Tasso di decadimento radioattivo
Rutheford & Soddy (1902): il tasso di disintegrazione di un
atomo attraverso il decadimento radioattivo è
proporzionale al # di atomi instabili (radioattivi) presenti
all’istante iniziale t0 , quindi:
dN
dt
∝N
(1)
Il segno meno è necessario perchè il ritmo di disintegrazione
tenderà a decrescere con il tempo. La costante di proporzionalità
viene definita come λ = costante di decadimento,
dN
dt
= λN
(2)
Decadimento radioattivo
dN
dt
= λN
dN
dt
= - λN
• la costante di decadimento rappresenta la probabilita’ di ogni
determinato nucleo di decadere nell’intervallo di tempo dt ed e’
espressa come yr-1
• La costante di decadimento dipende solo dallo stato energetico del
nuclide; e’ invece indipendente dalla storia del nucleo e soprattutto e’
essenzialmente indipendente da influenze esterne quali
temperatura, pressione, etc.
• La grandezza λN rappresenta il ritmo di decadimento ed e’ chiamata
anche attivita’ (N)
Quantità di atomi radioattivi (i padri) N nel tempo…
Integrando..!
N = N0 e-λt
N = N0 e-λt
87Rb
Per esempio..!
= 87Rb0 · e-λt
.. oppure ..! 87Rb/86Sr
= 87Rb0/86Sr · e-λt
Nelle applicazioni pratiche noi possiamo misurare 87Rb/86Sr di oggi quindi in
realta’ se voglio vedere quanto era Rb/Sr nel passato la mia incognita diventa!
87Rb …
0
cioe’
N0 = N eλt
87Rb/86Sr
t anni fa
= 87Rb/86Sroggi · eλt
concetto di tempo di dimezzamento
N = N0 e-λt
L’equazione ci fornisce il numero di atomi radioattivi padre N
che rimane ad ogni istante di t rispetto alla quantità iniziale di
atomi padre N0
Il tempo di dimezzamento (half life) = T½ per avere N= ½ N0
Sostituendo nell’equazione di decadimento
½ N0 = N0 e-λT½
Da cui
ln(½ ) = -λT½
T½ = ln(2)/λ
Esempio: N0 = 800 atomi T½ = 20hr (λ~300yr-1)
The rate of radioactive decay. After each subsequent half-life
of 20 hours the number of radioactive nuclei and the original
radioactivity of 800 units are divided into half.
Isotopi estinti e non
Alcuni isotopi hanno tempi di dimezzamento così
brevi che, se non riprodotti recentemente (per
decadimento o bombardamento di raggi cosmici)
sono ormai estinti.
e.g. 182Hf-182W, 26Al-26Mg, 146Sm-142Nd
Altri hanno tempi sufficienti per essere preservati
fino ad oggi e sono generalmente usati in geologia:
I piu’ comuni:
87Rb-87Sr, 147Sm-143Nd, 187Re-187Os, 176Lu-176Hf,
40K-40Ar
Decay chains:
238U-206Pb, 235U-207Pb, 232Th-208Pb
Misura Costanti di decadimento:
esempio Lu
Non e’ facile determinare il ritmo di decadimento di un elemento ‘lento’
come, per esempio, 176Lu (T1/2 ~ 37Ga):
3 modi di misurare le costanti di decadimento:
1. Isolare un campione purificato dell’isotopo padre (e.g. Lu) e misurare
quanti nuclidi figli (e.g. 176Hf) vengono prodotti in un periodo di tempo
determinato (anni)
2. Mettere un campione di Lu in un contatore e misurare le particelle β o
γ emesse.
3. Calibrazione incrociata: sullo stesso set di campioni misurare isocrone
con due sistemi diversi (e.g. U-Pb e Lu-Hf) usare il primo (U/Pb) per
calcolarsi l’ eta’ e quindi usare questa l’eta’ per clacolare la costante di
decadimento del secondo (Lu-Hf) Misura Costanti di decadimento:
esempio Lu
176Hf/ 177Hf
= (176Hf/ 177Hf )i + 176Lu/ 177Hf(eλt -1)
T=4.56Ga, calcolano λLu = 1.983x10-11!
1. Scherer et al. 2001: [U/Pb vs Lu-Hf su 4 suites di rocce con eta’ variabile
da 0.91 a 2.06Ga]: λLu= 1.865 x 10-11 2. Bizarro 2003: [U/Pb vs Lu-Hf su meteroriti]: λLu= 1.983 x 10-11
3. Soderlung et al. 2004: [U/Pb vs Lu-Hf su doleriti Proterozoiche]: λLu=
1.867 x 10-11
4% di differenza tra la costante determinata su rocce
terrestri e quella su meteoriti!
…la quantità di atomi radiogenici (figli)…
La quantità di nuclei figli prodotti (radiogenici) D* al tempo t0
è zero, mentre dopo un qualsiasi intervallo di tempo t sarà…
D* = N0 - N
Questa si puo’ risolvere sostituendo N o N0 tramite
La solita N= N0 e-λt
Se sostituiamo N
D* = N0 - N0 e-λt
… e quindi …
D* = N0 (1 - e-λt)
…la quantità di padre iniziale è sconosciuta…
D* = N0 (1 - e-λt)
Ma la quantità di atomi padre N0 all’istante iniziale t0 è
sconosciuta, e quindi è praticamente più conveniente riferirsi al
numero di nuclei figli prodotti (radiogenici) D* al tempo t
ricordando che…
D*=N0-N
e
N = N0 e-λt e quindi N0 = N eλt
Sostituendo N0 si ottiene …
D* = N eλt -N
… e quindi …
D* = N (eλt -1)
…la quantità di atomo radiogenico prodotta per
decadimento è …
D* = N (eλt -1)
Ma la quantità di atomi figli che noi misuriamo oggi in un
qualsiasi materiale geologico (e.g. roccia cristallina) è data
dalla somma di atomi figli prodotti (radiogenici) D* dal
momento della cristallizzazione della roccia ad oggi sommata
alla quantità di atomi figli non radiogenici D0 preesistenti
all’istante iniziale, cioè al tempo t0 …
E quindi …
D= D0 + D*
D = D0 + N (eλt -1)
…cosa possiamo misurare…
D = D0 + N (eλt -1)
(15)
La (15) può essere risolta rispetto al tempo, oppure conoscendo
t rispetto a D0 poiche’ entrambi termini non sono misurabili
direttamente sul campione in esame.
Al contrario D e N si possono misurare direttamente tramite
analisi per spettrometria di massa, λ è conosciuta
sperimentalmente.
Ovviamente si poteva anche usare la soluzione con N0
D* = N0 (1 - e-λt)
e quindi D =D0 + N0 (1 - e-λt)
La scelta di quale equazione usare da cosa vogliamo sapere, da
quali sono le incognite e quali I valori noti.
N = N0· e-λt
N0 = N · eλt
D* = N0 · (1- e-λt)
D*= N · (eλt -1)
Equazione di base per descrivere tutti i processi
di decadimento radioattivo.
Equazioni per calcolare il numero di isotopi figli
(D*) prodotti per decadimento per un determinato
tempo
D = D0 + N · (eλt -1)
D = D0 + N0 · (1-e-λt)
Equazioni di base utilizzata per le datazioni
delle rocce e dei minerali che include la
quantita di nuclide figlio iniziale.
Per usare queste equazioni, e scegliere quale usare, e’ fondamentale:
• capire quali sono le incognite e cosa rappresentano D, D0, N, N0
• capire cosa intendiamo per t (nel passato o nel futuro):
• se voglio calcolare D o N tra 1M di anni quale equazione devo
usare?
• e se voglio sapere calcolare come era 1 Ma fa?
Decadimento del 87Rb
Il 87Rb decade spontaneamente in 87Sr secondo la seguente reazione:
87Rb
37
Fig. 13.15. Il 87Rb
decade isobaramente
in 87Sr
87Sr
38
+ β- + Q + ν
Equazione decadimento Rb/Sr
D = D0 + N (eλt -1)
L’equazione può pertanto essere riscritta
così…
87Sr
m
= 87Sr0 + 87Rbm (eλt -1) (16)
Dalla quale dividendo entrambi tutto per il valore costante di 86Sr,
essendo un isotopo dello Sr stabile e nonradiogenico, otteniamo:
(
87Sr
86Sr
)m = (
87Sr
86Sr
)0 + (
87Rb
86Sr
)m * (eλt -1)
(17)
Importante capire quali sono le incognite:!
87Sr
( 86
Sr
87Sr
)m = ( 86
Sr
)0 + (
87Rb
86Sr )m *
(eλt -1)
D = D0 + N (eλt -1)
Questa la uso per calcolare 87Sr/86Sr o il tempo nel passato (oggi che
misuro sono al tempo t mentre t=0 e’ nel passato)!
!
Se voglio sapere l’evoluzione di 87Sr/86Sr nel futuro, oggi diventa t=0 ed i
rapporti che misuro (e conosco) sono N0 e D0 quindi devo usare :!
D* = N0 (1 - e-λt)
ovvero
87Sr
( 86
Sr
)t = (
87Sr
86Sr )m
e quindi D =D0 + N0 (1 - e-λt)
87Rb
+ ( 86
Sr
)m * (1- e-λt)
Decadimento del 147Sm
Il 147Sm decade spontaneamente in 143Nd secondo la seguente
reazione:
147Sm
62
143Nd
60
+ α + Q
Equazione decadimento Sm/Nd
D = D0 + N (eλt -1)
La (15) può pertanto essere riscritta così…
143Nd
m
= 143Nd0 + 147Smm (eλt -1)
(19)
Dalla quale dividendo entrambi tutto per il valore costante di 144Nd,
essendo isotopo del Nd stabile e nonradiogenico, il cui valore è
secolarmente costante, otteniamo:
143Nd
( 144
Nd
143Nd
)m = ( 144
147Sm
)0 + ( 144 )m * (eλt -1)
Nd
Nd
(20)
