MA4: Il modello del raffreddamento di Newton
La procedura per ricavare la legge del raffreddamento di Newton è descritta in molti testi di
fisica generale; qui la richiamiamo brevemente partendo da alcuni concetti basilari che regolano gli
scambi di calore.
Due corpi a temperatura differente se posti in contatto termico si scambiano calore.
L'osservazione sperimentale indica che essi si portano ad una temperatura Te comune (temperatura
di equilibrio). Tale osservazione si riassume nella legge che indica la quantità di calore scambiata
Q:
Q = m c (Te- To ) =m c ∆ T
dove m indica la massa del corpo, To la sua temperatura iniziale e c il suo calore specifico ( a
pressione costante).
Nello scambio ci sono almeno due corpi in contato termico ed il secondo per effetto della
quantità di calore ricevuta (o perduta) varia anch'esso la sua temperatura ma di una diversa quantità
( perché è diversa la sua temperatura iniziale e può essere diversa la sua massa e/o il suo calore
specifico). Infatti detti 1 e 2 i due corpi si ha:
m1 c1 |Te- T1 | = m2 c2 |Te- T2 |
Nel caso in cui uno dei corpi, per esempio il secondo, non vari sostanzialmente la sua
temperatura (perchè o m2 o c2 sono rispettivamente molto maggiori di m1 e c1 , si ha T2~Tc ed il
primo corpo tende ad acquistare la temperatura del secondo. Il secondo corpo si comporta allora
come un termostato e non varia sostanzialmente la sua temperatura, (che d'ora in poi verrà indicata
come temperatura ambiente Ta).
E' esperienza comune che la cessione o assorbimento del calore tra corpi non è un fenomeno
istantaneo. Si verifica sperimentalmente che la velocità con cui avviene lo scambio (definita come
la quantità di calore scambiata nell'unità di tempo) :
e' direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo in esame e l'ambiente con
cui avviene tale scambio;
dipende dal tipo di contatto termico tra il corpo e l'ambiente;
dipende dalla estensione della superficie di contatto;
coinvolge quasi sempre, in maggiore o minore grado, tutti i meccanismi di trasferimento di
calore.
Queste osservazioni si compendiano nella legge di trasferimento di calore (detta di solito legge
di Newton del raffreddamento , in quanto viene prevalentemente usata per studiare i raffreddamenti)
Q/∆
∆ t =- h S (T(t)- Ta)
dove t è il tempo, S la superficie di contatto, e T(t) la temperatura del corpo che cede calore al
tempo t . h è un coefficiente, chiamato di trasporto o di conducibilità esterna, che dipende dalla
natura del corpo e dell'ambiente, dallo stato delle superficie di contatto, e dalle condizioni
dell'ambiente (cambia per esempio nel caso di una bacinella d'acqua calda messa all'aperto se vi è
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ventilazione, aria ferma, umidità, ecc.).
Il segno meno indica che si ha cessione di calore all'ambiente se T(t) > Ta , ovvero si ha una
diminuzione di energia termica del corpo, e viceversa se T(t) < Ta.
La cessione o l'assorbimento di calore non è una funzione lineare nel tempo: tanto maggiore è la
differenza di temperatura, tanto minore è il tempo impiegato per cedere (o assorbire) la stessa
quantità di calore, o anche, a parità di tempo, a mano a mano che il corpo si raffredda (o si riscalda)
la cessione (o assorbimento) di calore diminuisce. Da questa deriva l'equazione che regola come
varia la temperatura in funzione del tempo man mano che il corpo cede calore.
Dalla equazione precedente, poiché Q=mc∆
∆T si può ricavare:
∆T/∆
∆t = -(hS/mc)(T(t)- Ta) = -kr (T(t)- Ta)
kr = (hS/mc)
dove con kr si intende una costante caratteristica del processo e che dipende dalla natura del corpo e
dell'ambiente, dallo stato delle superficie di contatto, e dalle condizioni in cui avviene il
raffreddamento oltre che dalla quantità di sostanza e dal suo calore specifico.
E’ interessante notare dalla formula come i diversi parametri possono influire nella velocità
di raffreddamento. Infatti gli esperimenti svolti vi hanno mostrato come ciascun parametro
(controllati gli altri) influisce sulla rapidità con cui un sistema si porta in equilibrio con l’ambiente.
Seguono due documenti:
1) Integrazione numerica ; descrive un semplice metodo per l’integrazione numerica del modello
di Newton
2) Guida all’integrazione numerica con Excel; permette di integrare numericamente il modello di
Newton utilizzando il foglio elettronico.
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