Derivate - Matematicamente

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ Derivate
Coefficiente angolare di una retta secante ad una curva
Una secante ad una curva, che rappresenta una funzione, è una retta che passa per due punti distinti
della curva.
Se f(x) è la funzione e a e b sono le ascisse dei due punti sulla curva per i quali vogliamo tracciare la
f b
f a
secante, allora il coefficiente angolare della secante è:
.
b a
Un altro modo per indicare le ascisse dei due punti è quello di usare i simboli x0 e x0+h. Allora il
f x0 h f x0
coefficiente angolare della secante è espresso dalla formula
.
h
Rappresentiamo la funzione f x
misurato in radianti.
sin x
x e la secante ad f(x) che passa per due punti assegnati, x è
Le ascisse dei punti sul grafico per cui passa la secante sono rispettivamente:
a
3
b
7
Coefficiente angolare della secante:
m
f b
f a
b a
m = 1.129
Equazione della secante: y x
f a
x
a .m
Intervallo in cui deve variare x per disegnare il grafico:
1
Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ x
a
5,a
4.9 .. b
5
10
f x
y x
5
f a
f b
0
5
10
x, x, a , b
f(x)
Secante s(x)
(a, f(a))
(b, f(b))
2
16. t
Un oggetto sottoposto ad una forza percorre lo spazio in funzione del tempo con la legge s t
dove s è misurato in centimetri e t in secondi. Qual è la velocità media dell'oggetto nell'intervallo
compreso tra 1 e 4 secondi? E tra 1 e 1.5 secondi?
Velocità media tra 1 e 4 secondi:
Tempo iniziale:
x0
h
x0
1
3
h =4
Il coefficiente angolare della secante corrisponde alla velocità media dell'oggetto tra i due istanti.
m secante
s x0
m secante = 80
h
s x 0 cm
.
sec
h
cm
sec
Velocità media tra 1 e 1.5 secondi:
2
Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it ____________________________________________________________________________________________________________________________ x0 =1
h
.5
x0
h = 1.5
m secante
s x0
m secante = 40
h
s x 0 cm
.
sec
h
cm
sec
E' interessante osservare il comportamento della secante quando i due punti si avvicinano. Per fare ciò,
scegliamo h sempre più piccolo e, dopo aver tracciata la curva, tracciamo la secante corrispondente a
ogni valore di h.
400
200
0
0
2
4
Il coefficiente angolare della secante tende ad assumere il valore:
s x0
δ
δ
s x0
= 34.4
3