Teorema fondamentale del calcolo integrale

Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Calcolo integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Proprietà dell’integrale definito
Teorema della media integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollari del Teorema fond. calc. int.
Regole di integrazione definita
Calcolo di aree
2
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1
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Estensione dell’integrale definito
Sia
f ∈ R([a, b]); se a ≤ c < d ≤ b
Z d
Z c
f (x) dx = −
f (x) dx
poniamo
d
c
Z c
e
f (x) dx = 0
c
Z d
Il simbolo
f (x) dx risulta essere definito
c
per ogni
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c, d ∈ [a, b]
4
2
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Proprietà 1
Additività rispetto al dominio di integrazione
Sia
f una funzione integrabile su un intervallo
limitato I della retta reale
Per ogni
Z
a, b, c ∈ I, si ha
b
f (x) dx =
a
Z
c
f (x) dx +
a
Z
b
f (x) dx
c
5
Proprietà 2
Linearità dell’integrale definito
Siano f e
limitato
Per ogni
Z
a
g funzioni integrabili su un intervallo
I della retta reale
a, b ∈ I e α, β ∈ R, si ha
b³
´
αf (x) + βg(x) dx =
Z b
Z b
f (x) dx + β
g(x) dx
=α
a
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a
6
3
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Proprietà 3
Positività dell’integrale definito
Siano f e
limitato
Siano
allora
g funzioni integrabili su un intervallo
I della retta reale
a, b ∈ I, con a < b. Se f ≥ 0 in [a, b],
Z
a
b
f (x) dx ≥ 0
Inoltre, se f è continua, vale l’uguaglianza se e
solo se
7
f è identicamente nulla
Proprietà 4
Confronto tra integrali definiti
Siano f e
limitato
Siano
allora
g funzioni integrabili su un intervallo
I della retta reale
a, b ∈ I, con a < b. Se f ≤ g in [a, b],
Z
a
b
f (x) dx ≤
Z
b
g(x) dx
a
8
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4
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Proprietà 5
Maggiorazione dell’integrale definito
Sia
f una funzione integrabile su un intervallo
limitato I della retta reale
Siano
a, b ∈ I, con a < b. Allora
¯Z
¯ Z
¯ b
¯
b
¯
¯
f (x) dx¯ ≤
|f (x)| dx
¯
¯ a
¯
a
9
Teorema fondamentale del calcolo integrale
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5
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Definizione
Si definisce media integrale (o valor medio) di f
sull’intervallo
[a, b] il numero
Z b
1
f (x) dx
m(f ; a, b) =
b−a a
11
Definizione
12
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6
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Significato geometrico
Se f è positiva sull’intervallo [a, b] riscrivendo la
definizione come
Z
a
b
f (x) dx = (b − a)m(f ; a, b)
si osserva che l’area del trapezoide di f su
[a, b]
è uguale all’area del rettangolo avente come
base intervallo
integrale di
[a, b] e come altezza la media
f su tale intervallo
13
Definizione
14
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7
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema della media integrale
Sia f una funzione integrabile sull’intervallo [a, b]
La media integrale di f su [a, b] soddisfa le
seguenti disuguaglianze
inf f (x) ≤ m(f ; a, b) ≤ sup f (x)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Inoltre, se f è continua su
un punto
[a, b] esiste almeno
z ∈ [a, b]
m(f ; a, b) = f (z)
15
Dimostrazione
inf f (x) ≤ m(f ; a, b) ≤ sup f (x)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Poniamo if
Per ogni
= inf f (x) e sf = sup f (x)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
x ∈ [a, b] si ha
if ≤ f (x) ≤ sf
16
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8
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
if ≤ f (x) ≤ sf
Ricordando la Proprietà 4, si ottiene
Z
a
b
if dx ≤
Z
b
a
f (x) dx ≤
Z
b
sf dx
a
ricordando l’espressione dell’integrale di una
costante, si ha
Z
a
Z
b
if dx = (b − a) if e
b
a
sf dx = (b − a) sf
17
Dimostrazione
Dunque
(b − a) if ≤
Dividendo per
Z
b
a
f (x) dx ≤ (b − a) sf
b − a si ottengono le
disuguaglianze volute
1
if ≤
b−a
Z
a
b
f (x) dx ≤ sf
18
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9
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
Se ora supponiamo
f continua, per il Teorema di
Weierstrass si ha
if = min f (x)
e
x∈[a,b]
sf = max f (x)
x∈[a,b]
e dunque la prima parte del teorema garantisce
che
m(f ; a, b) è un valore compreso tra il
minimo e il massimo di f su [a, b]
19
Dimostrazione
L’esistenza di una punto
z per cui vale la
m(f ; a, b) = f (z)
segue da una conseguenza del Teorema dei
valori intermedi
20
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10
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
Consideriamo la funzione continua
2x
se
0 ≤ x ≤ 1,
2
se
1<x≤2
f (x) =
sull’intervallo
[0, 2]
21
Esempio 1
La sua media integrale è
1
m(f ; 0, 2) =
2
1
=
2
=
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Z
2
f (x) dx
0
µZ
1
2x dx +
0
3
1
(1 + 2) =
2
2
Z
1
2
¶
2 dx
22
11
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
La media integrale è un valore assunto dalla
funzione; infatti si ha
3
m(f ; 0, 2) = f ( )
4
23
Esempio 1
24
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12
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Consideriamo la funzione continua a tratti
2x
se
0 ≤ x ≤ 1,
5
se
x>1
f (x) =
25
Esempio 2
La media integrale di f sull’intervallo [0, 2] è
data da
1
m(f ; 0, 2) =
2
1
=
2
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Z
2
f (x) dx
0
µZ
0
1
2x dx +
Z
1
2
5 dx
¶
26
13
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
La media integrale di f sull’intervallo [0, 2] è
data da
1
m(f ; 0, 2) =
2
=
µZ
1
2x dx +
0
Z
2
5 dx
1
¶
1
(1 + 5) = 3
2
27
Esempio 2
e tale valore non è assunto dalla funzione
28
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14
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
29
Esempio 2
La media integrale di f sull’intervallo
5
4
m(f ; 0, ) =
4
5
=
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4
5
Z
[0, 54 ] vale
5/4
f (x) dx
0
ÃZ
0
1
2x dx +
Z
1
5/4
5 dx
!
30
15
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
[0, 54 ] vale
!
ÃZ
Z 5/4
1
5
4
m(f ; 0, ) =
2x dx +
5 dx
4
5
0
1
La media integrale di f sull’intervallo
=
4
5
9
(1 + ) =
5
4
5
31
Esempio 2
In questo caso la media è un valore assunto dalla
funzione perché
5
9
m(f ; 0, ) = f ( )
4
10
32
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16
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Osservazione 1
Questo esempio illustra il fatto che la continuità
di f è una condizione sufficiente, ma non
necessaria, perché valga la
m(f ; a, b) = f (z)
33
Osservazione 2
La media integrale di una funzione su un
intervallo di estremi
a e b non dipende
dall’ordine degli estremi dell’intervallo
Z b
1
m(f ; a, b) =
f (x) dx
b−a a
Z a
1
f (x) dx = m(f ; b, a)
=
a−b b
34
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17
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Definizione
Sia f una funzione definita su un intervallo I
e integrabile su ogni sottointervallo chiuso e
⊆R
limitato di I
Si dice funzione integrale di f su I ogni funzione
della forma
F (x) = Fx0 (x) =
Z
x
f (s) ds
x0
dove x0
∈ I è un punto fissato e x è variabile
nell’intervallo I
36
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18
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Osservazione
F (x) = Fx0 (x) =
Z
x
f (s) ds
x0
Risulta
Fx0 : I → R
e
Fx0 (x0 ) = 0
37
Teorema
Sia
f definita e continua su un intervallo I ⊆ R
Sia x0
∈ I e sia
F (x) =
Z
x
f (s) ds
x0
una funzione integrale di f su I
⇒ F è derivabile in ogni punto di
F 0 (x) = f (x),
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I e si ha
∀x ∈ I
38
19
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
Sia
x interno ad I e sia ∆x un incremento tale
che x + ∆x ∈ I
Consideriamo il rapporto incrementale di
e
F tra x
x + ∆x
F (x + ∆x) − F (x)
=
∆x
!
ÃZ
Z x
x+∆x
1
f (s) ds −
f (s) ds
=
∆x
x0
x0
39
Dimostrazione
Si ha
Z
x+∆x
f (s) ds =
Z
x
f (s) ds +
x0
x0
Z
x+∆x
f (s) ds
x
e dunque
1
F (x + ∆x) − F (x)
=
∆x
∆x
Z
x+∆x
f (s) ds
x
= m(f ; x, x + ∆x)
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40
20
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
41
Dimostrazione
Per il Teorema della media integrale applicato alla
funzione continua f, esiste un punto
tra
z = z(∆x)
x e x + ∆x per cui
m(f ; x, x + ∆x) = f (z(∆x))
dunque
F (x + ∆x) − F (x)
= f (z(∆x))
∆x
42
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21
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
Supponiamo
∆x > 0 . Dalla relazione
x ≤ z(∆x) ≤ x + ∆x
e dal Teorema del doppio confronto sui limiti,
si ha
lim z(∆x) = x
∆x→0+
Similmente
lim z(∆x) = x
∆x→0−
e quindi
lim z(∆x) = x
43
∆x→0
Dimostrazione
Usando la continuità di f in
x si ha
lim f (z(∆x)) = f ( lim z(∆x)) = f (x)
∆x→0
∆x→0
Pertanto, passando al limite nella relazione
F (x + ∆x) − F (x)
= m(f ; x, x + ∆x)
∆x
= f (z(∆x))
44
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22
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
si ottiene
F (x + ∆x) − F (x)
= f (x)
∆x→0
∆x
F 0 (x) = lim
Nel caso in cui il punto
dell’intervallo
x sia un estremo
I si procede come sopra
considerando limiti unilaterali destro o sinistro
45
Teorema fondamentale del calcolo integrale
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23
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollario 1
Sia
Fx0 una funzione integrale di una funzione
continua f su I
Se
G è una qualunque primitiva di f su I
⇒
Fx0 (x) = G(x) − G(x0 ), ∀x ∈ I
47
Dimostrazione
Per il Teorema di caratterizzazione delle primitive,
esiste una costante
c tale che
Fx0 (x) = G(x) − c,
∀x ∈ I
Il valore della costante è determinato dalla
condizione
Fx0 (x0 ) = 0
ossia
c = G(x0 )
48
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24
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollario 2
Sia
f una funzione continua sull’intervallo [a, b]
Sia G una primitiva di f su tale intervallo
⇒
Z
a
b
f (x) dx = G(b) − G(a)
49
Dimostrazione
Se
Fa indica la funzione integrale di f che si
annulla in a, si ha
Z b
f (x) dx = Fa (b)
a
Il risultato segue allora dal corollario precedente
con
x0 = a e x = b
50
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25
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Osservazione
È comune indicare la differenza
G(b) − G(a)
con una delle seguenti espressioni:
[G(x)]ba oppure
G(x)|ba
51
Esempi
Si ha
Z
1
x2 dx =
0
Z
∙
1 3
x
3
¸1
0
=
1
3
π
sin x dx = [− cos x]π0 = 1 + 1 = 2
0
Z
2
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6
1
dx = [log x]62 = log 6 − log 2 = log 3
x
52
26
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollario 3
Sia
f una funzione derivabile in un intervallo I,
con derivata continua
⇒ per ogni x0 ∈ I, vale
f (x) = f (x0 ) +
Z
x
f 0 (s) ds,
x0
∀x ∈ I
53
Dimostrazione
È sufficiente osservare che
f è una primitiva
della sua derivata
Dunque otteniamo
Z
x
x0
f 0 (s) ds = [f (x)]xx0 = f (x) − f (x0 )
54
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27
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollario 4
Sia
ϕ una funzione continua in un intorno di 0
soddisfacente ϕ(x) = o(xα ) per x → 0, con
Z x
α≥0
⇒ la sua primitiva ψ(x) =
ϕ(s) ds
soddisfa
ψ(x) = o(x
α+1
0
) per x → 0
In formule, possiamo scrivere che
Z
x
o(sα ) ds = o(xα+1 )
per
0
x→0
55
Dimostrazione
Applicando il Teorema di de l’Hôpital, abbiamo
che
ψ(x)
ψ 0 (x)
lim
= lim
x→0 xα+1
x→0 (α + 1)xα
=
1
ϕ(x)
lim α = 0
α + 1 x→0 x
56
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28
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
Vogliamo determinare lo sviluppo di Maclaurin
della funzione
f (x) = arctan x
La sua derivata è
1
1 + x2
f 0 (x) =
e dunque, per il Corollario 3, possiamo scrivere
arctan x =
Z
0
x
1
ds
1 + s2
57
Esempio 1
Lo sviluppo di Maclaurin della funzione
con la sostituzione
f 0 (s),
x = s2 , è dato da
1
2
4
m 2m
2m+1
=
1
−
s
+
s
−
·
·
·
+
(−1)
s
+
o(s
)
1 + s2
m
X
=
(−1)k s2k + o(s2m+1 )
k=0
58
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29
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
Integrando termine a termine e usando il
Corollario 4, otteniamo lo sviluppo di Maclaurin
della funzione
f (x)
59
Esempio 1
arctan x =
Z x
¡
¢
1 − s2 + s4 − · · · + (−1)m s2m + o(s2m+1 ) ds
=
0
2m+1
x3
x5
m x
= x−
+
− · · · + (−1)
+ o(x2m+2 )
3
5
2m + 1
=
m
X
k=0
x2k+1
+ o(x2m+2 )
(−1)
2k + 1
k
60
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30
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Vogliamo determinare lo sviluppo di Maclaurin
della funzione f (x)
= arcsin x
Possiamo scrivere
arcsin x =
Z
x
0
1
√
ds
2
1−s
61
Esempio 2
Usando lo sviluppo di
e con la sostituzione
√
1
=
1 − s2
1
1
√
con α = −
2
1 − x2
x = −s2 , otteniamo
¯ µ 1 ¶¯
¯ − ¯ 2m
1 2 3 4
2 ¯s
= 1 + s + s + · · · + ¯¯
+ o(s2m+1 )
¯
2
8
m
m ¯ µ 1 ¶¯
X
¯ − ¯ 2k
2m+1
2 ¯
¯
=
)
¯ k ¯ s + o(s
62
k=0
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31
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Integrando termine a termine e usando il
Corollario 4, otteniamo lo sviluppo di Maclaurin
della funzione
f (x)
63
Esempio 2
arcsin x =
¯µ 1 ¶ ¯
¶
Z xµ
¯ − ¯ 2m
1 2 3 4
2m+1
2 ¯s
1 + s + s + · · · + ¯¯
=
+ o(s
) ds
¯
2
8
m
0
¯µ 1 ¶¯ 2m+1
¯ − ¯ x
x3
3x5
2 ¯
=x +
+
+ · · · + ¯¯
+ o(x2m+2 )
6
40
m ¯ 2m + 1
m ¯µ 1 ¶¯ 2k+1
X
¯ − ¯ x
2m+2
2 ¯
¯
=
)
¯ k ¯ 2k + 1 + o(x
k=0
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64
32
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Regola di integrazione per parti
Siano f e
g funzioni derivabili su un intervallo
[a, b], con derivate continue
⇒
Z
b
0
f (x)g (x) dx =
a
[f (x)g(x)]ba
−
Z
b
f 0 (x)g(x) dx
a
66
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33
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Dimostrazione
Sia
H(x) una qualunque primitiva della funzione
f 0 (x)g(x) su [a, b]
La regola di integrazione indefinita per parti dice
precisamente che la funzione f (x)g(x) − H(x)
è una primitiva della funzione
f (x)g 0 (x)
Pertanto,
si ha
Z
b
f (x)g0 (x) dx = [f (x)g(x)]ba − [H(x)]ba
Z b
a
= [f (x)g(x)]ba −
f 0 (x)g(x) dx
67
a
Regola di integrazione per sostituzione
Sia
f (y) una funzione continua su un intervallo
[a, b] e sia F (y) una sua primitiva
Sia
ϕ(x) una funzione definita su un intervallo
[α, β] a valori nell’intervallo [a, b], derivabile con
derivata continua
⇒
Z
β
0
f (ϕ(x))ϕ (x) dx =
α
Z
ϕ(β)
f (y) dy
ϕ(α)
68
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34
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Regola di integrazione per sostituzione
Se la funzione
ϕ è una biiezione tra l’intervallo
[α, β] e l’intervallo [a, b]
⇒
Z
b
f (y) dy =
Z
ϕ−1 (b)
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx
ϕ−1 (a)
a
69
Esempio 1
Si voglia calcolare
Z
3π/4
sin3 x cos x dx
0
Poniamo
y = ϕ(x) = sin x, si ha
ϕ0 (x) = cos x, ϕ(0) = 0,
ϕ(
1
3π
)= √
4
2
70
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35
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
ϕ0 (x) = cos x, ϕ(0) = 0,
ϕ(
3π
1
)= √
4
2
Pertanto, si ottiene
Z
3π/4
sin3 x cos x dx =
0
√
1/ 2
Z
y 3 dy
0
71
Esempio 1
Pertanto, si ottiene
Z
3π/4
sin3 x cos x dx =
0
=
Si noti che
Z
∙
√
1/ 2
y 3 dy
0
1 4
y
4
¸1/√2
=
0
ϕ non è iniettiva sull’intervallo [0,
1
16
3π
]
4
72
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36
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Si voglia calcolare
S=
Z
1
arcsin
0
p
1 − y 2 dy
Poniamo
y = ϕ(x) = cos x, con x variabile
nell’intervallo [0, π
2]
73
Esempio 2
y = ϕ(x) = cos x, x ∈ [0,
In tale intervallo
π
]
2
ϕ è strettamente decrescente e
dunque iniettiva inoltre, si ha
π
π
ϕ(0) = 1, ϕ( ) = 0, ϕ−1 (0) = , ϕ−1 (1) = 0
2
2
Notiamo inoltre che si ha
p
p
2
arcsin 1 − cos x = arcsin sin2 x
= arcsin(sin x) = x
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74
37
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Dunque
S=
=
Z
Z
£
0
p
(arcsin 1 − cos2 x) (− sin x) dx
π/2
π/2
x sin x dx
0
¤π/2
= − x cos x 0 +
Z
π/2
cos x dx
75
0
Esempio 2
Dunque
S=
=
Z
Z
£
0
π/2
p
(arcsin 1 − cos2 x) (− sin x) dx
π/2
x sin x dx
0
¤π/2
= − x cos x 0 +
£
¤π/2
= sin x 0 = 1
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Z
π/2
cos x dx
0
76
38
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Corollario
Sia
f una funzione integrabile sull’intervallo
[−a, a], a > 0
Se
f è pari ⇒
Z a
Z
f (x) dx = 2
−a
Se
f è dispari ⇒
Z a
−a
a
f (x) dx
0
f (x) dx = 0
77
Teorema fondamentale del calcolo integrale
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39
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
Calcoliamo l’area
A della regione del piano
racchiusa tra le curve di equazione
y = f (x) = x2 e y = g(x) =
√
x
79
Esempio 1
Le curve si intersecano nei due punti di
ascisse
x=0 e x=1
La regione a cui siamo interessati è la differenza
tra il trapezoide della funzione
g e quello della
funzione f relativi all’intervallo [0, 1]
80
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40
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 1
Pertanto
A=
Z
1
g(x) dx −
0
=
Z
1
0
Z
1
f (x) dx
0
∙
¸1
√
1
2
1
[ x − x2 ] dx =
x3/2 − x3 =
3
3
3
0
81
Esempio 2
Determiniamo l’area A della regione del piano
delimitata dalla parabola
y = f (x) = x(1 − x)
x
e dalla retta y = g(x) = −
2
82
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41
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Le due curve si intersecano nell’origine e nel
punto di coordinate
Nell’intervallo
3 3
( ,− )
2 4
3
[0, ] si ha sempre f (x) ≥ g(x)
2
83
Esempio 2
La regione di interesse si trova in parte nel
semipiano delle ordinate positive, in parte in
quello delle ordinate negative
La sua area può essere calcolata come
A=
Z
3/2
0
(f (x) − g(x)) dx
84
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42
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
Si osservi che
A è anche l’area della regione
differenza tra il trapezoide della funzione traslata
3
e il trapezoide della funzione
4
3
traslata g(x) +
4
f (x) +
85
Esempio 2
Applicando una traslazione verticale che porta
l’asse delle ascisse nel punto di ordinata
3
y = − , l’area non cambia
4
Pertanto
A=
Z
0
3/2
µ
3
x − x2
2
¶
∙
3 2 1 3
dx =
x − x
4
3
=
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9
16
¸3/2
0
86
43
Analisi matematica I
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Esempio 2
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