UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA' DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I { A.A. 1992/1993
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE (A{M), EDILE (A{M)
Dott. D.Averna
INSIEMI
Notazioni. Appartenenza. Inclusione. Uguaglianza tra insiemi. Parti di un insieme. Operazioni sugli insiemi: unione, intersezione, dierenza, complementare. Proprieta' distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e dell'unione rispetto all'intesezione. Leggi di De Morgan e principio di dualita'.
Partizioni. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni
d'ordine.
Funzioni. Dominio. Funzioni suriettive, iniettive, biiettive. Funzione inversa di
una funzione biiettiva. Funzioni composte. Immagine diretta ed inversa di una parte
e di una famiglia di parti. Codominio di una funzione. Restrizione e prolungamento
di una funzione.
Strutture algebriche: gruppi, gruppi commutativi, campi, campi ordinati.
NUMERI REALI
Il campo dei numeri reali: assiomi di campo, assioma dell'ordinamento, assioma
della continuita'. Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali. Principio di induzione
matematica. Buon ordinamento di N. Principio di Archimede. Densita' di Q in R.
Valore assoluto di un numero reale e sue principali proprieta'.
Insiemi niti ed inniti. Insiemi numerabili. Teoremi sugli insiemi numerabili.
Numerabilita' del prodotto cartesiano N N, dell'insieme Q dei razionali. Non numerabilita' di R e di R-Q.
Successioni. Sottosuccessioni. Intervalli. Teorema di completezza. Insiemi numerici limitati. Estremi di un insieme. Teorema di esistenza degli estremi.
Equivalenza tra assioma della continuita', teorema di completezza + principio di
Archimede, teorema di esistenza degli estremi.
Il reale ampliato. Estremi nel reale ampliato.
Funzioni monot
one. Successioni monot
one.
Potenze, esponenziali e logaritmi in campo reale. Richiami di trigonometria.
RICHIAMI SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Disuguaglianze tra numeri reali. Generalita' su equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni algebriche. Equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti.
Equazioni e disequazioni irrazionali. Equazioni e disequazioni trascendenti. Sistemi
di equazioni e disequazioni.
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ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
Disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici. Coecienti binomiali e loro
proprieta'. Binomio di Newton.
NOZIONI DI TOPOLOGIA IN Rn E IN R~
Spazi Rn. Distanza pitagorica in Rn e sue proprieta' essenziali. Bocce e intervalli
in Rn. Insiemi limitati. Insiemi aperti e loro proprieta'. Caratterizzazione degli
aperti di R. Insiemi chiusi e loro proprieta'. Intorni in Rn . Punti interni, frontiera,
di accumulazione, isolati, di aderenza. Interno, frontiera, derivato, chiusura di un
insieme. Condizione caratteristica perche' un insieme sia chiuso. Insiemi densi.
Insiemi compatti in Rn. Teorema della completezza in Rn . Caratterizzazioni dei
compatti in Rn.
Insiemi connessi in Rn. Caratterizzazione dei connessi di R. Insiemi connessi per
poligonali in Rn. Confronto tra connessione e connessione per poligonali.
Estensione a R~ della topologia introdotta in R.
LIMITI
Concetto di limite: negli spazi euclidei, in R~ , per le successioni. Teorema di
unicita' del limite. Teorema di limitatezza locale. Limite delle restrizioni.
Dominio in R: limite destro e sinistro.
Codominio in R: permanenza del segno limite del prodotto ove un fattore tende
a zero e l'altro e' limitato confronto relazioni tra limite di f e limite di jf j algebra
1 , 00 .
dei limiti forme indeterminate 1 ; 1, 0 1, 1
Limiti delle funzioni elementari.
Limiti delle successioni: successioni convergenti, divergenti, regolari, indeterminate limitatezza delle successioni convergenti punti di compattezza caratterizzazione
delle successioni convergenti e divergenti la compattezza per successioni criteri di
Stolz-Ces
aro e conseguenze.
Limiti delle funzioni e delle successioni monot
one.
Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni.
Criterio di convergenza di Cauchy per le funzioni.
Altre forme indeterminate. Riconoscimento di una forma indeterminata.
Limiti notevoli.
INFINITESIMI E INFINITI
Innitesimi. Ordine di due innitesimi simultanei. Principio di sostituzione degli
innitesimi.
Inniti. Ordine di due inniti simultanei. Principio di sostituzione degli inniti.
Ordine di innitesimo e innito di alcune funzioni di fondamantale importanza.
CONTINUITA'
Continuita' di una funzione. Continuita' a destra e a sinistra. Discontinuita'.
Discontinuita' delle funzioni monot
one. Continuita' delle funzioni a valori reali. Continuita' di alcune funzioni di particolare importanza. Teoremi di composizione e di
continuita' globale.
Teoremi di conservazione della compattezza, di Weierstrass, di continuita' dell'inversa di una funzione biiettiva e continua denita su un compatto.
Teoremi di conservazione della connessione, dei valori intermedi, di esistenza degli
zeri. Caratterizzazione della continuita' di una funzione monot
ona su un connesso di
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R le funzioni biiettive e continue su un connesso di R sono strettamente monot
one e
hanno inversa continua. Le inverse delle funzioni esponenziali, circolari ed iperboliche.
Continuita' uniforme. Lipschitzianita'. Teorema di Heine. Prolungabilita' per
continuita'.
LA DERIVAZIONE IN R
Denizioni e prime proprieta'. Derivabilita' e continuita'. Interpretazione geometrica del concetto di derivata. Regole di derivazione. Derivate delle principali
funzioni e delle loro inverse. Dierenziale e suo signicato geometrico.
TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
Crescenze e decrescenze locali. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle,
Lagrange (valore medio), Cauchy. Conseguenze del teorema del valore medio. Teoremi di L'Hospital. Ricerca di limiti di forme indeterminate con l'uso dei teoremi di
L'Hospital.
FORMULA DI TAYLOR { APPLICAZIONI
Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano. Calcolo di limiti con l'uso
della formula di Taylor con il resto di Peano. Formula di Taylor con il resto nella
forma di Schlomilch, Lagrange, Cauchy. Stima del resto. Formula di Mc Laurin.
Ricerca di massimi e minimi locali. Convessita' e concavita' in un punto, essi.
Asintoti. Studio di funzioni.
I NUMERI COMPLESSI
Denizioni. Operazioni sui numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei
numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei
numeri complessi. Potenze ad esponente intero, radici n-esime in C.
EQUAZIONI ALGEBRICHE
Polinomi. Principio di identita' dei polinomi. Divisione tra polinomi. M.C.D. tra
due polinomi. Teorema fondamentale dell'algebra. Equazioni algebriche a coecienti
reali. Zeri multipli. Decomposizione di una funzione razionale a coecienti reali
con zeri complessi semplici. Decomposizione di Hermite di una funzione razionale a
coecienti reali.
L'INTEGRAZIONE IN R SECONDO RIEMANN
Divisioni e funzioni a gradinata. L'integrale di una funzione a gradinata e sue
proprieta' di linearita', monotonia, additivita'. Integrali inferiore e superiore di una
funzione limitata. Integrale secondo Riemann e sue proprieta' di linearita', monotonia, additivita'. Criteri di integrabilita'. Integrabilita' delle funzioni continue e delle
funzioni monot
one integrabilita' delle funzioni limitate il cui insieme dei punti di discontinuita' e' nito o ha un numero nito di punti di accumulazione. Altre proprieta'
dell'integrale: funzioni che dieriscono in un numero nito di punti o in un insieme
che ha un numero nito di punti di accumulazione, relazione tra integrabilita' di f ed
integrabilita' di jf j, integrabilita' del prodotto. Signicato geometrico dell'integrale.
Teorema della media. Funzione integrale e sue proprieta'. Primitive in senso classico.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Cenni sulle primitive in senso generalizzato. Integrale indenito. Relazioni tra integrale indenito e classe delle primitive.
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Integrali indeniti delle principali funzioni. Integrazione per parti. Integrazione per
sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali di forma semplice. Integrazione
di una qualunque funzione razionale a coecienti reali. Integrazione di alcune funzioni
irrazionali. Integrazione di alcune funzioni trascendenti.
SERIE
Denizioni. La serie geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione
necessaria di convergenza. La serie armonica. Invarianza del carattere di una serie
per: alterazione di un numero nito dei suoi termini, moltiplicazione di ciascuno dei
suoi termini per una costante non nulla.
Serie a termini positivi: criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice, della serie di Cauchy. La serie armonica generalizzata.
Serie a termini alternativamente positivi e negativi. La serie armonica a segni
alterni.
Serie a termini di segno qualunque. Assoluta convergenza. Uso dei criteri delle
serie a termini positivi come criteri di assoluta convergenza.
Serie somma di due serie.
Proprieta' associativa delle serie convergenti e divergenti.
Proprieta' commutativa delle serie assolutamente convergenti. Teorema di Riemann-Dini.
Prodotto nel senso di Cauchy di due serie.
SVILUPPI IN SERIE DI TAYLOR
Condizioni per la sviluppabilita' in serie di Taylor. Le serie esponenziale, logaritmica, circolari, binomiale in campo reale.
Testi consigliati:
1) C.VINTI, Lezioni di Analisi Matematica (con esercizi svolti e proposti), Volume 1,
Galeno Editrice - Perugia - 1986.
2) C.DI BARI-P.VETRO, Analisi Matematica, Volume primo, Libreria Dante - Palermo - 1990.
3) P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, 10 Volume, parti
prima e seconda, Liguori Editore - 1988.
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