Asintoti

Materiale didattico relativo al corso di
Matematica generale
Prof. G. Rotundo
a.a.2013/14
ATTENZIONE: questo materiale contiene i lucidi utilizzati per le lezioni.
NON sostituisce il libro, che deve essere comunque consultato per la
preparazione degli argomenti corrispondenti.
Promemoria:
e intorni (pp.56-57)
Intorno completo simmetrico di x0 di semiampiezza 
(
x0  
)
x0
x0  
( x0   , x0   )  {x : x0    x  x0   }
( x0   , x0   )
x0    x  x0  
  x  x0  
x  x0  
2
Intorno di +
x>K
0
K
Intorno di -
-
X<-K
-K
0
+
Una funzione
è una legge che ad ogni elemento
di un insieme A associa uno e un
solo elemento di un insieme B,
A  R, B  R
f : AB
Limite : 4 casi
x
1. Visto per esteso : xx0
(limite finito per x al finito)
Generalizzazioni:
2. Limite finito per xinfinito
3. Limite infinito per x finito
4. Limite infinito per x infinito
x
0
∞
l
1
2
∞
3
4
Caso 1
Limite finito per x x0
Definizione intuitiva di limite
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende al limite finito l e si scrive :
f ( x ) l
lim
x x
0
Se
f ( x)  l
per
x  x0
Definizione (formale)
Sia dato x0 a punto di accumulazione per l’insieme di
definizione della funzione.
Si dice che per x tendente x0 a la funzione tende al limite
finito l ( oppure ha per limite l) e si scrive:
f ( x ) l
lim
x x
0
se   0   0 | x : 0  x  x0  
si ha che
f ( x)  l  
Esempio 3 : Calcolare il limite della
seguente funzione per x che si avvicina a 0
f ( x) 
x2
 x  1
• abbiamo già visto l’insieme di definizione
Osservo che posso calcolare il valore della
funzione in 0:
f( 0 ) = 0
• ma non posso avvicinarmi a 0 perché non ci
sono punti dell’insieme di definizione vicini a
piacere a 0.
non si può calcolare il
f ( x)
lim
x x
0
9
limite
x
1. Visto per esteso : xx0
(limite finito per x al finito)
Generalizzazioni:
2. Limite finito per xinfinito
3. Limite infinito per x finito
4. Limite infinito per x infinito
x
0
∞
l
1
2
∞
3
4
Caso 2
l per x infinito, tre sottocasi:
1
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
5
0.6
01
0.4
51
0.2
02
15
20
0.8
1
Retta y= l asintoto orizzontale
1
8.0
0.8
10
A. infinito positivo
B. infinito negativo
C. Infinito (senza distinguere
se positivo o negativo)
5
Limite finito
1
5
10
15
20
5
10
15
20
Confronto
Sia dato x0 a punto di accumulazione per l’insieme di definizione della funzione.
f ( x ) l
lim
x x
0
se   0   0 | x : 0  x  x0  
si ha che
f ( x ) l
lim
x
f ( x)  l  
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
1
0.8
Asintoto orizzontale
0.6
0.4
0.2
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
5
per la funzione f(x) per x →+
10
15
20
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x   K
f ( x)  l  
1
8.0
Asintoto orizzontale
6.0
4.0
2.0
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x-
02
51
01
5
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
1
1
8.0
0.8
Asintoto orizzontale
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
02
51
01
5
5
10
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x ->∞
5
5
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1
10
15
15
20
20
1
10
15
20
limite
x
1. Visto per esteso : xx0
(limite finito per x al finito)
Generalizzazioni:
2. Limite finito per xinfinito
3. Limite infinito per x finito
4. Limite infinito per x infinito
x
0
∞
l
1
2
∞
3
4
Caso 3
Limite infinito per x finito
Asintoto verticale (p.154)
f ( x ) 
lim
x x
0
se M  0  M  0 | x : 0  x  x0   M
1
f ( x)  M
0.8
0.6
0.4
0.2
5
5
10
10
15
20
0.2
0.4
0.6
1
0.8
1
8.0
0.8
1
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
1
02
51
01
5
5
10
15
20
8.0
6.0
5
5
10
15
4.0
20
2.0
0.2
0.2
5
0.4
0.4
02
51
01
5
0.2
0.6
0.6
0.4
0.8
0.8
0.6
1
0.8
1
10
15
20
15
20
1
10
15
20
Caso 4
Limite infinito
per
x infinito,
nove sottocasi:
x+∞
x -
∞
x∞
l= +∞
lim f ( x)   lim f ( x)   lim f ( x)  
l=-∞
lim f ( x)   lim f ( x)   lim f ( x)  
l=∞
x 
x 
x 
x 
x 
x 
lim f ( x)   lim f ( x)   lim f ( x)  
x 
x 
x 
Caso 4 particolare: se funzione si
avvicina ad una retta obliqua di
equazione y=mx+n
Allora la retta y=mx+n si chiama
ASINTOTO OBLIQUO
Esempio:
Lo strumento di calcolo
sarà spiegato nelle
esercitazioni.
Confronto
Sia dato x0 a punto di accumulazione per l’insieme di definizione della funzione.
f ( x ) l
lim
x x
0
se   0   0 | x : 0  x  x0  
si ha che
f ( x ) l
lim
x
f ( x)  l  
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
Ulteriori limiti
Promemoria
• In tutte queste diapositive x0 è punto di
accumulazione per l’insieme A di
definizione della funzione considerata
• Se si considerano più funzioni si sceglie
un insieme A su cui tutte sono definite
• Anche in questo caso x0 è punto di
accumulazione per l’insieme A
Limite sinistro, destro (p.151)
(
x0  
x0
Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra.
Per ricordarlo si scrive
lim f ( x )
x x0
se 
| x : x0    x  x0
...
Limite sinistro, destro (p.151)
)
x0
x0  
Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra.
Per ricordarlo si scrive
lim f ( x )
x x0
se 
| x : x0  x  x0  
...
Teorema: se il limite esiste, allora esistono
anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono.
Conseguenze:
Il limite non esiste se:
• il limite sinistro non esiste
• il limite destro non esiste
• esistono entrambe, ma hanno valori
diversi.
Notazioni
• Rr: retta reale estesa: comprende + infinito
e – infinito
• A’= indieme dei punti di accumulazione
dell’insieme A
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma diretta
Se per x tendente a x0 la funzione tende ad
un limite finito l diverso da zero, allora
esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha
lo stesso segno di l
l
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma inversa:
Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è
strettamente positiva allora il limite è non
negativo
(esempio: parabola)
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema carabinieri
Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0
ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di
x0 si ha
f(x)h(x)  g(x)
x0
allora anche h(x) converge a l in x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Il limite di somma, differenza, prodotto,
quoziente di due funzioni
È dato da
• somma, differenza, prodotto, quoziente dei
limiti
(eccetto il caso in cui il limite della funzione
al denominatore è nullo)
Il limite di una somma è
la somma dei limiti
Il limite del prodotto è il
prodotto dei limiti.
Il limite del quoziente è il
quoziente dei limiti.
Limiti fondamentali
• pp 136-143 del libro degli esercizi.
Funzioni continue
Rif. al libro di testo
X0 punto di
accumulazione
Le seguenti funzioni sono continue
(p.136)
• Bisogna dimostrare che è verificata la
definizione di funzione continua
f(x)=k
f(x)=2x-3 (p.135)
f(x)=mx+n (tutte le rette)
f(x)=x^2
Le potenze
I polinomi
Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il
Teorema di Weierstrass
• Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre
dotata di minimo e di massimo ed assume
tutti i valori compresi tra il minimo ed il
massimo
• Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso
e limitato. Tali intervalli prendono il nome
di compatti.
Funzioni composte
Rif libro di testo
Infinitesimi e infiniti
Rif. libro di testo