Ur# Ur# elas#ci Ur# anelas#ci Conce.o di urto • Supponiamo di far cadere, da una altezza h
una palla di massa m, e supponiamo di vederla
rimbalzare ad una altezza h’.
• Il rapporto delle velocità, poco prima e poco
dopo il contatto con il suolo, si ottiene come
radice del rapporto fra le altezze. v’/v = √h’/h
Dimostrazione:
L’Energia potenziale della palla prima di cadere è U = mgh. Poiché l’energia meccanica si deve conservare, Ek = U, la palla poco prima che tocchi il suolo avrà una velocità pari a v = √2gh • Dopo il rimbalzo la palla raggiungerà la quota h’ e quindi U’ = mgh’.
La velocità v’ subito dopo il rimbalzo doveva quindi valere v’ = √2gh’
poiché ½ mv’2 = E’k = U’ = mgh’
• Se il rapporto v’/v = 1 si dirà che l’urto palla - suolo è elastico;
• Se v’/v < 1 l’urto palla-suolo è inelastico.
Urto elas#co/urto inelas#co • Negli ur#, la quan#tà di moto del sistema, Σp = mv, si conserva sempre. • Negli ur# elas#ci oltre alla quan#tà di moto si conserva anche l’energia. • Negli ur# inelas#ci si conserva solo la quan#tà di moto Ur#: caso unidimensionale • Negli ur# elas#ci Ek e p sono grandezze che si conservano. Negli ur# inelas#ci si conserva solo p, mentre Ek contribuisce ad altre forme di energia. § Nell’urto elastico, se due corpi hanno velocità diverse, dopo
l’urto, i valori delle velocità si osserveranno invertiti. Cioè i
valori complessivi di Ek e p, prima e dopo l’urto saranno uguali.
§ Nell’urto anelastico, dopo l’urto, i due corpi saranno
compenetrati o strettamente legati. E si troverà che il valore di p
è ancora uguale a prima dell’urto, mentre l’Ek sarà diminuita a
causa di calore sviluppato o di deformazione meccanica o altro
ancora.
Per l’urto elastico, p1,i + p2,i = p1,f + p2,f e l’energia Eki = Ekf
per un urto inelastico, p1,i + p2,i = p1,f + p2,f , ma Eki = Ekf
Urto elas#co: bersaglio mobile Durante un urto elastico l’energia cinetica dei singoli corpi
può variare, ma la Ek del sistema rimane costante.
Caso di un corpo mobile che colpisce un bersaglio fisso:
m1v1,i = m1v1, f + m2v2, f
1
2
m1v12,i = 12 m1v12, f + 12 m2v22, f
m1 (v1.i − v1, f ) = m2 v2, f
m1 (v1.i − v1, f )(v1.i + v1, f ) = m2 v22, f
v1, f =
v2 , f
m1 − m2
v1.i
m1 + m2
2m1
=
v1.i
m1 + m2
(quantità di moto)
(energia cinetica)
1.
Se le masse sono uguale m1 = m2
v1,f = 0 e v2,f = v1,i
2.
Urtando contro un muro m2 >> m1
v1,f è circa = - v1,i e v2,f è circa = 0
3.
Se m1 >> m2 allora
v1,f circa = v1,i e v2,f circa = 2v1,i
Urto elas#co: bersagli contrappos# v1
m1
Conservazione della quan#tà di moto e dell’energia cine#ca m1v1,i − m2 v2,i = −m1v1, f + m2 v2, f
1
2
m1v12,i + 12 m2 v22,i = 12 m1v12, f + 12 m2 v22, f
m1 (v12,i − v12, f ) = m2 (v22,i − v22, f )
m1 (v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i + v2, f )
m1 (v1,i − v1, f )(v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i − v2, f )(v2,i + v2, f )
Da cui, conoscendo le velocità iniziali si possono ricavare le due velocità finali: v1, f =
m1 − m2
2m2
v1,i +
v2 ,i
m1 + m2
m1 + m2
v2 , f =
2m2
m − m2
v1,i + 1
v2 ,i
m1 + m2
m1 + m2
v2
m2
Pendolo balis#co Per calcolare la velocità di un proieMle si spara un colpo contro un tronco sospeso orizontalmente da due funi. Nella descrizione del pendolo balis#co convergono due conceM diversi. Il primo è il conce.o di urto perfe.amente anelas#co: proieMle che si conficca nel tronco. Il secondo è la trasformazione
dell’energia cinetica in energia
potenziale: il tronca si solleva di una
altezza h Pendolo balis#co: esempio Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe
essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.
Nell’esempio, la massa del tronco è M = 5,4 kg, la massa del proieMle è m = 9,5 g, e h = 6,3 cm è l’altezza misurata dopo la collisione. Quanto è la velocità del proieMle? pi = pf mvi = (M+m)vf vf= mvi/(M+m) Immediatamente dopo l’impa.o il sistema proieMle-­‐blocco ha una massa che vale (M + m) e una velocità pari a vf . La sua energia meccanica si deve conservare, cioè Ek -­‐ U = 0 ½ (m+M) vf2 = (M+m)gh e sos#tuendo il valore di vf si oMene 2
1 ⎛ mvi ⎞
⎜
⎟ = gh
2 ⎝ m + M ⎠
vi =
m+M
m
mvi
= 2 gh
m+M
⎛ 0,0095 + 5,4 ⎞
2 gh = ⎜⎜
⎟⎟ 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,063 = 630 [ MS −1 ]
⎝ 0,0095 ⎠
Ur# elas#ci in due dimensioni p è un ve:ore, pertanto la sua conservazione è valida per ciascun asse, mentre Ek è uno scalare e la sua conservazione fornisce una sola equazione p1,i + p2,i = p1,f + p2,f Ek,1,i + Ek,2,i = Ek,1,f + Ek,2,f Nel caso di figura pi, pf ed Ek sono legate dalle relazioni m1v1,i = m1v1,f cosθ1 + m2v2,f cosθ2 0 = m1v1,f sinθ1 + m2v2,f sinθ2 ½ m1v1,i2= ½ m1v1,f2 + ½ m2v2,f2 La quan#tà di moto • La quantità di moto è il prodotto fra la massa m e la velocità v
posseduta da un corpo e si indica con il vettore p.
• Questa grandezza non ha una specifica unità di misura, e nel
sistema SI è espressa in [KMS-1].
p=mv
• La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla
variazione di p
!
! dp
F=
dt
! !
dp = Fdt
• il prodotto Fdt ovvero l’Impulso
è equivalente alla variazione della
quantità di moto
!
!
!
Fdt = dp = mdv
!
!
! !
FΔt = mΔv = m(v2 − v1 )
Conservazione del momento • In un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne, la 2°legge
di Newton (F = dp/dt) diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata di una
grandezza è zero, la grandezza è costante.
• Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di
moto p si conserva.
• Supponiamo di avere due corpi di
massa m1 ed m2, su un binario privo di
attrito separati da una molla e tenuti
insieme da uno spago.
• La sua quantità di moto è zero.
• Appena lo spago viene tagliato i due
corpi si dirigeranno nella direzione
opposta. Le velocità dei due corpi
saranno tali che: m1v1 = - m2v2
Moto di un razzo
Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il moto di un razzo e supponiamo:
1. che il moto razzo non risenta della forze di gravità
2. che il razzo abbia velocità v e massa M
Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa – dM con velocità + U rispetto
al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di scarico dovrà
conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi
Mv = - dM U + (M + dM)(v +dMdv) dv
−
u=M
dt
dtu vale
Se ora osserviamo, dal sistema del razzo, che la velocità di scarico
u = (v +dv) - U si avrà U = v + dv - u sostituendo
Mv = - dMv - dMdv + dMu + Mv + dMv + Mdv + dMdv
Pertanto resta dMu + Mdv = 0
diviso per dt si avrà:
Ru = Ma (quindi Ru è una forza: la spinta del razzo)
Calcolo della velocità del razzo • Il valore di spinta di un razzo è Ru. Quindi la spinta è tanto maggiore quanto più velocemente si riduce la massa del carburante e quanto più alta è la temperatura dei gas di scarico • La velocità come funzione della massa di carburante bruciata si ricava da dMu + M
dv = 0 è ci porta dM
dv = −u
M
ed integrando
∫
vf
vi
dv = −u ∫
Mf
Mi
dM
M
La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale
corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo
v f − vi = u(ln M i − ln M f )
L’impulso trasferito Un dischetto da hockey 150 g che viaggia alla
velocità di 15 m/s urta il palo della porta e
viene deviato di 150°dalla sua direzione con
una velocità ridotta del 30%. Se l’impatto
dischetto-palo è stimato pari a 1,5 ms quale è
la forza trasferita al palo.
Soluzione:
La velocità finale sarà
30% ⋅ 15 = 4,5
v fin = 15 - 4,5 = 10,5 m / s
In forma vettoriale dopo
l’impatto la quantità di moto è
0,15 x 10,5 = 1,58 [MKS-1]
ovvero
pfin = 1,58cos30 i+1,58sen30j.
La forza trasferita al palo sarà
data da
<F>
m1
vin
150°
vfin
!
!
!
!
!
!
Δp ( p fin − pin ) 1,58 ⋅ 0,867i − 1,58 ⋅ 0,5 j − 0,15 ⋅ 15i
F=
=
=
=
Δt
1,5 ⋅ 10 −3
1,5 ⋅ 10 −3
!
!
!
!
(
1,37 − 2,25)i − 0,79 j − 0,88 3 ! 0,79 3 !
=
=
10
i
−
10
j
=
−
586
,
6
i
−
526
,
6
j
1,5 ⋅ 10 −3
1,5
1,5
(
)
F [ N ] = 586,6 2 + 526,6 2 = 621407,2 = 788.3[ N ] ≈ 80 kg
θ = arctg
526,6
≈ 42°
586,6
Forza dovuta ad ur# ripetu# Dal teorema dell’impulso risulta che: J = pf – pi = <F> Δt. Volendo conoscere la forza media dovuta ad una serie di ur# ripetu# dovremo mol#plicare l’impulso per il numero di ur#. Allora si avrà F = nΔp/Δt = -­‐ (n/Δt) mΔv (n/Δt) è la frequenza dell’urto. Se il proieMle resta nel muro Δv = -­‐ v i
Δm
F =−
Δv
Δt
mentre se rimbalsa elas#camente Δv = -­‐2vi e nell’intervallo di tempo Δt la quan#tà di massa è Δm = nm
