Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO del 18/04/11
Soluzioni
★ Per tutti: Un blocco di metallo di massa mc = 450g alla temperatura Tc = -200 °C, viene
posto allʼinterno di un calorimetro ideale che contiene ma = 2 kg di acqua alla
temperatura Ta = 15 °C. Allʼequilibrio si forma una miscela di acqua e ghiaccio. Se la
massa del ghiaccio è pari a mg = 120 g, qualʼè il calore specifico del metallo? Qualʼè la
variazione di entropia dellʼacqua?
Solo per esame da 9CFU: Come cambierebbe il calore specifico del metallo se il
calorimetro avesse una capacità termica pari a C = 0.6 Kcal/°C?
Se allʼequilibrio si ha una miscela di acqua e ghiaccio allora la temperatura di equilibrio è
Te = 0 °C
Lʼacqua cede calore al metallo, raggiungendo la temperatura di 0 °C, e poi cede calore
latente congelandosi parzialmente per cui imponendo lʼuguaglianza tra il calore ceduto
dallʼacqua e quello assorbito dal metallo si ha
ma ca (Ta-Te) + mg qsol = mc cc (Te-Tc)
dellʼacqua. Poiché Te=0 °C
dove qsol è il calore latente di solidificazione
ma ca Ta + mg qsol = mc cc (-Tc)
ovvero
cc = (ma ca Ta + mg qsol) / mc (-Tc) = 0.44 kcal kg-1 °C-1
La variazione di entropia dellʼacqua è data dal contributo dovuto al passaggio da Ta a Te
(ΔS0), e dal congelamento di mg di acqua (ΔSsol)
∆S0 =
�
T =Te
T =Ta
∆Ssol = −
dQ
=
T
�
T =Te
T =Ta
ma ca dT
= ma ca ln
T
�
Te
Ta
�
mg qsol
Te
Nel caso del congelamento dellʼacqua il calcolo dellʼentropia è ovviamente semplificato
perché avviene a T costante.
ΔS = ΔS0 + ΔSsol = -0.11 kcal K-1 -0.035 kcal K-1 = -0.145 kcal K-1
dove il segno è ovviamente negativo poiché lʼacqua ha ceduto calore.
Nel caso in cui il calorimento abbia una capacità termica C bisogna considerare anche il
calore che esso cede al metallo ovvero
ma ca (Ta-Te) + mg qsol + C (Ta-Te) = mc cc (Te-Tc)
(ma ca +C) Ta + mg qsol = mc cc (-Tc)
cc = [(ma ca +C)Ta + mg qsol] / mc (-Tc) = 0.54 kcal kg-1 °C-1
★ Lʼacqua esce da un serbatoio da un tubo posto allʼaltezza h1= 20m. Il tubo termina con
una apertura di diametro d2=1cm posta ad una altezza di h2=5m, chiusa da un tappo.
Qualʼè la forza da esercitare sul tappo per mantenerlo al suo posto sapendo che nel
serbatoio il livello dellʼacqua si trova a Δh = 1 m al disopra del condotto di ingresso?
Con quale velocità esce lʼacqua se si toglie il tappo?
La pressione da esercitare sul tappo è pari alla
pressione idrostatica dellʼacqua per un dislivello
h = h1+Δh-h2
ovvero
Pidr = d g h = 156800 Pa = 1.57 atm
Da cui la forza sul tappo è pari a
F = Pidr * π (d2/2)2 = 12.3 N
Se si toglie il tappo lʼacqua esce liberamente e,
allʼuscita, si trova alla pressione atmosferica. Si
applica pertanto il teorema di Bernoulli
considerando come sezioni la superficie del liquido nel serbatoio e la superficie di uscita.
In entrambi i casi la pressione è quella atmosferica (il liquido è a contatto con lʼaria) per cui
si ha
Patm + d g (h1+Dh) + 1/2 d v2 = Patm + d g h2 + 1/2 d v22
Se si applica la conservazione della portata, si può notare immediatamente che v << v2 in
quanto la superficie libera del liquido è molto maggiore della sezione del foro in uscita per
cui
g (h1+Δh) = g h2 + 1/2 v22
v2 = [ 2 g (h1+Δh-h2) ]0.5 = 17.7 m/s
Lʼespressione per v2 è quella attesa dal teorema di Torricelli.
★ Una macchina di Carnot adopera come termostato a bassa temperatura una miscela di
acqua e ghiaccio, ha un rendimento η=0.15 e produce ad ogni ciclo un lavoro pari a L =
150 J. Calcolare le quantità di calore Q1 e Q2 scambiate con i termostati e la variazione
di entropia della macchina lungo lʼisoterma di espansione, supponendo che utilizzi del
gas perfetto. Si calcoli inoltre quanto ghiaccio viene sciolto ad ogni ciclo nel termostato a
bassa temperatura.
Il rendimento è definito come
η = L / Q1
da cui
Q1 = 1000 J
per il primo principio applicato al ciclo
0 = Q1-Q2-L ovvero
Q2 = Q1-L = 850 J
La variazione di entropia lungo lʼisoterma di espansione è data da ΔS = Q1 / T1 poiché la
trasformazione è isoterma. Per trovare T1 basta ricordare che per una macchina di Carnot
η = 1 - T2/T1 ovvero T1 = T2 / (1 - η) = 321.4 K
per cui
ΔS = Q1 / T1 = 3.1 J K-1
Infine il ghiaccio sciolto nel termostato ad ogni ciclo è dato da
m = Q2/qfus = 2.5 g
dove si è convertito Q2 in calorie.
★ Cosa è la resistenza elettrica e quale legge caratterizza alcuni tipi di conduttori? Date
due resistenze R1 ed R2 si mostri come si ricava lʼespressione per la resistenza
equivalente nei casi in cui le siano poste in serie o in parallelo. Se le due resistenze
sono poste in parallelo alla differenza di potenziale V, qualʼè la potenza totale dissipata
in esse per effetto Joule?
La legge richiesta è quella di Ohm per i conduttori Ohmici
R=V/i
Bisogna poi dimostrare che
R = R1 + R2
serie
1/R = 1/R1 + 1/R2 parallelo
Infine, se le resistenze sono in parallelo, la differenza di potenziale ai capi di R1 ed R2 è V
e la potenza dissipata per effetto Joule è
P = V2/R = V2 (1/R1 + 1/R2)