Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di
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Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Corso di Relatività Generale e Fisica della Gravitazione Luigi Tibaldo Università degli studi di Padova 21 Luglio 2008 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Sommario Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Le equazioni di Maxwell Magnetoidrodinamica relativistica 2 Lo spaziotempo di Schwarzschild La metrica Osservatori fisici 3 La soluzione di Wald Il quadripotenziale Interpretazione fisica 4 La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Interpretazione fisica Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Sommario Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Le equazioni di Maxwell Magnetoidrodinamica relativistica 2 Lo spaziotempo di Schwarzschild La metrica Osservatori fisici 3 La soluzione di Wald Il quadripotenziale Interpretazione fisica 4 La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Interpretazione fisica Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Sommario Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Le equazioni di Maxwell Magnetoidrodinamica relativistica 2 Lo spaziotempo di Schwarzschild La metrica Osservatori fisici 3 La soluzione di Wald Il quadripotenziale Interpretazione fisica 4 La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Interpretazione fisica Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Sommario Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Le equazioni di Maxwell Magnetoidrodinamica relativistica 2 Lo spaziotempo di Schwarzschild La metrica Osservatori fisici 3 La soluzione di Wald Il quadripotenziale Interpretazione fisica 4 La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Interpretazione fisica Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo di Minkowskj L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di Maxwell ∂µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo elettromagnetico in termini del quadripotenziale Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ equivale a ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = 0 Le derivate parziali commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0 logo Aν = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo di Minkowskj L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di Maxwell ∂µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo elettromagnetico in termini del quadripotenziale Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ equivale a ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = 0 Le derivate parziali commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0 logo Aν = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo di Minkowskj L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di Maxwell ∂µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo elettromagnetico in termini del quadripotenziale Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ equivale a ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = 0 Le derivate parziali commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0 logo Aν = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo di Minkowskj L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di Maxwell ∂µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo elettromagnetico in termini del quadripotenziale Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ equivale a ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = 0 Le derivate parziali commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0 logo Aν = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo di Minkowskj L’elettrodinamica è descritta nello spaziotempo piatto dalle equazioni di Maxwell ∂µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 Nel vuoto la prima equazione è ∂µ F µν = 0, che, esprimendo il campo elettromagnetico in termini del quadripotenziale Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ equivale a ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = 0 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = 0 Le derivate parziali commutano ∂µ ∂ ν = ∂ ν ∂µ Gauge di Lorentz ∂µ Aµ = 0 logo Aν = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo curvo Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale poniamo ∇µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ Nel vuoto ∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0 ˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0 A ν ˜ A − g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0 ˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0 A λρµ ˜ ν + g νρ Rρλ Aλ A = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Le derivate covarianti non commutano ∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo curvo Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale poniamo ∇µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ Nel vuoto ∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0 ˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0 A ν ˜ A − g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0 ˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0 A λρµ ˜ ν + g νρ Rρλ Aλ A = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Le derivate covarianti non commutano ∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Le equazioni di Maxwell Spaziotempo curvo Nello spaziotempo curvo seguendo il principio di covarianza generale poniamo ∇µ F µν = 4πν F[αβ,γ] = 0 e definiamo Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ Nel vuoto ∇µ (∇µ Aν − ∇ν Aµ ) = 0 ˜ ν − ∇µ ∇ν Aµ = 0 A ν ˜ A − g νρ ∇µ ∇ρ Aµ = 0 ˜ ν − g νρ R µ Aλ = 0 A λρµ ˜ ν + g νρ Rρλ Aλ A = 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Le derivate covarianti non commutano ∇µ ∇ρ Aµ = ∇ρ ∇µ Aµ + R µλρµ Aλ Gauge di Lorentz ∇µ Aµ = 0 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo di Minkowskj Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo elettromagnetico è l’equazione di Ohm ~ + ~v × B ~ ~ = σ E c Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞: ~ = − 1 ~v × B ~ E c ∂q ~ la densità di carica è nulla = −σ ∇ · E ∂t il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è costante (congelamento delle linee di campo) Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo di Minkowskj Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo elettromagnetico è l’equazione di Ohm ~ + ~v × B ~ ~ = σ E c Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞: ~ = − 1 ~v × B ~ E c ∂q ~ la densità di carica è nulla = −σ ∇ · E ∂t il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è costante (congelamento delle linee di campo) Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo di Minkowskj Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo elettromagnetico è l’equazione di Ohm ~ + ~v × B ~ ~ = σ E c Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞: ~ = − 1 ~v × B ~ E c ∂q ~ la densità di carica è nulla = −σ ∇ · E ∂t il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è costante (congelamento delle linee di campo) Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo di Minkowskj Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo elettromagnetico è l’equazione di Ohm ~ + ~v × B ~ ~ = σ E c Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞: ~ = − 1 ~v × B ~ E c ∂q ~ la densità di carica è nulla = −σ ∇ · E ∂t il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è costante (congelamento delle linee di campo) Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo di Minkowskj Supponiamo di non essere nel vuoto, ma che sia presente un fluido. Il collegamento tra la dinamica del fluido e quella del campo elettromagnetico è l’equazione di Ohm ~ + ~v × B ~ ~ = σ E c Nel caso di perfetta conducibilità σ → ∞: ~ = − 1 ~v × B ~ E c ∂q ~ la densità di carica è nulla = −σ ∇ · E ∂t il flusso del campo magnetico attraverso le sezioni di fluido è costante (congelamento delle linee di campo) Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo curvo Nello spaziotempo curvo la legge di Ohm si esprime in termini del tensore di conducibilità µ = σ µν Fνρ u ρ = = σg µν Fνρ u ρ = = σE µ Nel caso di perfetta conducibilità rimangono valide tutte le considerazioni fatte nel caso piatto, in particolare la parte elettrica del campo è nulla Eµ = Fµν u ν = 0 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Magnetoidrodinamica relativistica Spaziotempo curvo Nello spaziotempo curvo la legge di Ohm si esprime in termini del tensore di conducibilità µ = σ µν Fνρ u ρ = = σg µν Fνρ u ρ = = σE µ Nel caso di perfetta conducibilità rimangono valide tutte le considerazioni fatte nel caso piatto, in particolare la parte elettrica del campo è nulla Eµ = Fµν u ν = 0 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta La metrica Elemento di linea e costanti del moto La metrica che descrive una distribuzione di massa-energia a simmetria sferica non rotante, soluzione delle equazioni di Einstein, è −1 2M 2M dt 2 + 1 − dr 2 + r 2 dθ2 + r 2 sin θ2 dϕ2 ds 2 = − 1 − r r Le coordinate t e ϕ sono cicliche, perciò ∂ t e ∂ ϕ sono vettori di Killing. Le corrispondenti costanti del moto sono (particella di prova di quadrimomento p ): Energia E = p |∂ t Momento angolare L = p |∂ ϕ logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta La metrica Elemento di linea e costanti del moto La metrica che descrive una distribuzione di massa-energia a simmetria sferica non rotante, soluzione delle equazioni di Einstein, è −1 2M 2M dt 2 + 1 − dr 2 + r 2 dθ2 + r 2 sin θ2 dϕ2 ds 2 = − 1 − r r Le coordinate t e ϕ sono cicliche, perciò ∂ t e ∂ ϕ sono vettori di Killing. Le corrispondenti costanti del moto sono (particella di prova di quadrimomento p ): Energia E = p |∂ t Momento angolare L = p |∂ ϕ logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici L’osservatore statico Quadrivelocità dell’osservatore statico u = A∂ t −1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00 u =√ 1 ∂t −g00 La corrispondente tetrade è quindi λ t̂ 1− = λ r̂ = λ θ̂ = λ ϕ̂ = 2M r 2M 1− r −1/2 ∂t Tetrade 1/2 1 ∂θ r 1 ∂ϕ r sin θ Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild ∂r λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂ logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici L’osservatore statico Quadrivelocità dell’osservatore statico u = A∂ t −1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00 u =√ 1 ∂t −g00 La corrispondente tetrade è quindi λ t̂ 1− = λ r̂ = λ θ̂ = λ ϕ̂ = 2M r 2M 1− r −1/2 ∂t Tetrade 1/2 1 ∂θ r 1 ∂ϕ r sin θ Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild ∂r λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂ logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici L’osservatore statico Quadrivelocità dell’osservatore statico u = A∂ t −1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00 u =√ 1 ∂t −g00 La corrispondente tetrade è quindi λ t̂ 1− = λ r̂ = λ θ̂ = λ ϕ̂ = 2M r 2M 1− r −1/2 ∂t Tetrade 1/2 1 ∂θ r 1 ∂ϕ r sin θ Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild ∂r λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂ logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici L’osservatore statico Quadrivelocità dell’osservatore statico u = A∂ t −1 = u µ uµ = gµν u µ u ν = A2 g00 u =√ 1 ∂t −g00 La corrispondente tetrade è quindi λ t̂ 1− = λ r̂ = λ θ̂ = λ ϕ̂ = 2M r 2M 1− r −1/2 ∂t Tetrade 1/2 1 ∂θ r 1 ∂ϕ r sin θ Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild ∂r λ α̂ |λ β̂ = ηα̂β̂ logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in moto circolare Osservatore in moto circolare uniforme sul piano equatoriale (θ = π/2) λ t̂ λ r̂ λ θ̂ λ ϕ̂ = u = K (∂ t + ω∂ ϕ ) 1/2 2M = 1− ∂r r 1 = ∂θ r = C∂t +D∂ϕ Per le solite condizioni di normalizzazione − 12 2M 2 2 K = 1− −ω r r − 12 1 2M K 2M 2 C = K ωr 1 − D= 1− r r r Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in moto circolare Osservatore in moto circolare uniforme sul piano equatoriale (θ = π/2) λ t̂ λ r̂ λ θ̂ λ ϕ̂ = u = K (∂ t + ω∂ ϕ ) 1/2 2M = 1− ∂r r 1 = ∂θ r = C∂t +D∂ϕ Per le solite condizioni di normalizzazione − 12 2M 2 2 K = 1− −ω r r − 12 1 2M K 2M 2 C = K ωr 1 − D= 1− r r r Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in caduta libera: quadrivelocità Per un osservatore in caduta libera radiale si ha E L γ= =1 λ= =0 m m perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0 2M r 2 = 0 −1 + (u ) + 1 − r r 2M r moto verso la sorgente u =− r Per la componente temporale −E = pt ut = − 1 gtt Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild = mgtt u t −1 2M = 1− r logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in caduta libera: quadrivelocità Per un osservatore in caduta libera radiale si ha E L γ= =1 λ= =0 m m perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0 2M r 2 = 0 −1 + (u ) + 1 − r r 2M r moto verso la sorgente u =− r Per la componente temporale −E = pt ut = − 1 gtt Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild = mgtt u t −1 2M = 1− r logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in caduta libera: quadrivelocità Per un osservatore in caduta libera radiale si ha E L γ= =1 λ= =0 m m perciò l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma g tt + g rr (grr u r )2 + 1 = 0 2M r 2 = 0 −1 + (u ) + 1 − r r 2M r moto verso la sorgente u =− r Per la componente temporale −E = pt ut = − 1 gtt Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild = mgtt u t −1 2M = 1− r logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Osservatori fisici Osservatore in caduta libera: tetrade La tetrade associata all’osservatore in caduta libera radiale sul piano equatoriale è quindi r −1 2M 2M λ t̂ = u = 1 − ∂t − ∂r r r r −1 2M 2M λ r̂ = 1− ∂t −∂r r r 1 λ θ̂ = ∂θ r 1 λ ϕ̂ = ∂ϕ r sin θ logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Campo magnetico uniforme La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente uniforme nella metrica di Schwarzschild. Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al piano equatoriale) è dato dalle componenti Br = B0 cos θ Bθ = B0 sin θ ossia dal potenziale vettore ~ = 1 B0 r sin θ êϕ A 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Campo magnetico uniforme La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente uniforme nella metrica di Schwarzschild. Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al piano equatoriale) è dato dalle componenti Br = B0 cos θ Bθ = B0 sin θ ossia dal potenziale vettore ~ = 1 B0 r sin θ êϕ A 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Campo magnetico uniforme La soluzione di Wald descrive un campo magnetico asintoticamente uniforme nella metrica di Schwarzschild. Nello spaziotempo piatto un campo magnetico uniforme (per comodità scegliamo il sistema di coordinate in modo che il campo sia ortogonale al piano equatoriale) è dato dalle componenti Br = B0 cos θ Bθ = B0 sin θ ossia dal potenziale vettore ~ = 1 B0 r sin θ êϕ A 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Riformulazione delle equazioni di Maxwell Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la forma Aµ = f (r , θ) δ µϕ La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma √ ∂µ −g F µν = 0 g = −r 4 sin2 θ Le uniche componenti non nulle del campo sono Fr ϕ = ∂r Aϕ Fθϕ = ∂θ Aϕ per cui l’equazione di Maxwell ha la forma √ ∂µ −g g µσ g νρ Fσρ = 0 logo che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Riformulazione delle equazioni di Maxwell Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la forma Aµ = f (r , θ) δ µϕ La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma √ ∂µ −g F µν = 0 g = −r 4 sin2 θ Le uniche componenti non nulle del campo sono Fr ϕ = ∂r Aϕ Fθϕ = ∂θ Aϕ per cui l’equazione di Maxwell ha la forma √ ∂µ −g g µσ g νρ Fσρ = 0 logo che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Riformulazione delle equazioni di Maxwell Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la forma Aµ = f (r , θ) δ µϕ La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma √ ∂µ −g F µν = 0 g = −r 4 sin2 θ Le uniche componenti non nulle del campo sono Fr ϕ = ∂r Aϕ Fθϕ = ∂θ Aϕ per cui l’equazione di Maxwell ha la forma √ ∂µ −g g µσ g νρ Fσρ = 0 logo che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Riformulazione delle equazioni di Maxwell Supponiamo che il quadripotenziale del campo elettromagnetico abbia la forma Aµ = f (r , θ) δ µϕ La prima equazione di Maxwell si può riscrivere nella forma √ ∂µ −g F µν = 0 g = −r 4 sin2 θ Le uniche componenti non nulle del campo sono Fr ϕ = ∂r Aϕ Fθϕ = ∂θ Aϕ per cui l’equazione di Maxwell ha la forma √ ∂µ −g g µσ g νρ Fσρ = 0 logo che ha un’unica componente significativa per ν = ϕ. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Soluzione delle equazioni di Maxwell ∂r √ √ −g g rr g ϕϕ Fr ϕ + ∂θ −g g θθ g ϕϕ Fθϕ = 0 2M 1 1 1− ∂r Aϕ + ∂θ 2 ∂θ Aϕ = 0 sin θ r r sin θ ∂r Separiamo le variabili ponendo Aϕ = R(r )Θ(θ) r2 2M sin θ 1 ∂r 1− ∂r R + ∂θ ∂θ Θ = 0 R r Θ sin θ 2M r 2 ∂r 1− ∂r R = κR r Si hanno soluzioni per κ = 2 logo R ∝ r2 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Θ ∝ sin2 θ Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Soluzione delle equazioni di Maxwell ∂r √ √ −g g rr g ϕϕ Fr ϕ + ∂θ −g g θθ g ϕϕ Fθϕ = 0 2M 1 1 1− ∂r Aϕ + ∂θ 2 ∂θ Aϕ = 0 sin θ r r sin θ ∂r Separiamo le variabili ponendo Aϕ = R(r )Θ(θ) r2 2M sin θ 1 ∂r 1− ∂r R + ∂θ ∂θ Θ = 0 R r Θ sin θ 2M r 2 ∂r 1− ∂r R = κR r Si hanno soluzioni per κ = 2 logo R ∝ r2 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Θ ∝ sin2 θ Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Il quadripotenziale di Wald Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida con quella nel caso piatto Aϕ̂ = λϕ̂µ Aµ = = λϕ̂ϕ Aϕ = 1 A0 r 2 sin2 θ = = r sin θ = A0 r sin θ Per cui Aϕ = Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 B0 r 2 sin2 θ 2 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Il quadripotenziale di Wald Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida con quella nel caso piatto Aϕ̂ = λϕ̂µ Aµ = = λϕ̂ϕ Aϕ = 1 A0 r 2 sin2 θ = = r sin θ = A0 r sin θ Per cui Aϕ = Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 B0 r 2 sin2 θ 2 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il quadripotenziale Il quadripotenziale di Wald Il quadripotenziale di Wald ha quindi la forma Aµ = A0 r 2 sin2 θ δ µϕ Per determinare la costante A0 imponiamo che per un osservatore statico a distanza molto grande dalla sorgente del campo la soluzione coincida con quella nel caso piatto Aϕ̂ = λϕ̂µ Aµ = = λϕ̂ϕ Aϕ = 1 A0 r 2 sin2 θ = = r sin θ = A0 r sin θ Per cui Aϕ = Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild 1 B0 r 2 sin2 θ 2 logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore statico Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ Per l’osservatore statico la componente radiale è Br̂ = Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ = = B0 cos θ come nel caso piatto. Per la componente θ̂ Bθ̂ = Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ = r 2M = 1− B0 sin θ r logo quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore statico Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ Per l’osservatore statico la componente radiale è Br̂ = Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ = = B0 cos θ come nel caso piatto. Per la componente θ̂ Bθ̂ = Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ = r 2M = 1− B0 sin θ r logo quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore statico Le componenti non nulle del tensore di Faraday sono Fr ϕ = ∂r Aϕ = B0 r sin2 θ Fθϕ = ∂θ Aϕ = B0 r 2 sin θ cos θ Per l’osservatore statico la componente radiale è Br̂ = Fθ̂ϕ̂ = λθ̂θ λϕ̂ϕ Fθϕ = = B0 cos θ come nel caso piatto. Per la componente θ̂ Bθ̂ = Fr̂ ϕ̂ = λr̂ r λϕ̂ϕ Fθϕ = r 2M = 1− B0 sin θ r logo quindi vicino all’orizzonte degli eventi il campo diventa puramente radiale. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore in caduta libera Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa espressione che nel caso piatto. Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico r 2M 1 ϕ r Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = − B0 r sin2 θ = r r sin θ r 2M = −B0 sin θ r Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le misure: l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a grande distanza dalla sorgente del campo; il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di Schwarzshild. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore in caduta libera Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa espressione che nel caso piatto. Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico r 2M 1 ϕ r Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = − B0 r sin2 θ = r r sin θ r 2M = −B0 sin θ r Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le misure: l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a grande distanza dalla sorgente del campo; il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di Schwarzshild. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore in caduta libera Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa espressione che nel caso piatto. Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico r 2M 1 ϕ r Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = − B0 r sin2 θ = r r sin θ r 2M = −B0 sin θ r Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le misure: l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a grande distanza dalla sorgente del campo; il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di Schwarzshild. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’osservatore in caduta libera Nel caso dell’osservatore in caduta libera il campo magnetico ha la stessa espressione che nel caso piatto. Compare però una componente aggiuntiva di campo elettrico r 2M 1 ϕ r Eϕ̂ = −Ft̂ ϕ̂ = −λt̂ λϕ̂ Fr ϕ = − B0 r sin2 θ = r r sin θ r 2M = −B0 sin θ r Le proprietà del campo sembrano dipendere dall’osservatore che fa le misure: l’osservatore statico non è dotato di significato fisico se non a grande distanza dalla sorgente del campo; il campo di Wald ha poco significato fisico: rappresenta un campo prodotto da una sorgente esterna che si trova in uno spaziotempo di Schwarzshild. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Le superficie di flusso Consideriamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie Z ΦB = θ∗ Z dθ dϕ Fθϕ = 0 0 θ∗ θ∗ dθ dϕ ∂θ Aϕ = 2π [Aϕ |0 = πr 2 B0 sin2 θ∗ Le linee di campo Se poniamo ΦB costante otteniamo r r sin θ = ΦB πB0 La superficie a flusso costante è un cilindro, ossia le linee di campo attraversano il “buco nero” senza vederlo: come anticipato la sorgente del campo è esterna e indipendente da quella della geometria dello spaziotempo. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Le superficie di flusso Consideriamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie Z ΦB = θ∗ Z dθ dϕ Fθϕ = 0 0 θ∗ θ∗ dθ dϕ ∂θ Aϕ = 2π [Aϕ |0 = πr 2 B0 sin2 θ∗ Le linee di campo Se poniamo ΦB costante otteniamo r r sin θ = ΦB πB0 La superficie a flusso costante è un cilindro, ossia le linee di campo attraversano il “buco nero” senza vederlo: come anticipato la sorgente del campo è esterna e indipendente da quella della geometria dello spaziotempo. Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: il campo all’interno della stella Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics) µ 2µ 1 ~ Aϕ = 2 sin θ B = 3 cos θ, sin θ, 0 r r 2 All’interno della stella (perfetta conducibilità) ~ × ~r ~ int ~ int + ω ×B =0 E c ~ int = 2µω E cr 2 1 2 sin θ, − sin θ cos θ, 0 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: il campo all’interno della stella Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics) µ 2µ 1 ~ Aϕ = 2 sin θ B = 3 cos θ, sin θ, 0 r r 2 All’interno della stella (perfetta conducibilità) ~ × ~r ~ int ~ int + ω ×B =0 E c ~ int = 2µω E cr 2 1 2 sin θ, − sin θ cos θ, 0 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: il campo all’interno della stella Campo di dipolo (vedi eq. 5.41 in Jackson, Classic Electrodynamics) µ 2µ 1 ~ Aϕ = 2 sin θ B = 3 cos θ, sin θ, 0 r r 2 All’interno della stella (perfetta conducibilità) ~ × ~r ~ int ~ int + ω ×B =0 E c ~ int = 2µω E cr 2 1 2 sin θ, − sin θ cos θ, 0 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: Il campo all’esterno della stella La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua 2µω ∂ ∂ µω sin2 θ P (cos θ) Eθext = − = 2 ∂θ cR 2 ∂θ 3cR 2 Fuori dalla stella ~ ext = −∇φ ~ E ∇2 φ = 0 φ=− 2µωR 2 P2 (cos θ) 3cr 3 concludendo ~ ext = − µωR E cr 4 2 (3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: Il campo all’esterno della stella La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua 2µω ∂ ∂ µω sin2 θ P (cos θ) Eθext = − = 2 ∂θ cR 2 ∂θ 3cR 2 Fuori dalla stella ~ ext = −∇φ ~ E ∇2 φ = 0 φ=− 2µωR 2 P2 (cos θ) 3cr 3 concludendo ~ ext = − µωR E cr 4 2 (3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: Il campo all’esterno della stella La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua 2µω ∂ ∂ µω sin2 θ P (cos θ) Eθext = − = 2 ∂θ cR 2 ∂θ 3cR 2 Fuori dalla stella ~ ext = −∇φ ~ E ∇2 φ = 0 φ=− 2µωR 2 P2 (cos θ) 3cr 3 concludendo ~ ext = − µωR E cr 4 2 (3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Caso piatto: Il campo all’esterno della stella La componente tangente alla superficie del campo elettrico è continua 2µω ∂ ∂ µω sin2 θ P (cos θ) Eθext = − = 2 ∂θ cR 2 ∂θ 3cR 2 Fuori dalla stella ~ ext = −∇φ ~ E ∇2 φ = 0 φ=− 2µωR 2 P2 (cos θ) 3cr 3 concludendo ~ ext = − µωR E cr 4 2 (3 cos2 θ − 1), 2 sin θ cos θ, 0 Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’interno Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983) 3µ sin2 θ 2 2M 2 + 2Mr + 2M Aϕ = − r ln 1 − 8M 3 r In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la parte elettrica del campo è nulla). Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico) Er̂int Eθ̂int uϕ = Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t u −1/2 1 2M α β = Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ = 1− Fθt = r r −1/2 1 2M uϕ = 1− Fϕt t r r u Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’interno Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983) 3µ sin2 θ 2 2M 2 + 2Mr + 2M Aϕ = − r ln 1 − 8M 3 r In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la parte elettrica del campo è nulla). Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico) Er̂int Eθ̂int uϕ = Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t u −1/2 1 2M α β = Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ = 1− Fθt = r r −1/2 1 2M uϕ = 1− Fϕt t r r u Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’interno Nella metrica di Schwarzschild il quadripotenziale di un dipolo magnetico è (Wasserman & Shapiro, ApJ 265, 1036, 1983) 3µ sin2 θ 2 2M 2 + 2Mr + 2M Aϕ = − r ln 1 − 8M 3 r In forma covariante la conducibilità perfetta implica F αβ u β = 0 (ossia la parte elettrica del campo è nulla). Quindi il campo all’interno della stella vale (osservatore statico) Er̂int Eθ̂int uϕ = Fr̂ t̂ = λαr̂ λβ t̂ Fαβ = Frt = Fϕt t u −1/2 1 2M α β = Fθ̂t̂ = λ θ̂ λ t̂ Fαβ = 1− Fθt = r r −1/2 1 2M uϕ = 1− Fϕt t r r u Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’esterno Da quanto visto prima Er̂int Eθ̂int µω sin2 θ f (r ) cr 2 2µω = − 2 sin θ cos θ g (r ) cr = dove f (r ), g (r ) → 1 quando r → ∞. Dalla soluzione nel caso piatto Er̂ext Eθ̂ext µωR 2 3 cos2 θ − 1 f (r ) cr 4 2µωR 2 = − sin θ cos θ g (r ) cr 4 = − logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Il campo di dipolo rotante Spaziotempo di Schwarzschild: il campo all’esterno Da quanto visto prima Er̂int Eθ̂int µω sin2 θ f (r ) cr 2 2µω = − 2 sin θ cos θ g (r ) cr = dove f (r ), g (r ) → 1 quando r → ∞. Dalla soluzione nel caso piatto Er̂ext Eθ̂ext µωR 2 3 cos2 θ − 1 f (r ) cr 4 2µωR 2 = − sin θ cos θ g (r ) cr 4 = − logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Diamo i numeri! " La pulsar Crab 2M 1− r 1995ApJ...449..224S 3r 2 f (r ) = 4M 2 −1 # r 2M + ln 1 − +1 M r M = 1.4 M R = 106 cm P = 33 ms µ = 2 · 1030 G cm3 ωR = 6 · 10−3 c Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Diamo i numeri! " La pulsar Crab 2M 1− r 1995ApJ...449..224S 3r 2 f (r ) = 4M 2 −1 # r 2M + ln 1 − +1 M r M = 1.4 M R = 106 cm P = 33 ms µ = 2 · 1030 G cm3 ωR = 6 · 10−3 c Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Diamo i numeri! " La pulsar Crab 2M 1− r 1995ApJ...449..224S 3r 2 f (r ) = 4M 2 −1 # r 2M + ln 1 − +1 M r M = 1.4 M R = 106 cm P = 33 ms µ = 2 · 1030 G cm3 ωR = 6 · 10−3 c Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild logo Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Le linee di campo per la Crab Le linee di campo giacciono sulle superficie di livello del flusso Z ΦE (θ) = 0 ΦE (θ) = − θ ~ · d~σ = E Z θ Er r 2 dΩ 0 2πµωR 2 sin2 θ cos θ f (r ) = const cr 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Le linee di campo per la Crab Le linee di campo giacciono sulle superficie di livello del flusso Z ΦE (θ) = 0 ΦE (θ) = − θ ~ · d~σ = E Z θ Er r 2 dΩ 0 2πµωR 2 sin2 θ cos θ f (r ) = const cr 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica Le linee di campo per la Crab Le linee di campo giacciono sulle superficie di livello del flusso Z ΦE (θ) = 0 ΦE (θ) = − θ ~ · d~σ = E Z θ Er r 2 dΩ 0 2πµωR 2 sin2 θ cos θ f (r ) = const cr 2 logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica La densità di carica Poiché la componente normale del campo elettrico è discontinua si ha una densità di carica superficiale, nello spaziotempo di Minkowsky ρ= 1 µω ∆E = − cos2 θ 4π 2πcR 2 Nello spaziotempo di Schwarzschild compare il solito fattore correttivo ρ= µω 1 ∆E = − cos2 θ f (R) 4π 2πcR 2 Ad esempio per la Crab la densità di carica al polo è doppia rispetto al caso piatto. logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica La densità di carica Poiché la componente normale del campo elettrico è discontinua si ha una densità di carica superficiale, nello spaziotempo di Minkowsky ρ= 1 µω ∆E = − cos2 θ 4π 2πcR 2 Nello spaziotempo di Schwarzschild compare il solito fattore correttivo ρ= µω 1 ∆E = − cos2 θ f (R) 4π 2πcR 2 Ad esempio per la Crab la densità di carica al polo è doppia rispetto al caso piatto. logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’accelerazione delle cariche L’accelerazione a= 1995ApJ...449..224S Una misura dell’accelerazione delle cariche è data dall’invariante di ~ ext · B ~ Lorentz E ~ ext · B ~ eE ~ m p B logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova Sommario Elettrodinamica nello spaziotempo curvo Lo spaziotempo di Schwarzschild La soluzione di Wald La soluzione di Sengupta Interpretazione fisica L’accelerazione delle cariche L’accelerazione a= 1995ApJ...449..224S Una misura dell’accelerazione delle cariche è data dall’invariante di ~ ext · B ~ Lorentz E ~ ext · B ~ eE ~ m p B logo Luigi Tibaldo Soluzioni delle Equazioni di Maxwell nello spaziotempo di Schwarzschild Università degli studi di Padova
