Soluzione esame 01-25

Esame 25/01/17
1. Supponiamo di poter pensare al corpo umano come ad una struttura a mescolamento perfetto, se
si accetta questa ipotesi con
riferimento allo schema a fianco
Uscente
Corpo umano a mesc. perfetto
potremo scrivere il bilanci di
Costante di espulsione del
materia per l’antitumorale “A”
Volume interessato Va
1°ordine kt
nella seguente forma
Concentrazione AT CA
dC A
Va
 V A k t C A
dt
Accumulo
Espulso dall’organismo
nell’organismo
con una cinetica del 1° ordine
Integrando dopo aver operato le semplificazioni è
dC A
 k t dt  C A (t )  exp[k t t ]   .  può
CA
essere determinata imponendo la condizione al contorno CA(t)=Co per t=0. Si ottiene
C A (t )  Co  exp[k t t ]
 C (t ) 
Per regressione lineare dei dati sperimentali nella forma Ln  A  vs. t si otterrà una retta la cui
 Co 
pendenza varrà –kt.
2. E’
d bgiCim
dpi
d
m
pi   bgiCi 

dt
dt
dt


bgi non è altro che il rapporto fra le due costanti di equilibrio bi (membrana sangue) e gi (gas
membrana), quindi essa stessa costante. Cim è la concentrazione del componente “i” nel sangue
del capillare, se riteniamo questo a mescolamento perfetto nel capillare è costante, quindi è
d bgiCim
dt
Quindi
0.


dp
d
pi   bgiCim  i
dt
dt
[pi]
pressione parziale del componente “i” Pa;
bi=CbiB/ Cim
costante di equilibrio Membrana Sangue adimensionale;
gi=CgiB/ pi
costante di equilibrio Gas Membrana adimensionale;
bi=CbiB/ Cim
Cim
costante di equilibrio Membrana Sangue adimensionale;
concentrazione di “i” nel sangue del capillare mg/l.
3. Si consideri l’arteria come un condotto orizzontale che convoglia il sangue. Possiamo ipotizzare
che fra un punto sulla superficie dell’arteria (S) ed un punto sul suo asse (C) esista un condotto
tubolare (naturalmente fittizio). Nella figura a
S
fianco è riportato uno schema della struttura
ipotizzata, in rosso è indicata l’arteria ed in giallo il
C
tubo fittizio che collega i due punti “S” e “C”.
Nel tubo fittizio giallo applichiamo fra i punti S e C il teorema di Bernoulli, che assumerà la forma
hS g 
1 2
1
v S  PS  hC g  vC2  PC
2
2
dove naturalmente i pedici “S” e “C” riferiscono la grandezza al punto sulla superficie ed al punto
al centro rispettivamente.
Se supponiamo 2 cm il diametro dell’arteria è g(hS-hC)=98 Pa (≈0,7 mmHg) quindi trascurabile,
inoltre vS=0 (velocità lungo l’asse del tubo quindi normale alla parete) si avrà pertanto
PS  PC 
1 2
vC
2
1 2
vC  200 Pa ( 1,5 mmHg ) ]. Quindi la differenza fra la
2
pressione misurabile in superficie (non invasiva) è quella misurabile al centro (più corretta ma
anche notevolmente invasiva) è circa 1,5 mmHg che rispetto ai valori misurati (dell’ordine di 100
mmHg) è sicuramente una quantità trascurabile.
[posto che nelle arterie è vmax20cm/s è
4. Se si modella l’organismo con una struttura a mescolamento perfetto e si suppone che il farmaco
venga espulso dai
CL/CF
reni avremo la
Organismo a mescolamento perfetto ,
struttura
rene
volume Va, concentrazione del farmaco CF
schematizzata nella
CL/0
figura a fianco sulla
dC A
quale possiamo sviluppare le equazione di bilancio nella forma Va
 V A k R C A da cui
dt
integrando ed imponendo la condizione al contorno CF(0)=Co si ha
C A (t )
 C (t ) 
 EXP[k R t ] o anche Ln  A   k R t
Co
 Co 
Nota la costante di espulsione del primo ordine kR e sapendo che CF=0,1 Co potremo calcolare il
tempo necessario dalla relazione
t
1
Ln[0,1]
kR
5. Quando si somministra un farmaco rapidamente, senza che intervengano fasi intermedie di
assorbimento e senza che la somministrazione coinvolga un
C
tempo così lungo da poterla considerare continua, la sua
concentrazione nel sangue decade nella forma indicata nel
grafico a fianco. La massima concentrazione di farmaco che noi
potremo avere è 8 mg/l quindi la massima dose che potremo
somministrare per la prima volta sarà pari a
t
D1=Va*CMAX = 10* 8= 80 mg
Il tempo di dimezzamento è definito come il tempo necessario perche la concentrazione nel
sangue si dimezzi, Con l’ausilio di questo concetto potremo costruire la seguente tabella
CF [mg/l]
8
4
2
t [h]
0
2
4
Intervallo
t1/2 | t1/2
In questa tabella si riporta che se la concentrazione iniziale è 8 mg/l dopo 2 ore(t 1/2) diviene 4 mg/l
dopo altre 2 ore diviene 2 mg/l. Quello che dobbiamo calcolare è il tempo necessario alla
concentrazione per passare dal valore massimo che è 8 mg/l al valore minimo che è 2 mg/l.
L’esame della tabella mostra che questo tempo è pari a 4 h.
La seconda dose (ma anche la terza la quarta e così via) deve essere tale da riportare la
concentrazione del farmaco dal valore minimo (2 mg/l) al valore massimo (8 mg/l) avremo cioè
D1=Va *(CMAX-Cmin)= 10*6=60 mg
6. La quantità di A su cui è incentrato il nostro interesse non è quella che è presente quando
l’equilibrio viene raggiunto ma la quantità di A
A
che dobbiamo mettere in soluzione A°) perché si
raggiunga un equilibrio tale da supportare la
A°
B
quantità di C attiva. Lo schema di evoluzione può somministra
essere rappresentato graficamente come nella
C
to
all’equilibrio
figura a fianco, le molo di A somministrate in
quantità A° danno luogo all’equilibrio che può essere rappresentato dalla seguente reazione A
B+C, su questa reazione chimica di equilibrio potrà naturalmente essere scritta la formula
della costante di equilibrio.
Avremo pertanto la seguente situazione:
Incognite del problema 5 CAo; CA; CC; CB; K
essendo CAo la concentrazione della specie A come risulterebbe dalla dose somministrta prima che
la reazione abbia modo di evolvere; CA la concentrazione di A all’equilibrio; CC a concentrazione di
C all’equilibrio; CB la concentrazione di B all’equilibrio
Equazioni stechiometriche
Va(CAo-CA)=VaCC Moli di A reagite uguagliano le moli di C formate (equazione 1)
VaCB=VaCC Moli di B formate uguagliano le moli di C formate (equazione 2)
Equazione di equilibrio: K 
C B CC
(equazione 3)
CA
Dati: 2 K=1; CC=1
Il problema è, dal punto di vista matematico, risolubile essendo 0 il suo grado di libertà.
Dalla eq. 2 CB=CC=1; dalla eq. 3 e dai dati disponibili CC2=CA=1; dalla eq. 1 CAo-CA=CC=1 da cui CAo=2
7. Poiché nelle arterie sia senza stenosi che con la stenosi il moto evolve in regime laminare
dovremo applicare l’equazione di Hagen Poiseuille Q 
PR 4
questa equazione dovrà
8L
naturalmente essere applicata all’arteria senza restringimento ed all’arteria parzialmente occlusa
QA 
PRA4
portata nell’arteria integra
8L
QO 
PRO4
portata nell’arteria parzialmente occlusa
8L
Le due equazioni possono essere divise ottenendo
Q A P / 8L R A4


QO P / 8L RO4
Tenendo conto che una riduzione del diametro del 20% vuol dire che R O=0,80*RA sarà
4
QA  RA 

  2,44
QO  0,80  R A 