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ESERCIZI sul Teorema di De l’Hopital
x 2 + 3x − 4
=5
ln x
x →1
1) Applicando il Teorema di De l’Hopital, verifica che: lim
x3 − 3x 2 + 4
=3
x →2 x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4
a) scomponendo e semplificando (per due volte di seguito)
b) applicando de l’Hopital (per due volte di seguito)
2) Verifica che lim
3) Verifica applicando il Teorema di de l’Hopital la correttezza dei limiti seguenti, osservando comunque
che per determinarli sarebbe sufficiente, come è ben noto, considerare i gradi dei polinomi in gioco:
x3 − 3 x 2 + 4
=1
x→±∞ x3 − 5 x 2 + 8 x − 4
x3 − x
= ±∞
x→ ±∞ x 2 + x + 1
a) lim
5 x3 + x 2 + 8 x + 14
=0
x→±∞
x4 − x2 + 1
b) lim
c) lim
4) Considera i limiti notevoli seguenti (già noti) e ritrova i loro valori applicando de l’Hopital:
1 − cos x
=0
x
x →0
a)
lim
sen x
=1
x →0 x
b)
lim
sen ax a
=
b
x →0 bx
c)
lim
1 − cos x 1
=
2
x →0
x2
d) lim
e)
ln (1 + x)
=1
x
x →0
f)
log a (1 + x)
= log a e
x
x →0
g)
ex −1
=1
x →0 x
h)
i)
lim
lim
lim
ax −1
= ln a
x →0 x
lim
(1 + x) k − 1
= k, k ∈ \
x
x →0
ESERCIZIO SVOLTO: lim
(1 + x) k − 1
k ⋅ (1 + x) k −1
= lim
= k ⋅ 1k −1 = k ⋅ 1 = k
x
1
x →0
H x →0
RISOLUZIONE: lim
5) ESERCIZIO SVOLTO
Verifica che,
per x che tende a zero,
sul rapporto
di funzioni
f ( x)
=
g ( x)
x 2 sen
π
de l'Hospital NON è applicabile perché
il rapporto delle derivate non tende ad alcun limite;
ciononostante, il limite di f ( x) / g ( x) ,
per x che tende a zero, esiste (e vale 0).
x
sen x
Questo bel controesempio mostra che De l’Hopital esprime una condizione
SUFFICIENTE, MA NON NECESSARIA, per l’esistenza del limite in questione.
2 x ⋅ sen
RISOLUZIONE:
f '( x)
=
g '( x)
π + x 2 ⋅ cos π ⋅ ⎛ − π ⎞
⎜
⎟
2 ⎟
x
x ⎜
quindi, in effetti,
il rapporto delle derivate
non tende ad alcun limite
al tendere di x a 0:
⎝
cos x
π
π
x ⎠ 2 x ⋅ sen x − π ⋅ cos x
=
cos x
tende a zero
oscilla
tende fra −1 e 1
a zero
2 x ⋅ sen
π
x
oscilla
fra −1 e 1
− π ⋅ cos
π
x
cos x
tende a 1
Ed ecco ora,
SENZA ovviamente
de l’Hopital,
il calcolo del limite:
π
x 2 sen
oscilla
tende
a 1 tende fra −1 e 1
a zero
f ( x)
x = lim x ⋅
= lim
g
x
sen
x
(
)
x→0
x→0
x→0 sen x
lim
x ⋅ sen
π
x
=0
x − sen x
x
x →∞ + sen x
Verifica, comunque, dividendo per x sia il numeratore che il denominatore, che tale limite vale 1.
6) Stabilisci se è possibile applicare de l’Hopital alla determinazione del limite seguente: lim
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7) Verifica, col Teorema di de l’Hopital, i limiti notevoli seguenti:
a)
ex
= +∞
x→+∞ x
lim
b)
ex
= +∞
x→+∞ x 4
lim
d) ESERCIZIO SVOLTO:
c)
ln x
=0
x→+∞ x
lim
ex
= +∞ ∀n = 2, 3, 4, 5, ...
x→+∞ x n
lim
ex
ex
ex
ex
ex
= +∞
= lim
= lim
= ... = lim
= lim
−
1
−
2
n
n
n
x→+∞ x H x→+∞ n x
x→+∞ n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1 x→+∞ n!
H x→+∞ n (n − 1) x
H
RIS.: lim
e) ESERCIZIO SVOLTO:
ln x
= 0 n = 2, 3, 4, ...
x→+∞ x n
lim
tende a 0
(es. 7c ) tende a 0
ln x
= lim
x→+∞ x n
x→+∞
ln x
1
⋅ n−1
x
x
RIS.: lim
= 0.
1
ln x
x = lim 1 ⋅ 1 = lim 1 = 0
In alternativa: lim n = lim
x→+∞ x H x→+∞ n x n −1 x →+∞ x n x n −1 x →+∞ n x n
f) ESERCIZIO SVOLTO:
ln 4 x
=0
x →+∞ x
lim
1
1
4ln 3 x ⋅
12ln 2 x ⋅
ln 4 x
4ln 3 x
x
x =
RIS . lim
= lim
= lim
= lim
1
1
x→+∞ x H x→+∞
x→+∞ x H x→+∞
1
1
24ln x ⋅
24 ⋅
12ln 2 x
24ln x
x
x = lim 24 = 0
= lim
= lim
= lim
= lim
1
x H x→+∞
x→+∞
x→+∞ x H x→+∞ 1
x→+∞ x
8) Servendoti del Teorema di de l’Hopital, calcola i limiti seguenti (risultati in fondo alla pagina):
g)
lim x ⋅ e x = lim
x
= ...
x→−∞ e − x
x→−∞
r)
u)
x4
= ...
x→−∞ e − x
lim x 4 ⋅ e x = lim
x →−∞
x3 − 64
= ...
x →4 x − 2
m)
x3 − 64
= ...
x→+∞ x − 2
n)
x−2
= ...
2
x→±∞ ln 3 x + 5 x + 7
p)
e3 x +8
= ...
x →+∞ x3 + x 2 + x + 1
q)
l) lim
o)
h)
lim
(
)
lim
lim
i)
lim
x → 0+
ln x
= ...
x → 0+ 1
x
x ln x = lim
x + 3 −1
lim
x →+∞ 4 3 2 x + 5 + 7
lim
ln ( 5 x + 11)
x→+∞
e x −4
= ...
= ...
2
x3
2 x = lim ln x = ... t) lim 2 x − π tg x = lim tg x = ...
s)
lim
x
ln
=
...
(
)
1
x → 0+
x → 0+ 1
x→−∞ e x
x→π
x→π
2
2 2x − π
x
lim x3 e− x = lim
x→+∞
⎡ ( x2) ⎤
ln x
2
2
= ...
lim x( x ) = lim eln⎣ x ⎦ = lim e x ⋅ln x = ... perché con de l ' Hospital si ha lim x2 ln x = lim
x →0+
x →0+
x →0+
x →0+
x →0+ 1
x2
(
x→0
v) lim e x + x
)
1/ x
RISULTATI : g) 0
t) 0
= ...
1
w) lim x x −1 = ...
x →1
h) 0 i) 0 l) 192 m) +∞ n) +∞ o) ±∞
u) 1 , essendo uguale a 0 il limite dell’esponente
⎛ 1
x ⎞
−
z) lim ⎜
⎟ = ...
x →1⎝ ln x x − 1 ⎠
p) +∞
v) e2
q) 0 r) 0 s) 0
w) 1/ e z) −1/ 2
