variabili casuali File

S
S
Definisco una funzione f(x)
1
all’uscita di T associo il numero 0 e all’uscita di C il
numero 1, faccio la somma dei risultati e moltiplico per 3
E1 : T;T
S = E2 : T;C
Ω
E3 : C;T
E4 : C;C
Xi
0
3
6
P(Xi )____
1/4 = 0,25
2/4 = 0,50
1/4 = 0,25
1,00
Ad ogni evento viene associato un numero reale Xi che ha
una certa probabilità p(Xi ) di manifestarsi
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Variabili Casuali (v.c.)
Una variabile casuale X e’ una funzione definita
sullo spazio campionario S che associa ad ogni
evento E  S un unico numero reale.
Insieme dei
numeri reali
X
x6

S spazio
campionario
E3
E2
x5
E1
E6
E5
E4
E7
E9
x4
E8
x3
x2
x1
3
Variabili casuali discrete e continue
• Una variabile casuale discreta può assumere
un insieme discreto (finito o numerabile) di
numeri reali.
• Una variabile casuale continua può assumere
tutti i valori compresi in un intervallo reale.
S discreto
V.C. discreta
S continuo
V.C. discreta o continua
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Variabili casuali discrete
P(X=xi)
Probabilità che la v.c. X
assuma il valore xi
La funzione di probabilità di una variabile
casuale discreta X associa ad ognuno dei valori xi
la corrispondente probabilità P(X=xi)
Proprietà
i P( xi )  1
P ( xi )  0
5
Funzione di Ripartizione
Data una v.c discreta X, la funzione che fa
corrispondere ai valori x le probabilità cumulate
PX  x
viene detta funzione di ripartizione ed indicata con
F x   P  X  x  
 PX
 w
w x
6
La funzione di ripartizione e il suo grafico
per l’esempio proposto
0
1
-∞ < X < 0
F(X)= 0,25
0≤X<3
0,75
3≤X<6
0,75
0,5
1
6≤X<∞
0,25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
7
Variabili casuali continue
Chiameremo Funzione di densità, la funzione
matematica f(x) per cui l’area sottesa alla
funzione, corrispondente ad un certo
intervallo, è uguale alla probabilità che X
assuma un valore in quell’intervallo.
2,0
f x
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,229
0,5
esempio libro
0,7
1,0
X
8
Proprietà delle funzioni di densità
• f(x)0 sempre
• L’area totale sottesa alla funzione =1, ossia

 f ( x )dx
1

La probabilità che la v.c. assuma un particolare
valore dell’intervallo è zero.
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Valore atteso di una v.c.
(Valore medio)
Il valore medio di una v.c. X, è definito come
E  X      xi Pxi 
Se la v.c. è discreta
i
EX    

 x f x dx
Se la v.c. è continua

Nel nostro esempio µ = 3,00
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La varianza di una v.c.
La varianza V(X) di una variabile casuale X è
definita da
V  X    2    xi  E  X  P xi 
2
i
V ( X )    E ( X )  E ( X )
2
V X    2 
2
2

2




x

E
X
f  x dx


La deviazione standard è definita
Nel nostro esempio V(X) = 4,50
Se la v.c. è discreta
Formula ridotta
Se la v.c. è continua
SD X   V  X   
11
V.c. Standardizzate
I valori standardizzati esprimono la distanza tra i
valori osservati e la media in termini di deviazione
standard.
Se X è una v.c. con valore µ e σ allora:
Z 
X 

È una v.c. standardizzata con µZ =0 e σZ=1
12
Valor medio e varianza di una v.c. discreta
Il responsabile di un settore operativo di una certa industria ritiene che il
numero di giorni, nell’arco di una settimana lavorativa, durante i quali si
verificano interruzioni di energia elettrica all’impianto, segua questa
distribuzione di probabilità
Xi
P(Xi)
Xi P(Xi)
Xi^2
Xi^2 P(Xi)
0
0,18
0,00
0
0,00
1
0,35
0,35
1
0,35
2
0,25
0,50
4
1,00
3
0,12
0,36
9
1,08
4
0,08
0,32
16
1,28
5
0,02
0,10
25
0,50
Totale
1,00
1,63
4,21
Calcolare
1. Il numero medio dei giorni lavorativi nell’arco di una settimana durante i
quali c’è da aspettarsi che si verifichino delle interruzioni di energia
elettrica dell’impianto
E(X)=1,63
13
2. Determinare la varianza della distribuzione V(X)= 4,21-1,632= 1,55