Limiti notevoli

Continuità di una funzione e limiti
notevoli
M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Continuità
Una funzione f è continua nel punto di
accumulazione x = a appartenente al dominio 𝐷(𝑓)
se
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
cioè se le seguenti condizioni
sono soddisfatte:
1. 𝑓(𝑎) è definita
2. ∃ lim 𝑓 𝑥 ,
𝑥→𝑎
cioè esiste
lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
3. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
f(a)
a
La funzione non è continua!
Condizione di continuità in forma
più compatta
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
f(a)
La funzione è continua!
a
Esempi
Studiare i punti di continuità delle seguenti
funzioni:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
E’continua ovunque
lim 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 2
𝑥→𝑎
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
2. 𝑔 𝑥 =
𝑥 2 −9
𝑥+3
Continua in tutti punti del suo
dominio. Nel punto 𝑥 = −3
𝑔(−3) non é definita
𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 > 1
3. ℎ 𝑥 =
1
𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
lim− ℎ 𝑥 = 1 e
𝑥→1
lim+ ℎ 𝑥 = 3
𝑥→1
−1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
4. 𝐹 𝑥 =
1
𝑠𝑒 𝑥 > 0
lim+ 𝐹 𝑥 = 1 e lim− 𝐹 𝑥 = −1
𝑥→1
𝑥→1
Quindi h non è continua in
ℎ 𝑥 =3
Così F non é continua
in x  0.
h é continua in ogni altro punto
F é continua in ogni altro punto
Teoremi sulla continuità

La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é continua.

La funzione 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 é continua.

La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 é continua.

La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 é continua.

La funzione potenza 𝑥 𝑝 dove 𝑥 > 0 e 𝑝 è un
numero reale è una funzione continua.
Teoremi sulla continuità
Se le funzioni 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 sono continue in 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓) ∩
𝐷(𝑔), allora si ha che anche le funzioni

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ⇒
lim ( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔(𝑥))
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
= 𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎) = (𝑓 + 𝑔)(𝑎)

𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)

𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥) con 𝑔 𝑎 ≠ 0
sono continue in 𝑎.
Esempi di funzioni continue
Una funzione polinomiale
𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
è continua in ogni punto x.
Una funzione razionale é continua in ogni punto x del
suo dominio, cioè dove 𝑞 𝑥 ≠ 0
𝑅 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥)
dove 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) sono polinomi.
Proprietà delle funzioni continue
Teorema. Se la funzione 𝑓 ammette limite 𝑙 nel
punto 𝑥0 di ℝ e 𝑔 è una funzione continua nel punto
𝑙, allora
lim 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Segue che:
Teorema. La composizione di due funzioni continue è
continua:
lim 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓( 𝑥0 )
𝑥→𝑥0
Applicazioni
Grazie al teorema precedente si può passare con il
limite all’interno dell’argomento delle seguenti
funzioni trascendenti:
𝑥+1
lim+ log
= log
𝑥→0
𝑥
𝑥 2 −2𝑥+3
lim 𝑒 𝑥
𝑥→∞
=
𝑥+1
1
lim+
= log + = ∞
𝑥→0
𝑥
0
𝑥 2 −2𝑥+3
lim
𝑥
𝑥→∞
𝑒
= 𝑒∞ = ∞
Esempi

Discutere gli eventuali punti di discontinuità della
2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑥
seguente funzione: 𝑓 𝑥 =
1 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
Si ha che
lim−(1 − 𝑥) = 0
𝑥→1
lim+ (𝑥 2 − 1) = 0
𝑥→1
𝑓 1 =1−1=0
Quindi la funzione è continua su ℝ.
Proprietà delle funzioni continue
Teorema. L’ inversa di una funzione continua reale di
variabile reale definita su un intervallo, se esiste, é
continua.
Applicazioni
Le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio:
•
𝑓 𝑥 = 𝑥−2
Dominio 𝑥 ≥ 2
•
•
𝑓 𝑥 = log 𝑥 2 + 1
𝑓 𝑥 =𝑒
𝑥+1
𝑥
𝐷=ℝ
𝐷 = {𝑥 ≠ 0}
Teorema di Bolzano o degli zeri
Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b]
e tale che il prodotto 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏) < 0, allora esiste almeno
un valore c in [a, b] tale che 𝑓 𝑐 = 0.
y  f ( x)
f (c) =0
f (b)
f (a)
a
c
b
Esempio
Un polinomio di grado dispari ammette almeno uno zero.
Esempio: 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5
lim 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = −∞
𝑥→−∞
lim 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = ∞
𝑥→∞
𝑓 𝑐 =0
𝑐
Teorema del valore intermedio
Se f é una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b]
ed L é un numero tra f (a) e f (b), allora esiste almeno un
valore c in [a, b] tale che f(c) = L.
y  f ( x)
f (b)
f (c) = L
f (a)
a c
b
Teorema
Una funzione continua in un intervallo chiuso [𝑎, 𝑏] è
limitata in [𝑎, 𝑏] .
Teorema di Weierstrass
Una funzione continua in un intervallo chiuso [𝑎, 𝑏]
ammette sempre un punto di minimo e un punto di
massimo.
Esercizi
1. Studiare la continuità della seguente funzione
𝑥 + 1 per 𝑥 ≥ 0
𝑓 𝑥 =
1 − 𝑥 per 𝑥 < 0
[continua in ℝ]
2. Studiare la continuità della seguente funzione
2𝑥 + 1 per 𝑥 ≥ 1
𝑓 𝑥 =
1 − 2𝑥 per 𝑥 < 1
[discontinuità in 𝑥 = 1 ]
3. Studiare la continuità della seguente funzione
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −1
𝑥 2 +2𝑥+1
[continua nel dominio 𝑥 ≠ −1]
4. Studiare la continuità della seguente funzione
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −4
𝑥 2 −4𝑥+4
per 𝑥 ≠ 2
0
per 𝑥 = 2
[discontinuità in 𝑥 = 2]
5. Studiare la continuità della seguente funzione
𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
2
0
per 𝑥 ≠ 0
per 𝑥 = 0
[discontinuità in 𝑥 = 0]
6. Studiare la continuità della seguente funzione
𝑥 − 1 per 𝑥 ≤ 1
𝑓 𝑥 =
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 per 𝑥 > 1
[continua in ℝ]
Limiti fondamentali
1.
sin 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
=
2. lim 1 +
𝑥→∞
1
𝑥
𝑥
lim
𝑥→0 sin 𝑥
1
𝑥
=𝑒
=1
Grafico
Grafico quando l’angolo tende a 0
Grafico
Dimostrazione

Si ha che
𝐵𝐷 ≤ 𝐶𝐵 ≤ 𝐸𝐶
da cui si ottiene:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ tan 𝑥

dove 𝑥 ∈ 0,






𝜋
2
è l’ angolo
in O.
Quindi:
1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
≤
1
cos 𝑥
Dimostrazione




𝜋
2
Quando −𝑥 ∈ (− , 0] si ottiene:
tan −𝑥 ≤ −𝑥 ≤ sin(−𝑥)
dividendo per sin(−𝑥) e
facendo il reciproco

cos(−𝑥) ≤

da cui


cos 𝑥 ≤
s𝑒𝑛(−𝑥)
−𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
quando 𝑥 ∈
≤1
𝜋 𝜋
− ,
2 2
≤1
Dimostrazione
Dalla continuità delle funzioni
cos 𝑥 e 1 deriva che
lim cos 𝑥 = lim 1 = 1.
𝑥→0
𝑥→0
Dal teorema del confronto
si ha che
𝑠𝑒𝑛 𝑥
lim
=1
𝑥→0 𝑥
Limiti fondamentali
Usando le tecniche di calcolo si può dimostrare
che
lim 1 +
𝑥→∞
1 𝑥
𝑥
= lim 1
𝑛→∞
1 𝑛
+
𝑛
= 𝑒,
𝑛∈ℕ
Il numero irrazioanle 𝑒, chiamato numero di
Nepero, dove
e  2.718281828…
Stima del numero di Nepero
n
1
e
2
10
2,5937425
100
2,7048138
1.000
2,7169239
10.000
2,7181459
100.000
2,7182682
1.000.000
2,7182805
Analogamente si prova che
lim 1
𝑥→∞
𝑎 𝑥
+
𝑥
= 𝑒𝑎
2
lim 1 +
𝑥→∞
𝑥
1
lim 1 −
𝑥→∞
𝑥
per ogni 𝑎
𝑥
= 𝑒2
𝑥
=
𝑒 −1
1
=
𝑒
Altri limiti notevoli
Teorema: Valgono le seguenti relazioni
1.
lim 1 + 𝑥
𝑥→0
1
𝑥
=𝑒
2.
log𝑎 (1+𝑥)
lim
𝑥
𝑥→0
3.
ln(1+𝑥)
lim
𝑥
𝑥→0
4.
𝑎𝑥 −1
lim
𝑥→0 𝑥
= ln 𝑎 (𝑎 ≠ 1)
5.
𝑒 𝑥 −1
lim
𝑥→0 𝑥
=1
= log 𝑎 𝑒
(𝑎 ≠ 1)
=1
Dimostrazione:
1. Se poniamo 𝑦 =
2.
log𝑎 (1+𝑥)
lim
𝑥
𝑥→0
1
𝑥
allora 𝑥 → 0 ⇔ 𝑦 → ∞ e quindi
1
lim 1 +
𝑦→0
𝑦
1
𝑥
𝑦
=𝑒
= lim log 𝑎 (1 + 𝑥) = log 𝑎 lim 1 + 𝑥
𝑥→0
3.
ln(1+𝑥)
lim
𝑥
𝑥→0
𝑥→0
1
𝑥
= log 𝑎 𝑒
= log 𝑒 𝑒 = 1
4. Poniamo 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 1, da cui 𝑥 = log 𝑎 (𝑦 + 1)
Notiamo che 𝑥 → 0 ⇔ 𝑦 → 0 e perciò
𝑎𝑥 − 1
𝑦
lim
= lim
=
𝑥→0
𝑦→0 log 𝑎 (1 + 𝑦)
𝑥
1
1
= lim
=
= ln 𝑎
𝑦→0 log 𝑎 1 + 𝑦
log 𝑎 𝑒
𝑦
5. Il limite è una conseguenza del limite precedente per
𝑎 = 𝑒.
q.e.d.
Teorema. Si hanno i seguenti limiti
1.
tan 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
2.
1−cos 𝑥
lim
𝑥2
𝑥→0
=
3.
1−cos 𝑥
lim
𝑥
𝑥→0
=0
4.
arcsin 𝑥
lim
𝑥
𝑥→0
=1
5.
arctan 𝑥
lim
𝑥
𝑥→0
=1
=1
1
2
Dimostrazione:
1.
tan 𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
2.
1−cos 𝑥
lim
𝑥2
𝑥→0
=
3.
=
sin 𝑥 1
lim
𝑥→0 𝑥 cos 𝑥
=
(1−cos 𝑥)(1+cos 𝑥)
lim
𝑥(1+cos 𝑥)
𝑥→0
sin2 𝑥
lim 2
𝑥→0 𝑥 (1+cos 𝑥)
1−cos 𝑥
lim
𝑥
𝑥→0
=
=1
=
=
1−cos2 𝑥
lim 2
𝑥→0 𝑥 (1+cos 𝑥)
sin 𝑥 2
1
lim
𝑥
1+cos 𝑥
𝑥→0
1−cos 𝑥
lim
𝑥
2
𝑥
𝑥→0
=
1
2
1
2
= ⋅0=0
4. Poniamo 𝑦 = arcsin 𝑥 e quindi 𝑥 = sin 𝑦. La funzione
del arcoseno è continua, per cui 𝑥 → 0 ⇔ 𝑦 → 0,
⇒
arcsin 𝑥
𝑦
lim
= lim
=1
𝑥→0
𝑦→0
𝑥
sin 𝑦
5. Poniamo 𝑦 = arctan 𝑥 , da cui 𝑥 = tan 𝑦 ⇒
arctan 𝑥
𝑦
lim
= lim
=1
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
tan 𝑦
q.e.d.
Esercizi
Determinare i seguenti limiti
1.
tan2 𝑥
lim
𝑥→0 1−cos 𝑥
2.
2 sin 𝑥+𝑥 2
lim
𝑥→0 3 tan 𝑥
3.
sin2 𝑥
lim+ 3
𝑥
𝑥→0
1−cos 5𝑥
𝑥2
𝑥→0
4. lim
[2]
[3/4]
[+∞]
[25/2]
Esercizi
Determinare i seguenti limiti
5.
6.
1−cos 2𝑥+sin 3𝑥
lim
𝑥→0 4 tan 𝑥+5 sin2 𝑥
ln 𝑥+5 −ln 5
lim
3𝑥
𝑥→0
[5/4]
[1/15]