Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di

Sommario
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello
spaziotempo di Schwarzschild
Corso di Relatività Generale e Fisica della Gravitazione
Luigi Tibaldo
Università degli studi di Padova
21 Luglio 2008
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Luigi Tibaldo
Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild
Università degli studi di Padova
Sommario
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Sommario
Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di
Schwarzschild
1
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Le equazioni di Maxwell
Magnetoidrodinamica relativistica
2
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La metrica
Osservatori fisici
3
La soluzione di Wald
Il quadripotenziale
Interpretazione fisica
4
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Interpretazione fisica
Luigi Tibaldo
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Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
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Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di
Schwarzschild
1
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Le equazioni di Maxwell
Magnetoidrodinamica relativistica
2
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La metrica
Osservatori fisici
3
La soluzione di Wald
Il quadripotenziale
Interpretazione fisica
4
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Interpretazione fisica
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Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
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Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di
Schwarzschild
1
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Le equazioni di Maxwell
Magnetoidrodinamica relativistica
2
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La metrica
Osservatori fisici
3
La soluzione di Wald
Il quadripotenziale
Interpretazione fisica
4
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Interpretazione fisica
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
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Schwarzschild
1
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Le equazioni di Maxwell
Magnetoidrodinamica relativistica
2
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La metrica
Osservatori fisici
3
La soluzione di Wald
Il quadripotenziale
Interpretazione fisica
4
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Interpretazione fisica
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Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Le equazioni di Maxwell
Spaziotempo di Minkowskj
L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di
Maxwell
∂µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo
elettromagnetico in termini del quadripotenziale
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
equivale a
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
=
0
Aν − ∂µ ∂ ν Aµ
=
0
Le derivate parziali
commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ
Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0
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Aν = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
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Le equazioni di Maxwell
Spaziotempo di Minkowskj
L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di
Maxwell
∂µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo
elettromagnetico in termini del quadripotenziale
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
equivale a
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
=
0
Aν − ∂µ ∂ ν Aµ
=
0
Le derivate parziali
commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ
Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0
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Aν = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
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Le equazioni di Maxwell
Spaziotempo di Minkowskj
L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di
Maxwell
∂µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo
elettromagnetico in termini del quadripotenziale
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
equivale a
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
=
0
Aν − ∂µ ∂ ν Aµ
=
0
Le derivate parziali
commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ
Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0
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Spaziotempo di Minkowskj
L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di
Maxwell
∂µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo
elettromagnetico in termini del quadripotenziale
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
equivale a
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
=
0
Aν − ∂µ ∂ ν Aµ
=
0
Le derivate parziali
commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ
Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0
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Aν = 0
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Spaziotempo di Minkowskj
L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di
Maxwell
∂µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo
elettromagnetico in termini del quadripotenziale
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
equivale a
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
=
0
Aν − ∂µ ∂ ν Aµ
=
0
Le derivate parziali
commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ
Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Le equazioni di Maxwell
Spaziotempo curvo
Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale
poniamo
∇µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ
Nel vuoto
∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0
˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0
A
ν
˜
A
− g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0
˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0
A
λρµ
˜ ν + g νρ Rρλ Aλ
A
=
0
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Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild
Le derivate covarianti non
commutano
∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ
Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0
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Spaziotempo curvo
Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale
poniamo
∇µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ
Nel vuoto
∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0
˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0
A
ν
˜
A
− g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0
˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0
A
λρµ
˜ ν + g νρ Rρλ Aλ
A
=
0
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Le derivate covarianti non
commutano
∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ
Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
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Le equazioni di Maxwell
Spaziotempo curvo
Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale
poniamo
∇µ F µν = 4πν
F[αβ,γ] = 0
e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ
Nel vuoto
∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0
˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0
A
ν
˜
A
− g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0
˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0
A
λρµ
˜ ν + g νρ Rρλ Aλ
A
=
0
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Le derivate covarianti non
commutano
∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ
Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo di Minkowskj
Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il
collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo
elettromagnetico è l’equazione di Ohm
~ + ~v × B
~
~ = σ E
c
Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞:
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
∂q
~
la densità di carica è nulla
= −σ ∇ · E
∂t
il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è
costante (congelamento delle linee di campo)
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo di Minkowskj
Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il
collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo
elettromagnetico è l’equazione di Ohm
~ + ~v × B
~
~ = σ E
c
Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞:
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
∂q
~
la densità di carica è nulla
= −σ ∇ · E
∂t
il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è
costante (congelamento delle linee di campo)
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
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Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo di Minkowskj
Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il
collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo
elettromagnetico è l’equazione di Ohm
~ + ~v × B
~
~ = σ E
c
Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞:
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
∂q
~
la densità di carica è nulla
= −σ ∇ · E
∂t
il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è
costante (congelamento delle linee di campo)
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Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il
collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo
elettromagnetico è l’equazione di Ohm
~ + ~v × B
~
~ = σ E
c
Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞:
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
∂q
~
la densità di carica è nulla
= −σ ∇ · E
∂t
il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è
costante (congelamento delle linee di campo)
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
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Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo di Minkowskj
Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il
collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo
elettromagnetico è l’equazione di Ohm
~ + ~v × B
~
~ = σ E
c
Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞:
~ = − 1 ~v × B
~
E
c
∂q
~
la densità di carica è nulla
= −σ ∇ · E
∂t
il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è
costante (congelamento delle linee di campo)
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
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Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo curvo
Nello spaziotempo curvo la legge di Ohm si esprime in termini del tensore
di conducibilità
µ
= σ µν Fνρ u ρ =
= σg µν Fνρ u ρ =
= σE µ
Nel caso di perfetta conducibilità rimangono valide tutte le considerazioni
fatte nel caso piatto, in particolare la parte elettrica del campo è nulla
Eµ = Fµν u ν = 0
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Magnetoidrodinamica relativistica
Spaziotempo curvo
Nello spaziotempo curvo la legge di Ohm si esprime in termini del tensore
di conducibilità
µ
= σ µν Fνρ u ρ =
= σg µν Fνρ u ρ =
= σE µ
Nel caso di perfetta conducibilità rimangono valide tutte le considerazioni
fatte nel caso piatto, in particolare la parte elettrica del campo è nulla
Eµ = Fµν u ν = 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
La metrica
Elemento di linea e costanti del moto
La metrica che descrive una distribuzione di massa-energia a simmetria
sferica non rotante, soluzione delle equazioni di Einstein, è
−1
2M
2M
dt 2 + 1 −
dr 2 + r 2 dθ2 + r 2 sin θ2 dϕ2
ds 2 = − 1 −
r
r
Le coordinate t e ϕ sono cicliche, perciò ∂ t e ∂ ϕ sono vettori di Killing.
Le corrispondenti costanti del moto sono (particella di prova di
quadrimomento p ):
Energia
E = p |∂ t
Momento angolare
L = p |∂ ϕ
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
La metrica
Elemento di linea e costanti del moto
La metrica che descrive una distribuzione di massa-energia a simmetria
sferica non rotante, soluzione delle equazioni di Einstein, è
−1
2M
2M
dt 2 + 1 −
dr 2 + r 2 dθ2 + r 2 sin θ2 dϕ2
ds 2 = − 1 −
r
r
Le coordinate t e ϕ sono cicliche, perciò ∂ t e ∂ ϕ sono vettori di Killing.
Le corrispondenti costanti del moto sono (particella di prova di
quadrimomento p ):
Energia
E = p |∂ t
Momento angolare
L = p |∂ ϕ
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Osservatori fisici
L’osservatore statico
Quadrivelocità dell’osservatore statico
u = A∂ t
−1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00
u =√
1
∂t
−g00
La corrispondente tetrade è quindi
λ t̂
1−
=
λ r̂
=
λ θ̂
=
λ ϕ̂
=
2M
r
2M
1−
r
−1/2
∂t
Tetrade
1/2
1
∂θ
r
1
∂ϕ
r sin θ
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∂r
λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂
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L’osservatore statico
Quadrivelocità dell’osservatore statico
u = A∂ t
−1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00
u =√
1
∂t
−g00
La corrispondente tetrade è quindi
λ t̂
1−
=
λ r̂
=
λ θ̂
=
λ ϕ̂
=
2M
r
2M
1−
r
−1/2
∂t
Tetrade
1/2
1
∂θ
r
1
∂ϕ
r sin θ
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λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂
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L’osservatore statico
Quadrivelocità dell’osservatore statico
u = A∂ t
−1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00
u =√
1
∂t
−g00
La corrispondente tetrade è quindi
λ t̂
1−
=
λ r̂
=
λ θ̂
=
λ ϕ̂
=
2M
r
2M
1−
r
−1/2
∂t
Tetrade
1/2
1
∂θ
r
1
∂ϕ
r sin θ
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Quadrivelocità dell’osservatore statico
u = A∂ t
−1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00
u =√
1
∂t
−g00
La corrispondente tetrade è quindi
λ t̂
1−
=
λ r̂
=
λ θ̂
=
λ ϕ̂
=
2M
r
2M
1−
r
−1/2
∂t
Tetrade
1/2
1
∂θ
r
1
∂ϕ
r sin θ
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La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Osservatori fisici
Osservatore in moto circolare
Osservatore in moto circolare uniforme sul piano equatoriale (θ = π/2)
λ t̂
λ r̂
λ θ̂
λ ϕ̂
= u = K (∂ t + ω∂ ϕ )
1/2
2M
=
1−
∂r
r
1
=
∂θ
r
= C∂t +D∂ϕ
Per le solite condizioni di normalizzazione
− 12
2M
2 2
K = 1−
−ω r
r
− 12
1
2M
K
2M 2
C = K ωr 1 −
D=
1−
r
r
r
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Osservatore in moto circolare
Osservatore in moto circolare uniforme sul piano equatoriale (θ = π/2)
λ t̂
λ r̂
λ θ̂
λ ϕ̂
= u = K (∂ t + ω∂ ϕ )
1/2
2M
=
1−
∂r
r
1
=
∂θ
r
= C∂t +D∂ϕ
Per le solite condizioni di normalizzazione
− 12
2M
2 2
K = 1−
−ω r
r
− 12
1
2M
K
2M 2
C = K ωr 1 −
D=
1−
r
r
r
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La soluzione di Wald
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Osservatori fisici
Osservatore in caduta libera: quadrivelocità
Per un osservatore in caduta libera radiale si ha
E
L
γ=
=1
λ=
=0
m
m
perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma
g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0
2M
r 2
= 0
−1 + (u ) + 1 −
r
r
2M
r
moto verso la sorgente
u =−
r
Per la componente temporale
−E = pt
ut = −
1
gtt
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= mgtt u t
−1
2M
=
1−
r
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La soluzione di Wald
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Osservatori fisici
Osservatore in caduta libera: quadrivelocità
Per un osservatore in caduta libera radiale si ha
E
L
γ=
=1
λ=
=0
m
m
perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma
g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0
2M
r 2
= 0
−1 + (u ) + 1 −
r
r
2M
r
moto verso la sorgente
u =−
r
Per la componente temporale
−E = pt
ut = −
1
gtt
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= mgtt u t
−1
2M
=
1−
r
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Per un osservatore in caduta libera radiale si ha
E
L
γ=
=1
λ=
=0
m
m
perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma
g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0
2M
r 2
= 0
−1 + (u ) + 1 −
r
r
2M
r
moto verso la sorgente
u =−
r
Per la componente temporale
−E = pt
ut = −
1
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=
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Osservatore in caduta libera: tetrade
La tetrade associata all’osservatore in caduta libera radiale sul piano
equatoriale è quindi
r
−1
2M
2M
λ t̂ = u = 1 −
∂t −
∂r
r
r
r
−1
2M
2M
λ r̂ =
1−
∂t −∂r
r
r
1
λ θ̂ =
∂θ
r
1
λ ϕ̂ =
∂ϕ
r sin θ
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Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Campo magnetico uniforme
La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente
uniforme nella metrica di Schwarzschild.
Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità
scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al
piano equatoriale) è dato dalle componenti
Br = B0 cos θ
Bθ = B0 sin θ
ossia dal potenziale vettore
~ = 1 B0 r sin θ êϕ
A
2
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Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild
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Sommario
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
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Il quadripotenziale
Campo magnetico uniforme
La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente
uniforme nella metrica di Schwarzschild.
Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità
scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al
piano equatoriale) è dato dalle componenti
Br = B0 cos θ
Bθ = B0 sin θ
ossia dal potenziale vettore
~ = 1 B0 r sin θ êϕ
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Campo magnetico uniforme
La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente
uniforme nella metrica di Schwarzschild.
Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità
scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al
piano equatoriale) è dato dalle componenti
Br = B0 cos θ
Bθ = B0 sin θ
ossia dal potenziale vettore
~ = 1 B0 r sin θ êϕ
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Riformulazione delle equazioni di Maxwell
Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la
forma
Aµ = f (r , θ) δ µϕ
La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma
√
∂µ
−g F µν = 0
g = −r 4 sin2 θ
Le uniche componenti non nulle del campo sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ
Fθϕ = ∂θ Aϕ
per cui l’equazione di Maxwell ha la forma
√
∂µ
−g g µσ g νρ Fσρ = 0
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che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Riformulazione delle equazioni di Maxwell
Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la
forma
Aµ = f (r , θ) δ µϕ
La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma
√
∂µ
−g F µν = 0
g = −r 4 sin2 θ
Le uniche componenti non nulle del campo sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ
Fθϕ = ∂θ Aϕ
per cui l’equazione di Maxwell ha la forma
√
∂µ
−g g µσ g νρ Fσρ = 0
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che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Riformulazione delle equazioni di Maxwell
Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la
forma
Aµ = f (r , θ) δ µϕ
La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma
√
∂µ
−g F µν = 0
g = −r 4 sin2 θ
Le uniche componenti non nulle del campo sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ
Fθϕ = ∂θ Aϕ
per cui l’equazione di Maxwell ha la forma
√
∂µ
−g g µσ g νρ Fσρ = 0
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che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
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Il quadripotenziale
Riformulazione delle equazioni di Maxwell
Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la
forma
Aµ = f (r , θ) δ µϕ
La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma
√
∂µ
−g F µν = 0
g = −r 4 sin2 θ
Le uniche componenti non nulle del campo sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ
Fθϕ = ∂θ Aϕ
per cui l’equazione di Maxwell ha la forma
√
∂µ
−g g µσ g νρ Fσρ = 0
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che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Soluzione delle equazioni di Maxwell
∂r
√
√
−g g rr g ϕϕ Fr ϕ + ∂θ
−g g θθ g ϕϕ Fθϕ
= 0
2M
1
1
1−
∂r Aϕ + ∂θ 2
∂θ Aϕ
= 0
sin θ
r
r sin θ
∂r
Separiamo le variabili ponendo Aϕ = R(r )Θ(θ)
r2
2M
sin θ
1
∂r
1−
∂r R +
∂θ
∂θ Θ = 0
R
r
Θ
sin θ
2M
r 2 ∂r
1−
∂r R = κR
r
Si hanno soluzioni per κ = 2
logo
R ∝ r2
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Θ ∝ sin2 θ
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Il quadripotenziale
Soluzione delle equazioni di Maxwell
∂r
√
√
−g g rr g ϕϕ Fr ϕ + ∂θ
−g g θθ g ϕϕ Fθϕ
= 0
2M
1
1
1−
∂r Aϕ + ∂θ 2
∂θ Aϕ
= 0
sin θ
r
r sin θ
∂r
Separiamo le variabili ponendo Aϕ = R(r )Θ(θ)
r2
2M
sin θ
1
∂r
1−
∂r R +
∂θ
∂θ Θ = 0
R
r
Θ
sin θ
2M
r 2 ∂r
1−
∂r R = κR
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Si hanno soluzioni per κ = 2
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R ∝ r2
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Θ ∝ sin2 θ
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il quadripotenziale
Il quadripotenziale di Wald
Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma
Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ
Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico
a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida
con quella nel caso piatto
Aϕ̂
= λϕ̂µ Aµ =
= λϕ̂ϕ Aϕ =
1
A0 r 2 sin2 θ =
=
r sin θ
= A0 r sin θ
Per cui
Aϕ =
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1
B0 r 2 sin2 θ
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La soluzione di Wald
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Il quadripotenziale
Il quadripotenziale di Wald
Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma
Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ
Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico
a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida
con quella nel caso piatto
Aϕ̂
= λϕ̂µ Aµ =
= λϕ̂ϕ Aϕ =
1
A0 r 2 sin2 θ =
=
r sin θ
= A0 r sin θ
Per cui
Aϕ =
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Il quadripotenziale di Wald
Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma
Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ
Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico
a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida
con quella nel caso piatto
Aϕ̂
= λϕ̂µ Aµ =
= λϕ̂ϕ Aϕ =
1
A0 r 2 sin2 θ =
=
r sin θ
= A0 r sin θ
Per cui
Aϕ =
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
L’osservatore statico
Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ
Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ
Per l’osservatore statico la componente radiale è
Br̂
= Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ =
= B0 cos θ
come nel caso piatto. Per la componente θ̂
Bθ̂
= Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ =
r
2M
=
1−
B0 sin θ
r
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quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale.
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L’osservatore statico
Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ
Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ
Per l’osservatore statico la componente radiale è
Br̂
= Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ =
= B0 cos θ
come nel caso piatto. Per la componente θ̂
Bθ̂
= Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ =
r
2M
=
1−
B0 sin θ
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quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale.
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L’osservatore statico
Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono
Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ
Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ
Per l’osservatore statico la componente radiale è
Br̂
= Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ =
= B0 cos θ
come nel caso piatto. Per la componente θ̂
Bθ̂
= Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ =
r
2M
=
1−
B0 sin θ
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quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
L’osservatore in caduta libera
Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa
espressione che nel caso piatto.
Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico
r
2M 1
ϕ
r
Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = −
B0 r sin2 θ =
r r sin θ
r
2M
= −B0
sin θ
r
Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le
misure:
l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a
grande distanza dalla sorgente del campo;
il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo
prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di
Schwarzshild.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
L’osservatore in caduta libera
Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa
espressione che nel caso piatto.
Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico
r
2M 1
ϕ
r
Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = −
B0 r sin2 θ =
r r sin θ
r
2M
= −B0
sin θ
r
Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le
misure:
l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a
grande distanza dalla sorgente del campo;
il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo
prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di
Schwarzshild.
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L’osservatore in caduta libera
Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa
espressione che nel caso piatto.
Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico
r
2M 1
ϕ
r
Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = −
B0 r sin2 θ =
r r sin θ
r
2M
= −B0
sin θ
r
Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le
misure:
l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a
grande distanza dalla sorgente del campo;
il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo
prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di
Schwarzshild.
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La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
L’osservatore in caduta libera
Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa
espressione che nel caso piatto.
Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico
r
2M 1
ϕ
r
Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = −
B0 r sin2 θ =
r r sin θ
r
2M
= −B0
sin θ
r
Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le
misure:
l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a
grande distanza dalla sorgente del campo;
il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo
prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di
Schwarzshild.
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
Le superficie di flusso
Consideriamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie
Z
ΦB =
θ∗
Z
dθ dϕ Fθϕ =
0
0
θ∗
θ∗
dθ dϕ ∂θ Aϕ = 2π [Aϕ |0 = πr 2 B0 sin2 θ∗
Le linee di campo
Se poniamo ΦB costante otteniamo
r
r sin θ =
ΦB
πB0
La superficie a flusso costante è un cilindro, ossia le linee di campo
attraversano il “buco nero” senza vederlo: come anticipato la sorgente
del campo è esterna e indipendente da quella della geometria dello
spaziotempo.
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Le superficie di flusso
Consideriamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie
Z
ΦB =
θ∗
Z
dθ dϕ Fθϕ =
0
0
θ∗
θ∗
dθ dϕ ∂θ Aϕ = 2π [Aϕ |0 = πr 2 B0 sin2 θ∗
Le linee di campo
Se poniamo ΦB costante otteniamo
r
r sin θ =
ΦB
πB0
La superficie a flusso costante è un cilindro, ossia le linee di campo
attraversano il “buco nero” senza vederlo: come anticipato la sorgente
del campo è esterna e indipendente da quella della geometria dello
spaziotempo.
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Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Caso piatto: il campo all’interno della stella
Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics)
µ
2µ
1
~
Aϕ = 2 sin θ
B = 3 cos θ, sin θ, 0
r
r
2
All’interno della stella (perfetta conducibilità)
~ × ~r ~ int
~ int + ω
×B =0
E
c
~ int = 2µω
E
cr 2
1 2
sin θ, − sin θ cos θ, 0
2
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Caso piatto: il campo all’interno della stella
Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics)
µ
2µ
1
~
Aϕ = 2 sin θ
B = 3 cos θ, sin θ, 0
r
r
2
All’interno della stella (perfetta conducibilità)
~ × ~r ~ int
~ int + ω
×B =0
E
c
~ int = 2µω
E
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sin θ, − sin θ cos θ, 0
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Il campo di dipolo rotante
Caso piatto: il campo all’interno della stella
Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics)
µ
2µ
1
~
Aϕ = 2 sin θ
B = 3 cos θ, sin θ, 0
r
r
2
All’interno della stella (perfetta conducibilità)
~ × ~r ~ int
~ int + ω
×B =0
E
c
~ int = 2µω
E
cr 2
1 2
sin θ, − sin θ cos θ, 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Caso piatto: Il campo all’esterno della stella
La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua
2µω
∂
∂ µω sin2 θ
P
(cos
θ)
Eθext = −
=
2
∂θ
cR 2
∂θ 3cR 2
Fuori dalla stella
~ ext = −∇φ
~
E
∇2 φ = 0
φ=−
2µωR 2
P2 (cos θ)
3cr 3
concludendo
~ ext = − µωR
E
cr 4
2
(3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
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Caso piatto: Il campo all’esterno della stella
La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua
2µω
∂
∂ µω sin2 θ
P
(cos
θ)
Eθext = −
=
2
∂θ
cR 2
∂θ 3cR 2
Fuori dalla stella
~ ext = −∇φ
~
E
∇2 φ = 0
φ=−
2µωR 2
P2 (cos θ)
3cr 3
concludendo
~ ext = − µωR
E
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2
(3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0
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2µω
∂
∂ µω sin2 θ
P
(cos
θ)
Eθext = −
=
2
∂θ
cR 2
∂θ 3cR 2
Fuori dalla stella
~ ext = −∇φ
~
E
∇2 φ = 0
φ=−
2µωR 2
P2 (cos θ)
3cr 3
concludendo
~ ext = − µωR
E
cr 4
2
(3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0
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Caso piatto: Il campo all’esterno della stella
La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua
2µω
∂
∂ µω sin2 θ
P
(cos
θ)
Eθext = −
=
2
∂θ
cR 2
∂θ 3cR 2
Fuori dalla stella
~ ext = −∇φ
~
E
∇2 φ = 0
φ=−
2µωR 2
P2 (cos θ)
3cr 3
concludendo
~ ext = − µωR
E
cr 4
2
(3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0
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La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’interno
Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico
è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983)
3µ sin2 θ 2
2M
2
+
2Mr
+
2M
Aϕ = −
r
ln
1
−
8M 3
r
In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la
parte elettrica del campo è nulla).
Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico)
Er̂int
Eθ̂int
uϕ
= Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t
u
−1/2
1
2M
α β
= Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ =
1−
Fθt =
r
r
−1/2
1
2M
uϕ
=
1−
Fϕt t
r
r
u
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Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’interno
Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico
è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983)
3µ sin2 θ 2
2M
2
+
2Mr
+
2M
Aϕ = −
r
ln
1
−
8M 3
r
In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la
parte elettrica del campo è nulla).
Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico)
Er̂int
Eθ̂int
uϕ
= Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t
u
−1/2
1
2M
α β
= Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ =
1−
Fθt =
r
r
−1/2
1
2M
uϕ
=
1−
Fϕt t
r
r
u
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Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico
è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983)
3µ sin2 θ 2
2M
2
+
2Mr
+
2M
Aϕ = −
r
ln
1
−
8M 3
r
In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la
parte elettrica del campo è nulla).
Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico)
Er̂int
Eθ̂int
uϕ
= Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t
u
−1/2
1
2M
α β
= Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ =
1−
Fθt =
r
r
−1/2
1
2M
uϕ
=
1−
Fϕt t
r
r
u
Luigi Tibaldo
Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild
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Università degli studi di Padova
Sommario
Elettrodinamica nello spaziotempo curvo
Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Il campo di dipolo rotante
Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’esterno
Da quanto visto prima
Er̂int
Eθ̂int
µω
sin2 θ f (r )
cr 2
2µω
= − 2 sin θ cos θ g (r )
cr
=
dove f (r ), g (r ) → 1 quando r → ∞.
Dalla soluzione nel caso piatto
Er̂ext
Eθ̂ext
µωR 2
3 cos2 θ − 1 f (r )
cr 4
2µωR 2
= −
sin θ cos θ g (r )
cr 4
= −
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Er̂int
Eθ̂int
µω
sin2 θ f (r )
cr 2
2µω
= − 2 sin θ cos θ g (r )
cr
=
dove f (r ), g (r ) → 1 quando r → ∞.
Dalla soluzione nel caso piatto
Er̂ext
Eθ̂ext
µωR 2
3 cos2 θ − 1 f (r )
cr 4
2µωR 2
= −
sin θ cos θ g (r )
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= −
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Lo spaziotempo di Schwarzschild
La soluzione di Wald
La soluzione di Sengupta
Interpretazione fisica
Diamo i numeri!
"
La pulsar Crab
2M
1−
r
1995ApJ...449..224S
3r 2
f (r ) =
4M 2
−1
#
r
2M
+
ln 1 −
+1
M
r
M = 1.4 M
R = 106 cm
P = 33 ms
µ = 2 · 1030 G cm3
ωR
= 6 · 10−3
c
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3r 2
f (r ) =
4M 2
−1
#
r
2M
+
ln 1 −
+1
M
r
M = 1.4 M
R = 106 cm
P = 33 ms
µ = 2 · 1030 G cm3
ωR
= 6 · 10−3
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r
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3r 2
f (r ) =
4M 2
−1
#
r
2M
+
ln 1 −
+1
M
r
M = 1.4 M
R = 106 cm
P = 33 ms
µ = 2 · 1030 G cm3
ωR
= 6 · 10−3
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Interpretazione fisica
Le linee di campo per la Crab
Le linee di campo giacciono sulle superficie di livello del flusso
Z
ΦE (θ) =
0
ΦE (θ) = −
θ
~ · d~σ =
E
Z
θ
Er r 2 dΩ
0
2πµωR 2
sin2 θ cos θ f (r ) = const
cr 2
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0
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θ
~ · d~σ =
E
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0
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θ
~ · d~σ =
E
Z
θ
Er r 2 dΩ
0
2πµωR 2
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Interpretazione fisica
La densità di carica
Poiché la componente normale del campo elettrico è discontinua si ha
una densità di carica superficiale, nello spaziotempo di Minkowsky
ρ=
1
µω
∆E = −
cos2 θ
4π
2πcR 2
Nello spaziotempo di Schwarzschild compare il solito fattore correttivo
ρ=
µω
1
∆E = −
cos2 θ f (R)
4π
2πcR 2
Ad esempio per la Crab la densità di carica al polo è doppia rispetto al
caso piatto.
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ρ=
1
µω
∆E = −
cos2 θ
4π
2πcR 2
Nello spaziotempo di Schwarzschild compare il solito fattore correttivo
ρ=
µω
1
∆E = −
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Interpretazione fisica
L’accelerazione delle cariche
L’accelerazione
a=
1995ApJ...449..224S
Una misura dell’accelerazione delle cariche è data dall’invariante di
~ ext · B
~
Lorentz E
~ ext · B
~
eE
~ m p B
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a=
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