III Esperienza: 2 -­β 3 Aprile 2014 Circuiti RC ed RC in regime sinusoidale – Circuiti attenuatori passa banda Scopo dell’esperienza: studio dei circuiti CR ed RC in corrente alternata, studiandone il comportamento come filtri passa alto e passa basso, sia separatamente che in cascata. Strumentazione: n. Strumento 1 Generatore di tensione alternata 1 Multimetro digitale (Voltmetro e Amperometro) N Resistori N Capacitori 1 Oscilloscopio 1 Base a mille fori 1 Stagno N Cavi unipolari (conn. Banane) N Cavi coassiali N Fili elettrici 1 Pinzetta metallica Prima parte Figura 1: Circuito CR passa alto Consideriamo il circuito in Figura 1 dove C è un capacitore in serie con il resistore R. Il circuito è sollecitato da un generatore che fornisce un segnale sinusoidale in ingresso al quadrupolo. Utilizzando il metodo simbolico per lo studio della risposta del circuito, possiamo porre per la corrente che circola nel circuito: π!"
πΌ=
1
π
+ πππΆ
Mentre per la tensione ai capi della resistenza si ha: 1 π
π!"# =
π 1 !"
π
+ πππΆ
L’amplificazione del quadrupolo CR è data pertanto da: π!"#
π
1
π΄ = =
=
1
1
π!"
π
+ 1 + πππΆ
πππ
πΆ
Introducendo il tempo caratteristico τ= RC ed il suo inverso, pari alla pulsazione di taglio: 1
π! =
π
πΆ
l’amplificazione assume la forma: 1
1
π΄=
= π 1
1 − π !
1−π
π
ππ
Il modulo dell’attenuazione risulta pari a: !
π΄ =
!
(!!
mentre la sua fase è data da: π = atan Si osserva che: π΄ →0
π΄ →1
π→0
π → ∞ !!
!
!!
!
(1) π→
!
!
(2) π→0
π → 0 π → ∞ (3) !
π΄ →
π = π!
π→
π = π!
!
!
Il circuito è detto “passa alto” perché lascia invariate le frequenze elevate ed attenua le basse frequenze. Esprimendo il modulo dell’attenuazione in decibel, ovvero: π΄!" = 20 πππ!" π΄ si ha che: π΄ =0
π΄!" → −∞
π΄ =1
π΄!" = 0!"
1
π΄ =
π΄!" = −3!"
2
Il grafico dell’attenuazione espressa in decibel in funzione della pulsazione in scala logaritmica ha una pendenza per ω<<ωT pari a 20 db/decade. Scegliendo opportunamente i valori di R e C, montare il circuito di Figura 1, alimentandolo con segnali stazionari sinusoidali a pulsazione variabile. Misurare con l’oscilloscopio le ampiezze dei segnali in ingresso e in uscita, ovvero ai capi della resistenza e determinare il modulo dell’attenuazione in funzione della pulsazione. Rappresentare in carta lineare i valori dell’attenuazione in funzione della pulsazione e verificare che sussistono le relazioni della (3) riferite all’attenuazione. Rappresentare in carta semi-­βlogaritmica i valori dell’attenuazione espressa in decibel e determinare la pendenza della retta che passa per i valori dell’attenuazione per ω<<ωT. Infine misurare lo sfasamento tra segnale di uscita e segnale di ingresso al variare della pulsazione, riportare i dati in carta lineare (o semi-­βlogaritmica se si vuole) e verificare che sussistono le relazioni (3) per la fase. !
e 2 Figura 2. Circuito RC “passa-­βbasso”. Analogamente, la tensione ai capi della resistenza è data da: 1
1
πππΆ
π!"# =
π!" =
π 1
1 + πππ
πΆ !"
π
+ πππΆ
L’amplificazione del quadrupolo CR è data pertanto da: π!"#
1
π΄ = =
1 + πππ
πΆ π!"
che espressa in termini del tempo caratteristico τ= RC e della pulsazione di taglio: 1
π! =
π
πΆ
l’amplificazione assume la forma: 1
1
π΄=
= π 1 + πππ
1 + π π!
Il modulo dell’attenuazione risulta pari a: !
π΄ =
(!!
mentre la sua fase è data da: π = −atan Si osserva che: π΄ →1
π΄ →0
π΄ →
!
π→0
π → ∞ π = π!
!
!!
e !
!!
!
(4) (5) π→0
π → ∞ (6) π→0
!
π → −
!
!
π→−
π = π!
!
Il circuito è detto “passa basso” perché lascia invariate le basse frequenze elevate ed attenua quelle alte. Esprimendo il modulo dell’attenuazione in decibel, ovvero: π΄!" = 20 πππ!" π΄ si ha che: !
3 π΄ =0
π΄!" → 0!"
π΄ =1
π΄!" = −∞
1
π΄ =
π΄!" = −3!"
2
Il grafico dell’attenuazione espressa in decibel in funzione della pulsazione in scala logaritmica ha una pendenza per ω>>ωT pari a -­β 20 db/decade. Misurando con l’oscilloscopio le ampiezze dei segnali in ingresso e in uscita, ovvero ai capi della capacità e determinare il modulo dell’attenuazione in funzione della pulsazione. Rappresentare in carta lineare i valori dell’attenuazione in funzione della pulsazione e verificare che sussistono le relazioni della (6) riferite all’attenuazione. Rappresentare in carta semi-­βlogaritmica i valori dell’attenuazione espressa in decibel e determinare la pendenza della retta che passa per i valori dell’attenuazione per ω>>ωT. Infine misurare lo sfasamento tra segnale di uscita e segnale d’ingresso al variare della pulsazione, riportare i dati in carta lineare (o semi-­βlogaritmica se si vuole) e verificare che sussistono le relazioni (6) per la fase. Seconda parte Considerando il circuito costituito dalla cascata di un CR ed un RC, schematizzato in Figura 3 Figura 3 – CR-­βRC passa banda. Nell’ipotesi in cui la tensione ai capi della resistenza R1 è indipendente dal carico, costituito dalla serie R2C2, e se la pulsazione di taglio ω1=R1C1 del filtro passa alto è molto inferiore a quella ω2=R2C2 del filtro passa basso, il circuito si comporta come un passa-­βbanda, ovvero lascia inalterate le frequenze comprese tra ω1 ed ω2, attenuando quelle inferiori ad ω1 e superiori ad ω2. In tal caso per il modulo dell’attenuazione si può scrivere: !
!
!
!
π΄!"!!" ≅ π΄!" π΄!" =
=
(7) !
!
!
(!!
!!!
!
!
(!! !
!!
!
(!!
!
!!!
(!! !!! La condizione per la quale i due quadrupoli CR ed RC possono essere considerati indipendenti è data dalla condizione che l’impedenza z0 vista dal carico R2 in serie con C2, sia molto inferiore alla serie stessa, ovvero: 4 con ovvero: π!!!! β« Z0 !
!!
= !
!!
+ πππΆ! !!!!!
!!
da cui: =
!
!!
+ πππΆ!
e π
! +
π!!!! = π
! +
!
!"!!
!
!"!!
>> 1 π
! πΆ!
1
+
+ π ππΆ! π
! −
β« 1 π
! πΆ!
πΆ! π
!
limitandosi a considerare il contributo reale: !!
!!
+
!!
!!
β« 1 implica R2>> R1 oppure C1 >> C2. Montare il circuito di Figura 3, ponendo ben attenzione alla scelta dei componenti in modo che valgano le relazioni precedenti e la condizione: C1R1 >> C2R2. Misurare le ampiezze ingresso ed uscita del circuito e determinare il modulo dell’attenuazione in decibel, in funzione della pulsazione. Rappresentare i dati ottenuti, con i loro errori, in carta semi-­β
logaritmica e determinare le pendenze asintotiche per alte e basse frequenze. 5
