DALLA GEOMETRIA EUCLIDEA ( 5 POSTULATO DÌ
EUCLIDE ) ALLA GEOMETRIA IPERBOLICA
Negli "Elementi" di Euclide, opera in 13 volumi, databile intorno al 300 a.C., il metodo
ipotetico - deduttivo viene per la prima volta applicato in un trattato di ampio respiro. Le
nozioni di geometria già note a Egizi e Babilonesi vengono organizzate in una teoria
assiomatica che le collega mediante ragionamenti deduttivi che prendono l'avvio da
assiomi, o nozioni comuni, e postulati che compaiono all'inizio del primo dei tre libri in cui
si articola l'opera di Euclide:
Postulati
1. Per due punti passa una [e una sola] retta;
2. Ogni retta può essere prolungata indefinitamente;
3. Dati il centro e il raggio esiste uno e un solo cerchio;
4. tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
5. Se una retta, incontrandone altre 2, forma con esse angoli interni da una stessa parte
con somma minore di 2 retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontrano
dalla parte in cui giacciono tali angoli.
Assiomi
1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro. [proprietà transitiva]
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali.
3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali.
4. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali.
5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.
7. Cose che coincidono tra loro sono uguali.
[proprietà riflessiva]
8. Il tutto è maggiore della parte.
Come si vede, i postulati fanno riferimento ad una materia particolare, la Geometria,
mentre gli assiomi sono enunciati matematici di carattere più generale e comprendono sia
il concetto di congruenza che quello di equivalenza. Comunque, attualmente non si dà
peso a tale differenza e si indica con il termine assioma ogni proposizione primitiva.
Alcuni postulati attribuiti ad Euclide (es.: 4, 5, 6) sono invece frutto di interpolazioni
posteriori ad Euclide. Altri sono stati aggiunti perchè "sottintesi" da Euclide, per esempio
l'enunciato attualmente accettato è "per due punti passa una e una sola retta", mentre nel
postulato N°1 si afferma l'esistenza di tale retta, assumendo implicitamente la sua unicità.
Il quarto postulato è stato invece eliminato nei moderni manuali di geometria dove si
definisce l'angolo piatto che Euclide non aveva invece considerato.
Va sottolineato inoltre che le proposizioni primitive erano state scelte secondo il criterio
dell'evidenza della loro verità ed erano ritenute verità assolute.
Il V postulato di Euclide
L'enunciato originale del V postulato:
Se una retta, incontrandone altre 2, forma con esse angoli interni da una stessa parte la
cui somma è minore di 2 retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla
parte
in
cui
giacciono
tali
angoli
è oggi formulato in modo molto diverso, ma sostanzialmente equivalente a quello di
Euclide:
per un punto esterno a una retta data passa una e una sola parallela ad essa
ed è noto come postulato delle parallele.
Nel corso della storia, molti matematici hanno studiato la dipendenza o meno del quinto
postulato dai precedenti. Il primo ad avere perplessità su questo postulato forse fu lo
stesso Euclide poiché, in effetti, nella sua opera rimanda il più possibile il ricorso ad esso.
Infatti, mentre i primi quattro postulati restano validi se ci limitiamo a considerare solo
una parte di piano, come di fatto succede quando disegniamo su un foglio, dobbiamo
constatare che il postulato delle parallele non vale in ogni parte limitata di piano (dipende
da quanto questa è estesa e dall'inclinazione delle rette), ma immaginiamo sia valido se
consideriamo il piano illimitato, anche se di ciò non abbiamo verifica diretta. Al contrario,
potrebbero esserci situazioni in cui l'esperienza potrebbe portare a una diversa
conclusione, se il piano non è quello del foglio su cui scriviamo.
Esempio
Consideriamo due navigatori che, partendo dall'Equatore, si dispongano a
viaggiare su rotte "rettilinee e parallele", perpendicolari all'Equatore stesso.
Come si sa, essi percorreranno così due meridiani e
saranno destinati ad incontrarsi al Polo.
Non è comunque possibile rinunciare al postulato delle
parallele perché da esso dipendono notevoli
conseguenze:
6. Il teorema che afferma che la somma degli angoli
interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.
7. I teoremi sui parallelogrammi.
8. La teoria sull'equivalenza delle figure piane.
9. Il teorema di Pitagora.
10.
La teoria della similitudine delle figure piane.
11.
Le applicazioni alla trigonometria ed alla geometria analitica.
Per oltre duemila anni il V postulato di Euclide è stato oggetto di discussioni e si sono
succeduti tentativi di eliminare il ricorso a tale postulato, tuttavia nessuno di questi ha
resistito alle critiche successive.
La nascita delle geometrie non euclidee
Rinunciando all'idea che la geometria descriva semplicemente oggetti del mondo fisico,
nel 1829 - 1830 il matematico russo Nicolaj Lobacevskij affrontò il problema da un nuovo
punto di vista: provò a sostituire il V postulato con un diverso assioma sul parallelismo,
postulando che:
per un punto passano due rette parallele a una retta data
L'ipotesi di Lobacevskij non è completamente arbitraria, ma nasce dal seguente
ragionamento:
Se tracciamo alcune rette uscenti dal punto P, alcune incontreranno la retta r, come le
rette s e s', altre, come le rette n e n', invece non intersecano la retta data, almeno non nel
supporto che stiamo considerando (es. il foglio di lavoro). Anzi, se l'angolo che la retta
tracciata per P forma con PH è di poco diverso da un angolo retto, non siamo
materialmente in grado di verificare se le rette si incontreranno veramente e quindi per
angoli sufficientemente vicini a 90° potremmo ipotizzare che le rette per P NON
INCONTRINO affatto la retta r .
Ciò equivale a dire che per P passano rette che
intersecano la retta r, che chiameremo secanti, e rette che non intersecano r, che
chiameremo non secanti.
Le due rette p e p', giacenti in semipiani opposti rispetto a PH,
che separano le secanti dalle non secanti vengono chiamate le parallele alla retta r
passanti per P.
L'assioma delle due parallele proposto da Lobacevski comporta che non si può più
dimostrare, per esempio, che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un
angolo piatto, misura sempre confermata dalle misurazioni finora effettuate nell'ambito
dell'esperienza conmune. Ovviamente la geometria euclidea rimane infatti sempre valida a
descrivere la realtà fisica che ci circonda, riconducibile alla fisica classica, mentre le
geometrie non euclidee offrono un modello adeguato per descrivere fenomeni fisici studiati
dalla fisica moderna.
Il 1829 segna la nascita delle geometrie non euclidee e la conferma che il V postulato è
veramente una proposizione primitiva indipendente dalle altre; si hanno allora tre
possibilità per costruire una teoria coerente:
scelto un punto P non appartenente a una data retta r
12.
esite una e una sola parallela a r passate per P: si tratta della geometria euclidea o
parabolica;
13.
non esitono parallele per P a r: il modello è quello della sfera di Riemann e la
geometria è detta ellittica;
14.
esistono più rette per P che non intersecano r: i modelli sono proposti da Klein e
Poincaré e la geometria è detta iperbolica.
La geometria iperbolica e il modello di Klein
La geometria iperbolica è una geometria che ammette che per un punto passano due
parallele ad una retta data. Il termine IPERBOLICO, che in greco significa "eccesso",
vuole ricordare che vi è un eccesso di parallele rispetto a ciò che si era considerato in
precedenza.
Il matematico tedesco F. Klein (1849 - 1925) propose un modello di
geometria iperbolica in cui gli enti geometrici fondamentali punto e retta soddisfano tutti gli
assiomi della geometria euclidea, tranne quello delle parallele.
Il "piano" corrisponde ai punti interni alla circonferenza γ;
P è il generico punto del piano;
la corda AB, privata degli estremi, corrisponde a una "retta".
La parte di "retta" RS è un "segmento";
PQ (Q escluso) è una "semiretta";
la "retta" AB suddivide il "piano" in due "semipiani".
Punti e rette così definiti soddisfano numerosi assiomi, ma non il postulato delle parallele:
per il punto P esterno alla retta AB passano "rette" che intersecano la "retta" AB, per es. la
"retta" azzurra in figura, che è detta incidente, e "rette" che non la intersecano (per es.
quelle in verde). Le due "rette" in rosso, che separano le "rette" che incidenti da quelle che
non intersecano AB, sono le parallele ad AB passanti per P (infatti A e B non
appartengono al piano di Klein).
Rette come quelle in verde sono dette ultraparallele.
Pertanto, nel modello di Klein, due rette sono:
15.
16.
incidenti se hanno in comune un punto del piano di Klein;
parallele se hanno in comune un punto della circonferena C che delimita il piano di
Klein;
17.
ultraparallele negli altri casi.
Si vede che più P è lontano da r, più numerose sono le rette che non intersecano r.
Per descrivere le proprietà della geometria iperbolica esiste un altro modello, dovuto a H.
Poincaré (1854 - 1912).
Il modello di Poincaré
Il disco di Poincaré (1854 - 1912) è uno dei tanti modelli di geometria iperbolica. Esso
prende in considerazione un cerchio privato dei punti della circonferenza K che lo delimita.
Si definisce "piano" la totalità dei punti interni alla
circonferenza K; K è detto orizzonte del piano;
si dicono rette:
•
i diametri di K, per esempio AB (privato degli
estremi)
•
gli archi di circonferenza ortogonali a K e interni
al cerchio, per esempio l'arco CD (privato degli
estremi), appartenente alla circonferenza K 1 che ha in
C e D tangenti perpendicolari alle tangenti a K.
In questo modello:
1 dati due punti distinti A, B del piano esiste una e
una sola retta che li contiene;
2 due rette iperboliche si intersecano al massimo in un punto, quindi due rette
possono essere incidenti se hanno in comune un punto P, parallele se non si
incontrano in punti interni a K, ma sono tangenti in un punto di K, ultraparallele se
non si incontrano nè in punti di K nè in punti ad essa interni.
3 Data una retta r ed un punto P del piano esterno a r esistono due rette passanti per P e
parallele ad r . Tali rette dividono il piano in due regioni che contengono le rette
incidenti o quelle ultraparallele a r .
4
Prese tre rette
iperboliche r, s, t, se r è parallela ad s ed s è parallela a t, non si può dedurre che r
è parallalela a t.
Due rette iperboliche che si intersecano formano
angoli iperbolici. L'ampiezza di questo angolo è data
dall'ampiezza in radianti dell'angolo formato dalle
tangenti (in senso euclideo) alle rette iperboliche nel
loro punto d'intersezione.
Tre rette che si intersecano in tre punti distinti formano
un triangolo iperbolico. Dalla figura si può facilmente
capire come la somma degli angoli interni di un
triangolo iperbolico possa essere minore di un angolo
piatto, contrariamente a quanto afferma la geometria euclidea.
ESEMPIO:
osservare che in geometria iperbolica la formula Area = (base x altezza)/2 offre tre
risposte diverse in relazione al lato che si sceglie come base del triangolo.
Il triangolo ABC è scaleno. I segmenti AX, BY e CZ individuano le tre altezze del triangolo
ABC. Osserviamo che, come in geometria euclidea le tre altezze si intersecano in un unico
punto.Misurando lati e angoli del triangolo otteniamo:
lunghezza della base AB = 3,3 altezza CZ = 1,1
lunghezza della base BC = 3,0, altezza AX = 1,9
lunghezza della base AC = 2,1 altezza BY = 2,5
angolo AXB = angolo AXC = 90°
angolo BYA = angolo BYC = 90°
angolo CZA = angolo CZB = 90°
Se ora proviamo a calcolare l'area del triangolo usando la formula A=bh/2 troviamo che il
numero ABxCZ/2 è DIVERSO da BCxAX/2 e da ACxBY/2. Una formula che da tre risposte
diverse in relazione al lato che si sceglie come base del triangolo risulta chiaramente
inaccettabile, per cui A=bh/2 non può essere considerata una formula valida per il calcolo
dell'area di un triangolo iperbolico.
La Geometria Iperbolica serve dunque a spiegare anche la forma stessa dell’univero
Universo iperbolico
Un universo iperbolico (spesso chiamato imprecisamente "aperto") è descritto dalla
geometria iperbolica, e può essere immaginato come l'equivalente in 3 dimensioni di una
"sella" infinitamente estesa. Il destino ultimo dell'universo aperto è un'espansione eterna,
preludio alla morte termica dell'universo o ai cosiddetti "Big Freeze" e "Big Rip"
