COMPITO del 25/06/12
Soluzioni
★ Per tutti: Una sfera di raggio rs = 17 cm è mantenuta completamente immersa in acqua
da una molla di costante elastica pari a k = 125 N/m, come mostrato in figura. Se la
molla è allungata di l = 16.1 cm, qual è la densità della sfera? Se la sfera viene staccata
dalla molla, quanto tempo impiega a raggiungere la superficie del liquido sapendo che si
trova ad una profondità h = 2.2 m?
Solo per esame da 9CFU: Come cambiano i risultati dell’ultima domanda se la sfera
fosse soggetta ad una forza di attrito costante da parte del liquido e pari a FA = 10.9 N?
La pallina è mantenuta immersa per l’equilibro tra la forza di Archimede e la somma tra la
forza di gravità e della molla
FArch = Fgrav+Fmolla
ρa Vs g = ms g + k Δl
con ρa densità dell’acqua, Vs volume della sfera (Vs =
ms / ρs = 0.021 m3) e Δl allungamento della molla.
Ovvero
ρs = ρa - k Δl / ( Vs g ) = 900 kg m-3
Se la pallina viene staccata dalla molla è soggetta ad
una forza costante verso l’alto pari a
F = FArch - Fgrav
si tratta quindi di un moto uniformemente accelerato
con accelerazione
a = F/ms = (ρa / ρs - 1) g = 0.11 g = 1.09 m s-2
pertanto, tenuto conto che la pallina parte da ferma, lo
spazio percorso è
s = 1/2 a t2
ovvero il tempo necessario a raggiungere la superficie è
t = (2 h / a)1/2 = (2 h / [(ρa / ρs - 1) g] )1/2 = 2.0 s
Nel caso in cui sia presente la forza di attrito FA,
F = FArch - Fgrav - FA
a = F/ms = (ρa / ρs - 1) g - FA /( ρs Vs ) = 0.5 m s-2
t = (2 h / a)1/2 = 3.0 s
h
★ Un calorimetro ideale contiene 3 litri di acqua alla temperatura Ta=20 °C. Si inserisce un
blocco di ghiaccio di massa mg=1.5 kg alla temperatura di Tg=-15 °C. Determinare:
a) stato finale (solido, liquido o miscela dei due) del sistema;
b) la temperatura finale del sistema;
c) la massa di ghiaccio che si scioglie.
Solo per esame da 9CFU:
c) la variazione di entropia del sistema acqua più ghiaccio tra il momento iniziale e la
condizione di equilibrio. Discuterne il segno.
La quantità di calore necessaria a portare il ghiaccio a T=0 °C è
Q1 = mg cg (-Tg) = 11.25 kcal
La quantità di calore necessaria per fondere tutto il ghiaccio è
Q2 = mg qfus = 120 kcal
La quantità di calore che può cedere l’acqua del calorimetro per arrivare a T=0 °C è
Q3 = ma ca Ta = 60 kcal
La quantità di calore che dovrebbe cedere l’acqua per diventare ghiaccio è
Q4 = ma qfus = 240 kcal
dal confronto tra i vari calori si può ricavare che l’acqua nel calorimetro non è in grado di
fondere tutto il ghiaccio (Q3 < Q1+Q2) e del resto il pezzo di ghiaccio non è in grado di far
solidificare tutta l’acqua del calorimetro (Q1+Q2 < Q3+Q4). Per cui lo stato finale del
sistema deve essere una miscela di acqua e ghiaccio con temperatura T=0 °C. Detta mx
la massa di ghiaccio che si scioglie
Q1 + mx qfus = Q3
ovvero mx = (Q3-Q1)/qfus = 0.61 kg
La variazione di entropia è data da
ΔS = ΔSg+ΔSfus+ΔSa = mg cg ln(T0/Tg)+ mx qfus/T0 + ma ca ln(T0/Ta)
= 0.042 kcal/K + 0.179 kcal/K - 0.212 kcal/K = 0.009 kcal/K = 9 cal/K
ΔSg variazione di entropia del ghiaccio nel passaggio a T=0 °C (T0=273 K), ΔSfus per
fusione del SOLO ghiaccio FUSO (processo isotermo), ΔSa passaggio acqua a T=0 °C.
ΔS > 0 è in accordo col II principio della termodinamica e col fatto che il sistema è
isolato (calorimetro ideale) e la trasformazione è irreversibile (scambio di calore tra corpi
a temperature diverse).
★ Un recipiente perfettamente isolante è diviso in due parti uguali da una parete anchʼessa
isolante. Una delle due parti del recipiente è vuota mentre lʼaltra contiene una massa m
= 0.48 kg di O2 alla pressione P1 = 1.2 atm ed alla temperatura T1 = 25 °C. Qualʼè il
volume delle due parti in cui è diviso il recipiente? Si calcolino poi la pressione e le
variazioni di energia interna ed entropia del gas dopo che la parete isolante è stata
rimossa e il gas si è espanso.
Si calcoli la quantità di calore disperso se il recipiente non fosse perfettamente isolante
e la temperatura finale del gas fosse pari alla temperatura dell’ambiente Ta = 12 °C.
Il numero di moli del gas è n = 480 g / 32 g mol-1 = 15 mol (32 g mol-1 peso molecolare
O).
Il volume inizialmente occupato dal gas si ottiene applicando l’equazione di stato dei gas
perfetti (ricordando che 1 atm = 105 Pa):
V1 = n R T1/P1 = 20 mol * 8.31 J mol-1 K-1 * (273.15+25) K / 1.2 105 Pa = 0.31 m3
Quando si rimuove la parete isolante il gas effettua un’espansione libera (nell’altra metà
del recipiente c’è il vuoto) fino ad occupare un volume doppio. Siccome il sistema è
isolato il calore ricevuto è Q=0, il lavoro compiuto è L=0 (espansione libera) per cui
applicando il primo principio
ΔEint = Q-L = 0
combinato con ΔEint = n CV ΔT si ottiene ΔT=0 ovvero la temperatura non varia.
La pressione del gas si può trovare utilizzando la relazione per una trasformazione
isoterma per cui PV = costante. Allora
P2 = P1 V1/V2 = 0.5 P1 = 0.6 atm
La variazione di entropia in una espansione libera (non reversibile) è uguale alla
variazione di entropia di una trasformazione isoterma reversibile che porta dallo stesso
stato iniziale allo stesso stato finale (entropia è funzione di stato) per cui
ΔS= nR ln(V2/V1) = nR ln (2) = 86.4 J/K
Per la conservazione dell’energia (I principio della termodinamica), poiché il gas non fa
lavoro durante l’espansione, il calore disperso è semplicemente pari alla variazione
dell’energia interna ovvero
Q = ΔEint = n CV ΔT = 5/2 n R ΔT = -4051 J
negativo perchè è calore ceduto dal sistema.
