Analisi Matematica 1 per Matematica

Analisi Matematica 1 per Matematica
Anno Accademico 2010–2011
Docente: Umberto Marconi
PROGRAMMA
1. Numeri reali
[1, cap. 0] Numeri reali, coordinate ascisse, proprietà delle potenze, esponenziali e logaritmi;
geometria analitica piana; trigonometria; funzioni, graﬁci, nomenclatura; funzioni polinomiali,
funzioni razionali fratte, funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni
circolari e loro inverse; disequazioni.
Insiemi linearmente ordinati. Numeri naturali e principio del buon ordinamento. Numeri interi.
Numeri razionali. Minimo e massimo, minorante e maggiorante. Sottoinsieme inferiormente limitato e sottoinsieme superiormente limitato. Estremo inferiore ed estremo superiore, proprietà
caratteristiche D . Corpo commutativo linearmente ordinato. Assioma di completezza e formulazioni equivalenti DD . Il corpo ordinato dei numeri reali. Esistenza della radice n-esima D .
Sottoinsiemi densi per l’ordine. Fatti elementari sugli intervalli [12]; proposizione 1 di [12] D .
Densità di Q e di R \ Q D .
2. Numeri complessi
[Dal corso di Geometria] Forma algebrica e forma polare. Operazioni, coniugio, radici n-esime.
Signiﬁcato geometrico.
3. induzione
[1, cap. 3] La disuguaglianza di Bernoulli D . La disuguaglianza aritmetico-geometrica e conseguenze D . La successione esponenziale e il numero di Nepero D .
4. Topologia della retta
[1, cap. 6], [2], [3] Aperti, intervalli centrati, proprietà degli aperti; chiusi e proprietà. Caratterizzazione degli aperti D . Ogni chiuso inferiormente (superiormente) limitato ha minimo
(massimo) DD . Intorni di un punto e proprietà degli intorni. Connessione di R [3] D . La
retta estesa. Connessi di R e intervalli [3] DD . Ricoprimenti aperti; famiglia di chiusi con la
proprietà dell’intersezione ﬁnita; deﬁnizione di compattezza e formulazioni equivalenti [2] DD .
I compatti di R sono i sottoinsiemi chiusi e limitati [2] DD .
5. Limite di successioni
[1, cap. 7] Deﬁnizione di limite di una successione di numeri reali e caratterizzazioni. Assioma
di separazione di Hausdorﬀ e unicità del limite D . Sottosuccessioni e limiti di sottosuccessioni.
Permanenza del segno e conseguenza D . Successioni limitate. Carabinieri D . Successioni
inﬁnitesime. Operazioni con limiti, ﬁniti o no. Forme indeterminate. Successioni monotone ed esistenza del limite DD . Successione aritmetica, successione geometrica, successione
esponenziale. Criterio del rapporto e della radice per le successioni.
6. Topologia del piano
[1, cap. 8] Aperti del piano. Dischi aperti e caratterizzazione degli aperti tramite i dischi aperti D . Chiusi del piano. Intorni. Limite di una successione complessa (o di R2 ). Limite tramite
le componenti. Operazioni con i limiti. La successione geometrica.
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7. Spazi metrici
[13], [1, cap. 10] Deﬁnizione di spazio metrico ed esempi. Palle aperte e palle chiuse. Funzioni lipschitziane. Distanza da un sottoinsieme. Diametro. Topologia di uno spazio metrico.
Caratterizzazione degli aperti [13, prop. 9] DD . Intorni. Operatore di chiusura, proprietà ed
esempi. Frontiera. Le metriche d∞ , d1 e d2 deﬁniscono nel piano la stessa topologia D . Punti
di accumulazione, punti isolati, punti interni. Derivato di un sottoinsieme. Sottoinsiemi densi.
Spazi metrici compatti. Limite di successioni negli spazi metrici. Successioni e chiusura. Successioni e punti di accumulazione. Sottoinsiemi compatti e sottoinsiemi chiusi [2] D . Principio di
Cantor. Teorema di Bolzano e corollario D . Compatti, sequenzialmente compatti, numerabilmente compatti: equivalenza in R [2] DD . Ogni successione limitata di numeri reali ammette
una sottosuccessione convergente D . Caratterizzazione di sottoinsiemi compatti di R2 [2] D .
Conseguenze [2] D .
8. Limite di funzioni
[1, cap. 11] Deﬁnizione di limite mediante le successioni e mediante gli intorni. Unicità del
limite D . Proprietà del limite per le funzioni reali di variabile reale in analogia alle proprietà
per le successioni. Limite di restrizioni, limite destro e limite sinistro. L’esistenza del limite per
funzioni monotone DD . Limiti fondamentali D . Cambiamenti di variabile.
9. Funzioni continue
[1, cap. 12], [7], [3] Deﬁnizione di continuità con le successioni e con gli intorni. Composizione
di funzioni continue. Le funzioni lipschitziane sono continue. Caratterizzazione della continuità
su tutto il dominio D . La distanza da un sottoinsieme è una funzione lipschitziana. Topologia prodotto. Continuità delle proiezioni. Compattezza del prodotto (teorema di Tychonoﬀ).
Continuità e graﬁco chiuso. Continuità e connessione [3] DD . Teorema di tutti i valori e teorema degli zeri DD . I convessi di R2 sono connessi. Continuità e monotonia D . Continuità e
compattezza DD . Teorema di Weierstrass D . Omeomorﬁsmi. Punti di massimo e di minimo
locale. Versione topologica del teorema di Rolle [10] DD . Spazi metrici localmente compatti e
proprietà [14].
10. Derivate
[1, cap. 14] Rapporto incrementale e derivata. Signiﬁcato geometrico. La derivabilità implica la
continuità D . Calcolo delle derivate delle funzioni elementari D . Linearità dell’operatore di
derivazione, regole algebriche di derivazione D . Regola della catena [4, Teor. 1] DD . Derivata
della funzione inversa D , diﬀeomorﬁsmi. Derivata di f (x)g(x) . Derivata logaritmica. Da [4]:
nomenclatura, il diﬀerenziale, il simbolismo dei diﬀerenziali, il vettore tangente. Proprietà di
riﬂessione delle coniche. Derivazione di funzioni deﬁnite implicitamente [15, 3.5]. Problemi su
velocità collegate e problemi di massimo e minimo [15, 4.3, 4.4, 4.5]. Curve parametriche, esempi
(cicloide, asteroide,. . . ); vettore derivata [15, 17.1, 17.2, 17.4].
11. Integrale secondo Riemann
[1, cap. 15] Funzioni a scalino a supporto compatto. Lo spazio vettoriale Sc (R). L’integrale di
una funzione Sc e sue proprietà D . Somme inferiori e somme superiori. Deﬁnizione di funzione
Riemann-integrabile. Proprietà dell’integrale di Riemann D . Integrabilità e area del trapezioide. Integrale esteso a un intervallo e sue proprietà. Funzioni bilanciate, caratterizzazione e
integrabilità [6, tutto D tranne ii⇒i nel teor. 4]. Integrale esteso a un intervallo orientato e
proprietà. Funzione integrale. Continuità e derivabilità della funzione integrale DD . Teorema fondamentale del calcolo D . Simbolismo diﬀerenziale e tabella di antiderivate (primitive).
Esempi di calcolo di integrali; integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti per
l’integrale indeﬁnito e per l’integrale deﬁnito DD . Integrazione per sostituzione per l’integrale
indeﬁnito e per l’integrale deﬁnito DD . Integrali iterati. L’integrale come limite delle somme di
Riemann [1, 17.15], [15, 6.4]. Teorema della media pesata. Funzioni circolari e funzioni iperboliche [8]. Lunghezza d’arco e diﬀerenziale d’arco per una curva cartesiana di classe C 1 [15, 7.5].
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Diﬀerenziale d’arco per una curva parametrica; esempi (cicloide, asteroide,. . . ). Area fra due
curve; volume di solidi di rotazione [15, 7.2, 7.3].
12. Teoremi classici del calcolo differenziale
[1, cap. 16] Nei punti di estremo locale interno la derivata si annulla D . Teorema di Rolle DD .
Teorema di Lagrange sul valor medio e i suoi corollari DD . Monotonia e segno della derivata
prima DD . Teorema degli incrementi ﬁniti, regola di de L’Hôpital e corollario. Concavità,
convessità e segno della derivata seconda. Asintoti obliqui. Contatti di ordine superiore a m e
coincidenza delle derivate ﬁno all’ordine m D . Formula di Taylor con il resto nella forma di
Peano D . Formula di Taylor per le funzioni elementari D .
13. Confronto locale
[1, cap. 13] Relazione o piccolo e principio di sostituzione degli inﬁnitesimi. Asintoticità; funzioni
dello stesso ordine. Sviluppi asintotici delle funzioni elementari. Relazione O grande.
14. Integrali generalizzati
[1, cap. 18] Deﬁnizione di integrale generalizzato ed esempi. Criterio del confronto per funzioni
positive DD . Integrali assolutamente convergenti D . Sommabilità. Criterio di asintoticità.
Criterio di Abel-Dirichlet (con g decrescente) DD .
15. Serie numeriche
[1, cap. 9], [15, cap. 13] Deﬁnizioni. Serie di Mengoli e serie telescopiche. Serie geometrica D .
Serie deﬁnitivamente uguali. Condizione necessaria per la convergenza D . Serie a termini
positivi D . Criterio del confronto D . Serie armonica e serie armonica generalizzata D .
Convergenza assoluta D . Criteri del rapporto e della radice D . Serie a termini di segno
alterno e criterio di Leibniz D . Criterio dell’integrale D . La costante di Eulero-Mascheroni.
Criterio di Raabe [15, A.12]. Serie a termini complessi, convergenza assoluta.
16. Serie di potenze
[15, cap. 14], [1, cap. 17] Formula di Taylor con il resto in forma integrale [5] DD . Serie di
Taylor e criterio di sviluppabilità D . Sviluppo in serie di ex , sin x, cos x, log(1 + x), arctan x,
sinh x, cosh x D . La serie binomiale D . La serie binomiale agli estremi dell’intervallo di
convergenza. Sviluppo in serie di arcsin x. Formula di Taylor con il resto di Lagrange D .
Serie di potenze. Intervallo di convergenza e raggio di convergenza D . Serie resto di una
serie numerica convergente. Continuità della somma di una serie di potenze D . Integrabilità
e derivabilità termine a termine di una serie di potenze D . Serie prodotto. Esponenziale
complesso, formule di Eulero e altre funzioni complesse [9].
Bibliografia
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Marconi. Diﬀerenziazione. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/differenziali.pdf.
Marconi. Formula di taylor. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/taylor.pdf.
Marconi. Funzioni bilanciate. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/bilanciate.pdf.
Marconi. Funzioni continue. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/a1cont.pdf.
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Marconi. Passo delta. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/passo.pdf.
Marconi. Spazi metrici. http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/a1metric.pdf.
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F. Simmons. Calculus with Analytic Geometry. McGraw-Hill, New York, 1996.