Programma effettivamente svolto di MATEMATICA I

Programma del
Corso integrato di Analisi Matematica, Geometria ed Algebra lineare
modulo di Analisi 1
Anno Accademico 2010- 2011
Testo utilizzato: Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
0. Nozioni elementari di logica. Implicazioni, condizione necessaria, sufficiente, necessaria
e sufficiente. Dimostrazione diretta, indiretta e per assurdo.
1. Introduzione alla teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Numeri reali. Irrazionalità di radice
di 2 (*). Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Insiemi superiormente
limitati ed inferiormente limitati. Estremo superiore ed estremo inferiore, assioma di
continuità (o proprietà dell’estremo superiore). Convenzione per l'estremo superiore e
l'estremo inferiore di insiemi illimitati. Valore assoluto.
2. Numeri complessi. Forma algebrica. Somma e prodotto di numeri complessi. Coniugato e
modulo di un numero complesso. Determinazione dell'inverso. Quoziente di numeri
complessi. Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Gauss. Parte reale e parte
immaginaria. Interpretazione geometrica della somma. Argomento di un numero complesso.
Forma trigonometrica. Formule di De Moivre: prodotto di numeri complessi in forma
trigonometrica (*); potenza n-esima di un numero complesso (*). Radice n-esima di un
numero complesso (*).
3. Generalità sulle funzioni: dominio, codominio e grafico. Funzioni inferiormente e
superiormente limitate. Funzioni suriettive e funzioni iniettive. Funzione composta e funzione
inversa. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Funzioni iperboliche.
4. Successioni numeriche. Definizione di limite di una successione. Primi esempi. Verifiche
di limite. Teorema di unicità del limite(*). Definizione di limite +∞ e -∞. Ogni successione
convergente è limitata (*). Successioni irregolari. Successioni monotone. La successione
geometrica. Definizione di infinito e infinitesimo. Teorema sull'algebra dei limiti. Esempi di
applicazione. Estensione del teorema sul calcolo dei limiti a successioni divergenti. Esempi.
Calcolo di Limiti. Forme Indeterminate. Teorema del confronto (*). Teorema di permanenza
del segno. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (*). Limite di (1+1/n)n :
definizione del numero “e”. Confronto fra infiniti e fra infinitesimi. Definizione di asintotico.
Utilizzo dell'asintotico nel calcolo dei limiti. Limiti con infiniti. Limiti con infinitesimi. Principio
di sostituzione degli infiniti ed infinitesimi. Gerarchia degli infiniti.
5. Funzioni reali di variabile reale. Definizione (tramite le successioni) di limite al finito e
all’infinito per funzioni. Definizione topologica di limite (con epsilon-delta).
Limite destro e limite sinistro. Funzioni asintotiche ed esempi. Funzioni infinite. Algebra dei
limiti, teorema del confronto, di permanenza del segno; cambiamento di variabile nei limiti,
forme di indecisione. Limiti notevoli (*). Scala degli infiniti per funzioni. Funzioni infinitesime.
Scala degli infinitesimi. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Caratterizzazione degli
asintoti obliqui (*). Definizione di continuità. Teorema sulla continuità delle funzioni
elementari. Teorema sulla continuità di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue.
Teorema sulla continuità della funzione composta. Classificazione dei punti di discontinuità.
Grafici locali delle funzioni tramite l'uso degli asintotici. Teorema degli zeri (*). Teorema di
Weierstrass. Corollario dei valori intermedi (*). Funzioni inverse. Ogni funzione strettamente
monotona è invertibile e l'inversa è strettamente monotona. La condizione non è necessaria,
esempi. Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo. Arcsen,
Arccos, Arctan.
6. Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica: definizione della retta tangente.
Continuità delle funzioni derivabili (*). Derivate da destra e da sinistra, punti angolosi, punti a
tangente verticale e punti di cuspide. Derivate delle funzioni elementari (x α, ex, log(x), sen(x),
cos(x)) (*). Teorema sul calcolo delle derivate di somme, prodotti e quozienti (*).
Derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa. Derivate di
arcsen(x), arccos(x) ad arctan(x) (*). Definizione di massimo e minimo locale ed assoluto.
Teorema di Fermat (*) e definizione di punto stazionario. Teorema di Rolle (*), Teorema di
Lagrange (*). Crescere e decrescere di una funzione. Test di monotonia (*).
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla (*). Derivate di ordine superiore. Concavità e
convessità. Punti di flesso. Relazione tra convessità e monotonia della derivata prima.
Relazione tra convessità e segno della derivata seconda (*). Teorema di de L'Hôpital.
Definizione di “o piccolo”. Formula di Taylor con resto secondo Peano e resto secondo
Lagrange. Utilizzo della formula di Taylor per il calcolo di limiti in forma di indecisione. Cenni
al metodo di Newton per la determinazione di uno zero di una funzione.
7. Serie numeriche: definizione di somma parziale e di serie. Definizione di convergenza.
Serie divergenti ed oscillanti. Serie di Mengoli e serie telescopiche. Convergenza della serie
geometrica (*). Condizione necessaria per la convergenza (*). Serie a termini non negativi.
Criterio del confronto per le serie (*). Criterio del confronto asintotico. Carattere delle serie
armoniche generalizzate. Criterio del rapporto e della radice. Serie a termini di segno
qualunque. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Convergenza della serie
esponenziale (*) Criterio della convergenza assoluta. Esemplificazione del fatto che il criterio
è solo sufficiente. Criterio di Leibniz.
8. Definizione di integrale definito: somme di Cauchy-Riemann. Teorema di esistenza del
limite per funzioni continue e per funzioni monotone limitate. Proprietà dell'integrale
(linearità, additività e monotonia). Teorema della media integrale. Primitive e loro proprietà.
Funzione integrale e sua derivata (*) Teorema fondamentale del calcolo integrale (*).
Integrazione per parti (*). Integrazione per sostituzione (*). Integrazione delle funzioni
razionali fratte.
Definizione di integrale generalizzato su intervallo limitato e illimitato. Integrale della
funzione x-α su [0,1] e su [1, +infinito) al variare di α (*). Criteri di integrabilità per funzioni
positive: criterio del confronto e del confronto asintotico. Esempi.
(*) denota teoremi e proprietà di cui si richiede anche la dimostrazione.