DERIVATA SECONDA E CONVESSITÀ
APPUNTI PER LE LEZIONI DEL CORSO DI
ANALISI MATEMATICA I (L–Z)
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA
AEROSPAZIALE
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA
UNIVERSITÀ LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
1. Convessità di funzioni di variabile reale
Definizione 1.1. Sia f : (a, b) → R. La f si dice convessa in (a, b)
se per ogni x1 , x2 ∈ (a, b) il grafico di f sull’intervallo [x1 , x2 ] è sotto
quello della retta per i punti (x1 , f (x1 ), (x2 , f (x2 )). In altri termini, se
per ogni a < x1 < x2 < b, 0 < t < 1 vale
f (1 − t)x1 + tx2 ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) .
(1.1)
Se la (1.1) vale con la disuguaglianza stretta per ogni a < x1 < x2 < b,
0 < t < 1, la f si dice strettamente convessa.
Teorema 1.2. Sia f ∈ C 2 ((a, b)). Allora, se f 00 ≥ 0 in (a, b), la f è
ivi convessa.
Dimostrazione. Siano a < x1 < x < x2 < b. Si ha da un’applicazione
ripetuta dei teoremi fondamentali del calcolo
f (x1 ) = f (x) +
Zx1
f (s) ds = f (x) −
x
= f (x) −
Zx
0
f 0 (s) ds
x1
Zx 0
f (x) +
x1
Zs
00
f (r) dr ds
x
0
= f (x) + f (x)(x1 − x) +
Zx Zx
f 00 (r) dr ds
x1 s
0
≥ f (x) + f (x)(x1 − x) .
Si è usata nell’ultima maggiorazione anche l’ipotesi f 00 ≥ 0.
1
(1.2)
Analogamente
f (x2 ) = f (x) +
Zx2
f 0 (s) ds
x
= f (x) +
Zx2 0
f (x) +
x
Zs
00
f (r) dr ds
x
0
= f (x) + f (x)(x2 − x) +
Zx2 Zs
(1.3)
f 00 (r) dr ds
x x
0
≥ f (x) + f (x)(x2 − x) .
Fissato t ∈ (0, 1), scegliamo x = (1 − t)x1 + tx2 ; moltiplichiamo la (1.2)
per (1 − t), la (1.3) per t, e sommiamo le disuguaglianze cosı̀ ottenute.
Si ottiene
(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) ≥ f (x) + f 0 (x)[(1 − t)x1 + tx2 − x] = f (x) ,
ossia la (1.1).
2. Una dimostrazione alternativa
Lemma 2.1. Se f : (a, b) → R è derivabile in (a, b), ha un punto di
massimo locale in c ∈ (a, b), e ammette derivata seconda in c, allora
f 00 (c) ≤ 0.
Dimostrazione. Si sa per il Teorema di Fermat che f 0 (c) = 0. Se per
assurdo fosse
f 0 (x) − f 0 (c)
f 0 (x)
00
f (c) = lim
= lim
> 0,
x→c
x→c x − c
x−c
per il teorema della permanenza del segno si avrebbe
f 0 (x) > 0 ,
c < x < c+δ,
con δ > 0 opportuno. Questo però come è noto implicherebbe che f
sarebbe strettamente crescente in (c, c + δ), e quindi si avrebbe
f (x) > f (c) ,
c < x < c+δ,
contro l’ipotesi che c sia un massimo locale.
Teorema 2.2. Sia f due volte derivabile in (a, b). Allora, se f 00 ≥ 0
in (a, b), la f è ivi convessa; se f 00 > 0 in (a, b), la f è ivi strettamente
convessa.
Dimostrazione. A) Iniziamo a dimostrare l’asserto sulla stretta convessità.
2
Siano a < x1 < x2 < b. Indichiamo con s(x) la retta secante per i
punti (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )). Vogliamo dimostrare che f (x) < s(x)
per x1 < x < x2 .
Poiché, posto h = f − s, per definizione si ha
h(x1 ) = h(x2 ) = 0 ,
se esistesse un c ∈ (x1 , x2 ) con h(c) > 0, si avrebbe
max h = h(p) > 0 ,
[x1 ,x2 ]
per un opportuno p ∈ (x1 , x2 ), e per il Lemma 2.1 si avrebbe
0 ≥ h00 (p) = f 00 (p) − s00 (p) = f 00 (p) > 0 ,
(2.1)
assurdo. Se poi valesse invece h ≤ 0 in [x1 , x2 ], ma con h(p) = 0
per qualche p ∈ (x1 , x2 ), tali p sarebbero di massimo locale per h e si
cadrebbe di nuovo nella contraddizione in (2.1).
Quindi deve essere h(x) < 0 per x1 < x < x2 .
B) Sia poi f 00 ≥ 0 in (a, b), e scegliamo x1 , x2 , s come sopra. Per ogni
n ≥ 1 definiamo la funzione
1
fn (x) = f (x) + (x − x1 )(x − x2 ) ,
a < x < b.
n
Si noti che valgono per ogni n
2
fn00 (x) = f 00 (x) + > 0 ,
fn (x1 ) = f (x1 ) , fn (x2 ) = f (x2 ) .
n
Perciò la retta secante relativa a fn coincide con la s relativa a f , per
ogni n ≥ 1. Per la parte A) della dimostrazione pertanto si ha per ogni
n≥1
fn (x) < s(x) ,
x1 < x < x2 .
Applicando il teorema della permanenza del segno alla successione
{fn (x)} per x ∈ (x1 , x2 ) fissato, si ottiene quindi
f (x) = lim fn (x) ≤ s(x) ,
n→+∞
ossia la convessità di f .
3
