"indica una"

Capitolo 2
I limiti
2.1 Concetto di limite
Data una funzione di equazione y  f (x) , dire che il limite di tale funzione è il numero reale l, per
x che tende a un numero reale x 0 equivale ad affermare che il valore di f (x) si avvicina a l man
mano che x si avvicina a x 0 . x 0 può appartenere o meno al C.E. della funzione ed l
può
appartenere o meno al codominio della funzione.
2.2 Analisi di un caso
x 2  3x  2
. Intendiamo determinarne il valore in
x 1
prossimità del punto x0  1 che non appartiene al suo C.E. A tal fine costruiamo la seguente tabella:
Si consideri la funzione di equazione y 
x
f(x)
0,9
0,99
0,999
0,9999
1,1
1,01
1,001
1,0001
-1,1
-1,01
-1,001
-1,0001
-0,9
-0,99
-0,999
-0,9999
Si vede facilmente che se approssimo per difetto e per eccesso il valore 1 la funzione tende al valore
-1. In altri termini posso concludere che al tendere di x a 1 la funzione suddetta tende a -1.
2.3 Come si calcola il limite di una funzione per x che tende ad un numero (valore finito)
Per calcolare il limite di una funzione per x che tende ad un valore x 0 si procede sostituendo tale
valore alla x ed eseguendo le operazioni richieste dall’espressione che costituisce l’equazione della
funzione. Se a seguito di tale sostituzione si ottiene un unico valore numerico, allora il limite è stato
calcolato altrimenti occorre tenere conto di altre regole o ricorrere a procedimenti più complessi
come vedremo nel seguito.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 2.3.1
Calcoliamo il limite per x che tende a x0  2 della funzione di equazione y  2 x 3  1 . Si scrive
lim
x  2
2 x 3  1  2  2 3  1  17 . In questo caso la sostituzione del valore a cui la x tende
nell’equazione della funzione ha prodotto il numero 17. Tale numero è il limite della funzione
suddetta per x che tende a 2.
In altri casi, però, la sostituzione del valore a cui la x tende dà luogo ad operazioni impossibili. Si
considerino i seguenti casi:


lim
5x
5 1
5
 2

x 1 1 1 0
lim
x2  9
32  9
99
0



2
2
x  7 x  12 3  7  3  12 9  21  12 0
x  1
x
 3
2
Per risolvere il primo caso procediamo con la costruzione della seguente tabella:
x
f(x)
0,900000000000
-23,684210526316
0,990000000000
-248,743718592964
0,999000000000
-2498,749374687380
0,999900000000
-24998,749937505900
0,999990000000 -249998,749994991000
0,999999000000 -2499998,749899830000
1,100000000000
26,190476190476
1,010000000000
251,24
1,001000000000
2501,25
1,000100000000
25001,25
1,000010000000
250001,25
1,000001000000
2500001,25
5x
man mano che x si avvicina a 1. Si nota facilmente che
x 1
5x
all’approssimarsi di x a 1 i valori di
tendono a diventare sempre più grandi in valore
2
x 1
assoluto. Tale andamento si esprime dicendo che la funzione tende all’infinito, dove con il termine
infinito indichiamo un valore che cresce indefinitamente (è l’infinito potenziale di cui parla
Aristotele!). In tal caso, ed in casi come questi, si conclude che il limite è infinito (scrivi
La tabella riporta i valori di
2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
5x
  ). Il caso successivo risulta leggermente più complesso, ma è possibile risolverlo
x
 1 x  1
ricorrendo ad alcuni artifici di natura algebrica. Per farci un’idea del valore a cui tende la funzione
lim
2
di equazione y 
x2  9
conviene costruire una tabella come quella costruita per il caso
x 2  7 x  12
precedente:
x
2,900000000000
2,990000000000
2,999000000000
2,999900000000
2,999990000000
2,999999000000
2,999999900000
2,999999990000
3,100000000000
3,010000000000
3,001000000000
3,000100000000
3,000010000000
3,000001000000
3,000000100000
3,000000010000
f(x)
-5,363636363636
-5,930693069306
-5,993006993014
-5,999300069971
-5,999930001049
-5,999993004714
-5,999999396039
-6,000000532907
-6,777777777778
-6,070707070706
-6,007007007016
-6,000700069976
-6,000069999818
-6,000007005958
-6,000000763834
-6,000000532907
x2  9
di man mano che x tende a 3. Si vede facilmente che tende a
x 2  7 x  12
al numero -6. È tuttavia possibile aggirare l’ostacolo dei calcoli scomponendo il numeratore ed il
La tabella riporta i valori
denominatore della frazione algebrica come segue:
x  3x  3  x  3
x2  9

2
x  7 x  12 x  3x  4 x  4
.
Successivamente si procede al seguente calcolo del limite:
lim
x
 3
x2  9
x 3 33
 lim

 6
2
x


3 4
x  7 x  12
3 x4
che è proprio il valore che si desume dalla suddetta tabella. Dai casi trattati or ora si evincono le
seguenti regole generali:


Se a seguito della sostituzione al posto di x del valore a cui tale variabile tende si ottiene
una frazione al cui numeratore è presente un numero diverso da 0 e al cui denominatore è
presente 0 si conclude che il limite è  (leggi: infinito).
Se a seguito della sostituzione al posto di x del valore a cui tale variabile tende si ottiene
una frazione nella quale al numeratore e al denominatore è presente 0, allora se al
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
numeratore ed al denominatore sono presenti dei polinomi si procede alla loro
scomposizione, si semplifica e si sostituisce nuovamente, se si ottiene un numero questo
corrisponde al limite cercato.
Osservazione 2.3.1
Quando al fine di effettuare il calcolo di un limite si sostituisce ad x il valore a cui essa tende e si
0
ottiene la frazione
si dice che ci si trova di fronte ad una forma d’indecisione o forma
0
0
indeterminata che normalmente si rappresenta come segue:   . L’espressione “forma di
0
indecisione” o “indeterminata” è una conseguenza del fatto che il numeratore e il denominatore
della frazione tendono entrambi a 0, ma non è possibile sapere il modo in cui lo fanno se non si
costruisce una tabella ad hoc come la seguente relativa al caso lim
x
 3
x
2,9
2,99
2,999
2,9999
2,99999
2,999999
2,9999999
2,99999999
3,1
3,01
3,001
3,0001
3,00001
3,000001
3,0000001
3,00000001
x2-9
-0,590000000000
-0,059900000000
-0,005999000000
-0,000599990000
-0,000059999900
-0,000005999999
-0,000000600000
-0,000000060000
0,610000000000
0,060100000000
0,006001000000
0,000600010000
0,000060000100
0,000006000001
0,000000600000
0,000000060000
x2  9
:
x 2  7 x  12
x2-7x+12
f(x)
0,110000000000
-5,363636364
0,010100000000
-5,930693069
0,001001000000
-5,993006993
0,000100010000
-5,99930007
0,000010000100
-5,999930001
0,000001000001
-5,999993005
0,000000100000
-5,999999396
0,000000010000
-6,000000533
-0,090000000000
-6,777777778
-0,009900000000
-6,070707071
-0,000999000000
-6,007007007
-0,000099990000
-6,00070007
-0,000009999900
-6,00007
-0,000000999999
-6,000007006
-0,000000100000
-6,000000764
-0,000000010000
-6,000000533
0
il limite non è sempre lo stesso, ma dipende dalla
0
forma dei polinomi presenti al numeratore ed al denominatore. Il valore del limite non si può
conoscere se non si costruisce una tabella come quella in alto e se non si scompongono i polinomi
0
presenti al numeratore e al denominatore. Questa è la ragione per cui la forma
prende il nome di
0
a
(a  0) non è, invece, una forma di indecisione perché dà
forma di indecisione. La forma
0
sempre limite infinito indipendentemente dalla funzione trattata. Per dirimere, cioè risolvere, la
Faccio notare che quando si presenta il caso
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suddetta forma di indecisione si prediligono metodi che prescindono dai calcoli come la
scomposizione in fattori irriducibili dei polinomi presenti al numeratore e al denominatore. La
scomposizione oltre ad essere più rapida elimina il rischio di commettere errori di calcolo e di
approssimazione.
Osservazione 2.3.2
Faccio notare che esistono altre forme di indecisione, oltre a quella appena vista, di cui ci
occuperemo nel seguito.
Osservazione 2.3.3
Ricordo che se un numero sostituito alla variabile di un polinomio lo fa annullare, allora per il
teorema di Ruffini è possibile esprimere tale polinomio come prodotto del polinomio di I grado che
si ottiene sottraendo alla variabile il numero, per un altro polinomio che si determina con la
cosiddetta regola di Ruffini. Per esempio se sostituendo alla x il numero 3 nel polinomio
x 2  7 x  12 si ottiene 0, allora x 2  7 x  12  x  3  x  4 . Nel caso indicato nell’esempio 2.3.1
il fattore x  3 è presente sia al numeratore, sia al denominatore ed è perciò possibile semplificarlo
in modo tale da eliminare il fattore che si annulla per x che tende a 3.
Osservazione 2.3.4
0
Preciso che la forma di indecisione   può produrre come limite 0, un numero diverso da 0 o
0
 come mostrano i seguenti esempi:
lim
x  3  lim x  3  3  3  0  0
x 2  6x  9
 lim
2
x  7 x  12 x  3 x  3x  4 x  3 x  4 3  4  1
lim
x  4x  5  lim x  5  4  5   1  
x 2  9 x  20
 lim
2
x  4 x  4
44 0
x  8 x  16 x  4 x  42
lim
x  5x  7  lim x  7  5  7   2  1
x 2  12 x  35
 lim
2
2
x  8x  15 x  5 x  3x  5 x  5 x  3 5  3
2



x  3
x  4
x
 5
A seguito della scomposizione del polinomio al numeratore e di quello al denominatore la
semplificazione e la successiva sostituzione del valore a cui la x tende non danno più luogo alla
0
forma di indecisione   . Questa affermazione può essere provata in modo rigoroso. Sia
0
P( x0 ) 0
P( x)
n
m
tale che
 , allora P( x)  x  x0  A( x) e Q( x)  x  x0  B( x) , dove
lim
x  x0 Q( x)
Q( x 0 ) 0
P( x)
A( x)
P( x) x  x0  A( x)
(se n > m ) o


Q( x)
B( x)
Q( x) x  x0 mn B( x)
n m
A( x0 )  0 e B( x0 )  0 . Segue che
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
P( x) A( x)
(se n = m) e, di conseguenza, la successiva sostituzione di x 0

Q( x) B ( x)
alla x fornisce i limiti, rispettivamente, 0,  o un numero diverso da zero.
(se n < m) o ancora
2.4 Come si calcola il limite di una funzione per x che tende all’infinito.
Per calcolare il limite di una funzione per x che tende a  si procede sostituendo tale simbolo alla x
ed eseguendo le operazioni richieste dall’espressione che costituisce l’equazione della funzione. Per
eseguire le suddette operazioni è necessario conoscere le regole note con il nome di algebra
dell’infinito. Le elenchiamo qui di seguito:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
      
      
a      se a > 0
a      se a < 0
   a   per a qualsiasi
      
      
      
a
 0 per a qualsiasi


10.
  se a > 0
a

11.
   se a < 0
a
9.
12.      per n qualsiasi
n
13.      per n pari
n
14.      per n dispari
n
15.
n
   
    n dispari
1
17.    n 
0
  n
16.
n
Queste regole si giustificano facilmente pensando al fatto che il simbolo  indica una quantità che
cresce indefinitamente.
Osservazione 2.4.1
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Si precisa che tra le operazioni con l’infinito non abbiamo dato un risultato relativamente alle

seguenti :
, 0   e      o      . Ciò si giustifica con il fatto che quando nel

calcolare il limite di una funzione per x che tende a  si opera la sostituzione indicata al principio
del paragrafo e si cade in uno dei suddetti casi non si può stabilire immediatamente il valore del
limite, ma occorre procedere seguendo particolari tecniche di cui parleremo nel seguito. Il valore
del limite anche per questi casi dipende dalla tipologia di funzione trattata. Siamo quindi in
presenza di altre forme di indecisione. Qui di seguito tratteremo il modo in cui dirimerle. Lo faremo
attraverso i seguenti esempi:
Osservazione 2.4.2
 
Faccio notare che la forma di indecisione : 0   non è altro che la forma di indecisione   sotto
 
mentite spoglie
1 3
1
3
x 
    0   . Si
x  x

Per comprendere quanto detto consideriamo il seguente caso lim

vede
facilmente
che
il
limite
precedente
x 3   

. Più in generale se


x   x


lim f ( x)  0 e lim g ( x)   , ma
3
lim
x
 
lim
x  
si
può
anche
scrivere
come
segue:
lim F ( x)  0    è perché F ( x)  f ( x)  g ( x) e
x
 
x
 
F ( x)  lim
x  
f x   g x   lim
x  
g ( x)    
1
. Ricordo che f  x  
.


1
1
1

f ( x)
0
f ( x)
Esempio 2.4.1.
Intendiamo calcolare il limite seguente:
3x 2  8 x  14
.
2
x    x  5 x  11
lim
Procediamo sostituendo alla x il simbolo   come segue:
3x 2  8 x  14 3    8    14  


2
x    x  5 x  11
  2  5    11  
2
lim
La sostituzione operata evidenzia la forma di indecisione indicata in precedenza. Faccio notare che
l’indeterminazione a priori del risultato è una conseguenza del fatto che il numeratore e il
denominatore della frazione tendono entrambi a   ( o, detto in altri termini, crescono
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
indefinitamente), ma non è possibile sapere il modo in cui lo fanno se non si costruisce una tabella
ad hoc come la seguente:
x
3x2+8x+14
x2+ 5x+11
f(x)
10
394
161
2,447204969
100
30814
10511
2,931595471
1000
3008014
1005011
2,993015997
10000
300080014
100050011
2,99930016
100000
30000800014
10000500011
2,999930002
1000000 3000008000014 27000144000468000000000000 2,9999930000160000
Nella fattispecie il limite è il numero 3 come indica la tabella suddetta. È, però, possibile pervenire
a tale risultato procedendo come segue:
2
8 x 14 
2  3x
8 14 3  8  14


x


3

 2
2
2
2


x
x
x 
    2
3x 2  8 x  14

x
x
lim
 lim
 lim

3
2
2
x    x  5 x  11
x   
5 x 11  x   1  5  11 1  5  11
2 x
x  2  2  2 
x x2
    2
x
x 
x
Esempio 2.4.2.
Intendiamo calcolare il limite seguente:
x3  8
.
x    x  5
lim
Procediamo come nella parte finale dell’esempio precedente:
8 
8    1  8 
3
2
x
1

x
1






  3 
x3  8
x3 
x3 



lim
 lim
 lim

 
5
x    x  5
x   
x   
 5
 5
1
x 1  
1  

x
x


Esempio 2.4.3.
Intendiamo calcolare il limite seguente:
x2  4
.
4
x    x  1
lim
Procediamo come negli esempi precedenti:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)

x 2 1 
x 4

lim
 lim
4
x    x  1
x    4 
x 1 

2
8
4 
8 

1
1  3 
2 
  3
x 
x 

 lim

1  x    
1 

x1  4    1  1
4 
   4
x 
x 






0
Osservazione 2.4.3.
Alla luce di quanto visto negli esempi precedenti possiamo trarre alcune conclusioni di carattere
generale:


Quando x tende a  e la funzione f (x) di cui s’intende calcolare il limite è della forma
P( x)
, dove P (x ) e Q (x) sono due polinomi, allora ci troviamo in presenza della
f ( x) 
Q( x)
 
forma di indecisione   e per dirimerla si procede come segue:
 
o sia al numeratore, sia al denominatore si mette in evidenza il termine in x di grado
più elevato.
o si semplifica l’espressione ottenuta elidendo opportunamente i fattori in x presenti al
numeratore ed al denominatore.
o si sostituisce il simbolo  alla x e si determina il valore del limite ricorrendo
all’algebra dell’infinito.
In una situazione come quella indicata al punto precedente il limite dipende dal grado dei
polinomi P (x ) e Q (x) . Più precisamente se n è il grado di P (x ) ed m è il grado di Q (x) ,
allora:
o quando n = m il limite è un numero diverso da 0
o quando n > m il limite è 
o quando n < m il limite è 0.
Esempio 2.4.4.
Calcoliamo il limite seguente:
lim
x   
2x3  x 2 .
Se sostituiamo alla x il simbolo   come segue:
lim
x
  
2 x 3  x 2  2      ()   
2
Ci imbattiamo nella forma di indecisione ()   . Questa forma di indecisione si dirime

ricorrendo alla stessa tecnica utilizzata per dirimere la forma di indecisione
considerata negli

esempi precedenti.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Procediamo come segue:
lim
x   
1
1 

3 
x 3  2         2 
      2  0      2  
x   
x



2 x 3  x 2  lim
Osservazione 2.4.4.
Alla luce di quanto visto nell’esempio precedente possiamo trarre alcune conclusioni di carattere
generale:

Quando x tende a  e la funzione f (x) di cui s’intende calcolare il limite è della forma
f ( x)  P ( x) , dove P (x ) è un polinomio, allora potrebbe presentarsi la forma di indecisione
()    e per dirimerla si procede come segue:
o si mette in evidenza il termine in x di grado più elevato.
o si sostituisce il simbolo  alla x e si determina il valore del limite ricorrendo
all’algebra dell’infinito.
Osservazione 2.4.5.
Dall’analisi degli esempi precedenti si giunge alla seguente conclusione:



Quando x tende a  e la funzione f (x) di cui s’intende calcolare il limite è della forma
P( x)
f ( x)  P ( x) o della forma f ( x) 
, dove P (x ) e Q (x) sono due polinomi, di gradi
Q( x)
,rispettivamente, n e m, allora valgono le seguenti uguaglianze:
an x n
P x 
lim
 lim
m
x    Q( x)
x    b x
m
lim
x   
P( x)  lim
x   
an x n
, dove a n x n e bm x m sono, rispettivamente, i termini di P (x ) e Q (x) di grado più elevato.
2.5 Perché si procede al calcolo del limite
Dal momento che il nostro obiettivo ultimo è quello di rappresentare graficamente una funzione
reale di variabile reale di cui conosciamo l’equazione è legittimo chiedersi a cosa serve calcolare i
limiti. In primo luogo ribadisco che la scrittura lim f ( x)  l è equivalente all’affermazione
x
 x0
seguente: la funzione f(x) tende a l man mano che x tende a x 0 . In altri termini: il calcolo del
suddetto limite permette di comprendere l’andamento del grafico della funzione nei pressi del punto
x 0 . In alcuni casi il calcolo del limite è indispensabile per poter rappresentare correttamente il grafico della
funzione. Si può facilmente fornire una casistica:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)

i punti x0 R che non appartengono al C.E., ma all’immediata sinistra e all’immediata
destra o soltanto all’immediata sinistra o soltanto all’immediata destra di tali punti c’è un
numero infinito di elementi del C.E. In altri termini i suddetti punti non appartengono al
C.E., ma e al contempo si trovano all’estremo sinistro di un intervallo che compare nella

rappresentazione del C.E. aperto a sinistra o si trovano all’estremo destro di un intervallo che
compare nella rappresentazione del C.E. aperto a destra o ad uno o ad entrambi gli estremi di un
intervallo aperto che compare nella rappresentazione del C.E.  
se il C.E. si estende
indefinitamente verso destra sull’asse x, cioè   compare all’estremo destro di un intervallo
presente nella rappresentazione del C.E.

se il C.E. si estende indefinitamente verso sinistra sull’asse x cioè   compare
all’estremo sinistro di un intervallo presente nella rappresentazione del C.E.
Al fine di comprendere meglio quanto detto consideriamo il seguente esempio.
Esempio 2.5.1.
Si prenda in considerazione la funzione reale di variabile reale di equazione y 
5
.
x  16
Il C.E. di tale funzione è  ;4   4;4  4; . I punti x 0 = -4
x 0 = 4 non hanno
e
2
immagine per la funzione in questione perché non appartengono al C.E., ma all’immediata sinistra e
all’immediata destra di tali punti c’è un numero infinito di elementi del C.E. perché entrambi sono
gli estremi di almeno uno degli intervalli aperti presenti nella rappresentazione del C.E. In questo
5
5
caso il calcolo dei limiti lim
e lim
è indispensabile per poter disegnare il
2
2
x   4 x  16
x  4 x  16
grafico della funzione nei pressi dei punti indicati. Inoltre, dal momento che il C.E. si estende
indefinitamente verso sinistra e verso destra sull’asse x, è indispensabile calcolare i seguenti limiti
5
5
lim
e lim
per poter accennare il grafico della funzione all’estrema sinistra e
2
2
x    x  16
x    x  16
all’estrema destra del foglio. La rappresentazione grafica della suddetta funzione è:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
2.6 Quando non ha senso calcolare il limite di una funzione
Introduciamo ora un concetto che esprimeremo successivamente in termini rigorosi.
Definizione 2.6.1.(definizione intuitiva)

Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R. Si dice
che x0 R è un punto di accumulazione del C.E. della funzione suddetta se x0  C.E. o
se x0  C.E. e al contempo x 0 si trova all’estremo sinistro di un intervallo che compare nella
rappresentazione del C.E. aperto a sinistra o si trova all’estremo destro di un intervallo che
compare nella rappresentazione del C.E. aperto a destra o ad uno o ad entrambi gli estremi di un
intervallo aperto che compare nella rappresentazione del C.E.
Anche   e
  si possono considerare punti di accumulazione (anche se non sono dei veri e
propri punti) se il C.E. si estende indefinitamente verso destra e verso sinistra sull’asse x.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
In sostanza i punti di accumulazione o sono punti del C.E. (che hanno quindi un’immagine) e per
cui il grafico della funzione si situa al di sopra o al di sotto di essi o sono punti per i quali o
“all’immediata destra” o “all’immediata sinistra” o “ad entrambi i lati” il grafico della funzione è
presente.
Osservazione 2.6.1.
Preciso che il calcolo del limite per x che tende ad un punto del C.E. è possibile, ma non fornisce
informazioni ulteriori a quelle date dall’equazione della funzione. In altri termini il calcolo del
limite fornisce l’immagine del punto del C.E. a cui la x tende. Il calcolo del limite, però, diventa
indispensabile per x che tende   e   quando compaiono nella rappresentazione del C.E. e per
x che tende ad un punto di accumulazione che non appartiene al C.E.
Per comprendere meglio quanto detto si considerino i seguenti esempi di funzioni.
Esempio 2.6.1.
x
presenta nei punti  5 due punti di accumulazione non
x  25
appartenenti al C.E. Infatti il C.E. di tale funzione è  ;5   5;5  5; e 5 e -5 si trovano
La funzione di equazione y 
2
agli estremi di due degli intervalli aperti presenti nella rappresentazione del C.E. Si tratta di due
punti per cui “all’immediata destra” e “all’immediata sinistra” dei quali il grafico della funzione
esiste come mostra la figura sottostante.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Nella fattispecie il calcolo del limite è indispensabile per 5 e -5 e   e   .
Esempio 2.6.2.
La funzione di equazione y 
1
presenta nel punto 3 un punto di accumulazione non
x3
appartenente al C.E. Infatti il C.E. di tale funzione è 3; e 3 si trova all’estremo dell’unico
intervallo che costituisce il C.E.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Osservazione 2.6.2.
Ci sono, però, dei punti per i quali non ha senso calcolare il limite. Tali sono i punti che non
appartengono al C.E. e non sono punti di accumulazione per il C.E. della funzione. Consideriamo
al fine di farci un’idea di quest’ultima affermazione il seguente esempio.
Esempio 2.6.3.
Si consideri la funzione di equazione y  x  7 nel punto 5. Tale punto non è un punto di
accumulazione per la funzione. Infatti esso non appartiene al C. E. e non è presente agli estremi di
alcuno degli intervalli che costituiscono il C.E. Infatti il C.E. di tale funzione è 7; e 5 sta fuori
da tale intervallo. Si noti quanto riportato nella figura sottostante.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Il calcolo del limite come indicato nel paragrafo precedente è finalizzato alla rappresentazione del
grafico della funzione. Nel caso in questione nella regione di piano in cui è presente il punto 5 il
grafico della funzione non può esistere perché è esterna alla regione di piano corrispondente al C.E.
Va da sé che il calcolo del limite per di tale funzione per x che tende a 5 non ha alcun senso.
2.7 Definizione rigorosa di punto di accumulazione e di limite
In questo paragrafo, dopo aver fornito l’importantissimo concetto di intorno passeremo a dare una
definizione rigorosa di punto di accumulazione e, successivamente, le sei definizioni canoniche di
limite.
Definizione 2.7.1.
Sia x0  R, si dice intorno di x 0 , e si indica con la scrittura I x0  , un qualsiasi intervallo aperto
contenente x 0 .
x0
Osservazione 2.7.1.
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Si precisa che con l’espressione intervallo aperto si indica un qualsiasi intervallo i cui estremi non
sono compresi. È, per esempio, un intervallo aperto, l’intervallo 2;8 . Come già indicato
precedentemente, la non appartenenza degli estremi all’intervallo è indicata dalla presenza delle
parentesi tonde.
Esempio 2.7.1.
L’intervallo  2;1 è un intorno del punto x0  0 .
Definizione 2.7.2.
Sia x0  R, si dice intorno circolare di x 0 di raggio   0 e si indica con la scrittura, I  x0  ,
l’intervallo x0   ; x0    .
Esempio 2.7.2.
L’intervallo  2;2è l’intorno circolare di raggio   2 del punto x0  0 .
Osservazione 2.7.2.
Facciamo notare che il concetto d’intorno traduce in termini rigorosi l’idea intuitiva di “vicinanza”.
Infatti, i punti appartenenti all’intorno circolare I  x0  possono essere pensati come l’insieme dei
punti che distano da x 0 meno di  .
Definizione 2.7.3. (definizione rigorosa di punto di accumulazione)
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R. Si dice che x 0 è
un punto di accumulazione per il suo C.E. se preso un qualunque intorno di x 0 , la sua intersezione
con il C.E. è diversa dall’insieme vuoto .
Osservazione 2.7.3.
Si precisa che, dal momento che R è uno spazio di Hausdorff, quando x 0 è un punto di
accumulazione per il C.E. di una funzione, non soltanto l’intersezione di un qualunque intorno di
x 0 con il C.E. è diversa dall’insieme vuoto, ma tale intersezione è costituita da infiniti elementi.
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Definizione 2.7.4. (limite finito per x che tende ad un valore finito)
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R. Si dice che f (x)
tende a l  R per x che tende a x 0 , e si scrive lim
x
 x0
f x   l , se per ogni   0 esiste   0 tale
che per ogni x appartenente all’intorno circolare I  x0  , escluso al più x 0 , f x   I  l  .
Osservazione 2.7.4.
Facciamo notare che l’espressione f x   I  l  si trova spesso nei testi nella forma seguente:
f x  f x0    .
Esempio 2.7.3.
Si consideri il caso della funzione di equazione y 
x3 1
x3 1
. Si ha che lim
 3 come mostra la
x  1 x  1
x 1
figura in basso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Definizione 2.7.5. (limite finito per x che tende a   )
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) . Si dice che f (x) tende a l  R
per x che tende a   , e si scrive lim
x  k , f x   I  l  .
x
  
f x   l , se per ogni   0 esiste k  0 tale che per ogni
Esempio 2.7.4.
Si consideri il caso della funzione di equazione y 
x
x
 0 come mostra
. Si ha che lim
2
x    x  1
x 1
2
la figura in basso.
Definizione 2.7.6. (limite finito per x che tende a   )
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) . Si dice che f (x) tende a l  R
per x che tende a   , e si scrive lim
x  k , f x   I  l  .
x
 
f x   l , se per ogni   0 esiste k  0 tale che per ogni
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 2.7.5.
Si consideri il caso della funzione di equazione y 
4x 2  2x  1
4x 2  2x  1
.
Si
ha
che
lim
2
2
x
  2 x  3 x  5
2 x 2  3x  5
come mostra la figura in basso.
Definizione 2.7.7. (limite   finito per x che tende ad un valore finito)
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) . Si dice che f (x) tende a  
per x che tende sia x0  R , e si scrive lim
x
 x0
f x    , se per ogni M  0 esiste   0 tale che
per ogni x  I  x0  , escluso al più x 0 , f x  M .
Esempio 2.7.6.
Si consideri il caso della funzione di equazione y 
5
x  3
2
. Si ha che lim
x  3
5
x  32
mostra la figura in basso.
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  come
Definizione 2.7.8. (limite   finito per x che tende ad un valore finito)
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) . Si dice che f (x) tende a  
per x che tende sia x0  R , e si scrive lim
x
 x0
f x    , se per ogni M  0 esiste   0 tale che
per ogni x  I  x0  , escluso al più x 0 , f x  M .
Esempio 2.7.7.
Si consideri il caso della funzione di equazione y  
7
 x  5
2
. Si ha che lim
x  5
7
 x  5 2
mostra la figura in basso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
  come
Definizione 2.7.9. (limite  finito per x che tende ad un valore finito)
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) . Si dice che f (x) tende a  per
x che tende sia x0  R , e si scrive lim
x
 x0
f x    , se per ogni M  0 esiste   0 tale che per
ogni x  I  x0  , escluso al più x 0 , f x   M .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
2.8 Unicità del limite, limite destro e limite sinistro
Qui di seguito enunciamo senza dimostrare un teorema di notevole importanza.
Teorema 2.8.1.
Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R. Il limite
lim
x
 x0
f x  se esiste è unico.
Definizione 2.8.1. Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R.
Si dice che f (x) tende a l  R per x che tende a x 0 da destra, e si scrive lim
x  x

f x   l , se per
0
ogni   0 esiste   0 tale che per ogni x appartenente all’intorno circolare destro x0 ; x0    ,
escluso al più x 0 , f x   I  l  .
Definizione 2.8.2. Sia data una funzione reale di variabile reale di equazione y  f (x) e sia x0  R.
Si dice che f (x) tende a l  R per x che tende a x 0 da sinistra, e si scrive lim
x
 x0 
f x   l , se per
ogni   0 esiste   0 tale che per ogni x appartenente all’intorno circolare destro x0   ; x0  ,
escluso al più x 0 , f x   I  l  .
Osservazione 2.8.1.
Il limiti di cui alle definizioni precedenti prendono il nome di limite destro e limite sinistro della
funzione di equazione y  f (x) per x che tende a x 0 . Si precisa che se il limite destro e il limite
sinistro non coincidono il limite non esiste.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)