Quesiti
1.
Lanciando una coppia di dadi cinque volte qual è la probabilità che si ottenga un punteggio
totale maggiore di sette almeno due volte?
2.
Un punteggio totale maggiore di sette vuol dire 8,9,10,11,12. Gli eventi sono disgiunti, quindi
cominciamo a calcolare
{(x ; y ): x+ y>7 }
L'evento complementare è quello in cui si ottiene un punteggio totale minore o uguale a 8 per 4
volte. Prendiamo in considerazione l'evento elementare in cui si lanciano due dadi e si ottiene un
punteggio totale minore di o uguale a 7. Calcoliamo la cardinalità dell'insieme
{(x ; y ): x+ y≤7 }= {(1 ; 1) ,(1 ; 2) ,( 1 ; 3) ,(1 ; 4) ,(1 ; 5) ,(1 ; 6) ,(2 ;1) ,(2 ; 2) ,(2 ; 3) ,( 2 ; 4) ,(2 ; 5) ,(3 ; 1) ,(3 ; 2) ,
6+5+4+3+2+1= 21 casi favorevoli
di conseguenza
p ( {( x ; y): x+ y≤7 }) =
21 7
=
36 9
a questo punto, possiamo calcolare la probabilità di avere 4 volte questo punteggio.
4
( )( ) ( )
p X ( 4)= 5
4
7
9
1−
7 5! 2401 2
2401 2 24010
=
=5⋅
⋅ =
9 4 ! 6561 9
6561 9 59049
e quindi la probabilità cercata è
1−
24010 35039
=
≃0,59
59049 59049
2. Considerata una parabola di equazione y=4−x 2 determina le equazioni delle rette
tangenti alla parabola nel punto di ascissa 2, e nel suo simmetrico rispetto all'asse di
simmetria della parabola.
La parabola è simmetrica rispetto all'asse y, ha vertice in (0;4) e passa per i punti (-2;0) e (2;0).
Con il metodo di sdoppiamento
y+ y 0
x+x 0
=ax 0 x+b
+c
2
2
y
=−2x+4
2
y=−4x+8
Analogamente, per il il punto (-2;0) la tangente alla parabola è
y=4x+8
3. Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nel punto [1,1,1] al piano di
equazione 2x+3y−z=0
I coefficienti direttori del piano [2,3,-1] rappresentano il vettore normale al piano. Di conseguenza, la
retta perpendicolare è data da
x−x P y−y P z−z P
=
=
=0
a
b
c
ovvero
x−1 y−1 z−1
=
=
2
3
−1
che restituisce la retta rappresentata da
{3x−3=2y−2
1−x=2z−2
ovvero
{3x−2y−5=0
x+2z−3=0
3. Data la funzione
{
x 3 se 0≤x≤2
Determinare i parametri h e k in modo che f(x) sia derivabile in tutto
x 2−kx +h se 2< x≤4
l'intervallo [ 0 ; 4 ]
f ( x )=
Se una funzione è derivabile, deve essere continua, quindi
lim ' x → 2 f (2)=lim ' ' x → 2 f (2)
ovvero
3
2
2 =2 −2k+h
e il limite destro e sinistro della derivata prima in 2 deve essere lo stesso, quindi
lim ' x → 2 f ' (2)=lim ' ' x → 2 f ' (2)
siccome
{
f ' ( x)=
3x 2 se 0≤x≤2
2x−k se 2< x≤4
deve essere
2
3⋅2 =2⋅2−k
da cui
8=4−2k+h
ossia {
{8=4−2k+h
12=4−k
k =−8
da cui
{8=4+16+h
k =−8
ossia
{h=−12
k =−8
5.
Determinare l’equazione dell’asintoto obliquo del grafico della funzione:
x
f ( x )=
1
x
2 +1
si ha che
m=lim x →∞
f (x)
=lim x →∞
x
1
1
x
2 +1
Calcoliamo
1
lim x → ∞ 2 x =2
e quindi
limx →∞
1
x
=2 0=1
m=1
calcoliamo
x
n=lim x →+∞ [ f (x )−mx ]=lim x →∞
1
x
−x=lim x →∞
2 +1
e quindi l'asintoto obliquo ha equazione
6. Risolvere la seguente equazione :
()( )
6 x = x +2
5
5
per definizione, l'equazione si riscrive
(x+2)!
6x !
=
5! ( x−5)! 5 ! (x−3)!
da cui
(x+2)(x+1)
6
=
(x−5)!
( x−3)!
e quindi
(x +2)(x+1)
6
=
( x−5) ! (x−3)( x−4)( x−5)!
y=x
x−x2− x−x
=0
2−x +1
da cui
6=
( x+2)( x+1)
( x−3)(x−4)
e quindi
6( x−3)(x−4)=( x+2)(x +1)
da cui
6( x 2−4x−3x+12)=x 2+ x+2x+2
ossia
6( x 2−7x+12)= x 2+3x+2
da cui
2
2
6x −42x+72= x +3x+2
ovvero
5x 2−45x+70=0
ossia
x 2−9x+14=0
e quindi
x=
9∓√ 81−56 9∓5
=
2
2
quindi
x=2∨x=7
1 2
1 2
f (x )= x ln (x )− x
2
4
dopo aver determinato il campo di esistenza ricerca l’eventuale asintoto verticale.
7) data la funzione
Il campo di esistenza è l'intervallo ] 0 ;+∞ [ . Per trovare un eventuale asintoto verticale,
calcoliamo
1
1
1
lim x → 0 x 2 ln (x )− x 2= lim x → 0 x 2 ln (x)=0
2
4
2
Quindi la funzione non ha asintoti verticali.
Determina, utilizzando la definizione, la derivata prima della seguente funzione:
y=sin 2x
e generalizza il risultato per
y=sin nx con n∈N .
Per definizione
y ' =lim h → 0
siccome
sin 2( x +h)−sin 2x
sin(2x+2h )−sin x
=lim h → 0
h
h
lim h → 0
sin nh
=n
h
allora
lim x → 0
sin 2x cos 2h+cos2x sin2 h−sin2 x
sin 2x
sin 2x
=lim h → 0
+2 cos2x−lim h → 0
=2 cos2x
h
h
h
Generalizzando la dimostrazione, la derivata prima della funzione
y=sen nx è
n cos nx
9. Un oggetto viene lanciato verso l’alto; supponendo che
h (t)=40t−2t
2
sia la legge oraria del suo moto espressa in metri, determina la funzione velocità e la quota massima
raggiunta dall’oggetto.
La funzione velocità è la derivata prima di h.
h ' (t )=40−4t=4(10−t)
La quota massima è il massimo assoluto della funzione, raggiunto per t=10, ovvero
h (10)=400−200=200
10. Analizza il grafico della funzione
y=
∣x−2∣
ln( x−1) e studiane i punti di discontinuità
x−2
c'è un punto angoloso nel punto x=2 mentre il dominio è ] 1 ; 2 [∪] 2 ;+∞ [ . Dal grafico si deduce che
la funzione si può prolungare per continuità in 2, ponendo y(2)=0
