Esponenziali e logaritmi
(M.Simonetta Bernabei & Horst
Thaler)
La funzione esponenziale f con base a é
definita da
f(x) = ax
dove a > 0, a 1, e x é un numero reale.
Ad esempio,
f(x) = 3x e g(x) = 0.5x
sono funzioni esponenziali.
Il valore di f(x) = 3x se x = 2 é
f(2) = 32 = 9
Il valore di f(x) = 3x se x = – 2 é
f(–2) =
3–2
1
=
9
Il valore di g(x) = 0.5x se x = 4 é
g(4) = 0.54 = 0.0625
Il grafico di f(x) = ax, a > 1
y
(0, 1)
x
Il grafico di f(x) = ax, 0 < a <1
y
(0, 1)
x
Esempio. Grafico di f(x) = 2x.
x
-2
-1
0
1
2
y
f(x) (x, f(x))
¼
½
1
2
4
(-2, ¼)
(-1, ½)
(0, 1)
(1, 2)
(2, 4)
4
2
x
–2
2
Esempio: Grafico di g(x) = 2-x.
y
Il grafico si ottiene
riflettendo il grafico
precedente rispetto
all’ asse delle y.
f(x) = 2x
4
x
–2
2
Proprietà delle potenze con esponente
reale
Le proprietà delle potenze con esponente
reale sono le stesse delle potenze con
esponente intero:
Dati x, y R, a, b R, a,b>0
• a x a y = a x +y a x: a y = a x - y
• a-x = 1 / a x
a 0= 1
• (a:b) x = a x: b x (ab) x= a x b x
• (a x) y = a x y.
Logaritmi
Per x 0 e 0 a 1,
y = loga x se e solo se x = a y.
Il valore y é chiamato logaritmo con base a.
Ogni equazione del logaritmo ha un’ equivalente equazione
esponenziale:
y = loga x é equivalente a x = a y
E’ da notare che il logaritmo ha sempre come
argomento un numero positivo!
Esempio: Scrivere la corrispondente equazione
esponenziale e risolverla.
Equazione
logaritmica
Equivalente
equazione
esponenziale
y = log216
1
y = log2( )
2
y = log416
16 = 2y
1
= 2y
2
16 = 4y
y = log51
1=5y
Soluzione
16 = 24 y = 4
1
= 2-1 y = –1
2
16 = 42 y = 2
1 = 50 y = 0
Proprietà dei logaritmi
1. loga 1 = 0 qualunque sia a>0, con a diverso
da 1, perché a0 = 1.
2. loga a = 1 perché a1 = a.
3. loga ax = x e alogax = x
4. Se loga x = loga y, allora x = y, con x e y>0.
5. loga (b c) = loga b + loga c, con b,c>0.
6. log 𝑎 𝑝 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 𝑝, 𝑐𝑜𝑛 𝑝 > 0
Proprietà dei logaritmi
7.
1
log 𝑎
𝑝
= − log 𝑎 𝑝
8. loga (b/c) = loga b - loga c.
9. loga (x) = logb x / logb a. Formula
del cambiamento di base
10. loga (b) = 1 / logb a.
11. log1/a (b) = - loga b.
Esempi: trovare il valore di x :
log6 6 = x
log6 6 = 1 proprietà 2 x = 1
Semplificare: log3 35
log3 35 = 5 proprietà 3
Semplificare: 7log79
7log79 = 9 proprietà 3
Esempio
• Applicando le proprietà dei logaritmi,
semplificare la seguente espressione:
24
𝑎 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎
=
3
𝑏2 𝑎4
24
23 4
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏 𝑎 ) =
2
4
2
3
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎4 =
1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 4
4
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎3
= 2 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 +
− 2𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 −
1
4
= 2 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 2𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 =
4
3
7
2
= − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 +
4
3
=
y
Grafico di loga x con
base a>1
y = loga x
x
(1, 0)
y
y = loga x
Grafico di loga x con
base 0<a<1
x
(1, 0)
Esercizi
Semplificare le seguenti espressioni applicando le
proprietà dei logaritmi:
1. 𝑙𝑜𝑔3
2. 𝑙𝑜𝑔1
32 2
2
3
32
1 44
2
2
1 3
2
2
3. 𝑙𝑜𝑔4
4
1
[ − 𝑙𝑜𝑔3 2]
3
2
4
42 5
53 4 3
9
[ ]
4
1
11
[ − 𝑙𝑜𝑔4 5]
2
4
Equazioni esponenziali
• Un’ equazione esponenziale è una equazione
in cui l’ incognita compare all’ esponente.
• Per risolvere un’ equazione esponenziale
applicando le proprietà delle potenze ci si
riconduce, se possibile, alla forma
𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥)
che è equivalente all’ equazione
𝑓 𝑥 = g(𝑥)
Esempio
•
•
•
•
•
42𝑥+1 = 8
22(2𝑥+1) = 23
2 2𝑥 + 1 = 3
4𝑥 + 2 = 3
4𝑥 = 1
• 𝑥=
1
4
Esempio
•
•
•
•
3𝑥−1 = 5
𝑙𝑜𝑔3 3𝑥−1 = 𝑙𝑜𝑔3 5
𝑥 − 1 = 𝑙𝑜𝑔3 5
𝑥 = 1 + 𝑙𝑜𝑔3 5
Esempio
• 5 3𝑥 = 4 6𝑥
• applicando il logaritmo a entrambi i membri
(ad esempio di base 10)
• log (5 3𝑥 ) = log( 4 6𝑥 )
• log 5 + 𝑥 log 3 = log 4 + 𝑥 log 6
• 𝑥 (log 3 − log 6) = log 4 − log 5
• 𝑥=
log 4−log 5
log 3−log 6
=
log 4−log 5
− log 2
Esempio
•
•
•
•
•
•
•
•
5 3𝑥 = 4 6𝑥
5 3𝑥 = 4 (2 ∙ 3)𝑥
5 3𝑥 = 4 2𝑥 ∙ 3𝑥
5 = 4 2𝑥
5 = 2𝑥+2
𝑙𝑜𝑔2 5 = 𝑙𝑜𝑔2 2𝑥+2
𝑙𝑜𝑔2 5 = 𝑥 + 2
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 5 − 2
Equazioni logaritmiche
• Un’ equazione logaritmica è una equazione in
cui l’ incognita compare come argomento del
logaritmo.
• Per risolvere un’ equazione logaritmica
applicando le proprietà dei logaritmi ci si
riconduce, se possibile, alla forma
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥)
con 𝑎≠ 1, da cui si ottiene l’ equazione
𝑓 𝑥 = g(𝑥)
che in generale non è equivalente a quella
sopra.
Equazioni logaritmiche
• Infatti si deve tener conto della condizione di
positività degli argomenti dei logaritmi.
• Esempio:
log 𝑥 − 1 + log 2𝑥 − 1 = 2 log 𝑥 + 1
• Dalle proprietà dei logaritmi segue che
• 𝑥 − 1 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 1 2
• 2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
• 𝑥 2 − 5𝑥 = 0
• 𝑥 = 0 oppure 𝑥 = 5
• Sostituendo la prima soluzione 𝑥 = 0 nell’
equazione di partenza si ottiene
log −1 + log −1 = 2 log 1
• Poiché il logaritmo esiste solo per argomenti
positivi non possiamo accettare tale soluzione.
• Sostituendo la seconda soluzione 𝑥 = 5 nell’
equazione di partenza si ottiene
log 4 + log 9 = 2 log 6
log 36 = log(36)
• La soluzione 𝑥 = 5 è da accettare.
Disequazioni esponenziali
• Le disequazioni esponenziali sono riconducibili
alla forma
𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) oppure 𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 𝑔(𝑥)
dove 𝑎 > 0 e diverso da 1.
• Se 𝑎 > 1, le disequazioni sono equivalenti,
rispettivamente, alle seguenti:
𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥) oppure 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ;
• Se 0 < 𝑎 < 1, le disequazioni sono
equivalenti, rispettivamente, alle seguenti:
𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥) oppure 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 .
Esempio
• Risolvere la disequazione:
23𝑥−1 > 43𝑥 ⇒
23𝑥−1 > 22 3𝑥 ⇒
23𝑥−1 > 26𝑥 ⇒
3𝑥 − 1 > 6𝑥 ⇒
3𝑥 − 6𝑥 > 1 ⇒
−3𝑥 > 1 ⇒
1
𝑥<−
3
Esempio
• Risolvere la disequazione:
2 4𝑥+5
9
> ⇒
3
4
2 4𝑥+5
2 −2
>
⇒
3
3
4𝑥 + 5 < −2 ⇒
4𝑥 < −7 ⇒
𝑥<
7
−
4
Esempio
• Risolvere la disequazione:
42𝑥−1 > 53𝑥+1 ⇒
𝑙𝑜𝑔4 42𝑥−1 > 𝑙𝑜𝑔4 53𝑥+1 ⇒
2𝑥 − 1 𝑙𝑜𝑔4 4 > 3𝑥 + 1 𝑙𝑜𝑔4 5 ⇒
2𝑥 − 1 > 3𝑥𝑙𝑜𝑔4 5 + 𝑙𝑜𝑔4 5⇒
𝑥(2 −3 𝑙𝑜𝑔4 5) > 𝑙𝑜𝑔4 5 + 1 ⇒
𝑙𝑜𝑔4 5 + 1
𝑥<
2 −3 𝑙𝑜𝑔4 5
Disequazioni logaritmiche
• Le disequazioni logarithmiche sono
riconducibili alla forma
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥)
oppure
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥)
dove 𝑎 > 0 e diverso da 1.
• Se 𝑎 > 1, le disequazioni sono equivalenti,
rispettivamente, ai seguenti sistemi che
tengono conto delle condizioni di realtà delle
radici:
𝑓 𝑥 >0
𝑓 𝑥 >0
𝑔 𝑥 > 0 oppure
𝑔 𝑥 >0
𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥)
• Se 0 < 𝑎 < 1, le disequazioni sono
equivalenti, rispettivamente, ai seguenti
sistemi che tengono conto delle condizioni di
realtà delle radici:
𝑓 𝑥 >0
𝑓 𝑥 >0
𝑔 𝑥 > 0 oppure
𝑔 𝑥 >0
𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)
Esempio
• Risolvere la seguente disequazione
𝑙𝑜𝑔3 (3𝑥 − 5) ≤ 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 − 3)
• La disequazione è equivalente al sistema:
3𝑥 − 5 > 0
2𝑥 − 3 > 0 ⇒
3𝑥 − 5 ≤ 2𝑥 − 3
𝑥>
𝑥> ⇒
𝑥≤2
3/2
I dis.
II dis.
III dis.
5
3
3
2
5/3
5
3
<𝑥≤2
2
Esempio
• Risolvere la seguente disequazione
𝑙𝑜𝑔1 (2𝑥 − 7) ≥ 𝑙𝑜𝑔1 (4𝑥 + 3)
2
2
• La disequazione è equivalente al sistema:
7
2
𝑥>
2𝑥 − 7 > 0
7
3
4𝑥 + 3 > 0 ⇒ 𝑥 > − ⇒ 𝑥 > 2
4
2𝑥 − 7 ≤ 4𝑥+3
𝑥 ≥ −5
-5
I dis.
II dis.
III dis.
-3/4
7/2
Esercizi
1. Semplificare le seguenti espressioni, applicando
le proprietà dei logaritmi:
a) log 2 64 = log 2 26 = 6
b) log 5 15
c)
1
log 3
27
= log 3 3−3 = −3
2. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali
a) 3𝑥+1 > 27
b)
c)
1
2
<
2𝑥+1
2
2𝑥
1
>
2𝑥 +3𝑥
2
[𝑥 > 2]
[𝑥 >
1
− ]
2
[𝑥 < 0]
3. Risolvere le seguenti disequazioni
logaritmiche:
a) log 3 (𝑥 2 −7𝑥 + 11) < 0 [𝑥 < 2 o 𝑥 > 5]
4
b) log (2𝑥 − 5) + log (3𝑥 + 1) ≤ 1
c) log 5 𝑥 − 3 > log 5 2𝑥 + 1
5
[
2
< 𝑥 ≤ 3]
[impossibile]
