Analisi Matematica – 1° modulo (6 crediti)

Programma di Analisi Matematica I (canale
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
M-Z)
Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio – Ingegneria Civile – Ingegneria dei Trasporti
A.A. 2006/2007 – Prof.ssa Elisa Vacca
Cap.1 Elementi di teoria degli insiemi. §1.1 Richiami di matematica elementare. §1.2 Alcuni
simboli di logica matematica. §1.3 Primi elementi di teoria degli insiemi . §1.4 Prodotto cartesiano;
applicazioni.
Insiemi numerici: numeri interi, relativi, razionali, reali.
Cap.2 Insiemi di numeri reali. §2.1 Generalità ed esempi. §2.2 Estremo inferiore ed estremo
superiore. §2.3 Punti di accumulazione; insiemi chiusi. §2.4 Logaritmi naturali.
Cap.4 Funzioni di una variabile. §4.1 Il concetto di funzione. §4.2 Rappresentazione geometrica:
grafico. §4.3 Le funzioni elementari. §4.4 Alcune nozioni generali sulle funzioni. §4.5 Funzioni
composte ed inverse. §4.6 Le funzioni circolari inverse. §4.7 Le successioni.
Cap.5 Limiti di successioni. §5.1 Successioni convergenti o divergenti; definizione di limite.
§ 5.2 Primi teoremi sui limiti; sottosuccessioni, disuguaglianze. §5.3 Limiti di successioni
monotone; il numero di Nepero. §5.4 Operazioni sui limiti: forme indeterminate. §5.5 Alcuni limiti
fondamentali. §5.6 Confronto tra infinitesimi o tra infiniti.
Principio di sostituzione.
Cap.6 Serie numeriche. §6.1 Serie convergenti, divergenti, indeterminate. §6.2 Il criterio generale
di convergenza. §6.3 Proprietà ed operazioni. §6.4 Serie a termini di segno costante; regolarità
incondizionata. §6.5 Serie assolutamente convergenti; prodotto di due serie. §6.6 Criteri di
convergenza assoluta. §6.7 Criteri di convergenza non assoluta (criterio di Leibnitz).
Criterio di asintoticità.
Cap.7 Limiti di funzioni di una variabile. §7.1 Limiti all’infinito. §7.2 Limiti in un punto.
§7.3 Limiti di funzioni come limiti di successioni: osservazioni. §7.4 Teoremi sui limiti delle
funzioni. §7.5 Calcolo di limiti fondamentali. §7.6 Confronto tra infinitesimi o tra infiniti.
Relazioni asintotiche.
Cap.8 Funzioni continue di una variabile. §8.1 Definizione e prime proprietà. §8.2 Esempi di
funzioni continue. §8.3 Punti singolari di una funzione; continuità a sinistra o a destra.
§8.4 Operazioni sulle funzioni continue. §8.5 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue.
§8.6 Funzioni inverse.
Cap.9 Nozioni di calcolo differenziale per le funzioni di una variabile. §9.1 Definizione di
derivata. §9.2 Applicazioni del concetto di derivata. §9.3 Definizione e proprietà del differenziale.
§9.4 Le operazioni elementari. §9.5 Derivazione della funzione inversa. §9.6 Derivazione di una
funzione composta. §9.7 Funzioni iperboliche e loro derivate. §9.8 Tabella delle derivate
fondamentali. §9.11 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi. §9.12 Teoremi
di Rolle, Cauchy, Lagrange. §9.13 Conseguenze del Teorema di Lagrange; crescenza in grande.
§9.14 Forme indeterminate: teorema di De L’Hôpital. §9.15 Asintoti. §9.16 Ricerca del minimo e
del massimo assoluti di una funzione. §9.17 Funzioni concave o convesse in un punto; flessi.
§9.18 Concavità e convessità in grande. §9.19 Criteri per lo studio locale di una funzione.
§9.20 Studio del grafico di una funzione.
Cap.10 Nozioni di calcolo integrale per le funzioni di una variabile. §10.1 Funzioni primitive.
§10.2 Integrale di una funzione continua esteso ad un intervallo. §10.3 Significato geometrico
dell’integrale. §10.4 Proprietà dell’integrale. §10.5 Integrali definiti. §10.6 Esistenza delle primitive
di una funzione continua. §10.7 Integrali indefiniti. §10.8 Integrazione per parti. §10.9 Integrazione
per sostituzione. §10.11 Regole per il calcolo degli integrali definiti. §10.12 Alcune applicazioni.
Cap.11 Prime applicazioni del calcolo differenziale ed integrale. §11.1 Formula di Taylor;
proprietà locali. §11.2 Proprietà globali. §11.3 Proprietà asintotiche.
Cap.12 Numeri complessi. §12.1 Introduzione. §12.2 Definizioni. §12.3 Conseguenze delle
definizioni precedenti. §12.4 Operazioni inverse; numeri coniugati. §12.5 Rappresentazione
geometrica dei numeri complessi. (Formula di Moivre). §12.7 Radici dei numeri complessi.
§12.8 L’esponenziale nel campo complesso.
Integrali impropri. (Appendice al Capitolo 9; §75 del testo “Elementi di Analisi Matematica
Uno”, P. Marcellini, C. Sbordone)
Gli argomenti elencati nel programma con riferimento a Cap. e § sono contenuti nel testo:
Ghizzetti, F. Rosati. “Analisi Matematica” Vol.1 Seconda Edizione, Zanichelli.
Testi consigliati:
1) L. Cosimi - M.R. Lancia “MATEMATICA 1" Progetto Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio (2005).
2) P. Marcellini - C. Sbordone “ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA UNO", Liguori Editore.
3) A. Ghizetti - F. Rosati “ANALISI MATEMATICA", Vol. 1 Seconda edizione, Zanichelli.
4) M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa “MATEMATICA-Calcolo infinitesimale e algebra lineare"
Zanichelli.
Testi consigliati per gli esercizi:
1) M. Amar - A. M. Bersani “Esercizi di ANALISI MATEMATICA" seconda edizione, Progetto
Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio.
2) P. Marcellini - C. Sbordone “Esercitazioni di MATEMATICA" Vol. 1, parte prima e seconda,
Liguori Editore.
N.B. lo studente può prepararsi all’esame su uno qualsiasi dei testi consigliati. Gli argomenti
richiesti con dimostrazione sono evidenziati nel programma dettagliato scaricabile da
http://www.dmmm.uniroma1.it/~vacca