T olomeo
Bernoulli
Eulero
F ourier
Gauss
Abel
Dirichlet
Riemann
Gibbs
Cantor
M ichelson
P oincare
Leonardo Colzani
QUALCHE TEOREMA SULLE SERIE TRIGONOMETRICHE
1
Il moto retrogrado di Marte
contro il cielo delle stelle …sse
Joanne Keplero ”Astonomia Nova”
Secondo Apollonio di Perga (III secolo a.C.), Ipparco di Rodi (II secolo
a.C.), Tolomeo (II secolo d.C.), ed altri, il moto dei pianeti intorno alla Terra
è composizione di moti quasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intorno
al Sole si somma il moto del Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A e
B e periodi di rivoluzione e , l’orbita è
P
T = (P
S) + (S
T ) = A exp
2 i
t + B exp
2 i
t :
Per esempio, l’anno marziano è 1,88 volte quello terrestre e la distanza media
di Marte dal sole è 1,52 volte la distanza del Sole dalla Terra. Quindi l’orbita
di Marte rispetto alla Terra è circa exp (2 it) + (1; 52) exp (2 it= (1; 88)). Di
fatto c’è una certa discrepanza tra questa teoria e le osservazioni e, per vincere
la sua guerra con Marte, Keplero (1571-1630) formula l’ipotesi di moti non
uniformi su orbite ellittiche. Un modo alternativo per far tornare i conti è
di aggiungere termini alla serie, A exp (i t) + B exp (i t) + C exp (i t) + :::.
L’astronomo Giovanni Schiaparelli (1835-1910) osserva che con un sistema di
epicicli abbastanza complicato è possibile descrivere con buona approssimazione
qualsiasi moto. Più in generale, ogni fenomeno periodico o quasi periodico può
essere scomposto in somma di funzioni sinusoidali con frequenze multiple delle
frequenze fondamentali che sono causa del fenomeno. Una precisa de…nizione
di funzione, di convergenza, di integrale, la teoria degli insiemi, e tanti altri
concetti matematici, hanno una origine conune: le serie trigonometriche, Si
vuole presentare qualche teorema di Eulero, Dirichlet, Riemann, Cantor, ed
altri, cercando di seguire più o meno fedelmente le dimostrazioni originali.
2
Leonhardo Eulero
SULLA DETERMINAZIONE DI UNA
SUCCESSIONE, UN NUOVO METODO
PER TROVARE I TERMINI GENERALI
DI UNA SUCCESSIONE
Se un teorema ha un nome, non è stato lui. Almeno non sempre. Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) il 21 Dicembre 1807 presenta al Institut de
France un manoscritto ”Sur la propagation de la chaleur”, ed una versione riveduta e corretta ”Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides”,
con il sottotitolo ”Et ignem regunt numeri (Plato)”, viene ripresentata il 28
Settembre 1811. La memoria viene premiata, ma per delle riserve sul rigore
non viene pubblicata. Solo nel 1822 Fourier riesce a pubblicare la ”Théorie analytique de la chaleur”. In quest’opera Fourier introduce l’equazione del calore
@u=@t = k @ 2 u=@x2 + @ 2 u=@y 2 + @ 2 u=@z 2 , che risolve con il metodo di separazione delle variabili sviluppando in serie di seni e coseni le soluzioni. Ma
non è stato lui il primo a de…nire le serie che ora portano il suo nome. Le serie
trigonometriche compaiono molto presto in calcoli astronomici, gli epicicli di
Apollonio, Ipparco, e Tolomeo, sono serie trigonometriche, e queste serie compaiono anche in altri problemi di …sica matematica. Nel XVIII secolo Brook Taylor (1685-1731), Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhardo Eulero (1707-1783),
Jean Baptiste Le Ronde d’Alembert (1717-1783), Giuseppe Lodovico Lagrangia
(1736-1813), sviluppano un modello matematico per le vibrazioni di una corda,
@ 2 y=@t2 = v 2 @ 2 y=@x2 . Nelle ”Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration, 1747&1750” d’Alembert ricava e risolve l’equazione delle
onde, y = ' (x + vt) + (x vt). Eulero osserva che le vibrazioni della corda
risultano univocamente determinate dalla posizione e velocità iniziali. Taylor
osserva che le funzioni y = cos ( nvt=L) sin ( nx=L) soddisfano l’equazione delle
onde con le condizioni al bordo y (0) = y (L) = 0, in accordo con l’osservazione
sperimentale che le vibrazioni di una corda hanno una frequenza fondamentale, delle frequenze doppie, triple,... Di fatto, tutte queste frequenze possono
coesistere contemporaneamente. Nelle ”Ré‡exions et éclaircissemens sur les
nouvelles vibrations des cordes exposées dans les mémoires de l’Académie de
1747&1748” Bernoulli congettura il suono è superposizione di armoniche e che
tutte le possibili vibrazioni di una corda di lunghezza L sono superposizione di
vibrazioni sinusoidali,
A sin
x
cos
L
vt + a
+B sin
L
2 x
L
cos
2 vt + b
+C sin
L
3 x
L
cos
3 vt + c
+:::
L
In particolare, se le soluzioni di d’Alembert e Bernoulli fossero le stesse, ogni
3
funzione avrebbe uno sviluppo in serie trigonometriche. Questo provoca una
vivace controversia. Anche Lagrange studia il problema, e costruisce delle serie
trigonometriche …nite che interpolano una funzione in una successione …nita di
punti equidistanti, ma non passa dal …nito all’in…nito.
Nel 1750 Eulero presenta all’Academiae Scientiarum Petropolitanae la memoria ”Methodus aequationes di¤ erentiales altiorum graduum integrandi ulterius
promota”, con una ricetta per risolvere le equazioni di¤erenziali a coe¢ cienti
costanti non omogenee,
Ay (x) + B
d2
d
y (x) + C 2 y (x) + ::: = X (x) :
dx
dx
Se le radici f j g del polinomio P (z) = A +Bz +Cz 2 +::: sono tutte distinte,
e se fyj (x)g sono le soluzioni dell’equazione di¤erenziale del prim’ordine
d
yj (x)
dx
yj (x) = exp (
j yj
j x)
Z
(x) = X (x) ;
X (x) exp (
j x) dx;
la soluzione dell’equazione di partenza è una superposizione di queste soluzioni
parziali,
X
y (x) =
yj (x) =P 0 ( j ) :
j
Infatti, in notazione operatoriale,
P (d=dx) y (x) =
X
j
0
X
=@
j
P0
P0 (
P (d=dx)
( j ) (d=dx
P (d=dx)
j ) (d=dx
j)
j)
(d=dx
j ) yj
(x)
1
A X (x) :
Basta poi osservare che P (z) =P 0 ( j ) (z
j ) è il polinomio di interpolazione che vale 1 in z = j e vale 0 in z = i se i 6= j. Quindi,
X
j
P0
P (z)
( j ) (z
j)
= 1:
Eulero considera anche le equazioni con radici multiple o complesse, e nella
memoria seguente anche delle equazioni di¤erenziali di ordine in…nito. Questa
memoria, ”De serierum determinatione seu nova methodus inveniendi terminos
generales serierum”, contiene dieci problemi. Il nono è sull’equazione
y (x)
y (x
1) = X (x) :
È chiaro che una funzione arbitraria in un intervallo unitario può essere
estesa ad una soluzione. Ma forse questo concetto di soluzione è estraneo ad
Eulero, che cerca una espressione analitica e procede diversamente.
4
”Problema IX. Trovare i termini di una successione i cui termini sono uguali
ai precedenti più una data funzione dello stesso indice.
Se il termine di indice x è y (x), il suo antecedente è
y (x
1 d
1 d2
y (x)
y (x) +
1 dx
1 2 dx2
1) = y (x)
Essendo la legge della progressione y (x) = y (x
X (x) =
1
d3
y (x) + :::
1 2 3 dx3
1) + X (x), si ha
1
d2
d3
y
(x)
+
y (x)
1 2 dx2
1 2 3 dx3
1 d
y (x)
1 dx
1
:::
... Ponendo z n al posto di dn y=dxn si ha l’espressione
Z=
z
1
z2
z3
+
1 2 1 2 3
::: = 1
exp ( z) ;
di cui si cercano tutti i fattori. Il primo è z e gli altri sono z 2
fattore z 0 nasce la parte integrale
Z
y (x) = X (x) dx + etc:
4
2 2
k . Dal
... Dal fattore z 2 4 2 k 2 nasce la parte integrale...
Z
Z
y (x) = 2 cos (2 kx) cos (2 kx) X (x) dx + 2 sin (2 kx) sin (2 kx) X (x) dx:
Sommando tutti i valori ottenuti al variare di k, si ottiene il termine generale
cercato:
Z
y (x) = X (x) dx+
Z
Z
8
>
< 2 cos (2 x) cos (2 x) X (x) dx + 2 cos (4 x) cos (4 kx) X (x) dx + :::
Z
Z
>
: 2 sin (2 x) sin (2 x) X (x) dx + 2 sin (4 x) sin (4 kx) X (x) dx + :::
Q.E.I.”
In questa dimostrazione, il polinomio P (z) della prima memoria è sostituito
dalla funzione 1 exp ( z), con radici semplici
f2 ing e con derivata 1 in questi
X
punti. Si può mostrare che la formula
P (z) =P 0 ( j ) (z
j ) = 1 valida per
j
un polinomio, per la funzione 1
+1
X
1
j= 1
exp ( z) diventa
exp ( z)
1 + exp ( z)
=
:
(z 2 ij)
2
5
Quindi la soluzione di Eulero è
y (x)
y (x
1) =
1 + exp ( d=dx)
X (x) + X (x
X (x) =
2
2
1)
:
Se X (x) è periodica di periodo 1 il conto torna. Questa la dimostrazione
richiede l’analiticità della funzione y (x) e di X (x) = y (x) y (x 1), ma la
formula …nale richiede solo l’integrabilità di X (x). In…ne, se X (x) è periodica
di periodo 1, da X (x) = y (x) y (x 1) si ricava
X (x) =
+1
X
n=1
2 cos (2 nx)
Z
Z
1
X (y) dy+
0
1
cos (2 ny) X (y) dy + 2 sin (2 nx)
0
Z
1
sin (2 ny) X (y) dy :
0
Questa stessa formula è trovata in altro modo da A.Clairaut (1713-1765)
nella memoria del 1754 ”Sur l’orbite apparente du Soleil autour de la terre, en
ayant égard aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètes
principales”, come limite di polinomi trigonometrici di interpolazione.
6
Johann Carl Friedrich Gauss
LA TEORIA DELL’INTERPOLAZIONE
TRATTATA CON UN NUOVO METODO
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) non diviene famoso per le ”Disquisitiones Arithmeticae”, il suo capolavoro pubblicato nel 1801, ma grazie alla
scoperta dell’astronomo Giuseppe Piazzi (1746-1826):
”Risultati delle osservazioni della nuova stella scoperta il dì primo gennaio all’Osservatorio Reale di Palermo - Palermo 1801. Già da nove anni
travagliando io a veri…care le posizioni delle stelle che si trovano raccolte ne’
vari Cataloghi degli astronomi, la sera del primo gennaio dell’anno corrente,
tra molte altre cercai la 87.a del Catalogo delle stelle zodiacali dell’Abate La
Caille. Vidi pertanto che era essa preceduta da un’altra, che secondo il costume,
volli osservare ancora, tanto maggiormente, che non impediva l’osservazione
principale. La sua luce era un poco debole, e del colore di Giove, ma simile a
molte altre, che generalmente vengono collocate nell’ottava classe rispetto alla
loro grandezza. Non mi nacque quindi alcun dubbio sulla di lei natura. La sera
del due replicai le mie osservazioni, e avendo ritrovato, che non corrispondeva
né il tempo, né la distanza dallo zenit, dubitai sulle prime di qualche errore
nell’osservazione precedente: concepii in seguito un leggiero sospetto, che forse
esser potesse un nuovo astro. La sera del tre il mio sospetto divenne certezza,
essendomi assicurato che essa non era Stella …ssa. Nientedimeno, avanti di
parlarne aspettai la sera del 4, in cui ebbi la soddisfazione di vedere, che si era
mossa colla stessa legge che tenuto aveva nei giorni precedenti.”
Piazzi non riesce ad osservare il nuovo pianeta Ceres abbastanza a lungo per
determinarne l’orbita, perché scompare entrando in congiunzione col Sole. Ciò
nonostante, con i pochi dati pubblicati Gauss riesce in breve tempo a ritrovarlo.
Sempre nel 1801 si scopre Pallas, poi Juno nel 1804 e Vesta nel 1807. I diari di
Gauss nel 1796 contengono le annotazioni ”Formula interpolationis elegans”(44)
e ”Formulae trigonometricae per series expressae” (46), e nel 1805 ”Theoriam
interpolationis ulterius excoluimus” (124). Nel manoscritto ”Theoria interpolationis methodo novo tractata”, databile al 1805, Gauss costruisce una serie
trigonometrica che interpola l’orbita di Pallas. L’ascensione retta x, la longitudine sulla sfera celeste, è misurata in gradi e la declinazione y, la latitudine
sulla sfera celeste, è misurata in primi.
7
x=
y=
0
408
30
89
60
66
90
10
120
338
y = 780; 6
411; 0 cos (x) 720; 2 sin (x)
+43; 4 cos (2x) 2; 2 sin (2x)
4; 3 cos (3x) + 5; 5 sin (3x)
1; 1 cos (4x) 1; 0 sin (4x)
+0; 3 cos (5x) 0; 3 sin (5x)
+0; 1 cos (6x) :
150
807
180
1238
210
1511
0
100
240
1583
270
1462
300
1183
y 1500
1000
500
0
200
300
x
Di fatto, le serie trigonometriche …nite che interpolano una funzione in una
successione …nita di punti equidistanti compaiono già negli studi sulla corda vibrante di Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-1813). Dati N +1 punti nel piano
con ascisse distinte, esiste un polinomio algebrico di grado N che passa per questi
punti. Similmente, per 2N +1 punti esiste un polinomio trigonometrico di grado
N per questi punti, e si può calcolare questo polinomio risolvendo un sistema
di equazioni lineari. Ad ogni funzione f (x) in 1=2 x 1=2 si può associare
N
N
il suo campionamento ff (k=(2N + 1))gk= N nei punti fk=(2N + 1)gk= N , ed
a questo campionamento si può associare una serie di Fourier …nita
!
N
N
X
X
1
k
2 ijk
f
exp
exp(2 ijx)
2N + 1
2N + 1
2N + 1
j= N
k= N
0
1
N
N
X
X
k
k
@ 1
A
exp 2 ij x
f
=
2N + 1
2N + 1
2N + 1
j= N
k= N
=
N
X
f
k= N
k
2N + 1
Si ha
sin( ((2N + 1)x k))
(2N + 1)x k
(2N + 1) sin
2N + 1
sin( ((2N + 1)x k))
(2N + 1)x k
(2N + 1) sin
2N + 1
:
0 se x = j=(2N + 1) con j 6= k,
1 se x = k=(2N + 1).
=
Quindi il polinomio trigonometrico interpola la funzione nei punti del campionamento. In…ne, per N
+1 si riconosce lo sviluppo in serie di Fourier,
9
8
!
N
N
< X
=
X
1
k
2 ijk
lim
f
exp
exp(2 ijx)
N +1 :
;
2N + 1
2N + 1
2N + 1
j= N
k= N
!
Z 1=2
N
X
=
f (y) exp ( 2 ijy) dy exp (2 ijx) :
j= N
1=2
8
330
804
Comunque, nè Lagrange nè Gauss considerano questo limite all’in…nito. Nel
calcolo di un coe¢ ciente del polinomio di interpolazione compaiono 2N somme
e 2N + 1 prodotti, quindi un calcolo brutale dei 2N + 1 coe¢ cienti di Fourier
richiede circa 8N 2 operazioni. Però Gauss scopre un modo furbo di calcolare questi coe¢ cienti di Fourier, che abbatte in modo drastico il numero di
operazioni. E questa trasformata di Fourier rapida è riscoperta nel 1965 da
J.W.Cooley e J.W.Tukey.
Teorema: Per una data funzione f (x) in 0 x 1 ed un intero positivo
N , sia
N
X1
F (N; k) =
f (j=N ) exp (2 ikj=N ) :
j=0
(1) Se per una generica f (x) è possibile e¤ ettuare il calcolo degli N coe¢ ciN 1
enti di Fourier fF (N; k)gk=0 con non più di X (N ) addizioni o moltiplicazioni,
MN
allora è anche possibile calcolare gli M N coe¢ cienti di Fourier fF (M N; k)gk=0
con non più di M N + M X (N ) + N X (M ) addizioni o moltiplicazioni.
N 1
(2) Il calcolo dei coe¢ cienti di Fourier fF (N; k)gk=0 quando N = 2n non
richiede più di 2N log2 (N ) = 2n2n addizioni o moltiplicazioni.
MN 1
Dimostrazione: (1) Decomponendo il vettore ff (j=M N )gj=0
1
e la sua
MN 1
fF (M N; w)gw=0
trasformata di Fourier
secondo gli indici j = hM + k e
w = aN + b, si può ridurre il calcolo di una trasformata di Fourier su M N punti
al calcolo di due trasformate di Fourier su M e N punti,
F (M N; aN + b) =
M
X1NX1
f ((hM + k) =M N ) exp (2 i (aN + b) (hM + k) =M N )
k=0 h=0
=
M
X1
exp (2 ibk=M N )
k=0
N
X1
!
f (h=N + k=M N ) exp (2 ibh=N ) exp (2 iak=M ) :
h=0
Per ipotesi, per un dato k, si può calcolare la trasformata di Fourier di
N 1
ff (h=N + k=M N )gh=0 con X (N ) operazioni. Questo vettore deve essere moltiplicato per exp (2 ibk=M N ), e con queste moltiplicazioni il parziale delle operazioni sale a N + X(N ). Ripetendo queste operazioni per ogni 0
k <
M 1, si arriva a M N + M X (N ) operazioni. Rimangono poi da calcolare N ,
una per ogni 0
b < N 1, trasformate di Fourier di ordine M , e questo
richiede N X(M ) operazioni. Il totale del numero di operazioni è arrivato a
M N + M X (N ) + N X(M ).
(2) Il calcolo di fF (2; 0); F (2; 1)g richiede una somma ed una sottrazione,
F (2; 0) = f (0) + f (1=2);
F (2; 1) = f (0)
Quindi X (2) = 2. Per induzione, assumendo X (2n )
si ricava che
X 2n+1
2n+1 + 2n X (2) + 2X (2n )
9
f (1=2):
2n2n , dal punto (1)
2n+2 + 4n2n = 2(n + 1)2n+1 :
Per esempio, se N = 1024 = 210 il calcolo brutale dei coe¢ cienti di Fourier
richiede circa otto milioni di operazioni, mentre il calcolo furbo ne richiede circa
ventimila.
10
Lejeune Dirichlet
SULLA CONVERGENZA DELLE
SERIE TRIGONOMETRICHE CHE
SERVONO A RAPPRESENTARE
UNA FUNZIONE ARBITRARIA
ENTRO DATI LIMITI
Nel 1822 Joseph Fourier (1768-1830) pubblica la ”Teoria analitica del calore”,
dove risolve un certo numero di equazioni di¤erenziali con il metodo di separazione delle variabili scomponendo le soluzioni in serie trigonometriche ed enuncia un principio generale: ”Le funzioni arbitrarie, anche discontinue, possono
essere sempre rappresentate da sviluppi in seni o coseni di archi multipli”. In
particolare, nell’Articolo 235 compare la formula
Z
1 + cos :x cos : + cos :2x cos :2 + cos :3x cos :3 + etc:
Fx = F d
2 + sin :x sin : + sin :2x sin :2 + sin :3x sin :3 + etc:
Z
1
= F d
+ cos :x
+ cos :2x
+ cos :3x
+ etc: :
2
Fourier ottiene questi sviluppi in serie risolvendo un sistema in…nito di
equazioni lineari. Se f (x) è una funzione dispari in
< x < + , e se
f 0 (0) = A, f 000 (0) = B, f 00000 (0) = C,...,
a sin (x) + b sin (2x) + c sin (3x) + ::: = f (x) ;
a + 2b + 3c + ::: = f 0 (0) ;
a + 23 b + 33 c + ::: = f 000 (0) ;
a + 25 b + 35 c + ::: = f 00000 (0) ; :::
Si può risolvere il sistema delle prime N equazioni nelle prime N incognite, ponendo tutte le altre incognite uguali a zero, e calcolando il limite per
N
+1 si ottiene lo sviluppo completo. Però la dimostrazione rigorosa che
ogni funzione su¢ cientemente regolare ha uno sviluppo in serie trigonometriche
non è di Fourier, ma di Lejeune Dirichlet (1805-1859), che nel 1829 pubblica una
memoria ”Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent a représenter une fonction arbitraire entre des limites données”. Dopo aver criticato delle
precedenti presunte dimostrazioni, Dirichlet enuncia il suo teorema.
Teorema: Se f (x) è una funzione periodica con periodo 1, limitata e con
un numero …nito di massimi e minimi in 1=2 x < 1=2, allora in ogni punto
11
x,
N
lim
+1
(
Z
+N
X
n= N
!
1=2
)
f (y) exp ( 2 iny) dy exp (2 inx)
1=2
= lim
"
f (x
0
") + f (x + ")
2
:
Dimostrazione: Sommando una serie geometrica si ottiene
!
Z 1=2
+N
X
f (y) exp ( 2 iny) dy exp (2 inx)
1=2
n= N
=
Z
=
1=2
f (y)
1=2
Z
exp (2 in (x
n= N
1=2
f (y)
1=2
+N
X
!
y)) dy
sin( (2N + 1) (x y))
dy:
sin( (x y))
Con una traslazione si può assumere x = 0. Basta quindi mostrare che
Z 0
1
sin( (2N + 1)y)
dy =
lim ff (")g se a < 0,
lim
f (y)
" 0
N +1
sin(
y)
2
(Za
)
b
1
sin( (2N + 1)y)
lim
dy =
lim ff (")g se b > 0,
f (y)
N +1
sin(
y)
2 " 0+
0
(Z
)
d
sin( (2N + 1)y)
lim
f (y)
dy = 0 se c < d < 0 o 0 < c < d.
N +1
sin( y)
c
In particolare, spezzando la funzione negli intervalli in cui è monotona, basta
mostrare che se f (x) è monotona in 0 a < x < b
=2,
(Z
) (
1
b
sin( (2N + 1)x)
limx 0+ ff (x)g se a = 0,
lim
f (x)
dx =
2
N +1
sin( x)
a
0 se a > 0.
Per semplicità si consideri prima il caso a = 0 e b = 1=2. Assumendo
f (x) continua positiva decrescente in 0
x
1=2, spezzando l’intervallo di
integrazione nei punti fn= (2N + 1)g ed applicando il teorema della media negli
intervalli ottenuti si ha
Z 1=2
sin( (2N + 1)x)
f (x)
dx
sin( x)
0
!
Z (n+1)=(2N +1)
N
X1
sin( (2N + 1)x)
=
f ((n + #) = (2N + 1))
dx
sin( x)
n=(2N +1)
n=0
Z 1=2
sin( (2N + 1)x)
+f (1=2 #)
dx:
sin( x))
N=(2N +1)
12
Se f (x) non è continua vale una formula simile, con f ((n + #) = (2N + 1)) un
opportuno valore tra gli estremi inferiore e superiore di f (x) in n= (2N + 1) <
x < (n + 1) = (2N + 1). I termini della somma hanno segni alterni e modulo
decrescente e, per la disuguaglianza sin(x) > 2x= in 0 < x < =2, questi
termini sono dominati da
Z (n+1)=(2N +1)
sin( (2N + 1)x)
dx
jf ((n + #) = (2N + 1))j
sin( x)
n=(2N +1)
Z
sup0 x 1=2 fjf (x)jg (n+1)=(2N +1)
sup0 x 1=2 fjf (x)jg
jsin( (2N + 1)x)j dx
:
sin( n= (2N + 1)) n=(2N +1)
n
Quindi, ricordando che una somma di termini con segni alterni e modulo
decrescente è limitata dal primo termine, per ogni M < N si ha
!
Z (n+1)=(2N +1)
N
X1
sin( (2N + 1)x)
f ((n + #) = (2N + 1))
dx
sin( x)
n=(2N +1)
n=M
Z 1=2
sin( (2N + 1)x)
dx
+f (1=2 #)
sin( x))
N=(2N +1)
sup0
fjf (x)jg
:
M
x 1=2
Questa stima non dipende da N , e si può rendere piccola a piacere pur di
prendere M su¢ cientemente grande. Posto poi f (0+) = limx 0+ ff (x)g, si ha
!
Z (n+1)=(2N +1)
M
X1
sin( (2N + 1)x)
f ((n + #) = (2N + 1))
dx
sin( x)
n=(2N +1)
n=0
! Z
!
N
1=2
X1 Z (n+1)=(2N +1) sin( (2N + 1)x)
sin( (2N + 1)x)
dx +
dx
= f (0+)
sin( x)
sin( x))
n=(2N +1)
N=(2N +1)
n=0
! Z
!
N
1=2
X1 Z (n+1)=(2N +1) sin( (2N + 1)x)
sin( (2N + 1)x)
f (0+)
dx +
dx
sin( x)
sin( x))
n=(2N +1)
N=(2N +1)
n=M
!
Z (n+1)=(2N +1)
M
X1
sin( (2N + 1)x)
+
(f ((n + #) = (2N + 1)) f (0+))
dx :
sin( x)
n=(2N +1)
n=0
Il primo termine è uguale a
f (0+)
=
1
f (0+)
2
Z
Z
1=2
0
1=2
1=2
+N
X
n= N
sin( (2N + 1)x)
dx
sin( x))
!
exp (2 inx) dx dx =
13
1
f (0+) :
2
Il secondo termine è una somma di termini a segni alterni con modulo decrescente, ed è dominato dal primo termine,
jf (0+)j
Z
(n+1)=(2N +1)
n=(2N +1)
sin( (2N + 1)x)
dx
sin( x)
jf (0+)j
:
M
Questa quantità si può rendere piccola a piacere pur di prendere M su¢ cientemente grande. Il terzo termine è dominato da
M
X1
n=0
jf ((n + #) = (2N + 1))
f (0+)j
M
sup
0<x<M=(2N +1)
fjf (x)
f (0+)jg :
Fissato M , questa quantità si può rendere piccola a piacere pur di prendere N
su¢ cientemente grande. La stessa dimostrazione mostra che se f (x) è monotona
positiva e decrescente in 0 < a x b 1=2, allora
)
(Z
b
sin( (2N + 1)x)
dx = 0:
lim
f (x)
N +1
sin( x)
a
In…ne, siccome il risultato vale per funzioni costanti, sostituendo se necessario una nuova funzione c f (x), si può assumere f (x) positiva decrescente
in a < x < b.
Vista l’importanza del risultato, ci permettiamo di accennarne un altra dimostrazione.
Nel 1900 L.Fejér dimostra che le medie aritmetiche delle somme parziali
della serie di Fourier di una funzione integrabile convergono in ogni punto di
continuità:
SN f (x) =
+N
X
n= N
fb(n) exp (2 inx) ;
+N
X
S0 f (x) + S1 f (x) + ::: + SN f (x)
=
N +1
jnj
N +1
1
n= N
N
lim
+1
S0 f (x) + S1 f (x) + ::: + SN f (x)
N +1
= lim
"
0
f (x
fb(n) exp (2 inx) ;
") + f (x + ")
2
Questo risultato segue facilmente dalla rappresentazione integrale
S0 f (x) + S1 f (x) + ::: + SN f (x)
N +1
Z 1=2
2
sin( (N + 1) (x y))
1
f (y)dy:
=
N + 1 1=2
sin( (x y))
14
:
Nel 1909 G.H.Hardy dimostra che se S (N ) =
N
X
n=0
allora
N
lim fS (N )g =
+1
N
lim
+1
a (n) e se ja (n)j
S (0) + S (1) + ::: + S (N )
N +1
c=n,
:
In…ne, i coe¢ cienti di Fourier di una funzione limitata e monotona a tratti
c= jnj. Infatti se f (x) è monotona in un intervallo
veri…cano la stima fb(n)
a x b, per il teorema della media esiste a # b tale che
= f (b)
= f (b)
Z
Z
Z
f (x) cos (2 nx) dx
a
b
cos (2 nx) dx
a
b
f (a) (sin (#)
Z bZ
Z
x
cos (2 ny) dy
a a
#
Z
d
f (x) dx
dx
b
d
f (x) dx
a
a dx
sin (a)) + f (b) (sin (b) sin (#))
:
2 n
cos (2 nx) dx
a
=
b
cos (2 ny) dy
Nel 1881 C.Jordan mostra che il teorema di Dirichlet si applica anche alle funzioni a variazione limitata. Infatti ogni funzione a variazione limitata è somma di
due funzioni monotone, una crescente ed una decrescente. Inoltre, se la funzione
è a variazione limitata e continua in un intervallo, la serie di Fourier converge
uniformemente in ogni sottointervallo interno. In…ne, nel trattato del 1880 ”Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche per funzioni di una variabile
reale” U.Dini enuncia un altro semplice ed importante criterio di convergenza
delle serie di Fourier: ”La serie di Fourier per x = sarà convergente e avrà per
somma f (x) quando il rapporto ff ( + t) 2f ( ) + f (
t)g =t non cresce
inde…nitivamente col diminuire inde…nitivamente di t, o almeno resta atto alla
integrazione anche ridotto ai valori assoluti.”
15
Bernhard Riemann
SULLA POSSIBILITÀ DI
RAPPRESENTARE UNA
FUNZIONE PER MEZZO DI
UNA SERIE TRIGONOMETRICA
Per l’abilitazione all’insegnamento nel 1854 Bernhard Riemann (1826-1866)
presenta alla Facoltà di Filoso…a dell’Università di Gottinga una memoria ”Sulla
possibilità di rappresentare una funzione per mezzo di una serie trigonometrica”,
e tiene una lezione ”Sulle ipotesi alla base della Geometria”. La memoria sulle
serie trigonometriche, pubblicata nel 1867 dopo la morte dell’autore, si divide in
tre parti. Nella prima si ripercorre la storia di queste serie: D’Alembert, Eulero,
Bernoulli, Lagrange, Fourier, Poisson, Cauchy, Dirichlet,... Nella seconda, per
de…nire i coe¢ cienti di Fourier si presenta una precisa e rigorosa de…nizione
di integrale de…nito, con condizioni necessarie e su¢ cienti per l’integrabilità.
Nella terza si studia la possibilità di rappresentare una funzione per mezzo di
una serie trigonometrica, senza alcuna ipotesi su questa funzione. Prima di
lui si è studiato sotto quali proprietà una funzione è sviluppabile in serie di
Fourier. Lui studia il problema inverso: Che proprietà deve avere una funzione
sviluppabile in serie trigonometriche? Prima si sono studiate delle condizioni
su¢ cienti, ora si cercano delle condizioni necessarie.
Una serie trigonometrica nei punti dove converge la serie de…nisce una funzione,
+1
X
f (x) = 2C +
(a (n) sin (nx) + b (n) cos (nx)) :
n=1
Riemann assume che i coe¢ cienti fa (n) ; b (n)g tendano a 0, G.Cantor dimostra che se la serie converge in un intervallo allora i coe¢ cienti tendono a 0,
e H.Lebesgue dimostra che se la serie converge in un insieme di misura positiva
allora i coe¢ cienti tendono a 0.
Teorema: Se
+1
X
(a (n) sin (2 nx) + b (n) cos (2 nx)) converge su un in-
n=1
sieme di misura positiva, allora fa (n) ; b (n)g
0.
Dimostrazione:
fa (n) sin (2 nx) + b (n) cos (2 nx)g = c (n) sin (2 nx + d (n)) :
16
Se fc (n)g non tende a 0, allora fsin (2 nx + d (n))g tende a 0, ed anche
2 sin2 (2 nx + d (n)) tende a 0. Ma
Z
Z
2 sin2 (2 nx + d (n)) dx =
(1 cos (4 nx + d (n))) dx = j j + o (1) :
Il primo teorema dimostrato da Riemann è il seguente.
Teorema: Integrando due volte termine a termine una serie trigonometrica
con coe¢ cienti che tendono a 0,
+1
X
f (x) =
a (n) exp (2 inx)
n= 1
si ottiene una serie che converge uniformemente ed assolutamente ad una funzione continua,
a (0) 2
x
2
F (x) = B + Cx +
X a (n)
exp (2 inx) :
4 2 n2
n6=0
Se la serie f (x) converge in un punto x, in questo punto
lim
;
F (x +
+ )
F (x +
) F (x
4
0
+ ) + F (x
Se la serie converge uniformemente in un insieme
uniforme in .
+1
X
A (n) ;
F (x) = B + Cx +
n=1
Assumendo per semplicità
a (0) 2
x
2
n si può scrivere
+1
X
A (n)
:
2 n2
4
n=1
= , si ha
exp (2 in (x + ))
=
= f (x) :
, anche questo limite è
Dimostrazione: Raggruppando i termini con gli indici
f (x) = a (0) +
)
2 exp (2 inx) + exp (2 in (x
4 2 n2
2
sin ( n )
:
exp (2 inx)
n
))
Quindi,
F (x + )
2F (x) + F (x
2
)
= a (0) +
+1
X
n=1
17
A (n)
sin ( n )
n
2
:
Sommando per parti,
a (0) +
+
+1
X
n=1
0
+1
X
@
j=n+1
)
1
sin (
+ a (0) 1
2
sin ( (n + 1) )
(n + 1)
A (j)A
+1
X
Per ogni " > 0 esiste N tale che
2
sin ( n )
n
A (n)
n=1
2
sin (
= f (x)
+1
X
)
2
!
2
sin ( n )
n
!
:
A (j) < " per ogni n > N . Quindi,
j=n+1
+1
X
+1
X
n=N +1 j=n+1
+1
X
"
"
Z
n=N +1
+1
0
2
sin ((n + 1) )
(n + 1)
A (j)
Z
(n+1)
d
dt
n
sin (n )
n
2
sin (t)
t
2 sin (t) (t cos (t)
t3
dt
sin (t))
Questa stima vale per ogni . Ma, per ogni n, lim
Quindi, …ssato N , esiste
N
X
+1
X
dt:
!0
(
sin (n )
n
n=1 j=n+1
lim
!0
sin ((n + 1) )
(n + 1)
(
sin ( )
f (x)
De…nizione: La serie a (0) +
+1
X
2
2
)
sin (n )
n
funzione f (x) se
0
)
= 1.
2
a (0) +
+1
X
n=1
< ";
= f (x) :
A (n) è sommabile secondo Riemann alla
n=1
lim
2
> 0 tale che se j j < ,
!
2
sin ( )
< ";
a (0) 1
2
A (j)
(
2
A (n)
sin ( n )
n
18
2
)
= f (x) :
In particolare, il teorema di Riemann asserisce che una serie convergente è
Riemann sommabile. Questo teorema ha degli antecedenti e conseguenti. Il più
noto è un classico risultato di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
+1
X
Teorema: Se
A (n) = A allora limz!1
n=0
( +1
X
A (n) z
n
n=0
)
= A.
Il secondo teorema dimostrato da Riemann è il seguente.
Teorema: Se fA (n)g tende a 0, allora
lim
F (x + )
2F (x) + F (x
)
0
= 0:
In particolare, la funzione F (x) non ha angoli,
lim
F (x + )
F (x)
F (x) + F (x
)
0
= 0:
Dimostrazione:
F (x + )
2F (x) + F (x
)
= a (0) +
+1
X
A (n)
n=1
sin ( n )
n
2
:
Per ogni " > 0 esiste M tale che jA (n)j < " per ogni n > M . Quindi, se
j j < "=M e se N = [1= j j] > M , si ha
+1
X
sin (n )
n
A (n)
n=1
2
M j j sup fjA (n)jg + N j j sup fjA (n)jg + sup fjA (n)jg
n>M
1 n M
n>M
1
j j
c" + c" + c":
+1
X
n=N +1
1
:
n2
Il terzo teorema dimostrato da Riemann è il principio di localizzazione.
Teorema: Se fa (n)g
0, se
f (x) =
+1
X
a (n) exp (2 inx) ;
n= 1
F (x) = B + Cx +
a (0) 2
x
2
19
X a (n)
exp (2 inx) ;
4 2 n2
n6=0
se a < c < d < b e b a < 1, se g (x) è una funzione in…nitamente di¤ erenziabile con supporto in a x b e con g (x) = 1 in c x d, allora per ogni
c x d,
! )
( +N
Z b
+N
X
X
d2
lim
g (y) F (y) 2
exp(2 in (x y)) dy = 0:
a (n) exp (2 inx)
N !+1
dy
a
n= N
n= N
In particolare:
(1) La convergenza o divergenza della serie
+1
X
a (n) exp (2 inx) in un
n= 1
punto x dipende solo dal comportamento della funzione F (y) in intorno arbitrario del punto x.
(2) Se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, le rispettive serie
di Fourier sono equiconvergenti nell’intervallo.
Dimostrazione: Con una traslazione si può assumere x = 0. Si ha
!
Z 1=2
+N
X
d2
exp(2 iny) dy
g (y) F (y) 2
dy
1=2
n= N
!
Z 1=2
+N
X
a (0) 2 d2
y
=
exp(2 iny) dy
g (y) B + Cy +
2
dy 2
1=2
n= N
0
1
!
Z 1=2 X
+N
2
X
a
(n)
d
@
exp (2 iny)A 2
exp(2 iny) dy
4 2 n2
dy
1=2
n= N
n6=0
0
1
!
Z 1=2
+N
2
X a (n)
X
d
+
(1 g (y)) @
exp (2 iny)A 2
exp(2 iny) dy:
4 2 n2
dy
1=2
n= N
n6=0
Integrando per parti due volte si ha
=
Z
Z
1=2
1=2
!
+N
X
a (0) 2 d2
y
exp(2 iny) dy
g (y) B + Cy +
2
dy 2
1=2
n= N
!
+N
X
d2
a (0) 2
exp(2 iny)
g (y) B + Cy +
y
= a (0) :
dy 2
2
1=2
n= N
Similmente, derivando due volte ed integrando si ha
0
1
!
Z 1=2 X
+N
X
a
(n)
d2
@
A
exp (2 iny)
exp(2 iny) dy
4 2 n2
dy 2
1=2
n= N
n6=0
0
1
!
Z 1=2 X
+N
X
X
a
(n)
2 2
@
A
=
exp
(2
iny)
4
n
exp(2
iny)
dy
=
a (n) :
4 2 n2
1=2
n6=0
n= N
20
0<jnj N
Similmente, derivando due volte il nucleo di Dirichlet si ottiene
0
1
!
Z 1=2
+N
X a (n)
X
d2
A
@
(1 g (y))
exp (2 iny)
exp(2 iny) dy
4 2 n2
dy 2
1=2
n= N
n6=0
0
1
Z 1=2
2
X a (n)
sin( (2N + 1)y)
A d
(1 g (y)) @
=
exp
(2
iny)
dy
2
2
2
4 n
dy
sin( y)
1=2
n6=0
1
0
Z 1=2
X a (n)
sin( (2N + 1)y)
2
exp (2 iny)A
(2N + 1)2
+ ::: dy
=
(1 g (y)) @
2
2
4 n
sin( y)
1=2
n6=0
Z
2
i X (N + 1=2) a (n)
=
2
n2
n6=0
Z
2
i X (N + 1=2) a (n)
=
2
8 2
n2 (n N 1=2)
n6=0
1=2
1 g (y)
exp (2 i (n
1=2 sin( y)
1=2
d2
2
1=2 dy
1 g (y)
sin( y)
2
i X (N + 1=2) a (n) b (n
N
exp (2 i (n
Quindi,
8
2
n6=0
n2 (n
N
1=2) y) dy + :::
N)
+ :::
N 1=2)
8
9
2
<X
=
(N + 1=2)
Si ha supN
< +1, e fa (n)g
2
:
n2 (n N 1=2) ;
n6=0
=
1=2) y) dy + :::
2
8
9
< X (N + 1=2)2 ja (n)j jb (n N )j =
2
:
;
n2 (n N 1=2)
0 e fb (n)g
0.
0:
n6=0
In…ne, le serie di Fourier di funzioni integrabili si possono integrare termine
a termine, e le funzioni di Riemann coincidono a meno di termini lineari con
degli integrali iterati
Z x Z y
F (x) = Ax + B +
f (z) dz dy:
a
a
Quindi, se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, in questo
intervallo le loro funzioni di Riemann di¤eriscono solo per termini lineari.
Nei teoremi precedenti i coe¢ cienti delle serie tendono a zero. Riemann presenta anche esempi di funzioni integrabili in senso generalizzato con coe¢ cienti
di Fourier che non convergono a zero:
d
(x cos (1=x)) ;
dx
p
p
d
(x cos (1=x)) cos (nx) dx
=2 sin 2 n + =4 n(1
dx
f (x) =
Z
0
2
21
2 )=4
:
In…ne Riemann conclude la sua memoria con degli esempi di serie con coef…cienti che non convergono a zero ma che convergono in in…niti punti:
+1
X
sin (n! x) :
n=1
Ogni 0
x
1 ha uno sviluppo in base variabile, x =
+1
X
a (k) =k!, con
k=1
0
a (k) < k. Si può dimostrare per induzione che
k
X1
n!
2 (k
1)!. Quindi,
n=1
+1
X
n=1
+1
X
n=1
Se
+1
X
+1
X
a (k)
n!
k!
k=n+1
sin n!
!
+1
X
a (k)
k=1
+1
X
=
k=2
a (k) =k converge, la serie
+1
X
k!
!
!
k 1
a (k) X
n!
k! n=1
2
+1
X
a (k)
k=2
k
:
sin (n! x) converge. In particolare, la
n=1
k=2
serie converge per ogni razionale e in un insieme non numerabile di irrazionali.
Accenniamo ad un risultato posteriore a Riemann. Dall’identità
Z +1
1
(1 jx= j)+ exp ( 2 inx) dx
=2
Z
1
1
(1
y) cos (2 n y) dy =
0
si ricava che se K (x) è la periodizzazione di
f (x) periodica e localmente integrabile si ha
+1
X
n= 1
sin ( n )
n
2
fb(n) exp(2 inx) =
1
Z
sin ( n )
n
(1
2
jx= j)+ , per ogni funzione
1=2
K (x
y) f (y) dy:
1=2
Da questa rappresentazione integrale segue facilmente che la serie di Fourier
di una funzione continua è Riemann sommabile in ogni punto, e la serie di
Fourier di una funzione integrabile è Riemann sommabile quasi ovunque.
Terminiamo con una congettura formulata da Riemann nel 1861. Secondo
+1
X
Riemann la funzione de…nita dalla serie
sin n2 x è continua ma non è
n=1
derivabile in nessun punto. K.T.W.Weierstrass non riesce a dimostrare la con+1
X
gettura, ma nel 1872 dimostra che
an cos ( bn x) non è derivabile in nessun
n=1
22
punto se 0 < a < 1, b dispari, e ab > 1 + 3 =2. Nel 1916 G.H.Hardy dimostra la
funzione di Weierstrass non è di¤erenziabile in nessun punto se ab 1, e la funzione di Riemann non è di¤erenziabile nei punti irrazionali e nei razionali della
forma p=q con p e q non entrambi dispari. In…ne, nel 1970 J.Gerver dimostra
che nei punti p=q con p e q dispari la funzione di Riemann ha derivata
=2.
23
Georg Cantor
DIMOSTRAZIONE CHE UNA FUNZIONE
F(X) DATA PER OGNI VALORE REALE
DI X DA UNA SERIE TRIGONOMETRICA
HA UNA SOLA RAPPRESENTAZIONE
DI QUESTA FORMA
Se una serie trigonometrica converge uniformemente, la somma è continua,
si può integrare termine a termine, ed i coe¢ cienti della serie sono i coe¢ cienti
di Fourier,
!
Z 1=2
+1
X
a(n) exp(2 inx) exp( 2 imx)dx
1=2
+1
X
=
n= 1
Z
a(n)
n= 1
1=2
exp(2 i (n
m) x)dx = a(m):
1=2
Se non c’è convergenza uniforme o in qualche norma integrale, la funzione
limite può non essere integrabile. Ma anche ammesso che lo sia, non è chiaro
se l’integrazione termine a termine sia lecita. In particolare, non è ovvio se
un eventuale sviluppo in serie trigonometrica sia unico. Georg Cantor (18451918) ha mostrato che questa unicità è un semplice corollario della teoria delle
serie trigonometriche di Riemann e, come sottoprodotto di questo studio, è
nata la de…nizione di numero reale come successione di Cauchy di razionali e la
teoria degli insiemi. Ma prima di occuparci dell’unicità della rappresentazione in
serie trigonometrica, presentiamo una semplice caratterizzazione delle funzioni
convesse.
Teorema: (1) Se F (x)è di¤ erenziabile due volte,
F (x + )
lim
2F (x) + F (x
2
0
x
)
=
d2
F (x) :
dx2
(2) Una funzione continua è convessa in un intervallo se e solo se per ogni
nell’intervallo
lim sup
x
F (x + )
2F (x) + F (x
2
0
)
0:
Dimostrazione: (1) è conseguenza della formula di Taylor
F (x
) = F (x)
d
F (x)
dx
24
+
2
d2
F (x)
+o
2
dx
2
2
.
(2) è una conseguenza di (1) se la funzione è derivabile due volte. Il caso
generale è po’più complicato. Le di¤erenze seconde di funzioni convesse sono
positive,
F (x + )
2F (x) + F (x
) = (F (x + )
F (x))
(F (x)
F (x
))
0:
Viceversa, poiché il limite di funzioni convesse è convesso, se F (x) non è
convessa esiste n tale che F (x) + x2 =n non è convessa. Quindi per a e b opportuni la funzione G (x) = F (x) + x2 =n (ax + b) ha un massimo all’interno
dell’intervallo. In punto di massimo
G (x + )
2G (x) + G (x
)
0:
Ma
G (x + )
2G (x) + G (x
) = F (x + )
2F (x) + F (x
) + 2=n > 0:
Questa caratterizzazione delle funzioni convesse è di H.Schwartz. Invece il
seguente risultato è di Cantor.
Teorema: La rappresentazione di una funzione in serie trigonometrica se
esiste è unica. Se una serie trigonometrica
f (x) =
+1
X
a (n) exp (2 inx)
n= 1
converge a zero ovunque, tutti i suoi coe¢ cienti sono nulli. Più in generale,
se una serie trigonometrica è Riemann sommabile a zero salvo al più in un
insieme chiuso
di eccezioni, se
= (0) , se (n+1) è l’insieme dei punti
(n)
di accumulazione di
, e se esiste N tale che (N ) è vuoto, allora tutti i
coe¢ cienti della serie sono nulli.
Dimostrazione: Se f (x) = 0 ovunque, per il primo teorema di Riemann,
lim
F (x + )
2F (x) + F (x
2
0
)
= 0:
Questo implica che F (x) è lineare,
F (x) = B + Cx +
a (0) 2
x
2
X a (n)
exp (2 inx) = D + Ex:
4 2 n2
n6=0
Per x
+1 si ricava a (0) = 0 e poi C = E. In…ne, moltiplicando per un
esponenziale ed integrando si ricava B = D e a (n) = 0.
Più in generale, se la serie è Riemann sommabile a 0 salvo al più in un
insieme chiuso
di eccezioni, allora F (x) è una funzione continua lineare in
ogni intervallo del complementare di . Ma per il secondo teorema di Riemann
la funzione F (x) non ha angoli, quindi se è lineare in due intervalli con un
25
estremo in comune, è lineare anche nell’unione di questi intervalli. Quindi F (x)
è una funzione continua lineare in ogni intervallo del complementare di (n) per
ogni n.
Studiando gli insiemi di possibili eccezioni per l’unicità della rappresentazione in serie trigonometriche, Cantor crea la teoria degli insiemi. All’induzione
…nita si può sostituire quella trans…nita. Se è chiuso e se (n+1) è l’insieme dei
punti di accumulazione di (n) , al limite si ottiene il più grande insieme perfetto
contenuto in . Nel 1903 H.Lebesgue mostra che ogni insieme chiuso numerabile è un insieme di unicità, e nel 1909 W.H.Young mostra che ogni insieme
numerabile è di unicità, se una serie trigonometrica converge a 0 in ogni punto
in R
, allora converge a 0 anche in e tutti i coe¢ cienti della serie sono nulli.
Il successo dell’integrale di Lebesgue porta a congetturare una stretta relazione
tra misura ed unicità, ma si scopre presto che il problema è più complicato. Nel
1916 D.E.Menchov costruisce una misura di probabilità singolare, supportata
in un insieme chiuso di misura nulla, con coe¢ cienti di Fourier che tendono
a 0, e con serie di Fourier che converge a 0 in R
. L’insieme di molteplicità di Menchov è un insieme di Cantor con rapporti di dissezione variabili, nel
passo n esimo si elimina (n + 1) = (2n + 4) degli intervalli precedenti. Menchov
dimostra anche che per ogni funzione misurabile …nita e periodica esiste un serie
trigonometrica che ci converge quasi ovunque. Nel 1955 R.Salem e A.Zygmund
dimostrano che un insieme di Cantor con rapporti di dissezione costanti 1= è
di unicità se e solo se è un numero algebrico maggiore di 1 con tutti i coniugati con modulo minore di 1. Le potenze di questi numeri si avvicinano a
degli interi. Le serie di Fourier di funzioni regolari a tratti convergono puntualmente dappertutto. Quali altre funzioni che possono essere rappresentate
da serie trigonometriche? Come calcolarne i coe¢ cienti? P.du Bois-Reymond
nel 1873 costruisce una funzione continua con serie di Fourier che diverge in un
punto, e nel 1877 dimostra che se una funzione integrabile può essere rappresentata dalla somma di una funzione trigonometrica allora i coe¢ cienti della
serie sono precisamente i coe¢ cienti di Fourier. Nel 1922 A.Kolmogorov costruisce una funzione integrabile con serie di Fourier che diverge quasi ovunque, e
quattro anni dopo una serie che diverge ovunque. Quindi esistono funzioni integrabili che non sono rappresentabili da serie trigonometriche. Ma esistono serie
trigonometriche che convergono dappertutto e che non sono serie di Fourier di
funzioni integrabili. Un classico esempio di P.Fatou è
+1
X
sin (2 nx)
:
log (n)
n=2
26
y
UNA SERIE DI
EULERO - FOURIER
ED IL FENOMENO DI
WILBRAHAM - GIBBS
+1
X
x
( 1)n+1
sin(nx) =
n
2
n=1
1.5
1.0
0.5
-4
-3
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
x
-1.0
-1.5
Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2
scomposta in serie di Fourier,
può essere
+1
a0 X
(an cos(nx) + bn sin(nx)) ;
+
'(x) =
2
n=1
Z
Z
1
1
an =
'(x) cos(nx) dx; bn =
'(x) sin(nx) dx:
Sotto opportune ipotesi, veri…cate per ogni funzione ragionevole, la serie converge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier di una funzione
con un salto, in un intorno della discontinuità hanno delle rapide oscillazioni
e, per così dire, mancano il bersaglio per circa il 9% del valore del salto. Per
+1
X
( 1)n+1
esempio, sommando i primi m termini della serie x=2 =
sin(nx),
n
n=1
in un periodo
< x < si notano m oscillazioni ed avvicinandosi ai punti
di salto x =
le oscillazioni divengono più marcate. Questo fenomeno ha
una semplice spiegazione, ma è ancora oggetto di studio perché nei processi
di approssimazione si cerca spesso di eliminare o almeno di tenere sotto controllo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomeno ha una storia interessante e
personaggi importanti vi hanno contribuito. E’questa storia che qui vogliamo
presentare.
Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto ”Sur la propagation de la chaleur” all’Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendenti ma
non del tutto giusti…cati causano una vivace controversia tra gli esaminatori,
Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione riveduta e corretta del lavoro, ”Théorie du mouvement de la chaleur daps les corps solides”,
vince nel 1811 un premio sul problema della di¤usione del calore con la motivazione:
”La classe a décerné le prix, d’une valeur de 3000 F, au mémoire enregistré
sous le n.2, portant cette épitaphe ”Et ignum regunt numeri (Plato)”. Cette
pièce renferme les véritables équations di¤ érentielles de la transmissions de la
27
chaleur, soit à l’intérieur des corps, soit à leur surface: et la nouveauté du
sujet, jointé à son importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage,
en observant cependant que la manière dont l’Auteur parvient à ses équations
n’est pas exempte de di¢ cultés, et que son analyse, pour les intégrer, laisse
encore quelque chose à desirer, soit relativement à la généralité, soit même du
côté de la rigueur.”
”La classe ha assegnato il premio del valore di 3000 franchi alla memoria
registrata con il n.2 e sottotitolata ”Et ignem regunt numeri (Plato)”. Questa
memoria contiene le corrette equazioni di¤ erenziali della trasmissione del calore,
sia all’interno dei corpi, che sulla loro super…cie: e la novità del soggetto, insieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a premiare questo lavoro, osservando tuttavia che il modo con cui l’autore arriva alle sue equazioni
non è esente da di¢ coltà, e che la sua analisi, per integrarle, lascia qualcosa
a desiderare, sia relativamente alla generalità, sia anche dal punto di vista del
rigore.”
Nel 1822 Fourier pubblica la ”Théorie analytique de la chaleur”. Per risolvere
delle equazioni alle derivate parziali con il metodo di separazione delle variabili,
Fourier introduce le serie di seni e coseni che poi prenderanno il suo nome. Nel
1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosa della convergenza
delle serie di Fourier. Esempi speci…ci di sviluppi trigonometrici erano noti dal
XVIII secolo e c’erano stati tentativi di A.L.Cauchy, S.D.Poisson ed altri, di
provare questo importante risultato, ma nessuna delle dimostrazioni presentate
sembrava essere completamente soddisfacente. In particolare, riferendosi ad una
memoria di Cauchy, Dirichlet scrive:
”L’auteur de ce travail avoue lui même que sa démostration se trouve en
défaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtant incontestable. Un examen attentif du Mémoire cité m’a porté a croire que la démonstration qui y est exposeé n’est pas même su¢ sante pour les cas auxquelle
l’auteur la croit applicable.”
”L’autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione si trova in
difetto per certe funzioni per le quali la convergenza è tuttavia incontestabile. Un
attento esame della memoria citata mi ha portato a credere che la dimostrazione
esposta non è neppure su¢ ciente per casi ai quali l’autore la crede applicabile.”
Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,
Cauchy dell’inversione della trasformata di Fourier sono però convincenti e molto
interessanti. Comunque, questo è l’enunciato del teorema di Dirichlet, ”Sur la
convergence des séries trigonométriques qui servent a représenter une fonction
arbitraire entre des limites données”, Crelle, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 4, 1829:
28
”Si la fonction '(x), dont toutes les valeurs sont supposées …nies et déterminées, ne présente qu’un nombre …ni des solutions de continuité entre les limites
et , et si en outre elle n’a qu’un nombre determiné de maxima et de
minima entre ces même limites, la série
Z
Z
8
>
Z
1 < cos x Z '(a) cos a da + cos 2xZ '(a) cos 2a da + :::
1
'(a) da +
;
>
2
: sin x '(a) sin a da + sin 2x '(a) sin 2a da + :::
dont les coe¢ cients sont des intégrales dé…nies dépendantes de la fonction '(x),
est convergente et a un valeur généralement exprimée par:
1
['(x + ") + '(x ")] ;
2
où " désigne un nombre in…niment petit. ...
On aurait un exemple d’une fonction qui ne remplit pas cette condition, si
l’on supposait '(x) égale à une constante déterminée c lorsque la variable x obtient un valeur rationnelle, et égale à une autre constante déterminée d, lorsque
cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi dé…nie a des valeurs …nies
et déterminées pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait la substituer
dans la série, attendu que les di¤ érentes intégrales qui entrent dans cette série,
perdraient toute signi…cation dans ce cas.”
”Se la funzione '(x), i cui valori si suppongono …niti e determinati, non
presenta che un numero …nito di discontinuità tra i limiti
e , e se inoltre
non ha che un numero …nito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie
Z
Z
8
>
Z
<
cos x '(a) cos a da + cos 2x '(a) cos 2a da + :::
1
1
Z
Z
'(a) da +
;
>
2
: sin x '(a) sin a da + sin 2x '(a) sin 2a da + :::
i cui coe¢ cienti sono degli integrali de…niti dipendenti dalla funzione '(x), è
convergente ad un valore generalmente espresso da:
1
['(x + ") + '(x ")] ;
2
dove " denota un numero in…nitamente piccolo...
Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si suppone '(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile x assume
un valore razionale, ed uguale ad un’altra costante determinata d quando questa
variabile è irrazionale. La funzione così de…nita assume dei valori …niti e determinati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie, perché in questo caso
gli integrali che entrano in questa serie perdono ogni signi…cato.”
In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuità convergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continue può convergere ad una funzione discontinua, questo è il paradosso alla base del fenomeno
di Gibbs.
29
In una lettera a A.M.Legendre, C.G.J.Jacobi scrive:
”M.Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité
publique et l’explication des phénomènes naturels; mais un philosophe comme lui
aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question
du système du monde.”
”Fourier riteneva che lo scopo principale della matematica fosse la pubblica
utilità e la spiegazione dei fenomeni naturali; ma un …losofo come lui avrebbe
dovuto sapere che l’unico scopo della scienza è l’onore dello spirito umano, e
sotto questo aspetto un problema di teoria dei numeri ha lo stesso valore del
sistema del mondo.”
Di fatto, le serie di Fourier si applicano sia ai numeri, che ai fenomeni naturali. Le maree sono un e¤etto delle forze gravitazionali della Luna e del Sole e
della rotazione della Terra. Le ampiezze e frequenze delle maree sono legate ai
suddetti fenomeni astronomici, distanza, inclinazione dell’orbita sul piano equatoriale, e alla morfologia della costa e del fondale, ma hanno in‡uenza anche, il
vento e la pessione atmosferica,... Se si trascurano questi fenomeni atmosferici,
l’altezza della marea si può scomporre in costituenti armoniche A cos (!t ')
con velocità angolari combinazioni di velocità astronomiche:
T = 15 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al suo asse rispetto al
Sole,
H = 0; 04106864 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al Sole,
S = 0; 54901653 gradi/ora, la rotazione della Luna intorno alla Terra,
P = 0; 00464183 gradi/ora, la precessione del perigeo della Luna,
N = 0; 00220641 gradi/ora, la precessione del piano dell’orbita della Luna.
Per esempio, la rotazione della Terra rispetto al cielo delle stelle …sse è T +H,
ed il cambio di longitudine della Luna è T + H S. Le forze di marea della
Luna sono circa doppie di quelle del Sole. La velocità angolare con ampiezza
maggiore è M2 = 2T +2H 2S, seguita da S2 = 2T . Conoscendo le frequenze !,
e monitorando le maree su un opportuno intervallo di tempo, si
possono stimare
X
le ampiezze A ed i ritardi di fase ', e prevedere le maree future
A cos (!t ').
Di fatto, se le frequenze non sono commensurabili tra loro, la serie è quasi
periodica.
30
Thomson
Tide Predicting Machine
Nel 1872 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una ”Tide Predicting Machine”, che somma …no a 10 componenti di marea, e versioni perfezionate
di questa apparecchiatura sono rimaste in uso …no all’avvento dei calcolatori
elettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coe¢ cienti di Fourier di
una funzione data e, viceversa, a partire dai coe¢ cienti disegnano la funzione.
Nella rivista ”Nature”, 3 Febbraio 1898, troviamo una breve descrizione di uno
di questi analizzatori armonici.
”A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is an
instrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series, or
to analise a given curve into its original series. The pen which traces the curve
is worked up and down by a lever controlled by a spring. This spring is stretched
by an excentric, which imparts a ”simple harmonic” variation to the force. The
stretching is resisted by another spring. Eighty such elements are connected
together, with one resisting spring to counterbalance the sum of the elementary
springs. The pen therefore moves in accordance with the sum of the elementary
periodic motions. The authors obtain by this machine the mathematical series
representing the pro…le of a human face.”
”Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Questo
è uno strumento progettato per sommare …no ad ottanta termini di una serie
di Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il pennino che
traccia la curva è mosso su e giù da una leva controllata da una molla. Questa
molla è tesa da un eccentrico che fornisce una variazione ”armonica semplice”
alla forza. La tensione è controbilanciata da un’altra molla. Ottanta di questi
elementi sono connessi insieme, con una molla che controbilancia la somma
delle molle elementari. Il pennino quindi si muove in accordo con la somma dei
moti periodici elementari. Con questa macchina gli autori ottengono la serie
matematica che rappresenta il pro…lo di una faccia umana.”
”Nature”prosegue poi con ”Un esame delle velocità registrate dei cavalli da
trotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario”. E’uno
studio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 2’30”.
31
Il …sico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questo analizzatore armonico, in una lettera a ”Nature”, 6 Ottobre 1898, critica l’asserzione
dei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge a questa funzione
anche in un intorno di una discontinuità.
”In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it is
expressly stated that the series can represent discontinuous functions. The idea
that a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is so utterly at
variance with the physicists’notion of quantity, that it seems to me worth while
giving a very elementary statement of the problem in such simple form that the
mathematicians can at once point to the inconsistency if any there be.
Consider the series
y = 2 sin x
1
1
sin 2x + sin 3x
2
3
::: :
In the language of the text-books (Byerly’s ”Fourier’s Series and Spherical
Harmonics”) this series ”coincides with y = x from x =
to x = ... Moreover the series in addition to the continuous portions of the locus ... gives the
isolated points ( ; 0) ( ; 0) (3 ; 0), &c.”
If for x in the given series we substitute x + " we have, omitting the factor
2,
1
1
1
y = sin " + sin 2" + sin 3" + ::: + sin n" + :::
2
3
n
This series increases with n until n" = . Suppose therefore " = k =n,
where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to n" = k , a
…nite quantity even if n = 1. Hence the value of y in the immediate vicinity
of x = is not an isolated point y = 0, but a straight line y = nx.
The same result is obtained by di¤ erentiation, which gives
dy
= cos x
dx
Putting x =
cos 2x + cos 3x
:::
+ " this becomes
dy
= cos " + cos 2" + cos 3" + :::
dx
which is nearly equal n to for values of n" less than k . It is di¢ cult to see
the meaning of the tangent if y were an isolated point.
Albert A.Michelson.”
”In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si dice espressamente che la serie può rappresentare una funzione discontinua. L’idea che una
discontinuità può rimpiazzare la somma di curve continue è così in totale contrasto con la nozione di quantità dei …sici, che mi sembra opportuno dare una
elementare esposizione del problema in una forma così semplice che i matematici
ne possano mostrare l’inconsistenza se presente.
32
Consideriamo la serie
y = 2 sin x
1
1
sin 2x + sin 3x
2
3
::: :
Nel linguaggio del libro di testo (Byerly ”Fourier’s Series and Spherical Harmonics”) questa serie ”coincide con y = x da x =
a x = ... Inoltre la
serie oltre al luogo continuo di punti... dà i punti isolati ( ; 0) ( ; 0) (3 ; 0),
&c.”
Se per x nella data serie sostituiamo x + " otteniamo, omettendo il fattore
2,
1
1
1
y = sin " + sin 2" + sin 3" + ::: + sin n" + :::
2
3
n
Questa serie cresce con n …no a n" = . Supponiamo quindi " = k =n, con
k piccolo. La serie sarà ora quasi uguale a n" = k , una quantità …nita anche
quando n = 1. quindi il valore di y nelle immediate vicinanze di x = non è
un punto isolato y = 0, ma una linea retta y = nx.
Lo stesso risultato si può ottenere per di¤ erenziazione,
dy
= cos x
dx
Ponendo x =
cos 2x + cos 3x
:::
+ " questo diventa
dy
= cos " + cos 2" + cos 3" + :::
dx
che è quasi uguale a n per valori di n" minori di k . E’di¢ cile vedere il senso
della tangente se y è un punto isolato.
Albert A.Michelson.”
Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a ”Nature”,
13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera è piuttosto brusca e
scortese.
”If there are physicists who hold ”notions of quantity” opposed to the mathematical result that the sum of an in…nite series of continuous functions may
itself be discontinuous, they woud be likely to pro…t by reading some standard
treatise dealing with the theory of in…nite series... Neither of these statements
is correct... The processes employed are invalid... It is not legitimate...”
”Se ci sono …sici che sostengono ”nozioni di quantità” opposte al risultato
matematico che la somma di una serie in…nita di funzioni continue può essere essa stessa essere discontinua, questi trarrebbero probabilmente pro…tto dal
leggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie in…nite... Nessuna di
queste a¤ ermazioni è corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non è
legittimo...”
33
Nella seconda lettera Love spiega la di¤erenza tra convergenza puntuale ed
uniforme.
”This peculiarity is always presented by a series whose sum is discontinuous:
in the neighbourhoodof the discontinuity the series do not converge uniformly,
or the sums of the …rst n terms is always appreciably di¤ erent from the graph
of the limit of the sum.”
”Questa peculiarità è sempre presente in una serie la cui somma è discontinua: in un intorno della discontinuità la serie non converge uniformemente,
o la somma dei primi n termini di¤ erisce in modo apprezzabile dal gra…co del
limite della somma”
Anche se questa a¤ermazione è formalmente corretta, di fatto Love non
prende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelson
replica brevemente con una lettera a ”Nature”, 29 Dicembre 1898. Quindi, in
due lettere a ”Nature”, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbs chiarisce
la di¤erenza tra
”... the limit of the graphs... and the graph of the limit...”
”... il limite dei gra…ci... e il gra…co del limite...”
Se la serie di Fourier converge, il gra…co del limite è il gra…co della funzione, ma se la funzione è discontinua il limite dei gra…ci delle somme parziali è
di¤erente dal gra…co della funzione limite.
Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzione
y = x in
< x < . La periodicizzata di questa funzione è una funzione lineare
a tratti con salti da + a
nei punti x = + 2k , questa funzione è detta
dente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e non fa menzione
del fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancano il bersaglio per
circa il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive con precisione, ma
senza dimostrazioni, il limite dei gra…ci delle somme parziali. Questo limite
è una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti centrati nei punti
(2k ; 0) e inclinati di 45o , e daZsegmenti verticali centrati in ( + 2k ; 0). I
sin(x)
dx = 7; 407748::: e si estendono oltre
segmenti verticali sono lunghi 4
x
0
il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rapporto tra questo numero
7; 407748:::
e l’ammontare del salto è
= 1; 178979:::, quindi le somme parziali
6; 283185:::
mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso in x =
" e per difetto in
x = + ".
34
Il limite dei graf ici
Il graf ico del limite
y
-3
-2
y
1
-1
1
1
-1
2
2
3
-3
x
-2
-1
1
-1
2
3
x
-2
Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizione del
fenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane troviamo ancora
una difesa del punto di vista di Michelson in un’altra lettera a ”Nature”, 18
Maggio 1899.
”I have M.Poincaré authority to publish the accompanying note regarding the
applicability of Fourier’s series to discontinuous functions, and send it accordingly for pubblication in Nature.
A.A.Michelson.
Mon cher collègue, comme
Z y je l’avais prévenu vous avez tout à fait raison.
sin xz
Prenons d’abord l’integrale
dx, dont la limite pour y = 1 est =4,
x
0
0,
=4 selon que z est positif, nul ou négatif. Faisons maintenant tendre
simultanément
Z a z vers 0 et y vers l’in…ni de telle façon que zy tende vers a. La
sin x
dx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0 jusqu’à
limite sera
x
0
Z
X sin kz
sin x
dx. Si prenons maintenant n termes de la série
en faisant
x
z
0
tendre simultanément z vers 0 et n vers l’in…ni de telle façon que le produit
nz tende vers a, cela sera évidemment la même chose; et la di¤ érence entre la
somme et l’integrale sera d’autant plus petîte que z sera plus petît. Cela se voit
aisément. Tout à vous,
Poincaré.
”Ho il permesso del Sig. Poincaré di pubblicare la seguente nota sull’applicabilità
delle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la pubblicazione su
Nature.
A.A.Michelson.
Mio caro collega, come avevo
Z yprevisto voi avete del tutto ragione. Per comsin xz
dx, il cui limite per y = 1 è =4, 0,
inciare prendiamo l’integrale
x
0
=4 ( =2?) a seconda che z è positivo, nullo o negativo. Facciamo ora tendere simultaneamente z verso 0 e y verso l’in…nito in modo tale che zy tenda
35
Z a
sin x
verso a. Il limite sarà
dx che può prendere tutti i valori da 0 …no a
x
0
Z
X sin kz X sin kz
sin x
dx. Se prendiamo ora n termini della serie
?
x
z
k
0
facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l’in…nito in modo tale
che il prodotto nz tenda verso a, questo sarà evidentemente la stessa cosa; e la
di¤ erenza tra la somma e l’integrale sarà tanto più piccola quanto z sarà più
piccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,
Poincaré.
Probabilmente Poincaré ha scritto la lettera di getto e non la ha neanche
riletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincaré su Nature è
seguita da ”Una nota su dei lombrichi fosforescenti”.
+1
+1
X
sin(kx) X ( 1)k+1
=
sin(k(
x)) è lo sviluppo della funzione
La serie
k
k
k=1
k=1
x
nell’intervallo 0 < x < 2 e in zero c’è un salto di . Le somme parziali
2
Z a
n
X sin(kx)
sin(t)
se x = a=n sono somme di Riemann dell’integrale
dt,
k
t
0
k=1
n
X
sin(ka=n)
k
k=1
=
n
X
sin(ka=n)
k=1
(ka=n)
(a=n)
Z
0
a
sin(t)
dt:
t
Più precisamente, se n ! +1 e x ! 0+,
n
X
sin(kx)
k=1
Z
k
=
x
2
Z
+1
nx
sin(t)
dt + o(1):
t
+1
sin(t)
dt =
= 1; 570796:::, il massimo dell’integrale
tZ
2
0
Z a
sin(t)
sin(t)
dt si ha per a = ,
dt = 1; 851937:::
t
t
0
0
Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincaré c’è un’ultima lettera di Love su
”Nature”, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelson è
paradossale solo se non si chiarisce il signi…cato di somma di una serie in…nita,
ma il tono di questa lettera è più cortese delle precedenti.
Di fatto, cinquant’anni prima di Gibbs, questo fenomeno è stato descritto
con precisione da H.Wilbraham, ”On a certain periodic function”, Cambridge
& Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham considera la funzione
Ricordiamo che
y = cos(x)
cos(3x) cos(5x)
+
3
5
:::
che prende alternativamente i valori
=4 e descrive una onda quadra. Il comportamento delle somme parziali della serie di Fourier dell’onda quadra è del
tutto analogo a quello dell’onda triangolare. Più in generale, la serie di Fourier
36
di una funzione a variazione limitata in un intorno di una discontinuità presenta
il fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema di convergenza di Dirichlet. Se
f (x) e g(x) sono due funzioni a variazione limitata con un salto in x = a e se
f (x) g(x) è continua in un intorno di a, allora la serie di Fourier di f (x) g(x)
converge uniformemente in un intorno di a. In particolare, le serie di Fourier di
f (x) e g(x) hanno lo stesso comportamento in un intorno di a. Per funzioni non
a variazione limitata c’è ancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni delle
somme parziali sono più marcate e possono mancare il bersaglio di più del 9%.
y
+1
X
( 1)n
cos((2n + 1)x) =
2n + 1
8n=0
< =4 se jxj < =2;
0 se jxj = =2; ;
:
=4 se =2 < jxj < :
-5
-4
-3
-2
0.8
0.6
0.4
0.2
-1-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
1
2
3
4
5
x
Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte di smorzare
le oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno delle discontinuità. Un possibile modo di procedere è quello di considerare opportune medie
che pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nel gra…co sono
rappresentate la funzione x=2, le somme parziali della sua serie di Fourier
10
10
X
X
11 n ( 1)n+1
( 1)n+1
sin(nx) e le medie di Fejér
sin(nx).
n
11
n
n=1
n=1
x
;
2
10
X
( 1)n+1
sin(nx);
n
n=1
10
X
11
n=1
n ( 1)n+1
sin(nx):
11
n
y 1.5
1.0
0.5
0.0
0
1
2
3
x
Il fenomeno di Gibbs non è una particolarità delle serie trigonometriche, ma
è una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti sistemi di
funzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi o le funzioni di
Bessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di funzioni trigonometriche ed il comportamento degli sviluppi in serie con queste funzioni speciali non
è troppo di¤erente dagli sviluppi in serie trigonometriche. Nel 1908 C.J. de la
37
Vallée Poussin considera un analogo del fenomeno di Gibbs nell’interpolazione
con polinomi trigonometrici o con funzioni intere di tipo esponenziale …nito. Nel
1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs per sviluppi in armoniche sferiche. Poi
il numero di lavori su questo fenomeno si moltiplica.
Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece che
andare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietro
con la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo
+1
X
( 1)n+1
sin(nx).
vogliamo presentare qualche curiosità sulla serie
n
n=1
Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1 + x) =
+1
X
n
n x e dimostra che una serie di potenze è una funzione continua sui raggi
n=0
del cerchio di convergenza.
Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso
log(1 + z) = log j1 + zj + iArg(1 + z) =
+1
X
( 1)n+1 n
z :
n
n=1
Ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie
log
p
2 + 2 cos(x) =
+1
X
( 1)n
cos(nx);
n
n=1
+1
x X ( 1)n+1
=
sin(nx):
2 n=1
n
Niels Henrik Abel ”Recherches sur la série
1+
m(m 1) 2 m(m 1)(m
m
x+
x +
1
1 2
1 2 3
2)
x3 + :::etc:”
Crelle, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.
”L’exellent ouvrage de M.Cauchy ”Cours d’analyse de l’école polytechnique”
qui doit être lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherches mathématiques, nous servira de guide...
Dans l’ouvrage cité de M. Cauchy on trouve le théorème suivant:
”Lorsque les di¤ érent termes de la série, u0 + u1 + u2 + :::etc: sont des
fonctions d’une même variable x, continues par rapport à cette variable dans
le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la
somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière,
fonction continue de x.”
Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par example la
série
1
1
sin 2' + sin 3' :::etc:
sin '
2
3
38
est discontinue pour tout valeur (2m + 1) de ', où m est un nombre entier.
Il y a, comme en sait, plusieurs séries de cette espèce...
1
log 1 + 2 cos ' + 2 =
2
sin '
arc:tang
=
1 + cos '
cos '
sin '
1
2
1
2
1
3
1
2
sin 2' +
3
2
Pour avoir les sommes de ces séries lorsque
faire converger vers cette limite.”
cos 2' +
3
3
= +1 ou
cos 3'
sin 3'
etc:
etc:
1, il faut seulement
”L’eccellente opera del Sig. Cauchy ”Corso d’analisi della scuola politecnica”
che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerche matematiche, ci servirà da guida...
Nell’opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:
”Quando i diversi termini della serie, u0 +u1 +u2 +:::etc: sono delle funzioni
di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in un intorno di
un valore particolare per il quale la serie è convergente, anche la somma s della
serie è, nell’intorno di questo valore particolare, funzione continua di x.”
Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempio la
serie
1
1
sin 2' + sin 3' :::etc:
sin '
2
3
è discontinua per ogni valore (2m + 1) di ', dove m è un numero intero. Ci
sono, come è noto, parecchie serie di questo tipo...
1
log 1 + 2 cos ' + 2 =
2
sin '
arc:tang
=
1 + cos '
cos '
sin '
1
2
1
2
1
3
1
2
sin 2' +
3
2
Per avere le somme di queste serie quando
fare convergere verso questo limite.”
cos 2' +
= +1 o
3
3
cos 3'
sin 3'
etc:
etc:
1, basta solamente
Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e presenta vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo
+1
X
( 1)n+1
sin(nx) = x=2.
n
n=1
Jean Baptiste Joseph Fourier ”Sur la propagation de la chaleur”, manoscritto presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.
”Soit par example
y = sin :x
1
1
sin :2x + sin :3x
2
3
1
1
sin :4x::: +
sin :m
4
m 1
39
1x
1
sin :mx
m
( m étant un nombre pair quelconque), on tire de cette équation
dy
= cos :x
dx
cos :2x + cos :3x
cos :4x::: + cos :m
1x
cos :mx:
Si l’on multiplie les deux membres par 2 sin :x on aura
2
1
1
2 cos :(m + )x sin : x:
2
2
dy
sin :x = ::: = sin :x
dx
Donc
dy
1
=
dx
2
cos :(m + 12 )x sin : 12 x
1
=
sin :x
2
On a donc
Z
cos :(m + 12 )x
1
1
dx = C + x
y= x
1
2
2
2 cos : 2 x
cos :(m + 21 )x
:
2 cos : 21 x
1 1
2m+
1
2
sin :(m + 21 )x
+ &c:;
2 cos : 21 x
et si m est in…ni on aura
1
y = C + x:
2
La valeur de y etant nulle en même temp que x, la constante est nulle et
l’on trouve
1
x = sin :x
2
1
1
sin :2x + sin :3x
2
3
1
sin :4x + :::&c:;
4
équation connue qui a été remarquée par Euler.
... Il est essentiel d’observer à l’égard de toutes ces séries que les équations
qui la contiennent n’ont point lieu de la même manière toutes les valeurs de
la variable, et que les valeurs des séries in…nie de sinus ou de cosinus d’arcs
changent de signes subitement.
... Quant à la fonction
sin :x
1
1
sin :2x + sin :3x
2
3
1
sin :4x + :::&c:;
4
1
elle donne la valeur x tant que l’arc x est plus grand que zéro et moindre que
2
. Elle devient nulle subitement à la …n de cet interval et au-delà elle reprende
les valeurs précédentes avec le signe contraire. Ainsi l’équation
1
x = sin :x
2
1
1
sin :2x + sin :3x
2
3
1
sin :4x + :::&c:;
4
appartient à une ligne composée des parallèles inclinée aa...bb...cc... &c. et des
droites perpendiculaires ab, bc, cd,... &c.
”Sia per esempio
y = sin :x
1
1
sin :2x + sin :3x
2
3
1
1
sin :4x::: +
sin :m
4
m 1
40
1x
1
sin :mx
m
(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava
dy
= cos :x cos :2x + cos :3x cos :4x::: + cos :m
dx
Se si moltiplicano i due membri per 2 sin :x si avrà
2
dy
sin :x = ::: = sin :x
dx
1x
cos :mx:
1
1
2 cos :(m + )x sin : x:
2
2
Dunque
1
dy
=
dx
2
cos :(m + 12 )x sin : 12 x
1
=
sin :x
2
Si ha dunque
Z
cos :(m + 12 )x
1
1
dx = C + x
y= x
2
2
2 cos : 12 x
cos :(m + 21 )x
:
2 cos : 21 x
1 1
2m+
1
2
sin :(m + 21 )x
+ &c:;
2 cos : 21 x
e se m è in…nito si avrà
1
y = C + x:
2
Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante è nulla e si
trova
1
1
1
1
x = sin :x
sin :2x + sin :3x
sin :4x + :::&c:;
2
2
3
4
equazione nota che è stata trovata da Eulero.
... E’essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni che le
contengono non hanno a¤ atto luogo nella stessa maniera per tutti i valori della
variabile, e che i valori delle serie in…nite di seni e coseni di arco cambiano di
segno all’improvviso.
... Quanto alla funzione
1
1
1
sin :2x + sin :3x
sin :4x + :::&c:;
2
3
4
1
questa assegna il valore x quando l’arco x è maggiore di zero e minore di
2
. Questa diviene all’improvviso nulla alla …ne di questo intervallo e al di là
riprende i valori precedenti con il segno contrario. Così l’equazione
sin :x
1
1
1
1
x = sin :x
sin :2x + sin :3x
sin :4x + :::&c:;
2
2
3
4
appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc... &c. e di
rette perpendicolari ab, bc, cd,... &c.”
Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazione
x
=
2
+1
X
( 1)n+1
sin(nx). Per il lettore italiano non è di¢ cile decifrare l’originale
n
n=1
latino.
41
Leonhardo Eulero ”Subsidium calculi sinuum”, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.
”Theorema. Si assignari queat summa huius seriei
Az m + Bz m+n + Cz m+2n + Dz m+3n + Ez m+4n + etc: = Z;
semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum
A cos :m' + B cos :(m + n)' + C cos :(m + 2n)' + D cos :(m + 3n)' + etc:;
A sin :m' + B sin :(m + n)' + C sin :(m + 2n)' + D sin :(m + 3n)' + etc:
Demonstratio. Ponantur summae harum serierum
A cos :m' + B cos :(m + n)' + C cos :(m + 2n)' + D cos :(m + 3n)' + etc: = S;
A sin :m' + B sin :(m + n)' + C sin :(m + 2n)' + D sin :(m + 3n)' + etc = T;
sitque ut supra
cos :' +
erit
cos : ' +
p
p
1 sin :' = u
1 sin : ' = u
p
et
cos :'
et
cos : ' +
1 sin :' = v ;
p
1 sin : ' = v v .
Hinc ergo erit
p
S+T
1 = Aum + Bum+n + Cum+2n + Dum+3n + etc: = U;
p
S T
1 = Av m + Bv m+n + Cv m+2n + Dv m+3n + etc: = V:
Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum U et
V tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hinc
itaque elicitur
U V
p
,
2
1
ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.
S=
U +V
2
et
T =
Corollarium. Cum sit
z m + az m+n + a2 z m+2n + a3 z m+3n + etc: =
zm
;
1 az n
... Sit m = 1 et n = 1; erit
cos :' + a cos :2' + a2 cos :3' + a3 cos :4' + etc: =
... Sin autem sit a =
cos :'
cos :' a
;
1 + aa 2a cos :'
1, erit
cos :2' + cos :3'
42
cos :4' + etc: =
1
;
2
... Illa autem series per d' multiplicata et integrata dat
1
1
1
1
'
sin :2' + sin :3'
sin :4' + sin :5' etc: = ;
2
3
4
5
2
ubi additione constantis non est opus, cum posito ' = 0 summa sponte evanescat.”
sin :'
Cioè, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche capaci di
sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r (cos(#) + i sin(n#)),
+1
X
cn z n =
n=0
+1
X
cn rn cos(n#) + i
n=0
+1
X
cn rn sin(n#):
n=0
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di
convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti che
poi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d’Alembert:
”Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie che
non sono convergenti o che si può supporre non essere tali, mi sembrano sempre
molto sospetti.”
E Abel rincara la dose:
”Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed è una disgrazia
fondarci sopra delle dimostrazioni.”
Comunque, proprio con i risultati di Abel non è di¢ cile rendere rigorosi gli
argomenti di Eulero. La serie 1=2 cos(x) + cos(2x) cos(3x) + ::: è la serie
di Fourier della misura che associa massa ad ogni punto (2n + 1) . Questa
serie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di di¤erenziazione ed
integrazione termine a termine sono lecite.
Eulero non disdegna di tornare più volte sulle sue conquiste ed in un altro
lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi di interpolazione.
Leonhardo Eulero ”De eximio uso methodi interpolationum in serierum
doctrina”, Opuscula Analytica 1, 1783.
”Si enim quaeratur eius modi aequatio inter binas variabiles x et y, ut
sumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. …at y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatio haec
in genere ita repraesentari poterit
p
y
=
x
a
q
+
b
r
+
c
s
+
d
bb
bb
aa
aa
aa
aa
aa
aa
xx
aa
xx
bb
xx
cc
xx
dd
cc
cc
cc
cc
bb
bb
bb
bb
xx
aa
xx
bb
xx
cc
xx
dd
dd xx
dd aa
dd xx
dd bb
dd xx
dd cc
cc xx
cc dd
43
ee xx
etc:
ee aa
ee xx
etc:
ee bb
ee xx
etc:
ee cc
ee xx
etc: + etc:;
ee dd
ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satis…at.
... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorum naturalium sitque a = ', b = 2', c = 3', d = 4', etc. in in…nitum: ex quorum
sinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ' determinari oporteat.
Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem
sin :'
1
sin :2'
2
sin :3'
+
3
sin :4'
4
sin :5'
+
5
'=
2
1
1
1
1
2
1
3
1
4
2
3
1
3
1
4
1
5
1
6
3
2
3
1
2
1
2
2
2
3
3
4
3
5
2
5
2
6
2
7
4
3
4
2
4
1
3
1
3
2
4
5
4
6
4
7
3
7
3
8
5
4
5
3
5
2
5
1
4
3
5
6
5
7
5
8
5
9
4
7
etc:
etc:
etc:
etc:
etc: + etc:;
omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, ita ut sit
1
' = sin :'
2
1
1
sin :2' + sin :3'
2
3
1
1
sin :4' + sin :5'
4
5
etc:;
cuius seriei veritas casu, quo angulus ' est in…nite parvus, per se est manifesta.
Evolvamus ergo casus seguentes:
Sit ' = 90o = ac prodit series Leibniziana
2
4
=1
1 1
+
3 5
1 1
+
7 9
etc:;
1
1
1
sin :2' + sin :3' etc: dubium
... Circa seriem invenita ' = sin :'
2
2
3
oriri potest, quod sumto arcu ' = 180o = singuli seriei termini evanescant
1
ideoque summa nequeat
aequari. Verum ad hoc dubium solvendum statuatur
2
primo ' =
! et resultabit haec equatio
!
2
= sin :! +
1
1
1
sin :2! + sin :3! + sin :4! + etc:
2
3
4
!
nunc vero arcus ! in…nite parvus sumatur, unde adipiscimur hanc
=
2
! + ! + ! + ! + etc:, quae nihil amplius continet absurdi. Quod idem tenendum
est, si velimus accipere ' = 2 vel ' = 2 etc.”
44
