Classe 4 G
dicembre 2010.
Legge di Newton per il raffreddamento (riscaldamento).
Due corpi a temperatura differente se posti in contatto termico si scambiano calore.
L'osservazione sperimentale indica che essi si portano ad una temperatura Tc comune
(temperatura di equilibrio). Tale osservazione si riassume nella legge che indica la quantità
di calore scambiata Q:
Q = m c (Tc- To ) =m c ! T
dove m indica la massa del corpo, To la sua temperatura iniziale e c il suo calore
specifico (a pressione costante).
Nello scambio ci sono almeno due corpi in contatto termico ed il secondo per effetto della
quantità di calore ricevuta (o perduta) varia anch'esso la sua temperatura ma di una
diversa quantità (perchè è diversa la sua temperatura iniziale e può essere diversa la sua
massa e/o il suo calore specifico). Infatti detti 1 e 2 i due corpi si ha:
m1 c1 |Tc- T1 | = m2 c2 |Tc- T2 |
Nel caso in cui uno dei corpi, per esempio il secondo, non vari sostanzialmente la sua
temperatura (perchè o m2 o c2 sono rispettivamente molto maggiori di m1 e c1) , si ha
T2~Tc ed il primo corpo tende ad acquistare la temperatura del secondo. Il secondo corpo
si comporta allora come un termostato e non varia sostanzialmente la sua temperatura,
(che d'ora in poi verrà indicata come temperatura ambiente Ta).
E' esperienza comune che la cessione o assorbimento del calore tra corpi non è un
fenomeno istantaneo. Si verifica sperimentalmente che la velocità con cui avviene lo
scambio (definita come la quantità di calore scambiata nell'unità di tempo) :
•
e' direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo in esame e
l'ambiente con cui avviene tale scambio
•
dipende dal tipo di contatto termico tra il corpo e l'ambiente
•
dipende dalla estensione della superficie di contatto
•
coinvolge quasi sempre, in maggiore o minore grado, tutti i meccanismi di
trasferimento di calore (irraggiamento, conduzione, convezione).
1
Queste osservazioni si compendiano nella legge di trasferimento di calore (detta di
solito legge di Newton del raffreddamento , in quanto viene prevalentemente usata per
studiare i raffreddamenti)
Q
= !hS (T (t ) ! Ta )
"t
dove t è il tempo, S la superficie di contatto, e T(t) la temperatura del corpo che cede
calore al tempo t e h è un coefficiente, chiamato di trasporto o di conducibilità
esterna, che dipende dalla natura del corpo e dell'ambiente, dallo stato delle superficie di
contatto, e dalle condizioni dell'ambiente (cambia per esempio nel caso di una bacinella
d'acqua calda messa all'aperto se vi è ventilazione, aria ferma, umidità, ecc.).
Il segno meno indica che si ha cessione di calore all'ambiente
se T(t) > Ta , ovvero si ha
una diminuzione di energia termica del corpo, e viceversa se T(t) < Ta.
La cessione o l'assorbimento di calore non è una funzione lineare nel tempo: tanto
maggiore è la differenza di temperatura, tanto minore è il tempo impiegato per cedere (o
assorbire) la stessa quantità di calore, o anche, a parità di tempo, a mano a mano che il
corpo si raffredda (o si riscalda) la cessione (o assorbimento) di calore diminuisce.
Da questa deriva l'equazione che regola come varia la temperatura in funzione del
tempo man mano che il corpo cede calore.
Variazione nel tempo della temperatura di raffreddamento.
Le equazioni precedentemente analizzate (che si riferiscono allo scambio di calore), per
intervalli di tempo molto piccoli, infinitesimi, si possono scrivere:
Q
= !hS (T (t ) ! Ta )
"t
-------------
dQ
= !hS (T (t ) ! Ta )
dt
Q = mc!T
-------------
dQ = mc dT
Combinando le due equazioni si può scrivere l'equazione per le variazioni di temperatura
del corpo che si raffredda (o si riscalda) in presenza del "termostato" a temperatura Ta
come
2
dT
hS
=!
(T (t ) ! Ta ) = !k r (T (t ) ! Ta )
dt
mc
dove ora
kr =
1
hS
e la condizione iniziale è T(t=0)= To .
mc
Possiamo ottenere una soluzione numerica di tale equazione approssimando la derivata
dT
dt
con il suo rapporto incrementale :
!T = "k r (T (t ) " Ta )!t
dT "T T (t + "t ) ! T (t )
#
=
= !k r (T (t ) ! Ta ) e quindi
dt
"t
"t
e Vr = !k r (T (t ) ! Ta ).
Dividiamo l'intervallo di tempo totale in cui si vuole calcolare il valore della temperatura in
m intervalli di tempo Dt tutti uguali. Ad esempio sia Dt = 10 s, risulterà: t0= 0s, t1 = 10 s
= 1 Dt , t2 = 20 s = 2 Dt , ecc.
Indichiamo con
con
Ti =T(ti) la temperatura al tempo ti= i Dt ( i=0,1,2....m) e
Vr(i) = -kr (Ti-Ta) la velocità di raffreddamento corrispondente.
Otteniamo il seguente insieme di equazioni :
t i = i " !t
Vr (i ) = !k r (Ti ! Ta )
!T = Vr (i ) " !t
e
quindi
Ti +1 = Ti + Vr (i ) " !t
Per successive iterazioni si ha la seguente tabella:
1
i=0
t0=0
T=T0
i=1
t1=Dt
T1
=
T0
i=2
t2=2Dt
T2
=
T1
Vr(0)=
-kr
(T0-Ta)
+Vr(0)
Dt Vr(1)=
-kr
(T1-Ta)
+Vr(1)
Dt Vr(2)=
-kr
(T2-Ta)
......... …………………… …………………………
…………………………
i+1
Vr(i+1)= -kr (Ti+1-Ta)
ti+1=(i+1)Dt
Ti+1 = Ti +Vr(i) Dt
La legge di raffreddamento (o riscaldamento) di Newton è quindi regolata da una equazione differenziale ordinaria
del 1o ordine per la variabile dipendente temperatura T in funzione della variabile indipendente tempo t.
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Esercitazione in Excel : raffreddamento di una sostanza.
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! Imposta un foglio Excel, che chiamerai “Legge di Newton”, nel modo seguente:
Dati
Tiniziale
N.
80°C
ti
0
Tambente
Ti
0
20°C
Kr
6*10-3 s -1 ! t =
10s
Vr (i)
80
-0,36
dove N. indica il numero dell’iterazione, ti il tempo all’i-esima iterazione, Ti la temperatura
alla i-esima iterazione, Vr(i) la velocità di raffreddamento all’i-esima iterazione.
! Usa i seguenti dati iniziali : T0 = 80°C, t0 = 0 s, Tambiente = 20 °C, kr = 6!10-3 s-1, Dt =
10 s.
! Opera un numero sufficiente di iterazioni, ad esempio 90, e fai il grafico della
temperatura in funzione del tempo.
! Esamina
o
o
o
o
il grafico ottenuto:
è quello che ti aspettavi? Perché ?
Descrivilo.
A quale valore tende ?
Esamina la pendenza del grafico al trascorrere del tempo. Varia o è
costante?
! Aggiungi una colonna con le differenze tra la temperatura Ti e Tambiente. E fai un grafico
mettendo in ascissa il tempo t e in ordinata le differenze (Ti – Tambiente).
o Quale trasformazione lega i due grafici?
o Quale tipo di andamento pensi abbia questa curva?
o Verifica le tue ipotesi cercando una adeguata “linea di tendenza” e riporta la
sua equazione.
! Aggiungi un’ulteriore colonna in cui riporterai i valori del ln (Ti-Ta). Fai un grafico
mettendo in ascissa il tempo t e in ordinata ln(Ti – Ta).
o Quale tipo di dipendenza c’è tra queste due grandezze?
o Verifica le tue ipotesi cercando una adeguata “linea di tendenza” e riporta la
sua equazione.
Calcolo dell’espressione analitica della legge di Newton.
4
È possibile ottenere l’espressione analitica della legge usando la relazione che fornisce la
dipendenza lineare del logaritmo della differenza di temperatura dal tempo.
Sia
ln (T (t ) ! Ta ) = mt + q .
Risolvo questa equazione in T :
(T ! Ta ) = e mt + q
e,
sapendo che per t=0, T = T0 si avrà:
T0 ! Ta = e q
e quindi, sostituendo:
T = Ta + (T0 ! Ta )e mt .
5
