Prova di Fisica per la laurea magistrale con soluzioni, a.a.

Concorso di ammissione al quarto anno, a.a. 2006/07
Prova scritta di fisica
Corsi di laurea magistrale in Scienze Fisiche e Fisica Applicata
1) Una cometa si muove su una traiettoria parabolica intorno al sole nello stesso piano
dell’orbita terrestre, assunta circolare.
Trovare il tempo T che la cometa spende all’interno dell’orbita terrestre in funzione del
perielio p della sua traiettoria e calcolarne il valore massimo possibile.
Soluzione: Se la traiettoria è parabolica l’energia totale è zero
l2
1
GmMS
=0
E = mṙ2 +
−
2
2
2mr
r
. Al perielio r = rmin
sostituendo l2 = 2m2 GMS p.
r = p e ṙ = 0, quindi
l2
S
Si ha poi dr
= m2 GmM
− 2mr
da cui
2
dt
r
T =2
Z
rmax
rmin
"
2
dr
m
GmMS
l2
−
r
2mr2
!#− 1
2
s
r
r
2p
p
1 Za
1 2 3
√
dr = 2
a2 1 +
1−
=2
2GMS p
r−p
2GMS 3
a
a
s
dove
q a3 è il raggio dell’orbita terrestre. Sostituendo il periodo dell’orbita terrestre Tt =
a
2π GM
=1 anno, si ottiene
S
√
r
2p
p
2
Tt 1 +
1−
T =
3π
a
a
a
e il valore massimo si ha per p = 2 con
Tmax =
2
Tt ' 77 giorni.
3π
2) Un pendolo triplo è costituito da tre masse αm, m, m attaccate mediante un unico filo di
massa trascurabile a distanze rispettivamente a, 2a, 3a dal punto di sospensione.
Trovare
il valore di α affinché il sistema abbia un modo di piccole oscillazioni di pulsazione
q
ω = 2g/a e descriverne le coordinate.
Soluzione:
x1 = a sin φ1 x2 = a(sin φ1 + sin φ2 ) x3 = a(sin φ1 + sin φ2 + sin φ3 )
y1 = a cos φ1 y2 = a(cos φ1 + cos φ2 ) y3 = a(cos φ1 + cos φ2 + cos φ3 )
Con φ1 , φ2 , φ3 1 si ha sin φi ≈ φi
αm 2
m 2
m 2
ẋ1 + ẏ12 +
ẋ2 + ẏ22 +
ẋ3 + ẏ32 '
2
2
2
2 ma2 2 ma2 2
ma
α
φ̇1 +
φ̇1 + φ̇22 + 2φ̇1 φ̇2 +
φ̇21 + φ̇22 + φ̇23 + 2φ̇1 φ̇2 + 2φ̇2 φ̇3 + 2φ̇1 φ̇3
2
2
2
T =
V = −αmgy1 − mgy2 − mgy3 '
1
1
1
mgaαφ21 + mga φ21 + φ22 + mga φ21 + φ22 + φ23
2
2
2
Usando ω02 = g/a le equazioni del moto sono
h
i
(α + 2) φ̈1 + ω02 φ1 + 2φ̈2 + φ̈3 = 0
2φ̈1 + 2φ̈2 + 2ω02 φ2 + φ̈3 = 0
φ̈1 + φ̈2 + φ̈3 + ω02 φ3 = 0
Cercando una soluzione del tipo φi = Ai exp(iωt) e ponendo λ = ω 2 /ω02 si ha
(α + 2)(λ − 1)
2λ
λ
2λ
2(λ − 1)
λ
det
=0
λ
λ
λ−1
Richiedendo una soluzione con λ = 2 (ω 2 = 2g/a) si ha che il determinante si annulla
solo per α = 2 e l’autovettore corrispondente a questo modo di oscillazione è dato da φ1 = φ,
φ2 = 0 e φ3 = −2φ
3) Una sfera conduttrice di raggio a si muove con velocità costante v attraverso un campo
magnetico B pure costante e ortogonale a v.
Calcolare al primo ordine in v/c la densità di carica superficiale indotta sulla sfera.
Soluzione: Al primo ordine in v/c, nel sistema a riposo della sfera
1
E0 = E + v × B
c
1
B0 = B − v × E.
c
Se la sfera si muove lungo x, il campo magnetico nel laboratorio è lungo y, nel sistema
della sfera si ha
1
v
E0 = vB(x̂ × ŷ) = B0 ẑ
c
c
quindi la sfera conduttrice é in un campo elettrico uniforme. Il potenziale fuori dalla sfera
è
!
v
R3
φ = − Br cos θ 1 − 3
c
r
dove θ é l’angolo rispetto a v × B (ẑ)
da cui si ha
3 v
1 ∂φ
(R) =
B cos θ.
σ=−
4π ∂r
4π c
4) Si calcoli il tempo che impiega l’elettrone di un atomo di idrogeno classico di raggio iniziale
a0 = 10−10 m a collassare sul protone, assumendo piccola l’energia persa in una rivoluzione
rispetto all’energia totale.
Costanti numeriche
Carica dell’elettrone e = 1.6 · 10−19 C. Massa dell’elettrone m = 9.1 · 10−31 Kg.
Velocità della luce c = 3 · 108 m/s.
1/4π0 = 9 · 109 N m2 C −2 .
Soluzione: L’atomo classico è un dipolo oscillante la cui potenza irraggiata su un periodo
è data da
2 1 2 2 4
2 1 ¨
|p~| = 3
eaω .
P = 3
3c 4π0
3c 4π0
Con l’approssimazione di piccole perdite di energia e quindi di orbite circolari lungo un periodo
si ha
1 e2
= mω 2 a.
4π0 a2
L’energia totale è data da
1 e2
1 e2
1 2
=−
.
U = mv −
2
4π0 a
4π0 2a
Quindi
2 1
dU
1 e2
2 1 2 2 4
=
ȧ = −P = − 3
e a ω =−
2
dt
4π0 2a
3c 4π0
3 4π0
3
e6
m 2 a4 c 3
da cui
a2 ȧ = − 43 r02 c dove r0 =
1
e2
4π0 mc2
= 2.8 · 10−15 m
è il raggio classico dell’elettrone.
La soluzione dell’equazione differenziale è a3 = a30 − 4r02 ct da cui il tempo di collasso sul
nucleo pari a
T =
a30
' 1.6 · 10−11 sec.
2
4r0 c
5) In un fascio ideale di ioni di raggio R e lunghezza molto maggiore di R, con densità di
carica e di corrente a simmetria cilindrica, calcolare la forza totale che si esercita su un singolo
ione alla periferia del fascio, note la corrente del fascio I, la carica q e la velocità v dei singoli
ioni.
Soluzione: In coordinate cilindriche, la forza elettrostatica sullo ione è (λ = I/v)
Fe =
Il campo magnetico si ottiene da
magnetica
H
2Iq
2λq
r̂ =
r̂
R
vR
B · dl = 2πRB =
4π
I
c
2Iqv
q
Fm = v × B = − 2 r̂
c
cR
da cui
2Iq
v2
F=
1 − 2 r̂
Rv
c
!
da cui B =
2I
φ̂
cR
da cui la forza
6) Si consideri il modello di Debye per un cristallo bidimensionale. Si calcoli (a meno di
un integrale adimensionale che si può lasciare indicato) la capacità termica del cristallo in
funzione del numero totale di atomi N e della frequenza massima di vibrazione ωD .
Soluzione:
T
C = 12N
TD
h
con TD = ωD 2π
2 Z
0
TD
T
x2 dx
ex − 1