I 3R R - UniNa STiDuE

Universita' degli Studi di Roma “La Sapienza”
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Corso di FISICA (M-Z)- Prof. G. Zollo
Appello del 20.07.2004
Prova scritta
I parte: Meccanica
Esercizi
1) Una guida circolare liscia di
raggio R= 2m e' raccordata ad
R
un piano orizzontale scabro di
lunghezza 3R. Ad un punto
materiale di massa M= 1 kg,
I
3R
inizialmente fermo all'estremita'
libera del piano, viene conferito un impulso orizzontale di modulo I=9 Ns. Sapendo che
il coefficiente di attrito dinamico tra il punto materiale e il piano orizzontale scabro e'
µd=0.25, calcolare la quota massima raggiunta dal punto sulla guida.
2) Un punto materiale di massa M=1kg, inizialmente fermo su un piano orizzontale scabro
(µd =0.3), esplode in due frammenti di massa M/3 e 2/3M. Sapendo che il primo dei due
frammenti, prima di fermarsi, descrive una traiettoria rettilinea di lunghezza d=3m,
calcolare lo spazio percorso dal secondo frammento e l'energia sviluppata
nell'esplosione.
Teoria
a) Ricavare l'espressione del momento angolare di un sistema costituito da due punti
materiali di massa m1 e m2 disposti su un piano privo di attrito e in rotazione attorno ad
un asse perpendicolare al piano e passante per il centro di massa.
b) Dimostrare che una forza centrale isotropa qualsiasi e' conservativa. Calcolare la
funzione energia potenziale per la forza gravitazionale.
II Parte: Elettricita' e Magnetismo
(valida anche come II esonero per coloro che hanno superato il I esonero)
Esercizi
1. Sia
dato
il
circuito
in
A
C
figura
B
C
considerato in condizioni stazionarie
con il commutatore in posizione A.
f
R
R
f/2
R
All'istantet=0 il commutatore viene
spostato in modo da connettere il
generatore di forza elettromotrice f/2
con il terminale B; il circuito raggiunge quindi la nuova situazione stazionaria.
Calcolare il lavoro compiuto dalle forze elettrostatiche presenti all'interno dei
condensatori.
2. Un solenoide di lunghezza infinita, sezione circolare di
raggio R=20 cm e caratterizzato da n=200 spire/cm, e'
percorso da una corrente di intensita'I=2 A. All'internodel
solenoide si abbia una sbarretta conduttrice di lunghezza l=
R/2 e sezione trascurabile che ruota con velocita'angolare ω
= 40 rad/s (con verso concorde al verso di scorrimento della
corrente) attorno ad un asse di rotazione passante per il punto
medio della sbarretta e coincidente con l'assedel solenoide.
Calcolare la differenza di potenziale tra un estremo e il punto
centrale della sbarretta.
Teoria
a) Dimostrare il teorema di Ampere.
b) Dato un conduttore carico qualsiasi: 1) dimostrare che la carica in eccesso si dispone
sulla superficie; 2) ricavare il campo elettrostatico in prossimita'della superficie del
conduttore; 3) ricavare la relazione che sussiste tra la densita'di carica superficiale
locale e il raggio di curvatura nell'intorno di un punto della superficie.
Esonerato dalla I parte-Meccanica (rispondere SI o NO)_____________
Il
sottoscritto___________________________________nato
______________________il _________matr.
N°_________________ autorizza il
trattamento dei propri dati personali ai soli fini del corso.
Data________________
a
Firma dello Studente
___________________
Universita' degli Studi di Roma “La Sapienza”
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Corso di FISICA (M-Z)- Prof G. Zollo
Appello del 20.07.2004
Soluzioni
I Parte: Meccanica
1) La velocita'iniziale del punto materiale si ottiene dal teorema dell'impulsoe della
I
9 m s . Sul tratto orizzontale, il lavoro compiuto dalla
quantita'di moto: V 0
M
forza di attrito equivale alla variazione di energia meccanica (cioe'di energia cinetica in
quanto l'energia potenziale non cambia):
1
1
M V 12
M V 20 da
cui
si
ottiene
d M g 3R
2
2
V1
V 20
2 d g 3 R 7.18 m s . Sullo guida circolare liscia si ha
1
1
M g R 1 sin
M V 12
M V 2f
conservazione dell'energia meccanica
.
2
2
Affinche'il corpo rimanga sulla guida deve risultare RN>0; la condizione di primo
distacco
si
ottiene
imponendo
RN=0;
si
ha
quindi
2
V
RN M
M g sin
0
M V 2f
R M g sin max . In definitiva si ottiene:
R
V 12
2
sin max
0.21 da cui deriva h R 1 sin max 2 .42 m
3g R 3
2) Per il primo frammento si ha:
M
1 M 2
gd
V da cui si ha V 1
2 d g d . Poiche'l'esplosionee'
d
3
2 3 1
causata da forze interne, essa non altera la quantita'di moto del sistema e pertanto
V1
M
2
. Lo spazio percorso dal secondo frammento e'
V1
MV2
0
V2
3
3
2
2
2
1 2
1 2 V1
2
dato
da:
ossia
Mg
MV2
M
d d x
3
2 3
2 3
4
2
1 V1
L'energia
sviluppata
dall'esplosione
e'
dx
d 4 .
8 g d
1 M 2
1 2
2
E
V1
MV2
4.41 J
2 3
2 3
II Parte: Elettricita' e Magnetismo
1. Quando il sistema e'in condizioni stazionarie con il commutatore nella posizione A ai
V1
capi del condensatore c'e'
una differenza di potenziale
f
f
2
f
2
. La
f
. Quando il
2
commutatore e'in posizione B, ai capi del primo condensatore ci sara'solo la tensione
imposta dal primo generatore. Poiche'non circola corrente nella resistenza in serie con
il condensatore, la tensione ai capi del primo condensatore e'f. La tensione ai capi del
secondo condensatore sara',inoltre, f/2. Le cariche presenti in condizioni stazionarie sui
f
due condensatori saranno: Q ' 1 C f e Q ' 2 C
. Il lavoro fatto dalle forze
2
1
1
C V 2i
C V 2f .
elettrostatiche in un condensatore e'dato da L U i U f
2
2
Considerando entrambi i condensatori si ha:
f2 1
f2
1
1
1
L L1 L2
C
C f2 0
C
C f2 .
2
4
2
2
4
2
carica presente sul primo condensatore e', pertanto
C
Q1
P
O
2) Il campo magnetico in un solenoide e'uniforme ed
orientato secondo l'assein modo concorde con la regola
della mano destra: B
. Le cariche libere
0n I
all'interno della sbarretta si muovono con velocita'
appartenente ad un piano perpendicolare all'assedel
solenoide il cui modulo dipende dalla distanza dall'asse
di rotazione v
r . Esiste, pertanto un campo
elettrostatico lungo la sbarretta tale che
v B
B
Es
r B orientato verso il centro
di modulo pari a E s
della sbarretta. La differenza di potenziale tra un estremo e il centro della sbarretta e':
V P
V O
O
P
E s ds
B
0
R 4
r dr
1
32
B R2
2.51 mV