Il grafico della funzione y ¼ a sin x ю b cos x
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A Il grafico della funzione y ¼ a sin x þ b cos x Ogni espressione della forma a sin x þ b cos x può essere vista come lo sviluppo del seno oppure del coseno della somma di due angoli. Vediamo quali sono i passaggi che ci possono ricondurre a questa forma. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Riscriviamo innanzi tutto l’espressione raccogliendo a fattor comune il termine a2 þ b2 : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a b 2 2 a þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin x þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos x a2 þ b 2 a2 þ b 2 a b I coefficienti pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sono minori di 1 e inoltre la somma dei loro quadrati vale 1; questo 2 2 2 a þb a þ b2 significa che essi possono essere considerati uno il seno e l’altro il coseno di un angolo , cioè: a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ sin 2 a þ b2 b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ cos 2 a þ b2 In questo modo l’espressione iniziale diventa: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b 2 ðsin sin x þ cos cos x Þ oppure a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ cos 2 a þ b2 b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ sin 2 a þ b2 oppure pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 ðcos sin x þ sin cos x Þ Tenendo presente che le due espressioni fra parentesi rappresentano rispettivamente il coseno di ðx Þ e il seno di ðx þ Þ, possiamo in definitiva dire che pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 cos ðx Þ a sin x þ b cos x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 sin ðx þ Þ pffiffiffi Per esempio, trasformiamo con la stessa sequenza di passaggi l’espressione sin x þ 3cos x nella quale pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b 2 ¼ 1 þ 3 ¼ 2 pffiffiffi 3 1 l raccogliamo il fattore 2 : cos x sin x þ 2 2 2 pffiffiffi 3 1 l poniamo sin ¼ , da cui ricaviamo che è ¼ e cos ¼ 2 2 6 l riscriviamo l’espressione mettendo in evidenza il coseno di ðx Þ: pffiffiffi sin x þ 3 cos x ¼ 2 sin sin x þ cos cos x ¼ 2 cos x 6 6 6 oppure: l l poniamo cos ¼ pffiffiffi 3 1 , da cui ricaviamo che è ¼ e sin ¼ 2 2 3 riscriviamo l’espressione mettendo in evidenza il seno di ðx þ Þ: pffiffiffi sin x þ 3 cos x ¼ 2 cos sin x þ sin cos x ¼ 2 sin x þ 3 3 3 Questa procedura rende possibile la costruzione del grafico della funzione f ðx Þ ¼ a sin x þ b cos x mediante l’applicazione di opportune trasformazioni. Vediamo alcuni esempi. Le funzioni goniometriche Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I esempio Costruiamo il grafico della funzione di equazione y ¼ sin x þ pffiffiffi 3 cos x. Abbiamo visto che possiamo scrivere la funzione nella forma (A) y ¼ 2 cos x oppure (B) y ¼ 2 sin x þ 6 3 Figura 1 Per costruire il grafico possiamo considerare: (A) la cosinusoide come funzione base (in nero) e applicare ad essa in successione le seguenti trasformazioni (figura 1a): l traslazione lungo l’asse x del vettore v ~¼ , 0 (in azzurro) 6 l dilatazione lungo l’asse y del fattore 2 (in rosso) a. (B) la sinusoide come funzione base (in nero) e applicare ad essa in successione le seguenti trasformazioni (figura 1b): l traslazione lungo l’asse x del vettore v ~ ¼ , 0 (in azzurro) 3 l dilatazione lungo l’asse y del fattore 2 (in rosso). In entrambi i casi otteniamo ovviamente lo stesso grafico. b. II esempio Costruiamo il grafico della funzione y ¼ cos x sin x þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Trasformiamo l’espressione cos x sin x tenendo presente che è a2 þ b2 ¼ 1 þ 1 ¼ 2 : pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 2 2 cos x sin x cos x sin x ¼ 2 2 2 pffiffiffi 2 Ponendo sin ¼ cos ¼ , cioè ¼ , la funzione può essere riscritta in una delle due forme: 2 4 pffiffiffi pffiffiffi þ1 oppure (B) y ¼ 2 sin x þ1 (A) y ¼ 2 cos x þ 4 4 Se consideriamo l’equazione nella forma (A), a partire dal grafico della cosinusoide dobbiamo applicare: l la traslazione di vettore v ~¼ , 0 4 pffiffiffi l la dilatazione lungo l’asse x di fattore 2 l la traslazione di vettore ~ s ¼ ð0, 1Þ. Se consideriamo l’equazione nella forma (B), a partire dal grafico della sinusoide dobbiamo applicare: l la traslazione di vettore v ~¼ ,0 Figura 2 4 pffiffiffi l la dilatazione lungo l’asse x di fattore 2 l l la simmetria rispetto all’asse x la traslazione di vettore ~ s ¼ ð0, 1Þ. In entrambi i casi otteniamo il grafico in figura 2. Le funzioni goniometriche Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ESERCIZI Traccia il grafico delle seguenti funzioni. 1 y ¼ sin x cos x 3 y ¼ sin x þ cos x 1 5 y ¼ sin x þ cos x 7 y¼ pffiffiffi pffiffiffi 2sin x 2cos x pffiffiffi 3 1 cos x 9 y ¼ sin x þ 2 2 pffiffiffi 3 1 sin x þ cos x 2 2 pffiffiffi 4 y ¼ 2 cos x þ 3 sin x 2 y¼ 6 y ¼ cos x sin x þ 2 pffiffiffi 3 1 8 y ¼ sin x cos x 2 2 3 1 10 y ¼ pffiffiffi cos x pffiffiffi sin x 2 2 Le funzioni goniometriche Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
