Analisi Matematica A (II modulo)
Programma svolto nell’A.A. 2012/13
Corsi di Laurea in Matematica e Fisica
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme di una
successione di funzioni, confronto delle due nozioni - conservazione della continuità attraverso la convergenza uniforme (*) - passaggio al limite sotto il
segno di integrale in ipotesi di convergenza uniforme (*) e di equilimitatezza
- passaggio al limite sotto il segno di derivata (*).
Serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale, confronto tra le varie nozioni - il criterio di Weierstrass (*)
per la convergenza uniforme - continuità della funzione somma (*) - serie di
potenze, il teorema del raggio di convergenza (*) e relativa formula (*) - serie
di Taylor, un criterio di sviluppabilità (*) - serie di Mc Laurin delle funzioni
fondamentali - integrazione (*) e derivazione (*) per serie - derivazione di una
serie di potenze, raggio di convergenza della serie derivata (*) - coincidenza
di una serie di potenze col la serie di McLaurin della sua funzione somma (*)
- cenni sulle serie in campo complesso - l’esponenziale complesso, formule di
Eulero.
Limiti e continuità per funzioni di due (o più) variabili. Elementi
di topologia nel piano, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti - proprietà di
Bolzano Weierstrass - caratterizzazione degli insiemi compatti (*) - insiemi
connessi - funzioni di due variabili: il concetto di limite e relative proprietà,
limiti direzionali e loro relazione col limite globale - funzioni continue e loro
proprietà: conservazione della compattezza (*), teorema di Weierstrass (*),
conservazione della connessione (proprietà di Darboux o dei valori intermedi).
Calcolo differenziale per funzioni di due (o più) variabili. Derivate
direzionali e parziali, differenziabilità, piano tangente al grafico, condizioni
necessarie (*) e sufficienti (*) per la differenziabilità - derivazione di una
funzione composta, o regola della catena (*) - retta tangente ad una curva
di livello - punti di estremo locale e loro ricerca: il teorema di Fermat in due
variabili (*) - Calcolo differenziale del II ordine: il teorema di Schwartz (*),
la formula di Taylor del II ordine (*), classificazione dei punti critici tramite
il determinante hessiano (*) - estremi vincolati, il principio della stazionarietà vincolata nelle sue equivalenti formulazioni - problemi di ottimizzazione:
metodi per la ricerca dei punti di estremo assoluto di una funzione di due
variabili su un dominio assegnato - cenni sul calcolo differenziale di ordine
superiore al secondo - funzioni di più variabili: cenni sulle principali nozioni,
classificazione dei punti critici mediante gli autovalori della matrice hessiana,
il principio della stazionarietà vincolata in dimensione n, applicazioni in tre
dimensioni: ricerca dei punti di estremo assoluto di una funzione di tre variabili su un dominio descritto da uguaglianze e/o disuguaglianze - esistenza
della soluzione nei problemi di distanza minima (*).
Integrali multipli. Integrale doppio secondo Riemann di una funzione
di due variabili, significato geometrico, proprietà fondamentali - misura di
Peano Jordan, insiemi trascurabili - condizione necessaria e sufficiente per
l’integrabilità - domini normali rispetto agli assi coordinati, domini semplici
- formule di riduzione - trasformazioni di coordinate, integrazione per sostituzione, significato geometrico del determinante jacobiano - coordinate polari
- integrazione in dimensione n, integrali tripli, domini normali e semplici in
IR3 - integrazione per fili e per strati, volume dei solidi di rotazione - coordinate sferiche - definizione di integrale generalizzato, dapprima nel caso di
funzioni non-negative, poi nel caso generale - criterio del confronto - discussione dell’esempio canonico kuk−p al variare del parametro p.
Nota. L’asterisco di fianco ad un argomento indica che su di esso è stata
svolta una dimostrazione (completa o parziale) che può essere richiesta in
sede di esame orale. Per eventuali, ulteriori chiarimenti è possibile scrivere
al docente tramite e-mail.
Testi di riferimento
A. Bacciotti, F. Ricci,
Lezioni di Analisi Matematica II, Levrotto e Bella, Torino.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,
Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli.
Testi di esercizi
S. Salsa, A. Squellati,
Esercizi di Analisi Matematica II, Parte Prima (Funzioni di più variabili e
ottimizzazione, serie numeriche e di funzioni), Ed. MASSON.
S. Salsa, A. Squellati,
Esercizi di Analisi Matematica II, Parte Seconda (Integrazione),
Ed. MASSON.
