Matematiche complementari I – Capitolo 5. Il periodo di transizione
.
AA. 2005-2006
Lezione 13 - 9 novembre 2005
5.2 Alcuni esempi di soluzione di equazioni di quarto grado. (Continuazione)
5.2.2. Le formule risolutive dell’equazione di quarto grado di Eulero. Eulero è
stato uno dei più grandi matematici di ogni tempo, che ha spaziato in vari campi,
tra cui l’algebra.
Un’equazione di quarto grado completa,
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
può modificarsi mediante una trasformazione a radici aumentate x = y + h, in
Leonhard Euler
(1707-1783)
f IV (h) 4 f III (h) 3 f " (h) 2 f '
(h)
y +
y +
y +
y + f (h) = 0
4!
3!
2!
1!
avendo posto f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Si ha
f’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d;
f”(x) = 12ax2 + 6bx + 2x;
fIII(x) = 24ax + 6b;
fIV(x) = 24a.
Se, come fatto da Cardano per le equazioni di terzo grado, si determina h in modo da annullare
fIII(h), si ha h = −
b
, da cui si ottiene l’equazione
4a
x4 + px2 + qx + r = 0.
(1)
Eulero ha ripreso l’idea di Tartaglia di descrivere l’incognita come somma di incognite, stavolta tre:
x = u + v + w. Di qui si ha x2 = (u2 + v2 + w2) + 2(uv + uw + vw), da cui x2 – (u2 + v2 + w2) =
2(uv+uw+vw). Elevando al quadrato entrambe i membri si ha
x4 – 2(u2 + v2 + w2)x2 + (u2 + v2 + w2)2 = 4(u2v2 + u2w2 + v2w2) + 8uvw(u + v + w)
Ma questa espressione può essere scritta come
x4 – 2(u2 + v2 + w2)x2 – 8uvwx + (u2 + v2 + w2)2 - 4(u2v2 + u2w2 + v2w2) = 0.
Confrontandola con la (1) si possono scegliere u, v e w come le soluzioni del seguente sistema:
u 2 + v 2 + w2 = −
p
2
q
8
(u 2 + v 2 + w 2 ) 2 − 4(u 2 v 2 + u 2 w 2 + v 2 w 2 ) = r
uvw = −
Tenendo conto della prima equazione la terza può semplificarsi ottenendo
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u 2 + v 2 + w2 = −
uvw = −
q
8
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p
2
u 2v 2 + u 2 w2 + v 2 w2 =
p2 r
−
16 4
Si tratta di un sistema algebrico di grado 24. Elevando al quadrato la seconda si ha
u 2 + v 2 + w2 = −
(2)
u 2v 2 w2 =
q2
64
p
2
u 2v 2 + u 2 w2 + v 2 w2 =
p2 r
−
16 4
Con questa trasformazione il sistema è divenuto di grado 48, ma se si considerano come incognite i
quadrati il grado diventa 6. ma ci si è ricondotti alle formule di Viète relativa alle equazioni di terzo
grado in u2, v2 e w2. Si ha dunque che l’equazione di terzo grado
(3)
z3 +
p 2
p2 r
q2
z +
− z−
=0
2
16 4
64
detta la risolvente dell’equazione di quarto grado. Si noti che si tratta di un’equazione completa.
Si noti che il sistema è simmetrico in u2, v2 e w2, sicché se α,β,γ è una soluzione della (3), α,β,γ ,
α,γ,β , β,α,γ , β,γ,α , γ,α,β e γ,β,α sono soluzioni del sistema
α + β +γ = −
p
2
αβ + αγ + βγ =
αβγ = −
q
8
p2 r
−
16 4
Di conseguenza, interpretando in senso complesso l’estrazione di radice, le soluzioni del sistema (2)
sono date da
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α, β, γ
β, α, γ
γ , α, β
α , β ,− γ
β , α ,− γ
γ , α ,− β
α ,− β , γ
β ,− α , γ
γ ,− α , β
α , − β ,− γ
β ,− α ,− γ
γ ,− α , − β
α, γ , β
β, γ, α
γ, β, α
α , γ ,− β
β , γ ,− α
γ , β ,− α
α ,− γ , β
β ,− γ , α
γ ,− β , α
α ,− γ ,− β
β ,− γ ,− α
γ ,− β , − α
− α, β, γ
− β, α, γ
− γ , α, β
− α , β ,− γ
− β , α ,− γ
− γ , α ,− β
− α ,− β , γ
− β ,− α , γ
− γ ,− α , β
− α ,− β ,− γ
− β ,− α ,− γ
− γ ,− α ,− β
− α, γ , β
− β, γ, α
− γ, β, α
− α , γ ,− β
− β , γ ,− α
− γ , β ,− α
− α ,− γ , β
− β ,− γ , α
− γ ,− β , α
− α ,− γ ,− β
− β ,− γ , − α
− γ ,− β ,− α
Di questi 48 casi, sfruttando la proprietà commutativa dell’addizione alcuni dànno luogo alla stessa
soluzione dell’equazione di quarto grado (la cosa è messa in evidenza con il bordo o lo sfondo dello
stesso colore). Si può semplificare considerando solo le otto caselle della prima colonna con il
bordo colorato trascurando le caselle che hanno lo sfondo colorato.
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Poiché nel procedimento si è elevato al quadrato, si sono introdotte soluzioni ‘improprie’. Come per
l’equazione di terzo grado bisogna ora determinare solo i valori di u,v e w tali che uvw = −
q
. Dato
8
che si tratta del prodotto di tre quantità, c’è la possibilità di considerare l’opposto di due di esse
senza alterare il segno del loro prodotto. Se quindi u0,v0,w0 sono soluzioni del sistema (2) che
q
soddisfano la condizione u0v0 w0 = − , anche le terne u0, - v0, -w0; -u0, v0, -w0 e –u0, -v0, w0
8
soddisfano la stessa condizione, sicché le soluzioni della (1) sono ottenute raggruppando in due casi
le otto soluzioni rimaste da considerare tra le soluzioni del sistema (2) e precisamente sono date
come somma dei tre valori che compaiono nelle terne
ordinate della prima o della seconda colonna,
x1 = u0 + v0 + w0;
x2 = u0 - v0 - w0
x3 = -u0 + v0 - w0
x4 = -u0 -v0 + w0.
1° caso
2° caso
α, β, γ
α , β ,− γ
α ,− β ,− γ
α ,− β , γ
− α , β ,− γ
− α, β, γ
− α ,− β , γ
− α ,− β ,− γ
Il discriminante dell’equazione di quarto grado nella forma (1) è il discriminante dell’equazione
(completa) di terzo grado della risolvente cubica (3), pertanto la (1) avrà soluzioni coincidenti se e
solo se le ha la (3).
Il procedimento di Eulero è quello che si trova più frequentemente sui libri di testo di Algebra. Esso
è interessante perché evita le scelte ad hoc dei singoli casi richiedendo di volta in volta di
aggiungere termini opportuni, come invece aveva ideato Ferrari.
Un altro motivo di interesse storico è il fatto che Eulero scrive nel 1732 in De formis radicum
aequationum cujusque ordinis conjectatio e lo ribadisce in una seconda opera del 1762, De
resolutione aequationum cuiusvis gradus, che le soluzioni di un’equazione algebrica di qualsivoglia
grado può essere ottenuta come somma di radicali, in vario modo. Di fatto nella prima opera citata
mostra che in questo tipo di soluzione rientrano quelle di terzo e quarto grado, ipotizzando che
opportune trasformazioni avrebbero portato il risultato anche nel caso di grado superiore a 4.
5.3 Dal 1770 in poi.
L’epoca di transizione solitamente si fa terminare con 1770, anno di pubblicazione negli Atti
dell’Accademia di Berlino di Réflexions sur la résolution algébrique des équations di Lagrange. E’
anche l’anno di pubblicazione di Meditationes algebricae di Waring e l’anno in cui fu composta e
letta all’Académie, Mémoires sur la résolution des équations di Alexandre Vandermonde (1735 –
1796), pubblicata quattro anni più tardi.
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Waring portò a termine il processo di simbolizzazione iniziato con Viète ed
introdusse le radici primitive dell’unità.
Vandermonde cercò con scarso successo di esprimere le radici di una generica
equazione mediante le radici dell’unità.
L’opera di Lagrange si rivelò fondamentale per gli studi successivi. In essa il
matematico torinese fece una sorta di sinossi di tutti gli studi precedenti. Avendo
Edward Waring
(1736-1798)
ricevuto la sua formazione in Italia portò i risultati degli algebristi italiani a conoscenza della più
vasta platea europea, visto anche l’importanza della sua posizione scientifica all’Accademia di
Berlino (e poi in quella di Parigi).
Nella sua analisi cercò di chiarire i processi risolutivi delle equazioni fino al quarto grado ponendo
attenzione sul concetto di trasformazione del dominio numerico in cui si considera il polinomio.
Egli provò che la generalizzazione dei metodi usati per i gradi inferiori a cinque portavano nel caso
dell’equazione di quinto grado ad un’equazione di sesto. Di qui avanzò l’ipotesi che tale tipo di
equazione (e più generalmente di quelle di grado superiore al quarto) non fosse risolubile (per
radicali.
Le ipotesi di Lagrange trovarono conferma nell’opera di Ruffini, Teoria generale delle equazioni in
cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto, del
1799. Nella prefazione afferma
«La soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto è sempre impossibile. Ecco un
teorema troppo importante nelle Matematiche, che io credo, seppure non erro, di poter asserire, e di cui la
dimostrazione quella si è, che principalmente mi ha spinto alla pubblicazione del seguente volume. L’immortale
La Grange […] ha somministrato il fondamento della mia dimostrazione: conveniva dunque premettere a questa,
per maggiore intelligenza un ristretto di simili riflessioni».
In essa oltre a quanto promesso dal titoli sono presenti molti risultati di interesse per l’Algebra
come l’impossibilità di risolvere il caso irriducibile senza usare i numeri complessi e la ‘regola’ di
Ruffini nota dalle scuole superiori. L’attenzione di Ruffini è focalizzata su quelle di grado 5.
Inoltre Ruffini mostra l’importanza del concetto di gruppo di trasformazioni (senza usare il termine
gruppo), del concetto di gruppo transitivo e di gruppo primitivo, ed il fatto che esiste un gruppo di
60 elementi, il gruppo alterno delle permutazioni su 5 oggetti, che non ha sottogruppi normali non
banali. Tutto ciò senza avere il concetto di tabella a doppia entrata né di sottogruppo normale.
Queste carenze di tipo linguistico rendono oscuro e difficile il suo testo. Ci sono anche alcuni errori
che furono individuati da matematici suoi contemporanei e sistemati in altre redazioni, che si
susseguirono negli anni 1802, 1803, 1805, 1806 e nella stesura finale del 1813.
Ruffini si occupò anche della soluzione numerica di equazioni di grado anche superiore al quinto.
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I risultati di Abel, ottenuti dal matematico norvegese nel 1824 per via del tutto indipendente,
provarono che le equazioni generali di grado superiore al quarto non erano risolubili. Solo dopo la
pubblicazione venne a conoscenza del lavoro di Ruffini che giudicò complicato e non sempre
soddisfacente.
In un lavoro apparso postumo nel 1829, Abel determinò alcuni casi in cui
un’equazione poteva essere risolubile per radicali.
Questo tipo di considerazioni venne ripreso dal Galois che nel
1832, la sera prima di morire, mise su carta le sue idee sulle
Niels Abel
(1802-1829)
condizioni di risolubilità per radicali delle equazioni di grado
superiore al quarto, sotto forma di lettera. Con questo documento
breve Galois aprì la via alla considerazione dei gruppi, dei gruppi risolubili, dei
campi, delle estensioni dei campi, degli automorfismi e di tanti altri concetti che
richiesero circa 100 anni ad essere chiariti e a divenire l’Algebra di oggi.
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Evariste Galois
(1811-1832)
Matematiche complementari I – Capitolo 6. Origini pratiche e concettuali della Matematica..
AA. 2005-2006
Capitolo 6. Origini pratiche e concettuali della Matematica.
6.1. Sei domande… senza risposta.
Si intende investigare le origini pratiche e concettuali della Matematica, i caratteri del suo sviluppo,
non in senso storico, ma in termini intrinseci.
Il motivo ispiratore è quello di offrire una lettura unitaria delle varie parti
studiate nel corso di Matematica per cercare le origini di tale unità. Mi
avvalgo ampiamente del testo di Mac Lane (1909-2005), Mathematics Form
and Function, Springer, Berlin, 1986, che si pone l'
obiettivo di illustrare, a
parere dell'
autore, quale sia la funzione della Matematica e quale ne sia la
Saunders Mac Lane
(1909-2005)
forma. Si tratta di una riflessione di carattere filosofico, che però richiede prima l'
osservazione di
cosa sia la Matematica oggi. Per questo prima di affrontare la questione si passano in rassegna
alcuni dei contenuti matematici fondamentali perché una filosofia della Matematica che non sia
fortemente ancorata alla disciplina stessa rischia di non essere convincente.
Per chiarire origini pratiche e concettuali della Matematica ci si può avvalere di una specie di
"scaletta"" data dai seguenti sei quesiti:
1) Qual è l'
origine della Matematica? La domanda richiede di andare a cercare al di fuori
della Matematica stessa le ragioni che hanno portato, ad esempio, all'
aritmetica, all'
algebra, alla
geometria, ai teoremi ed alle teorie matematiche. In questo modo si mette in evidenza che c'
è una
componente empirista anche nella Matematica. Non è detto però che le ragioni dello sviluppo siano
da cercarsi solo al di fuori della nostra disciplina. Anche l'
immaginazione e l'
introspezione possono
essere sorgenti di risultati matematici. Ciò porta però alla domanda se la Matematica sia scoperta o
inventata.
2) Qual è l'
organizzazione della Matematica? Oggi si tratta di un argomento vasto e molto
differenziato e di per sé richiede un'
organizzazione sistematica assai estesa. C'
è una suddivisione
tradizionale in quattro parti, come si può riscontrare anche dall'
organizzazione del corso di laurea:
Algebra, Analisi, Geometria, Matematica Applicata. Ci si rende conto però presto che si sono forse
tralasciati interi campi o che altri sono a cavallo di questi. Ad esempio, lo studio dell'
analisi
complessa è argomento di Analisi o di Geometria. Così la Teoria dei numeri viene collocata sia in
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Matematiche complementari I – Capitolo 6. Origini pratiche e concettuali della Matematica..
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Algebra che in Analisi. La Geometria algebrica o differenziale in quale delle suddivisioni va
considerata? E il Calcolo delle Probabilità e la Logica matematica?
I quattro grandi campi possono a loro volta essere suddivisi in modo più fine: sono argomenti che
vengono riconosciuti come pertinenti all'
Algebra quelli di Teoria dei Gruppi, Algebra commutativa,
Algebra lineare (o è Geometria?).
Ogni suddivisione della Matematica in settori è necessariamente imprecisa e costringe a
sovrapposizioni e ad ambiguità. La soggettazione più recente dei lavori di ricerca matematica
(AMS) presenta numerose difficoltà e ha, ad esempio, introdotto una nuova voce relativa alla
Psicologia della Matematica ed all'
Insegnamento della Matematica. Ma viene da chiedersi se la
reale organizzazione della Matematica non possa semplicemente essere ottenuta mediante un
metodo di suddivisione in settori separati (una partizione) o se invece non ci sono metodi più
profondi, più filosofici, che spieghino l'
organizzazione della Matematica. L'
idea
dell'
organizzazione di una scienza è di matrice positivista. Su di essa ha scritto
Auguste Comte (1798 - 1857) (un matematico, era esercitatore di Analisi
all'
École Politechnique, prestato alla filosofia) proponendo un'
organizzazione
lineare delle scienze. Questo paradigma però non regge alla
prova dei fatti, come ha mostrato anche Speranza 1. Non è
possibile trovare cosa deve essere fatto prima e cosa dopo,
Auguste Comte
(1798-1857)
costruendo un ordine lineare della Matematica. Ci si può inoltre chiedere se
esistono parti della Matematica che non sono importanti o che, al momento,
Francesco Speranza
(1932 -.1998)
possono essere non adeguatamente comprese. Se si riuscisse a trovare
un'
impostazione fondazionale che fornisse una buona organizzazione della
Matematica si potrebbe rispondere a queste domande.
Per Mac Lane l'
idea guida è mostrare come in ogni campo appaiano aspetti che mettono in luce
(oggi) la natura formale. I problemi effettivi richiedono spesso calcoli, ma i calcoli richiedono a
loro volta regole e queste servono ad evitare una continua attenzione ai connotati del problema. Può
essere poi una sorpresa osservare o constatare che i calcoli vanno d'
accordo con i fatti (il successo
della Matematica).
Le dimostrazioni in Geometria hanno un loro fluire logico a partire dagli assiomi, ma i risultati
dimostrati come teoremi poi sono in accordo con il "mondo". Va perciò analizzata la relazione tra
formale e "reale". Questo porta al terzo problema:
1
Speranza F.: 1993, '
La classificazione delle Scienze: un problema concreto con fondamenti epistemologici’, Rivista di
Matematica dell'
Università di Parma, ser. 5, vol. 2, 159 - 170, ristampato su Speranza F.: 1997, Scritti di Epistemologia
della Matematica, Pitagora Editrice, Bologna, 103 - 112.
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