1. - Cantook.net

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e reale
di una variabilnzioni reali
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s Derivate diabile reale
di una vari ioni
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s Studio di fu funzioni reali
s Integrali diabile reale
di una vari i calcolo combinatorio
d
s Fondamenti delle probabilità
lo
e di calco
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
Š
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
Copyright © 2006 Esselibri S.p.A.
Via F. Russo 33/D
80123 Napoli
Azienda certificata dal 2003 con sistema qualità ISO 14001 : 2004
Tutti i diritti riservati
È vietata la riproduzione anche parziale
e con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione
scritta dell’editore.
Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,
l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alle
opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati.
Prima edizione: Novembre 2006
PK21/1
ISBN 88-244-7565-5
Ristampe
8 7 6 5 4 3 2 1
2006
2007
2008
2009
Questo volume è stato stampato presso
Officina Grafica Iride
Via Prov. Arzano-Casandrino, VII trav. 24 - Arzano (NA)
Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]
A cura di:
Carla Iodice
Grafica e copertina:
Gianfranco De Angelis
Impaginazione
Pasquale Antignano
Estratto della pubblicazione
Presentazione
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Il volume presenta più di 200 esercizi svolti e commentati in
vista della prova di maturità o dell’esame di Analisi matematica,
ed è articolato in 6 capitoli, ciascuno costituito da:
— una prima pagina in cui è indicato il percorso di lettura ed
è tracciata una mappa concettuale strutturata in modo da
mettere in evidenza le interrelazioni tra gli argomenti trattati
nel capitolo;
— una parte teorica esplicativa dell’argomento in cui sono
richiamati i concetti, le regole e i teoremi fondamentali;
— esercizi in cui, anche a rischio di sembrare ripetitivi, non si
è quasi mai evitata la citazione di argomenti propedeutici di
matematica;
— un test di verifica finale che, spesso, è rappresentato da
esercizi guidati.
In tal modo lo studente può apprendere, non solo la tecnica
risolutiva dei vari tipi di esercizi, ma anche e soprattutto l’impostazione metodologica da seguire.
Particolare attenzione è posta alle derivate e agli integrali di
funzioni reali di una variabile reale. Tali capitoli, oltre a contenere i tradizionali esercizi, dedicano alcune pagine alle applicazioni dei concetti del calcolo differenziale e dell’integrazione
alla geometria.
Si è preferito evitare, inoltre, di inserire le classiche prove assegnate (all’esame di maturità o nelle diverse facoltà), in quanto
le stesse si possono trovare risolte su molti siti internet.
Estratto della pubblicazione
ALFABETO GRECO
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θϑ
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
òmicron
pi
ρ
σ
τ
υ
ϕφ
χ
ψ
ω
rho
sigma
tau
ipsilon
phi
chi
psi
òmega
INDICE DEI SIMBOLI
>
<
≥
≤
≠
≅
±
∞
→
∀
∈
∉
∅
∪
∩
⊂
⊆
⊄
⇒
⇔
n!
log ( )
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
circa uguale a
più o meno
infinito
tende a
per ogni
appartiene
non appartiene
insieme vuoto
unione tra insiemi
intersezione tra insiemi
sottoinsieme proprio
sottoinsieme
non è sottoinsieme
implicazione
doppia implicazione
n fattoriale
logaritmo decimale
ln (
e
lim
)
( )
logaritmo neperiano
numero di Nepero
limite
f′ x
derivata
∫
integrale
∑
sommatoria
Π
{an }
an
sen α
cosα
tan α
cotanα
Inoltre:
✔
✌
produttoria
successione
termine generico della successione
seno dell’angolo α
coseno dell’angolo α
tangente dell’angolo α
cotangente dell’angolo α
indica un richiamo teorico ad argomenti propedeutici di analisi
matematica
indica il passaggio o i passaggi
risolutivi dell’esercizio.
Estratto della pubblicazione
1. Funzioni reali di una variabile reale
○
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○
○
Di cosa parleremo
In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo
di esistenza delle varie tipologie di funzioni e ci occuperemo di concetti
quali simmetria e periodicità.
Funzioni
▼
▼
Algebriche
Trascendenti
▼
▼
▼
▼
▼
Razionali
Irrazionali
Logaritmiche
Esponenziali
Goniometriche
▼
▼
▼
Fratte
Intere
Fratte
1. Funzioni reali di una variabile reale
▼
Intere
5
Estratto della pubblicazione
1) Classificazione delle funzioni
Siano X e Y due sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, per funzione reale di una variabile reale si intende una legge in base alla
quale a ogni elemento x ∈ X si associano uno o più elementi y di Y.
Se a ogni valore della variabile x (detta variabile indipendente) si fa
corrispondere un solo valore della variabile y (detta variabile dipendente), la funzione si dice univoca (o monodroma); in caso contrario, cioè, se ad almeno un valore della x si fanno corrispondere più
valori della y, la funzione si dice polivoca (o polidroma). Nel seguito, si farà sempre riferimento alle funzioni univoche.
A indicare la legge di corrispondenza da X verso Y descritta da una
funzione, si adopera la notazione:
y = f(x)
dove x e y sono, rispettivamente, le variabili indipendente e dipendente, e f rappresenta la legge di corrispondenza descritta dalla funzione.
L’insieme X è detto dominio di definizione (o campo di esistenza)
della funzione; l’insieme Y prende il nome di codominio.
Nell’ambito delle funzioni univoche, si è soliti dare la seguente classificazione:
1. Funzioni reali di una variabile reale
— funzioni algebriche;
— funzioni trascendenti.
Una funzione si dice algebrica se in essa figurano soltanto operazioni
algebriche, cioè, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione,
potenza e radice di monomi e polinomi. Le funzioni non algebriche
prendono il nome di trascendenti; a tale insieme appartengono le
funzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche.
Le funzioni algebriche possono essere:
— razionali (intere o fratte);
— irrazionali (intere o fratte).
Si dicono razionali quelle funzioni algebriche nelle quali non figurano radici di monomi o polinomi; se, viceversa, in una funzione alge-
6
brica figura almeno un’operazione di estrazione di radice di un monomio o polinomio, la funzione si dice irrazionale.
L’aggettivo fratta o intera sta a indicare la presenza, o meno, di monomi o polinomi al denominatore di una frazione.
Esempi
È algebrica razionale intera (o polinomiale) la funzione:
y = 2x 3 − 4 x 2 + 3x + 4 ;
mentre è algebrica razionale fratta la funzione:
y=
1− x 3
;
4+x2
è algebrica irrazionale intera la funzione:
y = 3 4 x 4 − 3x 2 − 2 + 4 x 2
mentre è algebrica irrazionale fratta la funzione:
y=
x +2
x2 +2
;
infine, è trascendente la funzione:
1⎞
⎛
y = ln⎜ 2 sen2 x − ⎟
⎝
2⎠
2) Simmetrie e periodicità
Una funzione reale di una variabile reale y = f ( x ) è:
1. Funzioni reali di una variabile reale
— dispari se è simmetrica rispetto all’origine, cioè se:
f ( −x ) = − f (x )
— pari se è simmetrica rispetto all’asse y, cioè se:
f ( −x ) = f (x )
7
Estratto della pubblicazione
Una funzione reale di una variabile reale è periodica se esiste T > 0
tale che:
f ( x + T ) = f ( x ) per ogni x
Le funzioni trascendenti sono periodiche.
Il periodo delle funzioni seno, coseno, secante e cosecante è l’intera
circonferenza, ossia 2π radianti; il periodo della tangente e della cotangente è metà circonferenza, ossia π radianti.
3) Campo di esistenza
Sia data una funzione reale di una variabile reale y = f(x), il campo di
esistenza, o dominio, della funzione è l’intervallo dei valori di x per
i quali la funzione assume significato.
Per determinare il campo di esistenza di una funzione è utile tener
conto delle seguenti regole o indicazioni:
a) nelle funzioni fratte tutti i denominatori delle frazioni devono essere diversi da 0;
b) nelle funzioni irrazionali i radicandi delle radici con indice pari
devono essere ≥ 0;
c) nelle funzioni trascendenti logaritmiche gli argomenti dei logaritmi devono essere > 0;
d) nelle funzioni trascendenti goniometriche si distingue:
1. Funzioni reali di una variabile reale
— gli argomenti delle funzioni circolari inverse arcoseno e arcocoseno devono appartenere all’intervallo [-1, 1];
— gli argomenti della funzione tangente devono essere diversi da
π
, con k ∈N ;
2
— gli argomenti della funzione cotangente devono essere diversi
da 2k π con k ∈N .
Nell’ambito della determinazione del campo di esistenza di una stessa
funzione, è possibile che alcune delle condizioni sopra descritte vadano imposte contemporaneamente; ciò, tradotto in termini algebrici,
(2k + 1)
8
Estratto della pubblicazione
equivale a risolvere un sistema di disequazioni, ciascuna delle quali
corrisponde a una delle condizioni imposte.
4) Funzioni limitate
Una funzione y = f(x) definita in un dato intervallo [a, b] si dice ivi
limitata, se, per ogni valore di x appartenente al suddetto intervallo,
esiste un numero P positivo tale che:
f (x ) ≤ P
La funzione è:
— limitata superiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto
in cui la funzione assume valore M che è non minore dei valori
assunti negli altri punti;
— limitata inferiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto in
cui la funzione assume valore m che è non maggiore dei valori
assunti negli altri punti.
5) Funzioni crescenti e decrescenti
Sia data una funzione y = f(x), considerati due punti qualsiasi x1 e x2 di
un dato intervallo [a, b], essa si dice:
crescente se x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2);
costante se x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2);
decrescente se x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2);
strettamente crescente se x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2 );
strettamente decrescente se x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Si dicono monotòne le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti o
non crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso.
6) Funzioni composte
Sia data la funzione:
y = f (z)
9
1. Funzioni reali di una variabile reale
—
—
—
—
—
dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione z = g(x)
della variabile indipendente x, si ha che la funzione:
y = f ( g ( x ))
si dice funzione composta di f e di g.
Esercizio n. 1
Determinare l’espressione analitica della funzione composta f ( g ( x )) delle due funzioni:
f ( x ) = x 2 e g ( x ) = sen x
Entrambe le funzioni hanno dominio e codominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.
La funzione composta è la funzione:
f ( g ( x )) = ( sen x ) = sen2 x
2
✌
Esercizio n. 2
Determinare le espressioni analitiche delle funzioni composte f ( g ( x )) e g (f ( x )) delle due funzioni:
f ( x ) = x 2 + 1e g ( x ) = e − x
Le due funzioni hanno entrambe dominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.
La funzione composta di f su g è:
f ( g ( x )) = (e − x ) + 1= e −2 x + 1
2
La funzione composta di g su f è:
1. Funzioni reali di una variabile reale
✌
(
g (f ( x )) = e − x
2
+1)
= e −x
2
−1
7) Funzioni invertibili
Sia data una funzione:
y = f(x)
essa si dice invertibile in un intervallo chiuso [a, b] se a ogni valore
della x in [a, b] corrisponde uno e un solo valore di y in [a', b'], dove a'
e b' sono il minimo e il massimo della funzione nell’intervallo [a, b], e
10
Estratto della pubblicazione
viceversa a ogni valore di y in [a', b'] corrisponde uno e un solo valore
di x in [a, b].
La funzione è, pertanto, invertibile nell’intervallo [a, b], se è continua
in [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto intervallo. La funzione inversa si indica in questo modo:
x = f –1(y)
Negli esercizi che seguono si chiederà di determinare il campo di
esistenza della funzione data e/o le coordinate degli eventuali punti
di intersezione con gli assi.
Queste ultime si determinano risolvendo i due sistemi:
⎪⎧x = 0
⎪⎧ y = 0
e ⎨
⎨
⎪⎩ y = f ( x )
⎪⎩ y = f ( x )
Un cenno a parte meritano le funzioni iperboliche che, più volte, saranno trattate nel volume.
Funzioni iperboliche
Le funzioni iperboliche sono così definite:
senhx =
e x – e –x
e x + e –x
e x – e –x
; coshx =
; tanhx = x – x
2
2
e +e
ricavarsi esplicitando rispetto a y l’equazione: x =
e y – e –y
; ricavando ey dalla prece2
dente espressione si ha:
2x = e y –
1 e 2y –1
= y → 2xe y = e 2y –1→ e 2y – 2xe y –1= 0
ey
e
ponendo ey = z si ottiene l’equazione di secondo grado:
z 2 – 2xz –1= 0 → z12, = x ± x 2 + 1
11
1. Funzioni reali di una variabile reale
La funzione senh è strettamente crescente e quindi invertibile. La funzione inversa è
chiamata settsenh (settore-seno iperbolico), ovvero senh–1 o anche arcsenh. Essa può
scartando la radice negativa (z è non negativo):
(
)
e y = x + x 2 + 1 → y = senh–1 x = ln x + x 2 + 1
L’insieme di definizione della precedente funzione è tutto l’insieme dei numeri reali R.
Allo stesso modo si ricava l’inversa della funzione cosh. Essendo questa strettamente
decrescente per valori negativi della variabile, strettamente crescente per valori positivi, non è invertibile. È però invertibile la sua restrizione ai valori positivi della variabile.
Ripetendo il procedimento precedente si ricava:
(
)
cosh–1 x = ln x + x 2 –1
La funzione cosh –1 o arcosh è definita per x ≥ 1.
La funzione tanh è strettamente crescente in tutto R, quindi invertibile. Sempre con
procedimento analogo a quello usato per ricavare l’inversa del senh, si ottiene:
1 ⎛ 1+ x ⎞
tanh–1 x = ln⎜
⎟
2 ⎝ 1− x ⎠
La funzione è definita per –1 < x < 1.
Esercizio n. 1
Determinare il campo di esistenza della funzione:
f ( x ) = x − 2 − x 2 − 2x − 3
Si tratta di una funzione irrazionale in cui per il polinomio sotto radice deve essere:
x 2 − 2x − 3 ≥ 0
1. Funzioni reali di una variabile reale
Risolvendo si ha che la disuguaglianza è verificata per:
x ≤ −1 e x ≥ 3
per cui, il campo di esistenza è:
✌
C .E . = ⎤⎦ −∞,−1⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3,+∞ ⎡⎣
12
Estratto della pubblicazione
Esercizio n. 2
Sia data la funzione:
f (x ) =
x
x2 −1
determinarne:
— il campo di esistenza;
— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
La funzione è irrazionale fratta.
1.
Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:
x 2 − 1> 0 ⇒ x < −1 ∪ x > 1
quindi:
✌
C. E. = ]– ∞, –1] ∪ [1, + ∞[
2.
Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi la
curva non interseca l’asse y; inoltre, il numeratore della funzione si annulla solo per x = 0,
punto escluso dal campo di esistenza.
✌
Ne consegue che non vi sono intersezioni con gli assi cartesiani.
Esercizio n. 3
Sia data la funzione:
f ( x ) = 32 x -1 − 3x
determinarne:
1. Funzioni reali di una variabile reale
— il campo di esistenza;
— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
Si tratta di una funzione trascendente.
1.
Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:
32 x − 1 − 3 x ≥ 0 ⇒ 32 x − 1 ≥ 3 x ⇒ 2 x − 1 ≥ x ⇒ x ≥ 1
quindi:
✌
C. E. = [1, + ∞[
13
Estratto della pubblicazione
2.
Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi la
curva non interseca l’asse y; per y = 0, si ha:
32 x − 1 − 3 x = 0 ⇒ x = 1
✌
ne consegue che la curva interseca l’asse x nel punto di coordinate (1; 0).
Esercizio n. 4
Sia data la funzione:
f (x ) =
1
ex −2
determinarne:
— il campo di esistenza;
— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
Si tratta di una funzione trascendente.
1.
Per quanto concerne il campo di esistenza, essendo f ( x ) funzione fratta affinché non si
annulli il denominatore deve essere:
e x − 2 ≠ 0 ⇒ e x ≠ 2 ⇒ x ≠ ln2
In definitiva, si ha:
C .E . = R − {ln2}
✌
2.
Per le intersezioni con gli assi si distingue:
— Per x = 0 si ha:
y=
1. Funzioni reali di una variabile reale
✌
1
= −1
1− 2
La funzione interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,-1).
— Per y = 0 si ha:
1
ex −2
impossibile.
✌
14
Non c’è intersezione con l’asse delle x.
=0
Test di verifica
1. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
e x −1
e x +1
x
considerando che la funzione e ≠ −1 per ogni x ∈R .
f (x ) =
❏
❏
❏
❏
a) ]−∞, −1] ∪ [1, +∞[
b) R
c) ]−∞, −1]
d) [1,+∞[
2. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
f (x ) = x 2 −
❏
❏
❏
❏
8
x
a) ]−∞, 0 ] ∪ [2, +∞[
b) ]−∞, −2 ] ∪ [2, +∞[
c) R
d) ]−∞, −2 ]
3. Stabilire qual è il punto di intersezione della funzione di cui al quesito
precedente con uno degli assi.
❏ b)
(0;2)
(0; 0)
(2; 0)
1. Funzioni reali di una variabile reale
❏ a)
❏ c)
❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.
15
Estratto della pubblicazione
4. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
f (x ) =
1
(1− x )(1− 4 x )
2
❏ a)
]−∞, −1] ∪ ⎤⎥ − 2 , 2 ⎡⎢ ∪ ]1, +∞[
❏ b)
]−∞, −1] ∪ ]1, +∞[
2
1 1
⎦
⎣
1⎤ ⎤1
⎤
⎡
❏ c) ⎥ −∞, − ⎥ ∪ ⎥ , +∞ ⎢
2 ⎦ ⎦2
⎦
⎣
❏ d)
]−∞, −1] ∪ ⎤⎥ − 2 , 2 ⎤⎥
1 1
⎦
⎦
5. Stabilire eventuali punti di intersezione della funzione di cui al quesito precedente con uno degli assi.
❏ a)
❏ b)
(1; 0)
(0; 0)
(0;1)
❏ c)
❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.
Risposte esatte
1. Funzioni reali di una variabile reale
1) b); 2) a); 3) c); 4) a); 5) c).
16
Estratto della pubblicazione
2. Limiti e continuità di funzioni reali
di una variabile reale
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
Di cosa parleremo
Gli argomenti trattati in questo capitolo sono di fondamentale importanza
dal punto di vista teorico. I concetti di limite e di continuità di funzioni reali
di variabile reale sono propedeutici a numerosi altri nell’analisi matematica.
Lo studente deve riuscire a comprenderli, innanzi tutto, sul piano intuitivo
per poter, nel seguito, valersene.
Nel trattare i limiti, inevitabile è l’estensione degli stessi alle successioni di
numeri reali, per cui alcuni esercizi saranno dedicati ai limiti di successioni.
Limiti
Limiti
fondamentali
▼
Unicità del limite
lim f ( x ) = l
x →∞
Funzione opposta
▼
▼
lim f ( x ) = ∞
Confronto
▼
▼
x →x 0
Permanenza
del segno
x →∞
Valore assoluto
▼
Limiti di successioni
Teoremi
▼
▼
Operazioni sui limiti
Continuità
Discontinuità
▼
▼
▼
Eliminabile
Di prima specie
Di seconda specie
17
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
Forme
indeterminate
▼
▼
▼
lim f ( x ) = ∞
Teoremi
Operazioni
sui limiti
▼▼
▼
lim f ( x ) = l
x →x 0
▼
▼
Definizioni
▼
▼
1) Definizione di limite
Per definire il concetto di limite dobbiamo dare la seguente definizione.
Il punto limite o di accumulazione x0 del campo di esistenza di
una funzione è quel punto tale che, in ogni suo intorno, per quanto
piccolo, cadono sempre infiniti punti del campo di esistenza; tale punto può anche non appartenere al campo di esistenza considerato.
Sia data la funzione f(x) definita nell’insieme X e sia x0 un punto di accumulazione per X; si dice che il limite di f(x) per x che tende a x0 è l e si scrive:
lim f (x ) = l
x →x 0
se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0 esiste un numero δε > 0 tale che
se 0 < x − x 0 < δ ε, cioè x 0 − δ ε < x < x 0 + δ ε , allora:
f (x ) − l < ε
cioè:
l – ε < f(x) < l – ε
In altri termini: fissato ad arbitrio un intorno J di l, esiste un intorno I di
x0 tale che ∀x ∈I – {x0}, f(x) ∈J.
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
La definizione si generalizza facilmente ai casi di x0 e di l infiniti; ad
esempio si consideri il limite finito per x tendente ad infinito:
lim f (x ) = l
x →+∞
⇔ ∀ε > 0 ∃ K ε > 0 ∀x > K ε ,
f (x ) − l < ε
2) Teoremi sui limiti
Nel calcolo dei limiti di funzioni, è utile tener presente i seguenti teoremi:
TEOREMA I (UNICITÀ DEL LIMITE)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l ∈R,
questo limite è unico.
18
TEOREMA II (PERMANENZA DEL SEGNO)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l ≠ 0,
esiste un intorno di x0 in cui (escluso al più x0) la funzione assume lo
stesso segno del suo limite.
Viceversa, se al tendere di x a x0, la funzione y = f(x) tende al limite l e
se esiste un intorno di x0 (escluso x0) in cui la funzione assume segno
costante, il limite sarà o dello stesso segno della funzione o nullo.
TEOREMA III (CONFRONTO O «DEI DUE CARABINIERI»)
Date le tre funzioni y = f1 (x), y = f 2(x), y = f 3(x) definite, rispettivamente, negli insiemi F1, F2, F3, se è:
F = F1 ∩ F2 ∩ F 3 ≠ ∅
(dove ∅ indica l’insieme vuoto) se, inoltre, risulta, per x ∈F:
f1 (x) < f 2(x) < f3 (x)
e se, infine, indicato con x0 un punto di accumulazione di F, risulta:
lim f1 (x ) = lim f 3 (x ) = l
x →x 0
x →x 0
sarà anche:
lim f 2 (x ) = l
TEOREMA IV (FUNZIONE OPPOSTA)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, avremo
anche:
lim [ − f (x )] = −l
x →x 0
TEOREMA V (VALORE ASSOLUTO)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, il valore
assoluto della funzione tenderà al valore assoluto del limite, cioè:
lim f (x ) = l
x →x 0
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Estratto della pubblicazione
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
x →x 0
3) Operazioni sui limiti e forme indeterminate
1) LIMITE DELLA
SOMMA
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negli
insiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x0 un punto di accumulazione per A ∩ B, risulta:
lim f (x ) = l1
x →x 0
e
lim g (x ) = l2
x →x 0
allora è anche:
lim [ f (x ) + g (x )] = lim f (x ) + lim g (x ) = l1 + l2
x →x 0
x →x 0
x →x 0
In altri termini: il limite della somma di due funzioni è uguale alla
somma dei limiti di ciascuna funzione.
2) LIMITE DELLA
DIFFERENZA
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negli
insiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x0 un punto di accumulazione per A ∩ B, risulta:
lim f (x ) = l1
x →x 0
e
lim g (x ) = l2
x →x 0
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
allora è anche:
lim [ f (x ) − g (x )] = lim f (x ) − lim g (x ) = l1 − l2
x →x 0
x →x 0
x →x 0
In altri termini: il limite della differenza di due funzioni è uguale alla
differenza dei limiti di ciascuna funzione.
3) LIMITE DEL PRODOTTO
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negli
insiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x0 un punto di accumulazione per A ∩ B, risulta:
lim f (x ) = l1
x →x 0
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e
lim g (x ) = l2
x →x 0
allora è anche:
lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) = l1 ⋅ l2
x →x 0
x →x 0
x →x 0
In altri termini: il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti di ciascuna funzione.
4) LIMITE DELLA
FUNZIONE RECIPROCA
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim f (x ) = l ≠ 0
x →x 0
allora è anche:
lim
x →x 0
1
1
=
f (x ) l
In altri termini: il limite del reciproco di una funzione è uguale al
reciproco del limite della funzione.
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negli
insiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x0 un punto di accumulazione per A ∩ B, risulta:
lim f (x ) = l1
x →x 0
e
lim g (x ) = l2
x →x 0
con l1 e l2 numeri finiti e l2 ≠ 0, allora è anche:
lim
x →x 0
lim f (x )
l
f ( x ) x →x 0
=
= 1
g (x ) lim g (x ) l2
x →x 0
In altri termini: il limite del quoziente di due funzioni è uguale al
quoziente dei limiti di ciascuna funzione.
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Estratto della pubblicazione
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
5) LIMITE DEL QUOZIENTE
6) LIMITE DELLA
POTENZA
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim f (x ) = l
x →x 0
allora è anche ∀n ∈N:
lim [ f (x )] = l n
n
x →x 0
In altri termini: il limite della potenza di una funzione è uguale alla
potenza del limite della funzione.
7) LIMITE DELLA
RADICE
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim f (x ) = l
x →x 0
se x0 è di accumulazione anche per l’insieme di definizione della funzione
n
f (x ) , con n ∈N, n > 0 allora è anche:
lim
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
x →x 0
n
f (x ) = n lim f (x ) = n l
x →x 0
In altri termini: il limite della radice di una funzione è uguale alla
radice del limite della funzione.
8) LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Date le due funzioni y = f(x) e z = g(y) definite rispettivamente negli
insiemi X e Y, con f(X) ∩ Y ≠ ∅; sia, inoltre, z = g ( f ( x )) la funzione
composta dalle funzioni f e g definita nell’insieme A = f(X) ∩ Y; se,
indicato con x0 un punto di accumulazione per A, risulta:
a)
lim f (x ) = y 0
x →x 0
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Estratto della pubblicazione
g (y ) = l
b) ylim
→ y0
c) f(x) ≠ y0 intorno a x0 (f non assume il valore y0 costantemente
intorno a x0)
allora è anche:
lim g ( f (x )) = lim g ( y ) = l
x →x 0
y → y0
In particolare, l’ipotesi c) è senz’altro verificata se la funzione f è monotòna in senso stretto a sinistra e a destra di x0, ipotesi sempre verificata se f è elementare.
Tale teorema costituisce una generalizzazione dei precedenti.
Nelle ipotesi del teorema, dunque, l’operatore lim può entrare all’interno
delle funzioni composte, rendendone più agevole il calcolo del limite.
Indicate con f(x) e g(x) due funzioni che soddisfino le ipotesi del
teorema 8), vediamo i seguenti notevoli esempi:
Esempi
II)
III)
se a ≠ 1, lim loga f ( x ) = loga lim f ( x )
x →x 0
x →x 0
⎡
⎤
lim sen ⎡⎣f ( x ) ⎤⎦ = sen ⎢ lim f ( x ) ⎥
⎣ x →x 0
⎦
x →x 0
⎡ lim g ( x ) ⎤
⎦⎥
lim f ( x )g ( x ) = ⎡ lim f ( x ) ⎤ ⎣⎢x →x 0
⎣ x →x 0
⎦
x →x 0
se f(x) e g(x) convergono entrambe in x0, non sono ivi
entrambe infinitesime e lim f ( x ) > 0 .
x →x 0
I teoremi 1) e 2) si possono estendere, in generale, anche ai casi in cui
l1 e l2 non siano entrambi finiti; l’unica eccezione è costituita dal caso
in cui il limite risultante si presenti come differenza di due infiniti, cioè
nella forma ∞ – ∞, la quale può assumere qualsiasi valore (o, anche,
non tendere ad alcun valore) e che, per questo, possiamo definire
come prima forma indeterminata.
Allo stesso modo, il teorema 3) sul prodotto dei limiti è valido in generale anche nei casi in cui i due limiti l1 e l2 siano infiniti o nulli; l’unica
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2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
I)
2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale
eccezione è costituita dal caso in cui il limite risultante si presenti nella
forma 0 ⋅ ∞, sulla quale, come per la precedente, nulla si può dire;
definiamo tale espressione come seconda forma indeterminata.
Se dal teorema 5) si rimuovono le ipotesi di l1 e l2 finiti e l2 ≠ 0, la tesi,
con le ovvie estensioni, continua in generale a sussistere, fatta eccezio0
ne per il caso in cui il limite risultante si presenti nella forma , detta
0
∞
terza forma indeterminata, oppure
, detta quarta forma inde∞
terminata, sulle quali nulla si può dire.
Anche l’esempio III) si può generalizzare ai casi di limiti infiniti, fatta
eccezione per i casi in cui il limite risultante si presenti in una delle
seguenti forme, sulle quali nulla si può dire: 00 , detta quinta forma
indeterminata, ∞0, detta sesta forma indeterminata, 1∞ , detta settima forma indeterminata.
Anche se abbiamo individuato sette forme indeterminate, con opportune semplici manipolazioni algebriche, tali forme possono tutte ri0
∞
condursi alle due forme indeterminate fondamentali
e , utili per
0
∞
l’applicazione del teorema di L’Hospital, che verrà presentato nello
studio delle derivate nel capitolo terzo.
Ad esempio, se le funzioni f(x) e g(x) sono entrambe infinite in x0, si
effettua la trasformazione:
1
1
−
g (x ) f (x )
f (x ) − g (x ) =
1
f (x ) ⋅ g (x )
e, se f(x) è infinita e g(x) infinitesima:
f (x ) ⋅ g (x ) =
g (x )
1
f (x )
sicché anche la terza forma indeterminata si riconduce alla seconda.
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Estratto della pubblicazione