PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II
corso di laurea in Fisica - Prof. C. Nitsch e G. Trombetti (a.a. 2016 – 2017)
SERIE E SUCCESSIONI DI FUNZIONI - Convergenza puntuale ed uniforme; caratterizzazione della
convergenza uniforme. Teoremi di continuità del limite per successioni di funzioni continue; teorema di
passaggio al limite sotto il segno d’integrale, teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Analoghi
teoremi per le serie di funzioni, convergenza totale. Criterio di convergenza di Cauchy (Serie di potenze;
caratterizzazione dell’insieme di convergenza di una serie di potenze, raggio di convergenza e teoremi di
D’Alembert e di Cauchy-Hadamard. Raggio di convergenza delle serie derivate e integrate termine a termine.
Caratterizzazione dei coefficienti di una serie di potenze: analiticità della funzione somma. Sviluppabilità in
serie di Taylor, condizioni sufficienti per la sviluppabilità, sviluppi notevoli.
Teorema di continuità del limite.
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme.
Passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Relazione tra convergenza totale e uniforme.
Caratterizzazione dell’insieme di convergenza delle serie di potenze (raggio di convergenza).
Criterio di D’Alembert.
Teorema di integrabilità e derivabilità termine a temine.
Condizione sufficiente alla sviluppabilità in serie di Taylor.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA e CALCOLO DIFFERENZIALE - Cenni su spazi vettoriali normati; completezza.
Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione e punti di frontiera: caratterizzazione degli insiemi chiusi.
Compattezza e caratterizzazione dei compatti di Rn. Convessità e connessione. Funzioni di più variabili.
Continuità e proprietà relative; teorema di Weierstrass e degli zeri nei connessi; uniforme continuità e
teorema di Cantor. Teorema delle contrazioni. Derivate direzionali e derivate parziali; differenziabilità:
teorema del differenziale totale; derivazione delle funzioni composte; funzioni con gradiente nullo negli aperti
connessi. Funzioni omogenee e teorema di Eulero. Derivate parziali di ordine superiore; invertibilità
dell'ordine di derivazione: teorema di Schwarz; Teorema di Lagrange e formula di Taylor. Forme quadratiche
e relativa caratterizzazione. Massimi e minimi relativi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Ricerca
dei massimi e minimi assoluti in un compatto.
Teorema del differenziale totale.
Funzioni a gradiente nullo in un aperto connesso.
Teorema di Eulero per le funzioni positivamente omogenee.
Teorema di derivazione sotto il segno di integrale.
Formula di Taylor e Teorema di Lagrange.
Condizioni necessarie per gli estremi relativi.
Condizioni sufficienti per gli estremi relativi.
CURVE - Curve regolari e generalmente regolari: retta tangente; orientamento di una curva; rettificabilità di
un arco di curva regolare, ascissa curvilinea; cenni su curve biregolari, piano osculatore, curvatura e torsione.
Cenni sulle formule di Frenet. Integrale curvilineo di una funzione con le relative proprietà.
INTEGRAZIONE IN Rn – Definizione e proprietà della misura di Peano-Jordan in Rn. Integrale di Riemann,
proprietà; formule di riduzione; cambiamento di variabili. Volumi di solidi di rotazione. Primo teorema di
Guldino.
Integrabilità delle funzioni continue.
Formule di riduzione per gli integrali multipli nei domini normali.
Cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza e formula di Stokes nel piano.
SUPERFICI - Superfici regolari di R3; piano tangente. Superfici orientabili, superfici con bordo, superfici
chiuse. Superfici cilindriche e superfici di rotazione. Area di una superficie e integrale superficiale. Flusso di
un campo vettoriale attraverso una superficie. Caso n-dimensionale. Secondo teorema di Guldino.
FORME DIFFERENZIALI - Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo. Forme differenziali
esatte: I criterio di integrabilità; forme chiuse, forme differenziali in un rettangolo, forme differenziali in aperti
convessi rispetto ad un punto ; formule di Gauss-Green; II criterio di integrabilità nel piano; teorema della
divergenza. Il rotore e la formula di Stokes in Rn. Il teorema della divergenza in Rn. Cenni sul calcolo
differenziale esterno.
I criterio di integrabilità delle forme differenziali.
Forme differenziali C1: esattezza implica chiusura.
La chiusura implica l’esattezza in rettangoli aperti, in aperti stellati, in aperti semplicemente connessi.
Esattezza delle forme differenziali radiali.
Esattezza delle forme differenziali omogenee chiuse.
II criterio di integrabilità delle forme differenziali.
FUNZIONI IMPLICITE - I e II teorema del Dini per le funzioni di due variabili. Teoremi del Dini per funzioni di
più variabili e per sistemi. Cenni sulla inversione delle trasformazioni puntuali locale e globale. Estremi
vincolati e teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Teorema del Dini per le funzioni di due variabili.
Regolarità delle funzioni implicite.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI - Problema di Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni differenziali:
teorema di esistenza e di unicità in piccolo ed in grande. Equazioni a variabili separabili e ad esse
riconducibili, equazioni lineari del I ordine, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli, equazioni del tipo:
y’= f(ax+by+c), equazioni di Clairaut, equazioni esatte. Equazioni lineari, integrale generale; il metodo di
Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni lineari a coefficienti costanti omogenee e non,
termini noti di tipo particolare. Equazioni di Eulero. Equazioni autonome del I ordine.
Teorema di Cauchy (esistenza e unicità locale).
Teorema di esistenza e unicità globale.
Esistenza del prolungamento massimale.
Equazioni differenziali lineari: Teorema di esistenza e unicità
Teorema sul wronskiano
Teorema sul calcolo dell’integrale generale di un’equazione lineare non omogenea.
Metodo della variazione delle costanti arbitrarie (Lagrange).
Soluzione delle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: polinomio caratteristico.
Richiami sulle matrici. Esponenziale di una matrice e proprietà. Sistemi lineari. Determinante
Wronskiano. Matrice di transizione. Teorema di Liouville. Sistemi lineari omogenei. Rappresentazione
della soluzione. Calcolo esplicito di exp(tA). Integrale generale dei sistemi lineari omogenei. Sistemi
non omogenei. Calcolo di una soluzione particolare con il metodo della variazione della costante
arbitraria. Integrale generale. Sistemi autonomi e proprietà. Punti di equilibrio. Orbite. Cicli. Integrali
primi. Sistemi bidimensionali. Stabilità e stabilità asintotica. Cenni sui problemi ai limiti. Autovalori
ed autofunzioni per equazioni lineari del secondo ordine. Cenni sulle serie di Fourier. Cenni sulle
equazioni alle derivate parziali del secondo ordine equazioni di Laplace, del calore e delle onde. Cenni
sulla misura ed integrazione secondo Lebesgue.
Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.
La parte in grassetto è facoltativa.
In rosso le dimostrazioni obbligatorie
BIBLIOGRAFIA
[1] N.FUSCO-P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Analisi Matematica II, Liguori Editore.
[2] N.FUSCO-P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori Editore.
[3] C.MIRANDA, Lezioni di Analisi Matematica II, Liguori Editore.
[4] E.GIUSTI, Analisi Matematica 2, Boringhieri.
[5] C.D.PAGANI-S.SALSA, Analisi Matematica 2, Zanichelli
