Soluzioni Esercizi Algebra 8
Soluzioni Esercizio 1.
1.
• (R3 , +) è un gruppo abeliano
Utilizzando le proprietà della somma fra numeri reali si verifica
facilmente che R3 è chiuso rispetto a + e che (R3 , +) è un gruppo
abeliano. In particolare si ottiene 0R3 = (0, 0, 0) e −(a, b, c) =
(−a, −b, −c). In questo caso la somma coincide con la somma
standard che si definisce generalmente in un prodotto diretto di
anelli (che è anche la somma di R3 visto come spazio vettoriale). Omettiamo quindi la verifica formale degli assiomi di gruppo
abeliano.
• (R3 , ·) è un semigruppo
Visto che la somma e il prodotto fra numeri reali sono operazioni
interne otteniamo che per ogni x, y ∈ R3 vale che x · y ∈ R3 per
cui R3 è chiuso rispetto all’operazione considerata.
Dimostriamo l’associatività in (R3 , ·).
Infatti per ogni (a, b, c), (d, e, f ), (g, h, i) ∈ R3 otteniamo che
[(a, b, c) · (d, e, f )] · (g, h, i) =
=
=
=
=
=
[(ad, ae + bf, cf )] · (g, h, i)
(adg, adh + (ae + bf )i, cf i)
(adg, adh + aei + bf i, cf i)
(adg, a(dh + ei) + bf i, cf i)
(a, b, c) · (dg, dh + ei, f i)
(a, b, c) · [(d, e, f ) · (g, h, i)]
• Distributività
Per ogni (a, b, c), (d, e, f ), (g, h, i) ∈ R3 otteniamo che
(a, b, c) · [(d, e, f ) + (g, h, i)] =
=
=
=
=
=
1
(a, b, c) · (d + g, e + h, f + i)
(a(d + g), a(e + h) + b(f + i), c(f + i))
(ad + ag, ae + ah + bf + bi, cf + ci)
(ad + ag, ae + bf + ah + bi, cf + ci)
(ad, ae + bf, cf ) + (ag, ah + bi, ci)
[(a, b, c) · (d, e, f )] + [(a, b, c) · (g, h, i)]
ed inoltre
[(d, e, f ) + (g, h, i)] · (a, b, c) =
=
=
=
=
=
(d + g, e + h, f + i) · (a, b, c)
((d + g)a, (d + g)b + (e + h)c, (f + i)c)
(da + ga, db + gb + ec + hc, f c + ic)
(da + ga, db + ec + gb + hc, f c + ic)
(da, db + ec, f c) + (ga, gb + hc, ic)
[(d, e, f )) · (a, b, c)] + [(g, h, i) · (a, b, c)]
A questo punto abbiamo concluso la verifica degli assiomi necessari
a dimostrare che (R3 , +, ·) è un anello.
• (R3 , +, ·) è un anello con unità
Si può verificare che (1, 0, 1) è l’elemento neutro del prodotto
introdotto in R3 cioè si verifica per ogni (a, b, c) ∈ R3 che
(a, b, c) · (1, 0, 1) = (1, 0, 1) · (a, b, c) = (a, b, c).
(Per scoprire qual è l’elemento neutro si può provare a risolvere l’equazioni individuate dall’uguaglianza (a, b, c) · (x, y, z) = (ax, ay +
bz, cz) = (a, b, c).)
2. Per provare che (R3 , +, ·) non è un anello commutativo bisogna trovare
una coppia di elementi di R3 che non commuta rispetto al prodotto
per esempio (1, 2, 1) e (1, 3, 2). Infatti abbiamo che (1, 2, 1) · (1, 3, 2) =
(1, 7, 2) e (1, 3, 2) · (1, 2, 1) = (1, 5, 2).
3. Dimostreremo che l’insieme dei divisori dello zero coincide con il seguente
insieme D:
D = {(a, b, c) ∈ (R3 \ {(0, 0, 0)})| a = 0 o c = 0}.
In questa verifica useremo ripetutamente il fatto che R è un campo e
quindi un dominio di integrità cioè se x, y ∈ R sono tali che xy = 0
allora o x = 0 o y = 0.
Dimostriamo prima che se (a, b, c) è un divisore dello zero allora è contenuto in D. Sia (a, b, c) 6= (0, 0, 0) un divisore dello zero allora esiste
(d, e, f ) 6= (0, 0, 0) tale che
(a, b, c) · (d, e, f ) = (0, 0, 0) oppure (d, e, f ) · (a, b, c) = (0, 0, 0).
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Consideriamo il primo caso e supponiamo per assurdo che sia a che c
siano non nulli, ma (a, b, c) · (d, e, f ) = (0, 0, 0) implica che ad = 0 e
cf = 0 da cui si ricava d = f = 0. Infine deve valere anche ae + bf = 0
e dato che b = 0 e a 6= 0 si ricava che anche e deve essere uguale a
zero; questo porta ad una contraddizione in quanto abbiamo supposto
(d, e, f ) 6= (0, 0, 0).
Ora consideriamo il secondo caso e di nuovo ragioniamo per assurdo
supponendo a e c entrambi non nulli; analogamente al primo caso si
ottiene subito che d = f = 0. In questo caso la terza equazione è
db + ec = 0 che implica ec = 0 da cui si ricava e = 0 ottenendo
nuovamente una contraddizione.
Dimostriamo ora che ogni elemento di D è un divisore dello zero. Sia
(a, b, c) ∈ D allora (d, e, f ) 6= (0, 0, 0) e uno fra a e c è uguale a zero.
Se a = 0 otteniamo (a, b, c) · (1, 0, 0) = (0, 0, 0) con (1, 0, 0) 6= (0, 0, 0),
invece se c = 0 otteniamo che (0, 0, 1) · (a, b, c) = (0, 0, 0) con (0, 0, 1)
diverso da (0, 0, 0), in ogni caso (a, b, c) è un divisore dello zero.
(Per scoprire quali sono i divisori dello zero si cerca di risolvere l’equazioni individuate dall’uguaglianza (a, b, c) · (e, d, f ) = (0, 0, 0).)
4. Dimostreremo che l’insieme degli elementi invertibili coincide con il
seguente insieme J:
J = {(a, b, c) ∈ R3 | a 6= 0 e b 6= 0}.
Supponiamo prima che un elemento sia invertibile e dimostriamo che
è contenuto in J. Se (a, b, c) è invertibile allora esiste (d, e, f ) tale che
(a, b, c) · (d, e, f ) = (1, 0, 1); questo implica che ad = 1 e cf = 1 da cui
si ricava a 6= 0 e c 6= 0
Consideriamo ora un elemento (a, b, c) ∈ J e dimostriamo che è invertibile. Se (a, b, c) ∈ J sia a che b sono diversi da zero per cui esistono
gli inversi 1/a e 1/b. Si calcola facilmente che
(a, b, c) · (1/a, −b/(ac), 1/c) = (1/a, −b/(ac), 1/c) · (a, b, c) = (1, 0, 1)
da cui si ottiene la tesi.
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5. (I, +) è un sottogruppo di (R3 , +)
Osserviamo che I è non vuoto. Inoltre se (a, b, c), (e, d, f ) ∈ I allora
b = d = 0 e quindi (a, b, c) − (e, d, f ) = (a − b, 0 − 0, c − f ) ∈ I.
(I, ·) è un sottosemigruppo di (R3 , ·)
Se (a, b, c), (e, d, f ) ∈ I allora b = d = 0 e quindi otteniamo che il
prodotto (a, b, c) · (e, d, f ) = (ab, a0 + 0c, cf ) ∈ I.
6. Siccome l’unità di (R3 , +, ·) è (1, 0, 1) che è contenuta in I allora (1, 0, 1)
sarà l’unità anche di I.
Soluzioni Esercizio 2. Scegliamo di dimostrarlo usando l’induzione su m.
Per m = 1 dobbiamo dimostrare che (na) · b = n(a · b) per ogni intero n.
Infatti usando la proprietà distributiva otteniamo:
(na) · b = (a + . . . + a) ·b = (a · b + . . . + a · b) = n(a · b)
{z
}
|
{z
}
|
n volte a
n volte ab
Consideriamo ora il passo induttivo supponendo vera la proposizione per
m e dimostrando che è vera per m + 1.
(na) · ((m + 1)b) = (na) · (mb + b)
= ((na) · (mb)) + ((na) · b)
(na · mb) + (n(a · b))
(nm)(a · b) + n(a · b)
(nm + n)(a · b) = (n(m + 1))(a · b)
(Distributività)
(Proposizione per m = 1 )
(Ipotesi induttiva)
Soluzioni Esercizio 3.
1. Sfruttando le proprietà di ψ e φ, omomorfismi di anelli, possiamo
facilmente ricavare per ogni x, y ∈ A le seguenti uguaglianze:
ψ ◦ φ(x + y) = ψ(φ(x + y)) = ψ(φ(x) + φ(y)) =
=
ψ ◦ φ(x · y) = ψ(φ(x · y)) = ψ(φ(x) · φ(y)) = =
=
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ψ(φ(x)) + ψ(φ(y)) =
ψ ◦ φ(x) + ψ ◦ φ(y)
ψ(φ(x)) · ψ(φ(y)) =
ψ ◦ φ(x) · ψ ◦ φ(y).
2. Siano z e w elementi di B; sfruttando la funzione inversa possiamo
definire x = φ−1 (z) e y = φ−1 (w) da cui seguono z = φ(x) e w = φ(y);
otteniamo cosı̀:
φ−1 (z+w) = φ−1 (φ(x)+φ(y)) = φ−1 (φ(x+y)) = x+y = φ−1 (z)+φ−1 (w)
φ−1 (z · w) = φ−1 (φ(x) · φ(y)) = φ−1 (φ(x · y)) = x · y = φ−1 (z) · φ−1 (w).
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