Indice

Indice
Prefazione
xiii
1 Vibrazioni libere e forzate di oscillatori elementari
1
1.1
Vibrazioni libere non smorzate
l
1.2
Vibrazioni libere smorzate
7
1.3
Vibrazioni forzate per forzante sinusoidale
12
1.4
Equazioni del moto e risposta in termini di variabili di stato
19
1.5
Funzioni risposta al gradino unitario e all'impulso unitario
24
1.6
Risposta a una forzante qualunque
31
1.6.1
Formulazione integrale
31
1.6.2
Formulazione incrementale
34
1.7
1.8
Analisi dinamica nel dominio della frequenza
39
1.7.1
Funzione di trasferimento e considerazioni sulla risposta . .
39
1.7.2
Spazio delle variabili di stato
47
Spettri di risposta per forzanti rappresentate da leggi analitiche
(a cura di Alba Soft)
49
1.8.1
Considerazioni preliminari
49
1.8.2
Gradino con rampa iniziale
53
1.8.3
Impulso rettangolare di durata e intensità finite
57
1.8.4
Forzante periodica
59
ii
Indice
1.9
Metodi per la determinazione dello smorzamento
(a cura di Antonina Pirrotta)
2 Vibrazioni libere di strutture a più gradi di libertà
2.1
2.2
2.3
66
73
Equazione del moto di strutture non smorzate
73
2.1.1
Considerazioni preliminari
73
2.1.2
Le equazioni di equilibrio in statica
74
2.1.3
Le equazioni di equilibrio in dinamica
79
Considerazioni sulle matrici di rigidezza e d'inerzia
84
2.2.1
La matrice di rigidezza
84
2.2.2
La matrice delle masse
86
2.2.3
Equazioni del moto
88
2.2.4
Condensazione statica delle equazioni del moto
88
Vibrazioni libere non smorzate
93
2.3.1
Modi propri di vibrare
93
2.3.2
Proprietà di ortogonalità degli autovettori
96
2.3.3
Vibrazioni libere mediante la combinazione
delle forme modali
98
2.4
Equazioni di Lagrange per sistemi dinamici smorzati
103
2.5
Considerazioni sulla matrice di dissipazione viscosa
107
2.5.1
La matrice di dissipazione modale
107
2.5.2
Costruzione diretta della matrice di dissipazione
col metodo delle velocità
Ili
2.5.3
La modellazione di Rayleigh della matrice
di dissipazione
2.5.4
112
La modellazione di Caughey della matrice
di dissipazione
115
Considerazioni sul rapporto di smorzamento
117
2.6
Vibrazioni libere di strutture classicamente smorzate
119
2.7
Vibrazioni libere di strutture non classicamente smorzate
123
2.7.1
Soluzione dell'omogenea associata
123
2.7.2
Particolarizzazione della soluzione per sistemi
2.5.5
2.7.3
non smorzati e classicamente smorzati
129
Soluzione in termini di variabili di stato
131
Indice
2.8
iii
Considerazioni sulle vibrazioni libere dei sistemi
' classicamente e non classicamente smorzati
(a cura di Pierfrancesco Cacciola)
3 Vibrazioni forzate di strutture classicamente
e non classicamente smorzate
3.1
3.2
3.4
141
Analisi modale
141
3.1.1
3.1.2
141
142
Considerazioni preliminari
Spazio nodale e spazio modale
3.1.3 II metodo di sovrapposizione delle risposte modali
Risposta nel dominio del tempo per strutture
classicamente smorzate
3.2.1 Formulazione integrale
3.2.2
3.3
135
Formulazione incrementale: metodo dell'interpolazione
costante o lineare della forzante
145
149
149
153
Risposta nel dominio della frequenza per strutture
classicamente smorzate
3.3.1 Funzioni di trasferimento
3.3.2 Spazio delle variabili di stato
Vibrazioni forzate di strutture non classicamente smorzate
155
155
157
158
3.4.1
158
Analisi modale non classica
3.4.2
3.5
3.6
3.7
3.8
Formulazione incrementale per il calcolo della risposta
nel dominio del tempo
3.4.3 Risposta nel dominio della frequenza
Metodi di correzione modale
161
165
168
Cenni sui metodi alternativi all'analisi modale
3.6.1 Considerazioni preliminari
3.6.2 II metodo di Newmark
171
171
173
3.6.3
174
II metodo dei vettori di Ritz e di Lanczos
Cenni sul controllo delle vibrazioni delle strutture
3.7.1 Considerazioni preliminari
3.7.2 Dissipatori viscoelastici
177
177
179
3.7.3 Isolamento alla base
Considerazioni sulle vibrazioni forzate di strutture
a due gradi di libertà
(a cura di Nicola impollonia)
179
186
iv
Indice
4 Elementi di teoria della probabilità
e variabili aleatorie
4. l
4.2
4.3
193
Definizioni di base
Teoria assiomatica della probabilità
Funzione distribuzione cumulativa e funzione densità di probabilità
4.3. l Definizione di variabile aleatoria
4.4
4.5
4.6
4.7
4.3.2 Variabile aleatoria continua
4.3.3 Variabile aleatoria discreta
4.3.4 Frattili di una variabile aleatoria
Media e varianza
Operatore media stocastica e momenti di una variabile aleatoria
Funzione caratteristica
Cumulanti
4.8
4.7.1 Log-funzione caratteristica e cumulanti
4.7.2 Relazioni tra momenti e cumulanti
4.7.3 Indici sintetici di una variabile aleatoria
Variabili aleatorie gaussiane
193
196
199
199
200
203
205
207
. . 21 1
213
214
214
215
216
217
4.9 Variabili aleatorie con densità uniforme
221
4.10 Variabili aleatorie bidimensionali
222
4.10.1 Definizioni di base
222
4.10.2 Distribuzioni marginali
225
4.10.3 Variabili aleatorie condizionate, indipendenti e correlate . . 226
4.10.4 Momenti di una variabile aleatoria bidimensionale
229
4.10.5 Densità di probabilità gaussiana bidimensionale
231
4.10.6 Cambiamento di variabili
232
4.11 Variabili aleatorie multidimensionali
234
4.11.1 Funzioni densità di probabilità e distribuzione
di probabilità multidimensionali
234
4.11.2 Distribuzioni marginali
235
4.11.3 Variabili aleatorie condizionate e indipendenti
236
4.11.4 Media stocastica di funzioni di vettori di variabili
aleatorie
236
4.11.5 Momenti di una variabile aleatoria multidimensionale . . . 237
4.11.6 Funzione caratteristica multidimensionale
238
4.11.7 Log-funzione caratteristica e cumulanti di una variabile
aleatoria multidimensionale
240
Indice
.4.11.8 Variabili aleatorie multidimensionali gaussiane
4.11.9 Cambiamento di variabili per trasformazioni lineari
241
243
4.11.10 Media e varianza di combinazioni di variabili aleatorie . . . 245
4.12 Considerazioni sulla modellazione aleatoria delle azioni statiche . . 247
5 Elementi di teoria dei processi aleatori
5.1
5.2
251
Descrizione probabilistica dei processi aleatori
251
1.1.l
5.1.2
251
254
Definizioni
Medie a tempi multipli e correlazioni
5.1.3 Processi aleatori stazionari
Processi aleatori gaussiani stazionari
257
259
5.2.1
Definizioni
259
5.2.2
5.2.3
Funzioni di autocorrelazione
Densità spettrale di potenza o autospettro
261
263
5.2.4
Interpretazione energetica della densità spettrale
di potenza
265
5.2.5
5.2.6
Classificazione dei processi gaussiani stazionari
attraverso la forma della densità spettrale di potenza
Particolari processi aleatori stazionari a media nulla
....
272
275
5.3
II processo aleatorio contatore di Poisson
283
5.4
Operazioni con i processi stocastici
287
5.4.1
287
Derivata stocastica
5.5
5.4.2 Integrazione stocastica
Ergodicità di processi aleatori stazionari
289
291
5.6
Cenni sui processi aleatori multivariati
292
5.6.1
Definizioni
292
5.6.2
Densità di probabilità di processi aleatori gaussiani
multivariali
293
5.6.3
5.6.4
Matrici di correlazione e densità spettrale di potenza
di processi aleatori bivariati stazionari gaussiani
Matrici di correlazione e densità spettrale di potenza
di processi aleatori multivariati stazionari gaussiani
6 Analisi aleatoria di oscillatori lineari forzati
da processi gaussiani
6.1
Introduzione
295
301
305
305
vi
Indice
6.2
Risposta aleatoria stazionaria dell'oscillatore elementare
306
6.2.1
Considerazioni preliminari
306
6.2.2
Risposta aleatoria nel dominio del tempo
311
6.2.3
Risposta aleatoria nel dominio della frequenza
316
6.2.4
Processo aleatorio forzante bianco
320
6.2.5
Metodi numerici per il calcolo dei momenti spettrali
del processo aleatorio risposta
6.3
6.4
323
Formulazione integrale della risposta aleatoria
in termini di variabili di stato
328
6.3.1
Considerazioni preliminari
328
6.3.2
Risposta aleatoria stazionaria
328
6.3.3
Risposta aleatoria non stazionaria
333
6.3.4
Processo aleatorio forzante bianco
337
Formulazione differenziale della risposta
aleatoria non stazionaria
342
6.4.1
Considerazioni introduttive
342
6.4.2
Equazioni differenziali dei momenti del primo ordine . . . .
344
6.4.3
Equazioni differenziali dei momenti del secondo ordine . . . 345
6.4.4
Equazioni differenziali dei momenti del secondo ordine
per forzante processo aleatorio bianco a media nulla
6.4.5
. . . .
Equazioni differenziali dei momenti spettrali per forzante
processo aleatorio a media nulla
6.4.6
352
354
Metodo numerico per la soluzione delle equazioni
differenziali dei momenti statistici e dei momenti
spettrali
7 Analisi aleatoria di strutture a più gradi di libertà forzate da
processi gaussiani
7.1
Considerazioni preliminari
7.2
Equazioni che governano il problema per
363
367
367
processi aleatori forzante multivariati gaussiani
368
7.2.1
Equazioni del moto
368
7.2.2
Caratterizzazione probabilistica del processo aleatorio
risposta
373
Indice
7.3
7.4
7.5
vii
Analisi aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza
di strutture classicamente smorzate per processo forzante
multivariato monocorrelato
7.3.1 Statistiche della risposta sino al secondo ordine
7.3.2 Metodi numerici per il calcolo dei momenti spettrali della
risposta
Analisi aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza
di strutture classicamente smorzate per processo forzante
multivariato-multicorrelato
Formulazione differenziale per l'analisi aleatoria stazionaria e non
stazionaria di strutture classicamente smorzate forzate da processi
aleatori bianchi . . . . >
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.5.4
7.5.5
7.6
7.7
7.8
375
375
383
388
391
Considerazioni introduttive
Definizione di processo aleatorio forzante bianco
monovariato e multivariato
392
Equazioni differenziali dei momenti statistici
del secondo ordine
395
Equazioni differenziali dei momenti spettrali
Metodo numerico per la soluzione delle equazioni
differenziali
Considerazioni sull'analisi aleatoria di strutture
non classicamente smorzate
7.6.1 Dominio della frequenza
7.6.2 Dominio del tempo: formulazione differenziale
Cenni sulla analisi aleatoria per processi forzante
filtrati
7.7.1 Considerazioni preliminari
7.7.2 Processo forzante monocorrelato
filtrato
7.7.3 Cenno sui processi forzanti multivariati multicorrelati
filtrati
7.7.4 Metodo numerico per la soluzione del sistema
di equazioni differenziali governanti l'evoluzione
dei momenti del secondo ordine
Considerazioni sulla analisi aleatoria di strutture
classicamente smorzate a due gradi di libertà
(a cura di Ivan Duca)
7.8.1 Considerazioni preliminari
391
399
406
408
408
410
411
411
412
417
418
421
421
viii
Indice
7.8.2
Analisi modale e modi propri di vibrare
422
7.8.3
Calcolo della risposta aleatoria stazionaria
424
7.8.4
Calcolo della risposta aleatoria non stazionaria
430
8 Metodi per la valutazione dell'affidabilità
nella dinamica aleatoria
8.1
8.2
Introduzione alla affidabilità strutturale
435
8.1.1
Azioni statiche
435
8.1.2
Azioni dinamiche
439
Numero medio di attraversamenti di una data
barriera da parte di un processo aleatorio
441
8.2.1
Formulazione Teorica
441
8.2.2
Numero medio di attraversamenti per processi gaussiani a
media nulla
8.3
un processo aleatorio
447
8.3.1
Considerazioni generali
447
8.3.2
Ipotesi di attraversamenti indipendenti della soglia
448
8.3.3
Ipotesi di attraversamenti a grappoli della soglia nel caso di
8.6
451
Funzione distribuzione di probabilità del picco massimo assoluto di
processi aleatori gaussiani stazionari a media nulla
8.5
445
Istante di primo passaggio di una data barriera bilaterale da parte di
processi gaussiani a media nulla
8.4
435
454
Fattori di picco di processi aleatori gaussiani
stazionari a media nulla
456
8.5.1
Formulazione teorica
456
8.5.2
Ipotesi di attraversamenti indipendenti
457
8.5.3
Ipotesi di attraversamenti a grappoli
461
Simulazione Monte Carlo
464
8.6.1
Premessa
464
8.6.2
Generazione dei campioni di processi gaussiani
stazionari monovariati a media nulla
8.6.3
Cenni sulla generazione di processi aleatori gaussiani non
stazionari
8.6.4
466
470
Costruzione delle statistiche del processo aleatorio
risposta
471
Indice
ix
8.6.5
8.7
Cenni sulla generazione di campioni di processi
gaussiani stazionari multivariati a media nulla
Cenni sui metodi di valutazione della sicurezza strutturale
(a cura di Alessandro Palmeri)
8.7.1 Metodo delle tensioni ammissibili
478
479..
8.7.2
Metodo semi-probabilistico agli stati limite
480
8.7.3
Metodi probabilistici
484
9 Modellazioni dell'azione sismica
475
497
9.1
9.2
Introduzione
Cenni sulla natura e proprietà dei terremoti
497
498
9.3
Equazioni del moto di un oscillatore elementare soggetto a un moto
sismico
501
Spettri di un acceleiogramma
504
9.4.1
9.4.2
504
505
9.4
9.5
Premessa
Spettro di Fourier
9.4.3 Spettro di Risposta
509
Spettro di progetto elastico e spettro di potenza spettrocompatibile . 514
9.5.1
Spettro di progetto elastico
514
9.5.2
9.5.3
9.5.4
Funzione di Husid
Spettro di potenza di progetto
Spettro di potenza spettrocompatibile
516
518
519
9.6
Accelerogrammi spettrocompatibili
523
9.7
Accelerazione sismica come processo aleatorio stazionario bianco
filtrato
9.7.1 Modelli nel dominio della frequenza
526
526
9.8
9.9
9.7.2 Modelli nel dominio del tempo
527
Modellazioni aleatorie non stazionarie dell'accelerazione sismica . . 531
9.8.1
Considerazioni generali
531
9.8.2
9.8.3
Modelli non stazionari modulati in ampiezza
Modelli non stazionari modulati sia in ampiezza
sia in frequenza
531
9.8.4 Calcolo della matrice di transizione del
filtro
Considerazioni sulla modellazione dell'azione sismica e
sulla valutazione della risposta di strutture a un solo grado di libertà
(a cura di Pierfrancesco Cacciola)
533
534
538
x
Indice
9.9.1
Rappresentazione base dell'azione sismica:
Spettro di progetto (risposta) elastico
538
9.9.2
Rappresentazioni alternative dell'azione sismica
540
9.9.3
Influenza del rapporto di smorzamento sulla valutazione
della densità spettrale di potenza spettrocompatibile
546
9.9.4
Risposta di oscillatori elementari soggetti a un moto
di trascinamento alla base
10 Analisi sismica di strutture classicamente smorzate
548
555
ÌO.I Introduzione
555
10.2 Equazioni del moto di strutture piane
556
10.3 Equazione del moto di strutture intelaiate multipiano spaziali . . . .
563
10.3.1 Premessa
563
10.3.2 Strutture simmetriche
564
10.3.3 Strutture non simmetriche monopiano
566
10.3.4 Strutture multipiano non simmetriche
571
10.3.5 Considerazioni sul calcolo delle sollecitazioni
575
10.4 Analisi modale
577
10.4.1 Considerazioni preliminari
577
10.4.2 Strutture piane
577
10.4.3 Considerazioni sulle strutture multipiano spaziali
583
10.5 Calcolo della risposta deterministica
585
10.5.1 Formulazione integrale
585
10.5.2 Formulazione incrementale
588
10.5.3 Calcolo delle sollecitazioni
589
10.6 Calcolo della risposta aleatoria stazionaria
nel dominio della frequenza
589
10.6.1 Processo forzante multivariato-monocorrelato
589
10.6.2 Processo forzante multivariato-multicorrelato
592
10.7 Combinazione dei picchi massimi assoluti
modali valutati attraverso lo spettro di progetto
593
10.8 Forze statiche equivalenti
599
10.9 Calcolo della direzione epicentrale di progetto
602
10.1 OConsiderazioni sui principali metodi di analisi
nell'ingegneria sismica
607
Indice
xi
10.1 111 bilancio energetico nell'ingegneria sismica
(in collaborazione con Claudio Versaci)
10.11.1 Oscillatore elementare lineare
10.11.2 Strutture a più gradi di libertà
10.11.3 Bilancio energetico e progettazione antisismica
A Elementi di Algebra di Kronecker
(a cura di Pierfrancesco Cacciola e Alba Sofi)
A.l Definizioni e proprietà fondamentali
A. 1.1 Prodotto di Kronecker
A. 1.2 Proprietà del prodotto di Kronecker
A. 1.3 Potenza del prodotto di Kronecker di due matrici
610
610
613
615..
621
621
621
622
623
A. 1.4
A. 1.5
Potenza secondo Kronecker
Somma di Kronecker
624
625
A. 1.6
Operazione di trasposizione
625
A. 1.7
A. 1.8
A. 1.9
A. 1.10
Operazione di inversione
Vettorializzazione di una matrice
Vettorializzata del prodotto di tre matrici
Esponenziale della somma secondo Kronecker di due matrici
diagonali
A. 1.11 Prodotto di Kronecker a blocchi
626
627
628
629
630
A. 1.12 Vettorializzazione a blocchi
631
A.2 Matrice di permutazione
A.2.1 Definizione
A.2.2 Proprietà
631
631
631
A.3 Matrici di combinazione e di fattorializzazione
A.4 II problema agli autovalori
634
636
A.5 Determinante e traccia del prodotto secondo
Kronecker di due matrici
638
A.6 Derivata rispetto a una matrice
A.6.1 Definizioni
A.6.2 Derivata del prodotto di due matrici
639
639
640
A.6.3 Derivata del prodotto di Kronecker di due matrici
A.6.4 Derivata del prodotto di Kronecker tra una matrice
e un vettore
641
A.6.5 Derivata del prodotto di Kronecker di due vettori
642
641
xii
Indice
A.7
A . 6 . 6 D e r i v a t a d e l p r o d o t t o di u n o s c a l a r e p e r u n a m a t r i c e
Derivate rispetto a un vettore
. . . . 642
642
Bibliografia
645
Indice Analitico
657