Quan%tà di moto e ur% Conservazione della quan%tà di moto, ur% elas%ci, ur% anelas%ci Quan%tà di moto Questa grandezza riveste un ruolo molto importante nella Fisica classica. Infatti è una grandezza conservativa. La quantità di moto di un corpo di massa m che si muove alla velocità v è p = mv. Un corpo di massa m lanciato a velocità v mantiene sempre la sua quantità di moto p. ! dp =0 dt ! mv = cost Solo l’intervento di una forza esterna può modificare il suo valore. ! ! ! d (mv ) F = ma = dt • Se il sistema è isolato (ΔF= 0) ed è formato da molte particelle identiche allora l’aumento di velocità di una particella comporta la diminuzione di velocità di altre. Conservazione della quan%tà di moto Quantifichiamo la precedente affermazione. • Supponiamo un sistema isolato formato da due particelle m1 e m2 di massa uguale che viaggino uno contro l’altra con velocità v1 e v2. • La quantità di moto iniziale delle v1 v2 due particelle sarà m2 m1 pi = m1v1 – m2v2 dopo un urto elastico la quantità m1 m2 di moto finale pf = - m1v1f + m2v2f v1f v2f m 2 m1 dovrà essere la stessa, ma la velocità delle particelle risulta invertita. • Questo è possibile nelle ipotesi che il sistema sia isolato ΣFest = 0 e che gli urti siano di tipo elastico, cioè ΔEk = 0 Conce7o di urto Un urto non è altro che il contatto fra due corpi, ma … è un contatto che avviene in condizione particolari: • deve sprigionare forze particolarmente intense, e • deve avvenire in un tempo brevissimo. Queste condizioni sottintendono l’impossibilità di conoscere la forma della forza in funzione del tempo. Quindi per descrivere matematicamente il fenomeno dovremo trovare altre relazioni, invarianti rispetto all’evento, che possano tornarci utili. Urto elas%co/urto inelas%co Σ • In tutti gli urti, la quantità di moto del sistema , p = mv, si conserva sempre. • Negli urti elastici oltre alla quantità di moto si conserva anche l’energia. • Negli urti inelastici si conserva solo la quantità di moto Urti elastici ! Δp = 0 ΔE = 0 Urti inelastici ! Δp = 0 ΔE ≠ 0 Ur% ed Energia • Supponiamo di far cadere, da una altezza h una palla di massa m, e supponiamo di vederla rimbalzare ad una altezza h’. • Il rapporto delle velocità, poco prima e poco dopo il contatto con il suolo, si ottiene come radice del rapporto fra le altezze. v’/v = √h’/h Dimostrazione: L’Energia potenziale della palla prima di cadere è U = mgh. Poiché l’energia meccanica si deve conservare, Ek = U, la palla poco prima che tocchi il suolo avrà una velocità pari a v = √2gh • Dopo il rimbalzo la palla raggiungerà la quota h’ e quindi U’ = mgh’. La velocità v’ subito dopo il rimbalzo doveva quindi valere v’ = √2gh’ poiché ½ mv’2 = Ek’ = U’ = mgh’ • Se il rapporto v’/v = 1 si dirà che l’urto palla - suolo è elastico; • Se v’/v < 1 l’urto palla-suolo è inelastico. Ur%: caso unidimensionale • Negli urti elastici Ek e p sono grandezze che si conservano. Negli urti inelastici si conserva solo p, mentre l’ Ek persa durante la collisione si trasforma in altre forme di energia. § Nell’urto elastico, i valori complessivi di Ek e p, prima e dopo l’urto sono uguali. § Nell’urto inelastico, dopo l’urto, i due corpi saranno deformati o strettamente legati. Il valore complessivo di p è ancora uguale a prima dell’urto, mentre l’Ek sarà diminuita. Nell’urto si sviluppa calore, deformazione meccanica o altro ancora. Urto elastico p1,i + p2,i = p1,f + p2,f Eki = Ekf Urto inelastico p1,i + p2,i = p1,f + p2,f , Eki = Ekf Urto elas%co: bersaglio mobile In un urto elastico l’energia cinetica dei singoli corpi può variare, ma la Ek del sistema rimane costante. Corpo mobile che colpisce un bersaglio fisso: m1v1,i = m1v1, f + m2v2, f 1 2 (quantità di moto) m1v12,i = 12 m1v12, f + 12 m2v22, f m1 (v1.i − v1, f ) = m2 v2, f m1 (v1.i − v1, f )(v1.i + v1, f ) = m v 2 2 2, f v1, f = m1 − m2 v1.i m1 + m2 v2 , f = 2m1 v1.i m1 + m2 (energia cinetica) Se le masse sono uguali m1 = m2 v1,f = 0 e v2,f = v1,i 1. Urtando contro un muro m2 >> m1 v1,f ~ - v1,i e v2,f ~ 0 2. Se m1 >> m2 allora v1,f ~ v1,i e v2,f ~ 2v1,i Urto elas%co: bersagli contrappos% v1 v2 m1 Conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica m1v1,i − m2 v2,i = −m1v1, f + m2 v2, f 1 2 m1v12,i + 12 m2 v22,i = 12 m1v12, f + 12 m2 v22, f m1 (v12,i − v12, f ) = m2 (v22,i − v22, f ) m1 (v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i + v2, f ) m1 (v1,i − v1, f )(v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i − v2, f )(v2,i + v2, f ) Da cui, conoscendo le velocità iniziali si possono ricavare le due velocità finali: v1, f = m1 − m2 2m2 v1,i + v2 ,i m1 + m2 m1 + m2 v2 , f = 2m2 m − m2 v1,i + 1 v2 ,i m1 + m2 m1 + m2 m2 Pendolo balis%co Per calcolare la velocità di un proie@le si spara un colpo contro un tronco sospeso orizontalmente da due funi. Nella descrizione del pendolo balis%co convergono due conce@ diversi. Il primo è il conce7o di urto perfe7amente anelas%co: proie@le che si conficca nel tronco. Il secondo è la trasformazione dell’energia cinetica in energia potenziale: il tronca si solleva di una altezza h Pendolo balis%co: esempio Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo. Nell’esempio, la massa del tronco è M = 5,4 kg, la massa del proie@le è m = 9,5 g, e h = 6,3 cm è l’altezza misurata dopo la collisione. Quanto è la velocità del proie@le? pi = pf mvi = (M+m)vf vf= mvi/(M+m) Immediatamente dopo l’impa7o il sistema proie@le-­‐blocco ha una massa che vale (M + m) e una velocità pari a vf . La sua energia meccanica si deve conservare, cioè Ek -­‐ U = 0 ½ (m+M) vf2 = (M+m)gh e sos%tuendo il valore di vf si o@ene 2 1 ⎛ mvi ⎞ ⎜ ⎟ = gh 2 ⎝ m + M ⎠ m+M vi = m mvi = 2 gh m+M ⎛ 0,0095 + 5,4 ⎞ 2 gh = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,063 = 630 [ MS −1 ] ⎝ 0,0095 ⎠ Ur% elas%ci in due dimensioni p è un veKore, pertanto la sua conservazione è valida per ciascun asse, mentre Ek è uno scalare e la sua conservazione fornisce una sola equazione p1,i + p2,i = p1,f + p2,f Ek,1,i + Ek,2,i = Ek,1,f + Ek,2,f Nel caso di figura pi, pf ed Ek sono legate dalle relazioni m1v1,i = m1v1,f cosθ1 + m2v2,f cosθ2 0 = m1v1,f sinθ1 + m2v2,f sinθ2 ½ m1v1,i2= ½ m1v1,f2 + ½ m2v2,f2 La quan%tà di moto • La quantità di moto è il prodotto fra la massa m e la velocità v posseduta da un corpo e si indica con il vettore p. • Questa grandezza non ha una specifica unità di misura, e nel sistema SI è espressa in [KMS-1]. p=mv • La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla variazione di p ! dp! F= dt ! ! dp = Fdt • il prodotto Fdt ovvero l’Impulso è equivalente alla variazione della quantità di moto ! ! ! Fdt = dp = mdv ! ! ! ! FΔt = mΔv = m(v2 − v1 ) Conservazione del momento • In un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne, la 2°legge di Newton (F = dp/dt) diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata di una grandezza è zero, la grandezza è costante. • Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di moto p si conserva. • Supponiamo di avere due corpi di massa m1 ed m2, su un binario privo di attrito separati da una molla e tenuti insieme da uno spago. • La sua quantità di moto è zero. • Appena lo spago viene tagliato i due corpi si dirigeranno nella direzione opposta. Le velocità dei due corpi saranno tali che: m1v1 = - m2v2 Moto di un razzo Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il moto di un razzo e supponiamo: 1. che il moto razzo non risenta della forze di gravità 2. che il razzo abbia velocità v e massa M Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa – dM con velocità + U rispetto al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di scarico dovrà conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi Mv = - dM U + (M + dM)(v + dv) Se ora osserviamo, dal sistema del razzo, che la velocità di scarico u vale u = (v +dv) - U si avrà U = v + dv - u sostituendo Mv = - dMv - dMdv + dMu + Mv + dMv + Mdv + dMdv Pertanto resta dMu + Mdv = 0 diviso per dt si avrà: − Ru = Ma (quindi Ru è una forza: la spinta del razzo) dM dv u=M dt dt Calcolo della velocità del razzo • Il valore di spinta di un razzo è Ru. Quindi la spinta è tanto maggiore quanto più velocemente si riduce la massa del carburante e quanto più alta è la temperatura dei gas di scarico • La velocità come funzione della massa di carburante bruciata si ricava da dMu + Mdv = 0 è ci porta dM dv = −u M ed integrando ∫ vf vi dv = −u ∫ Mf Mi dM M La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo v f − vi = u(ln M i − ln M f ) L’impulso trasferito Un dischetto da hockey 150 g che viaggia alla velocità di 15 m/s urta il palo della porta e viene deviato di 150°dalla sua direzione con una velocità ridotta del 30%. Se l’impatto dischetto-palo è stimato pari a 1,5 ms quale è la forza trasferita al palo. Soluzione: La velocità finale sarà 30% ⋅ 15 = 4,5 v fin = 15 - 4,5 = 10,5 m / s In forma vettoriale dopo l’impatto la quantità di moto è 0,15 x 10,5 = 1,58 [MKS-1] ovvero pfin = 1,58 cos30 i + 1,58 sen30 j. La forza trasferita al palo sarà data da <F> m1 v in 150° vfin ! ! ! ! ! ! ( ) p − p Δp 1,58 ⋅ 0,867i − 1,58 ⋅ 0,5 j − 0,15 ⋅ 15i fin in F= = = = −3 Δt 1,5 ⋅ 10 1,5 ⋅ 10 −3 ! ! ! ! ( 1,37 − 2,25)i − 0,79 j − 0,88 3 ! 0,79 3 ! = = 10 i − 10 j = − 586 , 6 i − 526 , 6 j 1,5 ⋅ 10 −3 1,5 1,5 ( ) F [ N ] = 586,6 2 + 526,6 2 = 621407,2 = 788.3[ N ] ≈ 80 kg θ = arctg 526,6 ≈ 42° 586,6 Forza dovuta ad ur% ripetu% Dal teorema dell’impulso risulta che: J = pf – pi = <F> Δt. Volendo conoscere la forza media dovuta ad una serie di urti ripetuti dovremo moltiplicare l’impulso per il numero di urti. Allora si avrà F = nΔp/Δt = - (n/Δt) mΔv (n/Δt) è la frequenza dell’urto. Se il proiettile resta nel muro Δv = - v i mentre se rimbalsa elasticamente Δv = -2vi e nell’intervallo di tempo Δt la quantità di Δm massa è Δm = nm F =− Δv Δt