UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Base) L/Z
Tema del 20/11/2001
Prima parte
ESERCIZIO 1 Sia data la funzione
f (x) =
p
¡x 2 + 2 x
p
x3 x
a) Scrivere la generica primitiva di f (x) ;
R +1
b) Calcolare 1 f (x) dx:
ESERCIZIO 2 Dare la de…nizione di asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Speci…care le condizioni necessarie e
su¢cienti per l’esistenza di un asintoto obliquo.
Determinare gli eventuali asintoti obliqui di
f (x) = x (1 + e x ) :
ESERCIZIO 3 Sia f (x) derivabile in x0 2 T : Dimostrare che f (x) è continua in x0 :
ESERCIZIO 4 Determinare i punti stazionari della funzione
2
f (x; y) = x 2 + y3 + y 2 ex :
ESERCIZIO 5 Enunciare il metodo di integrazione (inde…nita) per parti e per sostituzione.
Seconda parte
ESERCIZIO A Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Sia f (x) una funzione reale di variabile reale,
continua in [0; +1) e tale che f (0) = 2: Calcolare
Rx
f (t) dt
lim 0
:
x!0
2xex
ESERCIZIO B Studiare la funzione
f (x) =
ex
1¡x
(non è richiesta f 00 (x) in quanto la funzione non presenta punti di ‡esso).
ESERCIZIO C Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange per funzioni reali di variabile reale.
ESERCIZIO D Determinare i punti di ‡esso della funzione
¡
¢
f (x) = 1 + x2 e x :
1
UNIVERSITA’ DI PAVIA
Facoltà di Economia
Matematica Generale (Corso Base) L/Z
Soluzione del tema del 20/11/2001
Prima parte
ESERCIZIO 1
p
¡x 2 + 2 x
p
f (x) =
x3 x
a)
Z
Z
p
p
¡x2
2 x
¡x2 + 2 x
p
dx
=
p
dx
+
p dx =
x3 x
x3 x
x3 x
Z
Z
3
2
1
= ¡ x¡ 2 dx + 2 x¡3 dx = p ¡ 2 + c:
x x
Z
b)
Z
+1
f (x) dx = lim
k !+1
1
Z
k
f (x) dx = lim
k!+1
1
ESERCIZIO 2
·
2
1
p ¡ 2
x x
¸k
= lim
k!+1
1
·
¸
2
1
p ¡ 2 ¡ 2 + 1 = ¡1:
k k
f (x) = x (1 + ex )
Innanzitutto considero i limiti
lim f (x)
= +1
lim f (x)
= ¡1
x!+1
x!¡1
ed essendo entrambi non …niti proseguo cercando gli eventuali coe¢cienti angolari:
m1
m2
f (x)
= lim (1 + e x ) = +1
x!+1
x!+1 x
f (x)
=
lim
= lim (1 + e x ) = 1:
x!¡1 x
x!¡1
=
lim
Da ciò segue che la funzione non ammette asintoto obliquo per x ! +1: Rimane da stabilire l’ordinata all’origine dell’
eventuale asintoto per x ! ¡1 :
q2 = lim [f (x) ¡ m 2 x] = lim [x (1 + ex ) ¡ x] = lim xe x = 0:
x!¡1
x!¡1
L’asintoto obliquo per x ! ¡1 ha equazione
ESERCIZIO 4
x!¡1
y = x:
2
f (x; y) = x 2 + y3 + y 2 ex :
Le derivate parziali sono:
fx (x; y)
=
fy (x; y)
=
e risolvendo
si ottiene
h
i
2
2
2x + 2xy 2 ex = 2x 1 + y2 ex
h
i
2
2
3y2 + 2yex = y 3y + 2ex
½
fx (x; y) = 0
fy (x; y) = 0
½
x=0
y = 0:
Quindi l’unico punto stazionario è P (0; 0) :
2
Le derivate parziali seconde sono:
00
fxy
(x; y) =
³ 2
´
¢
2
2 ¡
2 + y2 2ex + 4x2 e x = 2 + 2y2 e x 1 + 2x 2
00
fyy
(x; y) =
6y + 2e x
00
fxx
(x; y) =
2
2
00
fyx
(x; y) = 2x2yex = 4xye x
2
Quindi la matrice Hessiana nel punto P è
H (0; 0) =
·
2 0
0 2
¸
il cui determinante è pari a 4. Tale matrice è quindi de…nita positiva e il punto P (0; 0) è un punto di minimo.
Seconda parte
ESERCIZIO A Essendo
lim
Rx
0
x!0
posso applicare il teorema diell’Hospital ottenendo:
· ¸
f (t) dt
0
=
;
x
2xe
0
¸
·
2
f (x)
f (0)
= = 1:
=
lim
x
x
x!0 2xe + 2e
2
2
ESERCIZIO B
f (x) =
Il dominio:
ex
1¡x
T = (¡1; 1) [ (1; +1) :
Il segno: f (x) > 0 () x < 1: L’insieme di positività è quindi:
I P = (¡1; 1) :
Limiti:
lim f (x) =
0;
lim f (x) =
+1;
lim f (x) =
¡1;
lim f (x) =
¡1:
x!¡1
x!1¡
x!1 +
x!+1
Derivata prima:
f 0 (x) =
¡
¢
quindi M 2; ¡e 2 è il massimo relativo.
ESERCIZIO D
La derivata prima è
mentre la derivata seconda è
Risolvendo la disequazione
si ottengono i due punti di ‡esso:
e x (1 ¡ x) ¡ e x (¡1)
e x (2 ¡ x)
=
¸ 0 () x · 2;
2
(1 ¡ x)
(1 ¡ x) 2
¡
¢
f (x) = 1 + x2 e x :
¡
¢
2
f 0 (x) = 2xe x + 1 + x2 ex = (1 + x) ex ;
¡
¢
f 00 (x) = (1 + x)2 ex + 2 (x + 1) ex = x 2 + 4x + 3 ex :
f 00 (x) ¸ 0
x = ¡3
x = ¡1:
3
