Analisi Convessa

Appunti di analisi convessa
Tommaso R. Cesari
APPUNTI NON UFFICIALI1
(Analisi convessa - corso di Libor Vesely)
1
Nota del redattore
Questi appunti sono stati scritti da me durante il Corso (A.A. 2012-2013).
Sono assoluta-
mente indipendenti dall'iniziativa del Docente. Di queste carte non è fornita alcuna garanzia
esplicita o implicita di correttezza o di completezza. In particolare, è assai probabile che risultino presenti numerosi errori delle tipologie più svariate, in primo luogo concettuali, dovuti
all'imperizia del curatore. Si sottolinea inoltre che non vi è stato da parte mia alcuno sforzo
per rendere gli argomenti formalmente corretti, né tanto meno per dare loro una veste chiara
e lineare. Usate dunque le informazioni qui contenute a vostro rischio e pericolo.
Tommaso R. Cesari
Indice
1
2
3
Insiemi e involucri
Compattezza dell'involucro convesso
. . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura . . . . . . . . . .
19
Funzioni lineari, ani e convesse
Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali . . . . . . . .
2.2
Continuità di funzionali lineari
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3
Continuità di funzioni convesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4
Teorema di Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Insiemi convessi (e compatti)
6
26
44
3.1
Punti estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2
Teorema di Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2.1
5
26
2.1
3.3
4
4
1.1
Complementi al teorema di Krein-Milman (cenni)
Teorema di Helly, applicazioni e parenti
. . . .
56
. . . . . . . . . . . . .
58
Funzioni convesse notevoli
66
4.1
Funzione indicatrice
66
4.2
Funzioni sublineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.3
Distanza da un insieme
68
4.4
Funzioni di supporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.5
Funzionale di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ottimizzazione di funzioni convesse
5.1
Minimizzazione di funzioni convesse
5.2
I punti più vicini
5.3
Centri di Chebyshev
76
. . . . . . . . . . . . . . . .
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disuguaglianza integrale di Jensen
81
84
6.1
Disuguaglianza integrale di Jensen
. . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.2
Seconda disuguaglianza di Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
INDICE
7
8
Funzioni convesse di una variabile reale
94
7.1
Derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7.2
Subdierenziale (in
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
7.3
Derivabilità seconda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
R)
Dierenziabilità di funzioni convesse in spazi normati
103
8.1
Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
8.2
Subdierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
8.3.1
9
3
. . . . . . . . . . . . . 116
Spazi di Asplund (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Appendice
123
9.1
Categorie e spazi di Baire
9.2
Funzioni semicontinue
9.3
Teoremi di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4
Net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.5
Topologie deboli
9.5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Convergenza
w
e
w∗
di net e successioni . . . . . . . . . . 140
Capitolo 1
Insiemi e involucri
Notazione 1 (Spazi vettoriali reali). A meno che diversamente specicato si
supporrà che ogni spazio vettoriale nominato in questi appunti sia uno spazio
vettoriale reale.
1.1
Compattezza dell'involucro convesso
Denizione 2 (Segmento, retta). Sia
X
uno spazio vettoriale e siano
x, y ∈ X .
Si deniscono come segue i segmenti
[x, y]
:= { (1 − t) x + ty | t ∈ [0, 1]} ,
[x, y)
:=
[x, y] \ {y} ,
(x, y]
:=
[x, y] \ {x} ,
(x, y)
:=
[x, y] \ {x, y}
e la retta
←
→
xy
:= { (1 − t) x + ty | t ∈ R} .
Osservazione 3 (Simmetria). Per ogni
(y, x]
e
←
→=←
→.
xy
yx
x, y ∈ X ,
Denizione 4 (Insieme lineare/ane/convesso). Siano
e
A⊂X
• A
X
uno spazio vettoriale
non vuoto. Si dice che
è lineare se
A
è un sottospazio vettoriale di
∀x, y ∈ A, ∀α, β ∈ R,
• A
[x, y] = [y, x], [x, y) =
si ha
è ane se per ogni
x, y ∈ A
si ha
↔
xy ∈ A,
X,
i.e. se
αx + βy ∈ A;
i.e. se
∀x, y ∈ A, ∀α, β ∈ R, α + β = 1,
αx + βy ∈ A;
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
•
x, y ∈ A
A è convesso se per ogni
si ha
5
[x, y] ∈ A,
∀x, y ∈ A, ∀α, β ∈ [0, 1], α + β = 1,
Osservazione 5. Lineare
⇒
ane
⇒
αx + βy ∈ A.
convesso, ma non valgono i viceversa.
Proposizione 6 (Traslati di ani sono ani). Siano
A⊂X
ane e
x0 ∈ X .
i.e. se
X
uno spazio vettoriale,
Allora
.
e := A − {x0 } =
A
{ x ∈ X | x = x0 − x0 , x0 ∈ A}
è ane.
Dimostrazione. Infatti per ogni
e
x, y ∈ A
e per ogni
α, β ∈ R
con
α+β = 1
si
ha
αx + βy
=
α (x0 − x0 ) + β (y 0 − x0 )
=
αx0 + βy 0 − (α + β) x0
| {z } | {z }
∈
e
A.
∈A
Esercizio 7. Siano
X
=1
uno spazio vettoriale e
A⊂X
non vuoto. Si dimostri
che
1.
A
è lineare se e solo se
2.
A
è ane se e solo se
A
A
è ane e
0 ∈ A.
è il traslato di un insieme lineare e tale insieme
lineare è unico.
3. L'intersezione di una famiglia arbitraria di insiemi lineari(/ani/convessi)
è un insieme lineare(/ane/convesso).
Svolgimento.
1.
⇒)
Se
⇐)
Siano
A
è lineare, è chiaro che
A ane e 0 ∈ A.
A
sia ane e
0 ∈ A.
Si ssino arbitrariamente
x, y ∈ A e α, β ∈ R.
Per ipotesi
v :=
1
(αx + βy) ∈ A.
α + β | {z }
=:w
Si vuole dimostrare che
w ∈ A.
Essendo
A
ane e
0 ∈ A,
↔ .
.
A ⊃ 0v = { (1 − t) 0 + tv | t ∈ R} = { tv | t ∈ R} ,
dunque
w = (α + β) v ∈ A.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
2.
⇒)
Sia
A
ane. Si ssi arbitrariamente
6
a ∈ A,
allora
.
L := A − {a} = { x ∈ X | x = x0 − a, x0 ∈ A}
0,
L è lineare.
Si vuole dimostrare che L sia l'unico traslato lineare di A. Per ogni
x0 ∈ X \ A, l'insieme A − {x0 } non è lineare, in quanto 0 ∈
/ A − {x0 },
mentre per ogni x0 ∈ A, l'insieme A−{x0 } è lineare, in quanto ane e
contenente l'origine. Si vuole dunque dimostrare che per ogni x0 ∈ A,
L = A − {x0 }. Siano allora x0 , x0 ∈ A arbitrari. Si vuole dimostrare
0
0
che x − x0 ∈ L e che x − a ∈ A − {x0 }. Poiché L è lineare, da
0
x − a ∈ L e x0 − a ∈ L segue x0 − x0 = (x0 − a) − (x0 − a) ∈ L.
0
Poiché A − {x0 } è lineare, da x − x0 ∈ A − {x0 } e a − x0 ∈ A − {x0 }
0
0
segue x − a = (x − x0 ) − (x0 − a) ∈ A − {x0 }.
è un insieme ane (per l'osservazione precedente) e contiene lo
in quanto
⇐)
0 = a − a.
Per il punto precedente, dunque,
Segue banalmente dalle due osservazioni precedenti.
3. Segue in modo ovvio dalle denizioni.
Denizione 8 (Dimensione algebrica di un insieme ane). Siano
vettoriale e
con
A⊂X
dim (A),
la dimensione algebrica dell'unico sottospazio
tale che esista
X uno spazio
A, e si indica
vettoriale V di X
ane. Si denisce dimensione (algebrica) di
x0 ∈ X
tale che
A = V − {x0 }.
Osservazione 9. Per il punto 2 dell'Esercizio 7, la denizione precedente è ben
posta. Dalla denizione segue inoltre in modo ovvio che se
è un traslato di
A,
allora
Denizione 10 (Involucro lineare/ane/convesso). Siano
toriale e
•
A⊂X
\
{ L ⊂ X | L ⊃ A, L
lineare} ;
\
{ Λ ⊂ X | Λ ⊃ A, Λ
ane} ;
involucro ane, l'insieme
involucro convesso, l'insieme
conv (A) :=
\
{ C ⊂ X | C ⊃ A, C
è ane e
e
A
uno spazio vet-
involucro lineare, l'insieme
aff (A) :=
•
X
non vuoto. Si deniscono
span (A) :=
•
A⊂X
e .
dim (A) = dim A
convesso} .
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
7
Denizione 11 (Dimensione e codimensione algebrica di un insieme non vuoto). Siano X uno spazio vettoriale e A ⊂ X non vuoto. Si denisce dimensione
A
(algebrica) di
dim (A) := dim (aff (A)) .
A ha codimensione (algebrica) n e si scrive codim (A) = n se, detto
L l'unico traslato lineare di aff (A), esiste un isomorsmo di spazi vettoriali
Φ : L × Rn → X .
Si dice che
Esercizio 12. Sia A un sottoinsieme di condimensione n di uno spazio vettoriale
nito-dimensionale
X.
Denizione 13 (Iperpiano). Siano
che
H
codim (A) := dim (X) − dim (A) .
Si dimostri che
è un iperpiano se
H
è ane e
X uno spazio vettoriale
codim (H) = 1.
Denizione 14 (Funzionale). Siano
X uno spazio
ϕ : X → K.
e
H ⊂ X.
Si dice
vettoriale su un campo
K.
Un funzionale è una qualunque mappa
Denizione 15 (Duale algebrico). Sia
duale algebrico di
X
X
uno spazio vettoriale.
X ] := { ϕ : X → R | ϕ
Gli elementi
ϕ ∈ X]
lineare} .
prendono il nome di funzionali lineari.
Teorema 16. Siano
se e solo se esistono
Si denisce
l'insieme
X uno spazio vettoriale e H ⊂ X .
ϕ ∈ X ] \ {0} e α ∈ R tali che
Allora
H
è un iperpiano
H = ϕ−1 (α) .
Dimostrazione.
⇒)
Sia
x0 ∈ H
arbitrario. Allora
Esiste dunque
`x ∈ L
v ∈ X \L
L := H − {x0 } è lineare di codimensione 1.
x ∈ X esistono unici tx ∈ R ed
tale che, per ogni
tali che
x = `x + tx v.
Si consideri il funzionale lineare
ϕ:X
→
x 7→
Poiché
ϕ−1 (0) = L,
per ogni
x∈X
R,
ϕ (x) := tx .
si ha
x ∈ H ⇔ x − x0 ∈ L ⇔ ϕ (x − x0 ) = 0 ⇔ ϕ (x) = ϕ (x0 ) .
Ponendo
−1
ϕ
(α).
α := ϕ (x0 ),
si ha dunque
x ∈ H ⇔ x ∈ ϕ−1 (α),
ovvero
H =
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
⇐)
8
H := ϕ−1 (α). Si dimostra, per cominciare,
−1
che H è un traslato del nucleo ϕ
(0). Poiché ϕ 6= 0, esiste y0 ∈ X tale
che ϕ (y0 ) = α. Sia K := H − {y0 }. Allora, per ogni x ∈ K , ϕ (x) = 0,
−1
dunque K ⊂ ϕ
(0). Viceversa, per ogni y ∈ ϕ−1 (0), da ϕ (y) = 0 e
y = y + y0 − y0 , segue
Siano
ϕ ∈ X ] \ {0}, α ∈ R
e
ϕ (y + y0 ) = ϕ (y0 ) = α,
K = ϕ−1 (0) e H è un suo
traslato. Basta inne dimostrare che ϕ
(0) ha codimensione unitaria.
Analogamente a quanto fatto sopra, poiché ϕ 6= 0, esiste v0 ∈ X tale che
ϕ (v0 ) = 1. Allora per ogni x ∈ X si ha
ovvero
y + y0 ∈ H ,
y ∈ K.
da cui
Pertanto
−1
x =
x − ϕ (x) v0 +ϕ (x) v0 .
|{z}
{z
}
|
∈ϕ
/ −1 (0)
∈ϕ−1 (0)
Corollario 17. Siano
X
uno spazio vettoriale e
ϕ ∈ X ] \ {0} tale che
H ⊂ X.
Allora
H
è un
iperpiano se e solo se esiste
H = ker (ϕ)
oppure
H = ϕ−1 (1) .
Denizione 18 (Combinazione lineare/ane/convessa). Siano
vettoriale e
•
uno spazio
λ1 , . . . , λP
n ∈ R,
n
i=1 λi xi è una combinazione
Pn
• se λ1 , . . . , λn ∈ R e j=1 λj = 1,
Pn
si dice che
i=1 λi xi è una combinazione
Pn
• se λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] e j=1 λj = 1,
Pn
si dice che
i=1 λi xi è una combinazione
se
si dice che
Proposizione 19. Siano
A
X
x1 , . . . , x n ∈ X ;
è convesso
⇔ A
X
lineare ;
ane ;
convessa.
uno spazio vettoriale e
A⊂X
non vuoto. Allora
contiene ogni combinazione convessa dei suoi elementi (di
qualsiasi lunghezza).
Dimostrazione.
⇐)
Segue direttamente dalla denizione di insieme convesso.
⇒)
Si procede per induzione sulla lunghezza delle combinazioni convesse. La
combinazione di un punto vale banalmente, quella di due punti per denizione di convessità.
convesse di
e
k
punti.
Si assuma che la tesi valga per combinazioni
Si ssino allora arbitrariamente
λ1 , . . . , λk+1 ∈ [0, 1]
con
Pk+1
j=1 λj = 1.
x1 , . . . , xk+1 ∈ X
Senza perdere in generalità
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
9
(se no la tesi è banalmente vericata) si può supporre
λk+1 ∈ [0, 1).
λk+1 6= 1,
ovvero
Si ha dunque
k+1
X
λi xi =
i=1
k
X
λi xi + λk+1 xk+1 .
i=1
Osservando che
k
X
λi = 1 − λk+1 ,
i=1
si ha
(1 − λk+1 )
k
X
i=1
|
∈A
A
perché
λi
xi +λk+1 xk+1 ∈ A
| {z }
1 − λk+1
∈A
{z
}
(per ip. d'induz.)
è convesso.
Proposizione 20. Siano
X uno spazio vettoriale e A ⊂ X non vuoto. Allora
A è ane ⇔ A contiene ogni combinazione ane dei suoi elementi (di qualsiasi
lunghezza).
Dimostrazione. Analoga alla precedente, con l'atttenzione di indicizzare i punti
x1 , . . . , xk+1
in modo tale che
Teorema 21. Siano
X
λk+1 6= 1.
uno spazio vettoriale e
conv (A) = {combinazioni
Dimostrazione. Sia
C
A⊂X
convesse di elementi di
α, β ≥ 0
e
α + β = 1,
α
n
X
Pn
λi xi + β
m
X
µj yj =
n
X
j=1
αλi +
i=1
m
X
βyj = α
j=1
n
X
A,
λi +β
C ⊃PA. Inoltre C è
m
λi xi e j=1 µj yj in C ,
C ⊃ conv (A).
convessa di elementi di
m
X
βµj yj
j=1
con coecienti non negativi e tali
m
X
yj = α + β = 1.
i=1
j=1
| {z }
| {z }
=1
Pertanto
αλi xi +
i=1
è una combinazione lineare di elementi di
n
X
i=1
allora
i=1
che
A} .
il membro di destra. Chiaramente
convesso, infatti prese due combinazioni convesse
se
non vuoto. Allora
=1
x ∈ C , poiché x è una combinazione
A ⊂ conv (A), allora x è (più in generale) una
elementi di conv (A) e la Proposizione 19 garantisce
Viceversa, per ogni
A
combinazione convessa di
e
che gli insiemi convessi siano chiusi rispetto a combinazioni convesse.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
Teorema 22. Siano
X
10
A⊂X
uno spazio vettoriale e
aff (A) = {combinazioni
non vuoto. Allora
ani di elementi di
A} .
Dimostrazione. Analoga alla precedente.
Teorema 23 (Carathéodory). Siano
d∈N
e
A⊂X
conv (A) =

d
X

A
uno spazio vettoriale di dimensione
i=0

d

X
λi xi x0 , . . . , xd ∈ A, λ0 , . . . , λd ∈ [0, 1] ,
λj = 1 ,

j=0
ovvero l'involucro convesso di
elementi di
X
non vuoto. Allora
A
è l'insieme di tutte le combinazioni convesse di
di lunghezza (al più)
d + 1.
C il membro di destra. Per il Teorema 21, C ⊂ conv (A).
x
∈
conv
(A). Esistono dunque x0 , . . . , xn ∈ A e λ0 , . . . , λn ∈
Pn
λ
=
1
e
i
i=0
n
X
λi xi = x.
Dimostrazione. Sia
Viceversa, sia
[0, 1],
con
i=0
n ≤ d, aggiungendo eventualmente dei coecienti nulli, segue x ∈ C . Sia
dunque n > d. Senza perdere in generalità si può supporre x0 = 0 (basta traslare
A in A − {x0 }). Essendo n > d, x1 , . . . , xn sono linearmente
dipendenti, dunque
Pn
esistono α1 , . . . , αn ∈ R, non tutti nulli, tali che
α
x
=
0. Senza perdere
i=1 i i
Pn
in generalità si può supporre che
α
≥
0
(basta
passare
eventualmente
da
i=1 n
α1 , . . . , αn a −α1 , . . . , −αn ). Per ogni t ≥ 0, si ha
Sel
x=
n
X
i=1
Si noti che, per ogni
Detto
(λi − tαi ) xi .
| {z }
=:µi (t)
i ∈ {1, . . . , n},
αi ≤ 0
=⇒
µi ≥ 0,
αi > 0
=⇒
[µi ≥ 0 ⇐⇒ t ≤ λi /αi ] .
I + := { i ∈ {1, . . . , n} | αi > 0},
1
siano dunque
i0
∈
arg min
i∈I +
t0
Allora, per ogni
:=
x=
n
X
i=1
i6=i0
noti che
I+
è non vuoto.
,
λi0
.
αi0
i ∈ {1, . . . , n}, µi (t0 ) ≥ 0
Pertanto
1 Si
λi
αi
ed in particolare
µi (t0 ) xi
µi0 (t0 ) = 0.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
11
ed osservando che
n
X
s :=
µi (t0 ) =
i=1
i6=i0
n
X
λi −t0
x=
n
X
i=1
i6=i0
αi ≤ 1.
i=1
i=1
| {z }
| {z }
≤1
si ottiene che
n
X
≥0
µi (t0 ) xi + (1 − s) x0
|{z}
=0
è una combinazione convessa di (al più)
in meno di quella di partenza.
n
punti, cioè di (almeno) un punto
Iterando il procedimento si conclude quindi
n ≤ d.
Esempio 24 (Carathéodory è ottimale). Può capitare che per rappresentare l'involucro convesso di un insieme non vuoto siano necessarie combinazioni
convesse di esattamente
d+1
punti.
Ad esempio, nel piano, dati tre punti
non allineati, tutte le combinazioni convesse di due dei tre punti costituiscono
i lati del triagolo aventi i tre punti come vertici (che ovviamente non è convesso in
R2 ).
Le combinazioni convesse dei tre punti costituiscono invece tutto il
triangolo (pieno!) ovvero l'involucro convesso dell'insieme dei tre punti.
1
1
0
0
0
1
0
1
Figura 1.1.1: A sinistra: l'insieme delle combinazioni convesse di due elementi
dell'insieme
{(0, 1) , (1, 0) , (0, 1)}.
Corollario 25. Sia
X
A destra: l'involucro convesso dell'insieme.
2
uno spazio normato
compatto e non vuoto. Allora
conv (K)
nito-dimensionale. Sia
K ⊂X
è compatto.
d := dim (X). Per il Teorema di Carathéodory


d
d
X

X
conv (K) =
λi yi y0 , . . . , yd ∈ K, λ0 , . . . , λd ∈ [0, 1] ,
λj = 1 .


i=0
j=0
Dimostrazione. Sia
2 Il
presente
risultato
rimane
valido
nito-dimensionali. Vedi Corollario 42.
in
spazi
vettoriali
topologici
di
Hausdor
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
Posto
Λ :=


12
d+1
λ := (λ0 , . . . , λd ) ⊂ [0, 1]

si ha chiaramente
Λ chiuso in Rd+1
e
Λ ⊂ [0, 1]
d+1

X

d
λj = 1 ,

j=0
, dunque
Λ compatto in Rd+1 .
Si noti allora che, posta
F : Λ × K d+1
λ, y
→ X,
d
X
7→ F λ, y :=
λi yi ,
i=0
F
è continua,
Λ × K d+1
è compatto (per il Teorema di Tychono ) e
conv (K) = F Λ × K d+1 ,
dunque anche
conv (K)
è compatto.
Esercizio 26. Sia X uno spazio vettoriale normato. Si dimostri che se {xn }n∈N
X
⊂
è una successione di Cauchy ed esiste una sua sottosuccessione convergente,
allora
{xn }n∈N
converge.
x ∈ X e {nk }k∈N ⊂ N
ε > 0. Per ipotesi
Svolgimento. Siano
arbitrariamente
tali che
x nk
k→+∞
−→
x.
Si ssi
•
esiste
N ∈ N tale che, per ogni m, n ∈ N tali che m, n ≥ N , kxn − xm k < ε,
•
esiste
M ∈N
tale che, per ogni
Dunque, per ogni
m, k ∈ N
k∈N
tali che
tale che
nk ≥ M , kxnk − xk < ε.
m, nk ≥ max {N, M },
kxm − xk = kxm − xnk + xnk − xk ≤ kxm − xnk k + kxnk − xk ≤ 2ε.
Teorema 27. Sia
X
uno spazio vettoriale normato. Le seguenti aermazioni
sono equivalenti:
1.
X
è di Banach;
2. ogni serie di elementi di
semplicemente in
X
che converge assolutamente in
X,
converge
X.
Dimostrazione.
1. ⇒ 2.)
Sia
{xn }n∈N ⊂ X ,
ha
dunque
P+∞
kxn k < +∞. Allora, se n, m ∈ N, n ≤ m,
X
n
+∞
X
X
m
kSm − Sn k := x
−
x
≤
kxi k ,
j
i
j=1
i=n+1
i=1
{Sn }n∈N
con
n=1
è di Cauchy.
si
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
2. ⇒ 1.)
Sia
{xn }n∈N ⊂ X
13
di Cauchy. Allora esiste una successione
k, i, j ∈ N,
crescente, tale che, per ogni
con
i, j ≥ n (k)
{n (k)}k∈N ⊂ N
si ha
kxi − xj k ≤ 1/2k .
(1.1.1)
Si deniscano allora
y1
:= xn(1) ,
.
.
.
yk
.
.
.
:= xn(k) − xn(k−1)
.
.
.
Da (1.1.1), per ogni
da cui
P+∞
k=1 yk
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P+∞
k ∈ N si ha kyk k ≤ 1/2k−1 , dunque
converge. Conseguentemente, per ogni
m
X
yk = xn(1) +
k=1
m
X
k=1 kyk k < +∞,
m ∈ N,
xn(k) − xn(k−1) = xn(m) .
k=2
Quindi la successione di Cauchy
{xn }n∈N
ha una sottosuccessione conver-
gente ed è pertanto convergente.
Esempio 28. In spazi vettoriali innito-dimensionali, non è detto che l'involucro convesso di insiemi compatti sia a sua volta compatto. Si consideri lo spazio
di Banach
`2 :=


+∞
x = (xn )n=1

e per ogni
n ∈ N,
Chiaramente
K
⊂ R kxk :=
+∞
X
2
|xn |
n=1
n
sia
!1/2
en := (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) ∈ `2 . Sia
1 K=
en n ∈ N ∪ {0} .
n
è compatto in
`2 .
Si noti che
+∞
X
1
= 1.
2n
n=1
Si consideri la combinazione convessa innita
x :=
+∞
X
1 1
en .
2n n
n=1
< +∞



1.1 Compattezza dell'involucro convesso
14
`2 poiché converge assolutamente. Si noti che x ∈
/ conv (K),
infatti il supporto di x contiene un'innità numerabile di punti e conv (K) contiene solo successioni a supporto nito, in quanto ogni elemento di K è diverso
PN
n
da zero in un unico numero naturale. Detta, per ogni N ∈ N, σN :=
n=1 1/2 ,
Questa converge in
si ha
N
X
1 1
e
n
N →+∞
2n n
n=1
N
X
1
1 1
e
,
=
lim σN
n
N →+∞
2 n σN n
n=1
{z
}
|
x
=
lim
=:cN ∈conv(K)
dunque, osservando che esistono i limiti
x=
lim σN cN =
N →+∞
lim σN lim cN ,
N →+∞
{z }
N →+∞
|
=1
si ha
x=
pertanto
conv (K)
lim cN ∈ conv (K),
N →+∞
non è chiuso, dunque non è compatto. È proprio la chiusura
la proprietà che viene a mancare nel caso generale.
Denizione 29 (Interno topologico). Siano
(X, τ ) uno spazio topologico e A ⊂
A. Talvolta si
scriverà int(X,τ ) (o con un abuso di notazione intX (A)) per specicare che
l'interno di A è riferito alla topologia dello spazio topologico (X, τ ). Si dice che
int (A) è l'interno topologico di A.
X.
Si indica con
int (A)
l'insieme dei punti interni dell'insieme
Denizione 30 (Spazio vettoriale topologico, topologia lineare). Uno spazio
vettoriale topologico è una coppia
(X, τ ) dove X
è uno spazio vettoriale,
τ
è una
topologia e le seguenti applicazioni sono continue
X ×X
→
X,
(x, y) 7→
R×X
Se
(X, τ )
→
X,
(t, x) 7→
tx.
è uno spazio vettoriale topologico si dice che la topologia
Osservazione 31 (Importante). Siano
X
e
x + y,
t0 ∈ R \ {0}.
X
τ
è lineare.
uno spazio vettoriale topologico,
Allora
x
7→ x + y0 ,
x
7→ t0 x
y0 ∈
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
X
sono omeomeorsmi di
su
X,
15
infatti loro e le loro inverse sono restrizioni di
funzioni continue. Dunque l'insieme degli intorni di ogni punto è in corrispondenza biunivoca con l'insieme degli intorni dell'origine. In formule, detto per
ogni
x0 ∈ X ,
U (x0 ) := { V ⊂ X | x0 ∈ int (V )} ,
x0 ∈ X ,
si ha, per ogni
U (x0 ) = { x0 + V | V ∈ U (0)} .
Proposizione 32. Sia
esiste
V ∈ U (0)
Dimostrazione. Sia
continua in
X uno spazio
V + V ⊂ U.
vettoriale topologico. Per ogni
U ∈ U (0)
tale che
(0, 0),
U ∈ U (0) arbitrario. Poiché 0 + 0 = 0 ∈ U
V ∈ U (0) tale che V + V ⊂ U .
e la somma è
esiste
Osservazione 33 (Spazi normati). Si rilegga l'osservazione precedente nel caso
ε > 0 esiste un δ > 0 tale che Bδ (0)+Bδ (0) ⊂ Bε (0),
ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ X con
kxk , kyk < δ , si ha kx + yk < ε. Dalla disuguaglianza triangolare segue che
un qualunque δ < ε/2 funziona. La proprietà dimostrata nella proposizione
di spazi normati. Per ogni
ovvero che per ogni ogni
precedente esprime dunque, in forma più debole, la disuguaglianza triangolare.
Esercizio 34. Sia
dimostri che esiste
X uno spazio vettoriale topologico, V ∈ U (0) ed x ∈ X . Si
t0 > 0 tale che per ogni t ≥ t0 si abbia x ∈ tV . Un insieme
con questa proprietà prende il nome di insieme assorbente. Negli spazi vettoriali
topologici reali, dunque, tutti gli intorni sono assorbenti.
(0, x), esiδ > 0 tale che la preimmagine di V secondo tale applicazione contenga
[−δ, δ] ×{x}. In particolare, per ogni t ∈ [0, δ], tx ∈ V ⇔ x ∈ 1t V , i.e. per ogni
t ≥ t0 := 1/δ , x ∈ tV .
Svolgimento. Essendo la moltiplicazione per uno scalare continua in
ste
Fatto 35. Sia
X
uno spazio vettoriale topologico T2 d-dimensionale. Allora
3 tra X e Rd è un isomorsmo di spazi vettoriali
ogni isomorsmo algebrico
4
topologici .
Osservazione 36. Se
X
T2
non è
esistono dei controesempi al risultato prece-
dente.
Corollario 37. Siano
X, Y
X
mensione (nita!). Allora
T2 della stessa disono isomor (come spazi vettoriali topologi-
spazi vettoriali topologici reali
e
Y
ci).
Osservazione 38. Il corollario precedente aerma che, a meno di isomorsmi,
Rd
è l'unico spazio vettoriale topologico
3 Applicazione
4 Cioè è anche
biunivoca e lineare.
omeomorsmo.
T2
di dimensione
d.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
16
Osservazione 39. Vale un risultato analogo in spazi normati. Poiché su
Rd
tutte le norme sono equivalenti, ogni isomorsmo algebrico
mato
X
ed
Rd
è un isomorsmo di spazi normati. Per ogni
denire una norma
|||α||| = T −1 (α)X , che rende T
T tra uno spazio norα ∈ Rd si può infatti
un omeomorsmo. Questo
implica in particolare che ogni spazio vettoriale topologico nito-dimensionale
X
sia normabile.
Fatto 40. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico
nito-dimensionale. Allora
Y
Osservazione 41. Di nuovo, se
Corollario 42. Siano
X
T2
Y ⊂ X
e
sottospazio
è chiuso.
X
non fosse
T2
il risultato non sarebbe valido.
uno spazio vettoriale topologico
conv (K)
e nito-dimensionale. Allora
T2
e
K⊂X
compatto
è compatto.
0 ∈ C , dunque
Y := aff (K) = span (K) ha dimensione nita. Per il Fatto 35, procedendo come
nell'Osservazione 39, segue che Y è normabile. Grazie al Corollario 25 risulta
pertanto conv (K) compatto in Y e conseguentemente compatto in X .
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (basta traslare) sia
Corollario 43. Sia
Allora
conv (K)
X
uno spazio vettoriale topologico
Denizione 44 (Chiusura convessa). Siano
e
A ⊂ X
T2
e
K ⊂ X
nito.
è compatto.
non vuoto.
X ) l'insieme
\
conv (A) :=
{C ⊂ X | C
convesso chiuso di
A
X
uno spazio vettoriale topologico
Si denisce chiusura convessa di
A
in
X
(o involucro
in
Proposizione 45. Siano
X
convesso,
C
chiuso,
C ⊃ A} .
uno spazio vettoriale topologico e
A ⊂ X
non
vuoto. Allora
conv (A) = conv (A).
conv (A) ⊂ conv (A).
conv (A) ⊃ conv (A), dunque conv (A) =
Dimostrazione. Per denizione e per l'esercizio precedente
conv (A) ⊃ A,
conv (A) ⊃ conv (A).
Poiché
ed è convesso,
Denizione 46 (Insieme totalmente limitato/precompatto). Siano
X uno spaE ⊂ X non vuoto. Si dice che E è totalmente limitato (o precompatto ) se per ogni ε > 0 esiste F ⊂ E nito tale che, per ogni x ∈ E esiste y ∈ F
tale che d (x, y) < ε.
zio metrico e
Osservazione 47. In spazi normati la denizione precedente si può riscrivere
come segue. Per ogni
ε>0
esiste un insieme nito
E ⊂ F + Bε (0) =
[
F ⊂E
tale che
Bε (y) ,
y∈F
dove per ogni
x ∈ X , Bε (x)
è la bolla aperta centrata in
x
e di raggio
ε.
Alla
luce di questa osservazione è possibile dare un'analoga denizione negli spazi
vettoriali topologici.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
17
Denizione 48 (Insieme totalmente limitato/precompatto). Siano
X uno spaE ⊂ X non vuoto. Si dice che E è totalmente limitato
ogni V ∈ U (0) esiste F ⊂ E nito tale che E ⊂ F + V .
zio vettoriale topologico e
(o precompatto ) se per
Esercizio 49. Siano
E
X
che
E ⊂ X non vuoto.
V ∈ U (0) esiste F ⊂ X 5 nito tale
uno spazio vettoriale topologico e
è totalmente limitato se e solo se per ogni
E ⊂F +V.
Svolgimento. Se
E
è totalmente limitato la proprietà enunciata è banalmente
U ∈ U (0) arbitrario. Per la Proposizione 32 esiste V ∈ U (0)
0
0
0
0
tale che V +V ⊂ U . Sia V = V ∩(−V ). Allora V è simmetrico (cioè V = −V )
0
e V ∈ U (0). Sia F := {x1 , . . . , xn } ⊂ X tale che per ogni i ∈ {1, . . . , n},
(xi + V 0 ) ∩ E 6= ∅ e E ⊂ F + V 0 . Per ogni i ∈ {1, . . . , n}, sia x
ei ∈ E ∩ (xi + V 0 ):
0
0
0
da x
ei ∈ xi + V segue allora xi ∈ x
ei − V = x
ei + V e conseguentemente
xi + V 0 ⊂ x
ei + V 0 + V 0 ⊂ x
ei + U . Detto Fe := {e
x1 , . . . , x
en } ⊂ E , si ha pertanto
E ⊂ F + V 0 ⊂ Fe + U .
vera. Viceversa, sia
Osservazione 50. Esiste una teoria (detta degli spazi uniformi) che racchiude
sia la teoria degli spazi metrici che degli spazi vettoriali topologici. Il formalismo di questa teoria è però piuttosto pesante, pertanto in questo corso si preferirà enunciare separatamente i risultati per spazi metrici e per spazi vettoriali
topologici.
Teorema 51. Siano
compatto se e solo se
X uno spazio metrico e E ⊂ X non
E è totalmente limitato e completo.
vuoto. Allora
E
è
Osservazione 52. Esiste una versione del teorema precedente che caratterizza
i sottoinsiemi compatti degli spazi vettoriali topologici, tuttavia necessita della
nozione di completezza in uno spazio vettoriale topologico che per motivi di
tempo (e tutto sommato di rilevanza) non verrà arontata in questo corso.
Teorema 53. Siano
Se
E
X
è compatto, allora
uno spazio vettoriale topologico ed
E
E⊂X
non vuoto.
è totalmente limitato.
V ∈ U (0). Esiste allora W ∈ U (0)
W ⊂ V . Poiché R := { x + W | x ∈ E} è un ricoprimento
aperto del compatto E , è possibile estrarre da R un sottoricoprimento nito.
Esiste pertanto un insieme nito F tale che E ⊂ { x + W | x ∈ F }, ovvero
E ⊂ F + W e di conseguenza E ⊂ F + V .
Dimostrazione. Si ssi arbitrariamente
aperto e tale che
Esempio 54. Non vale il viceversa. L'intervallo
(0, 1) ⊂ R
è totalmente li-
mitato ma non è compatto. Come si vedrà poco più avanti (Corollario 60 ed
Osservazione 61 la mancata compattezza è dovuta all'incompletezza.
Esercizio 55. Sia
5 Nella
denizione,
E ⊂ R. E
F ⊂ E.
è limitato se e solo se
E
è totalmente limitato.
1.1 Compattezza dell'involucro convesso
Svolgimento. Se
E
sia
limitato.
generalità, sia
E
è totalmente limitato,
a, b ∈ R
Allora esistono
a = 0
(basta traslare).
(se no la tesi è banalmente vericata).
E
18
è banalmente limitato. Viceversa,
tali che
E ⊂ [a, b].
Senza perdere in
b > 0
ε ≥ b, E ⊂
Senza perdere in generalità, sia
Sia
ε > 0
arbitrario.
Se
{b/2} + (−ε, ε) e la tesi segue dall'Esercizio 49. Se invece ε < b, per la proprietà
di Archimede dei numeri reali esiste n ∈ N tale che nε ≥ b. Detto dunque
n
F := {kε}k=0 , si ha E ⊂ F + (−ε, ε) e la tesi segue nuovamente dall'Esercizio
49.
Esercizio 56. Siano
E⊂X
1.
2.
X
spazio vettoriale topologico (o uno spazio metrico) ed
non vuoto. Allora:
E
è totalmente limitato se e solo se la chiusura
E
è totalmente limitato se e solo se per ogni
totalmente limitato tale che
E ⊂ E0 + V .
E
è totalmente limitata;
V ∈ U (0)
esiste
E0 ⊂ E
(Suggerimento: per la freccia
non banale si applichi la denizione, si trova in questo modo una somma
del tipo
V +V.
Per concludere si sfrutta la Proposizione 32).
Svolgimento.
E
E è totalmente limitato.
U ∈ U (0) arbitrario. Per la
Proposizione 32 esiste V ∈ U (0) tale che V + V ⊂ U e V = −V (basta
0
passare a V = V ∩ (−V )). Sia F ⊂ E nito tale che E ⊂ F + V . Per
ogni x ∈ E , (x + V ) ∩ E 6= ∅. Poiché E ⊂ F + V , per ogni x ∈ E esistono
y ∈ F , v1 , v2 ∈ V tali che x + v1 = y + v2 , ovvero per ogni x ∈ E , si ha
x ∈ F + V − V = F + V + V ⊂ F + U.
1. Se
è totalmente limitato, per l'Esercizio 49
Viceversa, siano
2. Se
E
E
totalmente limitato e
è totalmente limitato la proprietà enunciata è banalmente vera. Vi-
ceversa, siano
V = −V
U ∈ U (0)
arbitrario e
V ∈ U (0)
tale che
(vedi punto precedente per esistenza). Sia
E0
V +V ⊂ U
E ⊂ E0 + V . Essendo E0 totalmente limitato esiste F
E0 ⊂ F + V , dunque E ⊂ E0 + V ⊂ F + V + V ⊂ F + U .
tato tale che
tale che
Denizione 57 (Spazio localmente convesso). Sia
pologico.
intorno
Si dice che
U ∈ U (x)
X
X
nito
uno spazio vettoriale to-
è localmente convesso se per ogni
esiste un intorno
e
totalmente limi-
V ∈ U (x), V ⊂ U
x ∈ X
e per ogni
convesso, i.e. se ogni
intorno contiene un intorno convesso.
Teorema 58. Sia
Se
E⊂X
X
vesso esiste un intorno convesso
E
è totalmente limitato
conv (E)
V ∈ U (0). Poiché X è localmente conW ∈ U (0) tale che W ⊂ V . Si ssi un tale W .
esiste F ⊂ E nito tale che E ⊂ F + W . Si ssi
Dimostrazione. Si ssi arbitrariamente
Poiché
T2 localmente convesso.
è totalmente limitato.
uno spazio vettoriale topologico
è totalmente limitato, allora
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
FP. Sia x ∈ conv (E).
n
i=1 λi = 1 e
un tale
tali che
Allora esistono
x=
n
X
19
λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1]
e
a1 , . . . , an ∈ E
λi ai .
i=1
Si ssino tali elementi. Poiché
ai ∈ {yi } + W .
y1 , . . . , yn si ottiene
tale che
E ⊂ F + W , per ogni i ∈ {1, . . . , n} esiste yi ∈ F
a1 , . . . , an con le rispettive approssimazioni
Sostituendo
y :=
n
X
λi yi ∈ conv (F ) .
i=1
Poiché
X
è
T2 ,
per il Corollario 42
conv (F )
è compatto, dunque è totalmente
limitato. Osservando che
x−y =
n
X
i=1
segue che
λi (ai − yi ) ∈ conv (W ) = W ⊂ V,
| {z }
∈W
x ∈ {y} + V ⊂ conv (F ) + V .
Dall'arbitrarietà di
x
e dall'Esercizio 56
segue quindi la tesi.
Esempio 59. Gli spazi normati sono tutti localmente convessi ma esistono spazi
(vettoriali topologici o metrici) non localmente convessi. Per ogni
spazi
Lp ([0, 1])
e
`p
non lo sono
6
e, ad esempio, in
Lp
p ∈ (0, 1),
gli
l'unico aperto convesso è
tutto l'intero spazio.
Corollario 60 (Importantissimo). Sia
compatto e non vuoto, allora
conv (K)
X
uno spazio di Banach. Se
K⊂X
è
è compatto.
conv (K) è totalmente limitato, dunconv (K) = conv (K) (Proposizione 45) lo è. Dato
X è completo, anche conv (K) è completo. Per il
Dimostrazione. Per il teorema precedente
que per l'Esercizio 56 anche
che
conv (K)
è chiuso e
Teorema 51 è pertanto compatto.
Osservazione 61. L'unica cosa che mancava nel controesempio in
`2
era la
chiusura.
1.2
Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
Proposizione 62. Siano
X uno spazio vettoriale topologico, C ⊂ X convesso,
x ∈ int (C), y ∈ C , t ∈ (0, 1) e z = (1 − t) x + ty . Allora, per ogni U ∈ U (x),
U ⊂ C , si ha V := (1 − t) U + ty ∈ U (z) e V ⊂ C .
6 Si
ricordi che la metrica in questo caso è denita senza l'elevamento alla
1/p.
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
Dimostrazione. Senza perdere in generalità si supponga
riamente
U ∈ U (0), U ⊂ C .
20
x=0
e si ssi arbitra-
Essendo ogni moltiplicazione per uno scalare non
(1 − t) U ∈ U (0). Essendo C convesso e 0 ∈ C ,
(1 − t) U ⊂ (1 − t) C ⊂ C . Essendo z = ty e ogni traslazione un omeomoersmo, si ha V = (1 − t) U + ty ∈ U (z). Poiché y ∈ C , dalla convessità di
C segue inne V ⊂ C .
nullo un omeomorsmo, si ha
si ha
Corollario 63. Siano
x ∈ int (C)
ed
y ∈ C.
X
uno spazio vettoriale topologico,
Allora
C ⊂ X
convesso,
[x, y) ∈ int (C).
x = 0. Sia z ∈ [x, y)
z 6= x e x 6= y (altrimenti
Siano t ∈ (0, 1) tale che z = tz e U ∈ U (0),
t
ye ∈ y − 1−t
e := 1−t
(y − ye), si ha
t U ∩ C . Detto x
Dimostrazione. Senza perdere in generalità si supponga
arbitrario. Senza perdere in generalità si suppongano
la tesi è banalmente vera).
U ⊂ C . Poiché y ∈ C , esiste
x
e∈U ⊂C e
(1 − t) x
e + te
y = t (y − ye) + te
y = ty = z.
Dalla proposizione precedente segue pertanto
z ∈ int (C).
↔
Osservazione 64. Se
x ∈ int (C) e y ∈
/ int (C) i punti sulla retta xy successivi
a y non cadranno certamente in int (C) e neanche in C ! (Altrimenti si potrebbe
applicare di nuovo il teorema precedente.)
Corollario 65. Siano
Allora anche
int (C)
X
uno spazio vettoriale topologico e
C ⊂X
convesso.
C ⊂ X
convesso.
è convesso.
Dimostrazione. Segue direttamente dal Corollario 63.
Esercizio 66. Siano
Allora anche
C
X
uno spazio vettoriale topologico e
è convesso.
x, y ∈ C e z ∈ [x, y]. Si vuole vericare
λ ∈ [0, 1] tale che z = (1 − λ) x + λy e W ∈ U (0) arbitrario (si
Svolgimento. Si ssino arbitrariamente
che
z ⊂ C.
Siano
ricordi che per l'Osservazione 31 gli intorni dell'origine sono in corrispondenza
(a, b) 7→ (1 − λ) a+λb
U, V ∈ U (0) tali che (1 − λ) U +λV ⊂ W . Si vuole dimostrare
0
0
che esiste z ∈ C ∩ (z + W ). Poiché x, y ∈ C , esistono x ∈ C ∩ (x + U ),
0
0 0
y ∈ C ∩ (y + V ). Essendo C convesso, [x , y ] ⊂ C ed in particolare z 0 :=
(1 − λ) x0 + λy 0 ∈ C . Inne z 0 ∈ (z + W ), infatti
biunivoca con gli intorni di ogni punto). Essendo la mappa
continua, esistono
.
z 0 = (1 − λ) x0 + λy 0 ∈ (1 − λ) (x + U ) + λ (y + V ) ⊂ z + W.
Denizione 67 (Interno relativo). Siano
X uno spazio vettoriale topologico e
x0 ∈ ri (A) e si dice che x0 appartiene all'interno
relativo di A se x0 ∈ intaff(A) (A). Si considera cioè x0 come elemento dello
spazio ane aff (A) e si considera l'interno rispetto alla topologia indotta da X
su aff (A).
A⊂X
non vuoto. Si scrive
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
Esercizio 68. Siano
Allora
int (A) ⊂ ri (A)
X
uno spazio vettoriale topologico e
21
A⊂X
non vuoto.
ma in generale non vale il viceversa.
Svolgimento.
⊂)
Sia
x ∈ int (A).
Allora esiste
U
A tale che x ∈ U ⊂ A. Per
U ∩ aff (A) è aperto in aff (A) e x ∈
aperto in
denizione di topologia sottospazio
U ∩ aff (A) ⊂ A.
X = R2 , a := (−1, 0), b := (1, 0)
dunque 0 ∈ ri (A) e 0 ∈
/ int (A).
6⊃)
Siano
Teorema 69 (dell'interno relativo). Siano
T2
e
C⊂X
convesso con
A := [a, b].
e
X
0 < dim (C) < +∞.
Allora
aff (A) = R,
uno spazio vettoriale topologico
Allora
ri (C) 6= ∅.
0 ∈ C , dunque
{u1 , . . . , ud } ⊂ C base per
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (basta traslare) sia
Y := aff (C) = span (C).
Y . Si denisca
Siano
d = dim (span (C))
e
T : Rd
→ Y,
d
X
(α1 , . . . , αd ) →
7
αi ui .
i=1
Sia
E.
{e1 , . . . , ed } la base canonica di Rd . Chiaramente T −1 (C) ⊃ {0, e1 , . . . , ed } =:
−1
Essendo T lineare, T
(C) è convesso, dunque T −1 (C) ⊃ conv (E). Per il
Teorema di Carathéodory

d

X
αj = 1
αj ei α0 , . . . , αd ∈ [0, 1] ,
conv (E) =
α0 · 0 +


j=0
j=1


X
d


d αj ≤ 1 ,
=
(α1 , . . . , αd ) ∈ [0, 1] 

j=1


d
X
int (conv (E)) 6= ∅. Per il Fatto 35, T è un isomorsmo di spazi vettoriali
intY (T (conv (E))) 6= ∅ ed essendo T (conv (E)) ⊂ C segue
ri (C) 6= ∅.
allora
topologici, pertanto
Osservazione 70. Prima di proseguire si consiglia di leggere l'appendice sulle
categorie e spazi di Baire (sezione 9.1, pagina 123).
Denizione 71 (Interno algebrico). Siano
X uno spazio vettoriale e A ⊂ X .
x0 ∈ A appartiene all'interno algebrico di A e si scrive x0 ∈ a-int (A)
ogni v ∈ X esiste δ > 0 tale che, per ogni t ∈ (−δ, δ) si abbia
Si dice che
se per
x0 + tv ∈ A.
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
22
Osservazione 72. La stessa denizione si può enunciare equivalentemente per
t ∈ [0, δ).
Osservazione 73 (Informale). Appartenere all'interno algebrico di un insieme
signica che partendo un certo punto ci si può muovere per un po' lungo ogni
direzione senza uscire dall'insieme.
Osservazione 74. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico e
A ⊂ X
non
vuoto. Allora
a-int (A) = {x ∈ A | ∀Lx
retta passante per
x, x ∈ intLx (A ∩ Lx ) } .
Esercizio 75. Siano
X uno spazio vettoriale topologico e A ⊂ X . Se 0 ∈
a-int (A), allora A è assorbente, ovvero per ogni x ∈ X esiste t0 > 0 tale che,
per ogni t ≥ t0 , si abbia x ∈ tA.
Svolgimento. Essendo
abbia
tx ∈ A.
0 ∈ a-int (A) esiste δ > 0 tale che, per ogni t ∈ (−δ, δ),
t0 := 1/δ , per ogni t ≥ t0 si ha x ∈ tA.
Esercizio 76. Siano X uno spazio vettoriale topologico e A
∅,
si ha
si
Dunque, posto
⊂ X.
Se
a-int (A) 6=
aff (A) = X .
Svolgimento. Sia x ∈ a-int (A). Allora per ogni y ∈ X
→ 3 y.
(x − δy, x + δy) ⊂ A, dunque aff (A) ⊃ ←
xy
Esempio 77 (int (A)
6= a-int (A)).
esiste
δ > 0
tale che
In uno spazio vettoriale topologico, interno
(topologico) ed interno algebrico possono essere diversi. Ad esempio, in
R2 ,
si
consideri
A := D (−1, 1) ∪ ({0} × [−1, 1]) ∪ D (1, 1) .
Chiaramente l'origine non è un punto interno ad
A ma appartiene al suo interno
algebrico. Come vedremo nel seguito, per insiemi convessi questi due concetti
spesso coincidono.
Esercizio 78. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico e
A⊂X
non vuoto.
Si dimostri che
int (A) ⊂ a-int (A) .
x ∈ a-int (A).
x = 0, infatti x ∈ int (A) se e solo
se 0 ∈ int (A − x) e x ∈ a-int se e solo se 0 ∈ a-int (A − x) . Siano dunque
0 ∈ int (A) e v ∈ X arbitrario. Si vuole dimostrare l'esistenza di δ > 0 tale che,
per ogni t ∈ (−δ, δ), si abbia tv ∈ A. Per l'Esercizio 34, A è assorbente. Esiste
dunque t0 > 0 tale che, per ogni t ≥ t0 , si abbia v ∈ tA. Posto δ := 1/t0 si ha
dunque, per ogni t ∈ (0, δ), vt ∈ A. Essendo 0 ∈ A per ipotesi, dall'Osservazione
Svolgimento. Sia
x ∈ int (A)
arbitrario. Si vuole dimostrare che
Senza perdere in generalità si può supporre
72 segue la tesi.
Osservazione 79. Nei casi banali in cui
mente
int (A) = X o a-int (A) = ∅, chiaraint (A) = a-int (A) . Ci si chiede ora in quali altri casi gli intorni topologici
coincidano con quelli algebrici.
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
Teorema 80. Siano
X
23
C⊂X
uno spazio vettoriale topologico e
convesso. Si
supponga che valga almeno una delle seguenti:
1.
int (C) 6= ∅;
2.
X
è
3.
X
è uno spazio di Banach,
C
è di tipo
4.
X
è uno spazio di Banach,
C
è chiuso;
T2
e
C
è nito-dimensionale;
Fσ ;
allora
int (C) = a-int (C) .
Dimostrazione.
y ∈ int (C) ed x ∈ a-int (C). Si
x ∈ int (C). Essendo x ∈ a-int (C) esiste δ > 0 tale
x0 := x + δ (x − y) ∈ C . Per il Corollario 63, dunque
1. Per ipotesi e per l'Esercizio 78 esistono
vuole dimostrare che
che
x=
2. Per ipotesi
1
δ
y+
x0 ∈ int (C) .
1+δ
1+δ
aff (C) ha dimensione nita. Se esiste x ∈ a-int (C), per l'Eaff (C) = X . Allora anche X è nito-dimensionale. Per
69, ri (C) 6= ∅ ma essendo aff (C) = X si ha int (C) = ri (C) e
sercizio 76 si ha
il Teorema
la tesi segue dal punto precedente.
3. Sia
x ∈ a-int (C).
{Fn }n∈N ⊂ X
[
C=
Fn .
Per ipotesi esistono
chiusi tali che
n∈N
Senza perdere in generalità (basta traslare) sia
x = 0.
Essendo
C
assor-
bente,
!
X=
[
kC =
k∈N
[
k∈N
k
[
Fn
n∈N
Per il Teorema di Baire si esistono allora
∅.
=
[
kFn .
|{z}
k,n∈N chiuso
k0 , n0 ∈ N
tali che
int (k0 Fn0 ) 6=
Poiché la moltiplicazione per uno scalare non nullo è un omeomorsmo,
si ha
int (Fn0 ) 6= ∅,
da cui
int (C) 6= ∅
e la tesi segue nuovamente dal
primo punto.
4. Segue banalmente dal punto precedente.
Esercizio 81. Tutte le ipotesi nel teorema precedente sono necessarie. Per ogni
punto, si determinini un controesempio se una delle ipotesi viene a mancare.
Teorema 82. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico e
C⊂X
convesso.
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
1. Se
int (C) 6= ∅,
allora
24
C = int (C).
2. Se vale almeno una delle seguenti
(a)
int (C) 6= ∅,
(b)
X
allora
è
T2
e
C
è nito-dimensionale,
int (C) = int C
.
Dimostrazione.
C ⊃ int (C). Viceversa, sia x ∈ C . Si vuole dimostrare
x ∈ int (C), ovvero che ogni intorno di x interseca l'interno di C . Siano
U ∈ U (0) arbitrario e V ∈ U (0) tale che V +V ⊂ U . Essendo x ∈ C esiste
c ∈ C ∩ (x + V ) e per ipotesi esiste x0 ∈ int (C). Essendo C convesso,
per il Corollario 63 si ha [x0 , c) ⊂ int (C). Sia y ∈ [x0 , c) ∩ (c + V ), allora
y ∈ int (C) e
y ∈ c + V ⊂ x + V + V ⊂ x + U.
È chiaro che int (C) ⊂ int C .
1. È chiaro che
2.
int C 6= ∅ e si ssi arbitrariamente
x ∈ int C . Si vuole dimostrare x ∈ int (C). Per ipotesi esiste
x0 ∈ int (C). Essendo x ∈ int C , per l'Esercizio 78, x ∈ a-int C .
Esiste dunque ε > 0 tale che x + ε (x − x0 ) ∈ C . Essendo C convesso,
per il Corollario 63 si ha x ∈ [x0 , x + ε (x − x0 )) ⊂ int (C).
(a) Senza perdere in generalità, sia
Poiché X è T2 , essendo
aff
(C)
è chiuso. Allora C ⊂ aff (C),
dunque se x ∈ int C si ha aff (C) = X . Per il Teorema dell'interno
relativo (Teorema 69), ri (C) 6= ∅ e poiché aff (C) = X , int (C) =
ri (C). La tesi segue quindi dal punto precedente.
(b) Per ipotesi
aff (C)
aff (C)
è nito-dimensionale.
un sottospazio ane,
Esempio 83 (Le ipotesi sono necessarie). Sia
X
uno spazio normato innito-
f discontinuo
C = ker (f ), C è convesso (ovvio) e denso in X
C = X e da int (C) = ∅ segue int (C) = ∅ mentre
dimensionale. Si dimostra che esiste sempre un funzionale lineare
(Corollario 111) e che, detto
(Teorema 108).
int C = X .
Allora
Esercizio 84 (Importante). Siano
X
vettoriale topologico e
A⊂X
non vuoto.
Si dimostrino i seguenti punti.
1.
A
è convesso se e solo se per ogni
2. Si noti che se
generale).
A
α, β > 0
non è convesso il
⊂
si ha
αA + βA = (α + β) A.
nel punto precedente non vale (in
1.2 Interno topologico/relativo/algebrico e chiusura
3. Siano
X
uno spazio normato e
se e solo se
A chiuso (o A aperto).
25
Allora
A è convesso
A + A = 2A.
Svolgimento.
α, β > 0 si ha αA + βA = (α + β) A, questo vale in particolare
α + β = 1, dunque A è convesso. Viceversa, siano A convesso,
α, β > 0 e a, b ∈ A arbitrari. αA + βA ⊃ (α + β) A è sempre banalmente
β
α
vero. Essendo A convesso,
α+β a+ α+β b ∈ A, dunque αa+βb ∈ (α + β) A.
1. Se per ogni
quando
2. Siano
X = R2
ed
A = ([0, 1] × {0}) ∪ ({0} × [0, 1]),
allora
A + A 3 (1, 1) ∈
/
2A.
A convesso. Allora, per il primo punto, A + A = 2A. Viceversa, sia
A + A = 2A. Allora, per ogni a, b ∈ A, a+b
2 ∈ A (si dice in questo caso che
A è mid-point convesso 7 ). Siano a, b ∈ A e λ ∈ (0, 1) arbitrari. Si vuole
dimostrare che z := (1 − λ) a + λb ∈ A. Si introduca su [a, b] la relazione
d'ordine naturale ≤ indotta da R tramite la mappa t 7→ (1 − t) a + tb.
a +b1
Siano a1 := a, b1 := b, z1 := 1
e per ogni n ∈ N si deniscano
2
(
(
zn , se z ≤ zn ,
an , se z ≤ zn ,
bn+1 :=
an+1 :=
bn , se z > zn
zn , se z > zn ,
3. Sia
an+1 +bn+1
.
2
n ∈ N, zn = z , A è convesso.
n ∈ N, kzn − zk ≤ kb−ak
2n , si ha limn→+∞ zn =
z . Se A è chiuso, si ha pertanto z ∈ A. Si supponga inne che A sia
aperto e si ssi ε ∈ (0, min (kz − ak , kz − bk)). Poiché {zn }n∈N ⊂ [a, b]∩A
e zn → z esistono inniti punti {znk }k∈N ⊂ Bε := (a, b) ∩ Bε (z) ∩ A.
c
Inoltre, poiché A è aperto, l'insieme Nε := (a, b) ∩ Bε (z) ∩ A non è denso
in [a, b] ∩ Bε (z). Se così fosse, infatti, per ogni δ > 0, Nε intersecherebbe
Bδ (zn1 ), ma essendo A aperto e zn1 ∈ A esiste δ 0 > 0 tale che Bδ0 (zn1 ) ⊂
A. A meno di restringere δ 0 , si può supporre Bδ0 (zn1 ) ∩ (a, b) ⊂ Bε . Sia
D il simmetrico di Bδ0 (zn1 ) rispetto a z , ovvero l'insieme 2z − Bδ0 (zn1 ).
Chiaramente, anche D ∩ (a, b) ⊂ Bε . Procedendo come per z , si nota che
A ∩ (a, b) è denso in (a, b). In particolare, dunque D ∩ (a, b) ∩ A 6= ∅.
0
Fissato quindi un qualunque b ∈ D ∩ (a, b) ∩ A e preso il corrispettivo
0
0
a := 2z − b ∈ Bδ0 (zn1 ) ⊂ A si sono determinati due punti a0 , b0 ∈ A tali
a0 +b0
che
= z . Per la convessità mid-point, dunque, z ∈ A.
2
e
zn+1 :=
Se per qualche
Viceversa, poiché per ogni
7 Si noti che in generale un insieme mid-point convesso non è convesso.
dei numeri razionali
Q ⊂ R.
Ad esempio l'insieme
Capitolo 2
Funzioni lineari, ani e
convesse
2.1
Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali
Notazione 85 (X, Y, A, C ). Durante l'intera sezione, tranne che quando specicato, si indicheranno con
ane di
X
e con
C
X, Y
degli spazi vettoriali reali, con
un sottoinsieme convesso di
Denizione 86 (Funzione ane). Sia
A un sottoinsieme
X.
F : A ⊂ X → Y.
ogni
F è una
x, y ∈ A e per
Si dice che
funzione ane se preserva le combinazioni ani, i.e. se per ogni
t∈R
F ((1 − t) x + ty) = (1 − t) F (x) + tF (y) .
Esercizio 87. Sia
1.
F
F :A⊂X →Y.
Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
è ane;
n ∈ N, per
λ
= 1 si ha
j
j=1
2. per ogni
Pn
ogni
F
x1 , . . . , x n ∈ A
n
X
i=1
!
λ i xi
=
e per ogniλ1 , . . . , λn
n
X
∈R
tali che
λi F (xi ) .
i=1
Svolgimento.
1. ⇒ 2.
n = 2 la tesi è banalmente vera. La si supponga
Pn+1 vera per n ∈ N. Siano
x1 , . . . , xn+1 ∈ A e λ1 , . . . , λn+1 ∈ R tali che j=1 λj = 1. Senza perdere
in generalità, sia λn+1 6= 1 (altrimenti basta permutare gli indici). Allora
Se
2.1 Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali
Pn
j=1
λj = 1 − λn+1 ,
27
dunque
!
λi
F (1 − λn+1 )
xi +λn+1 xn+1
1 − λn+1
i=1
{z
}
|
∈A
!
n
X
λi
= (1 − λn+1 ) F
xi + λn+1 xn+1
1 − λn+1
i=1
n+1
X
=
λi F (xi ) .
n
X
i=1
2. ⇒ 1.
Ovvio.
Esercizio 88. Sia
1.
F
è lineare
2.
F
è ane
per ogni
3.
F
F :X →Y.
⇔F
è ane e
Allora
F (0) = 0;
⇔ esiste un'unica T : X → Y lineare
x ∈ X , si abbia T (x) = F (x) + y0 ;
è ane
⇔
per ogni
a∈R
e per ogni
ed esiste
y0 ∈ Y , aF + y0
y0 ∈ Y
tali che,
è ane.
Svolgimento.
⇒ è banalmente vericata. Viceversa, per ogni x, y ∈ X ,
α, β ∈ R, dalle ipotesi e dall'esercizio precedente segue
1. L'implicazione
per ogni
F (αx + βy) = F (αx + βy + (1 − α − β) · 0) = αF (x) + βF (y) .
2.
⇒)
T := F − F (0). Allora T (0) = 0 e per ogni x, y ∈ X ,
λ ∈ R, dall'anità di F segue
.
T ((1 − λ) x + λy) = F ((1 − λ) x + λy) − F (0)
Sia
=
(1 − λ) F (x) + λF (y) − F (0)
=
(1 − λ) F (x) + λF (y) − (1 − λ + λ) F (0)
=
(1 − λ) T (x) + λT (y) .
Per il punto precedente segue quindi che
y0 ∈ Y \ {F (0)}, F − y0
⇐)
Per ipotesi esistono
Per ogni
x, y ∈ X
per ogni
T
è lineare e che per ogni
non è lineare.
T : X → Y lineare e y0 ∈ Y tali
λ ∈ R, si ha dunque
che
F = T − y0 .
w per ogni
F ((1 − λ) x + λy)
=
T ((1 − λ) x + λy) − y0
=
(1 − λ) T (x) + λT (y) − y0
=
(1 − λ) T (x) + λT (y) − (1 − λ + λ) y0
=
(1 − λ) F (x) + λF (y) .
2.1 Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali
⇐ è banalmente vericata.
x, y ∈ X , per ogni λ ∈ R,
3. Lìimplicazione
Y.
Per ogni
aF ((1 − λ) x + λy) + y0
a∈R
a
y0 ∈
= a ((1 − λ) F (x) + λF (y)) + y0
=
(1 − λ) aF (x) + λaF (y) + (1 − λ + λ) y0
=
(1 − λ) (aF (x) + y0 ) + λ (aF (y) + y0 ) .
Denizione 89 (Funzione c-ane). Sia
mappa c-ane se per ogni
Viceversa, siano
28
x, y ∈ C
F : C ⊂ X → Y.
t ∈ [0, 1]
Si dice che
F
è una
e per ogni
F ((1 − t) x + ty) = (1 − t) F (x) + tF (y) .
Lemma 90. Sia
F :A⊂X →Y.
Allora
F
è ane se e solo se
F
è c-ane.
F è ane, F è ovviamente c-ane. Viceversa, siano F cx, y ∈ X e λ ∈ R. Detto z := (1 − λ) x+λy , se λ ∈ [0, 1] la tesi è vericata.
1
λ−1
Se λ > 1, y è una combinazione convessa di x e z , infatti y = z +
λ
λ x. Allora
Dimostrazione. Se
ane,
F (y) =
Se
z
1
λ−1
F (z) +
F (x) ⇐⇒ F (z) = (1 − λ) F (x) + λF (y) .
λ
λ
λ < 0 si procede analogamente esprimendo x come combinazione convessa di
y.
ed
Teorema 91. Sia
Y
F :C⊂X→Y
F.
c-ane. Allora esiste ed è unica
Fe : aff (C) →
estensione ane di
Dimostrazione. Banale.
Osservazione 92. Il teorema precedente aerma che le mappe c-ani sono
tutte restrizioni di mappe ani.
Per questo motivo spesso (con un abuso di
notazione) anche le mappe c-ani vengono chiamate semplicemente ani.
Denizione 93 (Funzione propria, convessa, concava). Sia
[−∞, +∞].
• f
f : C ⊂ X → R :=
Si dice che
è propria se
dom (f ) := {x ∈ C | f (x) ∈ R } =
6 ∅
f;
e l'insieme
dom (f )
viene detto dominio (eettivo) di
• f
• f
epi (f ) := { (x, t) ∈ C × R | f (x) ≤ t} è convesso in X × R
epi (f ) viene detto epìgrafo (o epigràco ) di f ;
è convessa se
e l'insieme
è concava se
−f
è convessa.
Teorema 94 (Disuguaglianza di Jensen). Sia
venzioni
1 +∞ + (−∞) = +∞
e
f : C ⊂ X → R. Con le con0 · (±∞) = 0, le seguenti aermazioni sono
equivalenti:
1 Solo
per l'enunciato di questo teorema!
2.1 Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali
1.
f
29
è convessa;
2. per ogni
x, y ∈ C
e per ogni
t ∈ [0, 1]
si ha
f ((1 − t) x + ty) ≤ (1 − t) f (x) + tf (y) ;
3. per ogni n ∈
Pn
che
j=1 λj
N, per ogni x1 , . . . , xn ∈ C
= 1 si ha
f
n
X
!
λ i xi
i=1
≤
e per ogni
n
X
λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1]
tali
λi f (xi )
i=1
2
(quest'ultima è nota col nome di disuguaglianza di Jensen ).
Dimostrazione.
1. ⇔ 2.)
Per denizione,
f
è convessa se e solo se
(x, t) , (y, s) ∈ epi (f ) , ∀λ ∈ [0, 1] ,
((1 − λ) x + λy, (1 − λ) t + λs) ∈ epi (f ) ,
che per denizione di epigraco è equivalente a
∀x, y ∈ C, ∀t, s ∈ R,
[f (x) ≤ t, f (y) ≤ s] ⇒ [∀λ ∈ [0, 1] , f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) t + λs]
che è a sua volta equivalente a
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ,
f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) f (x) + λf (y) .
2. ⇒ 3.)
n = 2 la tesi è banalmente vera. La si supponga vera per n ∈ N.
Pn+1
x1 , . . . , xn+1 ∈ C e λ1 , . . . , λn+1 ∈ [0, 1] tali che
j=1 λj = 1.
perdere in generalità, sia λn+1 6= 1 (altrimenti la tesi è banalmente
Pn
Allora
j=1 λj = 1 − λn+1 , dunque
Se
!
λi
xi +λn+1 xn+1
f (1 − λn+1 )
1 − λn+1
i=1
|
{z
}
∈A
!
n
X
λi
≤ (1 − λn+1 ) F
xi + λn+1 xn+1
1 − λn+1
i=1
n+1
X
≤
λi F (xi ) .
n
X
i=1
2 Curiosità:
Jensen si legge Iensen, non Gensen.
Siano
Senza
vera).
2.1 Funzioni lineari, ani e convesse in spazi vettoriali
3. ⇒ 2.)
30
Banale.
Osservazione 95. Sia
J := f −1 (−∞)
f: R → R
una funzione convessa.
Si supponga che
sia non vuoto. Per la disuguaglianza di Jensen (n
= 2)
si ha
quanto segue:
1.
J
è un insieme convesso, dunque un intervallo, infatti per ogni
per ogni
λ ∈ [0, 1]
x, y ∈ J
e
si ha
f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) f (x) +λ f (y) = −∞;
| {z }
| {z }
x∈J
λ ∈ [0, 1),
2. per ogni
y ∈ dom (f )
e per ogni
−∞
−∞
si ha
[x, y) ⊂ J ,
infatti per ogni
f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) f (x) +λ f (y) = −∞,
| {z }
| {z }
−∞
∈R
dunque
(a) o esiste
a∈R
tale che
J = {a},
avendosi pertanto necessariamente
∀x ∈ R \ {a} ,
(b) o esistono
y1 ∈ [−∞, +∞)
e
f (a)
= −∞,
f (x)
=
+∞;
y2 ∈ (y1 , +∞)
tali che
J ⊃ (y1 , y2 ),
avendosi pertanto necessariamente
∀x ∈ (y1 , y2 ) ,
f (x)
= −∞,
∀x ∈ {y1 , y2 } ∩ R,
f (x)
∈
R,
∀x ∈ R \ [y1 , y2 ] ,
f (x)
=
+∞.
Per questo motivo si esclude generalmente la possibilità che
−∞.
f
assuma il valore
In questo caso le funzioni diventano banali, assumendo valori reali in al
più due punti ed e valendo
±∞
nelle altre due o tre componenti connesse.
Proposizione 96. Per ogni
α1 , . . . , αn ≥,
la funzione
Pn f1 , . . . , fn : C → (−∞, +∞]
i=1 αi fi è convessa.
convesse e per ogni
Dimostrazione. Segue facilmente dalla disuguaglianza di Jensen.
Proposizione 97. Sia
fγ : C → (−∞, +∞]
Γ
un insieme di indici arbitrario e per ogni
convessa. Allora
h: C
→
x 7→
(−∞, +∞] ,
sup fγ (x)
γ∈Γ
è convessa.
γ ∈ Γ,
sia
2.2 Continuità di funzionali lineari
31
Dimostrazione. Poiché
(x, t) ∈ epi (h)
⇐⇒
≤ t ⇐⇒ ∀γ ∈ Γ, fγ ≤ t
h (x)
| {z }
supγ∈γ fγ (x)
⇐⇒
si ha
epi (h) =
T
γ∈Γ
epi (fγ ),
Proposizione 98. Sia
∀γ ∈ Γ, (x, t) ∈ epi (fγ ) ,
dunque
epi (h)
f : C → (−∞, +∞]
è convesso.
convessa. Allora la funzione
→ (−∞, +∞] ,
(
f (x) , x ∈ C,
x 7→
+∞,
x∈X \C
fe: X
è un'estensione convessa di
f
denita su tutto
Esempio 99 (Per funzioni reali non vale). Se
sempre
fe: X → R
convessa tale che
7→ 1 −
x
f
f: C →R
è convessa, non esiste
Ad esempio, se
→ R,
f : [−1, 1]
è chiaro che
fe|C = f .
X
p
1 − x2
non si possa estendere mantenendo la convessità.
Denizione 100 (Insieme bilanciato). Si dice che un insieme
ciato se per ogni
α ∈ [−1, 1],
si ha
Esercizio 101. Si dimostri che
all'origine (i.e.
[0, x] ⊂ V )3 .
V = −V )
V ⊂X
è bilan-
αV ⊂ V .
V ⊂X
è bilanciato
⇔V
è simmetrico rispetto
e stellato rispetto all'origine (i.e.
per ogni
⇒ è facilmente vericata. Viceversa,
V e α ∈ [−1, 1]. Allora −x ∈ V per la simmetria e [−x, x] ⊂ V
[−x, 0] , [0, x] ⊂ V . Poiché αx ∈ [−x, x], segue αx ∈ V .
Svolgimento. L'implicazione
x ∈ V,
siano
x ∈
in quanto
Osservazione 102. Gli insiemi bilanciati sono connessi per archi, dunque connessi, ma non necessariamente convessi (e.g.
X = R2 , V = ([−1, 1] × {0}) ∪
({0} × [−1, 1])).
2.2
Continuità di funzionali lineari
Lemma 103. Sia
esiste un intorno
3 La
X uno spazio vettoriale topologico. Allora
V ∈ U (0) bilanciato tale che V ⊂ U .
validità di questa caratterizzazione dipende dal fatto che
reale. In spazi vettoriali complessi la denizione diventa:
|α| ≤ 1,
si ha
αV ⊂ V .
L'implicazione
⇐
V
è
X
per ogni
U ∈ U (0)
sia uno spazio vettoriale
bilanciato se per ogni α ∈ C,
smette quindi di valere (e.g.
X = C, V = [−1, 1]).
2.2 Continuità di funzionali lineari
32
U ∈ U (0) arbitrario. Poiché la mappa (t, x) 7→ tx è continua
(0, 0), esistono ε > 0 e W ∈ U (0) tali che, per ogni t ∈ [−ε, ε] e per ogni
x ∈ W , si abbia tx ∈ U , dunque
[
V :=
tW ⊂ U.
Dimostrazione. Sia
in
t∈[−ε,ε]
V ∈ U (0) e che V è bilanciato. Poiché εW ⊂ V ,
V ∈ U (0). Per ogni x ∈ V esiste t ∈ [−ε, ε] tale che x ∈ tW , dunque per ogni
α ∈ [−1, 1], αx ∈ αtW ⊂ V in quanto αt ∈ [−ε, ε].
Rimane da vericare che
Denizione 104 (Funzione uniformemente continua). Siano
X, Y due spazi
f : X → Y è uniformemente continua se per
ogni W ∈ UY (0) esiste U ∈ UX (0) tale che, per ogni x1 , x2 ∈ X , se x2 − x1 ∈ U ,
si ha f (x2 ) − f (x1 ) ∈ W .
vettoriali topologici. Si dice che
X uno spazio vettoriale e f ∈ X ] \ {0}.
(−∞, 0), ker (f ) e P := f −1 (0, −∞) sono convessi.
Lemma 105. Siano
f
−1
Dimostrazione. Segue immediatamente dalla linearità di
degli insiemi
(−∞, 0), {0}
Osservazione 106. Se
P
X
f
N :=
e dalla convessità
(0, +∞).
è uno spazio vettoriale topologico, essendo
N , ker
e
convessi, sono connessi per archi, dunque connessi.
Lemma 107. Siano
C
e
Allora
ed
U ⊂X
X
C ⊂ X convesso, x0 ∈
U ∩ ∂C = ∅. Allora U ⊂ C .
uno spazio vettoriale topologico,
aperto, stellato rispetto a
x0
e tale che
Dimostrazione. Si supponga per assurdo l'esistenza di
0
stellato, [u, x0 ] ⊂ U . Poiché C è convesso, anche C
c1 , c2 ∈ ←
x0→
u,
u ∈ U \ C.
:= C ∩ ←
x0→
u
Poiché
U
è
è convesso.
x0 ∈ [c1 , c2 ] := C 0 . Analogamente, poiché
U è aperto e stellato rispetto ad x0 , esistono u1 , u2 ∈ ←
x0→
u tali che x0 , u ∈
←
→
(u1 , u2 ) := U ∩ x0 u. Per ipotesi di assurdo u ∈ (u1 , u2 ) \ [c1 , c2 ], ma x0 ∈
(u1 , u2 ) ∩ [c1 , c2 ], dunque esiste i ∈ {1, 2} tale che ci ∈ (u1 , u2 ) ⊂ U , assurdo in
quanto U ∩ ∂C = ∅.
Esistono dunque
Teorema 108. Siano
X
tali che
uno spazio vettoriale topologico ed
` ∈ X ] \ {0}.
seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
`
è uniformemente continuo su
2.
`
è continuo su
X
3.
`
è continuo in
0;
4.
`
è continuo in qualche
5.
`
è limitato su qualche
6.
`
è superiormente limitato su almeno un aperto non vuoto;
(i.e.
X;
` ∈ X ∗ \ {0});
x0 ∈ X ;
U ∈ U (0);
Le
2.2 Continuità di funzionali lineari
7.
ker (`)
è chiuso (importante!);
8.
ker (`)
non è denso.
Inoltre, se
9.
10.
X
è normato le condizioni precedenti sono equivalenti alle seguenti:
k`k := supkxk≤1 |` (x)| < +∞;
`
è lipschitziano.
Dimostrazione. Le implicazioni
4. ⇒ 5.)
33
Sia
` continua in x0 ∈ X
1⇒2⇒3⇒4
e sia
sono ovvie.
ε > 0 arbitrario.
Allora esiste un
V ⊂ U (0)
tale che
` (x0 + V ) ⊂ (` (x0 ) − ε, ` (x0 ) + ε) .
Dalla linearità di
`
segue
` (x0 + V ) = ` (x0 ) + ` (V )
` (V ) ⊂ (−ε, ε).
e sottraendo
` (x0 )
dall'inclusione precedente si conclude
5. ⇒ 1.)
Sia
che
` limitata su U ∈ U (0) e sia ε > 0
` (U ) ⊂ (−m, m). Sia δ := ε/m.
m > 0 tale
x − y ∈ δU ,
arbitrario. Allora esiste
Per ogni
x, y ∈ X ,
se
allora
` (x) − ` (y) = ` (x − y) ∈ δ` (U ) ⊂ δ (−m, m) = (−ε, ε) .
5. ⇒ 6.)
Ovvio.
6. ⇒ 5.)
Sia
A
allora
un aperto non vuoto ed
x0 ∈ X
e
V ∈ U (0)
m > 0 tali che `|A ≤ m. Esistono allora
`|x0 +V ≤ m su x0 + V . Per il Lemma
in generalità che V sia bilanciato, dunque
tali che
103, si supporre senza perdere
simmetrico. Da
` (x0 ) + ` (V ) = ` (x0 + V ) ⊂ (−∞, m]
e conseguentemente
` (V ) ⊂ (−∞, m − ` (x0 )] ⊂ −∞, |m − ` (x0 )|
|
{z
}
=:M
segue pertanto
−` (V ) = ` (−V ) = ` (V ) ⊂ (−∞, M ] ⇒ ` (V ) ⊂ (−M, +∞] ,
dunque
` (V ) ⊂ [−M, M ].
6. ⇒ 7.
Basta notare che
7. ⇒ 8.
Ovvio.
6 ⇒ 5 ⇒ 1 ⇒ 7.
2.2 Continuità di funzionali lineari
8. ⇒ 6.
34
ker (`) 6= X , allora il suo complementare è un aperto non vuox0 ∈ X e V ∈ U (0) bilanciato tali che (x0 + V ) ∩
ker (`) = ∅. Dai Lemmi 105 e 107 segue ` (x0 + V ) ⊂ [0, +∞) oppure
` (x0 + V ) ⊂ (−∞, 0]. Se dovesse essere ` (x0 + V ) ⊂ [0, +∞) sarebbe suciente notare che anche −x0 − V ∩ ker (`) = ∅ e in questo caso
` (−x0 − V ) = −` (x0 + V ) ⊂ (−∞, 0].
Per ipotesi
to. Esistono pertanto
Sia
(X, k·k)
5. ⇒ 9.)
Siano
uno spazio normato.
δ, m > 0
x ∈ X con kxk ≤ δ si
x ∈ X con kxk ≤ 1 si ha
tali che, per ogni
Allora, per linearità, per ogni
|` (x)| =
9. ⇒ 10.)
Per ogni
abbia
|` (x)| ≤ m.
m
|` (δx)|
≤
< +∞.
δ
δ
x, y ∈ X, x 6= y ,
x − y kx − yk ≤ k`k kx − yk .
|` (x) − ` (y)| = |` (x − y)| = `
kx − yk |
{z
}
≤k`k
10. ⇒ 5.)
Basta notare che
10 ⇒ 3 ⇒ 5.
Denizione 109 (Duale topologico). Sia
Si denisce duale topologico di
X
X ∗ := { ϕ : X → R | ϕ
Osservazione 110. Chiaramente
Corollario 111 (Importante). Se
allora
X
uno spazio vettoriale topologico.
l'insieme
lineare e continuo} .
X ∗ ⊂ X ].
X
In generale l'inclusione è stretta.
è uno spazio normato innito-dimensionale,
X ] \ X ∗ 6= ∅.
Dimostrazione. Si vuole determinare esplicitamente un funzionale
Poiché si è interessati ad
`
` ∈ X ] \ X ∗.
lineare, è suciente denirlo su una base algebrica
4
` si estende naturalmente in modo unico su X ). Sia dunque B
X . Senza perdere in generalità (ogni elemento della base si
può moltiplicare per uno scalare non nullo) si supponga che B ⊂ B1 (0). Essendo
B innito, esiste {bn }n∈N ⊂ B con, per ogni n, k ∈ N, [n 6= k ⇒ bn 6= bk ]. Per
ogni n ∈ N si denisca allora ` (bn ) = n e per ogni b ∈ B \ {bn }n∈N sia, ad
esempio, ` (b) = 0. Allora ` non è limitato sulla bolla unitaria. Per il teorema
precedente, dunque, ` non è continuo.
(poi, per linearità,
una base algebrica di
4 Le
basi algebriche, specialmente nel contesto degli spazi vettoriali innito-dimensionali,
vengono spesso chiamate
basi di Hamel .
2.3 Continuità di funzioni convesse
35
Esercizio 112. Il corollario precedente non vale in generale negli spazi vettoriali
topologici. Si dimostri che ogni spazio vettoriale dotato della topologia generata
dalla base di aperti
A := { C ⊂ X | C
convesso,
C = a-int (C)} ,
detta topologia core, risulta essere uno spazio vettoriale topologico localmente
convesso con
X ] = X ∗.
Si noti come (grazie al Teorema 80) la topologia core
risulti essere la topologia lineare più ne di cui uno spazio vettoriale possa essere
dotato (i.e. se
ha
(X, +, ·, τ )
τc
è uno spazio vettoriale, detta
la topologia core, si
τ ⊂ τc ).
Esercizio 113. Il corollario precedente continua invece a valere in spazi vettoriali topologici reali metrizzabili. Si dimostri che se
topologico metrizzabile, allora
2.3
X
è uno spazio vettoriale
X ] \ X ∗ 6= ∅.
Continuità di funzioni convesse
Denizione 114 (Insieme simmetrico). Siano
x0 ∈ X . Si dice che E
x0 − (x − x0 ) ∈ E .
e
X
x0
se per ogni
Lemma 115. Siano
rispetto ad
X uno spazio vettoriale, C ⊂ X
x0 ∈ C , f : C → R convessa:
1. se esiste
m∈R
tale che
f ≤ m,
allora
E⊂X
x ∈ E , si ha
uno spazio vettoriale,
è simmetrico rispetto ad
convesso e simmetrico
|f | ≤ 2 |f (x0 )| + |m|;
X è uno spazio normato ed esitono r, M > 0 tali che C = Br (x0 ) e
|f | ≤ M , allora per ogni ε ∈ (0, r), f è 2M
ε -lipschitziana su Br−ε (x0 ).
2. se
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (la composizione di una funzione
convessa con una traslazione è ancora una funzione convessa e sia la convessità
che la simmetria rispetto a un punto sono invarianti per traslazione), sia
1. Sia
f
x ∈ C.
Allora
0 = 12 x +
1
2
(−x)
e poiché
−x ∈ C ,
dalla convessità di
segue
f (0) ≤
Poiché per ogni
a, b ∈ R
1
1
1
m
f (x) + f (−x) ≤ f (x) + .
2
2
2
2
si ha
a − b ≥ a − |b| ≥ − |a| − |b| ,
dalla prima disuguaglianza segue
f (x) ≥ 2f (0) − m ≥ −2 |f (0)| − |m|
e ovviamente
f (x) ≤ m ≤ |m| ≤ 2 |f (0)| + |m| .
x0 = 0.
2.3 Continuità di funzioni convesse
2. Siano
x, y ∈ Br−ε (0), x 6= y
36
e
z := y +
ε
(y − x) ,
ky − xk
ovvero l'ε-prolungamento del segmento [x, y] dopo y . Chiaramente si ha
z ∈ Br (0) e y ∈ (z, x). Esplicitando la y nella denizione di z , si ottiene
y=
ε
ky − xk
x+
z,
ky − xk + ε
ky − xk + ε
che è una combinazione convessa di
x
e
z.
Dalla convessità di
f
segue
pertanto
f (y)
≤
ky − xk
ε
f (x) +
f (z)
ky − xk + ε
ky − xk + ε
m
(ky − xk + ε) f (y)
≤
εf (x) + ky − xk f (z)
m
ε (f (y) − f (x))
≤
ky − xk (f (z) − f (y)) ≤ 2M ky − xk
{z
}
|
≤2M
m
f (y) − f (x)
Essendo
x ed y
≤
2M
ky − xk .
ε
aribitrari (a meno di scambiarli tra loro e ripetere le stime
precedenti), si ottiene
|f (y) − f (x)| ≤
Osservazione 116. Si noti che per
ε=0
2M
ky − xk .
ε
il lemma precedente non vale, stesso
esempio della semicirconferenza visto in precedenza (Esempio 99).
Teorema 117. Siano
convesso e
f: C →R
X
uno spazio vettoriale topologico,
1.
f
è localmente uniformemente continua;
2.
f
è continua;
3.
f
è continua in almeno un
4.
f
è superiormente limitata su un aperto non vuoto di
5.
f
è localmente limitata su
Inoltre, se
X
C ⊂ X
un aperto
convessa. Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
x0 ∈ C ;
C;
C.
è normato le condizioni precedenti sono equivalenti alla seguente:
2.3 Continuità di funzioni convesse
6.
f
è localmente lipschitziana;
Dimostrazione. Le implicazioni
4. ⇒ 5.)
37
1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4.
sono ovvie.
Siano U ⊂ C un aperto non vuoto ed m ∈ R tali che f|U ≤ m. Sia
x ∈ C \ U arbitrario. Si vuole dimostrare che f è superiormente limitata
←→
in un intorno di x. Siano x0 ∈ U , z ∈ C ∩ x0 x e λ ∈ (0, 1) tali che
x = (1 − λ) x0 + λz . Allora
(1 − λ) U + λz
=
(1 − λ) (x0 + (−x0 + U )) + λz
=
(1 − λ) x0 + λz + (1 − λ) (−x0 + U )
= x + (1 − λ) (−x0 + U ) .
|
{z
}
=:V ∈U (0)
u ∈ x + V arbitrario. Dall'identità precedente segue l'esistenza
v ∈ U tale che u = (1 − λ) v + λz . Dalla convessità di f si ha quindi
Sia
di
f (u) ≤ (1 − λ) f (v) + λf (z) ≤ (1 − λ) m + λf (z) ,
da cui
f|x+V ≤ max (|m| , |f (z)|) .
Allora
f
è localmente superiormente limitata su
C.
Per il Lemma 115 è
pertanto localmente limitata.
5. ⇒ 1.)
Si lascia la dimostrazione di questo punto come esercizio al lettore interessato.
5. ⇒ 6.)
Segue direttamente dal Lemma 115.
6. ⇒ 5.)
Banale.
Osservazione 118. Si noti che i punti dal
2.
al
5.
sono equivalenti anche in
spazi vettoriali topologici.
Osservazione 119. In spazi normati la limitatezza inferiore non è in generale
equivalente alla continuità.
dimensionale, esiste
Ad esempio, se
` ∈ X ] \ X ∗.
X
Chiaramente
è uno spazio normato innito-
|`|
è convessa e discontinua (su
ogni punto perché se lo è in un punto lo è ovunque) ma è limitata inferiormente.
Corollario 120. Siano
spazio normato nito-dimensionale,
un aperto convesso e
convessa. Allora
(quindi continua) su
X uno
f: C → R
C.
f
C ⊂ X
è localmente lipschitziana
2.3 Continuità di funzioni convesse
38
X = Rn . Si ssi x0 ∈ C .
Essendo C aperto, esiste un ipercubo chiuso Q ⊂ C tale che int (Q) 6= ∅.
Siano v1 , . . . , vm ∈ Q i vertici di Q. Allora Q = conv (v1 , . . . , vm ). Detto m :=
max { f (v
) | i ∈ {1, . . . , m}}
Pim
P, mper ogni x ∈ int (Q) esistono λ1 , . . . , λm ∈ [0, 1]
tali che
λ
=
1
e
x
=
i
i=1
1 λi vi , pertanto
Dimostrazione. Senza perdere in generalità, sia
f (x) ≤
m
X
i=1
λi f (vi ) ≤ m
| {z }
≤m
e la tesi segue dal punto 4 del teorema precedente.
Esempio 121 (C aperto è necessario). La funzione
[0, 1]
χ{0} + χ{1}
è convessa su
ma è discontinua su entrambi i punti di bordo.
Corollario 122. Siano
f: C →R
ri (C).
dimensionale e
continua) su
X
uno spazio normato,
convessa. Allora
f
C ⊂ X
convesso e nito-
è localmente lipschitziana (quindi
Osservazione 123. Prima di proseguire si consiglia di leggere l'appendice sulle
funzioni semicontinue (sezione 9.2, pagina 127).
Esercizio 124. Siano
X uno spazio normato, C ⊂ X convesso
x ∈ X , dist (x, ∅) := +∞, si dimostri che gli insiemi
per ogni
1.
D1 := {x ∈ X | dist (x, C) < δ },
2.
D2 := {x ∈ X | dist (x, C) ≤ δ },
3.
D3 := {x ∈ X | dist (x, X \ C) > δ },
4.
D4 := {x ∈ X | dist (x, X \ C) ≥ δ }
e
δ > 0.
Posta
sono convessi, che quelli con indice dispari sono aperti e che quelli con indice
pari sono chiusi. Si noti inotlre che se
C
non ha punti interni gli ultimi due sono
vuoti.
Teorema 125. Siano
f: C →R
1.
f
2. se
X
uno spazio normato,
è superiormente semicontinua su
X
C ⊂ X
un aperto convesso e
convessa. Allora
è uno spazio di Banach,
solo se
f
f
C
se e solo se
f
è continua;
è inferiormente semicontinua su
C
se e
è continua.
Dimostrazione.
1. Sia
cui
x0 ∈ C . Allora { x ∈ C | f (x) < f (x0 ) + 1} è un aperto non vuoto
f è limitata superiormente. Per il Teorema 117, f è continua.
su
2.4 Teorema di Banach-Steinhaus
39
x ∈ X , dist (x, ∅) := +∞, si denisca per ogni n ∈ N
1
Fn := x ∈ C f (x) ≤ n, dist (x, X \ C) ≥
.
n
2. Posta per ogni
n ∈ N l'insieme
1
x ∈ C dist (x, X \ C) ≥
n
Per l'esercizio precedente, per ogni
f convessa ed inferiormente semicontinua,
n ∈ N, {x ∈ C | f (x) ≤ n } è convesso e chiuso. Dunque, per
ogni n ∈ N, Fn è convesso e chiuso. Per il Teorema di Baire, X è uno
spazio di Baire e per l'Esercizio 415, anche C (con la topologia indotta) è
S
uno spazio di Baire. Poiché C =
n∈N Fn , esiste dunque k ∈ N tale che
int (Fk ) 6= ∅. Essendo quindi f superiormente limitata su un aperto non
vuoto, risulta f continua.
è convesso e chiuso. Essendo
per ogni
Esempio 126 (La completezza è necessaria). . Sia
c00 = x = (xn )n∈N ∈ RN ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ n0 , xn = 0
lo spazio vettoriale delle successioni reali denitivamente nulle, dotato della norma uniforme
x 7→ kxk∞ := maxn∈N |xn |.
Chiaramente
(c00 , k·k∞ ) è uno spazio
c0 delle successioni che
normato e incompleto (il suo completamento è lo spazio
tendono a zero all'innito). Sia
→ R,
+∞
X
x 7→
xn = sup
f : c00
n=1
N ∈N
PN
N ∈ N, la somma x 7→
n=1 xn è
Essendo f l'estremo superiore puntuale
N
X
!
xn
.
n=1
Per ogni
una funzione convessa e conti-
nua.
di tali somme,
convessa ed inferiormente semicontinua.
Tuttavia
f
f
risulta essere
non è continua (f è illi-
ε > 0 e per ogni n ∈ N,
n
ma chiaramente supn∈N f (x ) = +∞. Dal
teorema base sulla continuità delle funzioni convesse segue quindi f discontinua
in ogni punto di c00 .
mitata in ogni intorno dell'origine!), infatti per ogni
x := ε, ε, . . . , ε, 0, 0, . . . ∈ Bε (0)
n
2.4
n
Teorema di Banach-Steinhaus
Denizione 127 (Famiglia di funzioni puntualmente limitata, localmente equilimitata, localmente equilipschitziana). Siano (X, k·k) uno spazio normato, A ⊂
X
aperto e
F
una famiglia di funzioni reali denite su
A.
Si dice che
2.4 Teorema di Banach-Steinhaus
• F
è puntualmente limitata se per ogni
• F
e
• F
A
F
x ∈ A, supf ∈F |f (x)| < +∞;
x ∈ A esistono U ∈ U (x), U ⊂ A
y ∈ U , supf ∈F |f (y)| < M ;
è localmente equilimitata se per ogni
M >0
tali che, per ogni
x ∈ A esistono U ∈ U (x), U ⊂
y, z ∈ U , supf ∈F |f (y) − f (z)| ≤ L ky − zk.
è localmente equilipschitziana se per ogni
e
L>0
tali che, per ogni
Teorema 128. Siano
so e
40
F
X
uno spazio di Banach,
C ⊂ X
un aperto conves-
C.
una famiglia di funzioni reali convesse e continue denite su
è puntualmente limitata, allora
F
Se
è localmente equilimitata e localmente
equilipschitziana.
Dimostrazione. Sia
g : C → R,
x 7→ sup f (x) .
f ∈F
Essendo un estremo superiore puntuale di funzioni convesse e continue,
vessa e inferiormente semicontinua. Per il Teorema 125,
quindi, in particolare
un raggio
rx > 0
g
g
g
è con-
è pertanto continua,
x ∈ C esistono
f ∈ F , f ≤ mx su
|f | ≤ 3mx su Brx (x)
è localmente limitata. Ovvero per ogni
ed una costante
mx > 0
Brx (x), dunque f (0) ≤ mx e dal Lemma
x
f 12m
rx -lipschitziana su Brx /2 (x).
tali che, per ogni
115 segue sia
che
Esercizio 129. Sia, per ogni
{fn }n∈N
n ∈ N, fn : C → R una funzione convessa.
f : C → R, allora f è convessa.
Se
converge puntualmente ad
Svolgimento. Segue banalmente dalla disuguaglianza di Jensen.
Teorema 130. Siano
X uno spazio di Banach e C ⊂ X un aperto convesso.
n ∈ N, fn : C → R è una funzione convessa e continua e {fn }n∈N
converge puntualmente ad una funzione f : C → R, allora f è convessa, continua
e la convergenza è uniforme sui compatti di C .
Se per ogni
Dimostrazione. Poiché converge puntualmente, la successione
tualmente limitata. Per il Teorema 128, quindi,
schitziana. Per ogni
una costante
L>0
x∈C
{fn }n∈N
{fn }n∈N
è pun-
è localmente equilip-
U ∈ U (x), U ⊂ C
y, z ∈ U si abbia
esistono pertanto un intorno
tali che, per ogni
n∈N
e per ogni
e
|fn (y) − fn (z)| ≤ L ky − zk .
Passando al limite ad ambo i membri si conclude immediatamente che
f
è lo-
calmente lipschitziana, dunque continua. Per vericare che la convergenza sia
uniforme sui compatti, sia
K⊂C
compatto. Poiché
{fn }n∈N
è localmente equi-
limitata e localmente equilipschitziana, la successione ristretta
n
o
(fn )|K
rin∈N
sulta essere (globalmente) equilimitata ed equilipschitziana (basta ricoprire ogni
punto di
K
con un intorno opportuno ed estrarne poi un sottoricoprimento nito
2.4 Teorema di Banach-Steinhaus
41
grazie alla compattezza), dunque equicontinua. Per il Teorema di Ascoli-Arzelà,
dunque, esiste una sottosuccessione di
te su
K
n
o
(fn )|K
convergente uniformemenn∈N
(a f|K ). Nello stesso modo il Teorema di Ascoli-Arzelà garantisce che
n
o
(fn )|K
ogni sottosuccessione di
ammetta una sottosuccessione convergenn∈N
te uniformemente su K (a f|K ). Si supponga per assurdo che fn non converga
uniformemente ad f su K . Allora esistono ε > 0 , {nk }k∈N ⊂ N strettamente
crescente e
{xnk }k∈N ⊂ K
tali che, per ogni
k ∈ N, |fnk (xnk ) − f (xnk )| > ε.
{fnk }k∈N possa convergere
Questo però implica che nessuna sottosuccessione di
uniformemente ad
f
su
K.
Notazione 131. Siano
indica con
σ|[m,∞)
S
Assurdo.
un insieme,
σ: N → S
la successione denita per ogni
m ∈ N.
σ (n + m).
una successione e
n∈N
da
Si
Lemma 132 (Metodo diagonale). Siano
n ∈ N, sia σn+1
ste una successione σ∞ : N → S tale
sottosuccessione di σm .
cessione e per ogni
S un insieme, σ1 : N → S una sucuna sottosuccessione di σn . Allora esiche, per ogni
m ∈ N, (σ∞ )|[m,∞)
è una
Dimostrazione. Scrivendo esplicitamente i primi valori delle prime succesioni, si
ha
σ1
=
(σ1 (1), σ1 (2) , σ1 (3) , . . .) ,
σ2
=
(σ2 (1) , σ2 (2), σ2 (3) , . . .) ,
σ3
=
(σ3 (1) , σ3 (2) , σ3 (3), . . .) .
Essendo per ipotesi, per ogni
n ∈ N, ogni successione σn+1
una sottosuccessione
della sua precedente, è chiaro che la successione diagonale
σ∞ := {σ1 (1) , σ2 (2) , σ3 (3) , . . .}
soddis le richieste.
Teorema 133. Siano
X uno spazio di Banach separabile, C ⊂ X aperto e conn ∈ N, fn : C → R convessa e continua e {fn }n∈N puntualmente
limitata. Allora esiste una sottosuccessione {fnk }k∈N ⊂ {fn }n∈N che converge
uniformemente sui compatti ad una funzione f convessa e continua.
vesso, per ogni
{dn }n∈N ⊂ X una successione densa5 in X . Per ipotesi la
successione {fn (d1 )}n∈N è limitata in R, dunque esiste una sottosuccessione dei
numeri naturali σ1 ⊂ N tale che
fσ1 (i) (d1 ) i∈N converge ad un certo valore
f (d1 ). Analogamente, la successione fσ1 (i) (d2 ) i∈N è limitata in R, dunque
esiste una sottosuccessione σ2 ⊂ σ1 tale che
fσ2 (i) (d2 ) i∈N converge ad un
certo valore f (d2 ). Procedo in modo diagonale si determina una successione
Dimostrazione. Sia
5 Con
un usuale abuso di notazione, qui e nel seguito si confondono impunemente le
successioni con le loro immagini.
2.4 Teorema di Banach-Steinhaus
42
σ∞ =: {nk }k∈N ⊂ N che per ogni k ∈ N
σk . Allora per ogni m ∈ N si ha
è denitivamente sottosuccessione di
k→+∞
fnk (dm ) −→ f (dm ) ∈ R.
Essendo
{fnk }k∈N
puntualmente limitata, per il Teorema 128 è localmente equi-
x ∈ C , {fnk (x)}k∈N è una
x ∈ C e ε > 0 arbitrari. Sia L > 0 tale che
esista δ ∈ (0, ε) tale che, per ogni y, z ∈ Bδ (x) e per ogni k ∈ N, si abbia
|fnk (y) − fnk (z)| < L ky − zk. Sia m0 ∈ N tale che kdm0 − xk < δ . Allora
esiste N ∈ N tale che, per ogni j, k ∈ N, j, k ≥ N ,
fn (x) − fnj (x) ≤ |fn (x) − fn (dm0 )| + fn (dm0 ) − fnj (dm0 )
k
k
k
k
{z
} |
|
{z
}
<ε
≤Lkx−dm0 k
+ fnj (dm0 ) − fnj (x)
{z
}
|
≤Lkx−dm0 k
lipschitziana.
Si vuole dimostrare che per ogni
succesione di Cauchy.
Siano
≤ ε (2L + 1) .
La succ
a
f
{fnk }k∈N
è quindi di Cauchy in
e per il teorema precedente
f
x,
pertanto converge puntualmente
è continua e la convergenza è uniforme sui
compatti.
Esercizio 134. Siano
Y
uno spazio normato e
kykY =
sup
y ∈Y.
Si dimostri che
ϕ (y) .
ϕ∈Y ∗ , |||ϕ|||≤1
Svolgimento. Segue direttamente dalla Proposizione 458.
Corollario 135 (Teorema di Banach-Steinhaus o principio di uniforme limitatazza). Siano X uno spazio di Banach, Y uno spazio normato, I un insieme e
{Tα }α∈I una famiglia di operatori lineari e continui deniti in X a valori
Y . Se la famiglia {Tα }α∈I è puntualmente limitata, allora esiste M > 0 tale
che, per ogni α ∈ I , |||Tα ||| ≤ M .
sia
in
Dimostrazione. Per l'esercizio precedente, per ogni
kykY =
Dunque, per ogni
sup
y ∈Y,
si ha
ϕ (y) .
ϕ∈Y ∗ , |||ϕ|||≤1
α ∈ I,
|||Tα ||| =
sup
x∈X, kxkX ≤1
kT xkY =
sup
(ϕ ◦ Tα ) (x) .
x∈X, kxkX ≤1,
ϕ∈Y ∗ , |||ϕ|||≤1
Poiché per ogni α ∈ I , Tα è lineare e continuo, per ogni α ∈ I e per ogni
ϕ ∈ Y ∗ , anche ϕ ◦ Tα è lineare e continuo. Inoltre la famiglia {ϕ ◦ Tα }α∈I,ϕ∈BY ∗
2.4 Teorema di Banach-Steinhaus
43
è puntualmente limitata, quindi localmente equilimitata, ovvero esiste un raggio
r>0
tale che per ogni
α∈I
e per ogni
ϕ∈Y∗
sup
si abbia
(ϕ ◦ Tα ) (x)
<
+∞
α∈I,
x∈X, kxkX ≤r,
∗
ϕ∈Y , |||ϕ|||≤1
m
r sup |||Tα ||| = r
α∈I
sup
α∈I,
x∈X, kxkX ≤1,
∗
ϕ∈Y , |||ϕ|||≤1
(ϕ ◦ Tα ) (x)
<
+∞.
Capitolo 3
Insiemi convessi (e compatti)
3.1
Punti estremi
Osservazione 136. Prima di proseguire si consiglia di leggere l'appendice sui
teoremi di Hahn-Banach (sezione 9.3, pagina 129).
Denizione 137 (Punti estremi). Siano
X uno spazio vettoriale, C ⊂ X conx ∈ C . Si dice che x è un punto estremo per C e si scrive x ∈ ext (C)
se per ogni y, z ∈ C e per ogni λ ∈ (0, 1) tali che x = (1 − λ) y + λz , si ha
x = y = z.
vesso e
Osservazione 138. La denizione di
x punto estremo per C si può riformulare
a, b ∈ C , x appartiene al segmento [a, b] se e solo se x
due estremi a, b. I punti estremi sono cioè gli estremi di
richiedendo che per ogni
coincide con uno dei
tutti i segmenti (in
C)
Esercizio 139. Siano
a cui appartengono.
X
uno spazio vettoriale e
C⊂X
convesso. Si dimostri
l'equivalenza delle seguenti aermazioni.
1.
x ∈ ext (C);
2. per ogni
y, z ∈ C
tali che
x=
y+z
2 , si ha
x = y = z;
y , . . . , yn ∈ C e per ogni λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1]
Pn 1
x = i=1 λi yi , si ha x = y1 = . . . = yn .
3. per ogni
e
tali che
Pn
j=1
λj = 1
1. ⇒ 2. e 3. ⇒ 1. sono ovvie.
2. ⇒ 1.) Siano y, z ∈ C e λ ∈ (0, 1) \ 21 tali che x = (1 − λ) y + λz . Allora una
0
0
semplice verica mostra che o y := 2x − z ∈ [y, z], o z := 2x − y ∈ [y, z].
Svolgimento. Le implicazioni
.
y
Figura 3.1.1: Se
λ>
.
y0
1
2 , allora
.
x
.
z
y 0 := 2x − z ∈ [y, z]
e
x=
y 0 +z
2 .
3.1 Punti estremi
45
y 0 ∈ [y, z] (altrimenti è suciente ripetere
y 0 +z
0
0
che per ipotesi implica x = y = z .
quanto segue per z ). Allora x =
2
Dall'ipotesi x = (1 − λ) y + λz segue quindi x = (1 − λ) y + λx, ovvero
x = y.
Senza perdere in generalità, sia
1. ⇒ 3.)
n = 2, la tesi è vera per ipotesi. Si supponga che la tesi valga per
Pn+1
n ∈ N e siano y1 , . . . , yn+1 ∈ C , λ1 , . . . , λn+1 ∈ [0, 1] tali che i=1 λi = 1
Pn+1
Pn
ex =
i=1 λi yi . Senza perdere in generalità, sia λn+1 6= 1. Da
i=1 λi =
1 − λn+1 segue allora
Se
x=
n+1
X
λi yi = (1 − λn+1 )
i=1
n
X
i=1
|
dunque
x = yn+1 = y .
=:y∈C
Da
x=y=
n
X
i=1
si conclude inne
λi
y1 +λn+1 yn+1 ,
1 − λn+1
{z
}
λi
y1
1 − λn+1
x = y1 , . . . , y n .
Osservazione 140. Si noti che
1.
ext (C) ⊂ C \ a-int (C).
C ⊂ R2 è un insieme convesso e chiuso, allora anche ext (C) è chiuso.
Infatti se dim (C) ≤ 1, ext (C) ha solo un numero nito di punti. Se
dim (C) = 2, esistono in C almeno tre punti non allineati. Essendo C
convesso, C contiene dunque almeno un triangolo non degenere, pertanto
int (C) 6= ∅. Un risultato di geometria piana garantisce che il bordo di
2. Se
insiemi convessi con interno non vuoto contenuti nel piano euclideo sia una
1-dimensionale. Essendo C chiuso, ∂C ⊂ C , dunque
∂C \ ext (C) ⊂ C . Sia x ∈ ∂C \ ext (C). Per denizione di punto estremo,
esistono allora a, b ∈ C tali che x ∈ (a, b). Si noti che necessariamente
a, b ∈ ∂C , infatti da C chiuso segue ∂C = C \ int (C) e se per assurdo a o
b non appartenessero alla frontiera di C , da a o b appartenenti all'interno
di C e dal Corollario 63 seguirebbe x ∈ int (C). Dallo stesso argomento
applicato ad ogni punto del segmento segue (a, b) ⊂ ∂C . Essendo ∂C
una varietà topologica 1-dimensionale, (a, b) è aperto in ∂C . Ogni punto
di ∂C \ ext (C) ha pertanto un intorno tutto contenuto in ∂C , ovvero
∂C \ ext (C) è aperto in ∂C e conseguentemente ext (C) è chiuso in ∂C .
Essendo ∂C a sua volta chiuso in X , segue che ext (C) è chiuso in X .
varietà topologica
3 in poi questo non è più vero. Si consideri l'esempio in
C ⊂ R3 è l'involucro convesso di una circonferenza γ unita
3. Da dimensione
gura, in cui
3.1 Punti estremi
46
s ortogonale al piano su cui giace γ e tangente alla stessa
x0 . L'insieme C è convesso e chiuso, ma ext (C) non è chiuso,
γ \ {x0 } ⊂ ext (C) ma x0 ∈
/ ext (C).
ad un segmento
in un punto
infatti
γ
C = conv (γ ∪ s)
.
x0
Figura 3.1.2:
C
è convesso e chiuso ma
s
ext (C)
Proposizione 141 (Teorema di Choquet). Siano
T2 , K ⊂ X
pologico
Gδ
in
K 2.
Dimostrazione. Sia
di
K.
X
1
non è chiuso.
uno spazio vettoriale to-
convesso, compatto e metrizzabie . Allora
d : K × K → [0, +∞)
ext (K)
è di tipo
una metrica che induca la topologia
Allora
y+z
x ∈ K ∃y, z ∈ K, y 6= z, x =
2
[
Fn ,
K \ ext (K)
=
=
n∈N
n ∈ N,
Fn = x ∈ K
dove, per ogni
∃y, z ∈ K, d (y, z) ≥ 1 , x = y + z .
n
2
Poiché le distanze sono continue (rispetto alla topologia che inducono), per ogni
n ∈ N l'insieme Fen := (y, z) ∈ K × K dist (y, z) ≥
K × K , dunque è compatto. Allora, detta
ψ :X ×X
n∈N
è chiuso nel compatto
→ X,
(y, z) 7→ ψ (y, z) :=
poiché per ogni
1
n
y+z
,
2
Fn = ψ Fen ,
ψ segue che Fn è compatto (in uno spazio T2 ), dunque Fn è
K \ ext (K) di tipo Fσ in K , il suo complementare in K ext (K)
dalla continuità di
chiuso. Essendo
è
Gδ
1 Si
in
K.
noti che K metrizzabile è una richiesta più debole di X metrizzabile,
K ⊂ X .
In
generale uno spazio metrizzabile può essere immerso in uno spazio più grande non metrizzabile.
2 In X ,
se
X
è metrizzabile.
3.1 Punti estremi
47
Esempio 142 (La metrizzabilità è necessaria). Esistono uno spazio vettoriale
topologico
T2 localmente convesso ed un suo sottoinsieme K convesso, compatto
ext (K) non sia boreliano3 (dimostrato da Bishop-de Leuw).
ma tale che
Teorema 143 (Minkowski). Siano
X
uno spazio vettoriale topologico e
K⊂X
compatto, convesso e nito-dimensionale. Allora
K = conv (ext (K)) .
Dimostrazione. Si procede per induzione su
d = dim (K).
banalmente vericata. Si supponga che l'asserto valga per
Se d = 0 la tesi
d − 1 ∈ N ∪ {0}
è
e
d = dim (K). Poiché ri (K) 6= ∅, a meno di traslazioni si può supporre che
0 ∈ ri (K), dunque a meno di immersioni si può supporre X = aff (K) ∼ Rd e
0 ∈ int (K). Sia x ∈ K . Si hanno due casi:
sia
1. se
K
x ∈ ∂K ,
per il Corollario 434 esiste
passante per
K ∩H
x.
H ⊂ X
iperpiano di supporto
In quanto intersezione di insiemi convessi e chiusi,
K compatto), dunque è compatto
d − 1 (perché incluso in H ). Sfruttando l'ipotesi
di induzione si ha x ∈ conv (ext (K ∩ H)). Si vuole dimostrare che questi
sono punti estremi anche per K , cioè che ext (K ∩ H) ⊂ ext (K). Siano
α ∈ R e ϕ ∈ X ∗ \ {0} tali che H = ϕ−1 (α) e ϕ|K ≤ α. Siano e ∈
ext (K ∩ H) e y, z ∈ K tali che e = y+z
2 . Poiché per linearità
l'insieme
è convesso e chiuso (in
e ha dimensione al più
α = ϕ (e) =
ϕ (y) + ϕ (z)
α+α
≤
= α,
2
2
ϕ|K ≤ α segue ϕ (y) = α = ϕ (z). Dunque y, z ∈ K ∩ H
e ∈ ext (K ∩ H), si ha y = z = e. Dunque x ∈ conv (ext (K));
da
2. se
x ∈ int (K),
ma poiché
y, z ∈ ∂K tali che x ∈ [y, z] = conv {y, z}.
y, z ∈ conv (ext (K)), dunque
esistono
punto precedente,
Per il
conv {y, z} ⊂ conv (conv (ext (K))) = conv (ext (K)) ,
da cui
x ∈ conv (ext (K)).
Corollario 144. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico,
to, convesso e nito-dimensionale,
A ⊂ K.
equivalenti.
1.
K = conv (A),
2.
ext (K) ⊂ A.
3 Questa
K ⊂ X
compat-
Le seguenti aermazioni sono
proprietà è importante nella teoria di Choquet.
3.2 Teorema di Krein-Milman
48
2. ⇒ 1. segue direttamente dal Teorema di Minx ∈ ext (K) e sia n ∈ N il minimo intero tale che x
possa essere scritto come combinazione convessa di n elementi di A. Se n = 1
la tesi è banalmente vericata. Se n ≥ 2, dalla minimalità di n segue l'esistenPn
za di λ1 , . . . , λn ∈ (0, 1) e di a1 , . . . , an ∈ A tali che x =
i=1 λi ai . Essendo
x ∈ ext (K), si ha pertanto x = a1 , . . . , an , dunque x ∈ A.
Dimostrazione. L'implicazione
kowski.
Viceversa, sia
Esercizio 145. Siano
X uno spazio vettoriale, E ⊂ X un insieme non vuoto e
f : conv (E) → (−∞, +∞] convessa. Se f assume il massimo su conv (E), allora
lo assume su E .
x0 ∈ K un punto di massimo per f .
n ≥ 2, λ1 , . . . , λn ∈ (0, 1) e e1 , . . . , en ∈ E
convessità di f segue
Svolgimento. Sia
Senza perdere in genera-
lità, siano
tali che
Dalla
f (x0 ) ≤
n
X
x0 =
Pn
i=1
λi ei .
λi f (ei ) .
i=1
f (x0 ) = +∞ esiste k ∈ {1, . . . , n} tale che f (ek ) = +∞ = f (x0 ). Se
f (x0 ) ∈ R, si supponga per assurdo che esista k ∈ {1, . . . , n} tale che f (x0 ) >
f (ek ). Allora, poiché per ogni i ∈ {1, . . . , n} si ha f (x0 ) ≥ f (ei ),
Se
f (x0 ) =
n
X
λi f (x0 ) >
i=1
n
X
λi f (ei ) .
i=1
Assurdo.
Esercizio 146. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico,
f : K → (−∞, +∞]
assume su ext (K).
convesso e nito-dimensionale e
suo massimo su
K,
allora lo
Svolgimento. Grazie al Teorema di Minkowski,
K ⊂ X compatto,
f assume il
convessa. Se
K = ext (K).
La tesi segue
pertanto dall'esercizio precedente.
3.2
Teorema di Krein-Milman
Denizione 147 (Insieme estremale). Siano
E ⊂ K non vuoto. Si dice che E
∈ E , allora x, y ∈ E .
vesso ed
se
x+y
2
Osservazione 148.
K
X
spazio vettoriale,
è estremale per
K
K ⊂ X conx, y ∈ K ,
se per ogni
è estremale per se stesso. Quindi esiste sempre almeno
un insieme estremale per ogni insieme convesso.
Esercizio 149. Siano
x ∈ ext (K)
X uno spazio vettoriale, K ⊂ C
{x} è estremale per K .
se e solo se
Svolgimento. Banale.
convesso e
x ∈ K.
Allora
3.2 Teorema di Krein-Milman
49
Osservazione 150. Si estende ora la denizione già introdotta di iperpiano di supporto al caso più generale di spazi vettoriali (non necessariamente
topologici).
Denizione 151 (Iperpiano di supporto). Siano
X non vuoto
H = f −1 (α).
e
H ( X
un iperpiano.
Si dice che
H
X uno spazio vettoriale, A ⊂
α ∈ R e f ∈ X ] \ {0} tali che
supporto per A se esiste x ∈ A ∩ H
Siano
è un iperpiano di
tale che
f (x) = α = max (f (A))
oppure
f (x) = α = min (f (A)) .
x0
.
H
C
Figura 3.2.1: Un iperpiano di supporto
H
per un insieme convesso
spazio in due semispazi algebricamente chiusi, in modo che
C
C
separa lo
sia interamente
contenuto in uno dei due.
Proposizione 152. Siano
K . Se H
per K .
estremale per
è estremale
uno spazio vettoriale,
x+y
∈
2
è di supporto per E , detti
Dimostrazione. Siano
x, y ∈ E . Poiché H
H = ϕ−1 (α), si ha
X
x, y ∈ K
tali che
≤α
α=ϕ
da cui
K ⊂ X convesso ed E ⊂ K
E , allora anche H ∩ E
è un iperpiano di supporto per
ϕ (x) = α = ϕ (y),
i.e.
x+y
2
H ∩ E . Essendo E estremale,
ϕ ∈ X ] \ {0} e α ∈ R tali che
≤α
z }| { z }| {
ϕ (x) + ϕ (y)
=
≤ α,
2
x, y ∈ H .
3.2 Teorema di Krein-Milman
50
H
.y
E
x.
y
.
.
.x
Figura 3.2.2: Intuitivamente, poiché
gebricamente chiusi in modo tale che
H
E
separa lo spazio in due semispazi alsia interamente contenuto in uno dei
due, se uno dei due punti appartenesse a
E \ H,
necessariamente l'altro punto
apparterrebbe all'altro semispazio.
Osservazione 153. La proposizione precedente fornisce una prima idea su
come cercare insiemi estremali piccoli.
Trovato un insieme estremale si cerca
un iperpiano di supporto che non lo contenga e si determina così un insieme
estremale più piccolo di quello di partenza.
Denizione 154 (Catena o insieme linearmente ordinato). Sia
C ⊂ S è una catena
x ≤ y o y ≤ x.
me parzialmente ordinato. Si dice che
ordinato ), se per ogni
x, y ∈ C
si ha
Teorema 155 (Lemma di Zorn). Sia
(S, ≤)
(S, ≤) un insie-
(o che è linearmente
un insieme parzialmente ordinato
in cui ogni catena ammetta un maggiorante (/minorante). Allora
S
contiene
almeno un elemento massimale (/minimale).
Osservazione 156. Se
X
è uno spazio topologico e
notazione compatta per dire che
F
Lemma 157 (Lemma base). Siano
convesso,
Allora
E
K ⊂ X
X
è una
T2 localmente
chiuso ed estremale per K .
spazio vettoriale topologico
E ⊂ K
estremo di K .
compatto e convesso,
contiene almeno un punto
F ⊂ X, F = F
è chiuso.
Dimostrazione. Si consideri l'insieme
S = F ⊂ E F = F, F
Si noti che
(essendo
F
S 6= ∅
(in quanto
chiuso in
K
E ∈ S)
estremale per
e che per ogni
K .
F ∈ S, F
è compatto
compatto). Si consideri l'insieme parzialmente ordinato
(S, ⊂) e si ssi arbitrariamente una catena C ⊂ S . Poiché per ogni
T F1 , F2 ∈ C ,
sia F1 ∩ F2 6= ∅, dalla compattezza degli elemeti di C segue F0 :=
F ∈C F 6= ∅.
Essendo F0 intersezione di chiusi, F0 è chiuso, dunque compatto. Dalla denizione di insieme estremale è chiaro che anche l'intersezione di insiemi estremali
3.2 Teorema di Krein-Milman
sia estremale, dunque
F0
51
è estremale, ovvero
Allora per il Lemma di Zorn esiste
E0 ∈ S
F0 ∈ S
ed é un minorante di
C.
minimale. Si vuole dimostrare che
x, y ∈ E0 , x 6= y .
f ∈ X ∗ \ {0} tale che
f (x) > f (y). Essendo E0 compatto e f continuo, esiste m := max (f (E0 )),
−1
dunque H := f
(m) è un iperpiano di supporto per E0 . Per la Proposizione
152 E0 ∩ H è estremale ma E0 ∩ H ( E0 , perché non contiene y (che ha valore
di f più piccolo). Assurdo per la minimalità di E0 .
E0
è un singoletto.
Si supponga per assurdo l'esistenza di
Dal Corollario 436 segue allora l'esistenza un funzionale
Osservazione 158. Il lemma precedente aerma che, nelle ipotesi enunciate
(che sono tutte necessarie!), ogni insieme convesso e compatto ha almeno un
punto estremo.
Teorema 159 (Krein-Milman). Siano
localmente convesso e
K⊂X
X
uno spazio vettoriale topologico
T2
compatto e convesso. Allora
K = conv (ext (K)) .
Dimostrazione. Sia
dunque è chiaro che
C := conv (ext (K)). Poiché X è T2 i compatti sono chiusi,
K ⊃ C . Viceversa, si supponga per assurdo l'esisttenza di
x ∈ K \ C . Per il solito corollario del teorema di separazione di Hahn-Banach
∗
esiste f ∈ X \ {0} tale che f (x) > max (f (C)). Sia m := max (f (K)), allora
−1
H := f (m) è un iperpiano di supporto per K . Essendo K estremale per K ,
anche K ∩ H è estremale per K . Per il Lemma base, dunque, K ∩ H contiene
un punto estremo di K . Questo è assurdo perché tutti i punti estremi di K
sono contenuti in C ma C e K ∩ H sono disgiunti in quanto y ∈ H se e solo se
f (y) = max (f (K)) ≥ f (x) > max (f (C)) quindi H e C non hanno punti in
comune.
Esempio 160 (La locale convessità è necessaria). Esistono uno spazio vettoriale
4
topologico metrizzabile
convesso ma tale che
(dunque
ext (K) = ∅
T2 )
ed un suo sottoinsieme
Teorema 161 (Principio del massimo di Bauer). Siano
topologico
T2
localmente convesso,
K ⊂X
convessa e superiormente semicontinua.
qualche punto estremo di
Dimostrazione. Sia
K
compatto e
(dimostrato da Roberts).
X
uno spazio vettoriale
compatto e convesso ed
Allora
f
f: K → R
assume il suo massimo in
K.
m := max (f (K)).
Si consideri l'insieme
E := {x ∈ K | f (x) = m } = {x ∈ K | f (x) ≥ m } .
Poiché la funzione è superiormente semicontinua, l'insieme a destra è chiuso.
Inoltre
E
è estremale per
K , infatti per ogni x, y ∈ K , se il punto medio assume
il massimo, per la convessità
m=f
x+y
2
≤
1
1
f (x) + f (y) ≤ m,
2 | {z } 2 | {z }
≤m
4 Nello
specico,
L1/2 ([0, 1]).
≤m
3.2 Teorema di Krein-Milman
da cui
f (x) = m = f (y).
52
Allora per il Lemma base
E ∩ ext (K) 6= ∅.
Osservazione 162. Prima di proseguire si consiglia di leggere l'appendice sulle
net (sezione 9.4, pagina 132).
Denizione 163 (Insieme limitato). Siano
E ⊂ X.
E ⊂ tU .
X
uno spazio vettoriale topologico
U ∈ U (0)
Si dice che
E
è limitato se per ogni
Esercizio 164. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico e
e
esiste
t>0
E ⊂ X.
tale che
Si dimostri
l'equivalenza delle seguenti proposizioni:
1.
E
è limitato;
2. per ogni
U ∈ U (0)
esiste
t0 > 0
{xn }n∈N ⊂ E
tn xn → 0;
3. per ogni successione
tn → 0,
si ha
4. per ogni net
tale che, per ogni
(xα )α∈I ⊂ E
t ≥ t0
e per ogni successione
(tα )α∈I ⊂ R
e per ogni net
si abbia
E ⊂ tU ;
{tn }n∈N ⊂ R con
con
tα → 0,
si ha
tα xα → 0.
Proposizione 165. Siano
X uno spazio vettoriale topologico, C1 , . . . , Cn ⊂ X
D := conv (C1 ∪ . . . ∪ Cn ). Allora
nP
o
Pn
n
D=
i=1 λi ci ∀i ∈ {1, . . . , n} , ci ∈ Ci , λi ∈ [0, 1] ,
j=1 λj = 1 ;
convessi e
1.
2.
D = conv (conv (C1 ∪ . . . ∪ Cn−1 ) ∪ Cn );
3. se
C1 , . . . , Cn
X è T2 ,
è chiuso.
4. se
sono compatti, allora anche
C1 , . . . , Cn−1
sono compatti e
D
Cn
5
è compatto ;
è chiuso e limitato, allora
D
Dimostrazione.
D0 ⊂ D. Viceversa, sia x ∈ D.
Allora, senza perdere in generalità, esistono N ∈ N (che non ha nulla
Sn
a che vedere con n), c1 , . . . , cN ∈
j=1 Cj e λ1 , . . . , λN ∈ (0, 1) tali che
PN
j=1 λj = 1 e
N
X
x=
λj cj .
1. Sia
D0
il membro di destra. Chiaramente
j=1
A meno di riordinare gli indici, gli addendi si possono raggruppare nel
seguente modo
... +...,
x = λ1 c1 + . . . + λm cm + |{z}
{z
}
|
c1 ,...,cm ∈C1
5 Già
dimostrato per
C1 , . . . , Cn
...∈C2
singoletti: Corollario 43 a pagina 16.
3.2 Teorema di Krein-Milman
in modo tale che per ogni
53
i ∈ {1, . . . , n}, l'i-esimo blocco contenga una
Ci . Per quanto riguarda il primo
combinazione lineare di elementi di
blocco,
!
λ1 c1 + . . . λm cm
Pm
.
λj
j=1 λj
j=1
{z
}
| {z } |
m
X
∈C1
=:µ1
Denendo analogamente
µ2 , . . . µn
è chiaro che
Pn
i=1
µi
PN
j=1
λj = 1.
0
il membro di destra. Da C1 ∪ . . . ∪ Cn−1 ⊂ conv (C1 ∪ . . . ∪ Cn−1 )
D ⊂ D0 . Viceversa, sia x ∈ D0 . Per il punto precedente, esistono c1 ∈ C1 , . . . , cn−1 ∈ Cn−1 , cn ∈ Cn , λ1 , . . . , λn−1 , µ ∈ [0, 1] tali che
Pn−1
i=1 λi = 1 e
!
n−1
n−1
X
X
µλi ci + (1 − µ) cn .
x=µ
λi ci + (1 − µ) cn =
2. Sia
D
segue
i=1
i=1
Basta quindi notare che
n−1
X
µλi + (1 − µ) = µ
n−1
X
λi + (1 − µ) = 1.
i=1
i=1
| {z }
=1
3. Per il punto precedente, è suciente dimostrare la tesi per
n = 2.
Per
l'Esercizio 447 (la compattezza equivale alla compattezza per net), è suf-
D = conv (C1 ∪ C2 ) è compatto per net. Sia
(xα )α∈I ⊂ D una net. Allora per ogni α ∈ I esistono c1α ∈ C1 , c2α ∈ C2 e
λα ∈ [0, 1] tali che xα = (1 − λα ) c1α + λα c2α .
ciente dimostrare che
•
(λα )α∈I ⊂ [0, 1] una net in uno spazio compatto, esiste una
λαβ β∈J convergente ad un certo λ ∈ [0, 1].
• Essendo c1αβ
⊂ C1 una net in uno spazio compatto, esiste una
β∈J
1
sua subnet cα
convergente ad un certo c1 ∈ C1 .
βγ
γ∈L
• Essendo c2αβγ
⊂ C2 una net in uno spazio compatto, esiste una
γ∈L
2
sua subnet cα
convergente ad un certo c2 ∈ C2 .
βγ
Essendo
sua subnet
δ
Sia
δ∈M
ψ : M → I, δ 7→ αβγδ .
Allora, per l'Esercizio 446 (le subnet di net
convergenti convergono agli stessi limiti),
δ∈M
c2ψ(δ) −→ c2 .
δ∈M
δ∈M
λψ(δ) −→ λ, c1ψ(δ) −→ c1
e
Poiché somma e moltiplicazione per uno scalare sono con-
tinue, dall'Esercizio 447 (la continuità equivale alla continuità per net)
segue che
δ∈M
xψ(δ) −→ (1 − λ) c1 + λc2 ∈ D.
3.2 Teorema di Krein-Milman
54
4. Per i punti precedenti, è suciente dimostrare la tesi per
n = 2.
Per
l'Esercizio 447 (la chiusura equivale alla chiusura per net), è suciente
D = conv (C1 ∪ C2 ) è chiuso per net. Siano x ∈ X e
(xα )α∈I ⊂ D tali che xα → x. Allora per ogni α ∈ I esistono c1α ∈ C1 ,
c2α ∈ C2 e λα ∈ [0, 1] tali che xα = (1 − λα ) c1α + λα c2α . Procedendo come
nel punto precedente, dalla compattezza di [0, 1] e di C1 segue l'esistenza
di λ ∈ [0, 1], c1 ∈ C1 e di una subnet (xαδ )δ∈M di (xα )α∈I tale che
dimostrare che
δ∈M
λαδ −→ λ
e
δ∈M
c1αδ −→ c1 .
δ ∈ M , λαδ >
Se
λ > 0,
senza perdere in generalità, per ogni
xα −(1−λα )c1
0, dunque δ λα δ αδ
δ
= c2αδ ∈ C2
e dalla continuità
(dunque continuità per net) di somma e prodotto per uno scalare, dalle
δ∈M
δ∈M
δ∈M
xαδ −→ x, λαδ −→ λ e c1αδ −→ c1 , dalla chiusura (dunque
chiusura per net) di C2 e dall'unicità del limite segue la tesi. Se invece
λ = 0, essendo C2 limitato, si ha λαδ c2αδ → 0, dunque xαδ → c1 ∈ D.
convergenze di
Esercizio 166. Siano
X
convessi e
X uno spazio vettoriale topologico, n ≥ 2, C1 , . . . , Cn ⊂
D := conv (C1 + . . . + Cn ). Si dimostri che
1. se
C1 , . . . , Cn
2. se
X
anche
sono compatti, allora anche
T2 , C1 , . . . , Cn−1
D è chiuso.
è
sono compatti e
D
è compatto;
Cn
è chiuso e limitato, allora
Osservazione 167. Per comprendere il seguente corollario si consiglia di leggere l'appendice sulle topologie deboli (sezione 9.5, pagina 134).
Corollario 168. Siano
X
uno spazio riessivo e
C1 , . . . , Cn ⊂ X
chiusi,
convessi e limitati. Allora gli insiemi
D := conv (C1 ∪ . . . ∪ Cn )
e
D0 := conv (C1 + . . . + Cn )
sono chiusi, convessi e limitati.
D è convesso e limitato. Essendo chiusi e convessi,
C1 , . . . , Cn sono w-chiusi. Essendo limitati, esiste r > 0 tale che C1 , . . . , Cn ⊂
Br (0). Poiché la bolla unitaria in spazi riessivi è w-compatta, C1 , . . . , Cn
sono w -compatti. Per la Proposizione 165, l'insieme D è w -compatto, dunque
Dimostrazione. Chiaramente
debolmente chiuso, pertanto chiuso. Un analogo ragionamento dimostra la tesi
per
D0 .
Lemma 169. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico ed
E=
\
V ∈U (0)
(E + V ) .
E ⊂ X.
Allora
3.2 Teorema di Krein-Milman
55
x ∈ X . Allora x ∈ E se e solo se per ogni V ∈ U (0),
(x + V ) ∩ E 6= ∅ se e solo se per ogni V ∈ U (0) esistono v ∈ V ed y ∈ E tali
che x + v = e se e solo se per ogni x ∈ E − V se e solo se
\
\
x∈
(E − V ) =
(E + V ) .
Dimostrazione. Sia
V ∈U (0)
Lemma 170. Sia
ogni
U ∈ U (0)
X
esiste
V ∈U (0)
uno spazio vettoriale topologico localmente convesso. Per
V ∈ U (0), V ⊂ U , V
convesso, chiuso e simmetrico.
U ∈ U (0) arbitrario. Dalla continuità della somma, esiW ∈ U (0) tale che W + W ⊂ U . Essendo X localmente convesso, esiste
V 0 ∈ U (0), V 0 ⊂ W convesso. Allora l'insieme V := V 0 ∩ (−V 0 ) è un intorDimostrazione. Sia
ste
no dell'origine convesso (in quanto sia l'intersezione che la chiusura di insiemi
convessi sono convesse), chiuso (per denizione) e simmetrico (segue facilmente
V e dalla continuità per net della moltiplicazione per
V ⊂ V 0 ⊂ W ⊂ W + W ⊂ U (dove W ⊂ W + W segue dal lemma
dalla chiusura per net di
−1).
Inoltre
precedente).
Osservazione 171. Se
X è uno spazio vettoriale topologico T2 localmente conK ⊂ X è convesso e compatto, il Teorema di Krein-Milman aerma che
K = conv (ext (K)). Il seguente risultato garantisce una sorta di minimalità
di ext (K) come insieme avente questa proprietà.
vesso e
Teorema 172 (Milman). Siano
te convesso e
K⊂X
X
T2 localmenK = conv (A),
uno spazio vettoriale topologico
convesso e compatto. Se
A⊂K
soddisfa
allora
A ⊃ ext (K) .
V ∈ U (0) e x ∈ ext (K). Si vuole dimostrare che x ∈ A +
V , cosicché per il Lemma 169 si abbia x ∈ A. Per il Lemma 170 esiste U ∈ U (0),
U ⊂ V , chiuso, convesso e simmetrico. Essendo K compatto (dunque totalmente
Dimostrazione. Siano
limitato) ed essendo la totale limitatezza una proprietà ereditaria (facile eserci-
A ⊂ K è totalmente limitato. Siano allora {a1 , . . . , an } ⊂ A tali che
(ai + U ) e
i=1 (ai + U ). Per ogni i ∈ {1, . . . , n}, si denisca Ki := K ∩ S
n
si noti che Ki è convesso e compatto. Poiché K = conv (A) ⊂ conv ( i=1 Ki ) e
Sn
Sn
(dalla Proposizione 165) conv ( i=1 Ki ) = conv ( i=1 Ki ), si ha
zio), anche
A⊂
Sn
ext (K) ⊂ K ⊂ conv
n
[
!
Ki
.
i=1
x ∈ ext (K), sfruttando di nuovo la Proposizione 165,
Pnsegue l'esistenza
x
∈
K
,
.
.
.
,
x
∈
K
e di λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] tali che
1
1
n
n
i=1 λi = 1 e x =
Pn
λ
x
.
Essendo
x
un
punto
estremo
per
K
,
si
ha
x
=
x1 = . . . = xn ,
i
i
i=1
Poiché
di
dunque
x∈
n
\
i=1
Ki ⊂ A + U ⊂ A + V.
3.2 Teorema di Krein-Milman
56
Osservazione 173. Il Teorema di Milman garantisce che
ext (K)
sia il più
piccolo insieme chiuso la cui chiusura convessa permetta di ricostruire l'intero
insieme di partenza.
Corollario 174. Siano
K⊂X
A ⊃ ext (K).
vesso,
X
T2 localmente conK = conv (A) se e solo se
uno spazio vettoriale topologico
A ⊂ K.
convesso e compatto e
Allora
K = conv (A), per il teorema di Milman A ⊃ ext (K).
A ⊃ ext (K)
dunque, K =
. Per il teorema di Krein-Milman,
conv (ext (K)) ⊂ conv A . Dimostrando che conv A ⊂ conv (A) (poiché chiaramente K ⊃ conv (A)), segue la tesi. Da A ⊂ conv (A) e conv (A) chiuso
e convesso, segue A ⊂ conv (A), conv A ⊂ conv (A) ed inne conv A ⊂
conv (A).
Dimostrazione. Se
Viceversa, sia
3.2.1
Complementi al teorema di Krein-Milman (cenni)
Notazione 175. Durante questa sezione, si indicano con
toriale topologico
T2
K ⊂ X
localmente convesso e
X
uno spazio vet-
un insieme compatto e
convesso.
Problema 176. Se
K è nito-dimensionale, il Teorema di Minkowski aerma
K = conv (ext (K)). Ci si chiede se sia possibile, in generale, esprimere ogni
elemento di K come combinazione convessa dei suoi elementi estremi, senza
che
dove passare alla chiusura.
Denizione 177 (Integrale di Pettis). Siano
f: Ω→X
6
una funzione misurabile . Se esiste
(Ω, Σ, µ) uno spazio di misura e
x ∈ X tale che, per ogni ϕ ∈ X ∗ ,
ˆ
si abbia
ϕ (x) =
ϕ (f (ω)) dµ (ω) ,
Ω
si dice che
x
f
è l'integrale di Pettis di
su
Ω
e si scrive
ˆ
x = (P)
f (ω) dµ (ω) .
Ω
Esercizio 178. Si dimostri che, se l'integrale di Pettis esiste, è unico.
(Ω, Σ, µ) uno spazio di misura, f : Ω → X una funzione
x, y ∈ X integrali di Pettis di f . Allora, per ogni ϕ ∈ X ∗ , si ha
ϕ (x) = ϕ (y). Essendo X di Hausdor, i punti sono chiusi (e compatti). Se
per assurdo fosse x 6= y , per il Teorema di Hahn-Banach topologico esisterebbe
ϕ ∈ X ∗ tale che ϕ (x) < ϕ (y).
Svolgimento. Siano
misurabile e
6 Ovviamente
rispetto a
Σ
ed alla
σ -algebra
di Borel su
X.
3.2 Teorema di Krein-Milman
57
Osservazione 179. Aermare che
convessa di elementi estremi di
ext (K)
e
λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1]
tali
x ∈ K si possa scrivere come combinazione
K signica
chiedere l'esistenza di e1 , . . . , en ∈
Pn
che
λ
=1e
i
i=1
n
X
x=
λi ei .
i=1
Pn
λi δei ,
x sia l'integrale di Pettis dell'identità su ext (K) rispetto a µ.
ϕ ∈ X ∗,
ˆ
ϕ (x) =
ϕ (y) dµ (y)
Infatti
Denotando per ogni
i ∈ {1, . . . , n}, δei
la misura di Dirac in
ei , e µ :=
i=1
tale aermazione risulta equivalente a
ˆ
x = (P)
y dµ (y) ,
ext(K)
ovvero che
dall'unicità dell'integrale di Pettis segue, per ogni
ext(K)
[µ (y) 6= 0 ⇔ y ∈ {e1 , . . . , en }]
ˆ
=
ϕ (y) dµ (y)
{e1 ,...,en }
=
n
X
i=1
= ϕ
ϕ (ei ) µ (ei )
| {z }
=λi
n
X
!
λ i ei
.
i=1
Denizione 180 (Misura di probabilità regolare). Sia
misura.
Si dice che
µ
(Ω, Σ, µ) uno spazio di
Ω) se µ è una
è una misura di probabilità regolare (su
E ∈ Σ, si ha
n e K
e ⊂ E, K
e
µ (E) = sup µ K
misura di probabilità e per ogni
Fatto 181. Se
regolare su
B,
B⊂K
è un boreliano e
o
compatto
.
µ : Σ → [0, 1] è una misura di probabilità
allore esiste l'integrale di Pettis
ˆ
y dµ (y) ∈ K.
(P)
B
Fatto 182 (Teorema di Krein-Milman integrale). Per ogni
necessariamente unica) una misura di probabilità regolare
ˆ
y dµ (y) ∈ K
x = (P)
ext(K)
µ
x ∈ K esiste (non
ext (K) tale che
su
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
Osservazione 183. Se
K
58
è metrizzabile, il seguente Teorema di Choquet assi-
cura che il Teorema di Krein-Milman integrale valga su
sura).
ext (K)
(senza la chiu-
Si noti che la prima metà di questo risultato è stata dimostrata nella
Proposizione 141.
Fatto 184 (Teorema di Choquet). Sia
Gδ
e per ogni
x∈K
K
metrizzabile. Allora
ext (K) è di
ext (K)
esiste una misura di probabilità regolare su
tipo
tale
ˆ
che
x = (P)
y dµ (y) .
ext(K)
Osservazione 185. Il seguente corollario del Teorema di Choquet aerma che
K è metrizzabile e
x ∈ K si può scrivere
se
l'insieme dei suoi punti estremi è numerabile, allora ogni
come una combinazione convessa innita.
Corollario 186. Siano
x∈K
K
ext (K) = {en }n∈N . Allora
P+∞
⊂ [0, 1] tale che n=1 λn = 1 e
metrizzabile ed
esiste una successione
{λn }n∈N
x=
+∞
X
per ogni
λn en .
n=1
3.3
Teorema di Helly, applicazioni e parenti
Notazione 187 (Intersezione ed unione di una famiglia di insiemi). Siano
insieme ed
F
una famiglia di sottoinsiemi di
X.
Si denota con
T
F
X
un
l'intersezione
F , ovvero
\
F := { x ∈ X | ∀F ∈ F, x ∈ F } .
di tutti gli elementi di
Si denota con
S
F
l'unione di tutti gli elementi di
[
F,
ovvero
F := { x ∈ X | ∃F ∈ F, x ∈ F } .
Denizione 188 (Famiglia centrata di insiemi). Siano
famiglia di sottoinsiemi di
X.
Si dice che
F
X
un insieme ed
F
una
è centrata se ogni sua sottofamiglia
∅.
F0 ⊂ F
T
F0 6=
k ∈ N, si dice che F è k -centrata se ogni sua sottofamiglia di almeno 1
ed al più k elementi ha intersezione non vuota, ovvero se per ogni F0 ⊂ F con
T
1 ≤ Card (F0 ) ≤ k , si ha F0 6= ∅.
nita ha intersezione non vuota, ovvero se per ogni
Se
Osservazione 189. Sia
F
una famiglia di sottoinsiemi di un insieme
• F
è
• F
è centrata se e solo se per ogni
1-centrata
X.
se e solo se contiene solo insiemi non vuoti.
n ∈ N,
è
n-centrata.
Fatto 190 (Caratterizzazione della compattezza). Sia
X
nita, si ha
X
uno spazio topologico.
è compatto se e solo se ogni famiglia centrata di sottoinsiemi chiusi di
intersezione non vuota.
X
ha
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
59
Corollario 191. Siano
X uno spazio topologico ed F una famiglia centrata di
X
. Se esiste una famiglia nita F0 ⊂ F con intersezione
T
T
F0 compatta, allora F 6= ∅.
T
Dimostrazione. Sia C :=
F0 . Allora G := {F ∩ C | F ∈ F } è una famiglia centrata di chiusi dello spazio compatto C . Per la caratterizzazione della
T
T
compattezza,
F= G=
6 ∅.
sottoinsiemi chiusi di
Corollario 192. Siano
chiusi. Se esiste
K∈F
X
uno spazio topologico e
compatto, allora
T
F
una famiglia centrata di
F 6= ∅.
Esercizio 193. Sia
dimostri che
T
F una famiglia 2-centrata e nita di intervalli di R. Si
F 6= ∅ (ovvero che se F è una famiglia di intervalli, i suoi
elementi si intersecano a due a due se e sono se si intersecano tutti).
I ∈ F , si denotino aI := inf (I) e bI := sup (I).
I ∩ J 6= ∅ segue aJ ≤ bI e aI ≤ bJ . Detti
Svolgimento. Per ogni
per ogni
I, J ∈ F ,
da
α := max (aI )
si ha pertanto
β := min (bI ) ,
e
I∈F
Allora
I∈F
α ≤ β.
α
[
aJ
[
aI
β
]
bI
]
bJ
T
T
α < β , si ha necessariamente (α,T
β) ⊂ F , dunque F 6= ∅. Viceversa,
sia γ := α = β . Se per assurdo γ ∈
/ F , esiste I ∈ F tale che γ ∈
/ I , dunque
γ ≤ aI o γ ≥ bI . Per denizione di α e β è immediato vericare che nessuno dei
casi γ < aI , γ > bI , γ = aI e γ = bI possa vericarsi. Assurdo.
Se
Esempio 194 (In
R2
(nemmeno se nite!)
non vale). Nel piano non è vero che famiglie
2-centrate
di insiemi convessi hanno intesezione non vuota.
Ad
F la famiglia costituita dai tre segmentiT[0, 1] × {0}, {0} × [0, 1]
conv ((0, 1) , (1, 0)). Chiaramente F è 2-centrata ma F = ∅.
esempio sia
e
1
0
Proposizione 195. Sia
Rd .
Se
n > d + 1,
allora
F
T
una famiglia
F 6= ∅.
1
n−1
centrata di
n
insiemi convessi in
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
F =:
Tn{C1 , . . . , Cn }.
xi ∈ j=1,j6=i Cj . Sia
Dimostrazione. Sia
esiste un elemento
60
Per ipotesi, per ogni
i ∈ {1, . . . , n}
T : Rn
→ Rd+1 ,
!
n
n
X
X
(α1 , . . . , αn ) 7→
αi xi ,
αi .
i=1
i=1
| {z } | {z }
∈R
∈Rd
T è lineare ed essendo n > d + 1, T nonPè iniettiva. Esiste
Pndunque
n
α := (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn \{0} tale che T α = 0, da cui i=1 αi xi = 0 e i=1 αi =
0. Siano P = { i ∈ {1, . . . , n}
P| αi > 0} e NP= { i ∈ {1, . . . , n} | αi ≤ 0}
P. Essendo
α
=
6
0
, si ha P, N 6= ∅ e
α
x
=
|α
|
x
. Siano σ :=
i
i
i
i
i∈P
i∈N
i∈P αi =
P
i∈N |αi | > 0 e
X |αj |
X αi
xi =
xj .
x :=
σ
σ
j∈N
i∈P
T
T
Poiché per ogni i ∈ P , xi ∈
j∈N Cj , per ogni i ∈ N , xi ∈
j∈P Cj e
Chiaramente
l'intersezione di insiemi convessi è convessa, da
x=
X αi
σ
i∈P
| T {z }
∈
segue
T
x∈
Rd .
1.
j∈N
Cj
X |αj |
xj
σ
j∈N
| T {z }
∈
i∈P
Ci
F.
Teorema 196 (Helly). Sia
in
xi =
F
una famiglia
(d + 1)-centrata
di insiemi convessi
Se vale almeno una delle seguenti:
F
è una famiglia nita;
2. gli elementi di
7
F
sono chiusi ed esiste
F0 ⊂ F
nita tale che
T
F0
è
limitata ;
allora
T
F 6 = ∅.
Dimostrazione. Se
F
contiene al più
d+1 elementi, la tesi è banale.
Procedendo
induttivamente ed utilizzando la proposizione precedente si deduce che per ogni
n ∈ N, nT≥ d + 2, F è n-centrata, ovvero che F è centrata. Se F è nita,
F 6= ∅. Inne, se F è nita ed esiste una sottofamiglia nita con
dunque,
intersezione compatta, la tesi segue dal Corollario 191.
Teorema 197 (della trasversale comune o dello spiedino). Sia
di segmenti compatti in
R2
tutti paralleli tra loro. Se ogni
3
F
una famiglia
elementi di
F
sono
intersecati da una retta, allora esiste una retta che interseca tutti gli elementi
di
F.
7 Dunque
compatta.
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
61
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (basta ruotare gli assi) si può sup-
F siano verticali, ovvero che per ogni I ∈ F esistano
xI , aI , bI ∈ R tale che I = {xI } × [a1 , b1 ]. Senza perdere in generalità si supponga inoltre che F non sia contenuta in una retta verticale, ovvero della forma
{x} × R, per qualche x ∈ R (altrimenti basta prendere quella retta). Per ogni
(m, q) ∈ R2 , sia `m,q := { mx + q | x ∈ R}. Si è allora interessati a determinare
un'opportuna retta nella famiglia {`m,q }
(m,q)∈R2 . Ad ogni I ∈ F si associ una
porre che gli elementi di
famiglia di coppie di numeri reali nel modo seguente
CI := (m, q) ∈ R2 | `m,q ∩ I 6= ∅
(m, q) ∈ R2 |aI ≤ mxI + q ≤ bI
(m, q) ∈ R2 |aI − mxI ≤ q ≤ bI − mxI .
7→
I
=
=
3 elementi di F sono intersecati da una retta, la famiglia
3-centrata. Inoltre, per ogni I ∈ F , l'insieme
CI = (m, q) ∈ R2 |m ∈ R, q ∈ [aI − mxI , bI − mxI ]
Poiché per ipotesi ogni
{CI }I∈F ⊂ R2
è
q
q = bI − mxI
CI
q = aI − mxI
m
è un sottoinsieme convesso e chiuso di
R2 .
Dunque
{CI }I∈F
è una famiglia
2
3-centrata di convessi e chiusi in R . È facile convincersi che per ogni
T I, J ∈ F ,
I 6= J , si ha CI ∩ CJ limitata. Per il teorema di Helly, si ha pertanto I∈F CI 6=
∅.
Corollario 198 (Teorema del panino). Siano
f, g : E → R
1. esiste
ed
f ≤ g.
a: E → R
2. per ogni
E⊂R
un intervallo non vuoto,
Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
ane tale che
f ≤ a|E ≤ g ,
x, y ∈ E con x < y e per ogni λ ∈ (0, 1) si ha
f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) g (x) + λg (y) ,
g ((1 − λ) x + λy) ≥ (1 − λ) f (x) + λf (y) .
f ≤ a|E ≤ g
equi-
vale all'esistenza di una retta che interseca ogni elemento dell'insieme
F :=
Dimostrazione. L'esistenza di
a: E → R
ane tale che
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
{{x} × [f (x) , g (x)]}x∈E .
62
Per il Teorema dello spiedino questo equivale ad af-
fermare che ogni tre elementi di
F
sono intersecati da una retta, il che equivale a
x, y, z ∈ E , con x < z < y , ssato λ ∈ (0, 1)
z = (1 − λ) x+λy , il trapezioide di vertici (x, f (x)), (x, g (x)), (y, g (y)),
(y, f (y)) interseca il segmento {z} × [f (z) , g (z)] in almeno un punto, il che
sua volta ad aermare che per ogni
tale che
accade se e solo se
[(1 − λ) f (x) + λf (y) , (1 − λ) g (x) + λg (y)] ∩ [f (z) , g (z)] 6= ∅.
a, b, c, d ∈ R
b ≥ c.
La tesi segue osservando che per ogni
[a, b] ∩ [c, d] 6= ∅
se e solo se
a≤d
e
tali che
(z, g (z))
.
.
. (z, v)
(x, g (x))
a≤b
e
c ≤ d,
si ha
(y, g (y))
.
(y, f (y))
.
(z, u) .
.
(z, f (z))
.
(x, f (x))
f è disegnata in blu, g è disegnata in rosso.
u := (1 − λ) f (x) + λf (y) e v := (1 − λ) g (x) + λg (y).
Figura 3.3.1: La funzione
inoltre indicate
Esercizio 199. Siano
E⊂R
un intervallo non vuoto,
Si dimostri che se una tra le due funzioni
f
e
g
f, g : E → R
Si sono
ed
f ≤ g.
è convessa e l'altra e concava la
condizione 1. (o equivalentemente, la 2.) del risultato precedente è soddisfatta.
Fatto 200 (Teorema dello spiedino generalizzato). Sia
menti compatti in
Rd
e paralleli tra loro. Se ogni
F
(d + 1)
una famiglia di segelementi di
F
sono
intersecati da un iperpiano, allora esiste un iperpiano che interseca tutti gli
elementi di
F.
Fatto 201 (Teorema del panino generalizzato). Siano
f, g : E → R
1. esiste
ed
a: E → R
E ⊂ Rd
non vuoto,
Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
ane tale che
f ≤ a|E ≤ g ,
x1 , . . . , xd+1 ∈ E e per ogni λ1 , . . . , λd+1 ∈ [0, 1] con
Pd+1
z := i=1 λi xi ∈ E , si ha
(
Pd+1
f (z) ≤
λi g (xi )
Pi=1
d+1
g (z) ≥
i=1 λi f (xi )
2. per ogni
detto
f ≤ g.
Pd+1
i=1
λi = 1,
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
Teorema 202. Siano
Y ⊂R
d
F
una famiglia di sottoinsiemi di
sottospazio vettoriale di dimensione
1. Si supponga che gli elementi di
F
T
un traslato di
B.
F0
Rd , B ⊂ Rd
limitato,
k.
siano tutti chiusi, convessi e che almeno
F0
contiene un traslato di
uno di essi sia compatto. Se per ogni
l'intersezione
63
⊂ F di al più d T
+1
B , allora anche F
elementi
contiene
B sia compatto
e convesso. Se per ogni F0 ⊂ F di
S
d
+
1
elementi l'unione
F
è contenuta in un traslato di B , allora
0
S
F è contenuta in un traslato di B .
2. Si supponga che
al più
anche
3. Si supponga che gli elementi di F siano tutti chiusi, convessi e che esista
F 0 ∈ F tale che la proiezione ortogonale di F 0 su Y ⊥ sia limitata. Se per
T
F0 ⊂ F di al più d + 1T− k elementi l'intersezione F0
traslato di Y , allora anche
F contiene un traslato di Y .
ogni
contiene un
Dimostrazione.
F ∈ F , l'insieme CF := x ∈ Rd x + B ⊂ F è chiuso, convesso
e ∈ F tale che C e è limitato. Poiché la famiglia {CF }
ed esiste F
F ∈F è
F
(d + 1)-centrata, dal teorema di Helly segue la tesi.
d
Per ogni F ∈ F , l'insieme CF := x ∈ R F ⊂ x + B è chiuso e convesso. Essendo B limitato, per ogni F ∈ F , CF è limitato. Poiché la famiglia
{CF }F ∈F è (d + 1)-centrata, dal teorema di Helly segue la tesi.
⊥
Per ogni F ∈ F , l'insieme CF := z ∈ Y
z + Y ⊂ F è chiuso e conves
⊥
so. Inoltre CF 0 è limitato. Poiché dim Y
= d−k e la famiglia {CF }F ∈F
⊥
di sottoinsiemi di Y
è (d − k + 1)-centrata, dal teorema di Helly segue
1. Per ogni
2.
3.
la tesi.
Teorema 203 (alla Klee). Sia F := {C0 , . . . , Cn } una famiglia n-centrata di
S
(n + 1) insiemi convessi in T
Rd tutti chiusi o tutti aperti, con F stellata rispetto
d
a qualche z0 ∈ R . Allora
F 6 = ∅.
Dimostrazione. Senza perdere in generalità si può supporre che gli elementi di
F
siano anche limitati (basta intersecare ogni elemento di
F
con una bolla
8
F ).
n = 1, da C0 ∪ C1 stellata si deduce C0 ∪ C1
connessa e dalla connessione segue C0 ∩ C1 6= ∅. Sia dunque k ∈ N arbitrario e
si supponga il teorema valido per n = k − 1. Sia F = {C0 , C1 , . . . , Ck } come da
Tk
ipotesi e si supponga per assurdo che
i=0 Ci = ∅. Senza perdere in generalità,
sia z0 ∈ C0 . Essendo F k -centrata,
centrata in
z0
di raggio abbastanza grande da intersecare tutti gli insiemi di
Si procede per induzione su
n.
Se
P :=
k
\
Ci 6= ∅.
i=1
8 Aperta
se gli elementi di
F
sono aperti, chiusa se sono chiusi.
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
P ∩ C 0 = ∅.
Si ha dunque
Poiché
C0
P
e
64
sono due convessi disgiunti a chiusura
compatta, per il Teorema di Hahn-Banach topologico si possono separare con
un iperpiano
H
disgiunto da entrambi.
H
H
P
C0
z0
.
Figura 3.3.2: A sinistra il caso
P
P
C0
C0 , P
z0
.
chiusi. A destra il caso limite in cui
C0
e
sono aperti.
Si ha dunque
C0 ∩ H = ∅ = P ∩ H .
Deniti per ogni
i ∈ {1, . . . , k},
Di := Ci ∩ H,
si ha
Tk
i=1
D i = P ∩ H = ∅.
{D1 , . . . , Dk }
i=1,i6=i0 Ci , si ha
Si dimostra ora che la famiglia
Tk
(k − 1)-centrata. Sia infatti i0 ∈ {1, . . . , k}. Detta Q :=
Q ⊃ P ed essendo F k -centrata, Q interseca C0 . Essendo Q un insieme convesso
contenente sia punti di P che punti di C0 , Q contiene un segmento avente un
estremo in C0 ed uno in P , ovvero un segmento che interseca H . Pertanto
T
Sk
k
i=1,i6=i0 Di = Q ∩ H 6= ∅. Si noti che
i=1 Di non è stellata, infatti se lo fosse
si potrebbe applicare l'ipotesi di induzione a D1 , . . . , Dk che sono chiusi o aperti
d
in H (rispettivamente, se C1 , . . . , Ck sono chiusi o aperti in R ) che è isomorfo
d−1
d
ad R
. Siano p ∈ P e z1 ∈ R tale che
è
{z1 } = (z0 , p) ∩ H.
Si dimostra ora che dall'ipotesi di assurdo segue che l'unione
rispetto a
z1 .
Sk
i=1
Dk
è stellata
Sia
x∈
k
[
Di .
i=1
Sk
Sk
z0 ed essendo i=1 Di ⊂ i=1 Ci si ha
0
Poiché per qualche i ∈ {1, . . . , k} si ha x ∈ Di0 ⊂ Ci0 , allora
Sk
Sk
C . Essendo i=0 Ci stellato rispetto a z0 ,
tutto il segmento [x, p] ⊂ Ci0 ⊂
Sk i=0 i
per ogni y ∈ [x, p], [z0 , y] ⊂
i=0 Ci . Essendo x, z1 ∈ H si ottiene quindi
Sk
C
Ski=0 i
[x, z0 ] ⊂ i=0 Ci .
Essendo
stellata rispetto a
[x, z1 ] ⊂
k
[
i=0
!
Ci
∩H =
k
[
i=0
(Ci ∩ H) =
| {z }
=∅
se i=0
k
[
i=1
Di ,
3.3 Teorema di Helly, applicazioni e parenti
65
assurdo.
z0
.
.
x
.
z1
.
y
⊂
Sk
p
i=1
Ci
Osservazione 204. Una versione del teorema precedente con
e
S
F
C0 , . . . , Cn
chiusi
convessa è stata dimostrata da Klee nel 1951 e ridimostrata in modo indi-
pendente da Berge nel 1959. La versione enunciata qui si può invece far seguire
da un teorema topologico di Lassonde del 1997. Segue ora una generalizzazione
del Teorema di Helly, dimostrata da Breen nel 1990.
Denizione 205 (Famiglia di insiemi
sottoinsiemi di uno spazio vettoriale
F0 ⊂ F
per ogni
di al più
n
elementi,
Corollario 206 (Breen). Sia
F
n-stellata). Siano F una famiglia
n ∈S
N. Si dice che F è n-stellata
l'unione
F0 è stellata.
X
ed
una famiglia
(d + 1)-stellata
di convessi in
di
se
Rd .
Se vale almeno una delle seguenti:
1.
F
è nita e gli elementi di
2. gli elementi di
allora
T
sono tutti aperti o tutti chiusi;
sono chiusi ed almeno uno è limitato;
F 6= ∅.
Dimostrazione. Sia
Certamente
F
F
n ≥ 2,
n
n ≤ d + 1 e F sia n-centrata.
C1 , C2 ∈ F , C1 ∪ C2 è connessa, dunque
il più grande intero tale che
infatti per ogni
C1 ∩ C2 6= ∅. Procedendo induttivamente (basta
n ≤ d + 1), si dimostra n ≥ d + 1 e
per ogni
Helly.
applicare il Teorema alla Klee
la tesi segue dal Teorema di
Capitolo 4
Funzioni convesse notevoli
4.1
Funzione indicatrice
Osservazione 207. Nella teoria della misura le funzioni caratteristiche sono
importanti ma in uno spazio vettoriale queste sono convesse se e solo se indicano
il vuoto o l'intero spazio.
Per questa ragione vengono introdotte le funzioni
indicatrici.
Denizione 208 (Funzione indicatrice). Siano
X.
→
δA : X
x 7→
uno spazio vettoriale e
A⊂
(−∞, +∞],
(
0,
x ∈ A,
δA (x) =
+∞, x ∈ X \ A.
si dice funzione indicatrice (dell'insieme
Proposizione 209. Siano
δA
X
La funzione
è convessa se e solo se
Dimostrazione. Se
convesso, per ogni
A) .
X uno spazio
A è convesso.
vettoriale e
δA è convessa, A = {δA < 1}
x, y ∈ X e per ogni λ ∈ (0, 1)
A⊂X
non vuoto. Allora
è convesso. Viceversa, se
A
è
δA ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) δA (x) + λδA (y) .
4.2
Funzioni sublineari
Denizione 210 (Funzione positivamente omogenea, subadditiva, sublineare).
Siano
•
X
uno spazio vettoriale e
p : X → (−∞, +∞].
p è positivamente
p (tx) = tp (x) .
Si dice che
omogenea se per ogni
x∈X
e per ogni
t ≥ 0,
4.2 Funzioni sublineari
67
•
Si dice che
p
è subadditiva se per ogni
•
Si dice che
p
è sublineare se
Osservazione 211. Se
p
è sublineare se e solo se
Dimostrazione. Se
p
Viceversa, sia
p
p (0) = 0.
X uno spazio vettoriale e p : X → (−∞, +∞].
p è convessa e positivamente omogenea
p
è sublineare si verica immediatamente che
p (0) = 0
e
x, y ∈ X ,
x y x y
p 2
= 2p
+
+
2
2
2
2
1
1
2
p (x) + p (y) = p (x) + p (y) .
2
2
=
≤
Esercizio 213. Sia
p : R → R. Si dimostri che p
p|(−∞,0) , p|(0,+∞) sono lineari.
è sublineare se e solo se
Esempio 214 (Funzioni sublineari). Siano X uno spazio vettoriale e p :
Nei seguenti casi,
1.
p
norma su
2. per ogni
p
Allora
è convessa.
convessa e positivamente omogenea. Allora, per ogni
p (x + y)
convessa,
è positivamente omogenea e subadditiva.
è positivamente omogenea,
Proposizione 212. Siano
p
p
x, y ∈ X , p (x + y) ≤ p (x) + p (y) .
p
è
X → R.
è sublineare:
X;
ϕ ∈ X ] , p : x 7→ |ϕ (x)|;
F ⊂ X ] tale
p : x 7→ supϕ∈F ϕ (x).
3. per ogni
Esercizio 215. Sia
X
che per ogni
x∈X
si abbia
supϕ∈F ϕ (x) < +∞,
uno spazio vettoriale. Si dimostrino le seguenti aerma-
zioni:
1. per ogni
p, q : X → R
F
supp∈F p (x) < +∞,
2. per ogni famiglia
sublineari, la somma
p+q
di funzioni reali sublineari tali che, per ogni
l'estremo superiore
x 7→ supp∈F p (x)
Proposizione 216. Siano
sublineare e tale che
è sublineare;
X uno spazio normato, r, M > 0
p|rBX ≤ M . Allora p è M
r -lipschitziana.
e
x ∈ X \ {0}. Allora
kxk x
kxk
x
M
p (x) = p
r
=
p r
≤
kxk
r kxk
r
kxk
r
| {z }
Dimostrazione. Sia
∈rBX
x ∈ X,
è sublineare.
p: X → R
4.3 Distanza da un insieme
68
e lo stesso vale ovviamente anche per
p (x)
x = 0.
x, y ∈ X
Per ogni
=
p (y + (x − y))
≤
p (y) + p (x − y)
M
p (y) +
kx − yk
r
≤
si ha pertanto
m
p (x) − p (y)
Proposizione 217. Siano
X
M
kx − yk .
r
≤
uno spazio normato e
p: X → R
sublineare. Le
seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
p
è lipshitziana;
2.
p
è continua;
3.
p
è continua in
4.
p
è localmente limitata.
0;
Dimostrazione. Poiché
L'implicazione
4.3
4. ⇒ 1.
p
è convessa, per il Teorema 117,
Distanza da un insieme
Denizione 218 (Distanza da un insieme). Siano
A⊂X
1 ⇒ 2. ⇔ 3. ⇔ 4.
segue dalla proposizione precedente.
(X, ρ) uno spazio
A), la funzione
metrico e
non vuoto. Si denisce distanza (dall'insieme
dA : X
x
→ R,
7→ dA (x) := dist (x, A) := inf { ρ (x, a) | a ∈ A} .
Esercizio 219. Siano
zioni reali
R.
(X, ρ) uno spazio metrico, L > 0 e F una famiglia di funL-lipschitziane denite su X tali che, per ogni x ∈ X , inf f ∈F f (x) ∈
Si dimostri che l'estremo superiore puntuale
inf f : X
f ∈F
→
x 7→
è anch'esso una funzione
inferiore, esiste
inf f (x)
f ∈F
L-lipschitziana.
x, y ∈ X
g ∈ F tale che
Svolgimento. Siano
R,
ed
ε > 0
arbitrari.
g (y) − ε ≤ inf f (y) .
f ∈F
Per denizione di estremo
4.3 Distanza da un insieme
69
Allora
inf f (x) − inf f (y) ≤ inf f (x) −g (y) + ε ≤ g (x) − g (y) +ε
f ∈F
f ∈F
|
{z
}
{z
}
| {z }
|
≤Lρ(x,y)
f ∈F
≤−g(y)+ε
≤g(x)
≤ Lρ (x, y) + ε.
Dall'arbitrarietà di
x, y
ε
ed
Proposizione 220. Siano
1.
dA = dA ;
2.
dA
3. se
è
X
segue la tesi.
X
uno spazio metrico e
A⊂X
non vuoto. Allora
1-lipschitziana;
è normato e
A
è chiuso,
(a)
dA
è convessa se e solo se
(b)
dA
è concava su
X \A
A
è convesso;
se e solo se
X \A
è convesso.
Dimostrazione.
1. Ovvio.
2. Per ogni
a ∈ A,
la mappa
da : x 7→ ρ (x, a)
è
1-lipschitziana,
infatti
∀x, y ∈ X,
ρ (x, a) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, a)
m
∀x, y ∈ X, |ρ (x, a) − ρ (y, a)| ≤ ρ (x, y) .
Essendo
3.
dA = inf a∈A da ,
dall'esercizio precedente segue la tesi.
dA è convessa, A = {dA ≤ 0} è convesso. Viceversa, siano x, y ∈
X , λ ∈ (0, 1) ed ε > 0. Per denizione di estremo inferiore esistono
a, b ∈ A tali che
(a) Se
kx − ak
≤
dA (x) + ε,
ky − bk
≤
dA (y) + ε.
Allora
dA ((1 − λ) x + λy) ≤
k [(1 − λ) x + λy] − [(1 − λ) a + λb] k
|
{z
}
∈A
= k(1 − λ) (x − a) + λ (y − b)k
≤ (1 − λ) kx − ak + λ ky − bk
≤ (1 − λ) dA (x) + λdA (y) + ε.
4.4 Funzioni di supporto
70
è concava su X \ A, X \ A = {dA > 0} è convesso. Viceversa,
C := X \ A convesso e x, y ∈ C . Allora dA (x) , dA (y) > 0 e
BdA (x) (x) , BdA (y) (y) ⊂ C . Sia λ ∈ (0, 1) arbitrario. Dalla convessità
di C segue
(b) Se
dA
siano
E := (1 − λ) BdA (x) (x) + λBdA (y) (y) ⊂ C.
Una verica diretta mostra che
B(1−λ)dA (x)+λdA (y) ((1 − λ) x + λy) = E ⊂ C
da cui segue immediatamente
dA ((1 − λ) x + λy) ≥ (1 − λ) dA (x) + λdA (y) .
A
x.
C =X \A
.
z
y
.
Figura 4.3.1: Si è posto
4.4
BdA (x) (x)
E
BdA (y) (y)
z := (1 − λ) x + λy .
Funzioni di supporto
Denizione 221 (Funzione di supporto). Siano X uno spazio normato,
non vuoto e
A ⊂ X∗
B ⊂ X non vuoto. Sfruttando il consueto abuso di notazione per
X vengono identicati con la loro immersione canonica nel
cui gli elementi di
duale secondo, le due funzioni
sA : X
→
x 7→
σB : X ∗
→
ϕ 7→
vengono dette funzioni di supporto.
(−∞, +∞] ,
sA (x) := sup (x (A)) ,
(−∞, +∞] ,
σB (ϕ) := sup (ϕ (B))
4.4 Funzioni di supporto
Proposizione 222. Siano
71
X
A ⊂ X∗
uno spazio normato,
non vuoto e
B⊂X
non vuoto. Allora
• sA
è sublineare ed inferiormente semicontinua;
• σB
è sublineare e
w∗ -inferiormente
1
semicontinua .
Dimostrazione. Essendo un estremo superiore puntuale di funzioni convesse e
sA è convessa ed inferiormente semicontinua. Dalla denizione, segue
sA è positivamente omogenea, dunque per la Proposizione 212, sA è
∗
sublineare. Analogamente, poiché per ogni ϕ ∈ X ,
continue,
anche che
σB (ϕ) = sup (ϕ (B)) = sup ϕ (x) = sup x (ϕ) ,
x∈B
σB
x∈B
è un estremo superiore puntuale di funzioni convesse e
que è convessa e
w
∗
-inferiormente semicontinua.
denizione segue immediatamente che
σB
w∗ -continue,
dun-
Anche in questo caso, dalla
è postivamente omogenea, da cui la
tesi.
Osservazione 223. Le seguenti proposizioni caratterizzano la continuità (ovvero la semicontinuità superiore) di
Proposizione 224. Sia
X
sA
e
σB .
uno spazio di Banach.
Le seguenti aermazioni
sono equivalenti:
2
1.
sA
è reale
2.
sA
è reale;
3.
A
e continua;
è limitato.
Dimostrazione. L'implicazione
2. ⇒ 3.)
1. ⇒ 2.
è banale.
Per denizione di funzione di supporto,
{ϕ}ϕ∈A
sA
è reale se e solo se la famiglia
è puntualmente limitata. Per il Principio di Uniforme Limitatez-
za, questo implica che
{ϕ}ϕ∈A
è uniformemente limitata, ovvero che
A
è
limitato.
3. ⇒ 1.)
Sia
M > 0 tale che sup (kAkX ∗ ) ≤ M .
Essendo
sA
sublineare, è suciente
dimostrare che è limitata sulla bolla unitaria. Per ogni
x ∈ BX
sA (x) = sup (ϕ (x)) ≤ sup (kϕkX ∗ kxkX ) ≤ M.
ϕ∈A
ϕ∈A | {z } | {z }
≤M
1 Quindi in particolare anche inferiormente
2 I.e. non assume mai il valore +∞.
semicontinua.
≤1
si ha
4.5 Funzionale di Minkowski
Proposizione 225. Siano
X
72
uno spazio normato.
Le seguenti aermazioni
sono equivalenti:
1.
σB
reale e continua;
2.
σB
reale;
3.
B
limitato
Dimostrazione. Analoga alla dimostrazione precedente.
Esercizio 226 (Non banale3 ). Si determinino delle condizioni necessarie e
sucienti per le seguenti aermazioni.
1.
sA
è reale e
w-continua.
2.
σB
è reale e
w∗ -continua?
4.5
Funzionale di Minkowski
Notazione 227. A meno che diversamente specicato, per tutta la sezione
(X, k·k)
sul funzionale di Minkowski si denotano con
C⊂X
Esempio 228 (Esempio introduttivo). Sia
tBX
uno spazio normato e con
un suo sottoinsieme convesso.
se e solo se
kxk ≤ t.
x∈X
Allora per ogni
t > 0, x ∈
Dunque
kxk = inf {t > 0 | x ∈ tBX } .
Convenzione 229. Si pone
inf (∅) := +∞.
Denizione 230 (Funzionale di Minkowski). Sia
di Minkowski (di
C)
0 ∈ C.
Si denisce funzionale
la funzione
µC : X
x
→ [0, +∞] ,
7→ inf {t > 0 | x ∈ tC } .
Esercizio 231 (Proprietà elementari di
µC ).
Si dimostrino le seguenti aerma-
zioni:
1. se
C = {0},
per ogni
x ∈ X \ {0}, µC (x) = +∞;
2. per ogni
C⊂X
3. per ogni
x ∈ X , µC (x) = +∞ se e solo se per ogni t > 0, tx ∈
/ C,
C non interseca la semiretta { rx | r > 0};
convesso,
µC (0) = 0;
ovvero
se e solo se
4. per ogni
e solo se
3È
x ∈ X , µC (x) = 0 se e solo se per ogni t > 0, tx ∈ C ,
C contiene la semiretta { rx | r > 0};
necessario un buon livello di condenza con le topologie deboli.
ovvero se
4.5 Funzionale di Minkowski
5.
µC < +∞
6. se
D⊃C
7. per ogni
se e solo se
Svolgimento. I punti
1.-6.
µD ≤ µC ;
µαC =
si ha
1
α µC ;
si vericano banalmente. Per dimostrare il punto
α>0
e per ogni
Proposizione 232. Il funzionale di Minkowski
Dimostrazione. Dall'esercizio precedente segue
ogni
7.
x∈X
1
t
> 0 x ∈ tC = µC (x) .
= inf {t > 0 | x ∈ tαC } = inf
α
α
basta osservare che per ogni
µαC
0 ∈ a-int (C);
è convesso, allora
α > 0,
73
µC
è sublineare.
µC (0) = 0 e per ogni α > 0, per
x ∈ X,
µC (αx)
inf {t > 0 | αx ∈ tC } = inf t > 0
=
x ∈ t C = µ 1 C (x)
α
α
= αµC (x) ,
dunque
µC
x, y ∈ X ed ε > 0 arbitrari.
t, s > 0 tali che t < µC (x) + ε/2,
è positivamente omogenea. Siano ora
Per denizione di estremo inferiore, esistono
s < µC (y) + ε/2, x ∈ tC
x+y
e y ∈ sC . Allora
x
y
= t
+s
t s
t x
s y
+
∈ (t + s) C
= (t + s)
t+s t
t+s s
{z
}
|
∈C
da cui segue
µC (x + y) ≤ t + s ≤ µC (x) + µC (y) + ε.
Proposizione 233. Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
µC < +∞
ed è continuo;
2.
µC < +∞
ed è lipschitziano;
3. esiste
4.
α>0
tale che
µC (·) ≤ α k·k;
0 ∈ int (C).
Dimostrazione. L'equivalenza
2. ⇒ 3.)
Sia
L>0
tale che
µC
è
1. ⇔ 2.
vale in generale per funzioni sublineari.
L-lipschitziano.
Allora, per ogni
x ∈ X,
µC (x) = |µC (x) − µC (0)| ≤ L kx − 0k = L kxk .
4.5 Funzionale di Minkowski
3. ⇒ 2.)
Essendo
per ogni
3. ⇒ 4.)
Sia
x
α+1
4. ⇒ 3.)
74
µC sublineare, basta dimostrare che è limitata su BX .
x ∈ BX , µC (x) ≤ α.
Per ipotesi,
x ∈ BX , allora µC (x) ≤ α < α + 1, dunque x ∈ (α + 1) C ,
1
∈ C e conseguentemente α+1
BX ⊂ C .
α>0
Per ipotesi esiste
tale che
αBX ⊂ C ,
µC ≤ µαBX =
Proposizione 234.
C
da cui
da cui
1
1
µB = k·k .
α X
α
è limitato se e solo se esite
α>0
tale che
µC ≥ α k·k.
C ⊂ rBX , si ha µC ≥ µrBX = 1r k·k.
Viceversa, se esiste α > 0 tale che µC ≥ α k·k, per ogni x ∈ C si ha 1 ≥ µC (x) ≥
α kxk che implica kxk ≤ α1 .
Dimostrazione. Se esiste
r >0
tale che
Proposizione 235. Le seguenti inclusioni sono sempre vericate:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
int (C) ⊂ a-int (C) ⊂ {µC < 1} ⊂ C ⊂ {µC ≤ 1} ⊂ C.
Dimostrazione. L'inclusione
(1)
è sempre vericata.
x ∈ a-int (C) \ {0}, esiste t > 1 tale che tx ∈ C, ovvero tale che x ∈ 1t C ,
1
dunque µC (x) ≤
t < 1.
(2)
Se
(3)
Dalla denizione di funzionale di Minkowski, se
allora
(4)
Dalla denizione di funzionale di Minkowski, se
1 · C,
(5)
x∈X
soddisfa
µC (x) < 1,
x ∈ 1 · C.
allora
x∈X
soddisfa
x∈C=
µC (x) ≤ 1.
x ∈ X soddisfa µC (x) ≤ 1, allora per ogni n ∈ N si
x
∈ C e poiché xn → x, si ha x ∈ C .
dunque xn :=
1+ 1
Se
ha
x ∈ 1+
1
n
C,
n
Corollario 236. Se
Corollario 237. Se
C
C
è chiuso,
C = {µC ≤ 1}.
è aperto o (anche solo) algebricamente aperto,
C =
{µC < 1}.
Proposizione 238 (Applicazione del funzionale di Minkowski). Siano
X uno
C, D ⊂ X convessi, limitati ed entrambi chiusi o entrambi
aperti, c0 ∈ int (C) e d0 ∈ int (D). Allora esiste un omeomorsmo Φ : X → X
tale che Φ (C) = D e Φ (c0 ) = d0 .
spazio normato,
4.5 Funzionale di Minkowski
75
Φ
Figura 4.5.1: Questa proposizione aerma che, a livello topologico, in ogni spazio
normato esiste un unico insieme limitato, convesso e aperto (/chiuso).
C in C − c0 , D in
Φ (· + c0 ) + d0 ), si può supporre c0 = d0 = 0. Essendo D
limitato, esiste α > 0 tale che µD ≥ α k·k. Lo stesso vale per C . In particolare,
dunque, µD (x) = 0 (/µC (x) = 0) se e solo se x = 0. Sia
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (basta traslare
D − d0
e considerare
→ X,

0,
x = 0,
7→
µC (x)

x, x ∈ X \ {0} .
µD (x)
Φ: X
x
x ∈ X , µD (Φ (x)) = µC (x). Poiché 0 ∈ int (C) e 0 ∈ int (D),
Φ è continua su X \ {0}. Per vericare la
0, sia {xn }n∈N ⊂ X , xn → 0. Allora, per n → +∞,
Allora, per ogni
µC
µD
e
sono continue, dunque
continuità in
kΦ (xn )k =
µC (xn )
µC (xn )
1
kxn k ≤
kxn k = µC (xn ) → 0 = Φ (0) .
µD (xn )
α kxn k
α
Per vericare che
Φ
è un omeomeorsmo basta notare che
Φ−1 : X
y
7→ X

0,
y = 0,
7→
µD (y)

y, y ∈ X \ {0} ,
µC (y)
che è continua per quanto dimostrato sopra. Rimane da dimostrare che
D.
C
Se
e
D
x∈C
Se
C
e
D
sono chiusi, dal Corollario 236 e da
⇔
µC (x) ≤ 1
⇔
µD ◦ Φ = µC
µD (Φ (x)) ≤ 1
sono aperti le stesse equivalenze valgono con
⇔
<
Φ (C) =
segue
Φ (x) ∈ D.
invece di
≤.
Capitolo 5
Ottimizzazione di funzioni
convesse
5.1
Minimizzazione di funzioni convesse
Problema 239. Siano
X
f : X → (−∞, +∞] convessa.
f assuma il suo mi-
uno spazio normato e
Si vogliono determinare delle condizioni sucienti anché
nimo assoluto. Le due proprietà principali che verranno utilizzate nei successivi
teoremi sono raccolte nella proposizione seguente.
Proposizione 240. Siano
X
uno spazio normato e
f : X → (−∞, +∞]
con-
vessa. Allora
1.
f
f
è inferiormente semicontinua se e solo se
w-inferiormente
è
semicon-
tinua;
2. se
X
è (isometrico a) uno spazio duale,
BX
è
w∗ -compatta.
Dimostrazione.
1. Essendo
f
se e solo se
convessa, per ogni
w-chiuso
α ∈ R, {f ≤ α}
è convesso, dunque chiuso
(Proposizione 468, pagina 138).
2. Segue direttamente dal teorema di Banach-Alaoglu.
Esercizio 241. Siano
X
uno spazio normato e
f : X → (−∞, +∞] convessa ed
a, b ∈ X , se f|[a,b] < +∞,
inferiormente semicontinua. Si dimostri che per ogni
allora
f|[a,b]
è continua.
Denizione 242 (Funzione coercitiva). Siano
R.
Si dice che
f
X
uno spazio normato e
è coercitiva se
lim
kxk→+∞
f (x) = +∞.
f: X →
5.2 I punti più vicini
77
Teorema 243 (Teorema generale). Siano X uno spazio normato e f : X →
(−∞, +∞] coercitiva. Se esiste una topologia τ su X tale che f è τ -inferiormente
semicontinua e BX è τ -compatta, allora f assume il suo minimo assoluto.
Dimostrazione. Se
f ≡ +∞ la tesi è banalmente vericata. Sena perdere in
i := inf (f (X)) < +∞. Essendo f coercitiva esiste r > 0
x ∈ X con kxk > r, si abbia f (x) > i. Dunque, dalla
generalità, sia allora
tale che, per ogni
generalizzazione del Teorema di Weiestrass (Teorema 425, pagina 129), segue
inf f (X) = inf f rB X = min f rB X .
Corollario 244. Siano
X
uno spazio riessivo,
sa, inferiormente semicontinua e coercitiva.
f : X → (−∞, +∞] convesf assume il suo minimo
Allora
assoluto.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal teorema precedente e dalla Proposizione 240.
Osservazione 245. Una funzione strettamente convessa non può avere più di
un punto di minimo, infatti se ce ne fossero due, la funzione valutata nella media
tra questi due punti dovrebbe avere valore minore (stretto).
5.2
I punti più vicini
Denizione 246 (Proiezione metrica, insieme prossiminale/di unicità/di Chebyshev). Siano (X, d) uno spazio metrico e A ⊂ X non vuoto. Per ogni x ∈ X ,
PA (x) ⊂ X denito da
.
PA (x) := a ∈ A d (x, a) = dA (x) = inf d (x, y)
il sottoinsieme
y∈A
x sull'insieme A) e gli elementi di PA (x)
A) più vicini (ad x). Si dice che A è prossiminale se
per ogni x ∈ X si ha PA (X) 6= ∅. Si dice che A è di unicità se per ogni x ∈ X
si ha Card (PA (x)) ≤ 1. Si dice che A è di Chebyshev se per ogni x ∈ X , si ha
Card (PA (x)) = 1, ovvero se A è prossiminale e di unicità.
si denisce proiezione metrica (di
vengono detti punti (di
Osservazione 247. Se
Esercizio 248. Siano
che se
A
allora
PA (x) = {x}.
(X, d) uno spazio metrico e A ⊂ X
A è chiuso.
non vuoto. Si dimistri
è prossiminale, allora
Svolgimento. Se
x∈
/ A.
x ∈ A,
A non è chiuso esiste {an }n∈N ⊂ A convergente ad un elemento
PA (x) = ∅.
Chiaramente
Esempio 249. In uno spazio di Hilbert, ogni insieme convesso e chiuso è di
Chebyshev.
5.2 I punti più vicini
78
Problema 250 (Problema (importante) aperto ad oggi: 3 maggio 2013). Vale
il viceversa nell'esempio precedente? Se
C
C
è chiuso.
•
Se
H
è di Hilbert e
C⊂H
di Chebyshev,
è anche convesso? Sono stati dimostrati alcuni risultati parziali.
H = Rd , C
è convesso e la dimostrazione sfrutta la compattezza nella
topologia della norma.
•
Se
•
Non è invece vero in spazi prehilbertiani (i.e.
C
è anche
w-chiuso, C
è convesso.
a prodotto interno non
completo) e per il controesempio si mette sullo spazio
a supporto nito la norma
•
k·k2
di
c00
delle successioni
`2 .
Se esistesse un insieme di Chebyshev non convesso, allora esisterebbe un
insieme
A
molto non convesso, ovvero il complementare di un convesso
(detto caverna di Klee ).
Teorema 251 (Condizioni sucienti alla prossiminalità). Siano
A⊂X
X
normato,
chiuso e non vuoto. Si supponga vericata almeno una delle seguenti
aermazioni:
1.
X
è (isometrico a) uno spazio duale e
2.
X
è uno spazio riessivo e
A w-chiuso;
3.
X
è uno spazio riessivo e
A
4.
A
è nito-dimensionale.
Allora
A
A
è
w∗ -chiuso;
convesso;
è prossiminale.
Dimostrazione.
1. Siano
Z
(X, k·k) = (Z ∗ , k·kZ ∗ ) e ϕ ∈ Z ∗ \ A.
punti più vicini a ϕ. Si consideri la
uno spazio normato tale che
Si vuole dimostrare l'esistenza dei
funzione
f : Z∗
ψ
Chiaramente
f
→ (−∞, +∞] ,
(
kψ − ϕk , ψ ∈ A,
7→ f (ψ) :=
+∞,
ψ ∈ Z ∗ \ A.
è coercitiva. Inoltre, per ogni
(
∅,
{f ≤ α} =
B (ϕ, α) ∩ A,
α ∈ R,
se
se
si ha
α < 0,
α≥0
w∗ -compatte ed A è w∗ -chiuso, quindi
∗
l'intesezione B (ϕ, α) ∩ A è w -chiusa, ovvero f è w -inferiormente semicontinua. Per il Teorema generale della sezione precedente, A è allora
ma le bolle chiuse nei duali sono
∗
prossiminale.
5.2 I punti più vicini
79
2. Segue immediatamente dal punto precedente.
3. Segue immediatamente dal punto precedente.
4. Per ipotesi,
Y := span (A) è isomorfo a Rd .
f: Y
→
y
7→
Per ogni
x0 ∈ X \A si denisce
(−∞, +∞] ,
(
ky − x0 k , y ∈ A,
f (y) :=
+∞,
y ∈ Y \ A,
che è coercitiva ed inferiormente semicontinua (in quanto le bolle negli
spazi normati nito-dimensionali sono compatte). Per il Teorema generale
della sezione precedente, segue di nuovo che
Esercizio 252. Sia
X
1
uno spazio normato.
A
è prossiminale.
Si dimostri l'equivalenza delle
seguenti aermazioni :
1. per ogni
2.
X
A⊂X
chiuso e non vuoto,
A
è prossiminale;
è nito-dimensionale.
Teorema 253. Sia
X
uno spazio di Banach. Le seguenti aermazioni sono
equivalenti:
1.
X
è uno spazio riessivo,
2. per ogni
C⊂X
convesso e chiuso,
3. per ogni
H⊂X
iperpiano chiuso,
C
H
è prossiminale,
è prossiminale.
1. ⇒ 2. e l'implicazione 2. ⇒ 3. è banale.
3. ⇒ 1.. Se X non è riessivo, per il Teorema
∗
di James esiste un funzionale ϕ ∈ X (senza perdere in generalità) con kϕk = 1
−1
che non assume la norma sulla bolla unitaria. Detto H := ϕ
(1), si ha dunque
dH (0) = 1 ma H ∩ BX = ∅, pertanto PH (0) = ∅.
Dimostrazione. Dal Teorema 251 segue
Si dimostra la contronominale di
H
.
.0
BX
1 L'implicazione 2. ⇒ 1.
segue dal teorema precedente.
Per dimostrare il viceversa è
necessario un buon livello di condenza con l'analisi funzionale.
5.2 I punti più vicini
80
Denizione 254 (Spazio normato strettamente convesso). Sia
spazio normato. Si dice che
X
è strettamente convesso se
(X, k·k)
ext (BX ) = SX .
uno
Osservazione 255. Uno spazio normato è dunque strettamente convesso se la
sfera unitaria non contiene segmenti non degeneri.
Teorema 256. Sia
X
uno spazio normato.
Le seguenti aermazioni sono
equivalenti:
1.
X
è strettamente convesso;
2. ogni insieme convesso
C⊂X
è di unicità;
3. ogni retta
L⊂C
è di Chebyshev;
4. ogni retta
L⊂X
è di unicità;
5. ogni iperpiano chiuso
H⊂X
è di unicità.
Dimostrazione.
1. ⇔ 2.) ⇒)
x ∈ C , allora PC (x) = ∅,
x∈
/ C e r := distC (x) > 0.
Dall'inclusione ∂Br (x) ⊃ C ∩ Br (x) = PC (x), essendo X strettamente convesso, segue Card (PC (x)) ≤ 1.
Siano
C ⊂X
convesso e
x ∈ X \ C.
Se
quindi senza perdere in generalità siano
⇐)
X non è strettamente convesso
a, b ∈ X , a 6= b, tali che
[a,
b]
⊂
SX . Chiaramente P[a,b] (0) =
[a, b], dunque Card P[a,b] (0) > 1.
Si dimostra la contronominale. Poiché
esistono
2. ⇒ 3.)
Banale.
3. ⇔ 4.) ⇒)
⇐)
Banale.
Sia
L⊂X
una retta. Essendo
il Teorema 251,
4. ⇒ 1.)
Procedendo come in
5. ⇔ 1.) ⇒)
L
L nito-dimensionale, L è chiusa.
Per
è dunque prossiminale.
2. ⇒ 1.
si dimostra facilmente l'implicazione voluta.
X non è strettamente convesso
a, b ∈ X , a 6= b, tali che [a, b] ⊂ SX . Poiché [a, b]∩int (BX ) =
Si dimostra la contronominale. Poiché
esistono
∅, per il teorema di separazione di Hahn-Banach esiste un iperpiano
H che separi L e la bolla unitaria BX e per costruzione si ha PH (0) ⊃
[a, b], dunque H non è di unicità.
⇐)
Dalle implicazioni
Corollario 257. Sia
X
1. ⇒ 2. ⇒ 5.
segue banalmente la tesi.
uno spazio di Banach. Le seguenti aermazioni sono
equivalenti:
1.
X
è uno spazio riessivo strettamente convesso;
5.3 Centri di Chebyshev
81
2. ogni insieme convesso e chiuso è di Chebyshev,
3. ogni iperpiano chiuso è di Chebyshev.
Esempio 258 (Insiemi strettamente convessi). Per ogni
misura positiva
µ
denita sui boreliani di
2
Rd ,
p ∈ (1, +∞), per ogni
Lp (µ) è riessivo e
lo spazio
strettamente convesso
Fatto 259. Ogni spazio riessivo separabile ammette una norma equivalente
rispetto a cui è ancora riessivo ma anche strettamente convesso.
Fatto 260. I preduali di spazi normati separabili sono a loro volta spazi normati
3
separabili .
Corollario 261. Sia
X
uno spazio riessivo separabile.
Allora tutti i duali
successivi sono separabili.
5.3
Centri di Chebyshev
Problema 262 (Centri e mediane). Si immagini di dover costruire un ospedale
in una città. Dato un insieme di case, una scelta ragionevole sarebbe costruire
l'ospedale in modo che sia al centro dell'insieme di case, ovvero in modo tale da
minimizzare la distanza tra ogni casa e l'ospedale, in modo da garantire ad ogni
abitante un rapido accesso alla struttura sanitaria in caso di necessità. Matema-
A di uno spazio normato X , si vuole
x 7→ f∞ (x) := supa∈A kx − ak. Un altro problema è
ticamente, dato un sottoinsieme limitato
minimizzare la funzione
quello di posizionare un deposito per un fornitore di merci che serva più negozi.
In questo caso, supponendo che il fornitore debba tornare indietro e ripartire
dopo aver servito ogni negozio, una scelta ragionevole sarebbe posizionare il
deposito in modo tale che la strada totale compiuta per servire ogni negozio sia
A di uno spazio normaP
N
x 7→ f1 (x) := i=1 kx − ai k. Questa
PN
2
x 7→ f2 (x) := i=1 kx − ai k che è più re-
minima. Matematicamente, dato un sottoinsieme nito
to
X,
si vuole minimizzare la funzione
è talvolta sostituita dalla funzione
golare e che ad esempio in statistica rappresenta la deviazione standard, uno
degli stimatori più utilizzati per l'approssimazione della varianza di una variabile aleatoria.
Tutte queste funzioni sono convesse, coercitive e inferiormente
semicontinue (f1 e
f2
sono addirittura continue). In spazi nito-dimensionali,
dunque, per compattezza forte si ottiene l'esistenza dei minimi. In spazi innitodimensionali il problema è invece più complicato. Esistono esempi in cui insiemi
di soli tre punti
4
non hanno alcun centro. Nel caso generale l'unico strumento
che permette di recuperare dei risultati facilmente è la compattezza debole. Il
2 Si
dimostra che per ogni
p ∈ (1, +∞),
più forte della stretta convessità, detta
3 I.e.,
se
X
è uno spazio normato e
gli spazi
Lp ([0, 1])
uniforme convessità.
X∗
è separabile, anche
vale il viceversa.
4 Per
insiemi di due punti il problema è sempre banale.
X
e
`p
soddisfano una proprietà
è separabile. Ovviamente non
5.3 Centri di Chebyshev
82
problema della caratterizzazione degli spazi normati in cui tutti gli insiemi limitati hanno un centro (secondo la denizione seguente) rimane ad oggi un
problema aperto.
Denizione 263 (Centri di Chebyshev, mediane, mediane quadratiche). Siano
X
A⊂X
uno spazio normato,
limitato e
B := {b1 , . . . , bn } ⊂ X .
I punti di
minimo assoluto della funzione
x 7→ f∞ (x) := sup kx − ak
a∈A
sono detti centri di Chebyshev (di
x 7→ f1 (x) :=
n
X
A) .
I punti di minimo assoluto delle funzioni
kx − bi k
x 7→ f2 (x) :=
e
i=1
n
X
kx − bi k
i=1
sono detti, rispettivamente, mediane e mediane quadratiche (di
Osservazione 264. I centri di Chebyshev di
più piccolo contenenti
2
A).
A sono i centri delle bolle di raggio
A.
Osservazione 265. Se per ogni
x ∈ X si considera una permutazione π
{1, . . . , n} in modo tale da ordinare le distanze
x − aπ(1) ≤ x − aπ(2) ≤ . . . ≤ x − aπ(n−1) ≤ x − aπ(n) di
e si decide di trascurare qualche termine molto piccolo e/o molto grande (ad
esempio
x − aπ(1) x − aπ(n) )
e/o
diversi risultati della teoria dei centri e
delle mediane continuano a valere ma la dimostrazione diventa più complicata
perché queste permutazioni variano al variare di
Proposizione 266 (Esistenza). Sia
limitato
A⊂X
X
x.
uno spazio duale. Allora ogni insieme
ammette almeno un centro di Chebyshev e ogni insieme nito
ammette almeno una mediana e una mediana quadratica.
Dimostrazione. Essendo
∗
kx − ak
è
w
X
uno spazio duale, per ogni
a ∈ X,
la funzione
sono le bolle chiuse centrata in
a
(che in uno spazio duale sono
w∗
e ovviamente è anche coercitiva. Un discorso analogo vale, per ogni
la funzione
x 7→
-inferiormente semicontinua perché i suoi insiemi di sottolivello
x 7→ kx − ak
2
. Le tre funzioni
f∞ , f1
e
f2
compatte)
a ∈ A,
per
ammettono pertanto un
minimo.
Esercizio 267.
1. Siano
X, Y
A ⊂ X , i : X → Y un'isometria (non neP : Y → i (X) ua proiezione 1-lipschitziana. Si
due spazi normati,
cessariamente suriettiva) e
i (A) ammette un centro di Chebyshev (/una mediana/una
Y , allora A ammette un centro di Chebyshev (/una
mediana quadratica) in X .
dimostri che se
mediana quadratica) in
mediana/una
5.3 Centri di Chebyshev
83
1-lipschitziana
X , ogni insieme limitato ammette almeno
2. Dedurre dal punto precedente che, se esiste una proiezione
P : X ∗∗ → X
allora, nello spazio
un centro di Chebyshev e ogni insieme nito ammette almeno una mediana
ed almeno una mediana quadratica.
3. Si dimostri che le ipotesi del punto precedente sono sempre soddisfatte se
X
Z tale
P : Z ∗∗∗ → Z ∗
è uno spazio duale (Suggerimento: se esiste uno spazio normato
che
X = Z ∗,
esiste una proiezione abbastanza naturale
lineare e con norma unitaria.
Fatto 268 (Esistono spazi non duali per cui valgono risultati simili). Esiste
una proiezione lineare con norma unitaria
P : (L1 [0, 1])
∗∗
→ L1 [0, 1].
Fatto 269 (Curiosità). Ogni spazio di Banach non riessivo può essere rinormato con una norma equivalente a quella originaria rispetto alla quale esista un
insieme di tre punti che non ammetta centri di Chebyshev (/mediane/mediane
quadratiche).
Fatto 270 (Curiosità). Sia in C [0, 1] che c0 esiste un insieme di tre punti
appartenti ad uno stesso iperpiano che non ammette centri di Chebyshev.
Capitolo 6
Disuguaglianza integrale di
Jensen
6.1
Disuguaglianza integrale di Jensen
Denizione 271 (σ -algebra di Borel). Sia
che
X
BX
è la
generata
(di
(X, τ ) uno spazio topologico. Si dice
σ -algebra di Borel di (X, τ ) se BX è la σ -algebra di sottoinsiemi di
1
da τ . Gli elementi di BX prendono il nome di (insiemi) boreliani
X ).
Convenzione 272 (σ -algebre di sottospazi). Siano
co,
E⊂X
di Borel di
τE la topologia su E
(E, τE ) (i.e. si assume
e
indotta da
τ.
(X, τ )
uno spazio topologi-
Si indica con
BE
la
σ -algebra
canonicamente che i sottoinsiemi degli spazi
topologici siano dotati della topologia di sottospazio).
Denizione 273 (Misura
x ∈ Ω.
δ
di Dirac). Siano
(Ω, Σ)
uno spazio misurabile e
La misura di probabilità
δx : Σ
A
→ [0, 1] ,
(
1, x ∈ A,
7→ δx (A) :=
0, x ∈ X \ A,
prende il nome di misura (delta) di Dirac centrata in
x.
Denizione 274 (Integrale di funzioni vettoriali). Siano
(Ω, Σ, µ) uno spazio
d
f := (f1 , . . . , fd ) : Ω → R . Si dice che f è integrabile su Ω rispetto
d
esiste in R
ˆ
ˆ
ˆ
f dµ :=
f1 dµ, . . . ,
fd dµ .
di misura e
a
µ
se
Ω
1 Ovvero
la più piccola
σ -algebra
Ω
di sottoinsiemi di
Ω
X
contenente
τ.
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
Si denota con
su
Ω
85
L1 (µ) lo spazio vettoriale di tutte le funzioni vettoriali integrabili
µ quozientato rispetto all'uguaglianza µ-quasi ovunque.
rispetto a
Proposizione 275 (Linearità dell'integrale vettoriale). Siano
spazio di misura e
d
f : Ω → R . Se f ∈ L1 (µ), per ogni ` ∈ R
ˆ
ˆ
`
f dµ =
` ◦ f dµ.
Ω
(Ω, Σ, µ)
d ∗
uno
, si ha
Ω
Dimostrazione. Segue immediatamente dalla denizione, sfruttando la linearità
dell'integrale di funzioni scalari.
Problema 276 (Disuguaglianza integrale di Jensen). Siano
C un sottoinsieRd ed f : C → (−∞, +∞] una funzione
convessa. Si
Pn
ssino x1 , . . . , xn ∈ C e λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] tali che con
λ
i=1 i = 1. Dette δx1 , . . . , δxn : BC → [0, 1] le misure di Dirac centrate in x1 , . . . , xn rispettiPn
vamente, si deniscano la misura di probabilità µ :=
i=1 λi δxi ed il punto
´
P
.
n
xµ := C y dµ (y) = i=1 λi xi . Dalla convessità di f segue allora
ˆ
ˆ
f (xµ ) = f
y dµ (y) ≤
f (y) dµ (y) .
(6.1.1)
me convesso e chiuso di
C
C
Per generalizzare questo risultato è necessario arontare i seguenti problemi.
1. Per quali
C
2. Se esiste
xµ ,
e
µ
esistono gli integrali in (6.1.1)?
quando
xµ ∈ C ?
3. Quando vale la disuguaglianza in (6.1.1)?
4. È possibile estendere il risultato a spazi più generali di
come si denisce
xµ
Rd ?
In particolare,
in spazi innito-dimensionali?
Notazione 277 (M1 (E)). Sia
tutte le misure di probabilità su
E ⊂ Rd .
BE .
Si denota con
M1 (E)
l'insieme di
Denizione 278 (Misura concentrata in un insieme). Siano
spazio di misura e
S ∈ Σ.
Si dice che
µ
è concentrata in
S
se
(Ω, Σ, µ) uno
µ (Ω \ S) = 0.
Esempio 279. Le misure di Dirac sono concentrate in un punto.
Denizione 280 (Baricentro in dimensione nita). Siano
M1 (E).
BE .
una misura di probabilità su
Se esiste in
R
E ⊂ Rd
e
µ ∈
d
ˆ
xµ :=
y dµ (y)
E
si dice che
xµ
è il baricentro di
Proposizione 281. Siano
sono equivalenti:
E
(rispetto alla misura
E ⊂ Rd
e
µ ∈ M1 (E).
µ).
Le seguenti aermazioni
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
1. esiste
86
xµ ∈ Rd ;
2. l'inclusione
i : E ,→ Rd
3. la norma (ristretta ad
4. per ogni
` ∈ Rd
∗
appartiene ad
E ) k·k|E
, si ha
Dimostrazione. L'equivalenza
L1 (µ);
appartiene ad
L1 (µ);
` ∈ L1 (µ).
1. ⇔ 2.
segue direttamente dalla denizione di
baricentro.
2. ⇔ 3.)
Per ogni
i ∈ {1, . . . , d},
sia
(·)i : E ⊂ Rd
→ R,
(y1 , . . . , yd ) 7→ yi .
Allora
i ∈ L1 (µ) ⇔
∀i ∈ {1, . . . , d} , (·)d ∈ L1 (µ)
ˆ
⇔ ∀i ∈ {1, . . . , d} ,
yi dµ (y) < +∞
ˆE
⇔ ∀i ∈ {1, . . . , d} ,
|yi | dµ (y) < +∞
E
ˆ
⇔
kyk1 dµ (y) < +∞
E
[le
ˆ
⇔
norme in spazi nito-dimensionali sono equivalenti]
kyk dµ (y) < +∞.
E
2. ⇔ 4.)
L'implicazione
2. ⇒ 4.
segue direttamente dalla Proposizione 275. Il vice-
versa segue notando che le funzioni
(·)1 , . . . , (·)d
denite come nel punto
precedente sono lineari e continue.
E ⊂ Rd e µ ∈ M1 (E)
allora esiste xµ .
Corollario 282. Siano
concentrata in
E
0
,
e
E 0 ∈ BE
limitato. Se
µ
è
Dimostrazione. Segue immediatamente dall'integrabilità della norma.
Osservazione 283. Nel caso della disuguaglianza di Jensen classica si ha soltanto un insieme nito di punti quindi la misura è eettivamente concentrata su
quell'insieme (limitato). Le proposizione seguente generalizza il fatto che in un
insieme convesso ogni combinazione convessa di elementi dell'insieme appartiene
all'insieme.
Proposizione 284. Siano
baricentro
xµ ,
allora
C ⊂ Rd
xµ ∈ C .
convesso e
µ ∈ M1 (C).
Se esiste il
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
87
Dimostrazione. Si procede per induzione rispetto a n = dim (C). Se n = 0,
d
esiste c0 ∈ R tale che C = {c0 }, dunque l'unica misura di probabilità su
C è δc0 , pertanto xµ = c0 . Si supponga che la proposizione sia valida per
n − 1 ∈ {0, . . . , d − 1} e la si dimostri per n ∈ {1, . . . , d}. Essendo n ≥ 1, per il
Teorema dell'interno relativo si ha ri (C) 6= ∅. Poiché sia l'insieme che la misura
si possono traslare ottenendo il baricentro traslato, senza perdere in generalità
0 ∈ ri (C). Dunque span (C) = aff (C) =: L e 0 ∈ intL (C). Si
xµ ∈
/ C . Si distinguono due casi.
∗
xµ ∈
/ L, esiste ` ∈ Rd tale che ` (xµ ) ≥ 0 e `|L ≡ 0, infatti essendo
si può supporre
supponga per assurdo che
1. Se
in uno spazio nito-dimensionale è suciente estendere il funzionale nullo
su
L
in modo tale che, e.g., valga
1
in
xµ .
∗
e
xµ ∈ L\C , per il Teorema
di Hahn-Banach topologico esiste ` ∈ L \{0}
e(xµ ) ≥ sup `e(C) e questo si può estendere ad un funzionale
tale che `
∗
` ∈ Rd .
d ∗
entrambi i casi, dunque, esiste ` ∈ R
\ {0} tale che
ˆ
ˆ
` (x) dµ (x) = 0.
[` (xµ ) − ` (x)] dµ (x) = ` (xµ ) −
{z
}
C
C|
{z
}
|
≥0
´
=`( C x dµ(x))
2. Se
In
Dal Teorema di annullamento segue allora, per
` (xµ ) =: α.
La misura
µ
µ-quasi
ogni
x ∈ C , ` (x) =
è quindi concentrata sull'insieme chiuso (nella topolo-
C ) C1 := C ∩ `−1 (α) e dim (C1 ) < dim (C). Si consideri
allora la misura µ1 := µ|B
∈ M1 (C1 ). Essendo µ1 concentrata su C1 e
C1
coincidente con µ su BC1 , dall'ipotesi di induzione segue
ˆ
ˆ
ˆ
xµ =
x dµ (x) =
x dµ (x) =
x dµ1 (x) = xµ1 ∈ C1 ⊂ C,
| {z }
C
C1
C1
gia di sottospazio di
induzione
che contraddice l'ipotesi di assurdo
xµ ∈ C .
Osservazione 285. In dimensione innita la dimostrazione precedente non
si può scrivere, tuttavia il seguente corollario mostra che un risultato analogo rimane valido per insiemi convessi nito-dimensionali e misure che siano la
combinazione convessa innita di misure di Dirac.
Corollario 286. Siano
X
⊂ [0, 1]
Y := span (C ∪ {x0 }), si ha dim (Y ) < +∞, dunque, a
Y = Rd . Chiaramente x0 è il baricentro di C rispetto alla
Dimostrazione. Detto
meno di isomorsmi,
T2 , P
C ⊂ X convesso
+∞
tale che
i=1 λi = 1. Se
uno spazio vettoriale topologico
e nito-dimensionale, {xi }i∈N ⊂ C e {λi }i∈N
P+∞
esiste in X , x0 :=
i=1 λi xi , allora x0 ∈ C .
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
misura
µ :=
P+∞
i=1
λi δxi
denita per ogni
µ (E) =
+∞
X
µ ∈ M1 (C) ,il
E ⊂ BC
da
X
λi δxi (E) =
λi .
i∈N, xi ∈E
i=1
Essemdp
88
suo baricentro
xµ = x0
appartiene a
C.
Osservazione 287. In dimensione innita questo non è vero in generale. Gli
insiemi in cui la somma di ogni serie convessa dei propri elementi rimane
nell'insieme sono detti CS-convessi.
Esercizio 288. Si dimostrino le seguenti aermazioni.
1. Siano
X
e
Y
due spazi vettoriali. Allora, a meno dell'isomorsmo di spazi
vettoriali
]
Ψ : (X × Y )
ψ
→ X ] × Y ],
7→ ([x 7→ ψ (x, 0)] , [y 7→ ψ (0, y)]) ,
]
(X × Y ) = X ] × Y ] .
si ha
2. Siano
X
e
Y
due spazi vettoriali topologici. Allora, a meno dell'isomor-
smo di spazi vettoriali topologici
∗
Φ : (X × Y )
→ X ∗ × Y ∗,
ϕ 7→ ([x 7→ ϕ (x, 0)] , [y 7→ ϕ (0, y)]) ,
si ha
∗
(X × Y ) = X ∗ × Y ∗ .
]
X uno spazio vettoriale. Allora, a meno delle identicazioni (X × R) =
]
]
X × R] e R] = R, si ha (X × R) = X ] × R.
3. Sia
X uno spazio vettoriale topologico. Allora, a meno delle identicazioni
∗
∗
(X × R) = X ∗ × R∗ e R∗ = R, si ha (X × R) = X ∗ × R.
4. Sia
Svolgimento.
1. Chiaramente
Ψ
è lineare. Inoltre è immediato vericare che l'inversa di
Ψ
sia data da
Ψ−1 : X ] × Y ]
]
→ (X × Y ) ,
(ψX , ψY ) 7→ [(x, y) 7→ ψX (x) + ψY (y)] .
2. Denendo
Ψ
−1
Φ−1
come nel punto precedente è immediato vericare che
siano lineari e continue.
3. Segue immediatamente dai punti precedenti.
4. Segue immediatamente dai punti precedenti.
Ψ
e
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
89
Proposizione 289. Siano
X uno spazio vettoriale topologico, x0 ∈ X , t1 , t2 ∈
∗
R con t1 6= t2 e Λ ∈ (X × R) tale che Λ (x0 , t1 ) 6= Λ (x0 , t2 ). Allora per ogni
−1
α ∈ R l'iperpiano Λ (α) coincide con in graco di una funzione ane continua
a : X → R.
Dimostrazione. Per l'esercizio precedente Λ può essere identicato con una cop∗
pia (`, β) ∈ X × R. Per ipotesi ` (x0 ) + βt1 6= ` (x0 ) + βt2 , da cui si conclude
immediatamente che
(x, t) ∈ Λ−1 (α)
che al variare di
β 6= 0.
⇔
x ∈ R,
Si noti inoltre che
` (x) + βt = α ⇐⇒ t =
1
α
− ` (x) =: a (x) ,
β
β
descrive il graco di una funzione ane e continua
a : X → R.
Lemma 290. Siano
X uno spazio vettoriale topologico localmente convesso,
C ⊂ X convesso, f : C → (−∞, +∞] convessa e inferiormente semicontinua,
x0 ∈ dom (f ) e t0 < f (x0 ). Allora esiste una funzione a : X → R ane e
continua tale che t0 < a (x0 ) e a|C < f .
α ∈ (t0 , f (x0 )), essendo f inferiormen{f > α} è aperto in C . Poiché X è localmente
convesso, esiste V ∈ U (x0 ) aperto, convesso e tale che f|V ∩C > α. Dunque
D := V × (−∞, α) è un sottoinsieme di X × R aperto e convesso. Essendo anche epi (f ) convesso e epi (f ) ∩ D = ∅, per il Teorema di Hahn-Banach
∗
topologico esiste Λ ∈ (X × R) tale che sup (Λ (D)) ≤ inf (Λ (epi (f ))). Sia
β ∈ [sup (Λ (D)) , inf (Λ (epi (f )))]. Poiché per l'Osservazione 428 ed il Teorema 80, per ogni t ∈ (t0 , α) si ha Λ (x0 , t) < Λ (x0 , f (x0 )), per la proposizione
−1
precedente Λ
(β) coincide con il graco di una funzione ane e continua a.
Osservando la gura seguente è facile convincersi dell'esistenza di ε > 0 tale che
a − ε soddis le proprietà desiderate.
Dimostrazione. Fissato arbitrariamente
te semicontinua, l'insieme
R
a
a−ε
.
epi (f )
f (x0 )
α
t0
.
D
x0
V
X
6.1 Disuguaglianza integrale di Jensen
90
Osservazione 291. Se nel lemma precedente lo spazio fosse
T2 , il punto (x0 , t0 )
sarebbe chiuso e la tesi seguirebbe banalmente dal Teorema di Hahn-Banach
topologico.
Teorema 292 (Disuguaglianza integrale di Jensen). Siano
µ ∈ M1 (C)
esiste il
C ⊂ Rd
convesso,
f : C → (−∞,
´ +∞] convessa ed inferiormente´semicontinua.
baricentro xµ := C x dµ (x), allora esiste l'integrale C f dµ e
ˆ
ˆ
f
x dµ (x) ≤
f (x) dµ (x) .
e
C
Se
C
Dimostrazione. Per ipotesi e per la Proposizione 284,
xµ ∈ C , dunque il membro
di sinistra è ben denito. Si dimostra l'esistenza dell'integrale a secondo membro
f è inferiormente semicontinua, dunque per
α ∈ R, {f ≤ α} è chiuso in C , pertanto f è BC -misurabile. Poiché se fosse
f ≡ +∞ la tesi sarebbe banalmente vericata, si supponga senza perdere in
generalità che esista x0 ∈ dom (f ). Per il lemma precedente esistono dunque
` ∈ X ∗ e β ∈ R tali che, denita a := ` + β´, si abbia a|C < f´. Per denizione di
a, se gli integrali seguenti esistono, si ha C a (x) dµ (x) = C ` (x) dµ (x) + β .
−
Poiché xµ esiste, si ha ` ∈ L1 (µ), dunque anche a ∈ L1 (µ) e da f
≤ a−
|C segue
´
´
−
f ∈ L1 (µ). Pertanto l'integrale C f dµ esiste. Poiché se fosse C f dµ = +∞
(eventualmente innito). Per ipotesi
ogni
la tesi sarebbe banalmente vericata, si supponga senza perdere in generalità
che
´
f dµ < +∞. Questo implica in particolare
f (xµ ) = +∞, si avrebbe
ˆ
ˆ
ˆ
f dµ =
f dµ (x) +
f dµ
C
che
f (xµ ) < +∞,
infatti se
valesse
C\{xµ }
C
{xµ }
ˆ
ˆ
f + dµ (x) −
=
C\{xµ }
C\{xµ }
{z
|
≥0
}
|
f − dµ (x) + f (xµ ) = +∞.
| {z }
{z
} =+∞
∈R
´
xµ ∈ dom (f ), supponendo per assurdo t0 := C f dµ < f (xµ ) ed usando
∗
0
di nuovo il lemma precedente, esistono l ∈ X e γ ∈ R tali che, denita a :=
0
0
l + γ , si abbia t0 < a (xµ ) e a|C < f . Allora
Poiché
ˆ
t0
ˆ
ˆ
0
f dµ ≥
a dµ =
l (x) dµ + γ
C
C
ˆ
C
= l
x dµ + γ = a0 (xµ ) > t0 ,
=
C
assurdo.
Osservazione 293 (Baricentro in dimensione innita). Vale più in generale
il seguente risultato, in cui il baricentro viene generalizzato con l'integrale di
Pettis. Si ricordi che per l'Esercizio 178, se l'integrale di Pettis esiste, è unico.
6.2 Seconda disuguaglianza di Jensen
91
Fatto 294. Siano
X uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, C ⊂
µ ∈ M1 (C) e f : C → (−∞, +∞] convessa ed inferiormente
semicontinua. Si denoti con xµ l'integrale di Pettis dell'identità su C :
ˆ
xµ := (P)
x dµ (x) .
X
convesso,
C
1. Se
C
è aperto o chiuso e
2. Se
C
è compatto, allora
xµ
xµ
esiste, allora
xµ ∈ C .
esiste.
Osservazione 295. Si presenta ora una semplice ma interessante applicazione
della disuguaglianza di Jensen.
Corollario 296 (Disuguaglianza di Hermite-Hadamard). Sia
f : [a, b] → R
convessa e continua. Allora
f
a+b
2
(1)
≤
1
b−a
ˆ
b
(2)
f (x) dx ≤
a
1
1
f (a) + f (b) .
2
2
Dimostrazione. Si consideri la misura di Lebesgue normalizzata
Allora chiaramente
µ ∈ M1 ([a, b])
xµ =
La stima
(1)
1
b−a
ˆ
(2)
1
b−a
ˆ
b
x dx =
a
a+b
1 1 2
b − a2 =
.
b−a2
2
b
f (x) dx
=
a
ˆ
ˆ
≤
= a + t (b − a)
= (b − a) dt
x
dx
1
f (a + t (b − a)) dt
{z
}
|
0
=f ((1−t)a+tb)
1
((1 − t) f (a) + tf (b)) dt
0
ˆ
= f (a)
|0
ˆ
1
1
(1 − t) dt +f (b)
t dt .
{z
}
| 0 {z }
=1/2
=1/2
Seconda disuguaglianza di Jensen
Denizione 297 (Immagine di una misura). Siano
sura,
Per dimostrare le
è suciente osservare che
=
6.2
dx
b−a .
e
segue quindi dalla disuguaglianza di Jensen.
disuguaglianza
dµ :=
(X, B) uno spazio misurabile e g : Ω → X
(Ω, Σ, µ) uno spazio di mi(Σ − B)-misurabile,
una funzione
6.2 Seconda disuguaglianza di Jensen
ovvero tale che per ogni
B ∈ B,
ν: B
g −1 (B) ∈ Σ.
si abbia
→
92
[0, +∞] ,
7→ ν (B) := µ g −1 (B)
B
La funzione d'insieme
prende il nome di misura immagine di
µ
tramite
g.
Osservazione 298. Si verica immediatamente che ν è una misura, che ν (X)
µ (Ω), che ν
µ lo è.
è di probabilità se e solo se
µ
lo è e che una
ν
è
σ -nita
=
se e solo se
Esercizio 299 (Teorema di cambiamento di variabili). Siano
(X, B) uno
ν = µ ◦ g −1 .
zio di misura,
´misurabile e
f dν esiste
X
se e solo se
(Ω, Σ, µ) uno spag : Ω → X una funzione (Σ − B)Per ogni f : X → R (B − BR )-misurabile, l'integrale
´
esiste
f ◦ g dµ e in tal caso si ha
Ω
ˆ
ˆ
f dν =
f ◦ g dµ.
spazio misurabile,
X
Ω
Svolgimento. È un'applicazione diretta della macchina standard.
Teorema 300 (Seconda disuguaglianza di Jensen). Siano
(Ω, Σ, µ) uno spazio
C ⊂ Rd convesso e g : Ω → Rd tale che g ∈ L1 (µ) e per µ-quasi
t ∈ Ω, g (t) ∈ C . Sia inoltre f : C → (−∞, +∞] convessa ed inferiormente
di probabilità,
ogni
semicontinua. Allora
1.
´
Ω
g dµ ∈ C ;
2. esiste l'integrale
´
Ω
f ◦ g dµ;
3. vale la seguente maggiorazione, detta seconda disuguaglianza di Jensen
ˆ
g dµ ≤
f ◦ g dµ.
ˆ
f
Ω
Ω
Dimostrazione. Si considerino lo spazio misurabile
misura
µ
tramite
(C, BC ) e l'immagine ν
della
g.
1. Poiché il primo integrale esiste, dal teorema di cambiamento delle variabili
ˆ
segue
ˆ
g dµ =
Ω
ovvero
xν
.
x dν (x) = xν ,
C
esiste, dunque dunque
xν ,
2. Poiché esiste il baricentro
xν ∈ C .
dalla disuguaglianza integrale di Jensen
segue l'esistenza del primo integrale e dal teorema di cambiamento di
variabili si ha l'esistenza del secondo e l'uguaglianza
ˆ
ˆ
f ◦ g dµ.
f dν =
C
Ω
6.2 Seconda disuguaglianza di Jensen
93
3. Applicando il teorema di cambiamento delle variabili e la disuguaglianza
di Jensen , si ha
ˆ
ˆ
ˆ
g dµ = f
x dν (x) ≤
f dν =
f ◦ g dµ.
ˆ
f
X
X
X
Ω
Esempio 301 (Applicazioni delle disuguaglianze integrali di Jensen). Siano
(Ω, Σ, µ)
1.
e
uno spazio di probabilità e
ˆ
´
Ω
g dµ
g : Ω → R, g ∈ L1 (µ).
Allora
eg dµ;
≤
Ω
2. per ogni
p ∈ [1, +∞),
ˆ
ˆ
1/p
p
g dµ ≤
|g| dµ
;
Ω
Ω
3. se
g > 0,
ˆ
log
Ω
ˆ
g dµ ≥
log (g) dµ.
Ω
Osservazione 302. Il secondo punto nell'esempio precedente è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder. Vale la pena di menzionare che è possibile
dimostrare la disuguaglianza di Hölder a partire dalla disuguaglianza di Jensen
qui esposta.
Capitolo 7
Funzioni convesse di una
variabile reale
Notazione 303 (I ,
f , E , Q). Durante l'intero capitolo, tranne che quando
I ⊂ R un intervallo, con f : I → R una funzione
convessa, con E il prodotto cartesiano di I con se stesso privato della diagonale
E := (I × I) \ { (x, x) | x ∈ I} e con Q la funzione rapporto incrementale
specicato, si indicheranno con
Q: E
→
R,
(x, y) 7→
7.1
Q (x, y) :=
f (x) − f (y)
.
x−y
Derivabilità
Osservazione 304 (Simmetria). Per ogni
(x, y) ∈ E ,
si ha
Q (x, y) = Q (y, x).
Lemma 305 (Monotonia dei rapporti incrementali). Per ogni
rapporti incrementali
Q (x, ·)
Dimostrazione (idea). Siano
e
Q (·, y)
x, y, z ∈ I , x < y < z . Essendo f convessa,
Q (x, y) ≤ Q (x, z) ≤ Q (y, z).
gura seguente è facile convincersi che
f
.
f (z)
.
f (y)
f (x)
x, y ∈ I ,
.
x
i
sono monotoni non decrescenti.
y
z
dalla
7.1 Derivabilità
95
Denizione 306 (Derivata sinistra/destra). Siano
x0 ∈ J
e
g : J → R.
J ⊂R
un intervallo aperto,
I limiti
0
g−
(x0 ) := lim−
x→x0
g (x) − g (x0 )
x − x0
e
0
g+
(x0 ) := lim+
x→x0
g (x) − g (x0 )
x − x0
sono detti, rispettivamente, derivata sinistra e derivata destra di
g
in
x0 .
Denizione 307 (Funzione continua da sinistra/destra). Siano
J ⊂ R un
x0 ∈ J e g : J → R. Si dice che g è continua da sinistra in x0 se limx→x− g (x) = g (x0 ) e che g è continua da destra in x0 se
0
limx→x+ g (x) = g (x0 ). Si dice che g è continua da sinistra (/destra) se per ogni
0
x ∈ J , g (x) è continua da sinistra (/destra).
intervallo aperto,
Teorema 308. Sia
1. per ogni
2.
f
x∈I
I
aperto. Allora
esistono
0
(x)
f−
e
0
(x);
f+
è localmente lipschitziana;
3. per ogni
a, b ∈ I , a ≤ b, f|[a,b]
4. per ogni
x, y ∈ I , x ≤ y ,
0
f+
si ha
5.
0
f−
e
6.
0
f+
è continua da destra e
è lipschitziana;
0
0
0
0
f−
(x) ≤ f+
(x) ≤ f−
(y) ≤ f+
(y);
sono monotone non decrescenti;
7. l'insieme
Nf := {x ∈ I | f
0
f−
è continua da sinistra;
non è derivabile in
x}
è al più numerabile.
Dimostrazione.
1. Segue immediatamente dalla monotonia dei rapporti incrementali.
2. Segue direttamente dal Teorema 117 di pagina 36.
3. Segue immediatamente dal punto precedente e dalla compattezza degli
intervalli chiusi e limitati.
4. Siano
x, t, y ∈ I , x ≤ t ≤ y .
Dalla monotonia dei rapporti incrementali
segue che le derivate sinistre/destre di
superiori/inferiori di
f
f
in
x e y coincidono con gli estremi
x e y . Dunque
in un intorno sinistro/destro di
0
0
f−
(x) ≤ Q (t, x) ≤ Q (t, y) ≤ f+
(y) .
Dall'arbitrarietà di
t
segue la tesi.
5. Segue direttamente dal punto precedente.
7.1 Derivabilità
x0 ∈
0
f+
(x) ≤
pertanto
6. Sia
96
0
I arbitrario. Per ogni x, y ∈ I con x0 < x < y , si ha f+
(x0 ) ≤
Q (x, y). Dalla continuità di f segue inoltre che Q è continua,
0
0
0
f+
(x0 ) ≤ lim+ f+
(x) ≤ Q (x0 , y) ≤ lim+ Q (x0 , y) = f+
(x0 ) ,
x→x0
y→x0
0
f+
è continua da destra. Procedendo analogamente si dimostra
0
che f− è continua da sinistra.
dunque
7. Per denizione
0
0
Nf = x ∈ I f −
(x) < f+
(x) .
x ∈ Nf si può
0
0
Jx := f−
(x) , f+
(x) .
Ad ogni
dunque associare in modo biunivoco un intervallo
Per il punto 4. gli intervalli di questa famiglia sono a due a due disgiunti
e una famiglia di intervalli aperti e disgiunti è al più numerabile (ogni
intervallo contiene un numero razionale che non appartiene a nessun altro
intervallo).
Esercizio 309. L'ultimo punto del teorema precedente non può essere migliorato. Si dimostri che per ogni insieme al più numerabile
convessa che non sia derivabile esattamente su
Corollario 310. Sia
I
aperto. Se
f
E⊂I
esiste una funzione
E.
è derivabile, allora
f ∈ C 1 (I).
0
0
0
Dimostrazione. Per ogni x ∈ I , limy→x f (y) = f (x) se e solo se limy→x− f (y) =
0
0
0
0
0
0
f (x) e limy→x+ f (y) = f (x) ma poiché f è derivabile, f = f+ = f− . Le tesi
0
segue pertanto dalla continuità da destra di f+ e dalla continuità da sinistra di
0
f− .
Corollario 311. Siano
1.
I
aperto e
x0 ∈ I ,
allora
0
0
(x) ,
(x0 ) = limx→x+ f−
f+
0
0
2. f−
0
(x) .
(x0 ) = limx→x− f+
0
Dimostrazione.
1. Per il punto 4. del teorema precedente, per ogni
x ∈ I , x0 ≤ x,
0
0
0
f+
(x0 ) ≤ f−
(x) ≤ f+
(x) .
Essendo
0
f+
è continua da destra, è suciente passare primo ed ultimo
membbro al limite per
x → x+
0
e sfruttare il teorema dei due carabinieri.
2. Analogo al caso precedente.
Osservazione 312. Il seguente risultato è una versione particolare del teorema
fondamentale del calcolo integrale.
7.2 Subdierenziale (in
Corollario 313. Siano
di Lebesgue e con
(R)
97
aperto e
a, b ∈ I .
b
ˆ
(2)
b
(3)
f
lipschitziana su
b
0
f−
(x) dx.
a
a
[a, b], f ∈ AC ([a, b]).
L'uguaglianza
a
Dimostrazione. Essendo
ˆ
0
f+
(x) dx = (R)
f 0 (x) dx = (R)
f (b) − f (a) = (L)
(1)
(L) l'integrale
Allora, indicando con
l'integrale di Riemann, si ha
ˆ
(1)
I
R)
segue dunque dal teorema fondamentale del calcolo integrale per l'integrale
di Lebesgue. Le identità
(2)
(3)
e
si dimostrano allo stesso modo. Poiché
f0
(è
0
denita e) coincide quasi ovunque con f± , si ha
ˆ
ˆ
b
a
a
0
f±
0
f±
(x) dx
f (x) dx = (L)
(L)
ma essendo
b
0
0
f±
∈ R ([a, b]),
monotone e limitate,
dunque l'integrale di
Lebesgue coincide con quello di Riemann.
Corollario 314. Siano
g : C → (−∞, +∞]
X
C ⊂ X convesso,
[a, b] ⊂ dom (g). Allora g|[a,b] è
uno spazio vettoriale topologico,
convessa e
a, b ∈ C
tali che
continua.
Osservazione 315. Il lemma seguente garantisce una certa regolarità di
anche qualora
I
non sia aperto.
f
Nonostante le funzioni convesse denite su
intervalli non aperti possano avere dei salti sui punti di bordo, la semicontinuità
superiore viene sempre mantenuta.
Lemma 316. Se esistono
a, b ∈ R
tali che
I = [a, b), I = (a, b]
o
I = [a, b], f
è superiormente semicontinua.
I = [a, b). Sia c ∈ I arbitrario.
x = (1 − t) a + tc, dalla convessità
Dimostrazione. Senza perdere in generalità, sia
Poichè per ogni
di
f
x∈C
esiste
t∈R
tale che
segue
lim sup f (x) = lim sup f ((1 − t) a + tc) ≤ f (a) .
{z
}
x→a+
t→0+ |
≤(1−t)f (a)+tf (c)
Per un analogo del Teorema 423 di pagina 127,
f
è pertanto superiormente
semicontinua.
7.2
Subdierenziale (in
R)
Osservazione 317 (Motivazioni). Se in un certo punto
x0 ∈ I
la funzione
f
ha un punto angoloso, la derivata prima non è ben denita. In questo punto,
invece di avere un unico iperpiano di supporto, si ha una famiglia di iperpiani
di supporto per il graco di
f.
Per questo motivo si fornisce la denizione di
subdierenziale che generalizza il concetto di derivata di una funzione.
7.2 Subdierenziale (in
R)
98
f
.
x0
Figura 7.2.1:
graco di
In un punto angoloso esistono innite rette di supporto per il
f.
Denizione 318 (Subdierenziale). Sia
f
in
x0 ,
x0 ∈ I .
Si denisce subdierenziale di
l'insieme
∂f (x0 ) := {m ∈ R | ∀x ∈ I, f (x) ≥ f (x0 ) + m (x − x0 ) } .
Osservazione 319 (Curiosità). La denizione di subdierenziale si può estendere a funzioni denite in spazi di Banach. Al posto delle rette si utilizzano funzioni ani, ovvero traslazioni di elementi del duale. Grazie al teorema di HahnBanach è possibile dimostrare buona parte dei risultati che qui si presentano
soltanto nel caso reale.
Esercizio 320. Sia
x0 ∈ I .
Si verichi che
0
0
∂f (x0 ) = f−
(x0 ) , f+
(x0 ) .
Osservazione 321. Poiché la derivata sinistra in un punto è sempre maggiorata da quella destra, l'esercizio precedente aerma in particolare che il
subdierenziale di una funzione convessa non è mai vuoto.
Denizione 322 (Funzione di selezione). Si dice che una funzione
una (funzione di) selezione di
Proposizione 323. Sia
f
2.
Card (∂f (x0 )) = 1;
ϕ: I → R
è
x ∈ I , ϕ (x) ∈ ∂f (x).
Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
x0 ;
3. esiste una selezione di
4. ogni selezione di
se per ogni
x0 ∈ int (I).
1.
è derivabile in
∂f
∂f
∂f
continua in
è continua in
x0 ,
x0 .
Dimostrazione.
1. ⇔ 2.)
Segue direttamente dall'esercizio 320.
1. ⇒ 4.)
Sia
ϕ: I → R
x∈I
un'arbitraria selezione di
∂f .
Dall'Esercizio 320, per ogni
0
0
f−
(x) ≤ ϕ (x) ≤ f+
(x) .
7.3 Derivabilità seconda
99
Per il Corollario 311 ed il teorema dei due carabinieri, facendo tendere
x → x±
0
nel primo e nell'ultimo membro, da
continua in
4. ⇒ 3.)
3. ⇒ 1.)
f
x0
derivabile in
segue
ϕ
x0 .
Banale.
ϕ: I → R
x∈I
Sia
una selezione di
∂f
continua in
x0 .
Dall'Esercizio 320, per
ogni
0
0
f−
(x) ≤ ϕ (x) ≤ f+
(x) .
Per il Corollario 311, dalla continuità di
0
f+
(x0 ),
dunque
f
è derivabile in
ϕ
x0
in
segue
0
f−
(x0 ) = ϕ (x0 ) =
x0 .
Osservazione 324. Si noti che la proposizione precedente generalizza il Corollario 310.
7.3
Derivabilità seconda
Teorema 325. Siano I aperto, x0 ∈ I , ∆ ∈
Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
x0 ∈ D1
e
f
x0 , f 0 : D 1 → R è
0 0
(x0 ) = ∆;
x0 e f+
0 0
(x0 ) = ∆;
x0 e f−
è derivabile in
2.
0
f+
è derivabile in
3.
0
f−
è derivabile in
4. esiste una selezione
5. per ogni
6.
x0 ∈ D1
ϕ
ϕ
di
selezione di
∂f
è derivabile in
f 0 (x) − f 0 (x0 )
= ∆,
x − x0
lim
x→x0 ,
x∈D1
(i.e.
R e D1 := {x ∈ I | f
derivabile in
derivabile in
∂f , ϕ
x0 ,
è derivabile in
con
x0
e
x0
e
0
(f 0 ) (x0 ) = ∆);
ϕ0 (x0 ) = ∆;
ϕ0 (x0 ) = ∆;
e vale la formula di Taylor arrestata al secondo ordine con il resto
di Peano, ovvero, per
h→0
f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) h +
∆ 2
h + o h2 .
2
Inoltre, se vale una qualunque delle precedenti proprietà, si ha
Dimostrazione. Si noti per prima cosa che la condizione
2.
aermazione. Lo schema della dimostrazione sarà il seguente:
1 =⇒ (2, 3) =⇒ 6 =⇒ 5 =⇒ 4 =⇒ 1.
∆ ≥ 0.
implica l'ultima
x }.
7.3 Derivabilità seconda
1. ⇒ 2.)
Per ogni
h ∈ I − {x0 },
100
sia
0
0
ω (h) := f+
(x0 + h) − f+
(x0 ) − ∆h.
Si noti che
per ipotesi
lim
h→0,
h∈D1 −{x0 }
ω (h)
= 0.
h
h ∈ I − {x0 }, h 6= 0, si ssino
s0h ∈ h − h2 , h ∩ (D1 − {x0 }) e sh ∈ h, h + h2 ∩ (D1 − {x0 })
Per ogni
(si noti che
0
f+
(sh ).
sh
e
Allora,
ω (h)
h
ω (h)
h
s0h esistono
+
se h → 0 ,
per ipotesi) e si noti che
0
0
(s0h ) ≤ f+
(h) ≤
f+
s
ω (sh ) + ∆ (sh − h)
ω (sh )
h
=
+∆
− 1 → 0;
h
h
h0
sh
ω (s0h ) + ∆ (s0h − h)
ω (s0h )
=
+∆
− 1 → 0.
h
h
h
≤
≥
h → 0− (facendo
h < 0), si dimostra
Scrivendo le analoghe maggiorazioni e minorazioni per
attenzione ad invertire le disuguaglianze in quanto
facilmente la tesi.
1. ⇒ 3.)
Analoga al caso precedente.
2. ⇒ 6.)
Si denisca
ω : I − {x0 } → R come sopra. Poiché per h → 0, ω (h) → 0 e
ω (0) = 0, la funzione ω è continua in 0. Inoltre, poiché somma di funzioni
Riemann-integrabili, per ogni a, b ∈ I − {x0 } si ha ω ∈ R ([a, b]). Si noti
0
inne che essendo derivabile in x0 , f+ è continua in x0 , dunque
0
0
0
0
(x) = f−
(x0 ) ,
(x) = lim f+
f+
(x0 ) = lim f+
x→x−
o
x→x+
o
pertanto anche
f
è derivabile in
x0 .
Dal Corollario 313, per ogni
h ∈
I − {x0 },
ˆ
f (x0 + h) − f (x0 )
=
x0 +h
(R)
0
f+
(x) dx
x0
[x = x0 + t]
ˆ h
0
= (R)
f+
(x0 + t) dt
0
[per
=
denizione di
ˆ
ω]
h
[f 0 (x0 ) + ∆t + ω (t)] dt
(R)
0
= f 0 (x0 ) h +
∆ 2
h + (R)
2
Rimane allora soltanto da dimostrare che per
2
o h
.
ˆ
h
ω (t) dt.
0
h → 0, (R)
´h
ω (t) dt =
0
Per il Teorema di de L'Hôpital ed il Teorema fondamentale del
7.3 Derivabilità seconda
101
calcolo integrale (per l'integrale di Riemann), si ha
lim
(R)
´h
0
h→0
ω (t) dt
ω (h)
= lim
= 0.
2
h→0 2h
h
3. ⇒ 6.)
Analoga al caso precedente.
6. ⇒ 5.)
Senza perdere in generalità si possono supporre
f (x0 ) = 0
e
f 0 (x0 ) = 0,
f è sviluppabile al secondo ordine
0
x 7→ f (x)−[f
(x
0 ) + f (x0 ) (x − x0 )]. Pertanto,
∆ 2
2
se h → 0, f (x0 + h) =
2 h + o h . Sia dunque ϕ una selezione di ∂f ,
0
allora ϕ (x0 ) = f (x0 ) = 0. Per ogni ε ∈ (0, 1) si ha quindi
infatti una verica diretta dimostra che
se e solo se lo è la funzione
=0
z }| {
ϕ (x0 + h) − ϕ (x0 )
lim sup
h
h→0+
0
(x0 + h)
f+
h
h→0+
Q (x0 + h, x0 + h + εh)
≤ lim sup
h
h→0+
f (x0 + h + εh) − f (x0 + h)
= lim sup
εh2
h→0+
∆ (2 + ε)
∆ (2 + ε)
+ o (1) =
.
= lim sup
2
2
h→0+
≤
lim sup
ε ∈ (0, 1),
Analogamente si dimostra che per ogni
lim inf
+
h→0
ϕ (x0 + h) − ϕ (x0 )
∆ (2 − ε)
≥
,
h
2
ϕ0+ (x0 ) = ∆.
(x0 ) = ∆, da cui
da cui si deduce
Procedendo nello stesso modo si conclude
0
che anche ϕ−
la tesi.
5. ⇒ 4.)
Banale.
4. ⇒ 1.)
Per ogni
Essendo
0
0
(x) = f−
(x).
x ∈ D1 , si ha necessariamente ϕ (x) = f 0 (x) = f+
ϕ continua in x0 e D1 denso in I , si ha la tesi.
Osservazione 326. È sempre vero che se una funzione è due volte derivabile,
vale 6. Tuttavia, se una funzione è derivabile (una volta) e vale 6, non è vero
(in generale) che
f
sia due volte derivabile (vedi esempio successivo). Il teorema
precedente aerma che se
Esempio 327. Sia
f
è convessa, vale anche questo viceversa.
g: R → R
denita per ogni
(
g (x) :=
x3 sin
0,
1
x
,
x∈R
x 6= 0,
0.
da
7.3 Derivabilità seconda
Un calcolo esplicito mostra che
102
g
è derivabile ovunque e che la formula di Tay-
lor arrestata al secondo ordine con resto secondo Peano vale per ogni
Tuttavia, una verica esplicita mostra che
g
Denizione 328 (Funzione avente derivata seconda). Siano
e
∆ ≥ 0.
Si dice che
f
ha derivata seconda
x ∈ R.
0.
non è due volte derivabile in
∆
in
x0
I
e si scrive
aperto, x0 ∈ I
f 00 (x0 ) = ∆ se
vale una qualunque delle proprietà equivalenti del Teorema 325.
Osservazione 329. Avere derivata seconda è una richiesta più debole di essere
due volte derivabile nel senso dell'analisi classica. Non si richiede infatti l'esistenza di un intorno in cui in tutti i punti la funzione sia due volte derivabile.
La funzione potrebbe addirittura non essere nemmeno derivabile una volta in
alcun intorno!
Corollario 330. Ogni funzione convessa ha derivata seconda in quasi ogni
punto del proprio intervallo di denizione (rispetto alla misura di Lebesgue).
Dimostrazione. È suciente ricordare che
0
f+
è monotona, dunque, per un noto
risultato di analisi reale, è quasi ovunque derivabile (rispetto alla misura di
Lebesgue).
Corollario 331. Ogni funzione convessa ha quasi ovunque (rispetto alla misura
di Lebesgue) uno sviluppo di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano.
Capitolo 8
Dierenziabilità di funzioni
convesse in spazi normati
8.1
Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
Denizione 332 (Funzione Gâteaux-dierenziabile). Siano
zi normati,
A ⊂ X
a ∈ A
aperto,
e
F: A → Y.
X
Si dice che
ed
F
Y
due spa-
è Gâteaux-
dierenzibile (o G-dierenzibile, o dierenziabile secondo Gâteaux ) in
a
se l'o-
peratore
F 0 (a, ·) : X
v
→ Y,
7→ F 0 (a, v) := lim
t→0
detto dierenziale (o derivata ) di Gâteaux di
F (a + tv) − F (a)
,
t
f
in
a,
è ben denito, lineare e
continuo.
Osservazione 333. In altre parole, una funzione è G-dierenziabile in un punto
non solo se ivi esistono tutte le derivate direzionali ma se c'è una dipendenza
lineare e continua tra una direzione e la rispettiva derivata direzionale.
Esercizio 334. Siano
F: A → Y.
X
operatore lineare e continuo
se
t → 0,
Y due spazi normati, A ⊂ X aperto, a ∈ A e
F è G-dierenziabile in a se e solo se esiste un
T : X → Y tale che, per ogni v ∈ X con kvk = 1,
ed
Si dimostri che
si abbia
F (a + tv) = F (a) + tT v + o (t) ,
ovvero se
F
si possa approssimare localmente (ma non in modo uniforme, solo
retta per retta) con una funzione ane (chiaramente
Esempio 335 (G-dierenziabile
è molto debole.
; continua).
T = F 0 (a, ·)).
La nozione di G-dierenziabilità
Una funzione G-dierenziabile in un punto non è infatti (in
8.1 Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
104
generale) nemmeno continua in quel punto. La seguente funzione, ad esempio,
è G-dierenziabile ma discontinua nell'origine:
(
(x, y) 7→
x4 y
x6 +y 3 ,
0
(x, y) ∈ R2 \ (0, 1) ,
(x, y) = (0, 0) .
Si introduce allora il concetto di Fréchet-dierenziabilità, in cui la l'approssimazione retta per retta nella G-dierenziabilità viene sostituita da un'approssimazione uniforme.
Denizione 336 (Funzione Fréchet-dierenziabile). Siano
normati,
A⊂X
aperto,
a∈AeF: A→Y.
(o F-dierenzibile, o dierenziabile secondo Fréchet )
F 0 (a) : X → Y ,
per h → 0
lineare e continuo
f
in
a,
tale che,
X ed Y due spazi
F è Fréchet-dierenzibile
in a se esiste un operatore
Si dice che
detto dierenziale (o derivata ) di Fréchet di
F (a + h) = F (a) + F 0 (a) h + o (khk) .
Osservazione 337 (Gâteaux vs Fréchet). Una funzione F-dierenziabile è chiaramente anche G-dierenziabile, con
F 0 (a, ·) = F 0 (a) ma non vale (in generale)
il viceversa (ad esempio, la funzione nell'Esercizio 334 è G-dierenziabile ma non
F-dierenziabile). È altrettanto chiaro che se una funzione è G-dierenziabile e
il limite nella denizione di
F 0 (a, ·)
vale in modo uniforme (anche solo rispetto
ai versori della sfera unitaria), la funzione è anche F-dierenziabile.
Osservazione 338. Se
F
ha valori reali è chiaro che
F 0 (a, ·) , F 0 (a) ∈ X ∗
a
seconda che sia G o F-dierenziabile.
A ⊂ Rd aperto, Y uno spazio normato, F : A → Y , a ∈ A,
U ∈ U (a) e L > 0. Se F è L-lipschitziana in U , allora F è F-dierenziabile in
a se e solo se F è G-dierenziabile in a.
Lemma 339. Siano
Dimostrazione. Se
0
0
F (a, ·) = F (a).
F
ae
{hn }n∈N ⊂ Rd \ {0}
n → +∞
F-dierenzabile in
a con
F sia G-dierenziabile ma non
F 0 (a) := F 0 (a, ·). Allora esiste una successione
{a + hn }n∈N ⊂ A, limn→+∞ khn k = 0 e per
è F-dierenziabile in
a,
è anche G-dierenziabile in
Viceversa, si supponga che
si ponga
tale che
yn :=
F (a + hn ) − F (a) − F 0 (a) hn
9 0.
khn k
n ∈ N, detti tn := khn k e vn := hn / khn k, si ha hn = tn vn , kvn k = 1
tn → 0. Per la compattezza della bolla unitaria esiste una sottosuccessione
convergente di {vn }n∈N . Senza perdere in generalità, si supponga che la stessa
Per ogni
e
8.1 Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
{vn }n∈N
105
v 0 ∈ Rd
con kv0 k = 1. Per n → +∞ si ha dunque
F (a + tn vn ) − F (a)
0
= −
F
(a)
v
n
tn
F (a + tn vn ) − F (a)
F (a + tn v0 )
0
0
= −
F
(a)
v
±
±
F
(a)
v
n
0
tn
tn
F (a + tn v0 ) − F (a)
0
≤ −
F
(a)
v
0
tn
|
{z
}
converga ad un certo
kyn k
=o(1)
F (a + tn vn ) − F (a + tn v0 ) + kF 0 (a) (vn − v0 )k .
+
|
{z
}
tn
|
{z
}
=o(1)
=o(1)
A ⊂ Rd
Corollario 340. Siano
un aperto convesso,
a ∈ A
e
F: A → R
convessa, allora
f
è F-dierenziabile in
a ⇐⇒ f
è G-dierenziabile in
a.
Dimostrazione. Segue immediatamente dalla locale lipschitzianità delle funzioni
convesse.
Lemma 341 (Funzioni sublineari). Siano
X
uno spazio vettoriale e
p: X → R
sublineare. Allora
1. per ogni
v ∈ X , −p (−v) ≤ p (v);
V := {v ∈ X | −p (−v) = p (v) }
2. l'insieme
e
p|V
è un sottospazio vettoriale di
X
è lineare.
Dimostrazione.
1. Dalla sublinearità di
p,
per ogni
v∈X
si ha
0 = p (0) = p (v − v) ≤ p (v) + p (−v) .
2. Poichè
p (0) = 0, 0 ∈ V . Siano v ∈ V
v ∈ V , se λ > 0
e
λ ∈ R \ {0}.
Per la positiva
omogeneità e poiché
−p (−λv) = −λp (−v) = λp (v) = p (λv)
e se
λ<0
−p (−λv) = λp (v) = −λp (−v) = p (λv) ,
dunque
u, v ∈ V
λv ∈ V
e
p|V
è omogenea. Se
u ∈ V,
per la subadditività, poiché
e per il punto precedente
p (u + v) ≤ p (u) + p (v) = − (p (−u) + p (−v)) ≤ −p (− (u + v))
≤ p (u + v)
dunque
u+v ∈V
e
p|V
è additiva.
8.1 Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
106
Denizione 342 (Derivata direzionale sinistra e destra). Siano
A ⊂ X aperto e convesso, a ∈ A e f : A → R
0
0
funzioni f− (a, ·) e f+ (a, ·) denite da
normato,
due
0
f±
(a, ·) : X
X
uno spazio
convessa e continua. Le
→ R,
0
7→ f±
(a, v) := lim
v
t→0±
f (a + tv) − f (a)
t
sono dette, rispettivamente, derivata (direzionale) sinistra e derivata (direzio-
nale) destra di
f
in
a.
v ∈ X
f in a nella
Per ogni
(direzionale) destra/sinistra di
si dice che
0
f±
(a, v)
è la derivata
v.
direzione
Osservazione 343. Per il Teorema 308 le semiderivate direzionali sono ben
denite.
Esercizio 344. Siano
v∈X
1.
e
f: A→R
f 0 (a, v) := limt→0
A⊂X
aperto e convesso,
a ∈ A,
f (a+tv)−f (a)
se e solo se
t
0
0
f+
(a, v) = −f+
(a, −v);
0
(a, 0) = 0;
f+
4. per ogni
5.
uno spazio normato,
0
0
f−
(a, v) = −f+
(a, −v);
2. esiste
3.
X
convessa e continua. Si dimosti che
0
f+
(a, ·)
0
0
(a, v);
(a, λv) = λf+
λ > 0, f+
è sublineare.
Svolgimento.
1. Segue immediatamente dalla denizione.
2. Segue immediatamente dal punto precedente.
3. Segue immediatamente dalla denizione.
4. Segue immediatamente dalla denizione.
5. Essendo positivamente omogenea per i due punti precedenti, è suciente
dimostrare che
0
f+
(a, ·) è convessa.
Per ogni
u, v ∈ X
e per ogni
λ ∈ (0, 1)
si ha
0
f+
(a, (1 − λ) u + λv)
=f ((1−λ)(a+tu)+λ(a+tv))
=(1−λ)f (a)+λf (a)
z
}|
{
z }| {
f (a + t [(1 − λ) u + λv]) −
f (a)
= lim
t
t→0+
(1 − λ) [f (a + tu) − f (a)] + λ [f (a + tv) − f (a)]
≤ lim+
t
t→0
0
0
= (1 − λ) f+ (a, u) + λf+ (a, v) .
8.1 Gâteaux e Fréchet-dierenziabilità
Proposizione 345. Siano
a∈A
f: A→R
e
X
uno spazio normato, A ⊂ X aperto e convesso,
0
f+
(a, ·) è lipschitziana.
convessa e continua. Allora
Dimostrazione. Segue facilmente dal fatto che
Corollario 346. Siano
e
f: A→R
1.
f
X
f
uno spazio normato,
è localmente lipschitziana.
A⊂X
aperto e convesso,
a∈A
convessa e continua. Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
è G-dierenziabile in
2. per ogni
3. esiste
107
v ∈ X,
B⊂X
a;
esiste nita
tale che
f 0 (a, v);
span (B) = X
e per ogni
v∈B
esista nita
f 0 (a, v).
1. ⇒ 2. ⇒ 3. sono ovvie. Si supponga che
0
(B)
= X e per ogni
B ⊂ X tale che span
0
v ∈ B esista nita f (a, v).
0
Si consideri V := v ∈ X f+ (a, v) = f− (a, v) . Chiaramente V ⊃ B . Per il
lemma sulle funzioni sublineari, l'insieme V è un sottospazio vettoriale di X .
0
Inoltre, essendo f+ (a, ·) continua, V è chiuso. Allora V = X e per il lemma
0
0
sulle funzioni sublineari f (a, ·) = f+ (a, ·) è lineare e continua.
Dimostrazione. Le implicazioni
esista
Corollario 347 (Utilissimo). Siano
X = Rd , a ∈ X
e
f: X →R
convessa. Le
seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
f
è F-dierenziabile in
a;
2.
f
è G-dierenziabile in
a;
3. per ogni
i ∈ {1, . . . , d}
∂f
esiste nita la derivata parziale ∂x
i
(a).
Dimostrazione. Segue immediatamente dal corollario precedente e dal Corollario 340.
Osservazione 348. Il risultato precedente aerma che per funzioni convesse
denite in
Rd
l'esistenza delle derivate parziali equivale alla dierenziabilità.
Esempio 349 (In dimensione innita Gâteaux
(
X := `1 =
x := (x (n))n∈N
6= Fréchet). Siano
)
+∞
X
⊂ R kxk :=
|x (n)| < +∞
n=1
e
f := k·k.
B := { ek | k ∈ N}
Sia
k ∈ N
la base canonica di Schauder di
`1 ,
data
k
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .). Chiaramente span (B) = `1 . Per
è G-dierenziabile in a se e solo se per ogni k ∈ N esiste
f 0 (a, ek ) e dalle denizioni di f , di norma di `1 e di derivata direzionale questo
vale se e solo se per ogni k ∈ N, a (k) 6= 0. La funzione f è pertanto Gper ogni
da
il Corollario 346,
f
dierenziabile in tutti i punti aventi coordinate non nulle. Si dimostra ora che
f
non è mai F-dierenziabile.
Senza perdere in generalità, sia
a ∈ `1
avente
8.2 Subdierenziale
108
coordinate non nulle (altrimenti non
a). Poiché la derivata di
v := (v (k))k∈N ∈ X si ha
f
non sarebbe neanche G-dierenziabile in
Gâteaux è un operatore lineare e continuo, per ogni
0
f (a, v)
= f
0
a,
+∞
X
!!
v (k) ek
k=1
+∞
X
=
k=1
+∞
X
=
v (k) f 0 (a, ek )
v (k) sign (a (k)) .
k=1
Per vericare che questo dierenziale di Gâteaux non sia di Fréchet si consideri
per ogni
n ∈ N
il vettore
fosse F-dierenziabile in
a,
vn := −2a (n) en .
Poiché
limn→+∞ kvn k = 0,
se
f
dovrebbe tendere a zero anche il limite
P+∞
f (a + vn ) − f (a) − k=1 vn (k) sign (a (k))
lim
n→+∞
kvn k
=0
=2|a(n)|
z
}|
{ z
}|
{
|a (n) − 2a (n)| − |a (n)| + 2a (n) sign (a (n))
= lim
= 1,
n→+∞
2 |a (n)|
dunque
f
non è F-dierenziabile in
a.
Fatto 350. In ogni spazio innito-dimensionale esiste una funzione G-dierenziabile ma non F-dierenziabile in un punto.
8.2
Subdierenziale
Notazione 351 (X ,
A, a, f ).
specicato, si indicheranno con
convesso, con
f: A → R
Durante l'intera sezione, tranne che quando
X
uno spazio normato, con
A⊂X
un aperto
una funzione convessa e continua e si sserà un punto
a ∈ A.
Denizione 352 (Subdierenziale e subgradienti). Si denisce subdierenziale
di
f
in
a
il sottoinsieme del duale
∂f (a) := { ϕ ∈ X ∗ | ∀x ∈ A, f (x) ≥ f (a) + ϕ (x − a)} .
Gli elementi di
x0 7→ ∂f (x0 )
∂f (a)
prendono il nome di subgradienti di
prende il nome di mappa subdierenziale di
f
in
a
e la mappa
f.
Osservazione 353. Il signicato geometrico del subdierenziale è lo stesso
visto in
R.
Si è solo aggiunta nella denizione la continuità delle mappe ani
di supporto (che è automatica in spazi nito-dimensionali). Il subdierenziale
è una nozione locale, è suciente cioè che la sua proprietà sia soddisfatta in
un intorno del punto interessato. Si consideri la seguente denizione locale di
subdierenziale.
8.2 Subdierenziale
109
Denizione 354 (Subdierenziale). Sia
subdierenziale di
f
in un intorno
Br (a)
r > 0 tale che Br (a) ⊂ A. Si denisce
di a il sottoinsieme del duale
∂f (a)r := { ϕ ∈ X ∗ | ∀x ∈ Br (a) , f (x) ≥ f (a) + ϕ (x − a)} .
Proposizione 355. Per ogni
r>0
tale che
Br (a) ⊂ A,
si ha
∂f (a) = ∂f (a)r .
r > 0 tale che Br (a) ⊂ A. Chiaramente ∂f (a) ⊂ ∂f (a)r .
ϕ ∈ ∂f (a)r . Fissando arbitrariamente x ∈ A, esiste λ ∈ (0, 1)
(1 − λ) a + λx =: z ∈ Br (a). Allora
Dimostrazione. Sia
Viceversa, sia
tale che
f (a) + ϕ (z − a) ≤ f (z) = f ((1 − λ) a + λx) ≤ (1 − λ) f (a) + λf (x) .
| {z }
=λ(x−a)
Sottraendo
f (a)
a primo ed ultimo membro e dividendo per
λ
si ha la tesi.
Osservazione 356. La proposizione precedente conferma la natura locale del
subdierenziale. Funzioni convesse (anche molto) diverse tra loro ma coincidenti
in un intorno di un punto hanno lo stesso subdierenziale in quel punto.
Lemma 357. Siano
esiste
v∈X em∈R
ϕ ∈ ∂f (a) tale che ϕ (v) = m.
tali che
0
0
(a, v).
(a, v) ≤ m ≤ f+
f−
Allora
L := a + Rv e h : L → R denita per ogni t ∈ R da
h (a + tv) := f (a) + mt. Per ipotesi h|A∩L ≤ f|A∩L . Detto C := epi (f ), poiché
f è convessa e continua su un aperto, l'insieme C è convesso e int (C) 6= ∅.
Detto D il graco di h, poiché (a, f (a)) ∈ C ∩ D e D ∩ int (C) = ∅, per il
Teorema di Hahn-Banach topologico esiste un iperpiano H ⊂ X × R separante
C e D. Si noti che H non può essere verticale 1 (perché separa tutta una bolla
contenuta nell'epigraco di f ) e che H è chiuso (perché non è denso, infatti
Dimostrazione. Siano
ogni iperpiano è il traslato del nucleo di una mappa lineare, che è continua se
H è il graco di
b
h : X → R tale che b
h (a) = f (a), dunque esiste
ϕ ∈ X ∗ tale che, per ogni x ∈ X , b
h (x) = f (a)+ϕ (x − a). Poiché h|A∩L ≤ f|A∩L
b
e H separa C e D , si ha f ≥ h|A , dunque ϕ ∈ ∂f (a). Sfruttando di nuovo il
2
fatto che H separa C e D , per ogni t ∈ R si ha
e solo se il suo nucleo non è denso). Per la Proposizione 289,
una funzione ane e continua
.
.
f (a) + tm = h (a + tv) ≤ b
h (a + tv) = f (a) + tϕ (v) ,
da cui, sottrendo
f (a) a primo ed ultimo membro e valutando in t = 1, si ottiene
ϕ (v) = m.
Osservazione 358. Geometricamente, il lemma precedente aerma che sia
sempre possibile estendere una retta di supporto (per l'epigraco di una funzione
convessa) ad un iperpiano di supporto.
1 Ovvero della forma {x } × R, con x ∈ X .
0
0
2 Il signicato geometrico di ciò che segue è
semplicemente questo: due funzioni ani tali
che una maggiori l'altra non possono essere sghembe, devono essere parallele, altrimenti prima
o poi si intersecherebbero in un punto e dopo quel punto la maggiorazione si invertirebbe.
8.2 Subdierenziale
110
epi (f )
H
graph (h)
.
(a, f (a))
Figura 8.2.1:
Si fa riferimento alle notazioni utilizzate nella dimostrazione
precedente. Il graco di
Corollario 359.
h
è indicato con
graph (h).
∂f (a) 6= ∅.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal Lemma 357.
Osservazione 360. Il risultato seguente generalizza il fatto che una funzione
reale derivabile denita su un aperto di
della derivata è minore o uguale ad
Proposizione 361. Sia
L > 0.
R
L-lipschitziana
è
se e solo il modulo
L.
Allora
f
L-lipschitziana
è
su
A
se e solo se
∂f (A) ⊂ BL (0).
Dimostrazione.
⇒)
Siano
ϕ ∈ ∂f (a).
Per ogni
r>0
tale che
Br (a) ⊂ A,
per denizione di
subdierenziale,
kϕkX ∗
=
1
1
sup (ϕ (ru)) =
sup (ϕ (u))
r u∈X,
r u∈X,
≤
[u = (u + a) − a]
1
sup (f (a + u) − f (a)) ≤ L.
{z
}
r u∈X, |
kuk=1
kuk=r
kuk=r
⇐)
Siano
x, y ∈ A
con
x 6= y , ϕ ∈ ∂f (x)
≤Lkuk
e
ψ ∈ ∂f (y).
Per ogni
z ∈ A,
denizione di subdierenziale
f (x) − f (z) ≤ ϕ (x − z) ,
f (y) − f (z) ≤ ψ (y − z) .
Allora
f (x) − f (y) ≤
ϕ (x − y) ≤ kϕk kx − yk ≤ L kx − yk ,
|{z}
f (y) − f (x) ≤
ψ (y − z) ≤ kψk kx − yk ≤ L kx − yk .
|{z}
≤L
≤L
per
8.2 Subdierenziale
111
Corollario 362. Per ogni
limitato in
a∈A
esiste
r>0
tale che l'insieme
∂f (Br (a))
sia
X ∗.
Dimostrazione. Segue immediatamente dalla localmente lipschitzianità delle funzioni convesse.
Osservazione 363. Per brevità il corollario precedente si enuncia spesso dicendo che
∂f
è localmente limitata su
Proposizione 364.
∂f (a)
A.
è convesso e
w∗ -compatto.
Dimostrazione. Per denizione,
∂f (a)
=
\
{ ϕ ∈ X ∗ | ϕ (x − a) ≤ f (x) − f (a)}
x∈A
=
\
{ ϕ ∈ X ∗ | [J (x − a)] (ϕ) ≤ f (x) − f (a)}
x∈A
∂f (a) è l'intersezione di semispazi (quindi convessi) w∗ -chiusi, pertan∗
to ∂f (a) è convesso e w -chiuso. Poiché per il corollario precedente ∂f (a) è
∗
limitato e le bolle nel duale sono w -compatte, si ha la tesi.
0
(a, v) .
Proposizione 365. ∂f (a) = ϕ ∈ X ∗ ∀v ∈ X, ϕ (v) ≤ f+
dunque
C il membro di destra. Se ϕ ∈ ∂f (a), per ogni v ∈ X e per
t > 0 tale che a+tv ∈ A, si ha tϕ (v) = ϕ ((a + tv) − a) ≤ f (a + tv)−f (a),
cui
f (a + tv) − f (a)
0
ϕ (v) ≤ inf
= f+
(a, v) ,
t>0
t
Dimostrazione. Sia
ogni
da
dunque
ϕ ∈ C.
ϕ ∈ C , per ogni x ∈ A si ha
f (a + t (x − a)) − f (a) [t=1]
0
≤ f (x) − f (a) .
ϕ (x − a) ≤ f+
(a, (x − a)) = inf
t>0
t
dunque
ϕ ∈ ∂f (a).
Esercizio 366.
Viceversa, se
0
∂f (a) ⊂ ϕ ∈ X ∗ ∀v ∈ X, ϕ (v) ≥ f−
(a, v) .
C il membro
ϕ ∈ ∂f (a), per ogni v ∈ X e per ogni t < 0 tale che a + tv ∈ A, si
tϕ (v) = ϕ ((a + tv) − a) ≤ f (a + tv) − f (a), da cui
f (a + tv) − f (a)
0
ϕ (v) ≥ sup
= f−
(a, v) ,
t
t<0
Svolgimento. Si procede come nella proposizione precedente. Sia
di destra. Se
ha
dunque
ϕ ∈ C.
Corollario 367.
0
0
∂f (a) = ϕ ∈ X ∗ f−
(a, ·) ≤ ϕ ≤ f+
(a, ·) .
8.2 Subdierenziale
112
Dimostrazione. Segue direttamente dalla Proposizione 365 e dall'Esercizio 366.
Osservazione 368 (Informalmente). Geometricamente il corollario precedente aerma che toccare da sotto con un iperpiano il graco di una funzione
convessa equivale a toccare da sotto con un iperpiano il cono tangente dato
dalle derivate direzionali.
.
Proposizione 369. Per ogni
v ∈ X,
0
f+
(a, v) = max {ϕ (v) | ϕ ∈ ∂f (a) }
e
0
f−
(a, v) = min {ϕ (v) | ϕ ∈ ∂f (a) } .
v ∈ X . Detto M := sup {ϕ (v) | ϕ ∈ ∂f (a) } ∈ (−∞, +∞],
0
(a, v) ≥ M , (in particolare, dunque, M ∈ R). Apf+
0
e ∈ ∂f (a) tale
plicando il Lemma 357 con m := f+ (a, v) si ottiene l'esistenza di ϕ
0
e (v) = f 0 (a, v)
che ϕ
e (v) = f+ (a, v), pertanto le disuguaglianze f 0 (a, v) ≥ M ≥ ϕ
sono uguaglianze ed il massimo viene assunto (in ϕ
e). Procedendo in modo
0
completamente analogo si dimostra che f− (a, v) = min {ϕ (v) | ϕ ∈ ∂f (a) }.
Dimostrazione. Sia
per il risultato precedente
Denizione 370 (Operatore monotono). Sia
E ⊂ X . Un operatore multivoco
∗
T : E → 2X si dice monotono se per ogni x, y ∈ E , per ogni ϕ ∈ T (x) e per
ogni ψ ∈ T (y), si ha (ϕ − ψ) (x − y) ≥ 0.
Osservazione 371. Per un operatore univoco
T : E ⊂ R → R (= R∗ )
la deni-
zione precedente si riduce all'usuale monotonia. Il risultato seguente generalizza
dunque il fatto che su
R
la derivata di una funzione convessa derivabile sia mo-
f : R → R aermare che per ogni x, y ∈ R,
(f 0 (x) − f 0 (y)) (x − y) ≥ 0 equivale ad aermare che le dierenze nella formula
notona non decrescente. Infatti per
abbiano lo stesso segno.
Proposizione 372 (Monotonia di ∂f ). La mappa subdierenziale
∂f : A → 2X
∗
è un operatore monotono.
Dimostrazione. Siano
x, y ∈ A, ϕ ∈ ∂f (x)
e
ψ ∈ ∂f (y).
subdierenziale
f (x) − f (y) ≤
ϕ (x − y) ,
f (y) − f (x) ≤
ψ (y − x) .
Per denizione di
8.2 Subdierenziale
113
Sommando membro a membro la prime e la seconda disuguaglianza si ha la
tesi.
Corollario 373.
f
a
è G-dierenziabile in
se e solo se
Card (∂f (a)) = 1.
Dimostrazione.
⇐)
0
0
f+
(a, ·) = f−
(a, ·) ma
f in a.
Per ipotesi
per il Corollario 346 questo equivale
alla G-dierenziabilità di
⇒)
Si dimostra la contronominale.
che
0
0
f−
(a, v) < f+
(a, v),
dunque
Se
f
Card (∂f (a)) > 1,
Denizione 374 (Funzione multivoca semicontinua). Siano
spazi topologici e
g : T → 2S .
v ∈ X
a.
tale
(T, τ ), (S, σ)
due
esiste
non è G-dierenziabile in
Si dice che
• g è (τ − σ)-superiormente semicontinua se per ogni x ∈ T e per ogni
W ⊂ S tale che W è σ -aperto e g (x) ⊂ W esiste U ∈ U (x) tale che
g (U ) ⊂ W ;
• g è (τ − σ)-inferiormente semicontinua se per ogni x ∈ T e per ogni
W ⊂ S tale che W è σ -aperto e g (x) ⊂ W esiste U ∈ U (x) tale che
g (U ) ∩ W 6= ∅.
Osservazione 375. Per funzioni univoche la semicontinuità superiore equivale
alla continuità.
Teorema 376. La mappa subdierenziale
∂f : A → 2X
∗
è
(k·k − w∗ )-superior-
mente semicontinua.
a ∈ A e di W ⊂ X ∗
che per ogni r > 0 esista x ∈ Br (a)
successione {xn }n∈N ⊂ A tale che
Dimostrazione. Si supponga per assurdo l'esistenza di
∗
insieme
tale che
k·k
xn → a
w -aperto e contenente ∂f (a) tali
∂f (x) 6⊂ W . Allora esiste una
n ∈ N esiste ϕn ∈ ∂f (xn ) \ W . Per il Corollario 362, la
{ϕn }n∈N è limitata in X ∗ . Poiché le bolle chiuse nei duali sono
w∗ -compatte, esistono una sottorete (ϕnα )α∈I di {ϕn }n∈N e un elemento ϕ0 ∈
e per ogni
successione
X∗ \ W
tali che
w∗
ϕnα → ϕ0
provare la contraddizione si
di subdierenziale, per ogni
{ϕn }n∈N ⊂ X ∗ \ W , che è w∗ -chiuso). Per
dimostrerà che ϕ0 ∈ W . Applicando la denizione
y ∈ A, per ogni n ∈ N e per ogni α ∈ I si ottiene
(infatti
f (y) ≥ f (xnα ) + ϕnα (y − xnα ) .
Applicando la Proposizione 487 di pagina 141 è possibile passare al limite nella
disuguaglianza precedente, ottenendo, per ogni
da cui
ϕ0 ∈ ∂f (a) ⊂ W .
Corollario 377. Se
con
k·k
xn → a
f
e per ogni
y ∈ A, f (y) ≥ f (a)+ϕ0 (y − a),
Assurdo.
è G-dierenziabile in
n ∈ N, ϕn ∈ ∂f (xn ),
a
con
allora
f 0 (a, ·) = ϕ, {xn }n∈N ⊂ A
w∗
ϕn → ϕ.
8.2 Subdierenziale
114
Osservazione 378. Il corollario precedente mostra una sorta di continuità della
mappa dierenziale.
Esercizio 379. Si dimostri il corollario precedente.
w∗ -aperto. Si vuole dimostrare che
{ϕn }n∈N è denitivametne contenuta in W . Dalla semicontinuità superiore della mappa dierenziale segue l'esistenza di r > 0 tale che ∂f (Br (a)) ⊂ W . Poiché {xn }n∈N è denitivamente contenuta in Br (a), {ϕn }n∈N è denitivamente
contenuta in ∂f (Br (a)), a sua volta incluso in W .
Svolgimento. Sia
W ∈ U (ϕ)
un intorno
Denizione 380 (Oscillazione). Si denisce oscillazione di
f
in
a
il numero
reale non negativo
osc (f, a) := inf (diam (∂f (Bδ (a)))) .
δ>0
Esercizio 381. Si dimostri che
osc (f, a) < +∞
e che
inf (diam (∂f (Bδ (a)))) = lim (diam (∂f (Bδ (a)))) .
δ→0+
δ>0
Teorema 382 (Caratterizzazione della F-dierenziabilità). Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
1.
f
è F-dierenziabile in
2. esiste
ϕ ∈ X∗
tale che
a;
∂f (a) = {ϕ}
e vale l'implicazione
k·k
k·k
{xn }n∈N ⊂ A, xn → a, ∀n ∈ N, ϕn ∈ ∂f (xn ) =⇒ ϕn →∗ ϕ ;
3.
osc (f, a) = 0.
Dimostrazione. Per la dimostrazione di
2. ⇒ 1.)
2. ⇔ 3.
si veda l'esercizio successivo.
{hn }n∈N ⊂ X \ {0} tale che hn → 0. Per ogni n ∈ N, sia ϕn ∈
∂f (a + hn ). Per denizione di subdierenziale e per ipotesi, se n → +∞
Sia
si ha
0 ≤
≤
1. ⇒ 2.)
f è
∂f (a) = {ϕ}.
v → 0,
Per ipotesi
ϕn (hn ) − ϕ (hn )
f (a + hn ) − f (a) − ϕ (hn )
≤
khn k
khn k
kϕn − ϕk khn k
→ 0.
khn k
anche G-dierenziabile, dunque esiste
Dalla F-dierenziabilità di
ε (v) :=
f
in
a
ϕ ∈ X∗
tale che
segue inoltre che per
f (a + v) − f (a) − ϕ (v)
→ 0.
kvk
8.2 Subdierenziale
Essendo
f
115
r, L > 0 tale che Br (a) ⊂ A e f sia L{hn }n∈N tale che {a + hn }n∈N ⊂ Br (a) e
convessa, esistono
lipschitziana su
Br (a).
Sia
k·k
a + hn → a. Per ogni n ∈ N
tale che a + v ∈ A, si ha
sia inoltre
ϕn ∈ ∂f (a + hn ).
Per ogni
v∈X
(ϕn − ϕ) (v)
= ϕn ((a + v) − (a + hn )) + ϕn (hn ) − ϕ (v)
[per
denizione di subdierenziale e di
ε (v)]
≤ f (a + v) − f (a + hn ) + ϕn (hn ) + ε (v) kvk − f (a + v) + f (a)
= f (a) − f (a + hn ) + ϕn (hn ) + ε (v) kvk
≤ L khn k + ϕn (hn ) + ε (v) kvk
≤ L khn k + kϕn k khn k + ε (v) kvk
| {z }
≤L
≤ 2L khn k + ε (v) kvk .
Per ogni
ρ ∈ (0, r)
kϕn − ϕk∗
si ha pertanto
sup ((ϕn − ϕ) (v)) =
=
kvk=1
1
sup ((ϕn − ϕ) (ρv))
ρ kvk=1
[a + ρv ∈ A]
1
≤
sup (2L khn k + ε (ρv) ρ)
ρ kvk=1
=
1
2L khn k + sup (ε (v))
ρ
kvk=ρ
da cui si conclude
ρ→0+
lim sup kϕn − ϕk∗ ≤ sup ε (v) −→ 0.
n→+∞
kvk=ρ
Esercizio 383. Si dimostri l'equivalenza
(Suggerimento: per l'implicazione
3. ⇒ 2.
2. ⇔ 3.
nel Teorema precedente.
si sfrutti la completezza degli spazi
duali.)
Osservazione 384. La prima parte del punto 2. equivale alla G-dierenziabilità
di
f
in
a.
La seconda parte è il raorzamento della continuità del die-
renziale vista nel Corollario 377 per punti di G-dierenziabilità.
Con questa
ulteriore proprietà si riempie esattamente il divario tra G-dierenziabilità e
F-dierenziabilità.
Corollario 385. Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
1. f è G-dierenziabile in
A
con
f 0 : A → X∗
continua;
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
2.
f
3.
f ∈ C 1 (A).
è F-dierenziabile in
116
A;
Osservazione 386. È possibile dimostrare un risultato analogo al precedente
anche per altre classi di funzioni. Il risultato che segue, invece, è precipuo delle
funzioni convesse.
X = Rd
f ∈ C (A).
Corollario 387. Se
e in ogni punto di
A
esistono tutte le derivate
1
parziali, allora
Osservazione 388. Il seguente risultato mostra come il subdierenziale goda
di proprietà simili a quelle del dierenziale studiato nell'analisi classica.
Fatto 389 (Calcolo subdierenziale). Siano
aperto e convesso,
1.
a∈A
e
X uno spazio normato, A ⊂ X
f, g, f1 , . . . , fn : A → R convesse e continue. Allora
∂ (f + g) (a) = ∂f (a) + ∂g (a);
h : X → R, x 7→ max {f1 (x) , . . . , fn (x)} e l'insieme
I (a) := {i ∈ {1, . . . , n} | fi (a) = h (a) }, si ha


[
∂h (a) = conv 
∂fi (a) ;
2. denendo la funzione
i∈I(a)
3. se
I⊂R
è un intervallo aperto,
decrescente, si ha
h := ϕ ◦ f
f: A → I
e
ϕ: I → R
è convessa e non
convessa e continua e vale
∂h (a) = ∂ϕ (f (a)) · ∂f (a) .
8.3
Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
Denizione 390 (Insiemi piccoli e
S ⊂ 2X .
Se
S
σ -ideali).
1. per ogni
A ∈ S,
2. per ogni
{An }n∈N ⊂ S ,
3. per ogni
A ∈ S,
per ogni
4. per ogni
G⊂X
aperto non vuoto, si ha
si dice che
S
X
Siano
uno spazio normato e
soddisfa le seguenti condizioni
per ogni
B ⊂ A,
S
si ha
si ha
n∈N
v ∈ X,
B ∈ S;
An ∈ S ;
si ha
A + v ∈ S;
G∈
/ S;
è una famiglia di insiemi piccoli. Se
tre condizioni, si dice che
S
è un
Esempio 391 (Insiemi piccoli). Sia
1. La famiglia
C := {insiemi
famiglia di insiemi piccoli.
S
soddisfa soltanto le prime
σ -ideale.
X
uno spazio normato,
X 6= {0}.
al più numerabili} dei countable sets è una
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
2. Se
X = Rd ,
la famiglia
N := {insiemi
117
di misura di Lebesgue nulla} dei
3
null sets è una famiglia di insiemi piccoli .
M := {insiemi
3. La famiglia
di I categoria di Baire} dei meager sets
disfa le prime tre condizioni. Se
di Baire,
M
X
4
sod-
è uno spazio di Banach, per il Teorema
è una famiglia di insiemi piccoli.
Osservazione 392. L'esempio precedente illustra come la nozione di famiglia di
insiemi piccoli generalizzi in modo rigoroso i concetti di insiemisticamente piccolo, piccolo per la teoria della misura e topologicamente piccolo. Un'altra
importante famiglia di insiemi piccoli è la famiglia
L degli insiemi lipschitz-small
di uno spazio normato, discussa nel seguito.
Denizione 393 (Ipersuperci lipschitziane, insiemi lipschitz-small). Sia
uno spazio normato.
esistono
X\H
H⊂X
Si dice che
X
è una ipersupercie lipschitziana se
1, un vettore v0 ∈
ψ : H → R tali che L = { u + ψ (u) v0 | v0 ∈ H}.
lipschitz-small sets, la collezione L dei sottoinsiemi di
sottospazio vettoriale chiuso di codimensione
e una funzione lipschitziana
Si denisce famiglia dei
X
L ⊂ X
che siano contenuti in unioni al più numerabili di ipersuperci lipschitziane.
Proposizione 394. Siano
X
uno spazio vettoriale topologico,
sottospazio vettoriale chiuso di codimensione
Φ: H × R
1
e
v0 ∈ X \ H .
H ⊂ X
un
Allora la mappa
→ X,
(x, t) 7→ x + tv0
è un isomorsmo di spazi vettoriali topologici.
Dimostrazione. Senza perdere in generalità (altrimenti la tesi è banale), sia
X 6= ∅.
H ha codimensione 1, Φ è un isomorsmo algebrico. Essendo la
Φ è anche continuo. Si dimostra che anche l'inversa è continua.
∗
Poiché H è un iperpiano, esiste ϕ ∈ X tale che H = ker (ϕ), dunque ϕ (v0 ) 6= 0
e poiché per ogni y ∈ X esistono (x, t) ∈ H × R tali che y = x + tv0 , a meno di
moltiplicare ϕ per la costante non nulla 1/ϕ (v0 ), si ha
Poiché
somma continua,
ϕ (y) = ϕ (x) +t ϕ (v0 ) = t.
| {z }
| {z }
=0
wlog=1
y ∈ X esiste x ∈ H tale che y = x + ϕ (x) v0 , da cui Φ−1 (y) =
(x − ϕ (x) v0 , ϕ (x)), quindi anche Φ−1 è continua.
Pertanto per ogni
3 Se dim (X) = +∞
per ogni
x∈X
e
µ boreliana, invariante per traslazioni e tale che,
0 < µ (Br (x)) < +∞. L'idea è che le bolle chiuse non siano
non esiste una misura
r>0
si abbia
compatte, dunque esiste una successione di punti aventi a due a due distanza maggiore di un
numero ssato (e.g.
(e.g
< 1/3)
1).
La famiglia delle bolle bolle centrate in quei punti e di raggi piccoli
è pertanto contenuta nella bolla originaria e se tali bolle non hanno misura nulla,
la misura dell'unione è innita.
4 Letteralmente,
insiemi magri.
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
118
Corollario 395. Siano
X uno spazio normato, H ⊂ X un iperpiano chiuso,
v0 ∈ X \H , Φ : H ×R → X , (x, t) 7→ x+tv0 e L ⊂ X . Allora L è una ipersuper−1
cie lipschitziana se e solo se Φ
(L) è il graco di una funzione lipschitziana
ψ : H → R.
Dimostrazione. Banale.
Osservazione 396. Siano
•
X
uno spazio normato.
L soddisfa le prime tre proprietà della denizione di famiglia
Chiaramente
di insiemi piccoli.
•
Poiché
Φ−1 (L)
interno vuoto.
anche
L
è il graco di una funzione lipschitziana, è chiuso e ha
Φ è un isomorsmo di spazi vettoriali topologici,
int (L) = ∅, dunque L è mai denso. Pertanto gli
I categoria. Allora, se X è uno spazio di Banach, L
Poiché
è un chiuso con
L
elementi di
sono di
è una famiglia di insiemi piccoli.
•
X = Rd , per il Teorema di Fubini L ha misura di Lebesgue d-dimensionale
nulla (informalmente, ogni retta parallela a v0 interseca L in un solo
Se
punto).
Rv0
R
graph (ψ)
L
Φ
H
•
Se
X = R,
•
Se
X = Rd ,
si ha
H
L = C.
valgono le seguenti inclusioni tra
C, N , M
ed
L,
L
M
C
Esercizio 397. Siano
ψ: E → R
N
(X, ρ) uno spazio metrico, E ⊂ X
L-lipschitziana. Si denisca
non vuoto,
una funzione
ψb : X
x
→ R,
7→ ψb (x) := inf (ψ (y) + Lρ (x, y)) .
y∈E
L>0
e
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
Si dimostri che
ψb
(è ben denita ed) è un'estensione
dimostri inoltre che se
anche
ψb è
119
X
è uno spazio normato,
E
L-lipschitziana di ψ . Si
ψ è convessa,
è convesso e
convessa.
Svolgimento. Per ipotesi, per ogni
f (z)
≤
x ∈ X,
per ogni
y, z ∈ E ,
f (y) + L kz − yk ≤ f (y) + L kz − xk + L kx − yk
⇓
f (z) − L kz − xk
≤
f (y) + L kx − yk
⇓
f (z) − L kz − xk
≤
inf (f (y) + L kx − yk) = fe(x) ,
y∈C
F := {ψ (y) + Lρ (·, y)}y∈E è una
b è L-lipschitziana.
famiglia di funzioni L-lipschitziane, per l'Esercizio 219 anche ψ
Poiché, per ogni x ∈ E , si ha
dunque
ψb è
ben denita. Poiché chiaramente
ψb (x) = inf (ψ (y) + Lρ (x, y)) ≤ ψ (x) + Lρ (x, x) ≤ ψ (y) + Lρ (x, y) ,
y∈E
| {z }
=0
passando primo ed ultimo membro all'estremo inferiore per
pertanto un'estensione di
ψ.
Si supponga inne che
X
y ∈ E , ψb
risulta
sia uno spazio normato,
E sia convesso e che ψ sia convessa. Si ssino arbitrariamente x1 , x2 ∈ X ed
ε > 0. Allora esistono y1 , y2 ∈ X tali che, se i ∈ {1, 2}, ψ (yi ) + L kxi − y1 k ≤
ψb (xi ) + ε, da cui segue, per ogni λ ∈ (0, 1),
che
ψb ((1 − λ) x1 + λx2 )
≤ ψ ((1 − λ) y1 + λy2 ) + L k(1 − λ) (x1 − y1 ) + λ (x2 − y2 )k
≤ (1 − λ) ψ (y1 ) + λψ (y2 ) + (1 − λ) L kx1 − y1 k + λL kx2 − y2 k
≤ (1 − λ) ψb (x1 ) + λψb (x2 ) + ε.
X uno spazio normato separabile, T : X → 2X
M (T ) := {x ∈ X | Card (T (x)) > 1 } ∈ L.
Teorema 398 (Zají£ek). Siano
un operatore monotono, allora
∗
X 6= {0}. Sia D ⊂ SX numez ∈ M (T ) (se M (T ) = ∅ il teorema
∗ ∗
∗
∗
è banalmente vericato). Allora esistono az , bz ∈ T (z) tali che az 6= bz . Poi∗ ∗
ché az , bz sono continui e D è denso, esiste dz ∈ D tale che (senza perdere in
∗
∗
generalità) az (dz ) < bz (dz ). Esistono allora due numeri αz , βz ∈ Q tali che
Dimostrazione. Senza perdere in generalità, sia
rabile e denso nella sfera unitaria. Si ssi
a∗z (dz ) < αz < βz < b∗z (dz ) .
mz ∈ N tale che ka∗z k ≤ mz e kb∗z k ≤ mz .
ogni α, β ∈ Q e per ogni m ∈ N, l'insieme
Esiste inoltre
d ∈ D,
per
(8.3.1)
Si denisca per ogni
E (d, α, β, m) := { y ∈ M (T ) | esistono (deniti come sopra) dy =d, αy =α, βy =β, my =m} .
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
Chiaramente
M (T ) =
S
d,α,β,m
E (d, α, β, m)
120
e l'unione è numerabile.
quindi dimostrare la tesi su uno di questi insiemi.
Basta
Si ssino arbitrariamente
(d, α, β, m) ∈ D × Q2 × N e si denisca E := E (d, α, β, m). Si ssi ora (chia∗
∗
∗
∗
ramente esiste) v ∈ X tale che v (d) > 0 e si ponga H := ker (v ). Si ha
d ∈ X \ H . Si ssino arbitrariamente x, y ∈ E . Allora esistono ux , uy ∈ H e
tx , ty ∈ R tali che x = ux + tx d e y = uy + ty d. Poiché l'operatore T è monotono,
si ha
a∗x − b∗y (x − y)
a∗x − b∗y (ux − uy ) + (tx − ty ) a∗x − b∗y (d)
≤
0
=
⇓
(tx − ty ) b∗y − a∗x (d)
| {z }
a∗x − b∗y (ux − uy )
≤
(8.3.1)
> β−α
≤
≤
∗
ax − b∗y kux − uy k
ka∗x k + b∗y kux − uy k
|
{z
}
≤2m
⇓
tx − ty
≤
⇓
|tx − ty |
≤
2m
kux − uy k
β−α
[dall'arbitrarietà di x
2m
kux − uy k .
β−α
e
y]
L'ultima disuguaglianza dimostra che per ogni h ∈ H , se ux = h = uy , allora
tx = ty , dunque x = y . Allora per ogni h ∈ H esiste al più un x0 ∈ E tale che
ux0 = h. Si deniscano dunque A := { ux0 | x0 ∈ E} ⊂ H e ψ : A → R, ux 7→
2m
tx . Si ha E = { u + ψ (u) d | u ∈ A} e la funzione ψ è β−α
-lipschitziana. Per
b : H → R estensione lipschitziana di ψ , quindi E
l'Esercizio 397 esiste pertanto ψ
n
o
è un sottinsieme dell'ipersupercie lipschitziana L =
u + ψb (u) d u ∈ H .
Osservazione 399. Questa dimostrazione (abbastanza naturale) è il tipico
esempio di come si possa spezzare un insieme in un unione numerabile di
sottoinsiemi controllando quanto i punti siano distanti tra loro.
Corollario 400. Siano
convesso e
f: A→R
X
uno spazio di normato separabile,
A⊂X
convessa. Allora
N G (f ) := {x ∈ A | f
non è G-dierenziabile in
x } ∈ L.
Dimostrazione. È suciente denire
T: X
→
∗
2X ,
(
x 7→
T (x) :=
∂f (x) , x ∈ A
0,
x ∈ X \ A.
aperto e
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
121
Osservazione 401. Il risultato precedente aerma in particolare che
è di I categoria.
N G (f )
Anché l'essere di
A ⊂ Rd
N F (f )
X
sia uno spazio di Banach.
è aperto e convesso e
N F (f ) := {x ∈ A | f
N G (f )
categoria signichi eettivamente che
sia piccolo, si assume spesso che
Corollario 402. Se
dunque
I
f: A→R
non è F-dierenziabile in
è convessa, allora
x } ∈ L,
è di I categoria ed ha misura di Lebesgue nulla.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal corollario precedente, ricordando
d
che le funzioni convesse denite in
R
sono G-dierenziabili se e solo se sono
F-dierenziabili.
Fatto 403 (Teorema di Preiss-Zají£ek). Siano
X∗
X
T: X → 2
un operatore monotono
osc (T, x) = limδ→0+ diam (T (Bδ (x))). Allora
parabile,
uno spazio normato,
e per ogni
x ∈ X
X∗
se-
si denisca
N C (T ) = {x ∈ X | osc (T, x) > 0 } ∈ M.
Corollario 404 (Importante). Siano
A⊂X
aperto e convesso e
f: A→R
N F (f ) := {x ∈ A | f
X
uno spazio normato,
X∗
separabile,
convessa e continua. Allora
non è F-dierenziabile in
x } ∈ M.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema di Preiss-Zají£ek e dal Teorema 382 sulla caratterizzazione della F-dierenziabilità.
8.3.1
Spazi di Asplund (cenni)
Denizione 405 (Spazio di Asplund). Sia
• X
X
uno spazio di Banach.
si dice spazio di Asplund se ogni funzione convessa e continua denita
su un aperto convesso di
X
è F-dierenziabile a meno di un insieme di I
categoria;
• X
si dice spazio di Asplund debole se ogni funzione convessa e continua de-
nita su un aperto convesso di
X
è G-dierenziabile a meno di un insieme
di I categoria.
Osservazione 406. Gli spazi di Asplund sono quelli per cui vare l'importante
corollario del teorema di Teorema di Preiss-Zají£ek.
Denizione 407 (Slice). Siano
non vuoto. Si dice che
di
E
S⊂E
X
uno spazio vettoriale topologico ed
è una slice di E se
S
E⊂X
è un intresezione non vuota
con un semispazio aperto.
Fatto 408. Sia
valenti:
X
uno spazio di Banach. Le seguenti aermazioni sono equi-
8.3 Dierenziabilità a meno di insiemi piccoli
1.
X
122
è uno spazio di Asplund;
2. per ogni
Y ⊂X
ε > 0
diam (S) < ε;
3. per ogni
sottospazio separabile,
e per ogni
E ⊂ X∗
Y∗
è separabile;
limitato esiste una slice
4. vale il Teorema di Radon-Nikodym per misure a valori in
S
X ∗,
di
E
ovvero per
5
∗
misure ν : Σ → X
(Ω, Σ), per ogni coppia di
µ : Σ → [0, +∞], con ν assolutamente continua rispetto a µ, esiste
∗
funzione f : Ω → X misurabile e µ-integrabile secondo Bochner tale
´
per ogni E ∈ Σ, ν (E) = E f dµ.
ogni spazio misurabile
Fatto 409. Sia
•
•
(X, k·k)
una norma F-dierenziabile su
X ammette
k·k, allora X è
una norma G-dierenziabile su
se
5 Funzioni
d'insieme
e
una
che,
uno spazio di Banach;
X ammette
k·k, allora X è
se
con
X \ {0}
ed equivalente a
X \ {0}
ed equivalente a
uno spazio di Asplund;
uno spazio di Asplund debole.
σ -additive
e nulle sull'insieme vuoto.
Capitolo 9
Appendice
9.1
Categorie e spazi di Baire
Denizione 410 (Categorie e spazi di Baire). Siano
e
X
uno spazio topologico
A ⊂ X.
1. Si dice che
A
è mai denso se
1
int A = ∅,
i.e. se non è denso in alcun
aperto non vuoto ;
2.
A
è di prima categoria (di Baire) se esiste una successione
2
{An }n∈N ⊂ X
di insiemi mai densi tali che
A=
+∞
[
An ;
n=1
3.
A
è di seconda categoria (di Baire) se
4.
X
è uno spazio di Baire se per ogni
3
A
non è di I categoria.
G⊂X
aperto non vuoto,
G
è di II
categoria .
Esercizio 411. Siano
X
Ac
1.
A
è mai denso se e solo se
2.
A
è un chiuso mai denso se e solo se
3. se
A
è mai denso e
A ⊂ X.
uno spazio topologico e
E ⊂ A,
Allora:
è denso;
Ac
allora anche
è un chiuso denso;
E
è mai denso;
4. se esiste
B⊃A
di I categoria, allora anche
5. se esiste
E⊂A
di II categoria, allora anche
A
è di I categoria;
A
è di II categoria;
1 Gli insiemi mai densi sono da interpretarsi come topologicamente piccoli.
2 Anche gli insiemi di I categoria sono da pensarsi piccoli in molti spazi topologici.
un po' l'equivalente degli insiemi di misura nulla negli spazi di misura.
3 Cioè
se tutti gli aperti non vuoti sono topologicamente grandi.
Sono
9.1 Categorie e spazi di Baire
124
Svolgimento.
1. Segue immediatamente dalla seguente identità:
c
.
(E c ) = int E
∀E ⊂ X,
2. Segue direttamente dal punto precedente.
3. Se
E ⊂ A,
4. Sia
allora
B ⊃ A
E⊂A
e conseguentemente
di I categoria.
Allora esiste una successione
si ha
An
S
B =
di insiemi mai densi tali che
An := A ∩ Bn ,
int E ⊂ int A = ∅.
n∈N Bn .
{Bn }n∈N ⊂ X
n ∈ N,
Detto per ogni
mai denso (punto precedente) e
[
A=A∩
Bn =
[
n∈N
n∈N
[
(A ∩ Bn ) =
An .
n∈N
| {z }
=B⊃A
5. Sia
E ⊂ A di II categoria.
Si supponga per assurdo che
Per il punto precedente allora
Teorema 412. Sia
X
E
A sia di I categoria.
è di I categoria. Assurdo.
spazio topologico. Le seguenti aermazioni sono equiva-
lenti:
1.
X
è di Baire;
2. per ogni
T
n∈N Gn
{Gn }n∈N ⊂ X successione
4
è densa in X .
di aperti densi in
X,
l'intersezione
Inoltre entrambe le precedenti implicano le due aermazioni equivalenti:
a.
per ogni successione di insiemi chiusi
esiste
b. X
n0 ∈ N
{Fn }n∈N ⊂ X
tali che
X=
S
n∈N
Fn ,
int (Fn0 ) 6= ∅;
tale che
è di II categoria.
Dimostrazione. Si dimostrano separatamente le varie implicazioni.
1. ⇒ 2.)
Si supponga che
X
sia di Baire.
Sia
{Gn }n∈N ⊂ X
una successione di
aperti densi. Si supponga per assurdo che
\
Gn ( X.
n∈N
Sia
H :=
T
n∈N Gn
.
H=
c
. Allora
è un aperto non vuoto e
!c
\
n∈N
4 In
H
Gn
!c
⊂
\
n∈N
Gn
=
[
c
(Gn ) .
n∈N
particolare è dunque non vuota. Questo fatto si utilizzerà spesso nel seguito.
9.1 Categorie e spazi di Baire
Per ogni
n ∈ N,
poiché
Gn
125
è un aperto denso, per l'Esercizio 411
c
n ∈ N anche H ∩ (Gn )
un chiuso mai denso. Allora per ogni
c
(Gn )
è
è mai denso.
Dunque
[
H=
n∈N
c
(H ∩ (Gn ) )
{z
}
|
mai denso
è un aperto non vuoto di I categoria. Assurdo.
2. ⇒ 1.)
Si dimostra la contronominale.
G ⊂ X
Sia
una aperto non vuoto di I
{An }n∈N ⊂ X
categoria. Esiste allora una successione di insiemi mai densi
tale che
G=
[
An .
n∈N
Per ogni
n ∈ N
S
è un aperto denso, tuttavia
n∈N Hn
si denisca l'aperto denso
!
G∩
\
Hn
\
= G∩
n∈N
An
Hn := An
c
c
.
Allora anche
!c
!
=G∩
[
An
n∈N
n∈N
!c
[
⊂ G∩
An
= G ∩ Gc = ∅.
n∈N
Assurdo.
2. ⇒ a.)
{Fn }n∈N ⊂ X
[
X=
Fn
Si dimostra la contronominale. Sia
tale che
una successione di chiusi
(9.1.1)
n∈N
e per ogni
n ∈ N, int (Fn ) = ∅.
Allora, per ogni
n ∈ N, Gn := Fnc
è un
aperto denso. Passando al complementare nella (9.1.1), si ottiene pertanto
∅ = Xc =
\
Gn .
n∈N
Assurdo
a. ⇔ b.
Si lascia la verica di questa ultima equivalenza come esercizio al lettore
interessato.
Esercizio 413. Sia
X
uno spazio di Baire.
Le seguenti aermazioni sono
equivalenti:
a.
per ogni successione di insiemi chiusi
esiste
b. X
n0 ∈ N
tale che
è di II categoria.
int (Fn0 ) 6= ∅;
{Fn }n∈N ⊂ X
tali che
X=
S
n∈N
Fn ,
9.1 Categorie e spazi di Baire
126
Svolgimento.
a. ⇒ b.)
b. ⇒ a.)
{An }n∈N ⊂ X una successione di
S
A
n∈N n . Allora X =
n∈N An , assurdo.
Per assurdo, sia
che
X=
S
insiemi mai densi tali
Dalla contronominale segue immediatamente la tesi.
Esempio 414 (II categoria
6⇒ Baire). Se X è di II categoria non è detto che X
X = [0, 1] ∪ ([2, 3] ∩ Q) con la topologia indotta da
quella euclidea su R. Allora X è di II categoria (in quanto [0, 1] lo è) ma non è
di Baire perchè l'aperto [(2, 3)] ∩ Q è di I categoria.
sia di Baire. Ad esempio sia
Esercizio 415. Sia
X
uno spazio di Baire ed
A ⊂ X
un aperto non vuoto.
Allora
1. se
E ⊂A
è mai denso in
mai denso in
2.
A
A
(con la topologia indotta da
X ),
allora
E
è
X;
(con la topologia indotta da
X)
è uno spazio di Baire.
Svolgimento.
1. Si supponga per assurdo che
X
6= ∅.
intX E
Allora esiste
U ⊂X
aperto
X
U ⊂ E . Per denizione di chiusura, dunque, U ∩ E 6= ∅.
E ⊂ A, in particolare, U ∩ A 6= ∅ e per denizione di topologia
A
X
X
indotta, U ∩ A è aperto in A. Poiché E
= E ∩ A, da U ⊂ E segue
A
U ∩ A ⊂ E , ovvero E non è mai denso in A. Assurdo.
in
X
tale che
Essendo
A un aperto non vuoto, G ⊂ A è aperto in A se e solo se G è
X . Si supponga per assurdo l'esistenza di G ⊂ A aperto in A
(dunque in X ), non vuoto, di I categoria in A. Si vuole dimostrare che G
è di I categoria in X (dunque che X non è di Baire). Sia {Fn }n∈N ⊂ A
S
una successione di insiemi mai densi in A, tali che G =
n∈N Fn . Per il
punto precedente, per ogni n ∈ N, Fn è mai denso in X , dunque G è un
aperto non vuoto di I categoria in X . Assurdo.
2. Essendo
aperto in
Denizione 416 (Spazio localmente compatto). Sia
Si dice che
U ∈ U (x)
X
è localmente compatto se per ogni
esiste un intorno
V ∈ U (x),
con
V ⊂U
X uno spazio topologico.
x ∈ X e per ogni intorno
compatto.
Teorema 417 (di Baire). Si supponga la validità di almeno una delle seguenti:
1.
X
è uno spazio metrico completo;
2.
X
è uno spazio topologico compatto di Hausdor;
9.2 Funzioni semicontinue
3.
X
127
è uno spazio topologico di Hausdor localmente compatto.
Allora
X
è uno spazio di Baire.
Esempio 418. Con il Teorema di Baire si può dimostrare che esistono (tante!)
funzioni continue mai derivabili. Con un po' di artici tecnici si dimostra che
in
C ([0, 1])
l'insieme delle funzioni in mai derivabili è di II categoria mentre
l'insieme delle funzioni derivabili in almeno un punto è soltanto di I categoria.
9.2
Funzioni semicontinue
Denizione 419 (Funzione semicontinua). Siano T uno spazio topologico,
f : T → R e x0 ∈ T . Si dice che f è inferiormente semicontinua in x0 se
per ogni t ∈ R, t < f (x0 ) esiste un intorno U ∈ U (x0 ) tale che, per ogni
x ∈ U , t < f (x) . Si dice che f è superiormente semicontinua in x0 se −f è
inferiormente semicontinua in x0 .
Esercizio 420. Siano
T uno spazio topologico, f : T → R e x0 ∈ T . Si dimostri
f è continua in x0 se e solo se f è inferiormente e superiormente semicontinua
x0 .
che
in
Denizione 421 (lim sup e
e
x0 ∈ T .
lim inf ).
Siano
T
uno spazio topologico,
f: T →R
Si deniscono
lim inf f (x)
:=
lim sup f (x)
:=
x→x0
x→x0
sup
inf
f (x) ,
inf
sup
f (x) .
U ∈U (x0 ) x∈U \{x0 }
U ∈U (x0 ) x∈U \{x0 }
Esercizio 422. Siano
che esiste il limite
T uno spazio topologico, f : T → R e x0 ∈ T . Si dimostri
limx→x0 f (x) se e solo se lim inf x→x0 f (x) = lim supx→x0 f (x).
Teorema 423. Siano
T
uno spazio topologico e
f : T → R.
Le seguenti aer-
mazioni sono equivalenti.
1.
f
è inferiormente semicontinua su
T;
2. per ogni
t ∈ R,
l'insieme
{ x ∈ T | f (x) > t}
è aperto;
3. per ogni
t ∈ R,
l'insieme
{ x ∈ T | f (x) ≤ t}
è chiuso;
4. l'epigraco
5. per ogni
epi (f ) := { (x, t) ∈ T × R | f (x) ≤ t}
x0 ∈ T
si ha
f (x0 ) ≤ lim inf f (x) .
x→x0
Dimostrazione.
è chiuso in
T × R;
9.2 Funzioni semicontinue
128
1. ⇔ 2.)
Per ogni
t ∈ R e { x ∈ T | f (x) > t} è aperto se e solo se per ogni t ∈
R e per ogni x0 ∈ { x ∈ T | f (x) > t} esiste U ∈ U (x0 ) tale che U ⊂
{ x ∈ T | f (x) > t} se e solo se per ogni t ∈ R e per ogni x0 ∈ T tali che
t < f (x0 ) esiste U ∈ U (x0 ) tale che per ogni x ∈ U si abbia t < f (x) se
e solo se per ogni x0 ∈ T f è inferiormente semicontinua in x0 .
2. ⇔ 3.)
Ovvio.
1. ⇔ 4.)
epi (f ) è chiuso in T × R se e solo se il complementare dell'epiT \ epi (f ) = { (x, t) ∈ T × R | f (x) > t} è aperto in T × R se e solo
se per ogni x ∈ T e per ogni t ∈ R tali che t < f (x) esistono U ∈ U (x) e
V ∈ U (t) tali che, per ogni x0 ∈ U e per ogni t0 ∈ V si abbia t0 < f (x0 ).
0
Quest'ultima aermazione implica in particolare (per t = t) che f sia
inferiormente semicontinua su T . Viceversa, siano f inferiormente semicontinua su T e (x, t) ∈ T × R tale che t < f (x). Sia e
t ∈ R, t < e
t < f (x).
Essendo f inferiormente semicontinua su T esiste U ∈ U (x) tale che, per
0
ogni x ∈ U si abbia e
t < f (x0 ). Detto V := t − 1, e
t ∈ U (t) si ha allora,
0
0
0
0
per ogni x ∈ U e per ogni t ∈ V , t < f (x ).
L'epigraco
graco
1. ⇒ 5.)
Sia
x0 ∈ T .
Per denizione, per ogni
lim inf f (x) =
x→x0
sup
V ∈ U (x0 )
inf
U ∈U (x0 ) x∈U \{x0 }
f (x) ≥
inf
x∈V \{x0 }
f (x) .
f inferiormente semicontinua in x0 , per ogni t ∈ R, t < f (x0 ), esiV ∈ U (x0 ) tale che, per ogni x ∈ V , t < f (x), dunque lim inf x→x0 f (x) ≥
t. Dall'arbitrarietà di t segue la tesi.
Essendo
ste
5. ⇒ 2.)
Siano
t ∈ R e x0 ∈ { x ∈ T | f (x) > t}. Si vuole dimostrare l'esistenza
U ∈ U (x0 ) tale che U ⊂ { x ∈ T | f (x) > t}. Poiché
di
un intorno
sup
inf
U ∈U (x0 ) x∈U \{x0 }
esiste un intorno
U ∈ U (x0 )
Corollario 424. Siano
ogni
α ∈ I , fα : T → R
T
f (x) = lim inf f (x) ≥ f (x0 ) > t,
x→x0
tale che
inf x∈U \{x0 } f (x) > t.
uno spazio topologico,
I
un insieme arbitrario, per
una funzione inferiormente semicontinua e
g: T
x
→ R,
7→ sup fα (x) .
α∈I
Allora
g
è inferiormente semicontinua.
Dimostrazione. Basta osservare che
epi (g)
=
{ (x, t) ∈ T × R | g (x) ≤ t}
=
{ (x, t) ∈ T × R | ∀α ∈ I, fα (x) ≤ t}
\
epi (fα ) .
=
α∈I
9.3 Teoremi di Hahn-Banach
Teorema 425 (Importante!). Siano
R
129
T
inferiormente semicontinua. Allora
uno spazio topologico compatto e
f
5
f: T →
assume il suo minimo .
α := inf f (T ) ∈ R. Se α = +∞, la tesi è banalmente
α < +∞ esiste una successione monotona strettamente decrescente {an }n∈N ⊂ R tale che, per n → +∞, an & α. Per ogni n ∈ N, sia
Fn := {x | f (x) ≤ an }. Poiché {Fn }n∈N è una successione di compatti (in
quanto chiusi inclusi in un compatto) non vuoti (in quanto per ogni n ∈ N, si h
αn > α = inf f (T )) inscatolati (in quanto per ogni n ∈ N, si ha αn > αn+1 ), si
ha
\
{ x ∈ T | f (x) = α} =
Fn 6= ∅.
Dimostrazione. Sia
vericata.
Se
n∈N
Corollario 426. Siano
T
uno spazio topologico compatto e
mente semicontinua. Allora
f
f: T →R
inferior-
è limitata inferiormente.
Dimostrazione. Segue banalmente dal teorema precedente.
9.3
Teoremi di Hahn-Banach
Teorema 427 (Hahn-Banach algebrico). Siano
X convessi, non vuoti,
ϕ ∈ X ] \ {0} tale che
con
a-int (A) 6= ∅
e
X uno spazio vettoriale, A, B ⊂
a-int (A) ∩ B = ∅. Allora esiste
sup (ϕ (A)) ≤ inf (ϕ (B)) .
Osservazione 428 (Signicato geometrico). Sia
α ∈ [sup (ϕ (A)) , inf (ϕ (B))]
H = ϕ−1 (α). Allora l'iperpiano H separa A e B . In
particolare, per ogni x ∈ a-int (A) si ha ϕ (x) < inf (ϕ (B)), infatti se non valesse
la separazione stretta ci si potrebbe muovere su punti di B senza uscire da A.
e si consideri l'iperpiano
H = ϕ−1 (α)
A
B
Figura 9.3.1: Anche se si toccano sul bordo,
5È
H
separa
A
e
B.
una versione più debole del teorema di Weiestrass. In modo analogi si dimostra che le
funzioni superiormente semicontinue assumono il massimo sui compatti. Conseguentemente
le funzioni continue denite su compatti assumono massimo e minimo.
9.3 Teoremi di Hahn-Banach
130
Esempio 429 (La convessità è necessaria). Se uno dei due insiemi non è
convesso, non esistono in generale iperpiani che separano i due insiemi.
Figura 9.3.2: Due insiemi non linearmente separabili.
Esercizio 430. Siano X uno spazio vettoriale topologico T2 localmente convesso
e
A, B ⊂ X convessi e non vuoti. Se A è compatto, B è chiuso
V ∈ U (0) aperto, convesso e tale che (A + V ) ∩ B = ∅.
e
A ∩ B 6= ∅,
esiste
A+V
A
B
Figura 9.3.3: Separazione forte
Teorema 431 (Hahn-Banach topologico). Siano
logico e
A, B ⊂ X
int (A) 6= ∅ e int (A) ∩ B = ∅,
sup (ϕ (A)) ≤ inf (ϕ (B)).
1. Se
2. Sia
X
X
uno spazio vettoriale topo-
convessi e non vuoti.
allora esiste
ϕ ∈ X ∗ \ {0}
localmente convesso e T2 , A compatto, B chiuso e A
ϕ ∈ X ∗ \ {0} tale che sup (ϕ (A)) < inf (ϕ (B)).
tale che
∩ B = ∅.
Allora esiste
Dimostrazione.
int (A) = a-int (A), dunque dal Teorema di Hahnϕ ∈ X ] \ {0} tale che sup (ϕ (A)) ≤ inf (ϕ (B)).
denso, per il Teorema 108, ϕ è continua.
1. Per il Teorema 80, si ha
Banach algebrico esiste
Poiché
ker (ϕ)
non è
V ∈ U (0) aperto, convesso e tale che
(A + V )∩B = ∅. Poiché int (A + V ) 6= ∅, (A + V ) e B si possono separare
2. Per l'esercizio precedente esiste
per il punto precedente.
9.3 Teoremi di Hahn-Banach
131
Teorema 432. Siano
X uno spazio vettoriale topologico T2 localmente convesso
A, B ⊂ X convessi, nito-dimensionali e con ri (A) ∩ ri (B) = ∅. Allora esiste
ϕ ∈ X ∗ \ {0} tale che
sup (ϕ (A)) ≤ inf (ϕ (B))
e
e
ϕ|A∪B
non è costante (i.e.
Esempio 433 (L'ipotesi
inf (ϕ (A)) < sup (ϕ (B))).
ri (A) ∩ ri (B) = ∅
è necessaria). Nonostante siano
nito-dimensionali, se i due insiemi non hanno interni relativi disgiunti il teo-
R2 B una retta ed
A = B . La separazione diventa allora banale (iperpiano separatore H = A = B )
ma ϕ|A∪B è costante.
rema precedente è falso in generale. Ad esempio, siano in
Corollario 434. Siano
con
int (C) 6= ∅
e
X
x0 ∈ ∂C .
uno spazio vettoriale topologico, C
∗
Allora esiste ϕ ∈ X \ {0} tale che
⊂ X
convesso
ϕ (x0 ) ≥ sup (ϕ (C)) .
H := ϕ−1 (x0 )
per x0 .
L'iperpiano
passante
viene detto iperpiano di supporto
x0
.
6
l'insieme
C,
H
C
Figura 9.3.4: Iperpiano di supporto
Dimostrazione. Segue direttamente dal Teorema di Hahn-Banach topologico.
Esempio 435 (Gli iperpiani di supporto non sono unici). Il corollario precedente garantisce l'esistenza di almeno un iperpiano di supporto. L'unicità è però
falsa.
Si noti infatti che nei punti angolosi gli insiemi convessi supportano
inniti iperpiani.
6 La
notazione corrette è iperpiano di supporto l'insieme
all'insieme
C .
È l'insieme
C
C ,
non iperpiano di supporto
che supporta l'iperpiano, non viceversa.
9.4 Net
132
x0
.
C
Figura 9.3.5: Iperpiano di supporto
Corollario 436. Sia
X uno spazio vettoriale topologico T2 localmente convesso,
C ⊂ X convesso e chiuso, x0 ∈ X \ C . Allora esiste ϕ ∈ X ∗ \ {0} tale che
ϕ (x0 ) > sup (ϕ (C)).
x0
.
C
Figura 9.3.6: Separazione forte di un punto da un insieme convesso chiuso
Dimostrazione. Segue direttamente dal Teorema di Hahn-Banach topologico.
9.4
Net
Osservazione 437 (Da successioni a net). Dato un insieme
è una mappa
ϕ : N → E.
E , una successione
Spesso si confonde (con un abuso di notazione) la
{xn }n∈N := {ϕ (n)}n∈N . Si
{xn }n∈N ) se esiste una mappa
ψ : N → N strettamente crescente tale che ϕ0 = ϕ ◦ ψ . Utilizzando il medesimo
abuso di notazione, si indica {nk }k∈N := {ψ (k)}k∈N e si dice che {xnk }k∈N è
una sottosuccessione di {xn }n∈N . Per denizire ed utilizzare le net si procede
in modo analogo, sfruttando gli stessi abusi di notazione ma ad N si sostituisce
successione con la sua immagine, indicandola con
dice poi che
ϕ0
è una sottosuccessione di
un insieme di indici più generale.
ϕ
(o di
9.4 Net
133
Denizione 438 (Insieme diretto). Sia
I
un insieme. Si dice che
I
è un insieme
diretto (verso l'alto) se
I
1. su
è denito un preordine (parziale)
≤
(cioè è una relazione riessiva e
transitiva),
2. per ogni
α, β ∈ I
esiste un
γ∈I
tale che
γ≥α
e
γ ≥ β.
Osservazione 439. Gli insiemi diretti sono quelli utilizzabili come insiemi di
indici.
Intuitivamente sono insiemi crescenti.
La seconda richiesta (I cre-
scente) va espressa in questo modo perché gli indici non sono in generale tutti
confrontabili tra loro.
Esempio 440. Esempi di insiemi diretti sono
S,
l'insieme delle parti di
S
(N, ≤) , (R, ≤) o per ogni insieme
(S) , ⊂).
dotato dell'inclusione(P
Esercizio 441. Siano
[a, b].
Si dimostri che
−∞ < a < b < +∞ e sia P
(P, ⊂) è un insieme diretto.
Svolgimento. L'inclusione
lunque, si ha
S⊂S
⊂
l'insieme delle partizioni di
è un preordine, infatti se
S, T, V
sono insiemi qua-
e
[S ⊂ T, T ⊂ V ] ⇒ S ⊂ V.
Inoltre l'insieme è crescente, infatti per ogni
P, Q ∈ P
è chiaro che
P ∪Q ∈ P
P, Q ⊂ P ∪ Q.
e che
Esercizio 442 (Importante). Siano
Si dimostri che la famiglia
per ogni
U, V ∈ U (x)
X uno spazio vettoriale topologico e x ∈ X .
U (x) degli intorni di x dotata della relazione denita
da
U ≤V
⇔
U ⊃V
7
è un insieme diretto .
U ∈ U (x) si ha U ≤ U , infatti U ⊃ U . Per ogni U, V, W ∈
U ≤ V e V ≤ W segue U ≤ W , infatti da U ⊃ V e V ⊃ W segue
chiaramente U ⊃ W . Dunque (U (x) , ⊃) è un preordine. Per dimostrare che
U (x) è crescente basta osservare che se U, V ∈ U (X) esistono GU ⊂ U aperto
tale che x ∈ GU e GV ⊂ V aperto tale che x ∈ GV . Poiché l'intersezione di due
aperti è ancora un aperto, GU ∩ GV ∈ U (x) e chiaramente U, V ⊃ GU ∩ GV .
Svolgimento. Per ogni
U (x),
da
Denizione 443 (Net, subnet). Siano
(qualunque). Una net in
E
I
un insieme diretto ed
è una mappa
ϕ : I → E.
E
un insieme
Una subnet di
ϕ
è una
mappa
ψ
ϕ
ϕ ◦ ψ : J −→ I −→ E,
dove
J
è un insieme diretto e
tale che per ogni
α ∈ I
esiste
ψ : J → I è una net che tende all'innito, cioè
β0 ∈ J tale che per ogni β ∈ J , β ≥ β0 si ha
ψ (β) ≥ α. Analogamente a quanto fatto per le successioni, se si denota la net
con (xα )α∈I := (ϕ (α))α∈I ⊂ X e, posto (αβ )
β∈J := (ψ (β))β∈J , si denota la
subnet con xαβ
:= xψ(β) β∈J .
β∈J
7 Si
noti che la relazione di inclusione è rigirata!
9.5 Topologie deboli
134
Osservazione 444. Ogni successione è una net.
Denizione 445 (Limite di una net). Siano
X
una net in
e
x ∈ X.
X
uno spazio topologico,
Si dice che la net tende (o converge) a
x
(xα )α∈I
x è un
(o che
limite della net) e si scrive
α∈I
xα −→ x
se per ogni
xα ∈ U .
U ∈ U (x)
esiste un
α0 ∈ I
tale che, per ogni
α ∈ I , α ≥ α0
si ha
Qualora non ci sia rischio di confusione tra gli indici, la notazione di
limite verrà semplicata in
xα → x.
Esercizio 446. Ogni subnet di una net convergente converge agli stessi limiti.
X uno spazio topologico, x ∈ X , (xα )α∈I ⊂ X una net tale
xα → x e xαβ β∈J una sua subnet. Sia U ∈ U (x). Per denizione di limite
esiste α0 ∈ I tale che, per ogni α ∈ I , α ≥ α0 , si ha xα ∈ U . Per denizione
di subnet, {αβ }
β∈J tende all'innito, ovvero per ogni α ∈ I esiste β0 ∈ J tale
che, per ogni β ∈ J , β ≥ β0 , si ha αβ ≥ α. Questo vale in particolare per α0 . Si
è dunque dunque dimostrato che esiste β0 ∈ J tale che, per ogni β ∈ J , β ≥ β0 ,
si ha αβ ≥ α0 che per la convergenza di (xα )α∈I implica xαβ ∈ U .
Svolgimento. Siano
che
Esercizio 447 (Proprietà di base delle net). Sia
X
uno spazio topologico. Si
dimostri che
T2 ⇔
1.
X
2.
A⊂X
è
ogni net ha al più un limite;
è chiuso
⇔
per ogni net
(xα )α∈I ⊂ A
e per ogni
x ∈ X,
[xα → x ⇒ x ∈ A] ;
3.
X
è compatto
⇔
ogni net in
X
ha una subnet convergente;
Y è uno spazio topologico, F : X → Y
(xα )α∈I ⊂ X e per ogni x ∈ X ,
4. se anche
è continua
⇔ per ogni net
[xα → x ⇒ F (xα ) → F (x)] .
9.5
Topologie deboli
Denizione 448 (Topologia debole
L ⊂ X]
σ (X, L)).
Siano
X
uno spazio vettoriale ed
un sottospazio vettoriale. Per ogni insieme nito
e per ogni
ε > 0,
sia
VF,ε :=
n
\
F := {f1 , . . . , fn } ⊂ L
{|fn | < ε} .
k=1
La topologia lineare generata dal sistema fondamentale di intorni dell'origine
{ VF,ε | F ⊂ L nito, ε>0} prende
da L e si indica con σ (X, L).
il nome di topologia debole su
X
determinata
9.5 Topologie deboli
135
Osservazione 449. Scritti in modo esplicito, gli aperti di
A ⊂ X tali che
x + VF,ε ⊂ A.
per ogni
x ∈ A
F ⊂ L
esistano
σ (X, L) sono insiemi
ε > 0 tali che
nito ed
⊂ RL .
Osservazione 450. A meno di un isomorsmo di spazi vettoriali, si ha X
x∈X
Infatti ogni
si può identicare con la
8
mappa
x
b : L → R,
` 7→ ` (x) .
Chiaramente
x
b ∈ L] ⊂ RL
e la mappa
su questa mappa in seguito.
x↔x
b è biunivoca e lineare.
Ritorneremo
Esercizio 451 (Proprietà di σ (X, L)). Siano X uno spazio vettoriale ed L
⊂ X]
un sottospazio vettoriale. Si dimostrino le seguenti aermazioni.
1.
σ (X, L)
è una topologia lineare localmente convessa.
2. Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
(a)
σ (X, L)
(b)
L
è
T2 ;
X (ovvero se e solo
f ∈ L tale che f (x) 6= f (y));
T
⊥
L := f ∈L ker (f ) = {0}.
separa i punti di
se per ogni
x, y ∈ X , x 6= y
esiste
(c)
3. Se
τ
è una topologia su
(a)
τ = σ (X, L);
(b)
τ
X,
le seguenti aermazioni sono equivalenti:
è la topologia più debole
τ
è la topologia lineare più debole tale che
(d)
τ
è la topologia indotta su
L ⊂ X]
L;
che renda continui gli elementi di
(c)
Esercizio 452 (Metrizzabilità di
1.
9
X
∗
(X, τ ) = L;
dalla topologia prodotto su
σ (X, L)).
Siano
X
RL .
uno spazio vettoriale ed
un sottospazio vettoriale. Si dimostrino le seguenti aermazioni.
(X, σ (X, L))
è metrizzabile se e solo se la dimensione di
X
è al più
numerabile.
2. Se
se
3. Se
X è normato e L ⊂ X ∗ è
X è nito-dimensionale.
X
è normato,
chiuso,
(BX , σ (X, L))
(X, σ (X, L))
è metrizzabile se e solo
è metrizzabile se e solo se
L
è separabile.
Denizione 453 (Bolla/sfera unitaria). Sia
indicano con
BX
(X, k·k) uno spazio normato. Si
BX := { x ∈ X | kxk ≤ 1} e con SX
= { x ∈ X | kxk = 1}.
la bolla unitaria chiusa,
la sfera unitaria chiusa,
SX := ∂BX
8 Proprio a causa di quest'identicazione, la mappa x
e viene spesso indicata con x.
9 Qui e nel seguito con più debole si intende meno ne, ovvero contenente il minor
di aperti.
numero
9.5 Topologie deboli
136
Osservazione 454. Sia
ϕ ∈ X∗
si ha
X uno spazio
supx∈BX ϕ (x) < +∞.
Denizione 455 (Norma duale). Sia
k·k : X
∗
→
ϕ 7→
normato. Per il Teorema 108, per ogni
X
uno spazio normato. La funzione
[0, +∞) ,
kϕk := sup ϕ (x)
x∈BX
prende il nome di norma duale.
Proposizione 456 (Il duale è sempre di Banach). Sia
Lo spazio vettoriale
X∗
X
uno spazio normato.
dotato della norma duale è uno spazio di Banach.
Dimostrazione. La dimostrazione che la norma duale sia una norma è una sem∗
plice verica. Sia {ϕn }n∈N ⊂ X di Cauchy. Allora, per ogni ε > 0 esiste N ∈ N
tale che, per ogni
n, m ∈ N, n ≥ N ,
ε
> kϕn − ϕm k
=
sup (ϕn (x) − ϕm (x))
x∈BX
=
sup |ϕn (x) − ϕm (x)| ,
x∈BX
ovvero la successione di funzioni
n
o
(ϕn )|B
soddisfa la condizione di Caun∈N
chy uniforme, pertanto converge uniformemente alla restrizione su BX di una
∗
funzione lineare e continua ϕ ∈ X .
X
Osservazione 457. Nel seguito si assumerà sempre che
X∗
sia dotato della
norma duale.
Proposizione 458. Sia
(X, k·k)
uno spazio normato. Allora, per ogni
x ∈ X,
kxk = max ϕ (x) .
ϕ∈BX ∗
Dimostrazione. Senza perdere in generalità, sia
ϕ ∈ BX ∗
x∈X
con
kxk = 1.
Per ogni
si ha
ϕ (x) ≤ |ϕ (x)| ≤ kϕkX ∗ kxk ,
| {z } |{z}
≤1
=1
supϕ∈BX ∗ ϕ (x) ≤ 1. Per il solito corollario del Teorema di Hahn-Banach
ψ ∈ X ∗ \ {0}, che senza perdere in generalità si può supporre
con kψkX ∗ = 1, tale che ψ (x) ≥ sup (ψ (BX )) = kψkX ∗ . Dalle disuguaglianze
precenti segue quindi che ψ assume la sua norma in x, ovvero che ψ (x) = 1.
dunque
topologico esiste
Osservazione 459 (Norma e norma duale). Siano
y∈X
e
ψ ∈ X ∗.
X
uno spazio normato,
Si noti la somiglianza nei due modi di esprimere la norme
kψkX ∗ = sup ψ (x)
x∈BX
e
kykX = max ϕ (y) .
ϕ∈BX ∗
L'importante dierenza è che nel secondo caso la norma viene assunta.
9.5 Topologie deboli
137
Proposizione 460. Sia
X
uno spazio normato. Per ogni
x
b: X∗
x ∈ X , il funzionale10
→ R,
ϕ 7→ ϕ (x)
è continuo e la mappa
X
x
→ X ∗∗ ,
7→ x
b
è un'isomertia lineare.
Dimostrazione. Per ogni
x ∈ X,
.
=kb
xkX ∗∗
sup |b
x (ϕ)| =
ϕ∈BX ∗
}|
{
sup x
b (ϕ)
z
ϕ∈BX ∗
.
=
sup ϕ (x)
ϕ∈BX ∗
= kxkX .
La linearità è una verica immediata.
Denizione 461 (Immersione canonica nel duale secondo o mappa di James).
Sia
X
uno spazio normato. La mappa
J : X → X ∗∗ ,
x 7→ x
b := [ϕ 7→ ϕ (x)]
viene detta immersione canonica di
X
X ∗∗
in
o mappa (canonica) di James.
Osservazione 462. Poiché la mappa di James è un'isometria lineare, a meno
di questa identicazione canonica (che nel seguito si darà sempre per scontata)
X
è un sottospazio (chiuso se
X
è completo) di
Denizione 463 (Spazio riessivo). Sia
è uno spazio riessivo se
X
X ∗∗ .
uno spazio normato. Si dice che
X
X = X ∗∗ .
Osservazione 464. Poiché i duali sono sempre completi, sono uno spazio di
Banach può essere riessivo.
Tutti gli spazi riesivi sono pertanto spazi di
Banach.
Denizione 465 (Topologia debole). Sia
w := σ (X, X ∗ )
X
uno spazio normato. La topologia
prende il nome di topologia debole (su
Denizione 466 (Topologia debole star). Sia
topologia
w∗ := σ (X ∗ , X)
(più precisamente,
nome di topologia debole star (su
10 Introdotto
X ∗ ).
più in generale nell'Osservazione 450.
X ).
X uno spazio normato. La
w∗ := σ (X ∗ , J (X))) prende il
9.5 Topologie deboli
Esercizio 467. Siano
138
(X, k·k)
uno spazio normato e
τk·k
la sua topologia
naturale indotta dalla norma. Si dimostrino le seguenti aermazioni.
w
∗
(X, w) = X ∗ .
1. La topologia debole
tale che
2. Si ha sempre
è una topologia lineare localmente convessa
w ⊂ τk·k e vale l'uguaglianza se e solo se X
T2
è nito-dimensionale.
w è una topologia lineare localmente convessa T2
∗
∗
(X ∗ , w∗ ) = X (più precisamente, (X ∗ , w∗ ) = J (X)).
3. La topologia debole
tale che
4. Detta
w
la topologia debole su
glianza se e solo se
X
X ∗,
C
è chiuso se e solo se
e vale l'ugua-
C
X
è
uno spazio normato e
C ⊂ X
w-chiuso.
w-chiuso, chiaramente C è chiuso. Viceversa, sia C
X \ C è w-aperto. Sia x ∈ X \ C . Allora esiste
ϕ ∈ X ∗ \ {0} tale che ϕ (x) > sup (ϕ (C)) =: σ . Allora l'insieme {ϕ > σ} è un
w-intorno di x che non interseca C .
Dimostrazione. Se
C
w∗ ⊂ w
e
è uno spazio riessivo.
Proposizione 468 (Convessità). Siano
convesso. Allora
si ha sempre
e
è
chiuso. Si vuole dimostrare che
Corollario 469. Siano
X
uno spazio normato ed
E ⊂ X.
Allora
convw (E) = conv (E) .
Fatto 470 (Compattezza). Sia
1.
BX
X
è compatta se e solo se
uno spazio normato. Allora
X
è nito-dimensionale;
2. le seguenti aermazioni sono equivalenti:
(a)
BX
(b)
X
(c)
BX
è
w-compatta,
è uno spazio riessivo,
è
w-compatta
per successioni (Teorema di Eberlein-’mulian),
∗
ϕ ∈ X assume la sua norma su BX , ovvero
kϕkX ∗ = max (ϕ (BX )) (Teorema di James);
(d) ogni
3.
BX ∗
è
w∗ -compatta
Corollario 471. Sia
1. ogni insieme
X
per ogni
(Teorema di Banach-Alaoglu).
uno spazio normato. Allora
w-chiuso
e limitato in uno spazio riessivo è
w-compatto;
2. ogni insieme convesso chiuso e limitato in uno spazio riessivo è
3. ogni insieme
w∗ -chiuso
e limitato in
Corollario 472 (Punti estremi). Sia
1.
∗
ϕ ∈ X ∗,
BX ∗ = convw (ext (BX ∗ ));
X
X∗
è compatto;
uno spazio normato. Allora
w-compatto;
9.5 Topologie deboli
139
X è riessivo
conv (ext (C));
2. se
C ⊂ X
e
è convesso, chiuso e limitato, allora
3. se
ext (BX ∗ )
4. se
ext (BX ) è nito e X è uno spazio di Banach
X non è (isometrico a) uno spazio duale.
è nito, allora
X
C =
è nito-dimensionale;
innito-dimensionale,
allora
Dimostrazione.
1. Segue direttamante dai teoremi di Krein-Milgram e di Banach-Alaoglu.
2. Segue direttamente dal corollario precedente e dall'equivalenza tra chiusura e chiusura debole.
3. Dal primo punto segue che
X
se X
BX ∗
(e quindi
X ∗)
è nito-dimensionale e in
X∗
generale
è nito-dimensionale se e solo se
Infatti
è nito dimensionale è chiaro che anche
se
X
∗
è nito dimensionale.
X∗
lo sia. Viceversa,
è nito dimensionale per quanto appena detto anche
dimensionale e
X⊂X
∗∗
X ∗∗
è nito-
.
4. Segue direttamente dal punto precedente.
Esercizio 473. Si noti che per il corollario precedente i primi tre esercizi implicano che
c0 , C ([0, 1])
e
L1 (0, 1)
non sono dei duali.
Cosa si deduce nel
quarto?
1. Si dimostri che la bolla unitaria di
c0
2. Si dimostri che la bolla unitaria di
C ([0, 1])
ha solo due punti estremi: le
L1 (0, 1)
non ha punti estremi.
funzioni costanti
1
e
non ha punti estremi.
−1.
3. Si dimostri che la bolla unitaria di
4. Si determinino i punti estremi della bolla unitaria di
`1
5. Si determinino i punti estremi della bolla unitaria di
Bc = conv (ext (Bc ))
(nonostante sia noto che
c
c
e di
`∞ .
e si dimostri che
non è nemmeno isomorfo
ad un duale).
Fatto 474 (Teorema di Goldstine). Sia
w∗ -densa
in
X
uno spazio normato. Allora
BX
X ∗∗ .
Corollario 475. Sia
X
uno spazio normato. Allora
Fatto 476 (Metrizzabilità). Sia
(BX , w)
X
X
è
w∗ -denso
uno spazio normato. Allora
è metrizzabile
⇔ X∗
è separabile
⇓6⇑
∗
(BX ∗ , w )
è metrizzabile
⇔ X
è separabile.
in
X ∗∗ .
è
9.5 Topologie deboli
Teorema 477. Siano
X
140
uno spazio di Banach,
1. Se
D
è compatto, allora
2. Se
D
è
3. Se
E
è
w-compatto,
conv (D)
allora
w∗ -compatto,
è compatto.
convw (D)
allora
D ⊂ X , E ⊂ X ∗.
è
∗
convw (E)
w-compatto.
è
w∗ -compatto.
Dimostrazione.
1. Già dimostrato nel Corollario 60.
2. Per motivi di tempo (e tutto sommato di rilevanza) si omette la dimostrazione di questo punto.
E è limitato, allora
r > 0 tale che E ⊂ rBX ∗ . Essendo BX ∗ convessa e w∗ -compatta,
∗
∗
convw (E) ⊂ rBX ∗ . Essendo convw (E) un insieme w∗ -chiuso incluso in
∗
w
∗
un insieme w -compatto, conv
(E) è a sua volta w∗ -compatto.
3. Dal principio di uniforme limitatezza di deduce che
esiste
9.5.1
Convergenza w e w ∗ di net e successioni
Denizione 478 (Convergenza debole e debole star). Sia
X
uno spazio nor-
mato.
•
Se
x∈X
della net
•
w
(xα )α∈I ⊂ X è una net, si denota con xα → x
(xα )α∈I ad x nello spazio topologico (X, w).
e
la convergenza
w∗
ϕ ∈ X ∗ e (ϕα )α∈I ⊂ X ∗ è una net, si denota con ϕα → ϕ la convergenza
∗
∗
della net (ϕα )α∈I a ϕ nello spazio topologico (X , w ).
Se
Osservazione 479. Si ricorda che se
Y è uno spazio topologico, y ∈ Y e
(yα )α∈I ⊂ Y è una net, la convergenza della net (yα )α∈I ad y nella topologia
di Y si denota con yα → y . In particolare, dunque, se Y è uno spazio normato
yα → y denota la convergenza nella topologia della norma.
Fatto 480. Sia
X
uno spazio normato.
x ∈ X e (xα )α∈I ⊂ X è una net, si ha
w
xα → x ⇐⇒ ∀ϕ ∈ X ∗ , ϕ (xα ) → ϕ (x).
1. Se
2. Se
ϕ ∈ X∗
w
e
∗
(ϕα )α∈I ⊂ X ∗
è una net, si ha
ϕα → ϕ ⇐⇒ ∀x ∈ X , ϕα (x) → ϕ (x).
Osservazione 481. Il fatto precedente aerma che le convergenze deboli equivalgono alle convergenze puntuali nei rispettivi spazi (più precisamente, indicando come di consueto con
equivale a dire che
J
l'immersione canonica di
(J (xα ))α∈I ⊂ X ∗∗
X
converge puntualmente
w
X ∗∗ , xα → x
∗
su X ).
in
9.5 Topologie deboli
141
Proposizione 482. Siano
successione. Se
w
xn → x,
X
uno spazio normato,
allora
{xn }n∈N
x∈X
e
{xn }n∈N ⊂ X
è limitata.
Dimostrazione. Segue dal principio di uniforme limitatezza. Infatti
∗∗
∗
X
è una famiglia di funzioni lineari e continue denite su
duale è uno spazio di Banach) a valori in
limitata, infatti per ogni
ϕ ∈ X∗
una
R.
X
{J (xn )}n∈N ⊂
(che essendo un
Questa famiglia è puntualmente
si ha
sup J (xn ) (ϕ) = sup ϕ (xn ) < +∞
n∈N
in quanto ϕ (xn ) → ϕ (x).
{J (xn )}n∈N uniformemente
n∈N
Dal teorema di Banach-Steinhaus segue quindi
limitata. Essendo
J
un'isometria, anche
{xn }n∈N
risulta essere limitata.
Osservazione 483. Il risultato precedente non vale per net. Infatti non è vero
in generale che, date
(yα )α∈I ⊂ R
ed
y ∈ R,
se
yα → y
allora
(yα )α∈I limitata.
y non implica
Informalmente, il fatto che la net sia denitivamente vicina ad
che a sinistra venga lasciato un numero nito di termini.
Proposizione 484. Siano
una successione. Se
w
X
uno spazio di Banach
ϕ ∈ X∗
e
∗
ϕn → ϕ,
allora
{ϕn }è
{ϕn }n∈N ⊂ X ∗
limitata.
Dimostrazione. Analoga al caso della convergenza debole.
Osservazione 485. Analogamente a quanto osservato sopra, il risultato precedente non vale per le net.
Proposizione 486. Siano
X
∗
e
(ϕα )α∈I ⊂ X
∗
. Se
X uno spazio
w
xα → x, (xα )α∈I
x ∈ X , (xα )α∈I ⊂ X , ϕ ∈
limitata, e ϕα → ϕ. Allora
normato,
è
ϕα (xα ) → ϕ (x) .
Dimostrazione. Per ogni
α∈I
|ϕα (xα ) − ϕ (x)|
≤
si ha
|ϕ (xα ) − ϕ (x)| + |ϕα (xα ) − ϕ (xα )|
= |ϕ (xα ) − ϕ (x)| + |(ϕα − ϕ) (xα )|
≤
|ϕ (xα ) − ϕ (x)| + kϕα − ϕk · kxα k .
{z
} | {z } | {z }
|
→0
Proposizione 487. Siano
X
∗
e
(ϕα )α∈I ⊂ X
∗
. Se
X
w∗
→0
uno spazio normato,
ϕα → ϕ, (ϕα )α∈I
limitata
x ∈ X , (xα )α∈I ⊂ X , ϕ ∈
è limitata e
ϕα (xα ) → ϕ (x) .
Dimostrazione. Analoga alla proposizione precedente.
xα → x,
allora
9.5 Topologie deboli
142
Esempio 488 (Le ipotesi nelle proposizioni precedenti sono necessarie). È immediato vericare che la famiglia
n
{en }n∈N ⊂ c0
denita per ogni
n ∈ N
da
en := (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) sia una cosiddetta base di Schauder per c0 , ovvero
che per ogni x := (xn )n∈N ∈ c0 esista un'unica successione (λn )n∈N ⊂ R taP
le che x =
n∈N λn en (basta prendere, per ogni n ∈ N, λn = xn ). Con
∗
{en }n∈N si verica facilmente che (c0 ) è isometrico a `1 , associando ad ogni
∗
ϕ ∈ (c0 ) l'unico (ϕn )n∈N ∈ `1 tale che, per ogni x := (xn )n∈N ∈ c0 , si abP+∞
bia ϕ (x) =
n=1 ϕn xn (chiaramente, per ogni n ∈ N, si ha ϕn = ϕ (en )). È
immediato vericare che questa sia un'isometria lineare. Si consideri l'analoga
base di Schauder
e∗n
n
{e∗n }n∈N ⊂ `1
:= (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).
di
`1 ,
denita anch'essa per ogni
n ∈ N
da
Si noti che
w
en → 0,
infatti, per ogni
ϕ := (ϕn )n∈N ∈ `1 ,
si ha
ϕ (en ) = ϕn → 0.
Analogamente
w∗
e∗n → 0,
x := (xn )n∈N ∈ c0 , si ha e∗n (x) = xn → 0. Inoltre entrambe le
∗
successioni (en )n∈N ed (en )n∈N sono limitate (da 1) nei rispettivi spazi. Tuttavia
infatti, per ogni se
e∗n (en ) 6→ 0 (0) = 0.
| {z }
≡1
Questo accade perché nessuna delle due successioni è convergente (in norma).
Indice analitico
Baricentro, 90
in dimensione nita, 85
Base
Dominio eettivo, 28
Duale
algebrico, 7
di Hamel, 34
topologico, 34
di Schauder, 142
Bolla unitaria, 135
Epigraco/epigrafo, 28
Categoria di Baire, 123
Famiglia di funzioni
Catena, 50
Caverna di Klee, 78
Centro di Chebyshev, 82
Chiusura convessa, 16
Codimensione algebrica, 7
Combinazione
localmente
equilimitata, 39
equilipschitziana, 39
puntualmente
limitata, 39
Famiglia di insiemi
ane, 8
n-stellata,
convessa, 8
centrata, 58
lineare, 8
Convergenza
65
Formula di Taylor, 99
Funzionale, 7
debole, 140
di Minkowski, 72
debole star, 140
lineare, 7
di una net, 134
continuo, 34
Funzione
Derivata
ane, 26
di Fréchet, 104
avente derivata seconda, 102
di Gâteaux, 103
c-ane, 28
direzionale
coercitiva, 76
sinistra/destra, 106
sinistra/destra, 95
Dierenziale
di Fréchet, 104
di Gâteaux, 103
concava, 28
continua
da sinistra/destra, 95
uniformemente, 32
convessa, 28
Dimensione algebrica, 6, 7
di James, 137
Distanza da un insieme, 68
di selezione, 98
Disuguaglianza
di supporto, 70
di Hermite-Hadamard, 91
Fréchet-dierenziabile, 104
di Jensen, 29
Gâteaux-dierenziabile, 103
integrale, 90
indicatrice, 66
INDICE ANALITICO
positivamente omogenea, 66
144
di Zorn, 50
propria, 28
lim inf /lim sup,
semicontinua, 127
Limite di una net, 134
127
multivoca, 113
subadditiva, 66
Mappa di James, 137
sublineare, 66
Mediana, 82
quadratica, 82
Immagine di una misura, 91
Metodo diagonale, 41
Immersione canonica nel duale secon-
Misura
do, 137
Insieme
ane, 4
concentrata in un insieme, 85
δ
di Dirac, 84
di probabilità regolare, 57
assorbente, 15
bilanciato, 31
boreliano, 84
convesso, 4
CS-convesso, 88
di Chebyshev, 77
di unicità, 77
diretto, 133
estremale, 48
limitato, 52
lineare, 4
linearmente ordinato, 50
lipschitz-small, 117
mid-point convesso, 25
piccolo, 116
precompatto, 16, 17
Net, 133
subnet, 133
Norma duale, 136
Operatore monotono, 112
Oscillazione, 114
Preordine, 133
Principio
del massimo di Bauer, 51
di uniforme limitatazza, 42
Proiezione metrica, 77
Punto estremo, 44
Retta, 4
prossiminale, 77
Segmento, 4
simmetrico, 35
Selezione, 98
totalmente limitato, 16, 17
Sfera unitaria, 135
Integrale di Pettis, 56
Interno
σ -algebra di Borel,
σ -ideale, 116
algebrico, 21
Slice, 121
relativo, 20
Spazio
topologico, 14
Involucro
84
normato
di Asplund, 121
ane, 6
di Asplund debole, 121
convesso, 6
riessivo, 137
lineare, 6
Iperpiano, 7
di supporto, 49, 131
Ipersupercie lipschitziana, 117
Lemma
base, 50
strettamente convesso, 80
topologico
di Baire, 123
localmente compatto, 126
vettoriale topologico, 14
localmente convesso, 18
Subdierenziale, 98, 108, 109
INDICE ANALITICO
mappa, 108
Subgradiente, 108
Teorema
alla Klee, 63
del panino, 61, 62
dell'interno relativo, 21
della trasversale comune, 60
dello spiedino, 60, 62
di Baire, 126
di Banach-Alaoglu, 138
di Banach-Steinhaus, 42
di Breen, 65
di Carathéodory, 10
di Choquet, 46, 58
di Eberlein-’mulian, 138
di Goldstine, 139
di Hahn-Banach
algebrico, 129
topologico, 130
di Helly, 60
di James, 138
di Krein-Milman, 51
integrale, 57
di Milman, 55
di Minkowski, 47
di Preiss-Zají£ek, 121
di Radon-Nikodym, 122
di Zají£ek, 119
Topologia
core, 35
debole, 137
σ (X, L),
134
debole star, 137
lineare, 14
145