Liceo Scientifico “F. Lussana”
Programma svolto per la classe 4a G
disciplina: matematica / docente: prof. Mora Paolo
Unità 1. Iperboli
a s 2013 – 2014
(recupero argomento della classe terza) / settembre 2013 / (vol 3)
1.1.
Iperbole come luogo geometrico; equazione canonica dell’iperbole; proprietà ottiche
dell’iperbole
1.2.
Iperbole equilatera riferita agli assi e riferita agli asintoti
1.3.
Posizione di un punto rispetto ad un’iperbole; posizione di una retta rispetto ad
un’iperbole; rette tangenti e polari (recupero degli analoghi discorsi già fatti per
circonferenze, parabole ed ellissi)
1.4.
Iperboli con assi paralleli agli assi cartesiani
1.5.
Iperboli riferite ai propri asintoti e funzione omografica
1.6.
Curve e funzioni deducibili dalle ellissi e dalle iperboli; risoluzione grafica di
disequazioni irrazionali (mediante la rappresentazione grafica di archi di ellissi /
iperboli)
1.7.
Discussione di problemi algebrici e geometrici con presenza di parametri (con utilizzo
di parabole, circonferenze, ellissi e iperboli, fasci di rette)
Unità 2. Funzioni esponenziali e logaritmiche
/ ottobre / (vol. 3)
2.1.
Richiami sulle proprietà delle potenze; estensione della definizione di potenza al caso
di esponente irrazionale; descrizione del numero di Nepero ( e )
2.2.
Grafici delle funzioni esponenziali (riduzione della funzione f x a x alla forma
g x e kx ;
modelli
esponenziali
capitalizzazione composta)
di
crescita/decrescita:
decadimento;
2.3.
Definizione di logaritmo come funzione inversa delle funzioni esponenziali; proprietà
dei logaritmi; grafici delle funzioni logaritmiche
2.4.
Metodi di risoluzione di equazioni e disequazioni in cui compaiono funzioni
esponenziali e logaritmiche
2.5.
Grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche ottenute per traslazioni e dilatazioni
2.6.
Risoluzione di equazioni esponenziali e logaritmiche per via grafica
Unità 3. Funzioni e relazioni goniometriche
/ ottobre – novembre / (vol. 4 – F1 e F2)
3.1.
Introduzione agli elementi fondamentali della goniometria: circonferenza
goniometrica: seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo; relazione
fondamentale della goniometria; grafici delle funzioni goniometriche principali;
funzioni inverse di seno, coseno e tangente (con relativi grafici); archi associati;
riduzione del calcolo delle funzioni goniometriche al I ottante
3.2.
Formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione; formule parametriche;
formule di prostaferesi e Werner
3.3.
Funzioni armoniche (o lineari in seno e coseno): proprietà e rappresentazione grafica;
sovrapposizione di armoniche e funzioni periodiche
__________________________________________________________________________________
Programma svolto / matematica / classe 4 G / a.s. 2013 – 2014 / pag. 1 di 3
3.4.
Funzioni omogenee di II grado in seno e coseno (e loro riduzione a funzioni
armoniche)
Unità 4. Equazioni e disequazioni goniometriche
/ novembre – dicembre / (vol. 4 – G3
e G4)
4.1.
Equazioni elementari, equazioni riconducibili ad elementari, equazioni lineari (3
metodi di soluzione), equazioni omogenee, equazioni simmetriche
4.2.
Disequazioni elementari, disequazioni riconducibili ad elementari, disequazioni lineari
(3 metodi di soluzione), disequazioni omogenee, disequazioni simmetriche
Unità 5. Trigonometria / gennaio 2014 – febbraio / (vol. 4 – G5)
5.1.
Triangoli rettangoli; area di un triangolo; teorema della corda (Carnot); teorema dei
seni (Eulero); teorema del coseno; risoluzione di triangoli generici
5.2.
Formule di Briggs; raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte ad un triangolo in
funzione dei lati; mediane e bisettrici di un triangolo in funzione dei lati
5.3.
Teorema di Erone; teorema di Tolomeo
5.4.
Applicazioni della trigonometria per la soluzione di problemi geometrici (problemi
diretti senza incognite; problemi con una incognita, senza discussioni)
Unità 6. I numeri complessi
/ marzo / (vol. 4 – H7)
6.1.
Costruzione del campo complesso : operazioni elementari tra numeri complessi
(rotazioni e numeri complessi); interpretazione di come sottocampo ordinato di
6.2.
coordinate polari nel piano; forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi;
relazione di coniugio tra numeri complessi
6.3.
potenze e radici in (distinzione tra radici aritmetiche e radici algebriche); equazioni
di I e II grado in
6.4.
Una costruzione geometrica notevole per determinare le radici quadrate di un numero
complesso
6.5.
Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato) e relative conseguenze per le
equazioni polinomiali in
6.6.
equazioni non polinomiali in (casi semplici); equazioni e disequazioni in risolte
per via grafica (luoghi geometrici del piano espressi come relazioni in )
Unità 7. Calcolo combinatorio e probabilità
/ aprile – maggio / (vol. 4 – L11)
7.1.
Coefficienti binomiali, permutazioni, disposizioni, combinazioni (con e senza
ripetizioni); insieme delle parti di un insieme
7.2.
Esempi significativi di applicazione del calcolo combinatorio
7.3.
Definizione di evento e probabilità (spazio di probabilità); definizioni classica e
assiomatica di probabilità; definizione soggettivistica di probabilità
7.4.
Probabilità condizionata; probabilità delle cause (utilizzo del grafo ad albero); teorema
di Bayes
7.5.
Schema di Bernoulli (prove ripetute in uguali condizioni probabilistiche)
__________________________________________________________________________________
Programma svolto / matematica / classe 4 G / a.s. 2013 – 2014 / pag. 2 di 3
7.6.
Giochi equi e non: analisi probabilistica di alcune giocate del lotto
Il testo in adozione è:
Anno
Adoz.
Cod. ISBN
9788849417050
2012
Bergamo, il 05/06/2014
Autore
Titolo
NUOVA
MATEMATICA A
SASSO L.
COLORI
EDIZIONE BLU per la
riforma
Vol.
Prezzo
Editore
Anno
ediz.
4
28,9 €
PETRINI
2012
I rappresentanti degli studenti
__________________________
__________________________
Il docente __________________________
(prof. Mora Paolo)
__________________________________________________________________________________
Programma svolto / matematica / classe 4 G / a.s. 2013 – 2014 / pag. 3 di 3
LICEO SCIENTIFICO STATALE “F. LUSSANA” – BERGAMO
LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA / Classe 4G / A.S. 2013 – 2014
Esercizio 1. (*) E’ assegnata la seguente equazione in : z
2
iz 1 (1).
1.1. Dimostra che se z è soluzione allora z iy , con y
1.2. Utilizzando il risultato precedente risolvi la (1).
Esercizio 2. (*) Determina le radici di indice 6 di w 64i ; esprimile in forma algebrica
e rappresentale sul piano di Argand - Gauss. Calcola quindi il prodotto delle 6 radici
trovate.
Esercizio 3. Risolvi l’equazione di II grado: 2z 2 11 5i z 13 13i 0 , esprimendo
le soluzioni in forma algebrica.
Esercizio 4. (*) Calcola in quanti modi si possono alloggiare 7 oggetti distinti in 5
scatole distinte (numerate da 1 a 5), nelle seguenti differenti situazioni:
4.1. senza altre condizioni aggiuntive ;
4.2. in modo che le scatole 3 e 4 rimangano vuote ;
4.3. in modo che la scatola 1 non rimanga vuota ;
4.4. (**) in modo che nessuna scatola rimanga vuota
Esercizio 5. (*) Si risolva in
la seguente disequazione contenente coefficienti
binomiali:
n n 1
3 n 1 14
Esercizio 6. (*) Nel gioco del lotto, che usa i numeri da 1 a 90, conta il numero di terni
che contengono esattamente due numeri pari.
Esercizio 7. (*) In una partita di scopone scientifico ogni giocatore riceve inizialmente 10
carte (si gioca in quattro, a coppie, utilizzando un mazzo di 40 carte). Il primo
giocatore di mano, cioè colui che gioca la prima carta, avendo esattamente due 7 (il 7
di picche e il 7 di fiori), decide di giocare uno dei due 7.
7.1. Qual è la probabilità che il giocatore alla sua destra faccia scopa ?
7.2. Qual è la probabilità che il giocatore alla sua destra faccia scopa utilizzando
il 7 di quadri (il “settebello”) ?
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 1 di 10
Esercizio 8. (*) Su una ruota del gioco del lotto si giocano cinque numeri, combinati
come ambi. Indicata con N la variabile aleatoria che conta il numero di ambi
vincenti:
8.1. determina i possibili valori di N ;
8.2. calcola le probabilità di ciascuno dei valori di N (esprimi i valori utilizzando
coefficienti binomiali della forma C n,k , senza eseguire esplicitamente i
calcoli)
Esercizio 9. (*) Considera il seguente “gioco del due”: un giocatore punta 1 € contro il
banco e lancia per tre volte un dado a sei facce, non truccato. La regola per
determinare la vincita è: il giocatore vince comunque k €, con k ; ogni volta che
esce il numero 2 la vincita si raddoppia [in termini espliciti: se non esce mai il numero
2 vince k €, se esce una volta il numero 2 vince 2k €, se esce due volte il numero 2
vince 4k €, se esce tre volte il numero 2 vince 8k €]. Calcola il valore di k affinché il
gioco sia equo.
Esercizio 10. Traccia il grafico della curva di equazione x 1
4
3
y 2 4 y 5 ; scrivi le
equazioni degli asintoti e dell’asse di simmetria della curva.
Esercizio 11. (*) Assegnata l’equazione x
2y 1
, mediante opportuni calcoli riscrivila
y 2
nella forma x x 0 y y 0 k . Tracciane poi il grafico individuandone il centro,
gli asintoti, i fuochi e i vertici.
Esercizio 12. Considera il fascio di funzioni omografiche di equazione:
y
ax 3 a 1
con a
1 a x 8
12.1. Studia il fascio (determina per quali valori di a non si ottengono delle
funzioni omografiche, in corrispondenza di tali valori specifica l’equazione
che si ottiene e il suo significato geometrico);
12.2. determina i punti base del fascio;
12.3. determina (in forma sia cartesiana che parametrica) il luogo geometrico
dei centri di simmetria delle iperboli;
12.4. rappresenta, in uno stesso grafico cartesiano, i tre elementi del fascio che
non sono iperboli e i punti base del fascio stesso (cosa si può notare ?).
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 2 di 10
Esercizio 13. Discuti il seguente sistema ( h parametro):
x 2 4x y 1
x 4 y 4 5 h 0
Esercizio 14. Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai propri assi di simmetria (i.e.
x2 y2
x2 y2
1
1 ), passante per P 1, 1 e ivi tangente
oppure
a2 b2
a2 b2
alla retta t di equazione 2 x y 1 0 .
della forma
Esercizio 15. E’ assegnata l’iperbole
di equazione
x2
24
y2
18
1 e la retta r
di
equazione 3 x 2 y 1 0 .
15.1. Prova che r e non si intersecano;
15.2. determina le rette parallele a r e tangenti a ;
15.3. (utilizzando il risultato del punto precedente) determina le coordinate del
punto P
avente minima distanza da r . [E’ richiesta un’accurata
rappresentazione grafica]. Può essere utile ricordare che la distanza tra due
rette
c d
parallele
di
equazioni
ax by c 0 ,
ax by d 0 ,
vale
a 2 b 2 .
Esercizio 16. Determina l’area del triangolo equilatero ABC , con un vertice A
coincidente con un vertice dell’iperbole x 2 y 2 a 2 e gli altri due, B
e C ,
appartenenti al ramo dell’iperbole che non contiene A .
Esercizio 17. Riduci a funzioni goniometriche applicate ad angoli appartenenti al primo
608
777
3267
quadrante il calcolo di: sin
; tan
; cos
; [non è richiesto il
7
8
5
calcolo dei valori; ad esempio: sin 10 9 sin 9 ].
Esercizio 18. Utilizzando le relazioni degli angoli associati riduci la seguente espressione
in funzione di sin :
3
3
3
sin cos tan sin
2
2
2
2
cos
2
3
3
cos sin
sin cos
2
2
2
Esercizio 19. (*)
Rappresenta
il
grafico
della
funzione
lineare
y 2 sin x 2 3 cos x 1 . Spiega in dettaglio i passaggi che ti conducono dalla
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 3 di 10
funzione y sin x alla funzione data [utilizza le seguenti scale: sull’asse delle x : 6
quadretti 2 ; sull’asse delle y: 4 quadretti 1 ].
Esercizio 20. Calcola il valore (esatto !) di tan , sapendo che arcsin 5 13 e
che arccos 3 5 ; deduci quindi in quale quadrante è situato l’angolo
(giustificando in modo rigoroso la tua risposta).
Esercizio 21. Nell’ipotesi in cui tutti gli argomenti dei logaritmi con cui operi siano
positivi, sviluppa le seguenti espressioni applicando le proprietà dei logaritmi:
3 6 a
100a 3b
3
;
2. log10
ab
1. log5
c2
27 b
Esercizio 22. Dopo
aver
disegnato
il
grafico
della
funzione
y log1 2 x
(1),
determinandone almeno 6 punti:
22.1. scrivi
la
sequenza
delle
trasformazioni
che
portano
(1)
in
y log1 2 2x 1 ;
22.2. rappresenta il grafico di y log1 2 2x 1 .
Esercizio 23. Risolvi le seguenti disequazioni (esplicita per ciascuna le condizioni di
esistenza):
23.1.
4x 1 27 21x
x 2 8x 16
0 ;
23.2. log2 x 2 2x 8 2 2 log 4 x 2
23.3. 5 31x 21x 4 31x 3 21x .
Esercizio 24. Calcola
(in
modo
esatto)
il
valore
dell’espressione
sin arctan 2 .
[suggerimento: posto arctan 2 si ha che tan 2 e quindi…].
Esercizio 25. Calcola i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dei seguenti angoli:
4815 0 ;
997
1325
9997
;
;
3
6
2
Esercizio 26. (*) Verifica le seguenti identità, dopo aver posto le condizioni di esistenza:
26.1. sin6 cos6 1 3 cos2 sin2
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 4 di 10
26.2. cos2 sin2
1 tan2
1 tan2
Esercizio 27. Rappresenta il grafico della funzione y tan 2 x , nell’intervallo
3
11 11
, , evidenziando la sequenza (geometrica e grafica) delle trasformazioni
12 12
utilizzate per passare dal grafico di y tan x a quello della funzione assegnata
[utilizza le seguenti scale: unità asse y 4 quadretti; 12 quadretti sull’asse x
corrispondono a ]. Scrivi le equazioni degli asintoti verticali della funzione e
rappresentali.
Esercizio 28. Sapendo che sin cos
5
e che , , calcola sin 2 , cos 2 e
4
4 2
tan 2 . [suggerimento: eleva al quadrato la relazione fornita e osserva che…]
Esercizio 29. Verifica la seguente identità (non sono richieste le condizioni di esistenza):
loga x
logb x
1 loga b
1 logb a
Esercizio 30. Risolvi le seguenti disequazioni (esplicita per ciascuna le condizioni di
esistenza):
30.1. log7 2 log 49 x log 1
3 ;
7
2
30.2. log2
x 4
x2 1
;
log4
x 4
x2 1
30.3. log2 log 1 x 2 3x 2 1 ;
2
Esercizio 31. (*) Data la funzione omogenea di II grado: y 2 3 sin x cos x 2 sin2 x ,
con opportuni passaggi riducila alla forma: y A sin x b ; rappresentala poi
in un intervallo di ampiezza pari ad un periodo.
Esercizio 32. Risolvi l’equazione:
2 log0,25 4 x
1
1
log6 3 x
log2 3 x
Esercizio 33. Determina l’equazione della retta tangente alla curva y 16 x 2 nel
punto
in
cui
essa
interseca
la
retta
x y 2
[è
richiesta
un’accurata
rappresentazione grafica].
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 5 di 10
Esercizio 34. Considera il fascio di funzioni omografiche di equazione:
y
2x k 2
con k
x 4 k 1
1. Studia il fascio (determina per quali valori di k non si ottengono delle funzioni
omografiche; in corrispondenza di tali valori specifica l’equazione che si ottiene e il
suo significato geometrico);
2. determina i punti base del fascio;
3. determina (in forma sia cartesiana che parametrica) il luogo geometrico dei centri di
simmetria delle iperboli.
Esercizio 35. Discuti il seguente sistema ( k parametro):
x
y
x 2
x y k
x 1
Esercizio 36. Risolvi le seguenti equazioni/disequazioni (esplicita per ciascuna le
condizioni di esistenza):
1. log 9 2 x 2 x 1 log 3 x 2 1 ;
2. log 4 2 x 3 log 2 x 3 4
3. ln ln x 1 ;
5
;
2
4. log 2 log 1 2 x 1
Esercizio 37. (*) Risolvi per via grafica la seguente equazione, approssimando le
soluzioni alla seconda cifra decimale:
4 x
2
2
3
x 1
.
Esercizio 38. Rappresenta, in uno stesso sistema di riferimento, i grafici delle funzioni
f x 3 log2 2 x 1 e g x 3 log2 2x 1 , evidenziando per ciascuna le
eventuali simmetrie.
Esercizio 39. Questioni varie sui logaritmi:
1. determina il segno del numero log log
32
1
;
2
2. sapendo che a log 30 3 e che b log 30 5 , verifica che log 30 8 3 1 a b ;
Esercizio 40. Risolvi le due disequazioni esponenziali:
1. 4 x 6 10 x 9 25 x 0
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 6 di 10
2. 4 x 1 2 2 x 3 3 x 1
Esercizio 41. Sopra l’arco AB, sesta parte di una circonferenza di centro O e raggio R, è
ˆ , sia D la proiezione ortogonale di
variabile un punto P. Indicato con x l’angolo AOP
P sul raggio OA ed E l’intersezione del raggio OB con la parallela condotta da P ad
OA.
41.1. Scrivi le limitazioni a cui è soggetta la variabile
f x 1
x
e ricava
3 3 PD PE ;
41.2. calcola i valori di x (compatibili con le limitazioni) in corrispondenza dei
quali f x assume il valore massimo e il valore minimo.
Esercizio 42. (*) Data una circonferenza di raggio R, si indichi con AB una sua corda di
lunghezza R 3 . Sia C un punto appartenente al maggiore dei due archi AB. Posto
ˆ : I) studia le limitazioni di x ; II) esprimi in funzione di x l’espressione
x BAC
2
2
f x AC BC ; III) dopo aver verificato che f x 2R2 3 sin 2x 3 ,
rappresenta la funzione f sull’intervallo determinato al
punto I.
Esercizio 43. (*) Dall’estremità A del diametro AB di una
semicirconferenza di raggio R si tracci una semiretta s,
formante con AB un angolo di 30 gradi e in modo che s
intersechi la semicirconferenza solo in A [vedi figura]. Da
un punto C di AB si conduca la perpendicolare al
diametro e si indichino con E ed F, rispettivamente, i
punti di intersezione di questa perpendicolare con la
ˆ , determina
semiretta s e con la semicirconferenza. Assunta come incognita x CAF
le due posizioni di C in modo che valga la relazione: CE CF
3 3
R.
3
Esercizio 44. E’ data una semicirconferenza di diametro AB 2R ed un punto C sul
prolungamento di BA in modo che risulti AC R . Determinare sulla circonferenza
2
ˆ , studiare le
un punto M tale che: 3 MC 7 3 MA MB [porre x BAM
limitazioni su x].
Esercizio 45. (*) Ricordando che in un triangolo isoscele con angoli alla base di 72 gradi,
la base è la sezione aurea dell’ipotenusa, calcola in termini esatti il coseno di 72 gradi.
Esercizio 46. Risolvi per via grafica la seguente disequazione irrazionale:
7 x 2 6x 4x 8 0
___________________________________________________________________________________________________________________
Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 7 di 10
[la soluzione deve riportare valori esatti].
Esercizio 47. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali/logaritmiche:
47.1. 12 2x 3 22x 0
47.2. log2 x log0,5 x
Esercizio 48. Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:
[sugg.: riduci l’equazione alla forma cos cos ]
48.1. cos x 3 sin x 2 cos 2x
48.2. 2 sin x 3 cos x 3
Esercizio 49. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:
2 x 1 x 3
Esercizio 50. Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:
50.1.
cos x
2 cos x 1
1
2
50.2. 2 sin x 3 cos x 3
50.3.
sin x cos x
0
tan x 1
Esercizio 51. Risolvi la seguente disequazione logaritmico - goniometrica:
51.1.
2
logsin x 2
log sin x 4 sin 3 x
Esercizio 52. Risolvi la seguente equazione esponenziale:
52.1. 32x 7x 1 2 7x 1 9x 1
Esercizio 53. Risolvi la seguente disequazione irrazionale:
x 1 2 x
Esercizio 54. (*) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:
54.1.
2 sin2 x 1 cos x sin x
54.2. 3 sin x 2 cos x 2
54.3.
1
1
cos x
Esercizio 55. Risolvi le seguenti disequazioni varie:
___________________________________________________________________________________________________________________
Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 8 di 10
55.1. 8x 23x 2 5 3x 1
55.2. log 4 log 1 x 4 1
2
Esercizio 56. Risolvi graficamente la seguente disequazione [verrà valutata anche la
precisione e l’accuratezza del disegno; è richiesta una soluzione in termini esatti]:
6x 4x 2 3 2x .
Esercizio 57. (*) Risolvi la seguente disequazione con moduli: 1 2x 1 x 1 .
Esercizio 58. Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:
x
cos x cos2 x
2
58.1. sin2
2 2 cos2 x
58.2.
2 sin x cos x 1 0
Esercizio 59. Risolvi le seguenti disequazioni logaritmico - esponenziali:
59.1.
ex e
e
2x
59.2. log2
x
2
e
0
x 1
2 x 3
2
Esercizio 60. Determina dominio e codominio della funzione f x
2x 3
1
arcsin
;
4
2
scrivi poi l’espressione analitica di g x f 1 x , specificandone dominio e
codominio.
Esercizio 61. Risolvere nel campo complesso le seguenti equazioni: A) z 2 z 4 i ;
B) z 2 z 1 0 .
Esercizio 62. Risolvere nel campo complesso la seguenti equazione di III grado di cui è
nota
la
soluzione
z1 2 i
(esprimere
le
soluzioni
in
forma
algebrica):
z 3 3z 2 z 5 0 .
Esercizio 63. Dato un triangolo qualsiasi ( indicati con a, b, c le misure dei lati e con
le misure degli angoli opposti a tali lati ), dimostrare che vale la seguente
identità: tan
b sin
.
c b cos
Esercizio 64. (*) Calcola nel campo complesso la seguente radice (ovviamente in senso
algebrico !) di indice 4:
4
8 8i 3 . Rappresenta le radici nel piano di Argand-
Gauss.
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 9 di 10
Esercizio 65. Risolvi la seguente disequazione goniometrica:
3
65.1. sin x cos x
4
4
2
Esercizio 66. Risolvi la seguente disequazione logaritmica:
66.1. log 1 3x 5 log 1 2x 1 .
2
4
Esercizio 67. Determina dominio e segno della seguente funzione reale di una variabile
reale:
2 x x 3 4
.
2x 1
Esercizio 68. Risolvi
per
via
grafica
la
seguente
disequazioni
irrazionale:
x 2 7x 10 2x 4 [sono richiesti valori esatti nelle soluzioni].
Istruzioni per l’uso: gli studenti che hanno giudizio sospeso in matematica
sono tenuti a svolgere tutti gli esercizi (tale lavoro sarà controllato a
settembre 2014, contestualmente alla prova orale); gli studenti che hanno
ricevuto la segnalazione “aiuto in matematica” sono tenuti a svolgerne
almeno la metà; tutti gli studenti sono tenuti a svolgere gli esercizi
contrassegnati dal simbolo (*) [ ad es. : Esercizio 64 (*) ].
auguro a voi e alle vostre famiglie una serena estate,
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Lavoro estivo di matematica / classe 4G / A.S. 2013 – 2014 / pag. 10 di 10
