Esercizi sulle serie numeriche
Prof. Domenico RUGGIERO
Esercizi sulle Serie Numeriche
1. Determinare il carattere delle serie:
(a)
∞
X
sin
n
n
n=1
(b)
¡1¢
∞
X
(4)n
n2n
n=1
(c)
∞
X
√
n=5
(d)
∞
X
∞
X
n!
e(n+1)2
n=0
(e)
1
n−4
cos(n!)π −n
n=1
(f)
∞
X
n+1
n=1
(g)
ln(n)
∞
X
arctan(n)
n2
n=1
(h)
∞
X
µ
(−1)
n=6
n
n2
−n
n−5
¶
2. Determinare per quali valori, del parametro reale t, convergono le serie:
(a)
∞ 2n n
X
t 2 (n + 2)n
n=1
1
nn
(b)
∞
X
4tn
n=1
(c)
¶n
∞ µ
X
ln(t + 10)
2
n=1
(d)
n
∞
X
(t2 − 3)n
n=1
2
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Soluzioni
In tutta la trattazione seguente utilizziamo la scrittura lim sottintendendo
che l'indice naturale tende ad ∞ ovvero
utilizziamo lim in luogo di lim
n→∞
1.
¡ ¢
(a) Poiché sin n1 ≤
maggiorazione
1
,
n
(n ∈ N)
per il termine generico della serie vale la
¡ ¢
sin n1
1
≤ 2
n
n
per cui la serie data è maggiorata dalle serie convergente
∞
X
1
n2
n=1
e, per il primo criterio del confronto, risulta anch'essa convergente.
n
(b) Il termine generico della serie è (4)
, la serie è a termini positivi e
n2n
lim an = 0.
Applicando il criterio della radice, si ha:
lim
√
n
an = lim
4
=0<1
n2
cosicché la serie converge.
1
(c) Il termine generico della serie è √n−4
, la serie è a termini positivi
e lim an = 0. Risulta denitivamente:
√
n−4<
√
n < n =⇒ √
1
1
1
>√ >
n
n
n−4
e, quindi,
1
n
da cui, essendo nota la divergenza della serie armonica,
an >
∞
X
1
n
n=1
segue, per il primo criterio del confronto, che la serie data è
divergente.
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(d) La serie è a termini postivi ed il suo termine generico è an =
Applicando il criterio del rapporto, si ha:
an+1
= lim
lim
an
(n+1)!
2
e(n+2)
n!
2
e(n+1)
2
n!
2.
e(n+1)
2
(n + 1)!en +2n+1
(n + 1)!e(n+1)
= lim
=
= lim
n!e(n+2)2
n!en2 +4n+4
2
(n + 1)n!en e2n e
n+1
= lim
= lim 2n 3 = 0 < 1
2 4n 4
n
e e
n!e e e
essendo il denominatore (per la presenza dell'esponenziale) un innito di ordine superiore rispetto al numeratore (che è un polinomio e, più precisamente, un binomio di primo grado).
La serie data è, dunque, convergente.
(e) la serie è a termini di segno qualunque dato che il numeratore
oscilla nell'intervallo [−1, 1].
Indicato con an il termine generico della serie, studiamo
∞
X
|an | =
n=1
∞
X
| cos(n!)|
n=1
πn
Tenendo presente che | cos(α)| ≤ 1 qualunque sia l'assegnazione
di α, si ha:
µ ¶n
1
1
|an | ≤ n =
∀n∈N
π
π
ed, essendo la serie geometrica
∞ µ ¶n
X
1
n=1
π
convergente in quanto la sua ragione è una frazione propria, per il
primo criterio del confronto converge assolutamente la serie data
che pertanto è anche, semplicemente, convergente.
(f) La serie è a termini positivi e risulta
lim
n+1
= +∞
ln(n)
in quanto nα è un innito di ordine superiore rispetto a ln(xβ ) ∀
α, β > 0.
Quindi, non è vericata la condizione necessaria per la convergenza
di una serie e, pertanto, la serie data non può convergere (diverge
positivamente).
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(g) La serie è a termini positivi in quanto arctan(ϑ) > 0 ∀ ϑ > 0 ed,
inoltre, | arctan(ϑ)| ≤ π/2 ∀ ϑ ∈ R.
Risulta, allora, denitivamente
arctan(n)
π
≤ 2
2
n
2n
da cui, tenendo conto che la serie armonica generalizzata
∞
X
1
n2
n=1
converge ed, indicata con S la sua somma 1 ,
∞
∞
X
π
πX 1
π
=
= S
2
2
2n
2 n=1 n
2
n=1
e, per il primo criterio del confronto, la serie data è convergente.
(h) La serie è a termini di segno alterno.
Eseguendo la somma tra parentesi si ha:
n2
n2 − n2 + 5n
−n=
n−5
n−5
cosicché la serie può essere riscritta come
∞
X
(−1)n
n=0
5n
n−5
ed, indicato con an , il suo termine generico si ha che
(−1)n n
lim an = 5 lim
n−5
non esiste in quanto tale limite oscilla tra i due valori −5 e +5.
Ne segue l'indeterminazione del carattere della serie stessa.
2.
(a) Il termine generico della serie è
an = an (t) =
1 Si
può dimostrare che S =
π2
6
5
t2n 2n (n + 2)n
nn
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Applicando il criterio della radice, si ha:
t2 2(n + 2)
lim an = lim
= 2t2
n
Pertanto la serie converge se
√
√
2
2
|2t2 | < 1 ⇐⇒ 2t2 < 1 ⇐⇒ −
<t<
2
2
³ √ √ ´
ovvero per t ∈ − 22 , 22 .
√
n
(b) Il termine generico della serie è
4tn
n
Applicando il criterio del rapporto, si ha:
an = an (t) =
an+1
lim
= lim
an
4t(n+1)
n+1
4tn
n
= lim
4tn 4t (n + 1)
4t (n + 1)
n+1
=
lim
= 4t lim
= 4t
tn
4 n
n
n
Quindi , la serie converge per
|4t | < 1 ⇐⇒ 4t < 1 ⇐⇒ t < 0
ovvero per t ∈ (−∞, 0).
(c) La serie è geometrica di ragione
ln(t + 10)
2
e, pertanto, è convergente se |ρ| < 1 ovvero se
¯
¯
¯ ln(t + 10) ¯
¯
¯ < 1 ⇐⇒ −1 < ln(t + 10) < 1 ⇐⇒ −2 < ln(x+10) < 2
¯
¯
2
2
ρ = ρ(t) =
⇐⇒ e−2 < t + 10 < e2 ⇐⇒ e−2 − 10 < t < e2 + 10
e, dunque, per t ∈ (e−2 − 10, e2 − 10).
(d) Anche in questo caso, abbiamo una serie geometrica di ragione
q = q(t) = t2 − 3
che, dunque, converge se |q<1| da cui
|t2 − 3| < 1 ⇐⇒ −1 < t2 − 3 < 1 ⇐⇒ t2 − 3 > −1 ∧ t2 − 3 < 1 ⇐⇒
√
√
t2 − 2 > 0 ∧ t2 − 4 < 0 ⇐⇒ (− 2 < t ∨ t > 2) ∧ (−2 < t < 2) ≡
√
√
≡ −2 < t < − 2 ∨ 2 < t < 2
√
√
Quindi, la serie converge per t ∈ (−2, − 2) ∪ ( 2, 2).
6
