Come si dimostra il teorema di Pitagora sfruttando argomenti

Come si dimostra il teorema di Pitagora
come A = β`2 ; il valore di β > 0 dipenderà dalla forma
sfruttando argomenti dimensionali e di scala
della figura e dalla scelta fatta per `. Ad esempio, se per
Due segmenti di retta di lunghezza a e a0 = ka dif-
il quadrato si sceglie il lato `, β = 1; se nel cerchio si
feriscono per un fattore di scala lineare k > 0; se k > 1,
a0 è piú lungo di a; se k < 1, a0 è piú corto di a. Defini-
sceglie il raggio `, β = π; e cosı́ via.
Veniamo ora alla dimostrazione del teorema di Pitagora.
amo similitudine una trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti
tra le distanze. Questo vuol dire che se A e B sono due
punti la cui distanza è d (A, B), allora per ogni trasformazione di similitudine f esiste un k reale positivo tale
che d(f (A), f (B)) = kd(A, B). In altre parole due figure
piane F e F 0 simili differiscono solo per un fattore di
scala lineare k. Un esempio? La fotocopia ingrandita di
un triangolo di lati a, b, c produce un triangolo simile al
primo, di lati a0 = ka, b0 = kb e c0 = kc, con k > 0.
Se A è l’area della figura piana originale F , e k è il fattore
Sia dato un triangolo rettangolo di di cateti `0 , `00 e
di scala lineare, è facile convincersi, non solo per i trian-
ipotenusa ` (vedi figura).
goli ma per qualsiasi figura piana, che l’area della figura
rispetto all’ipotenusa in altri due triangoli rettangoli I e
0
0
2
Esso è diviso dall’altezza
ingrandita F vale A = k A. Se la figura non è un tri-
II. Questi due triangoli sono simili fra loro e simili al tri-
angolo, per determinare il fattore di scala k basta fare il
angolo originale (se non lo sapete dimostrare c’è da pre-
rapporto fra due segmenti corrispondenti nelle due figure
occuparsi!). Siamo dunque di fronte a tre triangoli simili
originale e ingrandita. Per un cerchio, ad esempio, si può
le cui ipotenuse sono rispettivamente ` (per il triangolo
prendere il diametro, oppure il raggio; per figure piane
grande), `0 (per il triangolo I) e `00 (per il triangolo II).
complicate, purché simili, basta confrontare le lunghezze
Dunque, per quanto detto prima, se scegliamo proprio
di un segmento arbitrariamente scelto sulla figura origi-
l’ipotenusa come distanza lineare di riferimento, avremo
nale e del suo corrispondente su quella ingrandita: k non
che l’area è A = β`2 per il triangolo grande, A0 = β`02 per
dipende dalla particolare scelta del segmento. Una di-
il triangolo I, e A00 = β`002 per il triangolo II. Ma (vedi
retta conseguenza del fatto che l’area di una figura piana
figura) l’area del triangolo grande è somma di quelle dei
F scala con il quadrato delle sue dimensioni lineari è che,
due triangoli I e II che lo compongono: A = A0 + A00 ;
scelto in essa (sempre arbitrariamente) un segmento di
quindi β`2 = β`02 + β`002 ; ovvero (essendo ovviamente
retta ` di riferimento, l’area di F si può sempre scrivere
β 6= 0) abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora.