LICEO SCIENTIFICO “GUIDO CASTELNUOVO”
FIRENZE
Anno scolastico 2013/14
Programma di MATEMATICA
per la classe 5ª sez. B
prof. Ivan Casaglia
1 – ANALISI INFINITESIMALE
1.1 FUNZIONI CONTINUE E LIMITI (COMPLETAMENTO)
Richiami sul concetto di funzione continua
Richiami sui concetti di limite di successioni e funzioni e le relative proprietà
Limiti di funzioni e limiti di successioni
Teorema degli zeri (Bolzano) e teorema dei valori intermedi (c.d)
Massimi e minimi di una funzione continua: teorema di Weierstrass (c.d.)
Discontinuità
1.2 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARIMTI
Potenze e funzioni esponenziali
Estensione delle funzioni esponenziali definite sui numeri razionali ai numeri reali
Funzioni esponenziali come isomorfismi
Le funzioni logaritmiche e le loro proprietà
Il numero e
I logaritmi naturali
x
ln 1+ x
⎛
ex − 1
1⎞
= 1.
Limiti notevoli: lim ⎜ 1+ ⎟ = e ; lim
= 1; lim
x→0
x→0
x→±∞ ⎝
x
x
x⎠
(
)
Modelli di crescita e di decadimento
Modelli per la percezione di uno stimolo: il caso dell’intensità del suono e i decibel
1.3 CALCOLO DIFFERENZIALE
Introduzione al concetto di derivata: il problema della tangente; il concetto di velocità
istantanea
Definizione di derivata
Retta tangente
Significato geometrico e fisico di derivata
Derivata da destra e da sinistra
Continuità e derivabilità
Regole di derivazione, derivate delle funzioni elementari, algebra delle derivate
Massimi e minimi locali di una funzione
Punti stazionari e teorema di Fermat (c.d.).
Teorema di Rolle (c.d.).
Teorema di Lagrange (c.d.); interpretazione geometrica e cinematica
Determinazione degli intervalli di monotònia di una funzione.
Punti di massimo e di minimo locali
Problemi di massimo e di minimo
Il principio di Fermat per i cammini ottici e la deduzione delle leggi della riflessione e della
rifrazione.
Derivate successive e applicazione ai massimi e ai minimi
Funzioni convesse e concave.
Punti di flesso
Teorema di Cauchy e regole di De L’Hôpital
Gli asintoti obliqui
Studio del grafico di una funzione
Il differenziale di una funzione: significato e applicazioni
1.4 CALCOLO INTEGRALE
Introduzione al concetto di integrale: il problema della quadratura
Definizione di integrale di una funzione limitata
Funzioni integrabili, funzioni non integrabili
Proprietà dell’integrale
La media integrale come estensione della media aritmetica ponderata
Il teorema della media per le funzioni continue (c.d.)
Primitive di una funzione
Teorema fondamentale del calcolo e formula di Torricelli-Barrow (c.d.)
Integrale indefinito di una funzione continua
Proprietà degli integrali indefiniti
Integrali indefiniti delle funzioni elementari; integrazione immediata
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Cenni sull’integrazione delle funzioni razionali: caso del denominatore di secondo grado e
metodo dei fratti semplici
Area di una regione piana
Principio di Cavalieri e volume di un solido di rotazione; teorema di Guldino (*)
Integrali generalizzati
Integrali definiti in fisica: lavoro di una forza (spostamento rettilineo); lavoro di un campo
gravitazionale o elettrico; lavoro in una trasformazione isoterma.
Integrali indefiniti in fisica: dall’accelerazione alla velocità, dalla velocità alla legge oraria
2 – ANALISI NUMERICA
2.1
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE
Richiami sulla risolubilità per radicali di un’equazione algebrica
La risoluzione approssimata di un’equazione
Criteri per l’esistenza e l’unicità della soluzione di un’equazione in un intervallo
(separazione delle radici)
Dal teorema degli zeri al metodo di bisezione
Metodo delle tangenti (Newton)
Cenni sul metodo delle secanti
Cenni sulla stima dell’errore
2.2
INTEGRAZIONE NUMERICA
La formula di Torricelli-Barrow e i suoi limiti applicativi
Dalla definizione di integrale agli algoritmi di integrazione numerica
Il metodo dei rettangoli
Il metodo dei trapezi (Bezout)
Cenni sulla stima dell’errore
3 – PROBABILITÀ
3.1 VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
Richiami sulle variabili aleatorie finite
Media, varianza e deviazione standard di variabili aleatorie finite
Il processo di Bernoulli; il numero dei successi su n prove e la distribuzione binomiale
Variabili aleatorie discrete: il passaggio dal finito al numerabile
Il processo di Bernoulli: il tempo di attesa del primo successo e la distribuzione geometrica
Dalla distribuzione binomiale alla distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson e il modello degli arrivi
La legge dei grandi numeri (Teorema di Bernoulli)
3.2 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
Variabili aleatorie: il passaggio al continuo
Una definizione generale di variabile aleatoria
Funzione di ripartizione e densità
La legge normale e le sue applicazioni (*)
Teorema centrale del limite: enunciato e suo significato; la legge normale come limite della
distribuzione binomiale (*)
(*) Gli argomenti indicati sono quelli svolti dopo il 15 maggio 2014.
Firenze, 5 giugno 2014
I Rappresentanti degli Studenti
Il Docente
