Quan%tà di moto e ur% Conservazione della quan%tà di moto, ur% elas%ci, ur% anelas%ci Quan%tà di moto Questa grandezza riveste un ruolo molto importante nella Fisica
classica. Infatti è una grandezza conservativa.
La quantità di moto di un corpo di massa m che si muove alla
velocità v è p = mv.
Un corpo di massa m lanciato a
velocità v mantiene sempre la sua
quantità di moto
p.
!
dp
=0
dt
!
mv = cost
Solo l’intervento di una forza esterna
può modificare il suo valore.
!
!
! d (mv )
F = ma =
dt
• Se il sistema è isolato (ΔF= 0) ed è formato da molte particelle
identiche allora l’aumento di velocità di una particella comporta la
diminuzione di velocità di altre.
Conservazione della quan%tà di moto Quantifichiamo la precedente affermazione.
• Supponiamo un sistema isolato formato da due particelle m1 e m2 di
massa uguale che viaggino uno contro l’altra con velocità v1 e v2.
• La quantità di moto iniziale delle
v1
v2
due particelle sarà
m2
m1
pi = m1v1 – m2v2
dopo un urto elastico la quantità
m1 m2
di moto finale
pf = - m1v1f + m2v2f
v1f
v2f
m
2
m1
dovrà essere la stessa, ma la
velocità delle particelle risulta
invertita.
• Questo è possibile nelle ipotesi che il sistema sia isolato ΣFest = 0 e
che gli urti siano di tipo elastico, cioè ΔEk = 0
Conce7o di urto Un urto non è altro che il
contatto fra due corpi, ma
… è un contatto che
avviene in condizione
particolari:
• deve sprigionare forze
particolarmente intense, e
• deve avvenire in un
tempo brevissimo.
Queste condizioni sottintendono l’impossibilità di conoscere la forma
della forza in funzione del tempo.
Quindi per descrivere matematicamente il fenomeno dovremo
trovare altre relazioni, invarianti rispetto all’evento, che possano
tornarci utili.
Urto elas%co/urto inelas%co Σ
• In tutti gli urti, la quantità di moto del sistema ,
p = mv, si
conserva sempre.
• Negli urti elastici oltre alla quantità di moto si conserva anche
l’energia.
• Negli urti inelastici si conserva solo la quantità di moto
Urti elastici
!
Δp = 0
ΔE = 0
Urti inelastici
!
Δp = 0
ΔE ≠ 0
Ur% ed Energia • Supponiamo di far cadere, da una altezza
h una palla di massa m, e supponiamo di
vederla rimbalzare ad una altezza h’.
• Il rapporto delle velocità, poco prima e
poco dopo il contatto con il suolo, si ottiene
come radice del rapporto fra le altezze.
v’/v = √h’/h
Dimostrazione:
L’Energia potenziale della palla prima di cadere è U = mgh. Poiché l’energia meccanica si deve conservare, Ek = U, la palla poco prima che tocchi il suolo avrà una velocità pari a v = √2gh • Dopo il rimbalzo la palla raggiungerà la quota h’ e quindi U’ = mgh’.
La velocità v’ subito dopo il rimbalzo doveva quindi valere v’ = √2gh’
poiché ½ mv’2 = Ek’ = U’ = mgh’
• Se il rapporto v’/v = 1 si dirà che l’urto palla - suolo è elastico;
• Se v’/v < 1 l’urto palla-suolo è inelastico.
Ur%: caso unidimensionale • Negli urti elastici Ek e p sono grandezze che si conservano.
Negli urti inelastici si conserva solo p, mentre l’ Ek persa durante
la collisione si trasforma in altre forme di energia.
§ Nell’urto elastico, i valori complessivi di Ek e p,
prima e dopo l’urto sono uguali.
§ Nell’urto inelastico, dopo l’urto, i due corpi
saranno deformati o strettamente legati. Il valore
complessivo di p è ancora uguale a prima dell’urto,
mentre l’Ek sarà diminuita. Nell’urto si sviluppa
calore, deformazione meccanica o altro ancora.
Urto elastico
p1,i + p2,i = p1,f + p2,f
Eki = Ekf
Urto inelastico
p1,i + p2,i = p1,f + p2,f ,
Eki = Ekf
Urto elas%co: bersaglio mobile In un urto elastico l’energia cinetica dei singoli
corpi può variare, ma la Ek del sistema rimane
costante.
Corpo mobile che colpisce un bersaglio fisso:
m1v1,i = m1v1, f + m2v2, f
1
2
(quantità di moto)
m1v12,i = 12 m1v12, f + 12 m2v22, f
m1 (v1.i − v1, f ) = m2 v2, f
m1 (v1.i − v1, f )(v1.i + v1, f ) = m v
2
2 2, f
v1, f =
m1 − m2
v1.i
m1 + m2
v2 , f =
2m1
v1.i
m1 + m2
(energia cinetica)
Se le masse sono uguali m1 = m2
v1,f = 0 e v2,f = v1,i
1. Urtando contro un muro m2 >> m1
v1,f ~ - v1,i e v2,f ~ 0
2. Se m1 >> m2 allora
v1,f ~ v1,i e v2,f ~ 2v1,i
Urto elas%co: bersagli contrappos% v1
v2
m1
Conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica
m1v1,i − m2 v2,i = −m1v1, f + m2 v2, f
1
2
m1v12,i + 12 m2 v22,i = 12 m1v12, f + 12 m2 v22, f
m1 (v12,i − v12, f ) = m2 (v22,i − v22, f )
m1 (v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i + v2, f )
m1 (v1,i − v1, f )(v1,i + v1, f ) = m2 (v2,i − v2, f )(v2,i + v2, f )
Da cui, conoscendo le
velocità iniziali si
possono ricavare le
due velocità finali:
v1, f =
m1 − m2
2m2
v1,i +
v2 ,i
m1 + m2
m1 + m2
v2 , f =
2m2
m − m2
v1,i + 1
v2 ,i
m1 + m2
m1 + m2
m2
Pendolo balis%co Per calcolare la velocità di un proie@le si spara un colpo contro un tronco sospeso orizontalmente da due funi. Nella descrizione del pendolo balis%co convergono due conce@ diversi. Il primo è il conce7o di urto perfe7amente anelas%co: proie@le che si conficca nel tronco. Il secondo è la trasformazione
dell’energia cinetica in energia
potenziale: il tronca si solleva di una
altezza h Pendolo balis%co: esempio Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe
essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo.
Nell’esempio, la massa del tronco è M = 5,4 kg, la massa del proie@le è m = 9,5 g, e h = 6,3 cm è l’altezza misurata dopo la collisione. Quanto è la velocità del proie@le? pi = pf mvi = (M+m)vf vf= mvi/(M+m) Immediatamente dopo l’impa7o il sistema proie@le-­‐blocco ha una massa che vale (M + m) e una velocità pari a vf . La sua energia meccanica si deve conservare, cioè Ek -­‐ U = 0 ½ (m+M) vf2 = (M+m)gh e sos%tuendo il valore di vf si o@ene 2
1 ⎛ mvi ⎞
⎜
⎟ = gh
2 ⎝ m + M ⎠
m+M
vi =
m
mvi
= 2 gh
m+M
⎛ 0,0095 + 5,4 ⎞
2 gh = ⎜⎜
⎟⎟ 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,063 = 630 [ MS −1 ]
⎝ 0,0095 ⎠
Ur% elas%ci in due dimensioni p è un veKore, pertanto la sua conservazione è valida per ciascun asse, mentre Ek è uno scalare e la sua conservazione fornisce una sola equazione p1,i + p2,i = p1,f + p2,f Ek,1,i + Ek,2,i = Ek,1,f + Ek,2,f Nel caso di figura pi, pf ed Ek sono legate dalle relazioni m1v1,i = m1v1,f cosθ1 + m2v2,f cosθ2 0 = m1v1,f sinθ1 + m2v2,f sinθ2 ½ m1v1,i2= ½ m1v1,f2 + ½ m2v2,f2 La quan%tà di moto • La quantità di moto è il prodotto fra la massa m e la velocità v
posseduta da un corpo e si indica con il vettore p.
• Questa grandezza non ha una specifica unità di misura, e nel
sistema SI è espressa in [KMS-1].
p=mv
• La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla
variazione di p
! dp!
F=
dt
! !
dp = Fdt
• il prodotto Fdt ovvero l’Impulso
è equivalente alla variazione della
quantità di moto
!
!
!
Fdt = dp = mdv
!
!
! !
FΔt = mΔv = m(v2 − v1 )
Conservazione del momento • In un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne, la 2°legge
di Newton (F = dp/dt) diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata di una
grandezza è zero, la grandezza è costante.
• Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di
moto p si conserva.
• Supponiamo di avere due corpi di
massa m1 ed m2, su un binario privo di
attrito separati da una molla e tenuti
insieme da uno spago.
• La sua quantità di moto è zero.
• Appena lo spago viene tagliato i due
corpi si dirigeranno nella direzione
opposta. Le velocità dei due corpi
saranno tali che: m1v1 = - m2v2
Moto di un razzo
Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il moto di un razzo e
supponiamo:
1. che il moto razzo non risenta della forze di gravità
2. che il razzo abbia velocità v e massa M
Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa – dM con velocità + U
rispetto al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di scarico
dovrà conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi
Mv = - dM U + (M + dM)(v + dv)
Se ora osserviamo, dal sistema del razzo, che la velocità di scarico u
vale
u = (v +dv) - U si avrà U = v + dv - u sostituendo
Mv = - dMv - dMdv + dMu + Mv + dMv + Mdv + dMdv
Pertanto resta
dMu + Mdv = 0
diviso per dt si avrà: −
Ru = Ma (quindi Ru è una forza: la spinta del razzo)
dM
dv
u=M
dt
dt
Calcolo della velocità del razzo • Il valore di spinta di un razzo è Ru. Quindi la spinta è tanto
maggiore quanto più velocemente si riduce la massa del
carburante e quanto più alta è la temperatura dei gas di scarico
• La velocità come funzione della massa di carburante bruciata si
ricava da dMu + Mdv = 0 è ci porta
dM
dv = −u
M
ed integrando
∫
vf
vi
dv = −u ∫
Mf
Mi
dM
M
La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale
corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo
v f − vi = u(ln M i − ln M f )
L’impulso trasferito Un dischetto da hockey 150 g che viaggia
alla velocità di 15 m/s urta il palo della
porta e viene deviato di 150°dalla sua
direzione con una velocità ridotta del 30%.
Se l’impatto dischetto-palo è stimato pari a
1,5 ms quale è la forza trasferita al palo.
Soluzione:
La velocità finale sarà
30% ⋅ 15 = 4,5
v fin = 15 - 4,5 = 10,5 m / s
In forma vettoriale dopo l’impatto
la quantità di moto è 0,15 x 10,5 =
1,58 [MKS-1] ovvero
pfin = 1,58 cos30 i + 1,58 sen30 j.
La forza trasferita al palo sarà
data da
<F>
m1 v
in
150°
vfin
!
!
!
!
!
!
(
)
p
−
p
Δp
1,58 ⋅ 0,867i − 1,58 ⋅ 0,5 j − 0,15 ⋅ 15i
fin
in
F=
=
=
=
−3
Δt
1,5 ⋅ 10
1,5 ⋅ 10 −3
!
!
!
!
(
1,37 − 2,25)i − 0,79 j − 0,88 3 ! 0,79 3 !
=
=
10
i
−
10
j
=
−
586
,
6
i
−
526
,
6
j
1,5 ⋅ 10 −3
1,5
1,5
(
)
F [ N ] = 586,6 2 + 526,6 2 = 621407,2 = 788.3[ N ] ≈ 80 kg
θ = arctg
526,6
≈ 42°
586,6
Forza dovuta ad ur% ripetu% Dal teorema dell’impulso risulta che: J = pf – pi = <F> Δt.
Volendo conoscere la forza media dovuta ad una serie di urti
ripetuti dovremo moltiplicare l’impulso per il numero di urti.
Allora si avrà F = nΔp/Δt = - (n/Δt) mΔv
(n/Δt) è la frequenza dell’urto.
Se il proiettile resta nel muro Δv = - v
i
mentre se rimbalsa elasticamente Δv = -2vi
e nell’intervallo di tempo Δt la quantità di
Δm
massa è Δm = nm
F =−
Δv
Δt
