Analisi Matematica I Limiti e continuit`a Limiti e continuit`a Test di

Analisi Matematica I
Limiti e continuità
Limiti e continuità
Test di autovalutazione
1. Si indichi con M(t) la mantissa di t. Il limite lim M(1 − x2 )
x→0
(a)
non esiste
(b)
vale 1
(c)
vale 0
(d)
è uguale a M(lim (1 − x2 ))
x→0
2. Sia an una successione infinitesima e consideriamo la successione bn = n!an .
Allora:
(a)
bn è sempre una successione infinitesima
(b)
bn non è mai una successione infinitesima
(c)
bn può tendere a +∞
(d)
bn è sempre monotona crescente
3. Sia A = (0, 1) ∪ [−2, −1) ∪ {−3, 0}. Allora
(a)
A ammette massimo, ma non minimo
(b)
A ammette minimo, ma non massimo
(c)
A non ammette né massimo né minimo
(d)
A ammette sia massimo sia minimo
4. Sia f : R → R una funzione tale che lim f (x) = 12. Allora, necessariamente
x→+∞
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) > 11 per ogni x ∈ R
esiste ǫ > 0 tale che |f (x) − 12| < ǫ per ogni x > 1000
esiste x ∈ R tale che f (x) ≥ 12
esiste M ∈ R tale che |f (x) − 12| < 1 per ogni x > M
5. Sia f : R → R monotona crescente sull’intervallo I=(2, 5). Allora necessariamente:
(a) f è limitata su I
(b) esiste lim− f (x)
x→5
1
1
(c) f
≥f
π
e
(d) f è continua su I
c
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Limiti e continuità
6. Siano f (x) = |x| − 2 e g(x) = ln x. Allora, necessariamente
(a) dom f ◦ g = R \ {0}
(b) dom f ◦ g = R
(c) dom g ◦ f = (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
(d) dom g ◦ f = R \ {2}
1
π
+ x sin
7. I limiti laterali lim± tan
x→0
4
x
(a) non esistono
(b) valgono rispettivamente ±1
(c) sono uguali a 1
(d) sono infiniti
8. Sia f : [0, 1] → R una funzione continua tale che f (0) = 0 e f (1) = 1. Allora,
necessariamente
(a) im f ⊆ [0, 1]
(b) im f = [0, 1]
(c) im f ⊇ [0, 1]
(d) im f = {0, 1}
1
9. Si considerino gli intervalli In = −n,
, al variare di n ∈ IN \ {0}. Allora,
2n
necessariamente
[
1
(a)
In = −∞,
2
n∈IN\{0}
[
1
(b)
In = −1,
2
n∈IN\{0}
[
(c)
In = [−1, 0)
n∈IN\{0}
[
(d)
In = (−∞, 0)
n∈IN\{0}
c
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Limiti e continuità
10. Sono date due funzioni non nulle f, g : R → R con f pari e g dispari. Allora
necessariamente la funzione f − g
(a) è pari
(b) è dispari
(c) è nulla
(d) non è né pari né dispari
√
11. È data la funzione f (x) = 1 − log x. Allora:
(a)
f −1 ([−1, 1]) = [0, 1]
(b)
non esiste f −1 ([−1, 1])
(c)
f −1 ([−1, 1]) = f −1 ([0, 1])
(d)
f −1 ([−1, 1]) = {x ∈ R : −1 ≤ 1 − log x ≤ 1}
12. L’inversa della funzione f (x) = x2 − x + 2:
(a)
(b)
(c)
(d)
non esiste
√
4x − 7
è la funzione g(x) =
2
2
è la funzione x = y − y + 2
√
1 ± 4x − 7
.
è la funzione h(x) =
2
c
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1+
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Limiti e continuità
1. Si indichi con M(t) la mantissa di t. Il limite lim M(1 − x2 )
x→0
(a)
non esiste
(b)
vale 1
(c)
vale 0
(d)
è uguale a M(lim (1 − x2 ))
x→0
RISPOSTA ESATTA: (b).
Se 0 ≤ t < 1, si ha M(t) = t, mentre M(1) = 0; pertanto, se −1 ≤ x ≤ 1 , x 6=
0, la funzione M(1 − x2 ) coincide con la funzione 1 − x2 , mentre, se x = 0, la
funzione M(1 − x2 ) vale 0.
Dunque lim M(1 − x2 ) = lim (1 − x2 ) = 1.
x→0
x→0
Pertanto (b) è vera mentre (a) e (c) sono false.
Anche (d) è falsa, perché lim (1 − x2 ) = 1 e M(1) = 0.
x→0
c
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Limiti e continuità
2. Sia an una successione infinitesima e consideriamo la successione bn = n!an .
Allora:
(a)
bn è sempre una successione infinitesima
(b)
bn non è mai una successione infinitesima
(c)
bn può tendere a +∞
(d)
bn è sempre monotona crescente
RISPOSTA ESATTA: (c).
n!
1
che tende a +∞.
Se si sceglie an = , si ha un esempio di successione bn =
n
n
Dunque (c) è vera.
1
n!
1
Se invece si sceglie an =
, allora la successione bn =
= tende a
n · n!
n · n!
n
0 e non è crescente.
Pertanto (b) e (d) sono false.
La (a) è falsa: è sufficiente scegliere an =
c
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1
.
n!
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3. Sia A = (0, 1) ∪ [−2, −1) ∪ {−3, 0}. Allora
(a)
A ammette massimo, ma non minimo
(b)
A ammette minimo, ma non massimo
(c)
A non ammette né massimo né minimo
(d)
A ammette sia massimo sia minimo
RISPOSTA ESATTA: (b).
Si ha min A = −3, sup A = 1, e 1 ∈
/ A. Pertanto A ammette minimo ma non
ammette massimo.
c
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4. Sia f : R → R una funzione tale che lim f (x) = 12. Allora, necessariamente
x→+∞
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) > 11 per ogni x ∈ R
esiste ǫ > 0 tale che |f (x) − 12| < ǫ per ogni x > 1000
esiste x ∈ R tale che f (x) ≥ 12
esiste M ∈ R tale che |f (x) − 12| < 1 per ogni x > M
RISPOSTA ESATTA: (d).
La definizione di lim f (x) = 12 assicura che
x→+∞
∀ǫ > 0, ∃M > 0 : ∀x > M , |f (x) − 12| < ǫ .
Dunque, scegliendo ǫ = 1, si ottiene quanto asserito in (d).
La funzione
f (x) =
−1
+ 12
|x − 1000|
fornisce un controesempio che mostra la falsità delle altre risposte: infatti
lim f (x) = 12; inoltre lim f (x) = −∞, e quindi esiste un intorno di
x→+∞
x→1000
x = 1000 in cui f (x) < 0 e dunque (a) è falsa.
Inoltre esiste anche un intorno destro di x = 1000 in cui f (x) non è limitata e
quindi (b) è falsa.
Infine, f (x) < 12, ∀x ∈ R \ {1000}. Quindi anche (c) è falsa.
c
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Limiti e continuità
5. Sia f : R → R monotona crescente sull’intervallo I=(2, 5). Allora necessariamente:
(a) f è limitata su I
(b) esiste lim− f (x)
x→5
1
1
(c) f
≥f
π
e
(d) f è continua su I
RISPOSTA ESATTA: (b).
1
.
5−x
La risposta (b) è vera: è quanto afferma il Teorema di esistenza del limite delle
funzioni monotone.
1
1
1
La risposta (c) è falsa: poiché < ed f è crescente, si deve avere f
≤
π
e
π
1
.
f
e
La risposta (a) è falsa: si pensi come controesempio alla funzione f (x) =
La risposta (d) è falsa: si consideri come controesempio la funzione
( 2
x
se −1 ≤ x < 0 ,
f (x) =
1 − ex se 0 ≤ x ≤ 1 .
c
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Limiti e continuità
6. Siano f (x) = |x| − 2 e g(x) = ln x. Allora, necessariamente
(a) dom f ◦ g = R \ {0}
(b) dom f ◦ g = R
(c) dom g ◦ f = (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
(d) dom g ◦ f = R \ {2}
RISPOSTA ESATTA: (c).
Si ha
(f ◦ g)(x) = f (ln x) = | ln x| − 2 ,
e
(g ◦ f )(x) = g(|x| − 2) = ln(|x| − 2) .
Pertanto dom f ◦ g = (0, +∞), e dom g ◦ f = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Quindi le risposte (a) e (b) e (d) sono false, mentre la risposta (c) è vera.
c
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Limiti e continuità
1
π
+ x sin
7. I limiti laterali lim± tan
x→0
4
x
(a) non esistono
(b) valgono rispettivamente ±1
(c) sono uguali a 1
(d) sono infiniti
RISPOSTA ESATTA: (c).
1
π
Si ha lim± x sin = 0 ; poiché la funzione tan t è continua per t = , si ha
x→0
x
4
π
π
1
1
π
= tan lim±
= tan = 1 .
+ x sin
+ x sin
lim± tan
x→0
x→0
4
x
4
x
4
Pertanto è vero quanto asserito in (c), mentre (a), (b) e (d) sono false.
c
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Limiti e continuità
8. Sia f : [0, 1] → R una funzione continua tale che f (0) = 0 e f (1) = 1. Allora,
necessariamente
(a) im f ⊆ [0, 1]
(b) im f = [0, 1]
(c) im f ⊇ [0, 1]
(d) im f = {0, 1}
RISPOSTA ESATTA: (c).
Come conseguenza dei teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi, si ha che
im f = [m, M], dove m = min f e M = max f .
Poiché m ≤ 0 e M ≥ 1, si ha im f ⊇ [0, 1].
c
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Limiti e continuità
1
, al variare di n ∈ IN \ {0}. Allora,
9. Si considerino gli intervalli In = −n,
2n
necessariamente
[
1
(a)
In = −∞,
2
n∈IN\{0}
[
1
(b)
In = −1,
2
n∈IN\{0}
[
(c)
In = [−1, 0)
n∈IN\{0}
[
(d)
In = (−∞, 0)
n∈IN\{0}
RISPOSTA ESATTA: (a)
Scriviamo esplicitamente alcuni termini dell’unione di questi intervalli:
[
1
1
1
1
In = −1,
∪ −2,
∪ −3,
∪ . . . ∪ −n,
... .
2
4
6
2n
n∈IN\{0}
Si tratta di intervalli il cui estremo di sinistra è negativo e diventa sempre più
grande in valore assoluto, mentre l’estremo di destra tende a 0, ovvero
1
= 0.
n→∞
n→∞ 2n
[
[
1
1
Poiché I1 = −1,
∈
In , si ottiene
In = −∞,
.
2
2
n∈IN\{0}
n∈IN\{0}
lim (−n) = −∞
c
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e
lim
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Limiti e continuità
10. Sono date le funzioni non nulle f, g : R → R di cui f è pari e g è dispari.
Allora necessariamente la funzione f − g
(a) è pari
(b) è dispari
(c) è nulla
(d) non è né pari né dispari
RISPOSTA ESATTA: (d)
Per ipotesi, f (−x) = f (x), mentre g(−x) = −g(x). Calcoliamo
(f − g)(−x) = f (−x) − g(−x) = f (x) + g(x)
e
(f − g)(x) = f (x) − g(x) .
Dunque f − g è pari se e solo se (f − g)(−x) = (f − g)(x), ovvero se e solo
se g(x) = −g(x), ∀x ∈ R; ma questo si può verificare se e solo se g(x) è
identicamente nulla, contro l’ipotesi.
In modo analogo f − g è dispari se e solo se (f − g)(−x) = −(f − g)(x) e
dunque se e solo se f (x) = −f (x), ∀x ∈ R, cioè solo se f (x) è identicamente
nulla.
Dunque, f − g non può essere né pari né dispari.
c
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11. È data la funzione f (x) =
Limiti e continuità
√
1 − log x. Allora:
(a)
f −1 ([−1, 1]) = [0, 1]
(b)
non esiste f −1 ([−1, 1])
(c)
f −1 ([−1, 1]) = f −1 ([0, 1])
(d)
f −1 ([−1, 1]) = {x ∈ R : −1 ≤ 1 − log x ≤ 1}
RISPOSTA ESATTA: (c)
Per definizione di controimmagine, e tenendo conto che la funzione radice
assume solo valori positivi, si ha:
p
f −1 ([−1, 1]) = {x ∈ domf : −1 ≤ 1 − log x ≤ 1}
p
= {x ∈ domf : 0 ≤ 1 − log x ≤ 1}
= f −1 ([0, 1]).
Dunque (c) è esatta. Inoltre
p
f −1 ([−1, 1]) = {x ∈ domf : 0 ≤ 1 − log x ≤ 1}
= {x ∈ domf : 0 ≤ 1 − log x ≤ 1}
e quindi (d) è errata.
La
√ risposta (a) è errata perché, se x ∈ [0, 1] si ha log x ≤ 0, e dunque
1 − log x ≥ 1.
La risposta (b) è errata, perché f −1 ([−1, 1]) 6= ∅: infatti, ad esempio, f (1) = 1
e dunque 1 ∈ f −1 ([−1, 1]).
c
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Limiti e continuità
12. L’inversa della funzione f (x) = x2 − x + 2:
(a)
(b)
(c)
(d)
non esiste
√
4x − 7
2
2
è la funzione x = y − y + 2
√
1 ± 4x − 7
.
è la funzione h(x) =
2
è la funzione g(x) =
1+
RISPOSTA ESATTA: (a)
La funzione f (x) = x2 − x + 2 non è invertibile, perché non è iniettiva: dunque
la risposta (a) è esatta.
La risposta (b) è errata: sarebbe esatta se si considerasse
l’inversa non di f ,
1
ma della restrizione invertibile di f all’intervallo 2 , +∞ .
La funzione k(y) = y 2 − y + 2 non è la funzione inversa di f . Infatti, se lo
fosse, la funzione k ◦ f dovrebbe essere identica, e quindi si dovrebbe avere,
preso comunque x ∈ dom(k ◦ f ), (k ◦ f )(x) = x; invece (k ◦ f )(x) = k(f (x)) =
k(x2 − x + 2) = (x2 − x + 2)2 − (x2 − x + 2) + 2 6= x. Dunque la risposta (c) è
errata.
La risposta (d) è errata: h(x) non è neppure una funzione (non è ad un sol
valore).
c
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