Tempo di ritorno

Complemento: il tempo di ritorno
Il tempo di ritorno
Uno stimatore particolarmente interessante per l’utilizzazione pratica dei risultati delle analisi
statistiche è il tempo di ritorno. Tale parametro esprime il numero medio di osservazioni
necessarie affinché un dato evento si verifichi. Questo stimatore è ovviamente legato in senso
stretto al concetto di probabilità ma riformula il problema in termini diversi e fornisce uno
strumento immediatamente fruibile per le applicazioni. Pertanto, anziché parlare di probabilità che
la portata d’acqua di un dato condotto ecceda la soglia di allarme, si privilegia il concetto che dopo
un tempo medio, il tempo di ritorno, la portata d’acqua eccede il livello di soglia.
Sia x una variabile casuale e f(x) una densità di probabilità: la probabilità che si verifichi un
evento in cui x appartiene ad un dato insieme E=(a,b) risulta essere:
b
P(E) = prob(x∈E) =
∫ f (x)dx
(1)
a
Consideriamo una successione di osservazioni, eseguite sulla variabile x indipendentemente l’una
dall’altra; chiaramente, solo per alcune osservazioni il valore di x appartiene all’intervallo (a,b). Si
voglia determinare la probabilità che, dopo m-1 osservazioni successive ed indipendenti,
appartenenti all’intervallo E, l’m-esima osservazione non vi appartenga. Tale probabilità vale
evidentemente:
P(E)m-1 [1- P(E)]
(2)
Questo concetto resta valido anche nel caso di una variabile discreta. Sia infatti n una variabile
casuale disceta e sia pn la probabilità che un’osservazione determini il numero n. Se E è un insieme
di valori che n può assumere, allora la probabilità che un’osservazione giaccia entro E vale:
P(E) =
∑p
n ∈E
(3)
n
Anche in questo caso, la probabilità che si verifichino m-1 osservazioni consecutive ed
indipendenti di n in E ed una finale esterna ad E fa sì che la (2) resti valida con la nuova
espressione della probabilità (3).
Ad esempio, se n rappresenta il numero letto sulla faccia di un dado dopo una gettata,
ovviamente si ha pn=1/6, n=1,…,6. Se E={1,2,3,4,5}, P(E)=5/6 è la probabilità di non ottenere un
“6” con una gettata. Applicando la (1), la probabilità non ottenere un “6” alla prime due gettate e
di ottenerlo alla terza vale pertanto 5/6⋅ 5/6⋅ 1/6=25/216. Naturalmente, pur essendo la probabilità
di ottenere un “6” sempre eguale a p6=1/6, non vi è garanzia che dopo un certo numero di gettate il
“6” esca veramente; si può invece certamente affermare che è sempre più improbabile che un “6”
non esca per un numero molto grande di gettate consecutive.
Sia nel caso di una variabile casuale continua o discreta, l’ottenimento di una data
osservazione m-1 volte consecutive (x appartenente ad E) e il non ottenimento alla m-esima
VINCENZO GUIDI
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osservazione (x non appartenente ad E) definisce una nuova variabile casuale discreta, m. Questa
variabile casuale può assumere un qualunque valore intero positivo ed è caratterizzata da una
propria distribuzione di probabilità, espressa dalla probabilità composta (2).
pm = P(E)m-1 [1- P(E)]
(4)
Effettivamente pm è una distribuzione di probabilità, in quanto risulta verificata la condizione di
normalizzazione, cioè:
+∞
∑p
m =1
m
+∞
+∞
m =1
m=0
= ∑ P(E) m−1[1 − P(E)] = [1− P(E)]∑ P(E)m = 1.
E’ pertanto possibile determinare il numero medio della variabile casuale m:
m=
+∞
+∞
m =1
m =1
+∞
d
1
P(E)m =
1 − P(E)
m =0 dP
∑ m ⋅ pm = ∑ mP(E) m−1[1 − P(E)] = [1− P(E)] ⋅ ∑
(5)
Tale valore medio è anche detto tempo di ritorno, T(E), e dà una misura del tempo necessario,
espresso in unità di campionamento, che un dato fenomeno non appartenga all’insieme E dopo
m-1 eventi consecutivi in E.
T(E) =
1
1− P(E)
(6)
Esempio 1
In riferimento all’esempio precedente, si era calcolato P(E)=5/6, da cui si deduce T(E)=6, ovvero
esce un “6” in media dopo 6 gettate — un risultato abbastanza intuitivo a priori. n
Se è un valore di soglia, la probabilità che una variabile casuale x non ecceda , vale:
P( ) = prob(x< ) =
∫ f (x)dx ,
inf
dove si è integrato a partire dall’estremo inferiore dell’insieme di definizione della variabile x fino a
. In tale circostanza, il tempo di ritorno vale:
T( ) =
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1
.
1− P( )
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Esempio 2
Consideriamo, per esempio, la distribuzione del massimo mensile di portata al colmo di un corso
d’acqua (assumendo per semplicità che la distribuzione sia sempre la stessa per i 12 mesi
dell’anno). Poiché il massimo si osserva una volta al mese, anche il tempo di ritorno risulta
espresso in mesi. Per esprimere il tempo di ritorno in anni occorre dividere per dodici il valore
ricavato dalla formula. Così, per esempio, il tempo di ritorno della portata che nella distribuzione
del massimo mensile ha probabilità di non superamento uguale a 0.98 risulta uguale a 50 se
espresso in mesi e a 4.17 se espresso in anni. n
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