Classi di Problemi
Università degli Studi di Milano
Marco Frasca
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Classi di problemi (decisionali, di ricerca, di ottimizzazione)
●
Definizioni basate sul concetto di soluzione ammissibile:
➢
●
Diverse esigenze
➢
Contare le soluzioni ammissibili
➢
Costruire almeno una oppure tutte le soluzioni ammissibili
➢
●
una soluzione che soddisfa un certo insiemi di criteri
Trovare le soluzioni ammissibili “più grandi”, “più piccole” o
in generale “migliori”
Esempio:
●
Elencare tutti i sottoinsiemi di k elementi di un insieme S
Soluzioni
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Marco Frasca
●
Enumerazione
➢
●
Costruire almeno una soluzione
➢
●
Elencare algoritmicamente tutte le soluzioni ammissibili (spazio di
ricerca)
Si può utilizzare l'algoritmo per elencare tutte le soluzioni, fermandosi alla
prima
Contare le soluzioni
➢
In molti casi, è possibile contare in modo analitico
●
➢
Esempio: |S| = n, # sottoinsiemi di k elementi:
In altri casi, si costruiscono le soluzioni e si contano
Soluzioni Ottimali
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Marco Frasca
Trovare le soluzioni ottimali
● Diverse possibilità, dipende dalla natura del problema
●
Dove possibile uso di tecniche “efficienti”:
●
➢
Programmazione dinamica, greedy
Si costruiscono tutte le soluzioni e si valuta una funzione di costo
(“forza bruta”)
●
Lo spazio delle soluzioni deve essere finito
➢
Fattibile solo con spazi delle soluzioni discreti
➢
Solo se è l'unica strada possibile e lo spazio delle soluzioni è finito
Soluzioni Ottimali
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Marco Frasca
Inoltre esistono problemi inerentemente “complessi”, trattabili in
maniera esatta solo per taglie piccole:
➢
Problema del Commesso viaggiatore (TSP)
●
➢
Un commesso viaggiatore che deve visitare n città ritornando poi a
quella iniziale. Lo scopo è quello di minimizzare la distanza
percorsa (e quindi il costo). Quale ordine di visita scegliamo?
Problema del circuito hamiltoniano = problema del commesso
viaggiatore in cui le distanze sono unitarie
Soluzioni Ottimali
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Marco Frasca
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Se si utilizza un approccio di “forza bruta” , alcuni programmi
potrebbero non terminare!
La potenza dei computer moderni rende “affrontabili” problemi
di discrete dimensioni, ma non molto
● 10!
= 3.63 · 106
permutazioni di 10 elementi
●
●
220 = 1.05 · 106
sottoinsiemi di 20 elementi
Backtracking
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●
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L'algoritmo di backtracking è un algoritmo di forza bruta che esplora
tutto lo spazio delle soluzioni per trovare una soluzione ammissibile
o per cercare quella ottima
Ciononostante, talvolta si può evitare di tentare tutte le possibili
soluzioni in base a criteri per capire in anticipo che delle soluzioni
non possono migliorare quella attualmente calcolata
Ogni soluzione ammissibile è un assegnamento delle variabili che
deve rispettare (laddove ci siano) i vincoli del problema
Backtracking
Università degli Studi di Milano
Marco Frasca
●
●
●
Se S[v1..vk] è una soluzione ammissibile sulle prime k variabili
Ovviamente ogni variabile può assumere un numero finito di valori
Si prova un assegnamento non ancora provato per la variabile vk+1
ottenendo S[1..k+1]
➢
➢
Se la sottosoluzione è ammissibile allora continua con la variabile
successiva
Altrimenti torna indietro e prova un altro valore per la variabile vk+1
Backtracking
Università degli Studi di Milano
Marco Frasca
●
●
●
●
L'algoritmo di backtracking è inerentemente ricorsivo, ma esiste
versione iterativa
L’intero processo di ricerca in molti casi può essere descritto come la
visita di un albero in cui ogni nodo rappresenta un sotto-obiettivo
(quindi una sottosoluzione), e vi è un cammino da un sotto-obiettivo
A a un sotto-obiettivo B, se B è raggiungibile dopo aver raggiunto
A.
I figli del nodo A sono tutti e soli i sotto-obiettivi raggiungibili
direttamente (cioè cambiando il valore di una sola variabile) da A.
In genere ogni livello dell'albero corrisponde all'assegnamento di una
variabile
Backtracking
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Spazio di ricerca finito ≡ albero di decisione
Soluzioni ≡ foglie in un albero di decisione
Soluzioni parziali ≡ nodi interni dell'albero di decisione
Radice ≡ inizio del cammino
Variabili: v1 , v2 , …..., vn ∊ {a1 , a2 , …, am}
v2=a1
a1a1
v1=a1
a1
v2=a2
a1a2
v1=a2
v2=a1
a2
a2a1
v2=a2
a2a2
Backtracking
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Marco Frasca
Esempio :possibili sottoinsiemi di un
insieme S = {s1, s2, ..., sm}
vi := variabile binaria associata a si , per
i ∊ {1, 2, …, m}.
Vi = 1 se si è inserito nel sottoinsieme, 0
altrimenti.
- Sottoinsieme := stringa binaria di
lunghezza m
- I sottoinsiemi possibili sono tutte le
possibili stringhe binarie di lunghezza
m, cioè 2m.
Soluzioni ≡ foglie in un albero di
decisione
v1=1
1
v2=1
11
v3=1
101
Livello v1
v1=0
0
v2=0
10
v3=0
100
Livello v2
v2=a1
v3=1
011
v2=a2
01
00
v3=0
010
Backtracking
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Marco Frasca
Spazio di ricerca ≡ albero di
decisione
Esempio: Circuito Hamiltoniano
vi := variabile che indica la i-ma
città visitata;
v i∈{a1, a 2, , am }
Nelle foglie trovo tutti i modi di
visitare
m+1 città, anche con ripetizione
A noi ne interessano solo alcune,
quelle in cui ogni città
compare 1 volta, ecceto la
prima, due volte.
v1=a1
a1
v2=a1
............
a1a1
v1=am
................
v2=a2
a1am
............
v2=a1
am
............
ama1
............
v2=a2
amam
Backtracking
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Marco Frasca
Spesso l’albero di ricerca può essere potato: l’algoritmo usa dei criteri
(euristiche) per riconoscere in anticipo alcune delle situazioni in cui
la visita di un cammino (o di un sottoalbero) non porta ad alcuna
soluzione; ovviamente un tale cammino (o un tale sottoalbero) viene
escluso dalla ricerca.
Non appena si giunge a un nodo tale che ogni ramo cui il nodo
appartiene viene riconosciuto come ”vicolo cieco” (il sottoalbero di
cui il nodo è radice non contiene foglie soluzione), tale nodo viene
abbandonato e si risale (backtrack) nel ramo fino al nodo più
profondo che ammetta mosse non ancora esplorate: da qui la ricerca
riprende scegliendo un nuovo cammino attraverso una di queste
mosse.
Backtracking
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Marco Frasca
Esempio: Circuito Hamiltoniano
I nodi a1a1 e amam sono gìà vicoli ciechi perché ogni soluzione ammissibile
deve passare per ogni città una sola volta
v1=a1
v2=a1
a1
............
a1a1
v1=am
................
v2=a2
a1am
............
v2=a1
am
............
ama1
............
v2=a2
amam
Esercizio
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Marco Frasca
●
Scrivere un programma in MATLAB che utilizzando l'algoritmo
backtracking risolva il problema del commesso viaggiatore
semplificato,in cui cioè non bisogna tornare nella città di
partenza. Provare per n= 3, 5, 10 città. Il programma deve
restituire uno dei cammino ottimali ed il suo costo
●
Rappresentare le strade tra le città come matrice delle
connessioni W. W simmetrica ovviamente.
➢
Wij := lunghezza della strada che collega direttamente la città i e la città j
➢
Wij := -1 se non esiste collegamento diretto tra città i e j
Esercizio
Università degli Studi di Milano
Marco Frasca
1
2
2
2
1,5
3
Livello v1
Livello v2
1,5
Init = 1
N=2,3
k = 2,
Visita sottoalbero
Soluzione 2+3,5
k=3
Visita sottoalbero
Soluzione 1,5+3,5
4
v2=1
v1=2
v3=1
v3=2
v2=4
v1=3
12
2
v3=4
v3=3
v4=1
v4=2
v1=1
1
124
4
v4=4
2
v1=2
4
3
v3=1 1,513
v3=4
v3=2
v3=3
v4=1 3,5
134
v4=4
v4=2
v4=3
v4=
3
1243 5,5
v1=4
v1=3
1342 5
