matematica su grandi numeri

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LE NOSTRE PREVISIONI
MATEMATICA SU GRANDI NUMERI
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some our previsions about great numbers, as 49° and other
Mersenne’s prime number, seventh Taxicab number.
In the last paragraph we focus attention on the how we can get the maximum
number.
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1.INTRODUZIONE...........................................................................................................3
2. IL NUMERO PIU’ GRANDE IN ASSOLUTO ......................................................... 24
3. RIFERIMENTI ........................................................................................................... 26
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1.INTRODUZIONE
In questo breve lavoro riportiamo le nostre previsioni matematiche sul alcuni grandi
numeri particolari che saranno scoperti in un futuro più o meno vicino, e basate sui
nostri precedenti lavori, indicati nei Riferimenti finali, per chi fosse eventualmente
interessato all’argomento.
I numeri che abbiamo stimato, con una certa approssimazione, riguardano:
a) Il prossimo numero di Mersenne, o meglio la probabile grandezza dell’esponente, di
tipo 2n e inoltre, il numero di Mersenne con 100 milioni di cifre, per il quale è previsto
un grosso premio (150 000 dollari) per chi lo scoprisse, e quello con un miliardo di
cifre (con premio di 200 000 dollari).
b) Il prossimo numero T(n) di nodi con 17 incroci, e quindi T(17), molto vicino ai due
miliardi di nodi (attualmente l’ultimo numero esattamente noto è T(16)),
c) Il prossimo settimo numero T’(7) Taxicab , che sia scrivibile come somma di 7 cubi
diversi (l’ultimo numero noto è T’(6). La nostra previsione dice che il prossimo numero
Taxicab abbia 27 o al massimo 28 cifre. L’ultimo numero noto, T’(6), è formato da 23
cifre. In alcuni casi ci è stata di aiuto la sezione aurea
d) Una previsione dei numeri di quadrati magici di ordine 6 e 7, ancora ignoti,
l’ultimo numero noto si riferisce all’ordine 5.
Preghiamo i matematici interessati a seguire le attuali e future ricerche in corso su
questi tipi di grandi numeri, ed eventualmente anche a parteciparvi direttamente,
sperando, in base alle nostre seguenti previsioni, nel caso ovviamente che fossero
ritenute attendibili.
°°°°°°°°°°°°
Cominciamo dal prossimo e 49° numero di Mersenne
a) Il più grande numero di Mersenne finora noto, il 48°, recentemente scoperto, è
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formato da circa 13 milioni di cifre: Da Wikipedia. Parzialmente :
Numero primo di Mersenne
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come:
con n intero positivo primo.
I numeri primi di Mersenne prendono il nome dal matematico francese Marin
Mersenne (1588-1648). Mersenne compilò una lista di numeri primi di questo tipo
considerando tutti i valori di n fino a n=257. Tale lista conteneva però alcuni
errori: includeva
e
(che non sono primi), mentre non comparivano
,
e
(che sono primi).
I primi dodici numeri primi di Mersenne sono:
Se
è primo, allora anche è primo. Invece primo non garantisce che
sia
primo.
Se
non è un numero primo, viene detto semplicemente numero di Mersenne. In
questo caso ogni suo fattore primo è del tipo 2*a*n+1 (dove a è intero).
I numeri primi di Mersenne sono collegati con i numeri perfetti. Nel IV secolo a.C.
Euclide
dimostrò
che
se
è
un
numero
primo,
allora
è un numero perfetto.
Nel XVIII secolo Eulero provò che tutti i numeri perfetti pari hanno questa forma.
Nessun numero perfetto dispari è conosciuto e si congettura che non ne esistano.
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I calcolatori hanno accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici
numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del
millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 48 e
i tredici più recenti sono stati scoperti nell'ambito della GIMPS, la Great Internet
Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di
computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il più grande numero primo
conosciuto (a febbraio 2013) è proprio un numero di Mersenne trovato nell'ambito
della GIMPS; scritto in base dieci è un numero di 17.425.170 cifre, precisamente:
Il test di primalità usato dal GIMPS è il test di Lucas - Lehmer. In un sistema
numerico binario, tutti i primi di Mersenne sono primi repunit, primi palindromi e
primi permutabili.
Lista numeri primi di Mersenne
# n Mn
Cifre in Mn Data scoperta Scopritore
12 3
1
Antichità
Ignoto
23 7
1
Antichità
Ignoto
3 5 31
2
Antichità
Ignoto
4 7 127
3
Antichità
Ignoto
5 13 8191 4
1456
Ignoto
6 17 131071 6
1588
Cataldi
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....
12 aprile GIMPS / Odd M.
2009
Strindmo
GIMPS / Edson Smith,
23 agosto
47 43.112.609 316470269…697152511 12.978.189
George Woltman, Scott
2008
Kurowski et al
GIMPS
/
Curtis
25
Cooper,
George
48 57.885.161 581887266…724285951 17.425.170 gennaio
Woltman,
Scott
2013
Kurowski et al
46 42.643.801 169873516…562314751 12.837.064
Non è noto se esistano altri numeri primi di Mersenne tra il 42° (M25964951) e il 48°
(M57885161) e la numerazione della tabella è pertanto provvisoria. I numeri primi
non sono sempre stati scoperti in ordine crescente. Ad esempio, il 29° primo di
Mersenne è stato scoperto dopo il 30° e il 31°. Allo stesso modo il 47° è stato seguito
da altri due numeri più piccoli, uno scoperto due settimane più tardi e l'altro 8
mesi dopo[1]. ....”
Nel nostro lavoro “Novità sui numeri primi di Mersenne (tra l’altro, stime sui
numeri di cifre dei prossimi numeri) - Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier
Francesco Roggero, ancora da pubblicare, prevediamo anche che è possibile l’esistenza
di altri numeri di Mersenne ancora non scoperti tra il 42° e il 48°. Ma qui ci interessa
soprattutto il 49°, ancora da scoprire, e che riguarda la nostra previsione. Riportiamo
parzialmente le pagine interessate alla nostra previsione:
“...Possibili stime o previsioni in base alla suddetta relazione e statistiche
in corso di perfezionamento.
Si potrebbe ora fare una previsione sul prossimo 49° numero di Mersenne,
successivo a quello (48°) ora scoperto, tramite i numeri di Fibonacci.
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Poiché il precedente numero di Mersenne ha circa 13 milioni di cifre (esattamente
12.978.189) e poiché 13 è numero di Fibonacci e 17 di 17 milioni (esattamente
17.425.170) è la media tra 13 e 21 numeri di Fibonacci, potrebbe darsi che il
prossimo numero di Mersenne possa avere circa 21 milioni di cifre, secondo
l’andamento evidenziato in TABELLA 2 ( numero di cifre come numero di
Fibonacci o loro media aritmetica approssimativa).
Vediamo invece con l’esponente n di Mn, visto che anche i numeri primi n ad
esponente di 2 costeggiano anch’essi la serie di Fibonacci: il numero n =
43.112.609 ed il numero n = 57.885.161 sono vicini a numeri di Fibonacci o loro
medie: Vediamo la serie finale di grandi numeri di Fibonacci (sequenza OEIS
A000045):
9227465, 14930352, 24157817, 39088169
Poiché il numero finale è minore di 43.112.609 e di 57.885.161, calcoliamo il
numero successivo:
24 157 817 + 39 088 169 = 63 245 986
57.885.161 potrebbe considerarsi in tal senso come media approssimativamente tra
39 088 169 + 63 245 986 , infatti:
(39 088 169 + 63 245 986)/2 = 51 167 077,5 ≈ 57.885.161,
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con una differenza 6718 ≈ 6718/ 578851= 0,011 % di 57.885.161, una percentuale
di differenza molto minima sul valore esatto.
Infine, la media tra 51 e 57 = 54 ≈ 55 numero di Fibonacci il prossimo numero n
primo come esponente di 2 per il prossimo numero di Mersenne potrebbe essere la
media tra 55 e 89 = 72 seguito da sei cifre , quindi dell’ordine di 72 milioni
e il prossimo Mn quindi sarebbe circa 2^72 000 000 circa 10 ^(72000 000/3,321)
=10^21 688 216 cioè un numero con circa 21 milioni di cifre, coerente con la
precedente previsione più empirica.
Ma altri calcoli più attendibili , preparati per GIMPS (allo scopo di ridurre i tempi
di calcolo per i prossimi numeri di Mersenne, vedi seconda parte di questo lavoro)
ci suggeriscono 61 937 122 come numero primo n minimo da cui iniziare i calcoli,
evitando i numeri primi tra 57.885.161, e 61 937 122 poichè tra questi sicuramente
non c’è il numero primo relativo al prossimo 49° numero di Mersenne; circa il suo
numero di cifre, dovrebbe quindi essere almeno 61 937 122/3,321 = 18 650 142
cifre (3,321 è il rapporto medio tra p e il numero di cifre del relativo numero di
Mersenne) , molto vicino alla stima precedente di circa 21 milioni: molto
probabilmente la cifra esatta sarà prossima alla media tra queste due stime, e cioè
(18 650 142 + 21 000 000)/2 = 19 825 071, con probabile differenza di qualche
centinaio di migliaia dal valore reale ancora ignoto .
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* Infatti 57.885.161 /17.425.170 = 3,3219280…., mentre il precedente rapporto,
relativo al 47° numero di Mersenne, è 3,3219279, con una differenza di solo un
milionesimo (sesta cifra decimale, in rosso)
Evidenziamo come 3,321 sia molto vicino al π = 3,14 che si ricava dall’identità
frattale di Ramanujan (Hardy 1927):
0,618033 = 1 / φ =
Infatti:
5 −1
= R(q) +
2
5
 1 q f 5 (−t ) dt 
3+ 5

1+
exp
1/ 5
4/5 
∫
2
 5 0 f ( −t ) t 




3
5
,
π = 2Φ −  R ( q ) +
5

20
 1 q f (−t ) dt  
3+ 5

1+
exp

1/ 5
4/5  
∫
2
 5 0 f (−t ) t  

Φ=
dove
,
(1)
(2)
5 +1
.
2
Inoltre, ricordiamo che π deriva anche dalle seguenti identità (Ramanujan’s
paper: “Modular equations and approximations to π” Quarterly Journal of
Mathematics, 45 (1914), 350-372.):
π=
(
)(
)
 2 + 5 3 + 13 
12
log 
 , (2a)
130
2


e
π=

24
log 
142


 10 + 11 2 

+


4


 10 + 7 2  

  . (2b)


4


Anche qui, quindi connessioni con π e Φ, quindi con i frattali e con le stringhe.
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Attendiamo quindi il prossimo numero di Mersenne per verificare la nostra
previsione sfruttando approssimativamente la connessione dei numeri di
Mersenne con la serie di Fibonacci e i calcoli sopraccennati per la seconda parte di
questo lavoro. Questi ci permetteranno inoltre di prevedere il numero di Mersenne
con più di 100 milioni di cifre (e relativo premio di 150 000 dollari), intorno al 65°
numero di Mersenne, e infine intorno all’84° numero quello con un almeno
miliardo di cifre, con l’ulteriore premio di 200 000 dollari.
Ecco perché GIMPS , conoscendo questi dati (per il momento approssimativi e in
via di perfezionamento), potrebbe puntare con precedenza assoluta a questi due
numeri per ottenere il premio, e poi riprendere i calcoli per trovare gli altri, dal 49°
in poi. Nel primo caso parteciperemo volentieri anche noi, ma con i nostri piccoli
PC ci sembra molto difficile; occorrerebbero computer più potenti, per esempio di
tipo Cray.
Tabella per i prossimi probabili numeri d’ordine di Mersenne da 100 milioni di
cifre e da un miliardo di cifre in base alla media dei rapporti successivi degli
esponenti, a partire da quello relativo al 47° e dal 48° numero, appena scoperto:
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TABELLA 3
Ultimi esponenti
Esponente*media
(1,257)
Osservazioni
47°
43.112.609
48°
57.885.161
…
65° =47° + 18
…
84°=47°+37
43112609*1,257=
54192549
57.885.161
43112609*1,257^4=
107.632.992
esponente minimo
per avere un
numero
di
Mersenne da 100
milioni di cifre
43112609*1,257^14=
1.059.981.274
esponente minimo
per avere un
numero
di
Mersenne da 1
miliardo di cifre
…
…
3 321 000 000
…
≈
Conclusioni
Possiamo concludere brevemente dicendo che i numeri primi di Mersenne ora
sono più ben definiti e conosciuti, oltre che più prevedibili, sia pure
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empiricamente, empiricamente, sfruttando la nostra connessione di n esponente di
2 e i numeri di Fibonacci, e quella simile con il numero di cifre dei numeri di
Mersenne. Poiché i numeri di Fibonacci sono alla base dei frattali, figure
geometriche che si ripetono a qualsiasi scala, anche il numero delle cifre si ripete
come possibile frattale a livello di milioni di cifre: 4 milioni di cifre, 13 milioni di
cifre, ora anche 17 milioni di cifre (con 17 media tra 13 e 21) , con 4, 13 e 17 ecc.
numeri di Fibonacci o loro media aritmetica.
Osserviamo che la media dei rapporti successivi degli esponenti n, valutata
empiricamente con [(ln ln ln (n)] ^2 = 1,1212 ≈ 1,257 da tabella statistica, è molto
vicina alla radice di 1,618033 numero aureo, e cioè√1,618033 = 1,2720…, le cui
potenze successive sono vicine a numeri di Fibonacci, e questo potrebbe essere alla
base delle nostre stime iniziali, basate appunto sui numeri di Fibonacci, e lo stesso,
seppure in modo meno preciso, succede con la media 1,257
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TABELLA 4
delle potenze n-esime di entrambi i numeri:
≈ Numeri di 1,272
Fibonacci
1
1,272
1
1,61
2
2,05
2,61
3
3,32
4,23
5
5,38
6,85
8
8,71
11,08
13
14,10
17,94
n
1,257
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,257
1,58
1,98
2,49
3,13
3,94
4,95
6,23
7,83
9,84
12,37
15,56
13
14
15
16
19,55
24,58
30,90
38,84
21
…
…
…
34
22,82
29,02
36,92
46.96
…
≈ Numeri di
Fibonacci
1
1
2
3
5
8
13
17 media tra
13 e 21
21
34
44.5 media tra
34 e 55
…
Ovviamente, le potenze di 1,272 sono più precise nella vicinanza a numeri di
Fibonacci (in verde), ma l’andamento è simile in entrambe le colonne, il che
spiegherebbe le nostre stime iniziali. Quindi la media 1,257 dei rapporti successivi
tra esponenti molto vicina alla radice quadrata di 1,618033 è più giustificata della
stima in base al [(ln ln ln (n)]^2, più difficile da dimostrare, e quindi la
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trascureremo in futuro, in eventuali ritorni sull’argomento.
Infine, possibili applicazioni crittografiche dei numeri primi di Mersenne, ma
sconsigliabili per i motivi accennati nella nota crittografica finale.
b) Previsione per il numero T(17) di nodi con 17, incroci
Dal lavoro sulla teoria dei nodi già pubblicato , sia in italiano che in inglese (Rif. 3 e
Rif. 4) riportiamo, dalla versione italiana, la parte finale con la previsione dei numeri da
T(17 a T(20) , con particolare attenzione a T(17) il primo che non si conosce ancora,
dopo T(16) già noto (1 388 705).
La nostra previsione per T(17) è di circa 8 332 230, o almeno compreso tra 7 610 103 e
8 332 230, e possibilmente più vicino alla loro media aritmetica
(8 332 230 + 7 610 103)/2 = 15 942.333/2 = 7 971 166
insomma vicino a 8 000 000.
Evidenziamo che 8 000 000 è un multiplo di 8, precisamente 8 x 1 000 000, che è un
numero di Fibonacci ed è connesso con i “modi” che corrispondono alle vibrazioni
fisiche di una superstringa attraverso la seguente funzione di Ramanujan:
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∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

e 4 φw' (itw') 
1 
8=
.
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




“Ma riprendiamo la precedente tabella di pag. 16 e completiamola ora con i
numeri N(n) esatti, dall’11° al 16°
N(n) Valori reali Valori N(n-1)
stimati (in rosso)
1
2
3
7
21
49
165 (10° numero)
552
2176
9 988
46 972
253 293
1 388 705
1 388 705*6= 8 332 230
8332230*6,5=54 159 495
54159495*7=379 116 465
379 116 465*7,5 =
2 843 373 487 intero
…
1
1
2
3
7
21
49
165
552
2 176
9 988
46 972
253 293
1 388 705
8 332 230
54 159 495
379 116 465
r =N(n) / N(n-1) da 1 in
poi .Valori reali
Valori stimati(in rosso)
1
2
1,5
2,33
3
2,33
3,36
3,34
3,94
4,59
4,70
5,39
5,48
≈ 6?
≈ 6,5 ?
≈7?
≈ 7,5?
…
…
In tal modo possiamo stimare con buona approssimazione i valori del 17°, 18°, 19° e
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20° numero di nodi , e cioè N(17), N(18), N(19) ed N (20), stimando i rapporti tra uno
di essi e il precedente, leggermente crescenti (mediamente di circa 0,5 ad ogni nuova
stima). Ulteriori calcoli per i valori reali confermeranno o meno queste nostre attuali
stime provvisorie, il 20° numero, per esempio, non dovrebbe essere molto lontano dai
tre miliardi di nodi con 20 incroci.
Una stima per difetto potrebbe essere il prodotto tra un valore reale e l’ultimo rapporto
noto, per esempio 1388 705*5,48 = 7 610 103 intero, circa 8 332 230 del valore stimato
con il più attendibile rapporto (ora anch’esso stimato), e cioè 6, possibilmente più vicino
al valore reale.
c) Il settimo numero di Taxicab
Dal recente lavoro sui numeri Taxicab “PREVISIONI SULLA PROBABILE
GRANDEZZA DEL NUMERO TAXICAB T(7)” , (Rif.5) di prossima
pubblicazione , riportiamo la nostra previsione:
“Osserviamo brevemente , con una tabella, il numero di cifre dei T(n) successive, e i
relativi rapporti successivi, per vedere sommariamente il ritmo di crescita:.
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TABELLA 1
T(n)
con
=1,2,3,4,5 e 6
2
1729
87 539 319
6963472309248
T(5)
T(6)
T(7)
n Numero di cifre
Rapporti successivi
(interi) T(n)/T(n-1)
1
4
864
8
50630
13
79546
17
7035
23
493039
intero
esatto
(media
aumento Media
rapporti
consecutivi)
cifre
= 631 314/5=
3+4+5+4+6=22
22/6= 3,66 ≈ 4
126222
23+4= 27
27 (stima)
Stima
T(7)
≈
Circa 28 cifre di T(6)*126222=
T(7)stimato
2 961 728 353 692
566 254 076 611
968
Otteniamo quindi una stima di T(7) reale (prossima a T(7) reale) di T(7) ≈ 2 961 728
353 692 566 254 076 611 968, con 28 cifre, mentre il numero di cifre stimato è di 27
cifre.
Una interessante osservazione è che i numeri di cifre dei successivi T(n) costeggia la
successione di Fibonacci:
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Numero di cifre c
1
4
8
13
17
23
27 stimato
Num. di Fibonacci f
1
3 oppure 5
8
13
17 media tra 13 e 21
21
27,5 media tra 21 e 34
Differenze c - f
0
+1 e -1
0
0
0
2
0,5
Osserviamo che manca solo il 2
Tabella predittiva per i prossimi numeri di TAXICAB, basata sui quattro ordini di
grandezza in più per ogni T(n) successivo
T(n)
Numero di cifre
T(1) 2
T(2) 1729
T(3) 87 539 319
T(4) 6963472309248
T(5)...
1
4
8
13
17
T(6)...
T(7)...
T(8)
T(9)
T(10)
...
T(20)
Mediamente un nuovo
T(n) ogni quattro cifre in
pù rispetto al precedente
4=1*4
4+4 = 2*4
4+4+5= 3*4 +1=4*4 -3
4+4+4+5= 4*4 +1 =5*43
4+4+4+5+6=
23
5*4 +3= 6*4=24-1
4+4+4+5+6+4=
27?
6*4+3= 7*4 -1
8*4 -1
31?
35?
9*4 -1
39?
10*4 -1
...
...
80?
per
≈10^80= 20*4
particelle dell’Universo
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...
T(n)
...
...
Per n di cifre = 4*n
n*4
Per
≈ 10^4n valore
approssimativo di T(n)
Un T(n) qualsiasi, quindi, ha un ordine di grandezza di circa 10^4n, a partire da T(4),
prima vale n-1, per es. per T(3) il numero di cifre è 8 = 4(3-1)= 4*2 = 8
In rosso i valori di n per i quali vale 10^4n, per esempio T(4)= 6963 472 309 248 ≈
10^13 = 10 ^(4*4 -3) =e compreso tra 10^12= 1 000 000 000 000 e 10^13= 10 000 000
000 000 cioè tra 1 000 miliardi e 10 000 miliardi, infatti è di circa 6 963 miliardi,
valore compreso tra 1000 miliardi e 10000 miliardi . L’esponente 4n di 10^4n è quindi
quello superiore a T(n)
Conclusioni
Possiamo concludere brevemente dicendo di aver ottenuto una stima attendibile (si
vedrà quando sarà calcolato il numero esatto di T(7), sia del probabile numero di cifre
di tale numero, somma di sette diversi cubi.
Infine, una Tavola di addizione di due cubi per comprendere meglio il meccanismo dei
numeri Taxicab ( in rosso), all’incrocio tra la riga del primo cubo e la colonna del
secondo:
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cubi
1
8
27
64
125
1
2
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
8
9
16
27
28
35
54
64
65
72
91
128
125
126
133
152
189
250
216
217
224
243
680
341
343
344
351
370
407
468
432 558
686
512
513
520
539
576
637
729
730
738
756
793
854
728 945
855 1072
1024 1241
1458
1000
1001
1008
1027
1064
1125
1331
1332
1339
1358
1395
1456
1728
1729
1736
1755
1792
1853
2197
2198
2205
2224
2261
2322
1216
1343
1512
1729
2000
1547
1674
1843
2060
2331
2662
1944
2071
2240
2457
2729
3059
3456
2413
2540
2709
2926
3197
3528
3925
4394
Con questa Tabella, limitata ai primi soli 13 cubi fino 2197, troviamo solo i primi due
Taxicab T(1) 2 = 1+1 una sola volta, e T(2) = 1729 = 1 + 1728 e 729 + 1000 , quindi
due volte
Nota 1.
Un’altra nostra previsione è il numero di nodi con 20 incroci, pari a circa 2 miliardi .
(Rif. 2)
Nota 2
Un fenomeno simile (relazione iniziale tra numero di cifre e numerosi Fibonacci)
l’abbiamo notata anche nei numeri perfetti e nei numeri di Fermat (Rif. 3)
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d) Previsione sui numeri di quadrati magici di un dato ordine, a partire dal numero
relativo all’ordine 6, ancora ignoto
“...2. REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI QUADRATI MAGICI DI
UN DATO ORDINE
Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di determinare il
numero di quadrati magici di un dato ordine, rimane da risolvere.
Questo numero non deve considerare i quadrati ottenuti con rotazioni e simmetrie.
Dalla Tab. 3 vediamo che finora è stato calcolato con l’avvento del computer il
numero di quadrati magici di ordine 5 che sono 275.305.224.
Il numero preciso dei quadrati magici di ordine ≥ 6 invece non è stato ancora
calcolato con precisione, ma si ha una stima di circa 1.7754 × 10^19 per quelli di
ordine 6.
...
2.2 FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL NUMERO DEI
QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE O ≥ 5
Non è possibile calcolare con una formula il numero esatto di combinazioni che
danno luogo a 880 quadrati magici perfetti, però possiamo trovare un valore limite
inferiore approssimativo per i quadrati magici di ordine superiore al 4:
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TAB. 5
Ordine del quadrato magico O
3
4
5
6
7
Numero di quadrati magici N
1
880
5^12 = 244.140.625
6^24 = 4.738.381.338.321.616.896
7^36= 2.651.730.845.859.653.471.779.023.381.601
La formula approssimata per O ≥ 5 è la seguente N = O^12(O-4).
Osserviamo che 12 = 24/2, dove 24 è connesso ai “modi” che corrispondono alle
vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso la seguente funzione di
Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
e
dx 
∫

142
0 cosh πx
4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'

 t w'
4
(
)
'
e
φ
itw
w
'

24 = 
.
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




La formula N=O^12(O-4) deriva dalle seguenti considerazioni:
L’esponente 12*(O-4) dà il numero medio di spostamenti all’interno di un
quadrato magico di ordine O, mentre la base coincidente con l’ordine O è il
numero medio di cambiamenti all’interno di una singola casella.
Ad esempio per i quadrati magici perfetti di ordine 5 possiamo avere 12
spostamenti medi all’interno delle 25 caselle con 5 cambiamenti all’interno di una
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singola casella (se la casella contiene il numero 8, ad esempio, può cambiare il suo
valore in media 5 volte). ... “
Qui l’evidenza in rosso è nostra per evidenziare le nostre stime per i quadrati di
ordine 6 e ordine 7
Conclusioni
Se l’approssimazione tra valore reale e valore da noi stimato fosse del 10% del
valore reale del numero considerato o del numero di cifre, in tutti e quattro i casi,
già ci potremmo considerare soddisfatti delle nostre stime...
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2. IL NUMERO PIU’ GRANDE IN ASSOLUTO
Il googol è il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100 zeri, cioè pari a 10100.
Il googol in cifre è il seguente:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Il termine è stato ideato e divulgato per illustrare la differenza tra un numero enorme e
l'infinito.
Un googol è circa pari al fattoriale di 70 (per la precisione, 70! è circa 1,198 googol); i
suoi unici fattori primi sono 2 e 5, ciascuno presente 100 volte. Scritto in notazione
binaria, occupa 333 bit.
In matematica, il googol non ha un significato particolare, se non quello di essere utile
per un confronto con altri numeri incredibilmente grandi, come quello di atomi
nell'universo visibile (stimato tra 1072 e 1087) o quello delle possibili partite a scacchi
(circa 10120).
Un tale numero è decisamente inutile per misurare una qualunque grandezza nella realtà
ma, nonostante questo, sono stati dati dei nomi anche a numeri più grandi, come il
megistone o il numero di Graham. Persino contando tutte le particelle esistenti
nell'universo conosciuto non si raggiungerebbe che un miliardesimo di miliardesimo di
un googol.
Il termine è all'origine del nome Google, adottato da Larry Page e Sergey Brin,
fondatori di Google Inc., azienda che gestisce l'omonimo motore di ricerca.
L'alterazione nello spelling fu dovuta a un errore compiuto nella scrittura del termine
googol ai tempi della prima registrazione del dominio, come descritto nel libro The
Google Story di David A. Vise
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Il googol è infatti una potenza che è un'operazione che associa ad una coppia di numeri
e - detti rispettivamente base a ed esponente n - il numero dato dal prodotto di
fattori uguali ad :
Prendendo per semplicità valori interi per la base e l’esponente se aumentiamo entrambi
abbiamo una crescita enorme.
an
Potremmo anche scrivere per aumentare il numero:
(an)k
Ma questa è comunque una variazione della potenza an, dove si ottengono gli stessi
risultati aumentando la base, l’esponente o entrambi.
Quindi la potenza an è il numero più grande in assoluto.
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3. RIFERIMENTI
1)” Notizia importante in Teoria dei Numeri: trovato il più grande numero primo”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “Novità sui numeri primi di Mersenne
(tra l’altro, stime sui numeri di cifre dei prossimi numeri)”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
di futura pubblicazione sul nostro sito
3) “Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa (connessioni
con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri di partizione)”
Parte Prima
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Gruppo “B. Riemann”
4) “Mathematical theory of knots, quantum physics, string theory (connections
with the Fibonacci’s numbers, Lie’s numbers and partition numbers)
Michele Nardelli, Francesco Di Noto,
Pier Francesco Roggero
5) “PREVISIONI SULLLA PROBABILE
GRANDEZZA DEL NUMERO TAXICAB T(7)”
Francesco Di Noto, Eugenio Amitrano
Sarà pubblicato sul sito www.divinesection.net
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6) “I QUADRATI MAGICI”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero