A
Il grafico della funzione y ¼ a sin x þ b cos x
Ogni espressione della forma a sin x þ b cos x può essere vista come lo sviluppo del seno oppure del coseno
della somma di due angoli. Vediamo quali sono i passaggi che ci possono ricondurre a questa forma.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Riscriviamo innanzi tutto l’espressione raccogliendo a fattor comune il termine a2 þ b2 :
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
b
2
2
a þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos x
a2 þ b 2
a2 þ b 2
a
b
I coefficienti pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sono minori di 1 e inoltre la somma dei loro quadrati vale 1; questo
2
2
2
a þb
a þ b2
significa che essi possono essere considerati uno il seno e l’altro il coseno di un angolo , cioè:
a
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ sin 2
a þ b2
b
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ cos 2
a þ b2
In questo modo l’espressione iniziale diventa:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b 2 ðsin sin x þ cos cos x Þ
oppure
a
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ cos 2
a þ b2
b
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ sin 2
a þ b2
oppure
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b2 ðcos sin x þ sin cos x Þ
Tenendo presente che le due espressioni fra parentesi rappresentano rispettivamente il coseno di ðx Þ e il
seno di ðx þ Þ, possiamo in definitiva dire che
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b2 cos ðx Þ
a sin x þ b cos x ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b2 sin ðx þ Þ
pffiffiffi
Per esempio, trasformiamo con la stessa sequenza di passaggi l’espressione sin x þ 3cos x nella quale
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2 þ b 2 ¼ 1 þ 3 ¼ 2
pffiffiffi
3
1
l raccogliamo il fattore 2 :
cos x
sin x þ
2
2
2
pffiffiffi
3
1
l poniamo sin ¼
, da cui ricaviamo che è ¼
e cos ¼
2
2
6
l riscriviamo l’espressione mettendo in evidenza il coseno di ðx Þ:
pffiffiffi
sin x þ 3 cos x ¼ 2 sin sin x þ cos cos x ¼ 2 cos x 6
6
6
oppure:
l
l
poniamo cos ¼
pffiffiffi
3
1
, da cui ricaviamo che è ¼
e sin ¼
2
2
3
riscriviamo l’espressione mettendo in evidenza il seno di ðx þ Þ:
pffiffiffi
sin x þ 3 cos x ¼ 2 cos sin x þ sin cos x ¼ 2 sin x þ
3
3
3
Questa procedura rende possibile la costruzione del grafico della funzione f ðx Þ ¼ a sin x þ b cos x mediante
l’applicazione di opportune trasformazioni.
Vediamo alcuni esempi.
Le funzioni goniometriche
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I esempio
Costruiamo il grafico della funzione di equazione y ¼ sin x þ
pffiffiffi
3 cos x.
Abbiamo visto che possiamo scrivere la funzione nella forma
(A) y ¼ 2 cos x oppure (B) y ¼ 2 sin x þ
6
3
Figura 1
Per costruire il grafico possiamo considerare:
(A) la cosinusoide come funzione base (in nero) e applicare ad essa in successione le seguenti trasformazioni (figura 1a):
l traslazione lungo l’asse x del vettore v
~¼
, 0 (in azzurro)
6
l
dilatazione lungo l’asse y del fattore 2 (in rosso)
a.
(B) la sinusoide come funzione base (in nero) e applicare ad essa
in successione le seguenti trasformazioni (figura 1b):
l traslazione lungo l’asse x del vettore v
~ ¼ , 0 (in azzurro)
3
l
dilatazione lungo l’asse y del fattore 2 (in rosso).
In entrambi i casi otteniamo ovviamente lo stesso grafico.
b.
II esempio
Costruiamo il grafico della funzione y ¼ cos x sin x þ 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
Trasformiamo l’espressione cos x sin x tenendo presente che è a2 þ b2 ¼ 1 þ 1 ¼ 2 :
pffiffiffi
pffiffiffi
pffiffiffi
2
2
cos x sin x
cos x sin x ¼ 2
2
2
pffiffiffi
2
Ponendo sin ¼ cos ¼
, cioè ¼ , la funzione può essere riscritta in una delle due forme:
2
4
pffiffiffi
pffiffiffi
þ1
oppure
(B) y ¼ 2 sin x þ1
(A) y ¼ 2 cos x þ
4
4
Se consideriamo l’equazione nella forma (A), a partire dal grafico della cosinusoide dobbiamo applicare:
l la traslazione di vettore v
~¼ , 0
4
pffiffiffi
l la dilatazione lungo l’asse x di fattore
2
l la traslazione di vettore ~
s ¼ ð0, 1Þ.
Se consideriamo l’equazione nella forma (B), a partire dal grafico della sinusoide dobbiamo applicare:
l la traslazione di vettore v
~¼
,0
Figura 2
4
pffiffiffi
l la dilatazione lungo l’asse x di fattore
2
l
l
la simmetria rispetto all’asse x
la traslazione di vettore ~
s ¼ ð0, 1Þ.
In entrambi i casi otteniamo il grafico in figura 2.
Le funzioni goniometriche
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ESERCIZI
Traccia il grafico delle seguenti funzioni.
1 y ¼ sin x cos x
3 y ¼ sin x þ cos x 1
5 y ¼ sin x þ cos x
7 y¼
pffiffiffi
pffiffiffi
2sin x 2cos x
pffiffiffi
3
1
cos x
9 y ¼ sin x þ
2
2
pffiffiffi
3
1
sin x þ
cos x
2
2
pffiffiffi
4 y ¼ 2 cos x þ 3 sin x
2 y¼
6 y ¼ cos x sin x þ 2
pffiffiffi
3
1
8 y ¼ sin x cos x
2
2
3
1
10 y ¼ pffiffiffi cos x pffiffiffi sin x
2
2
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