 = 2δ e
x1 > δε , da cui
δ
|f (x1 ) − f (x2 )| = x22 − x21 = (x1 + x2 ) > ε,
2
dunque la Definizione 4.1 non è verificata.
Questa nozione è utilizzata soprattutto nella teoria dell’integrazione e in quella delle equazioni
differenziali (ved. [5], [6]). Chiaramente, una funzione uniformemente continua è continua, mentre
l’implicazione inversa non vale (ved. Esempio 4.3). Il seguente risultato fornisce una condizione
sufficiente per l’implicazione inversa.
Teorema 4.4. (Cantor-Heine) Siano A ⊂ R compatto, f : A → R continua. Allora f è
uniformemente continua.
Dimostrazione. Per assurdo: assumiamo che esista ε > 0 t.c. per ogni n ∈ N possiamo trovare
x0n , x00n ∈ A t.c.
1
(4.1)
|x0n − x00n | < , |f (x0n ) − f (x00n )| > ε.
n
Poiché A è compatto, esiste una sottosuccessione (x0nk ) di (x0n ) t.c. x0nk → x per qualche x ∈ A
(Teorema di Bolzano-Weierstraß, ved. [3]). Per (4.1) abbiamo x00nk → x, da cui
lim |f (x0nk ) − f (x00nk )| = 0,
k
contro (4.1), assurdo.
Se il dominio non è compatto, solo alcune famiglie di funzioni continue sono uniformemente
continue:
Definizione 4.5. Una funzione f : A → R è detta lipschitziana se esiste L > 0 t.c.
|f (x1 ) − f (x2 )| 6 L|x1 − x2 | per ogni x1 , x2 ∈ A.
Se L < 1, f è una contrazione.
20
A. IANNIZZOTTO
Figura 11. La curva y =
√
x2 + 1), contenuta in un cono.
√
Esempio 4.6. Sia f : R → R, f (x) = x2 + 1. La funzione f è lipschitziana con costante 1.
Infatti, per ogni x1 , x2 ∈ R si ha
q
x2 − x2 2
q
x22 |
1
2
x2 + 1 − x2 + 1 = p |x1 − p
6
6 |x1 − x2 |.
1
2
2
2
x1 + x2
x1 + 1 − x2 + 1
Lemma 4.7. Sia f : A → R lipschitziana. Allora f è uniformemente continua.
Dimostrazione. Sia L > 0 come nella Definizione 4.5. Fissato ε > 0, poniamo δ =
ogni x1 , x2 ∈ A, |x1 − x2 | < δ si ha
ε
2L ,
cosı̀ che per
|f (x1 ) − f (x2 )| 6 L|x1 − x2 | < ε,
dunque f è uniformemente continua.
Osservazione 4.8. Sia f : R → R lipschitziana con costante L > 0, t.c. f (0) = M . Per ogni
x ∈ R si ha
M − L|x| 6 f (x) 6 M + L|x|,
cosı̀ che gr(f ) è contenuto nel ’cono’ di vertice (0, M ) compreso fra le rette y = M ± Lx (fig. 11).
Esercizio 4.9. Stabilire se le seguenti funzioni sono uniformemente continue nei rispettivi insiemi
di definizione:
√
2x, x, sin(x), ln(x).
Esercizio 4.10. Dimostrare che la funzione f : R → R, f (x) = x sin(x) è lipschitziana e individuare
il cono di vertice (0, 0) che contiene il suo grafico.
Riferimenti bibliografici
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A. Iannizzotto, Pan di Via per i corsi di Analisi Matematica. 4
A. Iannizzotto, Insiemi numerici. 1, 2
A. Iannizzotto, Succesioni e serie numeriche. 4, 5, 7, 9, 14, 19
A. Iannizzotto, Calcolo differenziale. 10, 15
A. Iannizzotto, Calcolo integrale. 19
A. Iannizzotto, Equazioni differenziali ordinarie. 19
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli (2015). 7
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