Sviluppo di Taylor
Vogliamo determinare il polinomio che “meglio”
approssima una funzione f(x) in un dato punto x0
Sia f:I→R con x0∈I
Per determinare la “miglior” approssimazione lineare,
vogliamo determinare m e q tali che la funzione errore
E1(x)=f(x) - (mx+q) sia la più piccola possibile
vicino a x0
Possiamo richiedere che E1(x) sia nulla in x0
E1(x0)=0=f(x0 )-(m x0 +q) da cui q= f(x0)- m x0 Otteniamo E1(x)=f(x)-f(x0)- m(x- x0)
Quale ordine di infinitesimo ha E1(x)?
Sviluppo di Taylor
Quale ordine di infinitesimo ha E1(x)?
limx→x E1(x)/(x- x0)= limx→x [f(x)-f(x0)- m(x- x0)]/(x0
0
x0) = f’(x0) -m
Se supponiamo che f sia derivabile in x0, questo ci dice
che E1(x) ed x- x0 sono infinitesimi dello stesso ordine,
a meno che m=f’(x0) in tal caso E1(x) è un infinitesimo
di ordine superiore a x- x0 . Quindi il valore di m che rende E1(x) il più piccolo
possibile vicino a x0 è f’(x0), per cui y= f’(x0)(x- x0)
+f(x0) è la retta che meglio approssima il grafico di f
vicino a x0.
Sviluppo di Taylor
Abbiamo mostrato che f(x)= f’(x0)(x- x0) +f(x0) +o(x- x0) , dove con o(x- x0)
indichiamo un infinitesimo di ordine superiore a (x- x0) Vogliamo ora determinare la miglior approssimazione
quadratica, dove la parte lineare del polinomio
quadratico sarà quella già trovata (perché?) E2(x)=f(x) -f(x0) -f’(x0)(x- x0)-a(x-x0)2
e vogliamo un errore che sia o((x-x0)2)
Sviluppo di Taylor
Supponiamo che f sia derivabile due volte vicino a x0 e
applichiamo L’Hôpital
limx→x E2(x)/(x-x0)2
0
= limx→x [f(x) -f(x0) -f’(x0)(x- x0)-a(x-x0)2]/(x-x0)2=
0
=limx→x [f’(x) - f’(x0) -2a(x- x0)]/2(x- x0)=(1/2)f’’(x0)-a
0
Quindi l’unico valore di a per cui E2(x) è o((x-x0)2) è
a=(1/2)f’’(x0)
Abbiamo ottenuto
f(x)= f(x0) +f’(x0)(x- x0) + (1/2)f’’(x0)(x-x0)2 + o((x-x0)2)
Sviluppo di Taylor
Continuando analogamente, otteniamo
f(x)= f(x0) +f’(x0)(x- x0) + (1/2)f’’(x0)(x-x0)2 +
(1/3!)f’’’(x0)(x-x0)3+…. + (1/n!)f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n)
E’ detto sviluppo di Taylor di f in x0 di ordine n
Pn(x)= = f(x0) +f’(x0)(x- x0) + (1/2)f’’(x0)(x-x0)2 +
(1/3!)f’’’(x0)(x-x0)3+…. + (1/n!)f(n)(x0)(x-x0)n è detto
polinomio di Taylor di f in x0 di grado n, ed è l’unico
polinomio tale che En(x)= f(x)- Pn(x) risulta un
infinitesimo di ordine superiore a (x-x0)n
Sviluppo di Taylor
Sviluppo di Taylor di f(x) =ex in x0=0
ex= 1+x+(1/2)x2+(1/3!)x3+…+(1/n!)xn+o(xn)
Sviluppo di Taylor per f(x)=sinx in x0=0
sinx= x-(1/3!)x3+(1/5!)x5-(1/7!)x7+…….+
+ [(-1)n/(2n+1)!]x2n+1+o(x2n+2)
Sviluppo di Taylor per f(x)=cosx in x0=0
cosx= 1-(1/2!)x2+(1/4!)x4-(1/6!)x6+…….+
+ [(-1)n/(2n)!]x2n+o(x2n+1)
Funzione ex
Funzione sinx
Funzione cosx
Funzione logx e funzione 1/(1-x)
Sviluppo di Taylor di f(x) = logx in x0=1
logx=(x-1)- (1/2)(x-1)2+(1/3)(x-1)3+….+((-1)n-1/n)(x-1)n
+o((x-1)n)
Sviluppo di Taylor di f(x)=1/(1-x) in x0=0
1/(1-x)=1+x+x2+….+xn+o(xn)
Sviluppo di Taylor
Si dimostra che la stima di errore che si compie
sostituendo alla funzione originale il polinomio di Taylor
in un punto x0 si può valutare nel modo seguente:
Sia f una funzione derivabile n+1 volte e sia Mn(x) il
massimo del valore assoluto della derivata (n+1)-esima f(n+1) nell’intervallo di estremi x0 e x, sia Pn(x) il
polinomio di Taylor di grado n per f in x0
|En(x)|=|f(x) - Pn(x) |≤ Mn(x) |x- x0|n+1 /(n+1)!
Stima di Lagrange Sviluppo di Taylor:approssimare e
Esempio1 Vogliamo trovare un’approssimazione alla
quarta cifra decimale della costante di Nepero e. Dallo
sviluppo di Taylor per ex , posto x=1, otteniamo:
e= 1+1+1/2+ 1/3!+…+1/n! + En(1)
Per ottenere una precisione alla quarta cifra decimale
dobbiamo determinare n tale che | En(1)|<10-5
Poiché tutte le derivate di ex sono ex, abbiamo | En(1)|≤ (e|1-0|n+1)/(n+1)! < 3/(n+1)!
Ci basta quindi trovare n tale che 3/(n+1)! < 10-5 , quindi
tale che (n+1)!>300000, poiché 8!<300000<9!, si prende
n+1 =9 e quindi n=8, da cui
e≈1+1+1/2+ 1/3!+…+1/8!=2.71827877 è corretto fino
almeno alla quarta cifra decimale
Sviluppo di Taylor: logistica
Esempio2 Si era detto che le funzioni logistiche
f(x)= a/(1+ exp(-k(x-x0)) + b
hanno un andamento approssimativamente lineare vicino
a x0, infatti |f(x)-(b+a/2 +(ak/4)(x-x0)|<0.09a
∀x∈[x1, x2], dove
x1 ed x2 sono gli unici punti in cui f(x)=b+a/2±a/4
Vale a dire che la funzione logistica, in questo intervallo,
differisce dalla lineare per meno di 1/10 della variazione
totale a
Sviluppo di Taylor: logistica
Esempio2 (continua…)
Infatti si ha f(x0)= a/2+ b
f’(x)=(kaexp(-k(x-x0))/(1+exp(-k(x-x0))2, per cui f’(x0)=
ak/4, quindi
|E1(x)|=|f(x)-(a/2+b+ak/4(x-x0)|≤M1(x)|x-x0|2/2!
Dobbiamo determinare M1(x), cioè il massimo di |f’’(x)|
nell’intervallo di estremi x0 e x∈[x1, x2], si ha
|f’’(x)|=(|a|k2y|y-1|)/(1+y)3, dove si è posto y=exp(-k(x-x0)) e si ha che per x∈[x1, x2], y∈[1/3, 3],
essendo y strettamente decrescente.
Dobbiamo trovare il max di g(y)=(y|y-1|)/(1+y)3, per
y∈[1/3, 3]
Sviluppo di Taylor: logistica
Esempio2 (continua…)
Dobbiamo trovare il max di g(y)=(y|y-1|)/(1+y)3, per
y∈[1/3, 3]; è necessario distinguere tra y∈[1/3, 1] ed
y∈[1, 3], data la presenza di |y-1|, si ha
per y∈[1/3, 1] g(y)=(y-y2)/(1+y)3 , da cui g’(y)=(1-4y+y2)/(1+y)4 che si annulla per y=2±√3, valori
esterni all’intervallo [1/3, 1] , dunque g’(y)<0 in tutto
questo intervallo, quindi g(y) è decrescente
sull’intervallo ed il suo valore massimo si ha per y=1/3
Analogamente,
nell’intervallo [1, 3], dove
g(y)= (y2-y)/(1+y)3 si ottiene g’(y)>0 e quindi g(y)
crescente, per cui il massimo si ha per y=3 e si ha
g(3)=g(1/3)=3/32
Sviluppo di Taylor: logistica
Esempio2 (continua…) Dunque ∀ x∈[x1, x2], si ha M1(x)≤ (3/32)|a|k2 e quindi
| E1(x)|≤ (3|a|/32)(k2(x-x0)2)/2
Rimane da stimare k2(x-x0)2
Abbiamo -k(x1,2-x0)=±log3 quindi k2(x1,2-x0)2=(log3)2
k2(x-x0)2 ≤ k2(x1,2-x0)2=(log3)2
Ed infine | E1(x)|≤ (3|a|/32)(k2(x-x0)2)/2≤ 3|a|(log3)2/64<0.06|a|
Stima ancora migliore di quanto inizialmente affermato
(0.09|a|)
Esercizi Facendo ricorso allo sviluppo in serie di Taylor di exp(x2) e di cosx per x0=0, calcola le loro parti principali e utilizzale per il calcolo del
limite per x che tende a 0 di (exp(x2)-1)/(1-cosx)
Calcola la parte principale di ln(1-2x) per x0=0 e utilizzala per
calcolare il limite per x che tende a 0 di x2/ln(1-2x)
Analogamente per limite per x che tende a 0 di xsinx/ln(1+x2)
Scrivi il polinomio di Taylor P di ordine 5 di sinx in 0; utilizzando una
calcolatrice, verifica che sin(0,5)=P(0,5)±10-5
