Limiti notevoli

4 Continuità di una funzione e
limiti notevoli
M.Simonetta Bernabei & Horst
Thaler
Continuità
Una funzione f é continua nel punto di
accumulazione x = a appartenente al dominio
𝐷(𝑓) se
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
cioè se le seguenti condizioni
sono soddisfatte:
1. 𝑓(𝑎) é definita
2. ∃ lim 𝑓 𝑥 ,
𝑥→𝑎
cioè esiste
lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
3. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
f(a)
a
La funzione non è continua!
Condizione di continuità in forma
più compatta
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
f(a)
La funzione è continua!
a
Esempi
1.
Studiare i punti di continuità delle seguenti
funzioni:
f ( x)  x  2
E’ continua ovunque
lim( x  2)  a  2
x a
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
x 9
g ( x) 
x3
2
2.
Continua in tutti punti del
suo dominio. Nel punto
x  3
𝑔(−3) non é definita
4
2
6
-6
4
-4
-2
2
-2
2
-4
-6
-4
-2
2
-2
4
-8
-10
4
3. ℎ 𝑥 =
𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 > 1
1
𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
lim h( x)  1 e
x 1
lim h( x)  3
x 1
Quindi h non é continua in
x=1.
h é continua in ogni altro punto
−1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
4. 𝐹 𝑥 =
1
𝑠𝑒 𝑥 > 0
lim F ( x)  1 e lim F ( x)  1
x 0
x 0

Così F non é continua
in x  0.
F é continua in ogni altro punto
Teoremi sulla continuità





La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é continua.
La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é continua.
La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 é continua.
La funzione 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 é continua.
La funzione potenza 𝑥 𝑝 dove 𝑥 > 0 e 𝑝 é
un numero razionale é una funzione
continua.
Teoremi sulla continuità
Se le funzioni 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 sono continue
in 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔), allora si ha che anche
le funzioni
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ⇒
lim ( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔(𝑥))

𝑥→𝑎


𝑥→𝑎
= 𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎) = (𝑓 + 𝑔)(𝑎)
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥) con 𝑔 𝑎 ≠ 0
sono continue in 𝑎.
𝑥→𝑎
Esempi di funzioni continue
Un funzione polinomiale
𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
é continua in ogni punto x.
Una funzione razionale é continua in ogni punto x del
suo dominio,
R( x)  p ( x)
q ( x)
dove p(x) e q(x) sono polinomi, cioè dove q(x)≠0.
Proprietà delle funzioni
continue
Teorema. Se la funzione 𝑓 ammette limite
𝑙 nel punto 𝑥0 di R e 𝑔 é una funzione
continua nel punto 𝑙, allora
lim 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Segue che:
Teorema. La composizione di due funzioni
continue é continua:
lim 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓( 𝑥0 ))
𝑥→𝑥0
Applicazioni
Grazie al teorema precedente si può
passare con il limite all’ interno dell’
argomento delle seguenti funzioni
trascendenti:
𝑥+1
lim+ log
=
𝑥→0
𝑥
𝑥+1
1
= log lim+
= log + = log ∞ = ∞
𝑥→0
𝑥
0
𝑥 2 −2𝑥+3
lim 𝑒 𝑥
𝑥→∞
=
𝑥 2 −2𝑥+3
lim
𝑥
𝑥→∞
𝑒
= 𝑒∞ = ∞
Esempi

Discutere gli eventuali punti di discontinuità
della seguente funzione:
2
𝑥
−
1
𝑠𝑒
𝑥
>
1
𝑓 𝑥 =
1 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
Si ha che
lim−(1 − 𝑥) = 0
𝑥→1
lim+ (𝑥 2 − 1) = 0
𝑥→1
𝑓 1 =1−1=0
Quindi la funzione è continua su R.
Proprietà delle funzioni continue
Teorema.L’ inversa di una funzione
continua reale di variabile reale definita su
un intervallo, se esiste, é continua.
Applicazioni
Le seguenti funzioni sono continue nel loro
dominio:
• 𝑓 𝑥 = 𝑥−2
Dominio 𝑥 ≥ 2
• 𝑓 𝑥 = log 𝑥 2 + 1
• 𝑓 𝑥 =𝑒
𝑥+1
𝑥
D=𝑅
D= 𝑥 ≠ 0
Teorema di Bolzano o degli zeri
Se f é una funzione continua in un intervallo chiuso
[a, b] e tale che il prodotto f (a)∙f (b)<0, allora esiste
almeno un valore c in (a, b) tale che f(c) = 0.
y  f ( x)
f (c) =0
f (b)
f (a)
a
c
b
Esempio
Un polinomio di grado dispari ammette almeno uno
zero. Esempio: 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5
lim 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = −∞
𝑥→−∞
lim 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = ∞
𝑥→∞
𝑓 𝑐 =0
𝑐
Teorema del valore intermedio
Se f é una funzione continua in un intervallo chiuso
[a, b] ed L é un numero tra f (a) e f (b), allora esiste
almeno un valore c in [a, b] tale che f(c) = L.
y  f ( x)
f (b)
f (c) = L
f (a)
a c
b
Teorema
Una funzione continua in un intervallo
chiuso [a,b] è limitata in [a,b] .
Teorema di Weierstrass
Una funzione continua in un intervallo
chiuso [a,b] ammette sempre un punto di
minimo e un punto di massimo.
Esercizi a
1.
2.
Studiare la continuità della seguente funzione
𝑥 + 1 per 𝑥 ≥ 0
𝑓 𝑥 =
1 − 𝑥 per 𝑥 < 0
[continua in R ]
Studiare la continuità della seguente funzione
2𝑥 + 1 per 𝑥 ≥ 1
𝑓 𝑥 =
1 − 2𝑥 per 𝑥 < 1
[discontinuità in 𝑥 = 1 ]
3.
Studiare la continuità della seguente funzione
𝑓 𝑥 =
4.
𝑥 2 −1
𝑥 2 +2𝑥+1
[continua nel dominio 𝑥 ≠ −1]
Studiare la continuità della seguente funzione
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −4
𝑥 2 −4𝑥+4
per 𝑥 ≠ 2
0
per 𝑥 = 2
[discontinuità in 𝑥 = 2]
Studiare la continuità della seguente funzione
5.
2
per 𝑥 ≠ 0
0
per 𝑥 = 0
[discontinuità in 𝑥 = 0]
Studiare la continuità della seguente funzione
𝑥 − 1 per 𝑥 ≤ 1
𝑓 𝑥 =
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 per 𝑥 > 1
𝑓 𝑥 =
6.
𝑥+1
𝑥
[continua in R ]
Esercizi b

Calcolare i seguenti limiti:





lim ln 𝑥 + 1
𝑥→0
[0]
𝑥+2
lim + l𝑜𝑔3 2
𝑥
𝑥→−2
𝑥2 −4
𝑥+1
lim 2
𝑥→−∞
lim
𝑥→−2
4−𝑥 2
𝑥+2
[−∞]
[0]
[2]
𝑥 3 −4𝑥 2 +1
lim arctan
𝑥 2 +2
𝑥→−∞
𝜋
[− ]
2
Limiti fondamentali o notevoli
sin x
lim
1
x 0
x
sin ax
lim
a
x 0
x
Grafico
Grafico quando l’ angolo tende a 0
Grafico
Dimostrazione
Si ha che
𝐵𝐷 ≤ 𝐶𝐵 ≤ 𝐸𝐶
da cui si ottiene:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ tan 𝑥
𝜋
dove 𝑥 ∈ 0,
è l’ angolo
in O.
Quindi:
2
𝑥
1
1 ≤
≤
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
⇔ cos 𝑥 ≤
≤1
𝑥
Dimostrazione
Dalla continuità delle funzioni
cos 𝑥 e 1 deriva che
lim cos 𝑥 = lim 1 = 1.
𝑥→0
𝑥→0
Dal teorema del confronto
si ha che
𝑠𝑒𝑛 𝑥
lim+
=1
𝑥→0
𝑥
Dimostrazione
Quando −𝑥 ∈
𝜋
− ,0
2
si
ottiene:
tan −𝑥 ≤ −𝑥 ≤ sin(−𝑥)
Dividendo per sin(−𝑥) e
facendo il reciproco
sin(− 𝑥)
cos(−𝑥) ≤
≤1
−𝑥
da cui
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥 ≤
≤1
𝑥
Dimostrazione
Dalla continuità delle funzioni
cos 𝑥 e 1 deriva che
lim cos 𝑥 = lim 1 = 1.
𝑥→0
𝑥→0
Dal teorema del confronto
si ha che
𝑠𝑒𝑛 𝑥
lim−
=1
𝑥→0
𝑥
Limiti notevoli per funzioni
goniometriche

Una generalizzazione del precedente
limite è il seguente
sin ax
sin ax
sin y
lim
 a lim
 a lim
a
x 0
x 0
y 0
x
ax
y
con 𝑎 ≠ 0 e 𝑦 = 𝑎𝑥
Limiti notevoli per funzioni
goniometriche
tan x
Dimostrazione:
lim
x 0
x
sin x
tan x 0
1. lim
  lim cos x 
x 0
x
0 x 0 x
sin x 1
1
 lim

 1  1
x 0
x cos x
1
F.I.
1
Limiti notevoli per funzioni
goniometriche

Una generalizzazione del precedente
limite è il seguente
tan ax
lim
a
x 0
x
con 𝑎 ≠ 0.
Limiti fondamentali
x
 1
lim 1    e
x  
 x
Limiti fondamentali
Usando le tecniche di calcolo si può dimostrare
che
n
 1
lim1    e
n 
 n
Il numero irrazionale e, chiamato numero di
Nepero, dove
e  2.718281828…
.
Stima del numero di Nepero
n
1
e
2
10
2,5937425
100
2,7048138
1.000
2,7169239
10.000
2,7181459
100.000
2,7182682
1.000.000
2,7182805
Analogamente si prova che
lim 1 +
𝑥→∞
𝑥
𝑎
𝑥
𝑎
= 𝑒 per ogni 𝑎
𝑥
2
2
lim 1 +
=𝑒
𝑥→∞
𝑥
𝑥
1
1
−1
lim 1 −
=𝑒 =
𝑥→∞
𝑥
𝑒
Esercizi

Calcolare i seguenti limiti, utilizzando i
limiti notevoli:

sin 4𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
4
𝑥




lim
𝑡𝑎𝑛 3
1
3
𝑥
2𝑥
lim
𝑥→0 sin 𝑥
𝑥→0
2
lim 1 −
1 𝑥
𝑥
𝑒 −1
lim 1 +
2 3𝑥
𝑥
𝑒6
𝑥→∞
𝑥→∞