Facolt`a di Scienze MFN Trasporto e rumore negli

Università degli Studi di Genova
Facoltà di Scienze M.F.N.
Anno Accademico 2009-2010
Tesi di Laurea Specialistica in Fisica
Trasporto e rumore negli stati di
bordo dell’Effetto Hall Quantistico
Frazionario
Matteo Carrega
Relatori:
Prof. Maura Sassetti
Dr. Alessandro Braggio
Correlatore:
Prof. Enrico Galleani
2
Indice
Introduzione
5
1 L’effetto Hall quantistico
1.1 Gas bidimensionale di elettroni (2DEG) . . . . . . . .
1.2 L’effetto Hall classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elettroni liberi in campo magnetico . . . . . .
1.2.2 Elettroni vincolati in una barretta Hall . . . .
1.3 L’effetto Hall quantistico intero . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 I livelli di Landau . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Gli stati di edge nell’IQHE . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Quantizzazione della conduttanza . . . . . . . .
1.4.2 Rottura dell’invarianza traslazionale e disordine
1.5 L’effetto Hall quantistico frazionario . . . . . . . . . .
1.5.1 Il gauge simmetrico . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 La funzione d’onda di Laughlin . . . . . . . . . . . . .
1.7 Eccitazioni a carica frazionaria . . . . . . . . . . . . .
1.8 Statistica frazionaria e anioni . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Anioni e quasiparticelle di Laughlin . . . . . .
1.9 Generalizzazione della funzione d’onda di Laughlin . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
11
11
12
14
15
17
19
21
22
24
26
28
30
31
32
2 Teorie di campo efficaci
2.1 Teoria di bulk per la sequenza di Laughlin . . . . . . .
2.2 Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
2.2.1 L’approccio idrodinamico . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bosonizzazione dei campi . . . . . . . . . . . .
2.3 Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge
2.4 Teoria di Wen per la sequenza di Jain . . . . . . . . .
2.4.1 Il caso ν = 2/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Il caso ν = 2/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Teoria di Fradkin e Lopez . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Il caso ν = 2/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Il caso ν = 2/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Unione dei modelli per gli stati di edge . . . . . . . . .
2.7 Dimensione di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Rinormalizzazione dei modi . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
38
44
45
47
50
52
54
55
57
58
59
60
62
3 Proprietà di trasporto in un quantum point contact
3.1 La tecnica dei contorni alla Schwinger-Keldysh . . . .
3.2 La geometria di quantum point contact . . . . . . . .
3.3 Hamiltoniana di tunneling . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 La corrente di backscattering . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
65
70
71
74
3
4
INDICE
3.5
3.6
Calcolo della corrente di tunneling . . . . . . . . . . .
Corrente per gli stati di Laughlin . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Limiti di alte e basse temperature . . . . . . .
3.7 La corrente di quasiparticella . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Confronto con gli esperimenti . . . . . . . . . .
3.8 Proprietà del rumore di corrente nei sistemi elettronici
3.9 Calcolo del rumore in un quantum point contact . . .
3.10 Misura della carica frazionaria nell’effetto Hall . . . .
4 Trasporto nei sistemi Hall composti
4.1 Corrente di singola quasiparticella . . . . . . . .
4.2 Corrente di quasiparticella e |p|-agglomerato . . .
4.2.1 Confronto con gli esperimenti per ν = 2/5
4.3 Densità spettrale di rumore . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Il fattore di Fano . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Misura del rumore per ν = 3/7 . . . . . .
4.4 Misure di rumore per ν = 2/3 . . . . . . . . . . .
4.5 La carica efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74
78
79
80
81
83
86
87
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
96
100
101
102
105
107
110
Conclusioni
113
A Operatore di campo per edge di lunghezza finita
115
B Le classi delle matrici K
119
C Determinazione dei parametri βm (k)
121
D Calcolo della funzione di Green
125
E Rate per temperatura finita
129
F Calcolo di alcuni integrali
131
F.1 Integrale con un singolo modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
F.2 Integrale con due modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ringraziamenti
133
Introduzione
L’enorme progresso tecnologico e gli sviluppi nel campo dei dispositivi a semiconduttore degli ultimi decenni hanno permesso la realizzazione di sistemi in cui la natura quantistica emerge con
particolare evidenza, dando luogo a comportamenti peculiari anche a livello macroscopico. Oggi è
possibile realizzare, infatti, sistemi elettronici a ridotta dimensionalità, in cui gli elettroni risultano
confinati in particolari geometrie e la forte interazione tra di essi dà origine a fenomeni prettamente quantistici. Le straordinarie caratteristiche di tali sistemi e le loro promettenti possibilità di
applicazioni hanno suscitato l’interesse di gran parte della comunità scientifica, sia da un punto di
vista sperimentale sia teorico.
In questo contesto uno dei fenomeni più affascinanti è sicuramente l’effetto Hall quantistico [1, 2],
che ancora oggi, a più di trent’anni dalla sua scoperta, è oggetto di un’intensa attività di ricerca.
Il sistema in cui si può manifestare tale effetto è un gas di elettroni confinato in due dimensioni,
ad esempio all’interfaccia tra due semiconduttori, immerso in un forte campo magnetico diretto
perpendicolarmente al piano stesso. Tale effetto si presenta mostrando una quantizzazione della
resistenza trasversa, detta resistenza Hall, ed il contemporaneo annullarsi della resistenza longitudinale. Una delle caratteristiche fondamentali dell’effetto Hall è l’estrema precisione dei valori di
quantizzazione della resistenza trasversa: essi risultano indipendenti dal campione e riproducibili
fino ad una parte su 108 , costituendo quindi il nuovo standard di resistenza elettrica in metrologia.
Il primo a osservare sperimentalmente questo fenomeno, nel 1980, fu K. von Klitzing [3], che misurò una quantizzazione della resistenza Hall per valori interi, e per questa scoperta fu insignito
del premio Nobel. Questo fenomeno, detto appunto effetto Hall quantistico intero, può essere
spiegato teoricamente con un modello di elettroni non interagenti, tenendo conto della loro natura
quantistica e della presenza di un campo magnetico che genera i livelli di Landau. La grandezza
che meglio descrive il problema è il fattore di riempimento, o filling factor, ν, che rappresenta il
numero di livelli di Landau occupati. Nel caso dell’effetto Hall quantistico intero il filling factor
risulta infatti un numero intero.
Nel 1982 D. C. Tsui e H. L. Stormer [4] osservarono invece una quantizzazione per valori frazionari della resistenza Hall. La fenomenologia di tale effetto, detto appunto effetto Hall quantistico
frazionario, è analoga al caso intero, ma ne differisce completamente per l’interpretazione. È necessario infatti tener conto delle interazioni tra gli elettroni, che complicano molto lo studio delle
proprietà di trasporto del sistema. La natura stessa delle forti correlazioni tra gli elettroni rende
questo un problema intrinsecamente a molti corpi e di difficile trattazione. Il primo a proporre
una spiegazione teorica fu R. Laughlin [5] nel 1983 che fornı̀ una convincente interpretazione, in
termini di una funzione d’onda variazionale, per lo stato fondamentale e gli stati eccitati in una
particolare sequenza di valori di filling factor. Per questa scoperta lo stesso R. Laughlin, insieme
agli sperimentali che per primi osservarono l’effetto Hall frazionario D. C. Tsui e H. L. Stormer
furono insigniti del premio Nobel. Una delle conseguenze più importanti del modello proposto da
R. Laughlin è la presenza di eccitazioni elementari di volume (bulk) con carica e statistica frazionaria, la cui diretta conseguenza è la quantizzazione della resistenza Hall del campione per filling
factor a valori frazionari. Tali eccitazioni risultano avere un gap energetico di creazione. Queste
quasiparticelle sono una caratteristica peculiare dell’effetto Hall quantistico frazionario e ne costituiscono l’entità fondamentale. Successivamente J. K. Jain [6] propose una generalizzazione della
teoria di R. Laughlin, sempre in termini di funzioni d’onda variazionali, riuscendo a spiegare una
5
6
Introduzione
più vasta sequenza di valori di filling factor per i quali si osserva la fenomenologia Hall.
Negli ultimi anni sono state proposte diverse teorie di campo efficaci [7, 8, 9], basate sulla teoria
di Chern-Simons, in grado di spiegare lo stato elettronico nel bulk del sistema, e di riprodurre i
corretti valori di filling factor, di carica e statistica delle eccitazioni di quasiparticella e di elettrone.
A partire dalle teorie elaborate per il bulk è possibile ricavare teorie di campo anche per gli stati
che si formano al bordo del sistema (edge). Tali stati rappresentano un’altra peculiarità dell’effetto Hall quantistico. In essi le eccitazioni hanno la stessa carica e statistica di quelle del bulk,
ma non hanno gap energetico di creazione. Tali eccitazioni di bordo furono studiate e analizzate
teoricamente da X. G. Wen, che formulò una teoria di campo in termini di bosoni, analoga alla ben
nota teoria di Luttinger per sistemi unidimensionali interagenti. A causa della presenza del campo
magnetico gli stati presenti sul bordo del campione hanno una fissata e ben precisa direzione di
propagazione, e per questa peculiarità la teoria viene detta del liquido di Luttinger chirale. Grazie
a questa teoria è stato possibile ricondurre lo studio della fenomenologia Hall alle teorie sviluppate,
a partire dal 1950, per un sistema di elettroni interagenti in una dimensione.
Al fine di verificare le previsioni della teoria del liquido di Luttinger chirale uno dei metodi più
utilizzati è quello di studiare le proprietà di trasporto delle eccitazioni presenti sugli stati di bordo
con esperimenti di tunneling [10]. La più semplice configurazione in questo senso è la cosidetta
geometria di quantum point contact. Se infatti una barra Hall viene posta in contatto con due
serbatoi a potenziali elettrochimici differenti, nel sistema si instaura una corrente e corrispondentemente una tensione Hall ai bordi del campione. Gli stati di bordo chirali sono quindi tenuti a
potenziali chimici differenti e portano la corrente della barra Hall. Attraverso un potenziale di
gate esterno, opportunamente applicato sulla superficie del campione e localizzato in una regione,
si possono mettere i bordi in contatto in un punto e si rende possibile il passaggio di elettroni e
quasiparticelle fra di essi. Lo studio degli andamenti della corrente di tunneling e del rumore di
corrente ad essa associato permette di testare le previsioni della teoria. Dalle misure del rumore di
corrente è possibile estrarre poi importanti informazioni sulla natura e sul valore della carica delle
eccitazioni [11, 12].
In questo lavoro di tesi abbiamo studiato alcune teorie di campo efficaci in grado di spiegare i valori
di filling factor appartenenti alla sequenza di Laughlin e a quella di Jain. Ci siamo concentrati
sulle teorie efficaci che descrivono gli stati di edge del sistema che, come detto, possono essere ottenute con un’opportuna “proiezione” delle teorie sviluppate nel bulk. Abbiamo descritto il sistema
nella geometria di quantum point contact, introducendo un’Hamiltoniana di tunneling in grado di
mettere in comunicazione i due bordi, permettendo il tunneling di eccitazioni tra di essi. In questa
configurazione, utilizzando delle tecniche standard per trattare problemi fuori equilibrio, abbiamo
studiato le proprietà di trasporto del sistema, focalizzandoci in modo particolare sulla corrente di
tunneling e sulla densità spettrale di rumore. Dallo studio di tali quantità abbiamo ricavato le
previsioni teoriche, che abbiamo potuto poi confrontare con gli esperimenti, ad oggi disponibili,
ottenendo un buon accordo tra i modelli sviluppati e le osservazioni sperimentali.
Questo lavoro di tesi è suddiviso in quattro capitoli. Nel Capitolo 1 vengono brevemente studiati
i sistemi in cui è possibile creare un gas bidimensionale di elettroni, la fisica dell’effetto Hall classico
e la fenomenologia dell’effetto Hall quantistico intero e frazionario. Vengono inoltre considerati gli
approcci di tipo variazionale in termini di funzioni d’onda, quali quelli proposti da R. Laughlin,
sottolineando la formazione di eccitazioni a carica e statistica frazionaria, e la sua estensione alla
sequenza di Jain.
Nel Capitolo 2 vengono presentate le teorie di campo efficaci sviluppate in termini di teorie di
campo di bulk tipo Chern-Simons per descrivere l’effetto Hall frazionario. A partire dal lavoro di
X. G. Wen viene esposta una teoria basata su un campo di gauge abeliano che descrive lo stato
Hall nel bulk per la sequenza di Laughlin, e successivamente l’estensione alla sequenza di Jain.
Mediante una restrizione al bordo vengono illustrati nel dettaglio alcuni modelli che descrivono gli
stati di edge del sistema. Viene discusso inoltre come i precedenti modelli possono essere descritti
in termini di una teoria minimale a due campi, concentrandoci in particolare sugli stati Hall con
Introduzione
7
ν = 2/5 e ν = 2/3. Utilizzando il concetto di dimensione di scala vengono infine ricavate le
eccitazioni dominanti, tenendo conto delle possibili interazioni degli stati di bordo con i gradi di
liberta esterni.
Nel Capitolo 3 viene fornita una breve descrizione delle tecniche generali per trattare problemi
fuori equilibrio che verranno utilizzate nel seguito, in particolare il formalismo alla SchwingerKeldysh. Dopo aver presentato come la geometria del quantum point contact può essere descritta
con la teoria degli stati di bordo chirali, viene esposto il calcolo della corrente di tunneling, o
backscattering, al prim’ordine perturbativo, ricavando l’espressione generale per il valor medio
della corrente per una generica eccitazione. Successivamente viene introdotto il concetto di rumore
di corrente e viene quindi calcolata la densità spettrale di rumore. Discutiamo quindi come i
precedenti risultati possano essere applicati al caso di ν = 1/3 e quali tipi di conferme sperimentali
ha trovato la teoria.
Nel Capitolo 4 sono presentati i risultati più originali di questo lavoro di tesi. In particolare
sono presi in considerazione gli stati di bordo con ν = 2/5 e ν = 2/3. Per questi stati sono
calcolati gli andamenti del valor medio della corrente di backscattering e della densità spettrale di
rumore, con i modelli precedentemente sviluppati, e esposti i confronti con gli esperimenti ad oggi
disponibili. Vengono quindi ricavate le eccitazioni dominanti nel processo di tunneling, ovvero la
singola quasiparticella ed il |p|-agglomerato, scenario che sembra essere perfettamente confermato
dagli esperimenti. Infine è introdotto e discusso il ruolo della carica efficace, quantità spesso
utilizzata negli esperimenti, che può essere confrontata direttamente con le previsioni del nostro
modello teorico per ν = 2/5.
8
Introduzione
Capitolo 1
L’effetto Hall quantistico
In questo capitolo delineeremo gli aspetti principali dell’effetto Hall quantistico. Nella prima parte
descriveremo i sistemi fisici più utilizzati per lo studio delle proprietà di trasporto a bassa dimensionalità e la realizzazione del confinamento di elettroni in due dimensioni. Richiameremo
quindi da un punto di vista classico, la fisica dell’effetto Hall per un sistema di elettroni in due
dimensioni immersi in un campo magnetico perpendicolare al piano in cui questi sono liberi di
muoversi. Studieremo poi la fenomenologia e le caratteristiche fondamentali dell’effetto Hall quantistico. Infine introdurremo le proprietà di trasporto nel regime frazionario, descrivendo la funzione
d’onda variazionale proposta da R. Laughlin. Illustreremo inoltre le proprietà principali dello stato
fondamentale e delle eccitazioni di quasiparticella di questo sistema.
1.1
Gas bidimensionale di elettroni (2DEG)
Il sistema fisico alla base di tutti i fenomeni che descriveremo è un gas di elettroni confinato in due
dimensioni.
La realizzazione di tale sistema è stata resa possibile grazie ai recenti sviluppi nell’ambito delle
tecnologie dei dispositivi a semiconduttore.
Il 2DEG può essere ottenuto all’interfaccia tra un isolante e un semiconduttore o, in maniera ancora
più efficace, all’interfaccia tra due semiconduttori diversi realizzati mediante particolari tecniche di
deposizione (modulation doping) [13, 14]. I primi sistemi in cui venne osservato un 2DEG furono i
MOSFET al silicio [15]. Oggi i dispositivi più utilizzati sono le eterogiunzioni a semiconduttore, ad
esempio GaAs-AlGaAs (Fig. 1.1) che garantiscono una migliore qualità dell’interfaccia, maggiori
densità elettroniche e migliori proprietà di mobilità del gas bidimensionale.
Vogliamo ora dare una breve descrizione fisica di questa eterogiunzione a semiconduttore, mettendo
in luce le caratteristiche fondamentali di questo dispositivo. Osserviamo in primo luogo che i due
semiconduttori non possiedono lo stesso gap energetico, infatti quello del GaAs risulta più piccolo di
quello del AlGaAs. Mediante la tecnica detta di modulation doping vengono introdotti dei donatori
nel AlGaAs, tipicamente impurezze di silicio. A causa del drogaggio vi sarà un eccesso di elettroni
nella banda di conduzione del AlGaAs. All’interfaccia fra i due materiali, a seguito dell’iniziale
differenza tra i loro potenziali chimici, vi sarà una migrazione di elettroni dall’AlGaAs al GaAs e
di lacune nel verso opposto (Fig. 1.2a). All’interfaccia quindi si accumulano gli elettroni, in quanto
essi vengono attratti dal campo elettrico positivo generato dalla presenza degli ioni donatori, che
hanno perso un elettrone. Questa ridistribuzione di carica si ferma quando il sistema si trova
all’equilibrio, ossia quando la diffusione degli elettroni è compensata dal campo elettrico della
zona di deplezione, in maniera che il potenziale chimico sia lo stesso in tutto il campione. Il livello
dell’energia di Fermi, infatti, viene spostato dalla presenza dei donatori, come mostrato in Fig. 1.2b
e all’equilibrio deve coincidere in tutto il campione.
9
10
L’effetto Hall quantistico
Figura 1.1: Eterogiunzione GaAs-AlGaAs: il gas di elettroni si trova all’interfaccia fra GaAs e
AlGaAs. Gli elettroni sono mantenuti contro lo strato di AlGaAs a causa del campo elettrico
generato dagli ioni positivi di Si che lo drogano.
Figura 1.2: Eterostruttura a semiconduttore. (a) Gli ioni sono inseriti nello strato di AlGaAs
ad una certa distanza dall’interfaccia. L’energia di Fermi giace nel gap. La banda di conduzione
del GaAs ha un’energia inferiore a quella del livello drogato, ciò fa si che gli elettroni popolino
tale banda di conduzione vicino all’interfaccia. (b) La polarizzazione piega la banda all’interfaccia
portando alla formazione di un gas di elettroni nel lato del GaAs.
Il risultato finale è la creazione di una buca di potenziale in prossimità dell’interfaccia, che risulta
di forma quasi triangolare, si veda Fig. 1.2b. Il livello dell’energia di Fermi si può trovare quindi
all’interno della buca di potenziale, creando un gas di elettroni all’interno dell’GaAs. A causa
delle ridotte dimensioni della medesima buca, il moto degli elettroni nella direzione perpendicolare
all’interfaccia risulta quantizzato in livelli discreti; nel caso in cui solo il livello fondamentale risulti
occupato possiamo considerare il sistema come un 2DEG.
Gli elettroni possono muoversi liberamente sul piano dell’interfaccia, ma nella direzione perpendicolare al piano sono vincolati a rimanere nel livello fondamentale. Si noti che la posizione dei
donatori è tale che la loro influenza sull’interfaccia è simile ad un background di cariche positive
(jellium) ed essendo questi distanti dalla buca influenzano poco gli elettroni, introducendo poco
disordine. Questo fatto garantisce l’alta mobilità del gas bidimensionale di elettroni, un requisito
fondamentale per poter osservare l’effetto Hall frazionario.
In prima approssimazione possiamo descrivere il confinamento nella direzione perpendicolare al pia-
11
1.2 L’effetto Hall classico
no, che per comodità chiamiamo asse ẑ, come una buca di potenziale V (z) di cui non specifichiamo
la forma. Ogni elettrone del sistema deve soddisfare l’equazione di Schrödinger
~2 2
−
∇ + V (z) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
(1.1)
2me
dove me rappresenta la massa efficace degli elettroni nella banda di conduzione del semiconduttore.
Possiamo risolvere l’equazione per separazione delle variabili ponendo
ψ(x, y, z) = ϕ(x, y)ζ(z).
(1.2)
Essendo il moto degli elettroni nella direzione x e y libero avremo
ϕ(x, y) = Aeikx x+iky y
con A costante di normalizzazione. Sostituendo nella Eq. (1.1) si ha
2
~
~2
ζ(z)(kx2 + ky2 )ϕ(x, y) −
ϕ(x, y)∂z2 ζ(z) + V (z)ϕ(x, y)ζ(z) = Eϕ(x, y)ζ(z).
2me
2me
(1.3)
(1.4)
La funzione ζ(z) deve soddisfare quindi un’equazione di Schrödinger unidimensionale con livelli
energetici discreti i
~2 2
−
∂z + V (z) ζi (z) = i ζi (z).
(1.5)
2me
Gli autovalori dell’energia in Eq. (1.1) saranno quindi
Ei = ~
2
kx2 + ky2
2me
!
+ i
(1.6)
Abbiamo ottenuto una separazione discreta dei livelli lungo l’asse ẑ a causa del potenziale di
confinamento. La relazione di dispersione risulta invece parabolica lungo le altre due direzioni.
Si osservi che il sistema può essere considerato in ottima approssimazione bidimensionale se vale
la condizione in cui la separazione tra i livelli discreti i è molto maggiore delle energie tipiche
del sistema, come l’energia termica kB T , l’energia di Fermi ed il rate collisionale che determina
l’allargamento dei livelli per un sistema reale.
1.2
L’effetto Hall classico
Vogliamo ora studiare il moto degli elettroni vincolati su un piano bidimensionale xy soggetti ad
un campo magnetico posto nella direzione ẑ perpendicolare al piano; per comprendere meglio il
problema è opportuno iniziare considerando il caso classico.
1.2.1
Elettroni liberi in campo magnetico
Consideriamo ora il moto classico di un elettrone di carica −e, (e > 0), libero di muoversi nel piano
~ = B · ẑ. Il sistema è descritto dalla lagrangiana1
xy immerso in un campo magnetico B
L=
e
1
me ẋ2 + ẏ 2 − (Ax ẋ + Ay ẏ)
2
c
(1.7)
~ = (Ax , Ay , 0) il potenziale vettore con
dove c indica la velocità della luce nel vuoto e A
~ ×A
~ = B.
~
∇
1 Il
sistema di unità di misura utilizzato è il cgs.
(1.8)
12
L’effetto Hall quantistico
Possiamo riscrivere il potenziale vettore effettuando la scelta del gauge simmetrico, un caso parti~A
~ = 0,
colare del gauge di Coulomb ∇
~ = B (−y, x, 0).
A
2
La lagrangiana diventa
L=
(1.9)
eB
1
me ẋ2 + ẏ 2 −
(−y ẋ + xẏ)
2
2c
(1.10)
Otteniamo le equazioni del moto
ẍ = −ωc ẏ;
ÿ = ωc ẋ,
(1.11)
che, anche se non dimostrato, sono indipendenti dalla scelta di gauge come atteso. Abbiamo qui
introdotto la frequenza di ciclotrone
e|B|
ωc =
.
(1.12)
me c
Questa frequenza risulterà molto importante nel seguito e rappresenta la scala di energia tipica del
sistema. La soluzione generale delle equazioni del moto è data da
x = R cos(ωc t + δ)
y = R sin(ωc t + δ).
(1.13)
L’elettrone si muove quindi su delle orbite circolari di raggio R, mentre δ rappresenta un fattore
di fase, determinato dalle condizioni iniziali del problema.
Si noti che il sistema è composto da N elettroni non interagenti, sarà pertanto descritto da una
lagrangiana data dalla somma di N termini nella forma di Eq. (1.7).
1.2.2
Elettroni vincolati in una barretta Hall
~ est che, per
Studiamo ora un sistema analogo al precedente, in presenza di un campo elettrico E
fissare le idee, considereremo orientato lungo l’asse x̂ come in Fig. 1.3.
~ est
E
F~B
F~E
~ è diretto perpendicolarFigura 1.3: Rappresentazione della barretta Hall. Il campo magnetico B
~
mente al campione lungo l’asse ẑ. Un campo elettrico Eest giacente sul piano forza gli elettroni a
muoversi lungo la barretta generando una densità di corrente ~j. Per via del contributo magnetico
alla forza di Lorentz F~B gli elettroni si spostano verso il bordo superiore della barretta e creano
un accumulo di carica negativa. La differenza di carica fra i bordi genera un campo elettrico e una
conseguente forza F~E che, all’equilibrio bilancia F~B . L’unica componente della densità di corrente
nel regime stazionario risulta pertanto quella lungo l’asse x̂.
13
1.2 L’effetto Hall classico
Il campo elettrico induce, in assenza del campo magnetico, una densità di corrente ~j parallela ad
~ gli elettroni vengono deviati ed il loro moto viene influenzato dalla
esso. In presenza del campo B
forza di Lorentz. Si viene a creare quindi uno squilibrio di carica nella direzione ŷ ortogonale al
flusso di corrente e al campo magnetico. Questo induce la presenza di una densità di corrente
nella direzione trasversa che accumula cariche sui bordi del campione fin tanto che la differenza di
potenziale da esse generata non si oppone alla componente lungo ŷ della corrente. Il tipico setup
per misure di effetto Hall è mostrato in Fig. 1.3, dove abbiamo indicato con Lx e Ly le dimensioni
del campione.
Descriviamo ora più nel dettaglio il fenomeno mediante la teoria del trasporto di Drude [16, 17]. Il
moto di un portatore è soggetto agli urti dovuti, per esempio, al disordine della struttura cristallina. Questi avvengono in media sulla scala temporale τ e modificano la traiettoria dell’elettrone,
dissipando il momento p~ e generando la resistenza del campione medesimo. Nel modello di Drude
la diffusione dei portatori di carica può quindi essere espressa in termini di un’equazione del moto
mediata
p~
d~
p
= − + F~
(1.14)
dt
τ
dove abbiamo indicato con p~ = me~v l’impulso del portatore, τ la distanza temporale tra due
eventi di scattering e con F~ le forze esterne agenti su di esso. Se consideriamo il sistema in
regime stazionario abbiamo d~
p/dt = 0, possiamo riscrivere la precedente equazione, esplicitando il
contributo della forza di Lorentz
me~v
~ + 1 ~v × B .
−e E
(1.15)
0=−
τ
c
Ricordando la definizione di densità di corrente ~j = −ne e~v , dove ne = N/(Lx Ly ) è la densità
superficiale dei portatori nel piano bidimensionale, possiamo quindi riscrivere l’Eq. (1.15)
~ = me ~j − B ẑ × ~j.
E
ne e2 τ
ne ec
(1.16)
Si noti come il primo termine dell’equazione descriva il trasporto longitudinale e quindi il contributo
dissipativo generato dagli urti, mentre il secondo rappresenti un contributo solo cinematico dovuto
alla presenza del campo magnetico.
È conveniente esprimere la precedente equazione in termini di una relazione tensoriale che lega la
densità di corrente al campo elettrico. Introducendo il tensore di resistività ρ questa può essere
espressa come
~ = ρ~j,
E
(1.17)
dove esplicitamente possiamo scrivere il tensore resistività ρ in forma matriciale
me
B
ρxx ρxy
ne e 2 τ
ne ec
.
ρ=
=
me
ρyx ρxx
− nB
ne e 2 τ
e ec
La matrice definisce, per inversione, il tensore di conducibilità σ
!
ρxy
ρxx
− ρ2 +ρ
2
ρ2xx +ρ2xy
xx
xy
σ=
.
ρxy
ρxx
ρ2xx +ρ2xy
(1.18)
(1.19)
ρ2xx +ρ2xy
Siccome il problema che stiamo considerando è bidimensionale e la densità di corrente è data da
una corrente per unità di lunghezza, allora la resistività ha le stesse dimensioni di una resistenza.
Nel seguito perciò potremo indicare sia con il termine resistività sia con resistenza questa quantità.
Possiamo riconoscere quindi in Eq. (1.18) la presenza di una componente longitudinale, spesso
indicata con Rxx , e di una trasversa per la resistenza detta resistività Hall RH . Quest’ultima è
data da
B
(1.20)
RH =
ne ec
14
L’effetto Hall quantistico
e compare nella parte off-diagonale del tensore in (1.18). Notiamo subito che questa quantità
dipende in maniera lineare dal campo magnetico e permette di discriminare il segno dei portatori
di carica nonchè la loro densità. L’andamento misurato delle due componenti di resistività, per
campi magnetici deboli, è rappresentato in Fig. 1.4.
Desideriamo ora commentare un sistema ideale privo di ogni tipo di scattering per cui τ → ∞,
l’Eq. (1.18) e l’Eq. (1.19) diventano perciò
ρ=
0
− nB
e ec
B
ne ec
0
σ=
0
ne ec
B
e ec
− nB
0
.
(1.21)
Le proprietà di trasporto risultano quindi interamente descritte dalla parte off-diagonale del tensore di resistività. In particolare è importante notare il contemporaneo annullarsi delle componenti
longitudinali dei tensori di resistività e conducibilità. In assenza di disordine il sistema è invariante per traslazioni, allora dall’invarianza di Lorentz è facile risalire alle necessarie componenti
off-diagonali [18].
Il primo a studiare questa fenomenologia, nel lontano 1878, fu E. Hall [19] che notò questo comportamento, descritto dall’Eq. (1.20), effettuando misure di trasporto in sottili lamine metalliche
durante esperimenti volti a determinare il segno e la densità dei portatori di carica.
Figura 1.4: Resistività Hall ρxy e longitudinale ρxx per deboli valori del campo magnetico. Tratto
da [20].
1.3
L’effetto Hall quantistico intero
Il primo a osservare sperimentalmente l’effetto Hall quantistico intero (IQHE) fu K. von Klitzing
[3] nel 1980. Effettuando misure di effetto Hall su un 2DEG immerso in un campo magnetico molto
intenso, ∼ 10 T, e a temperature molto basse, ∼ 1 K ottenne dei risultati inaspettati.
La resistenza Hall non presentava più l’andamento classico atteso, lineare nel campo magnetico,
ma risultò quantizzata con una sorprendente precisione. L’andamento è riportato in Fig. 1.5.
I valori dei plateau sono descritti dalla relazione
RH =
1 h
i e2
i ∈ N.
(1.22)
15
1.3 L’effetto Hall quantistico intero
Figura 1.5: Effetto Hall Quantistico Intero. Si osserva come la resistività Hall ρxy presenti una
chiara struttura a plateau in corrispondenza dei quali ρxx si annulla. Tratto da [20].
Il fatto sorprendente è che questa quantizzazione risulta precisa con un’accuratezza di 1 parte su
108 ÷ 109 e indipendente dai dettagli del campione in esame, infatti entrano in gioco solamente
costanti universali. Questa sorprendente precisione e riproducibilità è una forte indicazione della
natura prettamente quantistica dell’effetto. Si osservi che in corrispondenza di un plateau della
resistenza Hall RH la resistenza longitudinale Rxx risulta nulla, come mostra la Fig. 1.5. L’osservazione congiunta della quantizzazione della resistenza trasversa e dell’annullamento di quella
longitudinale rappresenta infatti il segnale caratteristico che identifica l’effetto Hall quantistico.
Nella sezione successiva cercheremo di spiegare questa fenomenologia utilizzando una teoria di
elettroni non interagenti.
1.3.1
I livelli di Landau
Per spiegare questo fenomeno bisogna, prima di tutto, considerare il comportamento di un elettrone
immerso in un campo magnetico dal punto di vista quantistico [21]. Per far questo è conveniente
formulare il problema in termini dell’Hamiltoniana del sistema
1 e ~ 2
H=
p~ + A
.
(1.23)
2me
c
Da questa segue l’equazione di Schrödinger di singola particella
1 e ~ 2
p~ + A
ψ(x, y) = Eψ(x, y)
2me
c
(1.24)
dove con E abbiamo indicato gli autovalori dell’energia. Per risolvere analiticamente l’equazione
agli autovalori e determinare le autofunzioni del problema è necessario fissare un gauge per il
potenziale vettore. Lo spettro energetico dovrà essere indipendente dalla scelta di gauge. Per
semplicità scegliamo il gauge di Landau
~ = (−By, 0, 0),
A
(1.25)
per il quale possiamo quindi riscrivere
H=
1 2
e
py + (px − By)2 .
2me
c
(1.26)
16
L’effetto Hall quantistico
Si noti che il sistema risulta invariante per traslazioni lungo la direzione x̂, in quanto essa è una
coordinata ciclica. Possiamo quindi cercare delle soluzioni del tipo onde piane lungo la direzione
x.
Per cui, per separazione delle variabili, possiamo assumere per la funzione d’onda la seguente forma
1
ψ(x, y) = √ e−ikx ϕk (y).
2π
(1.27)
Sostituendo nella Eq. (1.26) otteniamo un’equazione di Schrödinger ridotta per la ϕk (y)
"
#
p2y
me 2
2
+
ω y − k`2
ϕk (y) = Eϕk (y).
2me
2 c
(1.28)
Abbiamo utilizzato la definizione di frequenza di ciclotrone ωc in Eq. (1.12) e quella di lunghezza
magnetica
r
~c
`=
.
(1.29)
eB
Si osservi la peculiare dipendenza dall’inverso della radice quadrata
√ del campo magnetico B. Si
noti che la lunghezza ` può essere interpretata fisicamente ponendo 2` pari al raggio di un cerchio
contenente un flusso magnetico φ0 = (hc/e), abbiamo infatti
φ0 = 2π`2 B.
(1.30)
Possiamo riconoscere nella Eq. (1.28) l’equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico unidimensionale lungo la direzione ŷ centrato in k`2 e di frequenza ωc .
Otteniamo quindi le autofunzioni
ϕn,k (y) = Hn (y − k`2 )e−(y−k`
2 2
) /(2`2 )
,
(1.31)
dove Hn (y) sono i polinomi di Hermite [21] di grado n . Lo spettro energetico, detto livelli di
Landau (Fig. 1.6), è dato da
1
.
(1.32)
En = ~ωc n +
2
Figura 1.6: Livelli di Landau. L’aggiunta di un elettrone per un sistema con livelli pieni comporta
il dispendio di un’energia ~ωc .
Come si può notare i livelli dipendono solamente dall’intero n, perciò per un sistema idealmente
infinito abbiamo una degenerazione infinita dei livelli: per ogni valore di n esistono infiniti valori
di k corrispondenti alla stessa energia.
In realtà i campioni reali hanno dimensioni finite Lx e Ly ; tenendo conto di questo si può facilmente
17
1.4 Gli stati di edge nell’IQHE
vedere che la degenerazione dei livelli non è più infinita. Se consideriamo per semplicità condizioni
periodiche lungo la direzione x̂ otteniamo una quantizzazione dei momenti data da k = (2πm)/Lx
con m ∈ Z.
Lungo la direzione ŷ, invece, consideriamo come realistiche solamente le funzioni d’onda il cui
centro k`2 cade all’interno del campione, cioè
0 < k`2 < Ly .
(1.33)
Otteniamo una condizione sul numero d’onda m lungo la direzione x̂ data da
0<m<
Lx Ly
.
2π`2
(1.34)
Abbiamo quindi un valore massimo per m dato dal rapporto dell’area fisica del campione e l’area
associata a un quanto elementare di flusso. Possiamo infatti esprimere la degenerazione massima
di ogni livello di Landau in termini di quanti di flusso che attraversano il campione
Ndeg =
Lx Ly B
φ
=
2
2π` B
φ0
(1.35)
con φ = Lx Ly B flusso totale di campo magnetico che attraversa il campione.
Ogni livello di Landau può quindi contenere un numero massimo di elettroni pari a Ndeg . Si
noti che trascuriamo la degenerazione in spin in quanto stiamo assumendo che tutti gli elettroni
siano totalmente polarizzati in spin a causa della grande intensità del campo magnetico. Possiamo
introdurre una quantità molto importante per gli sviluppi successivi, cioè il fattore di riempimento
o filling factor ν. Questo descrive il rapporto tra il numero di elettroni presenti nel sistema e il
numero massimo di elettroni per livello di Landau
ν=
N
hc
ne ,
=
Ndeg
eB
(1.36)
dove ne è la densità elettronica bidimensionale.
Il caso in cui ν risulta maggiore di uno e pari a un numero intero i corrisponde ad avere i livelli
di Landau completamente pieni. Dato un sistema con ν = i questo presenta un gap energetico
~ωc che corrisponde all’energia che si deve pagare per immettere un ulteriore elettrone nel livello
di Landau successivo. Tale gap determina una discontinuità nel potenziale chimico implicando
l’incompressibilità del sistema. La presenza di un gap determinata dalla struttura dei livelli di
Landau è fondamentale per spiegare la fenomenologia dell’effetto Hall quantistico.
Nel seguito vedremo come, anche nel regime frazionario, la presenza di un gap energetico e la
corrispondente incompressibilità siano elementi necessari per comprendere la fenomenologia del
sistema.
1.4
Gli stati di edge nell’IQHE
Abbiamo visto che l’effetto Hall quantistico intero può essere spiegato in termini di un liquido di
Fermi incompressibile, con la presenza di un gap energetico pari alla separazione tra due livelli di
Landau. Essendo però tale sistema confinato, risulta rilevante studiare quali siano le eccitazioni ai
bordi del fluido Hall incomprimibile. Tali eccitazioni giocano un ruolo fondamentale nella descrizione di bassa energia del sistema, essendo come vedremo gapless.
Una caratteristica fondamentale dei sistemi Hall è la presenza di eccitazioni di bordo (stati di
edge) che risultano essere gapless e chirali. La loro esistenza e le loro peculiari caratteristiche sono
dovute ad un effetto combinato del campo magnetico e di un potenziale di confinamento. Possiamo
spiegare le summenzionate proprietà nel contesto dell’effetto Hall intero, in termini di una teoria
non interagente, inserendo un potenziale di confinamento nell’Hamiltoniana di particella singola
considerata in precedenza. Infatti, nel caso non interagente, l’Hamiltoniana completa, come già
18
L’effetto Hall quantistico
osservato, sarà data, per N elettroni, dalla somma delle Hamiltoniane di singola particella. Vogliamo considerare la presenza di un potenziale di confinamento nella barretta Hall lungo la direzione
ŷ che vincoli il moto degli elettroni, come in Fig. 1.7.
Scegliendo alcune particolari forme per il potenziale di confinamento, quali un confinamento di
Figura 1.7: Stati di edge nella descrizione semiclassica.
tipo armonico o buca infinita, l’Hamiltoniana può essere risolta esattamente [22]. Noi scegliamo
un potenziale generico dato da
V (y) = 0
−w/2 < y < w/2
(1.37)
V (y) 6= 0 y < −w/2;
y > w/2
con w generica larghezza della regione di confinamento. Per semplicità abbiamo scelto un potenziale
nullo all’interno del campione e crescente in prossimità dei bordi, lentamente rispetto alla lunghezza
magnetica in modo che soddisfi la condizione di adiabaticità data da |∂y V (y)| ` ~ωc .
Scriviamo ora l’Hamiltoniana del sistema
1 e 2
1 2
H=
px − By +
p + V (y),
(1.38)
2me
c
2me y
che è analoga alla Eq. (1.26). Procedendo per separazione delle variabili le autofunzioni saranno
sempre del tipo
1
(1.39)
ψ(x, y) = √ e−ikx ϕk (y).
2π
Utilizzando la condizione di adiabaticità possiamo approssimare V (y) con il valore V (k`2 ), visto
che ϕn,k (y) è centrato intorno a k`2 ; gli autovalori verranno perciò modificati con un termine
aggiuntivo V (k`2 ). Per cui gli autovalori dell’energia dell’equazione di Schrödinger sono del tipo
1
En,k = ~ωc (n + ) + V (k`2 )
2
(1.40)
Il risultato è riportato in Fig. 1.8a.
Si osserva immediatamente che all’interno del campione, ossia nel bulk, dove il potenziale di confinamento è nullo si ottengono nuovamente i livelli di Landau, con un gap tra i livelli pari a ~ωc . In
prossimità dei bordi del campione si presenta invece uno spettro variabile. Se l’energia di Fermi
19
1.4 Gli stati di edge nell’IQHE
Figura 1.8: a) Descrizione qualitativa della deformazione dei livelli energetici En,k (in unità di ωc )
del sistema a seguito dell’introduzione di un potenziale di confinamento. Da essa emerge come
le eccitazioni del bordo siano gapless. Ponendo, come mostrato in figura, l’energia di Fermi EF
del sistema fra due livelli del bulk le eccitazioni di bassa energia ammissibili per il sistema sono
solamente quelle dell’edge. b) Visione dall’alto della barra Hall che evidenzia il moto chirale degli
stati di bordo.
giace tra due livelli di Landau in prossimità dei bordi sono possibili delle eccitazioni intorno ad
essa con un costo energetico infinitesimo. Questo spettro, gapless, è dovuto quindi alla presenza
del potenziale di confinamento, che genera anche il piegamento delle bande ai bordi del campione.
Quando l’energia di Fermi giace tra due livelli di Landau, le uniche eccitazioni di bassa energia
sono gli stati di bordo. Le eccitazioni in questi modi hanno una velocità di gruppo non nulla data
dall’equazione
v(k) =
1 ∂En,k
.
~ ∂k
(1.41)
Emerge inoltre la chiralità degli stati di edge, infatti i pacchetti risultano centrati intorno a y0 = k`2
e si ha
1 ∂En,k ∂y0
v(k) =
,
(1.42)
~ ∂y0 ∂k
per cui nel passare da un bordo all’altro si ha un cambiamento nel segno della velocità, la cui
direzione su ciascuno dei bordi risulta fissata dal campo magnetico agente sul sistema. In Fig. 1.8b
è mostrato ad esempio il moto chirale degli edge, in cui l’edge superiore si propaga in modo progressivo e quello inferiore in modo regressivo.
Per quanto detto possiamo pensare gli stati di bordo di un liquido Hall con fattore di riempimento
intero come un liquido di Fermi chirale [23]. La natura chirale degli stati di bordo è fondamentale
per spiegare la quantizzazione della conduttanza Hall come vedremo nella prossima sezione.
1.4.1
Quantizzazione della conduttanza
Nel modello appena descritto solamente gli stati di bordo possono contribuire al flusso di corrente,
in quanto i livelli di Landau nel bulk non propagano essendo, come vedremo in seguito, localizzati.
Un modo di analizzare questo sistema è quello di utilizzare una descrizione semiclassica per le
proprietà di trasporto [23].
Nel campione è presente una caduta di potenziale δV lungo la direzione ŷ, che possiamo pensare
20
L’effetto Hall quantistico
dovuta ad una differenza di potenziale chimico degli stati di edge agli estremi della barretta.
Figura 1.9: Barretta Hall (in azzurro) con due edge distinti che si propagano in direzioni opposte
a causa dell’azione del campo magnetico. In questa configurazione i due edge possono essere
considerati completamente indipendenti e in equilibrio con i rispettivi serbatoi (in giallo). L’edge
superiore ha il potenziale chimico del serbatoio µL mentre quello inferiore risente del potenziale
~ è mostrata
chimico µR . Il voltaggio Hall è dato da −eδV = µR − µL . La direzione del campo B
in figura.
Assumiamo che vi sia un potenziale chimico µL all’estremo yL e uno µR in yR , e che µL > µR , si
veda Fig. 1.9.
Possiamo ora calcolare la corrente in risposta a questo sbilanciamento di potenziale chimico. Teniamo conto che sotto il livello µR gli stati del bordo superiore e inferiore sono ugualmente occupati
e la corrente netta è zero. L’unico intervallo di energie da considerare è perciò quello compreso tra
i due potenziali chimici µR e µL . La corrente totale sarà data dalla somma dei due contributi del
bordo superiore e di quello inferiore
I = I+ + I−
(1.43)
dove con + e − abbiamo indicato gli edge richiamando la chiralità dei due modi. La corrente
portata da uno stato di edge è data dal contributo della velocità di gruppo v± (k) di tutti gli stati
occupati
e X
v± (k)n±,k .
(1.44)
I± = −
Lx
k
con n±,k la probabilità di occupazione e con −e/Lx la densità di carica dello stato di bordo lungo
x̂. Abbiamo anche assunto
di Landau risulti occupato. Passando dalla somma
R
Pche un solo livello
sui momenti all’integrale k → (Lx /2π) dk, otteniamo quindi
Z
Z
∂En,k
e
e
dk
n±,k = −
dEn± (E),
(1.45)
I± = −
2π~
∂k
h
avendo utilizzato la definizione di velocità di gruppo in Eq. (1.41). Si noti che in questo caso
particolare infatti la velocità di gruppo risulta inversamente proporzionale alla densità degli stati
e quindi i due contributi si semplificano nell’integrale. Per il caso a temperatura nulla otteniamo
Z
e µR
e
I = I+ + I− = −
dE = − (µR − µL ).
(1.46)
h µL
h
La differenza di potenziale chimico può essere facilmente ricondotta alla tensione applicata ai capi
della barretta Hall, per cui µR − µL = −eδV . Otteniamo quindi per la corrente
I=
e2
δV,
h
(1.47)
1.4 Gli stati di edge nell’IQHE
21
che rappresenta il contributo di corrente di un singolo stato di bordo. Considerando la presenza
di più livelli di Landau occupati, essendo il loro contributo alla conduttanza additivo in quanto
assunti tra di loro indipendenti, si ha
e2
I = ν δV,
(1.48)
h
con ν numero di livelli occupati.
Aumentando l’energia di Fermi diversi livelli di Landau nel bulk diventano occupati. Il numero
di stati di edge che ogni volta intercettano l’energia di Fermi cambia in maniera discontinua per
valori interi ν ∈ N. Abbiamo quindi mostrato come la quantizzazione della conduttanza per una
barra Hall è
e2
|I|
=ν
ν ∈ N.
(1.49)
σxy =
δV
h
Il modello analizzato fino a questo punto non è però in grado di spiegare il motivo per cui anche
variando il potenziale chimico la conduttanza rimane costante. Infatti la densità degli stati dei
modi gapless non è in grado di spiegare perchè si può variare la densità elettronica del 2DEG
e allo stesso tempo ottenere plateau con la corretta larghezza osservata sperimentalmente per la
conduttanza. Per spiegare questo fatto è necessario tener conto della presenza del disordine, che è
naturalmente presente a causa delle impurezze in un campione fisico reale.
1.4.2
Rottura dell’invarianza traslazionale e disordine
Fino ad ora abbiamo mostrato la quantizzazione della conduttanza nell’IQHE, Eq. (1.49), quando
i livelli di Landau sono completamente pieni, cioè quando il filling factor risulta esattamente pari
a ν = i.
Non abbiamo spiegato però la comparsa dei plateau nelle misure di conduttanza Hall, dove questa
rimane costante se variamo, ad esempio, il valore del campo magnetico, o equivalentemente la
densità elettronica, in maniera tale che il filling factor vari di poco intorno a ν = i. Infatti
la trattazione quantistica che abbiamo fatto è solo in grado di spiegare i valori di conduttanza
quantizzata per alcune regioni della curva Hall, ma non sufficienti a riprodurre le osservazioni
sperimentali. Dobbiamo tenere conto dei possibili effetti di localizzazione dovuti alla presenza di
disordine, cosa che andremo ora a descrivere qualitativamente utilizzando una pittura semiclassica.
Per una trattazione rigorosa si veda [24].
In presenza di un campo magnetico in un sistema invariante per traslazioni è sempre possibile,
facendo le opportune trasformazioni di Lorentz, ottenere una relazione per la resistenza Hall che
risulti lineare nel campo magnetico come in Eq. (1.20) [18]. Pertanto per spiegare la presenza
di questo fenomeno di quantizzazione è necessario rompere l’invarianza traslazionale del sistema.
La natura stessa viene incontro a questa necessità, infatti in un sistema reale questa invarianza è
sempre rotta dalla presenza di difetti reticolari, impurezze e disordine.
La densità degli stati di un gas bidimensionale di elettroni immerso in un campo magnetico risulta
avere la caratteristica forma a picchi centrati sui valori dei livelli di Landau come mostrato in
Fig. 1.10a. Lo scattering con le impurezze modifica la densità degli stati da una struttura deltiforme (Fig. 1.10a) in una struttura a bande come si vede in Fig. 1.10b, la cui larghezza dipende
dall’intensità del disordine. Si può inoltre dimostrare che in presenza di disordine gli stati accessibili si dividono in due famiglie: stati localizzati e stati estesi [25]. I primi si trovano sempre
nelle code delle bande, regione bianca di Fig. 1.10b, mentre i secondi si trovano al centro delle
bande, regione in grigio in Fig. 1.10b. Le due famiglie non possono mai avere livelli energetici in
comune, essendo stati ortogonali [26]. Quando il potenziale chimico attraversa solo stati localizzati
il trasporto attraverso il sistema rimane immutato perchè gli stati localizzati non contribuiscono
al trasporto. Si può dimostrare che in due dimensioni un sistema disordinato in assenza di campo
magnetico e a temperatura nulla presenta solo stati localizzati [25]. La presenza del campo magnetico fa si che vi siano anche degli stati estesi. Si noti che gli stati localizzati non contribuiscono alla
conduzione e solamente la piccola porzione di stati estesi vicino al centro delle bande contribuisce
22
L’effetto Hall quantistico
Figura 1.10: a) Rappresentazione della densità degli stati in funzione dell’energia per un sistema
bidimensionale immerso in un campo magnetico in assenza di disordine. b) Effetto di allargamento
dei livelli dovuto alla presenza del disordine.
al trasporto. In letteratura questo tipo di fenomenologia è stata molto investigata. Diversi lavori di
tipo numerico hanno studiato il fenomeno della localizzazione in sistemi disordinati e in particolare
per sistemi Hall, mostrando come la lunghezza di localizzazione dipenda in energia dalla distanza
dal centro delle bande [26].
Al variare del campo magnetico il fenomeno della quantizzazione della conduttanza persiste. Infatti
all’aumentare di B la degenerazione dei livelli di Landau aumenta e conseguentemente il livello di
Fermi si sposta. Come illustrato in Fig. 1.11 quando l’energia di Fermi si trova in una regione di
stati localizzati la resistenza longitudinale si annulla Rxx = 0 e la resistenza Hall RH è costante,
rimanendo invariato il numero di stati estesi occupati.
Questa breve discussione qualitativa dimostra che la presenza di disordine è fondamentale per
comprendere l’effetto Hall quantistico. Una trattazione seria e completa della teoria del disordine
va ben oltre gli obiettivi di questa tesi e non è necessaria per gli sviluppi successivi. Infatti ci
limiteremo a studiare gli stati estesi, che contribuiscono al trasporto, e come essi possano essere
manipolati per creare specifiche geometrie che permettano di investigarne la loro natura e dinamica.
1.5
L’effetto Hall quantistico frazionario
Tre anni dopo la scoperta dell’IQHE venne osservato, in un 2DEG di maggiore qualità e maggiore
mobilità, un fenomeno ancora più inaspettato: l’effetto Hall quantistico frazionario (FQHE). Questo nome è dovuto al fatto che contrariamente a quanto accade per l’IQHE, dove il filling factor
ν è un intero, D. C. Tsui e H. L. Stormer [4] osservarono una quantizzazione della resistenza Hall
per ν = 1/3, ossia per un valore frazionario.
Oggi, aumentando ancora la mobilità dei campioni e diminuendo ulteriormente la temperatura di
lavoro, sono state osservate molte altre frazioni che costituiscono la ricca fenomenologia di questi
sistemi [15]. Da un punto di vista sperimentale questo effetto risulta molto simile all’effetto Hall
intero, nel quale la resistenza Hall è quantizzata, presentando dei plateau, e contemporaneamente
si annulla la resistenza longitudinale Rxx , si veda Fig. 1.12. Nonostante la notevole somiglianza,
vedremo che l’effetto Hall quantistico frazionario (FQHE) può essere spiegato solo considerando gli
effetti dell’interazione Coulombiana fra gli elettroni. L’interazione infatti in questo caso gioca un
ruolo essenziale nel creare un sistema fortemente correlato nel quale lo stato fondamentale differisce
23
1.5 L’effetto Hall quantistico frazionario
Figura 1.11: Meccanismo di formazione dei plateau di ρH e dell’allargamento dei minimi di ρxx
nell’IQHE. E’ importante sottolineare la differenza tra ρxx e ρxy : a ρxx contribuiscono solo gli
stati intorno al livello di Fermi EF , mentre ρxy sente il contributo di tutti gli stati occupati che
possono partecipare al trasporto. Naturalmente gli stati estesi partecipano al trasporto, mentre,
nelle condizioni considerate, gli stati localizzati no. Quando il campo magnetico assume il valore
Bc l’energia EF (rappresentata dalla linea verticale) si trova in una banda di stati estesi, ρxx 6= 0
e ρxy si trova in una zona di transizione. Per valori di B per cui EF si trova nelle code localizzate,
ρxx = 0 e ρxy è costante in quanto il numero di stati estesi occupati non varia.
in maniera sostanziale da quello del caso a filling factor intero.
Nel 1983 R. Laughlin [5] spiegò i valori osservati sperimentalmente di filling factor ν = 1/3, e in
generale tutti quelli della forma ν = 1/(2n+1) ( con n ∈ N), in termini di un fluido incompressibile
di elettroni correlati, detto appunto fluido Hall. Negli anni successivi venne osservato il FQHE per
una vasta gamma di filling factor diversi da ν = 1/3.
I plateau più stabili e facilmente osservabili appartengono alla cosidetta sequenza principale di
Jain, dal nome del fisico che ne diede per primo una convincente spiegazione teorica [6]. In questa
sequenza i valori di filling factor sono
ν=
p
2np + 1
p ∈ Z, n ∈ N.
(1.50)
Negli ultimi anni, con il progredire delle tecniche sperimentali, sono stati osservati degli stati esotici
FQHE non appartenenti alla sequenza di Jain, quali ad esempio ν = 5/2 e ν = 7/2 [28]. Ad oggi si
è ancora lontani da una piena e completa spiegazione teorica del FQHE, che è oggetto di un’intensa
ricerca sia teorica sia sperimentale.
Il punto di partenza per spiegare il FQHE, come abbiamo detto, è tenere conto dell’interazione
coulombiana tra gli elettroni. Infatti con filling factor ν < 1 gli elettroni si trovano tutti nel livello
di Landau più basso, essi sono quindi in uno stato fortemente degenere. In tale condizione affinchè
si crei un gap, necessario per spiegare la fenomenologia Hall, occorre tener conto dell’interazione
24
L’effetto Hall quantistico
Figura 1.12: Effetto Hall Quantistico Frazionario. Anche in questo caso, analogamente a quanto
accade per l’IQHE si osserva come la resistività Hall ρxy presenti una chiara struttura a plateau
in corrispondenza dei quali ρxx si annulla. Tratto da [27].
tra gli elettroni. L’Hamiltoniana del sistema sarà scritta come
H = H0 + Hint =
N
N
i2
X
1 h
e~
e2
1 X
p~i + A(~
ri ) +
+ Vion
2me
c
2
|~ri − ~rk |
i=1
(1.51)
i6=k
dove è la costante dielettrica del mezzo e si è introdotto il termine Vion che è relativo al potenziale
positivo del reticolo ionico e garantisce la neutralità di carica del sistema.
La presenza dell’interazione coulombiana complica molto la descrizione del sistema e, a causa
della forte degenerazione dei livelli di Landau e del grande numero di elettroni in gioco2 , qualsiasi
approccio di tipo perturbativo è destinato a fallire.
In linea di principio si potrebbe pensare di considerare la parte cinetica come termine perturbativo.
Cosı̀ facendo si ottiene uno stato fondamentale che descrive lo stato di cristallo di Wigner, che
sfortunatamente però ha proprietà molto diverse da quelle presenti nell’effetto Hall frazionario [1].
1.5.1
Il gauge simmetrico
Per ragioni che saranno chiare nel seguito, è conveniente la scelta del gauge simmetrico
~=1 B
~ × ~r = B (−y, x, 0).
A
2
2
(1.52)
Possiamo quindi scrivere l’Hamiltoniana per una singola particella libera nella forma
H0 =
2
1 e ~
p~ + B
× ~r ,
2me
2c
(1.53)
che risulta invariante per rotazioni attorno all’asse ẑ. In questo caso, per le differenti condizioni di
simmetria determinate dalla scelta di gauge, sarà un buon numero quantico il valore del momento
2 La
densità tipica negli esperimenti è pari a ne = 1011 cm−2 .
25
1.5 L’effetto Hall quantistico frazionario
angolare l, anzichè il numero d’onda k utilizzato in precedenza per il gauge di Landau.
È quindi conveniente effettuare un cambio di coordinate, introducendo le variabili complesse


x+iy
 z= `
 x = 2` (z + z̄)
=⇒
(1.54)


`
y
=
−i
(z
−
z̄)
z̄ = x−iy
2
`
dove ` indica la lunghezza magnetica definita in Eq. (1.29). Le derivate rispetto alle variabili
complesse sono date da


 ∂x = 1` (∂z + ∂z̄ )
 ∂z = 2` (∂x − i∂y )
=⇒
.
(1.55)


∂y = `i (∂z − ∂z̄ )
∂z̄ = 2` (∂x + i∂y )
In queste nuove coordinate l’Hamiltoniana diviene
1
1
H = ~ωc −∂z ∂z̄ − ∂z̄ ∂z + (∂z z + z∂z − ∂z̄ z̄ − z̄∂z̄ ) + (z z̄ + z̄z) .
4
16
Possiamo inoltre introdurre gli operatori di creazione


√1 z



 b = 2 ( 2 + 2∂z̄ )



 b† = √1 ( z̄ − 2∂z )
2 2
=⇒

 a = − √i2 ( z̄2 + 2∂z )





 a† = √i ( z − 2∂ )
z̄
2 2
e distruzione
√
z = √2(b − ia† )
z̄ = 2(b† + ia)
1
∂z = − 2√
(b† − ia)
2
1
∂z̄ = 2√
(b + ia† )
2
(1.56)
(1.57)
con le usuali regole di commutazione
a, a† = b, b† = 1
[a, b] = a† , b = 0.
(1.58)
(1.59)
Possiamo riscrivere l’Hamiltoniana in termini dei nuovi operatori
1
H0 = ~ωc (a† a + ),
2
(1.60)
dove è evidente l’analogia con l’oscillatore armonico. Ricordiamo che l’operatore momento angolare
è dato da
L = −i~(x∂y − y∂x ) = ~(z∂z − z̄∂z̄ ),
(1.61)
e può essere riscritto come
L = ~(a† a − b† b).
(1.62)
1
H0 |l, ni = ~ωc (n + )|l, ni = En |l, ni.
2
(1.63)
Se indichiamo con |l, ni l’insieme degli autostati comuni degli operatori H0 e L, otteniamo gli
autovalori per l’Hamiltoniana
Gli autovalori del momento angolare in Eq. (1.62) sono
L|l, ni = ~(n − l)|l, ni.
(1.64)
Possiamo quindi etichettare con n i livelli di Landau e con l un indice determinato dagli autovalori
del momento angolare a n fissato. Osserviamo che in questo modo risulta più evidente la degenerazione dei livelli di energia En , che non dipendono dal numero quantico l. Consideriamo ora la
funzione
z z̄
ϕ0 (z, z̄) = hz, z̄|0, 0i = Ce− 4 ,
(1.65)
26
L’effetto Hall quantistico
con C una costante di normalizzazione. Si può vedere che ϕ0 rappresenta un autostato del sistema
nel livello fondamentale, infatti si ha per gli operatori in Eq. (1.57)
z z̄
z z̄
C z
1 z
z
bϕ0 = √ ( + 2∂z̄ )Ce− 4 = √ ( − )e− 4 = 0
2 2
2 2 2
z z̄
z z̄
i z̄
iC z̄
z̄
aϕ0 = − √ ( + 2∂z )Ce− 4 = − √ ( − )e− 4 = 0.
2 2
2 2 2
(1.66)
(1.67)
Abbiamo quindi per l’Hamiltoniana e per il momento angolare
H0 ϕ0 =
~ωc
ϕ0
2
Lϕ0 = 0.
(1.68)
Il generico stato |l, ni sarà ottenuto agendo con gli operatori di creazione
|l, ni = √
1
(b† )l (a† )n |0, 0i
l!n!
(1.69)
in particolare una base completa per il primo livello di Landau, con n = 0, è rappresentata dagli
stati
z z̄
1
ϕl (z, z̄) = hz, z̄|l, 0i = √
z l e− 4 .
(1.70)
2
l
2π` 2 l!
2
Si noti che il modulo quadro
√ |ϕl (z, z̄)| , ossia la densità di probabilità, risulta piccata intorno ad
un cerchio di raggio pari a 2l`2 che è facile verificare contenere esattamente l quanti di flusso.
Da queste considerazioni una generica funzione d’onda nella forma
ψ(z, z̄) = f (z)e−
z z̄
4
(1.71)
appartiene al primo livello di Landau se e solo se f (z) è una funzione analitica in z, risulta pertanto
una sovrapposizione di autostati della Eq. (1.70). Infatti la condizione di appartenenza al primo
livello è data da
aψ(z) = 0,
(1.72)
che è equivalente all’equazione di Cauchy per f (z)
∂z̄ f (z) = 0.
1.6
(1.73)
La funzione d’onda di Laughlin
Nel 1983 R. Laughlin [5] propose un approccio di tipo variazionale per lo studio dell’effetto Hall
quantistico frazionario. L’idea è quella di introdurre una funzione d’onda di prova per lo stato
fondamentale del sistema di N elettroni interagenti. Osservando che il potenziale coulombiano è
un potenziale radiale è conveniente lavorare nel gauge simmetrico appena descritto.
L’Hamiltoniana che si considera è quella presentata in Eq. (1.51), dove utilizzeremo nuovamente
le coordinate complesse z = x + iy introdotte in precedenza.
Forti del fatto che stiamo trattando un problema con campi magnetici molto intensi, possiamo
considerare che tutti gli elettroni si trovino nel primo livello di Landau3 . Vogliamo studiare la
funzione d’onda dello stato fondamentale di questo problema a molti corpi, che per le considerazioni
precedenti, sarà del tipo
P
2
1
(1.74)
ψ({zi }, {z̄j }) = F ({zi })e− 4 k |zk |
dove con {zi } e {z̄j } abbiamo indicato tutte le possibili coordinate complesse degli N elettroni, e
F ({zi }) è una funzione analitica nelle coordinate {zi }. Il potenziale di interazione è radiale, perciò
3 Questo
modo di procedere ci permetterà di spiegare tutti i casi per cui il filling factor ν < 1.
27
1.6 La funzione d’onda di Laughlin
la funzione d’onda in generale dovrà dipendere solamente dalla distanza tra gli elettroni; possiamo
quindi scrivere la funzione d’onda proposta da R. Laughlin come
Y
P
2
1
ψ({zi }, {z̄j }) =
f (zi − zj )e− 4 k |zk |
(1.75)
i<j
con f (zi − zj ) funzione analitica che dipende dalla differenza delle posizioni degli elettroni in zi e
zj . Il metodo variazionale dunque procede andando a minimizzare l’energia rispetto alla funzione
f (z). Prendiamo quindi la funzione di prova variazionale fatta nel seguente modo
Y
P
2
1
(1.76)
ψ2n+1 =
(zi − zj )2n+1 e− 4 k |zk |
i<j
con n ∈ N in modo da rispettare le proprietà di statistica fermionica degli elettroni. Uno dei
punti di forza di questa funzione d’onda variazionale, rispetto ad altre, risiede nel fatto che essa
possiede zeri di ordine 2n + 1 nelle posizioni degli elettroni. Il passo successivo consiste nel variare
il parametro n per minimizzare l’energia
E2n+1 =
hψ2n+1 |H|ψ2n+1 i
,
hψ2n+1 |ψ2n+1 i
(1.77)
con H in Eq. (1.51). Per effettuare questa minimizzazione R. Laughlin sfruttò un’analogia tra la
funzione di distribuzione di probabilità |ψ2n+1 |2 ottenuta dalla funzione in Eq. (1.76) e quella generata da un plasma classico bidimensionale [1, 2]. Infatti si può scrivere la funzione di distribuzione
di probabilità per gli N elettroni come
2
|ψ2n+1 | = e−βU
(1.78)
dove β = 2/(2n + 1), e
N
N
X
X
1
2
|zk | .
U = −(2n + 1)
ln |zi − zj | + (2n + 1)
4
i<j
2
(1.79)
k=1
Questa energia può essere interpretata come l’energia potenziale di un plasma classico bidimensionale neutralizzato da una densità di carica uniforme (jellium).
Il primo termine è il potenziale repulsivo del plasma interagente in uno spazio a due dimensioni..
Per convincersi di questo fatto è sufficiente considerare il teorema di Gauss in due dimensioni, ossia
I
~ = 2πQ,
dl n̂ · E
(1.80)
dove Q è la quantità di carica contenuta all’interno della linea l su cui si sta integrando, e con n̂
abbiamo indicato il versore uscente ed ortogonale alla linea chiusa. Una carica puntiforme Q genera
~ radiale, perciò sfruttando le simmetrie del problema possiamo applicare il
un campo elettrico E
teorema su una circonferenza di raggio r e ottenere il campo elettrico
~ = Q r̂,
E
r
(1.81)
il potenziale elettrostatico per cui sarà
ϕ(r) = −
Z
r
r0
dr0
Q
= −Q ln
r0
r
r0
.
(1.82)
Con r0 abbiamo indicato un fattore di scala, che induce uno shift nel potenziale ma non altera la
fisica del sistema. Notiamo quindi che il primo termine nella Eq. (1.79) è formato da una somma di
28
L’effetto Hall quantistico
termini analoghi all’Eq. (1.82) con carica 2n + 1 e dove il fattore di scala r0 è dato dalla lunghezza
magnetica `.
Il secondo termine dell’Eq. (1.79) rappresenta invece l’energia di interazione tra queste cariche
e il background di carica uniforme e opposta che neutralizza il sistema (jellium). Si può quindi
definire una densità di carica uniforme e costante ρ0 che neutralizzi il plasma, in modo da ottenere
l’equazione di Poisson
1
1
2
2
2
2
2
2 1
(x + y ) = 2 = −2πρ0 .
(1.83)
∇ ( |z| ) = (∂x + ∂y )
2
4
4`
`
La funzione U può quindi essere interpretata come l’energia potenziale di un plasma classico ad una
componente, in cui N particelle di carica 2n + 1 interagiscono tra loro con potenziale logaritmico
e sono immerse in una densità di carica uniforme ρ0 che neutralizza il sistema.
Questa analogia con un plasma classico è di importanza fondamentale nella scelta del parametro
variazionale che minimizza l’energia del sistema. Dallo studio della fisica dei plasmi è noto infatti
che l’energia è minima quando il sistema è ovunque localmente neutro, ovvero quando la densità
di particelle ne soddisfa la condizione
ne (2n + 1) + ρ0 = 0.
(1.84)
Ricordando ora la definizione di lunghezza magnetica ` in Eq. (1.29) e l’Eq. (1.83) per ρ0 otteniamo
la relazione
1
1 Be
= ,
(1.85)
(2n + 1) =
2πne ~c
ν
dove nella seconda uguaglianza si è utilizzata la definizione di filling factor in Eq. (1.36). Questo
dimostra che il modello proposto è in grado di spiegare gli stati FQHE osservati con filling factor
pari a ν = 1/(2n + 1). Tale sequenza viene detta pertanto sequenza di Laughlin.
Da quanto detto la funzione d’onda proposta da R. Laughlin per lo stato fondamentale descrive una
goccia circolare di fluido Hall con densità uniforme. Questa analogia si basa sulla considerazione
che la distribuzione delle particelle del plasma coincide con la configurazione più probabile per il
sistema di elettroni descritto da ψ2n+1 .
Nonostante non vi siano altri possibili parametri variazionali oltre a n che controlla la densità, è
stato dimostrato che la funzione d’onda di Laughlin approssima in maniera sorprendente la funzione
esatta per quasi qualsiasi potenziale realistico di interazione repulsiva. Sono stati fatti diversi
studi di tipo numerico che confrontano la funzione di Laughlin con lo stato fondamentale, ottenuto
mediante diagonalizzazione esatta, di sistemi a pochi elettroni soggetti a interazioni repulsive [29].
Lo stesso lavoro originale di R. Laughlin metteva in luce questo aspetto molto importante che
sottolinea la bontà di questo approccio variazionale [5].
1.7
Eccitazioni a carica frazionaria
Vogliamo studiare ora le possibili eccitazioni del sistema Hall estendendo la descrizione di R.
Laughlin oltre lo stato fondamentale. Per far questo possiamo immaginare di introdurre nel fluido
Hall in un generico punto z0 un solenoide di lunghezza infinita e sezione infinitesima, all’interno del
~ perpendicolare al
quale scorre un quanto di flusso magnetico φ0 = (hc)/e. Il campo magnetico B
piano xy della barretta Hall ed esterno al solenoide non viene influenzato dalla presenza di questo
~ varia. Si può
quanto di flusso aggiuntivo all’interno del solenoide, mentre il potenziale vettore A
dimostrare [2] che la funzione d’onda di singola particella nello stato fondamentale, per l’aggiunta
del quanto di flusso, assume la forma
1
2
1
2
(z − z0 )2n+1 e− 4 |z| → (z − z0 )(2n+1)±1 e− 4 |z| ,
(1.86)
dove si osservi che il segno a esponente dipende dal segno del quanto di flusso inserito. Notiamo che
quest’azione è analoga a quella degli operatori b e b† di Eq. (1.57) applicati alla funzione d’onda,
29
1.7 Eccitazioni a carica frazionaria
operatori scaletta per il momento angolare. Il primo agisce infatti sulla funzione d’onda di singola
particella come una derivazione della parte polinomiale, mentre il secondo moltiplica per z − z0
la funzione d’onda. Con queste considerazioni possiamo ottenere un’espressione per la funzione
d’onda variazionale per l’eccitazione elementare di carica positiva nel punto z0 , detta quasibuca
ψz+0 =
N
Y
(zj − z0 )ψ2n+1
(1.87)
j=1
e per quella di carica negativa, detta quasiparticella
ψz−0 =
N
Y
j=1
(2∂zj − z0 )ψ2n+1 .
(1.88)
Per comprendere le proprietà delle funzioni d’onda appena introdotte possiamo rifarci nuovamente
all’analogia con il plasma classico; otteniamo una funzione di distribuzione di probabilità per la
quasibuca del tipo
|ψz+0 |2 = e−βU e−βW
(1.89)
dove β = 2/(2n + 1) e U è l’energia potenziale del plasma classico in Eq. (1.79). Il termine W è
dato da
N
X
W = −(2n + 1)
ln(zj − z0 ).
(1.90)
j=1
L’Hamiltoniana associata descrive un sistema di particelle di carica 2n + 1 in cui viene introdotta
una carica unitaria nel punto z0 . Il plasma, per schermare tale carica, modifica la sua distribuzione
in modo da essere neutro almeno localmente.
Inizialmente, come abbiamo già visto, la distribuzione di carica negativa è completamente neutralizzata dal background di carica positiva (jellium); l’introduzione del quanto di flusso magnetico
nel punto z0 equivale alla creazione di un vortice che tende a respingere gli elettroni. In quel
punto si crea una deplezione di carica pari a Qqb = e/(2n + 1) che corrisponde alla quasibuca.
Questa analogia classica non è in grado di spiegare la funzione d’onda della quasiparticella, la cui
descrizione risulta più complicata [1, 29], ma per i nostri scopi è sufficente considerare che si crea
un accumulo di carica negativa pari a Qqp = −e/(2n + 1).
Questo è uno degli aspetti più affascinanti del FQHE, abbiamo un sistema di elettroni le cui eccitazioni elementari hanno carica frazionaria. In seguito mostreremo un’altra proprietà fondamentale
di questi oggetti: essi hanno anche statistica frazionaria, non sono nè bosoni nè fermioni ma appartengono alla più vasta classe degli anioni [30, 31]. La comparsa di queste eccitazioni è dovuta alla
forte correlazione tra gli elettroni in questo sistema. Al di fuori del fluido Hall le quasiparticelle
e le quasibuche non possono esistere, in quanto necessitano delle peculiari simmetrie dello stato
fondamentale del liquido Hall che è descritto dalla funzione d’onda in Eq. (1.76). All’interno della
goccia Hall tali eccitazioni possono essere considerate a tutti gli effetti come oggetti fisici con precise proprietà che approfondiremo meglio nel seguito. Si noti che inizialmente il sistema era neutro,
perciò a causa della conservazione della carica e del fatto appena citato che le eccitazioni a carica
frazionaria sussistono solo all’interno del fluido Hall, esse devono essere create in coppie e, come
dimostrato con studi di tipo numerico, la loro creazione costa un’energia finita[5, 29]. Dagli stessi
studi numerici vengono infatti stimati i gap elettronici che risultano proporzionali all’interazione
elettrone-elettrone, che è appunto responsabile della formazione del gap tra lo stato fondamentale
e gli stati eccitati. I valori tipici calcolati per questi gap sono ad esempio ∆ = 0.025e2 /(`) [29],
che corrisponde ad alcuni gradi Kelvin, e trovano un adeguato riscontro sperimentale mediante
misure di attivazione termica [32].
30
1.8
L’effetto Hall quantistico
Statistica frazionaria e anioni
Una caratteristica peculiare trattando sistemi quantistici in due dimensioni, contrariamente a quanto accade in tre dimensioni, è la possibilità di avere oggetti con statistica frazionaria.
In tre dimensioni spaziali infatti, considerando sistemi di due o più particelle quantistiche, si può
Figura 1.13: a) Processo in cui una particella A si muove lungo un cammino C attorno ad un’altra
particella B. In tre dimensioni si può approfittare della direzione ẑ per ridurre il cammino ad un
solo punto. b) In due dimensioni il processo equivalente consiste in due scambi successivi delle
particelle e non può essere ricondotto ad un punto.
dimostrare che le particelle da un punto di vista statistico possono essere solamente bosoni o fermioni. Questa regola di superselezione in due dimensioni viene meno e si possono trovare particelle
con statistiche intermedie, queste particelle vengono dette anioni, in inglese anyons [30, 31, 33, 34].
Per mostrare le diverse proprietà di statistica in due e tre dimensioni possiamo considerare il processo T in cui una particella A si muove adiabaticamente lungo un percorso chiuso C nel piano xy
attorno ad un’altra particella B dello stesso tipo, si veda Fig. 1.13. Notiamo che questo processo
è equivalente, a meno di una traslazione che è topologicamente irrilevante, a effettuare due volte il
processo E in cui le particelle A e B vengono scambiate. Questo viene espresso nella relazione
√
(1.91)
E2 = T
E =± T,
dove l’uguaglianza è intesa in senso topologico, a meno di una traslazione.
Se consideriamo il caso tridimensionale possiamo sfruttare la terza direzione z e considerare il
percorso chiuso C 0 mantenendo fissa la posizione della particella B nel piano xy. In questo caso
il percorso chiuso può essere deformato con continuità fino a chiudersi in un punto (C 00 ), senza
incrociare mai la posizione della particella B. Da un punto di vista topologico i percorsi C, C 0 e C 00
sono equivalenti. Dal momento che il percorso C 00 = I è stato ridotto ad un punto vale la relazione
banale T (C 00 ) = I e perciò vale la relazione
√
T (C) = T (C 0 ) = T (C 00 ) = I
E = ± I,
(1.92)
dove con I abbiamo indicato l’operatore identità. Otteniamo perciò due possibili valori per
l’operatore E di scambio delle particelle, ovvero le due radici dell’unità
bosoni
fermioni
Eb = e2πi = 1
Ef = eπi = −1.
(1.93)
ψ(~rA , ~rB ) = ±ψ(~rB , ~rA ),
(1.94)
Questo descrive la sopra menzionata regola di superselezione, in tre dimensioni le proprietà di
scambio fanno sı̀ che le particelle siano bosoni (E = 1) oppure fermioni (E = −1).
Se invece consideriamo uno spazio bidimensionale non è possibile costruire un loop chiuso per la
particella A che includa la seconda particella, e che possa essere deformato con continuità in un
punto senza incrociare la posizione B di questa. Il processo di scambio delle particelle E quindi non
sarà più descritto dalle due radici dell’unità e non vale più la classificazione in bosoni e fermioni.
Dobbiamo perciò generalizzare la relazione di commutazione tra le funzioni d’onda delle particelle
dove il + corrisponde al caso di bosoni e il − a quello di fermioni. Scriviamo quindi
ψ(~rA , ~rB ) = eiθ ψ(~rB , ~rA )
(1.95)
31
1.8 Statistica frazionaria e anioni
dove abbiamo indicato con θ l’angolo statistico definito modulo 2π. Si noti che per θ = 0 otteniamo
le regole di commutazione nel caso bosonico e per θ = π quelle nel caso fermionico. Per tutti gli
altri valori dell’angolo statistico compresi tra 0 e 2π le particelle vengono dette anioni.
Una trattazione generale e completa degli anioni comporterebbe l’introduzione del concetto di
“braiding group” e per una trattazione dettagliata si rimanda alla letteratura in merito [31, 33, 34].
1.8.1
Anioni e quasiparticelle di Laughlin
Vogliamo ora applicare i concetti appena esposti al caso delle particelle di Laughlin.
Un modo conveniente di procedere è quello di applicare il concetto di fase di Berry [35, 36], per calcolare quale sia la fase acquisita per la circuitazione di una quasiparticella su di un percorso chiuso.
Consideriamo una generica Hamiltoniana H dipendente da un insieme di parametri che indichiamo
con R. Supponiamo di variare i parametri R(t) lentamente, in modo che valga l’approssimazione
adiabatica, e di riportarli dopo un tempo T alle condizioni iniziali, per cui si ha
H(R(0)) = H(R(T )).
(1.96)
Dovremo quindi studiare le soluzioni agli autovalori per l’equazione di Schrödinger dipendente dal
tempo
H(R(t))|ψ(R(t))i = i~|ψ̇(R(t))i
(1.97)
dove |ψ(R(t))i indica la generica funzione d’onda che in generale dipenderà dai parametri R. Ad
ogni istante, per l’approssimazione adiabatica, gli autostati di H, per un generico stato |ni, saranno
dati da
H(R(t))|n(R(t))i = En (R(t))|n(R(t))i
(1.98)
con En (R(t)) autostati dell’energia in corrispondenza della particolare configurazione dei parametri
R(t). Il generico stato |ψ(R(t))i evoluto al tempo t può essere scritto come [37]
i
|ψ(R(t))i = e− ~
Rt
0
dt0 Eψ (R(t0 )) iγ
e |ψ(R(0))i
(1.99)
avendo indicato con Eψ l’energia dello stato iniziale |ψ(R(0))i, autostato dell’Hamiltoniana. Nella
precedente equazione compaiono due fattori di fase, il primo è l’usuale contributo dovuto all’evoluzione dinamica, mentre il secondo invece è legato alla geometria del percorso che si effettua nello
spazio dei parametri R, e viene detto fase di Berry. La funzione γ non è però arbitraria, ma deve
far sı̀ che |ψ(R(t))i soddisfi l’Eq. (1.97), si ha quindi
Z t
d
γ=i
dt0 hψ(R(t0 ))| 0 |ψ(R(t0 ))i
(1.100)
dt
0
in modo che sia soddisfatta la Eq. (1.97). Applichiamo ora questo risultato alla funzione d’onda
di Laughlin per lo stato di quasibuca, supponendo di far variare nel tempo la posizione z0 (t0 )
ψz+0 (t0 ) =
N
Y
i=1
[zi − z0 (t0 )] ψ2n+1 .
(1.101)
Assumiamo che la posizione z0 (t0 ) dell’eccitazione percorra un’orbita chiusa che circonda il fluido
Hall. Derivando rispetto al tempo la Eq. (1.101)
Z
N
N
X
X
d +
dz0
1
dz0
1
+
2
|ψ
i
|ψ
i
=
≡
d
z
δ(z − zi )|ψz+0 (t0 ) i, (1.102)
0
0 )] z0 (t0 ) dt0
0
0)
dt0 z0 (t )
[z
−
z
(t
dt
z
−
z
(t
i
0
0
i=1
i=1
otteniamo
hψz+0 (t0 ) | dtd0 |ψz+0 (t0 ) i =
dz0
dt0
R
dz0
dt0
R
d2 z [z−z10 (t0 )] hψz+0 (t0 ) |
d2 z [z−z10 (t0 )] hψz+0 (t0 ) |ρ(z)|ψz+0 (t0 ) i.
PN
i=1
δ(z − zi )|ψz+0 (t0 ) i =
(1.103)
32
L’effetto Hall quantistico
Nell’ultima relazione abbiamo identificato l’operatore densità
ρ(z) =
N
X
i=1
δ(z − zi ).
(1.104)
Possiamo quindi sostituire le precedenti relazioni nella Eq. (1.100) per ottenere la fase di Berry
I
Z
hρ(z)i
γ = i dz0 d2 z
(1.105)
[z − z0 ]
H
dove l’integrale in dt0 è stato sostituito da dz0 . Effettuando esplicitamente l’integrazione nel
piano complesso, utilizzando la formula di Cauchy, si ottiene per γ
Z
γ = 2π d2 z hρ(z)i ,
(1.106)
dove l’integrazione della densità su tutto lo spazio restituisce il numero totale degli elettroni N =
νφ/φ0 e quindi
2π φ
.
(1.107)
γ=
2n + 1 φ0
Se la quasibuca compie un percorso che circonda un’altra quasibuca il numero di elettroni racchiuso
diminuisce di 1/(2n + 1), la fase geometrica viene perciò alterata e diventa
γqb =
2π
2π
2π φ
= 2πN −
.
−
2n + 1 φ0
2n + 1
2n + 1
(1.108)
Quando una quasibuca, o equivalentemente una quasiparticella, compie un giro intorno ad un’altra
eccitazione dello stesso tipo, la funzione d’onda acquista un fattore di fase non banale. Come abbiamo gia descritto, un giro completo di una particella intorno ad un’altra corrisponde a effettuare
due scambi delle posizioni, perciò l’angolo statistico sarà la metà del fattore di fase appena trovato,
e in particolare abbiamo
π
θ=
,
(1.109)
(2n + 1)
che risulta una frazione di 2π.
Le quasibuche, e cosı̀ anche le loro eccitazioni coniugate, mediante la simmetria particella buca,
nella sequenza di Laughlin risultano perciò essere degli anioni con statistica frazionaria.
1.9
Generalizzazione della funzione d’onda di Laughlin
La soluzione proposta da R. Laughlin risultò molto efficace per spiegare il FQHE nella sequenza
di valori di filling factor ν = 1/(2n + 1), ma non esaurisce e non è in grado di spiegare tutta la
ricca fenomenologia osservata sperimentalmente nei sistemi quantum Hall.
Partendo dal lavoro di R. Laughlin, J.K. Jain [6] riuscı̀ a generalizzare l’approccio a funzione
d’onda e a spiegare i valori di filling factor della sequenza ν = p/(2np + 1) con p ∈ Z e n ∈ N,
detta appunto sequenza di Jain o sequenza principale.
Il punto di partenza è notare che la funzione d’onda di Laughlin in Eq. (1.76) può essere fattorizzata
come



P |zk |2
P |zk |2
1
Y
Y
−
− 41
2
k
k `2
4
`
∆B  
b  .,
ψ2n+1 =  (zi − zj )e
(zi − zj )2n e
(1.110)
i<j
i<j
dove abbiamo utilizzato la parametrizzazione complessa zi = xi + iyi per descrivere la posizione
della particella i-esima, parametrizzazione analoga a quella utilizzata in precedenza a meno del
fattore di scala `2 . Nell’equazione precedente abbiamo posto
`2∆B =
~c
e∆B
`2b =
~c
,
eb
(1.111)
1.9 Generalizzazione della funzione d’onda di Laughlin
33
con
B = ∆B + b.
(1.112)
Si può dimostrare che il primo fattore nella Eq. (1.110) corrisponde al determinante di Slater per
un sistema di N elettroni moltiplicato per un termine gaussiano e descrive pertanto un sistema
di elettroni a ν = 1 soggetti a un campo magnetico ∆B [1, 2]. Il secondo fattore in Eq. (1.110)
associa 2n zeri della funzione d’onda ad ogni elettrone. Come abbiamo visto nella sezione 1.7 a
tali zeri corrisponde un quanto di flusso magnetico che viene inserito nel sistema.
Possiamo pensare che questi zeri della funzione d’onda corrispondano a legare agli elettroni del
sistema 2n quanti di flusso del campo magnetico esterno. Le particelle composte cosı̀ ottenute
risultano immerse in un campo magnetico esterno ∆B meno intenso del precedente, ma sufficiente
da determinare un effetto Hall intero per queste nuove eccitazioni. In questo caso però le particelle
che consideriamo non saranno più banalmente elettroni, per questi nuovi oggetti J. K. Jain propose
il nome di composite fermions [6].
La natura fermionica di tali oggetti è garantita dal fatto che introducendo 2n quanti di flusso si
ottiene un fattore di fase banale che non altera le proprietà di statistica della particella originale.
Si ha perciò una corrispondenza tra gli stati FQHE appartenenti alla sequenza di Laughlin e un
sistema IQHE con ν = 1 di composite fermions, si veda Fig. 1.14. Questo ragionamento può essere
esteso a diversi filling factor non appartenenti a questa sottosequenza.
Per il generico valore di filling factor ν si ha
B=
ne φ 0
,
ν
(1.113)
e in approssimazione di campo medio, ossia per densità costante, possiamo ottenere il campo che
si lega agli elettroni con 2n quanti di flusso associati
b = 2nne φ0 .
(1.114)
In questa pittura i composite fermions risentono di un campo magnetico efficace dato da
∆B =
n e φ0
n e φ0
− 2nne φ0
=
∗
ν
ν
(1.115)
dove ν ∗ rappresenta il filling factor efficace dei composite fermions. Dalla precedente equazione
otteniamo perciò una relazione tra il filling factor ν e ν ∗ che sarà
ν=
ν∗
.
2nν ∗ + 1
(1.116)
Ipotizzando che i composite fermions si trovino a formare una configurazione di IQHE con ν ∗ = p
con p ∈ N, otteniamo
p
ν=
.
(1.117)
2np + 1
Questa sequenza riesce a descrivere un gran numero di filling factor osservati sperimentalmente,
che risultano essere tra i più stabili.
Si osservi che se il campo medio effettivo b risultasse essere maggiore del campo magnetico esterno
B ciò equivarrebbe ad avere un ∆B < 0. In questo caso, ripetendo il ragionamento precedente, si
ottiene una serie diversa dalla Eq. (1.117), e in particolare
ν=
p
2np − 1
(1.118)
Si noti che le due sequenze possono essere descritte in maniera compatta come
ν=
p
2np + 1
(1.119)
34
L’effetto Hall quantistico
dove ora p può assumere valori interi sia positivi Eq. (1.117) sia negativi Eq. (1.118).
Da queste considerazioni J. K. Jain propose, in piena analogia con la funzione d’onda di Laughlin,
una funzione d’onda variazionale che descrive la sequenza in Eq. (1.119)
ψJain = PLLL Φp (z1 , ..., zN )
Y
i<j
1
(zi − zj )2n e− 4
P |zk |2
k
`2
.
(1.120)
Abbiamo indicato con Φp la funzione di N elettroni nello stato con ν = p. Ricordando che
quest’ultima è antisimmetrica per lo scambio di due qualsiasi particelle, notiamo facilmente che
ψJain risulta anch’essa antisimmetrica. L’operatore PLLL indica la proiezione della funzione d’onda
sul primo livello di Landau, in quanto lo stato del sistema è ottenuto da un sistema di particelle
fortemente correlate ristrette al livello di Landau più basso, si veda Eq. (1.119).
Procedendo analogamente a quanto fatto nel caso della sequenza di Laughlin si possono ricavare
i valori di carica e statistica per le eccitazioni fondamentali di quasiparticella per la sequenza di
Jain. Si ha infatti per la carica
Qqp = −
e
;
|2np + 1|
mentre per la statistica [7]
θqp = π
Qqb =
e
,
|2np + 1|
2n(p − 1) + 1
.
2np + 1
(1.121)
(1.122)
Notiamo infine che prendendo p = 1 i valori si riducono a quelli ottenuti in precedenza per la
sequenza di Laughlin.
Figura 1.14: Visione schematica dei composite fermions per gli stati ν = 1/3, ν = 2/5 e ν = 2/3.
Capitolo 2
Teorie di campo efficaci
In questo capitolo mostreremo come la fenomenologia del FQHE possa essere spiegata nell’ambito
delle teorie di campo efficaci. Illustreremo infatti che le simmetrie dello stato fondamentale in
un plateau Hall impongono dei precisi vincoli sulle teorie di campo ammissibili per il problema.
Costruiremo quindi una teoria di campo efficace in grado di descrivere le proprietà di bulk del
fluido Hall per la sequenza di Laughlin. Da questa otterremo una “proiezione” sul bordo, in
grado di rappresentare gli stati di edge del sistema che, come abbiamo visto, sono fondamentali
per spiegare le proprietà di trasporto. Successivamente descriveremo alcune generalizzazioni che
estendono queste teorie alla sequenza di Jain e in particolare ci concentreremo sugli stati di edge
del sistema. Analizzeremo in dettaglio alcuni particolari modelli che descrivono i valori di filling
factor pari a ν = 2/5 e ν = 2/3, che saranno oggetto di questa tesi.
Nel seguito adotteremo il sistema di unità di misura naturale, cioè quello in cui ~ = c = 1.
2.1
Teoria di bulk per la sequenza di Laughlin
In questa sezione vogliamo ripercorrere il lavoro di X. G. Wen [7] per costruire una teoria di
campo efficace che tenga conto degli effetti di bassa energia e che descriva le proprietà di bulk del
liquido Hall frazionario nella sequenza di Laughlin con filling factor ν = 1/(2n + 1). La densità
di Lagrangiana di un sistema di elettroni soggetti ad un campo magnetico sarà scritta in generale
come
L = K + Aµ · J µ ,
(2.1)
dove abbiamo indicato con K la parte cinetica e le interazioni fermioniche, contributi che non
tratteremo nel seguito in quanto disaccoppiati dal campo esterno Aµ . Si noti che, vista la bidimensionalità del sistema, gli indici greci assumono il valore 0 per la componente temporale, 1, 2,
per quelle spaziali. Assumiamo che la carica delle particelle sia pari a −e per cui
J 0 = −e
N
X
i=1
J~ = −e
δ(~r − ~ri )
N
X
i=1
~vi δ(~r − ~ri )
(2.2)
dove J 0 è la densità di carica e J~ la corrente delle N particelle situate nella posizione ~ri con velocità
~vi . Con Aµ indichiamo il potenziale vettore legato al campo elettromagnetico esterno accoppiato
al sistema. Dalla teoria del trasporto di Drude, come abbiamo visto nel capitolo precedente, si
trova la relazione tensoriale che lega la corrente J µ al campo elettromagnetico esterno. In termini
di potenziale vettore essa può essere scritta come
J µ = −σxy εµνρ ∂ν Aρ .
35
(2.3)
36
Teorie di campo efficaci
Con εµνρ abbiamo indicato il tensore completamente antisimmetrico in 2 + 1 dimensioni. Nella
Eq. (2.3) il termine σxy indica la conduttanza ed è pari a
σxy = ν
e2
,
2π
(2.4)
nelle nuove unità di misura, adottate a inizio capitolo, con il filling factor ν = 1/(2n + 1).
Esplicitando le componenti otteniamo infatti
J0
1
e
B
= σxy (∂x Ay − ∂y Ax ) = ν B = ν
−e
e
2π
φ0
(2.5)
dove in quest’ultima abbiamo inserito la definizione di quanto elementare di flusso φ0 = (2π)/e,
ossia hc/e esplicitando le costanti ~ e c. L’equazione (2.5) esprime la densità di particelle J 0 /(−e) =
ρ(~r) del sistema elettronico bidimensionale. Per le componenti spaziali vale invece
J i = −σxy εij E j
i, j = 1, 2,
(2.6)
dove con εij abbiamo indicato il tensore antisimmetrico in 2 dimensioni. Si noti che l’equazione
precedente in sostanza coincide con l’Eq. (1.17) e l’Eq.(1.21). Ci proponiamo quindi di formulare
una teoria efficace in termini della corrente J µ che riproduca le proprietà universali del FQHE e
che rispetti la relazione in Eq. (2.3). Per questo è conveniente introdurre un campo di gauge aµ
ed esprimere la corrente in termini di questo nuovo campo. In particolare si pone
J µ = −e
1 µνρ
ε ∂ν aρ
2π
(2.7)
dove, ricordando l’antisimmetria del tensore εµνρ , si può verificare immediatamente che vale
∂µ J µ = 0
(2.8)
che esprime la conservazione della corrente. La densità di lagrangiana in Eq. (2.1) può essere
quindi riscritta [8] in termini di questo nuovo campo di gauge aµ e del campo esterno Aµ . Infatti
integrando i gradi di libertà fermionici [38] presenti nella componente cinetica di K si ottiene una
Lagrangiana effettiva
1 µνρ
e µνρ
L=
ε aµ ∂ν aρ −
ε Aµ ∂ν aρ ,
(2.9)
4πν
2π
dove si osservi che il prefattore del primo termine dell’equazione contiene il filling factor ν. Si noti
che il termine che si accoppia con il campo esterno Aµ è proprio il termine di Eq. (2.7). Tale densità
Lagrangiana descrive le proprietà di bassa energia del sistema, rispettando i vincoli imposti dalla
Eq. (2.3). Questa è la densità di Lagrangiana di Chern Simons, ampiamente studiata in letteratura
[39]. Essa è una teoria di gauge topologica per il campo abeliano aµ ammissibile in 2+1dimensioni,
alternativa alla teoria di Maxwell.
Se studiamo le equazioni del moto della Lagrangiana in Eq. (2.9)
∂ν
δL
δL
−
= 0,
δ∂ν aµ
δaµ
(2.10)
otteniamo effettivamente le relazioni in Eq. (2.3), dimostrando quindi che la Lagrangiana di bassa
energia introdotta rispetta i vincoli fondamentali imposti dalla fisica dello stato Hall. Facciamo
osservare che la Lagrangiana in Eq. (2.9) è manifestamente non invariante sotto le trasformazioni
di gauge
aµ → aµ + ∂µ Λ
Aµ → Aµ + ∂ µ f
(2.11)
37
2.1 Teoria di bulk per la sequenza di Laughlin
con Λ e f funzioni arbitrarie. Tale invarianza però appare nell’azione costruita a partire da essa,
effettuando un’integrazione nello spazio e nel tempo. La lagrangiana in Eq. (2.9) infatti può essere
espressa come una derivata totale se si considerano i campi nulli all’infinito, ovvero in assenza di
bordi. Questo fatto verrà ripreso nel seguito, quando vorremo considerare la presenza di bordi nel
nostro sistema.
La teoria di Chern Simons è una teoria di campo topologica, questo implica che la densità di
Hamiltoniana deve essere nulla. Ciò può essere visto per conto diretto ricordando la definizione di
densità di Hamiltoniana
δL
∂t aσ − L.
(2.12)
H=
δ∂t aσ
Dalla Eq. (2.9) segue immediatamente che H = 0. Il campo aµ non ha una propria dinamica, ma
la Lagrangiana in Eq. (2.9) descrive le caratteristiche topologiche del sistema.
Per quanto esposto fino ad ora questa teoria effettiva riesce a descrivere i plateau della conducibilità
del bulk di un generico liquido FQHE della sequenza di Laughlin privo di eccitazioni.
Vogliamo considerare la presenza di possibili eccitazioni nel sistema. Immaginiamo di creare una
quasiparticella ferma nel punto ~r0 che si accoppi con il campo di gauge aµ tramite una costante di
accoppiamento l. Questo induce un termine di sorgente nella Lagrangiana pari a
Ls = ela0 δ(~r − ~r0 ) = −la0 j 0
(2.13)
Se studiamo ora le equazioni del moto per la componente a0 del campo di gauge in presenza della
sorgente avremo
1 0ij
B
J0
=
ε ∂i aj = ν
+ lνδ(~r − ~r0 )
(2.14)
−e
2π
φ0
che contiene un termine aggiuntivo rispetto alla Eq. (2.5) dovuto alla presenza della nuova particella
in ~r0 . Da questa relazione ricaviamo che la carica aggiunta dall’eccitazione è pari a
Ql = −νle = −
l
e.
2n + 1
(2.15)
Nel capitolo precedente avevamo trovato che le eccitazioni di quasiparticella e di quasibuca nella
sequenza di Laughlin hanno carica frazionaria data da
Qqp = −
e
2n + 1
Qqh =
e
2n + 1
(2.16)
perciò se vogliamo identificare le eccitazioni con la carica multipla dell’eccitazione fondamentale
ottenuta in Eq. (2.15), allora la costante di accoppiamento l deve essere un intero. In particolare
se l = 1 abbiamo la quasiparticella, l = −1 corrisponde alla quasibuca, e nel caso di l = 2n + 1
ritroviamo l’elettrone.
È possibile mostrare [40] che l’angolo statistico delle eccitazioni di quasiparticella corrisponde
esattamente a quello che è stato ottenuto nella sezione 1.8.1, ossia per una generica l-eccitazione
θ=π
l2
,
2n + 1
(2.17)
come previsto per la statistica frazionaria delle eccitazioni della sequenza di Laughlin. In particolare
per l’eccitazione elettronica l = 2n + 1, che deve essere sempre presente in quanto il fluido su
cui è costruita la teoria è costituito da elettroni, si ottiene per essa infatti un angolo statistico
θ = (2n + 1)π dispari come previsto per la statistica fermionica. Invece per la quasiparticella
l = 1 e per la quasibuca l = −1 otteniamo θ = πsign(l)/(2n + 1), con sign(l) che ritorna il segno
dil. Si noti che se si calcola l’angolo statistico acquistato dalla funzione d’onda di una qualunque
eccitazione per la rotazione attorno ad un elettrone (o equivalentemente alla particella coniugata
ovvero una buca) si deve ottenere sempre una fase banale 2πk con k ∈ Z, essendo le eccitazioni
elettroniche il mattone fondamentale su cui è costruito il fluido Hall. Si può infatti dimostrare che
38
Teorie di campo efficaci
è proprio questa condizione che vincola il fatto che l deve essere un intero [41]. Abbiamo perciò
trovato una teoria di campo effettiva di bassa energia che descrive le proprietà topologiche del
liquido Hall per la sequenza di Laughlin con ν = 1/(2n + 1)
L=
e µνρ
2n + 1 µνρ
ε aµ ∂ν aρ −
ε Aµ ∂ν aρ − laµ j µ .
4π
2π
(2.18)
In quest’ultima abbiamo indicato con j µ la densità di corrente dell’eccitazione elementare presente,
che in maniera più generale di quanto esposto non sarà fissa in una posizione, ma libera di muoversi
nel sistema.
2.2
Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
Come abbiamo visto nel capitolo 1 gli stati di bulk del FQHE sono descritti in termini di un
fluido incompressibile, con la presenza di un gap energetico tra lo stato fondamentale e gli stati
eccitati. Le uniche eccitazioni possibili con energia minore del gap risultano quindi essere date
dagli stati di edge, che, come vedremo, sono gapless, analogamente a quanto avveniva nel caso
dell’IQHE. Nella sezione 1.4 abbiamo formulato una teoria per gli stati di bordo dell’effetto Hall
intero, considerando un’approccio a singola particella, arrivando a una descrizione in termini di un
liquido di Fermi chirale. Questo approccio fallisce nel caso del FQHE, in quanto, come abbiamo
visto, esso va trattato come un problema “many body” dove non possiamo trascurare la forte
correlazione tra le particelle. Nella sezione precedente abbiamo costruito una teoria di campo
effettiva per la sequenza di Laughlin nel bulk, trascurando la possibile presenza di bordi. Questo è
stato cruciale per garantire l’invarianza di gauge dell’azione derivata dalla densità di Lagrangiana in
Eq. (2.9). Vogliamo ora considerare la presenza di bordi nel nostro sistema, che sono fondamentali
per spiegare la fenomenologia e in particolare le proprietà di trasporto dell’effetto Hall frazionario.
Anche in questo caso possiamo ripercorrere il lavoro di X. G. Wen [7] per formulare una teoria
effettiva degli stati di edge nella sequenza di Laughlin a partire dalla teoria di bulk.
Consideriamo prima di tutto la parte quadratica nel campo di gauge abeliano aµ nella Eq. (2.18)
L0 =
2n + 1 µνρ
ε aµ ∂ν aρ
4π
(2.19)
la corrispondente azione risulta quindi
S0 =
2n + 1
4π
Z
dtdxdy εµνρ aµ ∂ν aρ .
(2.20)
In assenza di bordi gli estremi di integrazione nella Eq. (2.20) vanno da −∞ a +∞ sia per la
variabile temporale che per quelle spaziali. Questo termine è sufficiente a descrivere lo stato
fondamentale del sistema in assenza di quasiparticelle, e come vedremo, riesce a descrivere le
possibili eccitazioni ai bordi se le energie sono abbastanza basse da non creare eccitazioni nel bulk.
Come punto di partenza per tener conto della presenza di un bordo nel sistema, consideriamo il
fluido Hall vincolato a stare nel semipiano negativo delle ŷ, illustrato in Fig. 2.1, fisicamente ciò
avviene applicando un potenziale di confinamento.
In questo modo possiamo studiare una teoria di campo effettiva per un edge di lunghezza infinita.
In questo sistema i campi di gauge sono definiti solamente nella regione del piano in cui è presente
il fluido Hall e l’invarianza di gauge per l’azione risulta quindi rotta. Il campo aµ sotto una
trasformazione di gauge diventa
aµ → aµ + ∂µ Λ,
(2.21)
39
2.2 Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
Figura 2.1: La regione grigia rappresenta il fluido Hall vincolato, attraverso un potenziale esterno,
nel semipiano negativo delle ŷ. Lungo l’asse x̂ si ha la formazione di un edge infinito. La freccia
indica la direzione di propagazione del modo, qui progressiva. Il verso del campo magnetico è
uscente dalla figura.
con Λ funzione arbitraria che in generale dipende da x, y e t. Otteniamo quindi una variazione
dell’azione1
∆S0
=
Z
Z 0
2n + 1 +∞
dt dx
dy εµνρ ∂µ (Λ∂ν aρ ) =
4π
−∞
Z−∞
2n + 1
dtdxΛ(x, 0, t) [∂t ax (x, 0, t) − ∂x at (x, 0, t)] .
4π
(2.22)
Per ripristinare l’invarianza della teoria dobbiamo richiedere che la variazione dell’azione sia nulla
∆S0 = 0. Per fare ciò si può equivalentemente richiedere che la trasformazione di gauge sia nulla
sulla frontiera Λ(x, y = 0, t) = 0, oppure che le componenti del campo di gauge soddisfino
∂t ax (x, 0, t) − ∂x at (x, 0, t) = 0.
(2.23)
Noi scegliamo di imporre che la trasformazione di gauge sia nulla al bordo, cioè Λ(x, y = 0, t) = 0,
in questo modo alcuni gradi di libertà del campo aµ acquisteranno dinamica al bordo, come ora
mostreremo.
Per procedere è necessario scegliere una condizione di gauge fixing. Una possibile scelta per studiare
la dinamica è quella di fissare la gauge at = 0 e considerare l’equazione del moto associata a questa
componente
∂x ay − ∂y ax = 0
come vincolo. La soluzione di quest’ultima, introducendo un nuovo campo scalare ϕ+ (x),
da
ax = ∂x ϕ+ (x)
1 Indichiamo
ay = ∂y ϕ+ (x)
(2.24)
2
è data
(2.25)
indistintamente per l’indice µ i valori 0 ≡ t, 1 ≡ x e 2 ≡ y.
+ etichetta la direzione di propagazione del campo, in questo caso progressiva. Con x abbiamo indicato
sinteticamente le componenti x, y, t.
2 L’indice
40
Teorie di campo efficaci
che inserite nella Eq. (2.20) portano a una teoria effettiva in 1 + 1 dimensioni definita sull’edge con
azione
Z
Z 0
2n + 1 +∞
dtdx
dy [−ax ∂t ay + ay ∂t ax ] =
(2.26)
SEDGE =
4π
−∞
−∞
Z
Z 0
2n + 1 +∞
dtdx
dy [−∂x ϕ+ (x)∂t ∂y ϕ+ (x) + ∂y ϕ+ (x)∂t ∂x ϕ+ (x)] .
4π
−∞
−∞
Integrando sulla variabile y ed una volta per parti il secondo termine otteniamo
Z
2n + 1 +∞
SEDGE = −
dtdx ∂x ϕ+ (x, y = 0, t) ∂t ϕ+ (x, y = 0, t)
4π
−∞
(2.27)
la cui densità di Lagrangiana è
LEDGE = −
2n + 1
∂x ϕ+ (x, t) ∂t ϕ+ (x, t),
4π
(2.28)
dove abbiamo omesso per comodità la dipendenza esplicita dalla variabile y fissata al bordo y = 0.
Da queste, per conto diretto, segue immediatamente una densità di Hamiltoniana nulla; in questo
modo non riusciamo quindi a ottenere nessuna informazione sulla dinamica degli stati di bordo.
Possiamo però scegliere una più generale condizione di gauge al posto di at = 0, e in particolare
at = −vax ,
(2.29)
dove con v abbiamo indicato un parametro libero che, come vedremo, rappresenta il modulo della
velocità di propagazione lungo l’edge. Questo parametro non può essere dedotto direttamente dalla
teoria microscopica effettiva del bulk in quanto è legato alle condizioni al bordo, per esempio dalla
forma del potenziale di confinamento.
Operando il cambio di variabili x → x − vt, y → y, t → t, da cui seguono le derivate ∂t → ∂t + v∂x ,
∂y → ∂y e ∂x → ∂x otteniamo per le componenti del campo di gauge
at
ax
ay
→ at + vax
→ ax
→ ay
che lasciano invariata l’azione e trasformano il vincolo in Eq. (2.29) in at = 0.
L’azione che descrive gli stati di edge in questo caso diventa
Z
2n + 1
SEDGE = −
dtdx (∂t + v∂x ) ϕ+ ∂x ϕ+ ,
4π
(2.30)
(2.31)
la densità di Lagrangiana per cui sarà
LEDGE = −
2n + 1
(∂t + v∂x ) ϕ+ ∂x ϕ+ .
4π
l’Hamiltoniana che si ottiene in questo caso è
Z +∞
Z +∞
(2n + 1)
v
2
2
HEDGE =
v
dx (∂x ϕ+ ) =
dx (∂x ϕ+ ) ,
4π
4πν −∞
−∞
(2.32)
(2.33)
che risulta definita positiva. Abbiamo quindi ottenuto una teoria bosonica chirale, la cui direzione
di propagazione è fissata dal segno di v, che in questo caso abbiamo scelto positivo. Fisicamente
essa coincide con l’Hamiltoniana classica di una corda di massa nulla con tensione proporzionale a
v.
41
2.2 Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
Il campo ϕ+ (x) può essere legato alla densità di particella ρ(x) degli stati di edge, infatti richiamando la densità di carica del bulk J 0
e
e
(∂x ay − ∂y ax )
(2.34)
J 0 = − ε0νρ ∂ν aρ = −
2π
2π
la densità di particelle lungo l’edge sarà ottenuta integrando la precedente lungo lo spessore fisico
del bordo nella direzione ŷ [9]. Se scegliamo un generico λ per indicare lo spessore del bordo
otteniamo
Z 0
1
dy (∂x ay − ∂y ax ) .
(2.35)
ρ(x) =
2π −λ
Il primo dei due termini può essere integrato, tenendo conto che λ risulta più piccola di tutte le
lunghezze caratteristiche in gioco, consideriamo quindi il limite λ → 0
Z 0
dy∂x ay ≈ λ∂x ay (x, 0, t) = 0,
(2.36)
λ→0
−λ
avendo trattato il termine ∂x ay come costante per la variazione di y. Il secondo termine invece
può essere integrato, considerando che i campi di gauge risultano nulli all’esterno del fluido Hall
Z
0+
−λ
dy∂y ax = ax (x, 0+ , t) − ax (x, −λ, t) = −∂x ϕ+ ,
(2.37)
dove abbiamo posto ax (x, 0+ , t) = 0. Dalla precedente relazione segue
ρ+ (x) =
1
∂x ϕ+ (x).
2π
(2.38)
dove abbiamo introdotto l’indice +, che indica la direzione di propagazione, anche nella densità
ρ+ (x). Inserendo questo risultato nell’equazione del moto ottenuta per il campo ϕ+ dalla Eq. (2.31)
∂t ∂x ϕ+ + v∂x2 ϕ+ = 0,
(2.39)
si ottiene un’equazione delle onde per la densità di particelle ρ+ (x) lungo l’edge con velocità di
propagazione v che evidenzia il carattere chirale della teoria
∂t ρ+ + v∂x ρ+ = 0.
(2.40)
Supponiamo ora di avere un edge di lunghezza finita L lungo la direzione x̂. Dalla Eq. (2.38)
l’Hamiltoniana in termini di densità di particella ρ+ (x) risulta
Z
πv L
HEDGE =
dxρ2+ (x)
(2.41)
ν 0
che possiamo riscrivere, introducendo la serie di Fourier per ρ+ (x)
ρ+ (x) =
∞
1 X ikx
e ρ+,k ,
L
(2.42)
k=−∞
come
HEDGE =
2πv
νL
X
ρ+,−k ρ+,k +
k>0
πv 2
ρ .
νL +,0
(2.43)
In quest’ultima espressione abbiamo esplicitato il contributo di modo zero, che corrisponde al
numero di particelle all’interno del bordo
Z L
ρ+,0 = ρ+,k=0 =
ρ+ (x) = N+ .
(2.44)
0
42
Teorie di campo efficaci
Per completare la descrizione è necessario quantizzare la teoria, quindi prima di tutto dobbiamo
considerare le parentesi di commutazione canoniche. In generale la relazione che lega le coordinate
e i momenti coniugati è
[qk , πk0 ] = iδkk0 ,
(2.45)
dove nel nostro caso scegliamo come coordinata qk = ρ+,k . I momenti coniugati a ρ+,k si possono
calcolare a partire dalle equazioni di Hamilton per l’Eq. (2.43), per cui
π̇+,k
= −
2πv
νL
ρ+,−k ,
(2.46)
inoltre dall’Eq. (2.40) si ha
ρ̇+,k
Da queste si ottiene per k 6= 0
=
π+,k = −
−ivkρ+,k .
(2.47)
2πi
ρ+,k
νkL
(2.48)
Si ha perciò la relazione, per k, k 0 6= 0,
[ρ+,k , ρ+,k0 ] =
mentre per il modo zero avremo
νkL
δk,−k0
2π
(2.49)
[ρ+,0 , π+,0 ] = i.
(2.50)
Possiamo riconoscere le relazioni precedenti come quelle dell’algebra di Kac-Moody [42, 43] tipica
nel contesto dei liquidi di Luttinger che descrivono una teoria di elettroni interagenti in una dimensione. La differenza fondamentale trattando gli stati di edge risiede nella natura chirale delle
eccitazioni, parliamo quindi di un liquido di Luttinger chirale per gli stati di bordo.
Possiamo riformulare le relazioni precedenti introducendo gli usuali operatori bosonici che soddisfano le regole di commutazione
h
i
b+,k , b†+,k0 = δk,k0
(2.51)
effettuando le sostituzioni
b†+,k
r
=
2π
ρ+,−k
νkL
r
b+,k =
2π
ρ+,k
νkL
valide per k 6= 0. L’Hamiltoniana (2.43) può essere quindi riscritta come
X †
πv 2
πv 2
HEDGE = v
k b+,k b+,k +
ρ
= H0 +
N
νL +,0
νL +
(2.52)
(2.53)
k>0
dove il primo termine indica i modi plasmonici e il contributo di modo zero è proporzionale al
quadrato del numero di elettroni.
In appendice A abbiamo ricavato un’espressione quantizzata per ϕ+ (x) nello spazio dei momenti
k per un edge di lunghezza finita a partire dalla quantizzazione di ρ+ (x). Richiamiamo qui i
principali risultati per un edge di lunghezza infinita (L → ∞), trascurando perciò i modi zero che
contribuiscono all’Hamiltoniana con un fattore proporzionale a 1/L. Si ha per il campo ϕ+ (x)
r
2πν X
i † −ikx − a |k|
i
ikx
e 2 ,
(2.54)
− √ b+,k e + √ b+,k e
ϕ+ (x) =
L
k
k
k>0
dove a costituisce una lunghezza di “cut-off” caratteristica per i modi plasmonici. Le relazioni di
commutazione di questi campi a tempi uguali sono
[ϕ+ (x), ϕ+ (x0 )] = iπνsign(x − x0 )
(2.55)
43
2.2 Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
dove abbiamo indicato con sign(x) la funzione che ritorna il segno di x. Nella geometria appena
descritta gli unici modi possibili sono quelli progressivi, infatti abbiamo v > 0; questo vincolo è
imposto per garantire che l’Hamiltoniana in Eq. (2.53) sia definita positiva. Fisicamente questo
corrisponde alla chiralità del moto degli elettroni al bordo della barretta Hall, a causa dell’effetto
combinato del campo magnetico e del potenziale di confinamento.
Se vogliamo studiare la dinamica dei modi regressivi dobbiamo considerare una nuova geometria in
cui il fluido Hall è confinato nel semipiano positivo delle ŷ, contrariamente al caso precedente, come
mostra la Fig. 2.2. Analogamente possiamo pensare di non variare la geometria, ma di invertire il
verso del campo magnetico.
Possiamo procedere come nel caso precedente, considerando la condizione di gauge at = vax . In
Figura 2.2: La regione grigia rappresenta quella occupata dal fluido Hall e lungo l’asse x̂ si ha la
formazione dello stato di bordo. La propagazione ha direzione opposta rispetto al caso precedente.
Il campo magnetico è uscente dalla figura.
questo caso indichiamo con ϕ− (x) il campo bosonico regressivo, che analogamente a prima, vedi
appendice A, ha un espressione quantizzata per i modi plasmonici
r
a
2πν X
i
i
ϕ− (x) =
− √ b−,k e−ikx + √ b†−,k eikx e− 2 |k|
(2.56)
L
k
k
k>0
con a stessa lunghezza di “cut-off” in Eq. (2.54). Le regole di commutazione in questo caso sono
[ϕ− (x), ϕ− (x0 )] = −iπνsign(x − x0 ).
(2.57)
La densità Lagrangiana è data da
LEDGE =
da cui l’Hamiltoniana
HEDGE =
2n + 1
(∂t − v∂x ) ϕ− ∂x ϕ−
4π
(2.58)
(2n + 1)
v
4π
(2.59)
Z
+∞
2
dx (∂x ϕ− )
−∞
analoga alla Eq. (2.33). Introducendo nuovamente la densità di particelle per il modo regressivo
ρ− (x) = −
1
∂x ϕ− (x)
2π
(2.60)
44
Teorie di campo efficaci
e utilizzando la scrittura in modi normali per ρ− (x) si arriva all’espressione per l’Hamiltoniana
2πv X
πv 2
HEDGE =
ρ−,k ρ−,−k +
ρ
(2.61)
νL
νL −,0
k>0
da cui, con passaggi analoghi a quelli fatti in precedenza, segue il commutatore
[ρ−,k , ρ−,k0 ] = −
νkL
δk,−k0 .
2π
Si può infine riscrivere l’Hamiltoniana per l’edge regressivo in seconda quantizzazione
X †
πv 2
HEDGE = v
k b−,k b−,k +
N
νL −
(2.62)
(2.63)
k>0
con N− numero di particelle presenti nel bordo considerato.
2.2.1
L’approccio idrodinamico
In questa sezione vogliamo descrivere un approccio alternativo alla formalizzazione data in precedenza per le eccitazioni di edge di un liquido Hall in regime frazionario. Questo approccio si presta
ad una semplice interpretazione fisica del problema per la serie di Laughlin. Purtroppo per filling
factor diversi, appartenenti ad esempio alla serie di Jain, che descrivono situazioni più complicate,
non esiste alcuna diretta analogia.
~
Figura 2.3: Goccia di fluido FQH: il potenziale di confinamento genera un campo elettrico E
perpendicolare al contorno, che induce una densità di corrente J~ lungo il bordo. La corrente
che scorre su un bordo è uguale ed opposta a quella che scorre sull’altro. Dal momento che il
fluido è incomprimibile le uniche eccitazioni possibili corrispondono a deformazioni del bordo che
si propagano con velocità ~v . Il campo magnetico è uscente dalla figura.
Il punto di partenza è dato dal fatto che sia lo stato IQHE sia lo stato FQHE possono essere
descritti, nello stato fondamentale, in termini di un liquido incompressibile e irrotazionale privo di
eccitazioni di bassa energia nel bulk. Le uniche eccitazioni di bassa energia, sotto l’energia di gap
del bulk, possono essere delle onde di bordo della goccia Hall.
Queste onde di bordo sono interpretate come le eccitazioni di edge dello stato quantum Hall.
2.2 Teoria per gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin
45
Consideriamo quindi una goccia Hall che si trovi in regime frazionario con filling factor pari a
ν = 1/(2n+1) confinata in una regione di spazio rettangolare come in Fig. 2.3 tramite un potenziale
esterno V di cui non specifichiamo la forma. Il potenziale di confinamento è scelto in modo tale che
all’interno del bulk sia nullo e cresca in prossimità dei bordi della goccia. La variazione di potenziale
~ che risulta perpendicolare ai
tra l’interno e l’esterno del fluido Hall genera un campo elettrico E
bordi della goccia. Per semplicità ci limitiamo a considerare il bordo superiore del rettangolo in
Fig. 2.3, identificando il bordo con l’asse x̂. Dalla relazione che lega il campo elettrico e la densità
di corrente, che ricordiamo essere ortogonale in quanto stiamo trattando un sistema Hall, data in
Eq. (2.3), sapendo che la conducibilità Hall è data da σxy = (νe2 )/(2π) otteniamo che una densità
di corrente si propaga lungo il bordo
J = nev = ν
e2
|E|
2π
(2.64)
La corrente che scorre nel bordo superiore sarà esattamente uguale in modulo ma opposta in segno
a quella che scorre nel bordo inferiore della goccia Hall. Dalla relazione di Eq. (2.64) e dalla
definizione di filling factor Eq. (1.36) ricaviamo una relazione per la velocità di drift delle particelle
lungo l’edge
|E|
v=
.
(2.65)
|B|
Sapendo che il fluido Hall è incompressibile, le uniche eccitazioni possibili devono preservare l’area
della goccia; ad una deformazione del bordo h(x, t) corrisponde una deformazione lineare della
densità
ρ(x, t) = ne h(x, t)
(2.66)
con ne = (νB)/φ0 densità di particelle per unità di area nel bulk.
Queste deformazioni si propagano con la stessa velocità di drift degli elettroni al bordo in Eq. (2.65)
e sono descritte dall’equazione d’onda chirale
∂t ρ(x, t) = v∂x ρ(x, t).
(2.67)
All’onda di densità è associata l’energia necessaria per la deformazione, ossia l’energia elettrostatica
~ e alla densità di carica −eρ(x). Se consideriamo ad un
dovuta alla presenza del campo elettrico E
certo istante fisso t che il campo elettrico non vari in un intorno del bordo, una deformazione h(x)
genera un potenziale δV (x) = −Eh(x). Quindi se in un intervallo dx la densità di carica è pari a
dQ = −eρ(x)dx l’energia richiesta per la deformazione sarà
Z
Z
1 L
πv L
H=
dxeρ(x)δV (x) =
dxρ2 (x),
(2.68)
2 0
ν 0
dove nell’ultima abbiamo introdotto la lunghezza L del bordo, utilizzato le relazioni in Eq. (2.65) e
Eq. (2.66) e ricordato il fatto che ~ = c = 1. Possiamo riconoscere in quest’ultima l’Hamiltoniana
per un edge trovata in Eq. (2.41) nel paragrafo 2.2. Seguendo questo approccio idrodinamico [7]
abbiamo ritrovato quindi l’espressione di partenza per la costruzione della teoria. Infatti adesso si
possono ripetere esattamente tutti i ragionamenti fatti in precedenza e arrivare a quantizzare la
teoria. Questa pittura semiclassica fornisce però un’interpretazione fisica di facile comprensione, e
inoltre permette di dare una stima della velocità v, che nella costruzione mostrata in precedenza è
introdotto come un parametro esterno libero.
2.2.2
Bosonizzazione dei campi
Nelle sezioni precedenti abbiamo descritto le possibili eccitazioni del sistema in termini di modi
plasmonici, mantenendo quindi il numero di particelle del sistema costante. Questo però non
esaurisce lo spettro di tutte le eccitazioni ammesse, dobbiamo infatti considerare la possibilità che
il numero di eccitazioni cariche del fluido Hall si modifichi. Possiamo infatti considerare l’aggiunta
46
Teorie di campo efficaci
o la rimozione di un elettrone mediante l’utilizzo di particolari pattern bidimensionali. Questi
determinano una precisa geometria ed il passaggio di carica risulta ammesso solamente ai bordi
del fluido Hall. Per questo motivo ha senso considerare il tunneling di quasiparticelle al bordo
della goccia Hall. Nel seguito considereremo fenomeni di tunneling che in generale coinvolgono
quasiparticelle e non solo elettroni, in quanto per particolari configurazioni degli stati di bordo è
possibile osservare il tunneling di eccitazioni frazionarie. Discuteremo meglio questo aspetto più
avanti, ma occorre ricordare che le eccitazioni di quasiparticella possono esistere solo all’interno
del fluido Hall, essendo uno stato correlato di elettroni interagenti, mentre gli elettroni possono
esistere anche in assenza del fluido Hall in quanto particelle di natura fondamentale.
Tratteremo quindi ora il problema di scrivere le eccitazioni elettroniche e di quasiparticella in
termini di operatori definiti sul bordo; ovviamente a tale descrizione ne corrisponde una in termini
di bulk, essendo la prima una proiezione olografica della seconda [44, 45]. Rappresentiamo quindi
gli operatori di campo elettronici Ψ(e) e di l-quasiparticelle Ψ(l) in termini degli operatori bosonici
ϕ; questa tecnica viene detta bosonizzazione [46, 51] e risulta essere fondamentale per descrivere
sistemi fermionici unidimensionali in termini della teoria del liquido di Luttinger.
(e)
Per prima cosa consideriamo l’operatore elettronico Ψ± (x), la cui azione è quella di diminuire di
un’unità la densità del sistema. Questo si traduce nella relazione di commutazione con l’operatore
densità ρ± (x)
h
i
(e)
(e)
ρ± (x), Ψ± (x0 ) = −δ(x − x0 )ψ± (x0 ),
(2.69)
dove con ± abbiamo indicato le chiralità associate ai campi. Dal momento che la densità ρ± (x)
soddisfa l’algebra di Kac-Moody Eq. (2.49) si può mostrare che l’operatore elettronico nel caso di
edge di lunghezza infinita sarà della forma [7]
F (e) i ϕ± (x)
(e)
eν
Ψ± (x) = √
2πa
(2.70)
dove a è il “cut-off” presente in Eq. (2.54). Si veda anche la parte conclusiva dell’appendice
A. Il termine F (e) rappresenta il fattore di Klein [52] associato all’operatore di campo. Per
sistemi con edge di lunghezza infinita si può dimostrare [52, 53] che questi fattori hanno il ruolo di
imporre la conservazione della carica, agendo come degli operatori scaletta, e di garantire le corrette
proprietà di statistica per scambio di particelle che appartengono a edge diversi (dimostreremo
infatti che le proprietà di statistica all’interno di uno stesso edge discendono dall’algebra dell
operatore bosonico).
Per poter ritenere valida la scrittura bosonizzata dell’operatore elettronico bisogna verificare che
siano soddisfatte le usuali proprietà di statistica, ossia le relazioni di anticommutazione fermioniche
del tipo
o
n
(e)
(e)
Ψ± (x), Ψ± (x0 ) = 0.
(2.71)
Per fare ciò possiamo utilizzare la relazione di Baker-Hausdorff [21] valida per due operatori A e
B tali che il loro commutatore sia un c-numero
1
eA eB = eA+B e 2 [A,B]
(2.72)
e ricordando le relazioni di commutazione per i campi bosonici Eq. (2.55) e Eq. (2.57) si ottiene
per l’operatore elettronico in Eq. (2.70)
(e)
(e)
(e)
sign(x−x0 )
(e)
iπ
(e)
(e)
Ψ± (x)Ψ± (x0 ) = Ψ± (x0 )Ψ± (x)e∓ ν
.
(2.73)
Essendo il filling factor pari a ν = 1/(2n + 1) si ha
(e)
(e)
Ψ± (x)Ψ± (x0 ) = −Ψ± (x0 )Ψ± (x)
(2.74)
47
2.3 Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge
come ci aspettiamo per i fermioni. Le altre relazioni di anticommutazione si ricavano analogamente
al caso sopra esposto.
Più complicato risulta ottenere l’anticommutatore
(e)
(e) †
Ψ± (x), Ψ± (x0 ) = δ(x − x0 )
(2.75)
che√è verificato solo nel limite di a → 0, dove a è la lunghezza di “cut-off” presente nel prefattore
1/ 2πa nella scrittura degli operatori. Per una dimostrazione dettagliata di questo fatto si rimanda alla letteratura [46].
Gli operatori elettronici non sono le uniche eccitazioni ammesse, possiamo infatti scrivere un
operatore per una generica l-eccitazione elementare
F (l) ilϕ± (x)
(l)
Ψ± (x) = √
e
2πa
l∈N
(2.76)
dove con F (l) abbiamo indicato il fattore di Klein associato al generico operatore di tipo l. Si
può dimostrare con ragionamenti analoghi al caso dell’elettrone che tali operatori soddisfano le
relazioni
h
i
l
(l)
(l)
δ(x − x0 )Ψ± (x)
(2.77)
ρ± (x), Ψ± (x0 ) = −
2n + 1
e
0
l2
(l)
(l)
(l)
(l)
(2.78)
Ψ± (x)Ψ± (x0 ) = Ψ± (x0 )Ψ± (x)e∓iπ 2n+1 sign(x−x )
che mostra la statistica frazionaria di queste eccitazioni, con l’angolo statistico dato da
θ=π
l2
2n + 1
mod(2π)
(2.79)
come discusso in sezione 1.8. Si noti che l’eccitazione elettronica può essere considerata come un
agglomerato con l = 2n + 1 eccitazioni elementari, inoltre se prendiamo l’eccitazione elementare
minima con l = 1 ritroviamo la quasiparticella di Laughlin con carica e statistica frazionaria
Qqp = −
e
2n + 1
θ=
π
.
2n + 1
(2.80)
Il concetto di l-agglomerato verrà ripreso e ampliato in seguito e sarà frutto di interessanti considerazioni, in particolare quando considereremo il fluido Hall nella sequenza di Jain.
2.3
Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge
In questa sezione vogliamo mostrare come la teoria del liquido di Luttinger chirale sia in grado di
spiegare le proprietà di trasporto dello stato FQHE. In particolare ricaveremo la quantizzazione
della conduttanza Hall di un campione. Nella sezione 1.4.1 abbiamo utilizzato un approccio semiclassico per descrivere le proprietà di trasporto nel caso di filling factor intero, in questo caso
la geometria del sistema è analoga ma l’approccio va generalizzato per tener conto del liquido di
Luttinger interagente, che, come detto, modellizza gli stati di bordo per il sistema FQHE.
Consideriamo una barretta Hall tra due contatti, come mostrato in Fig. 2.4.
Per calcolare la conduttanza è conveniente utilizzare la teoria della risposta lineare [47, 48]. Supponiamo quindi di applicare un campo esterno al sistema (perturbazione), che abbia la forma,
espressa nelle coordinate x̂ e ŷ di Fig. 2.4, del tipo
δV (x, y, t) = −Ey cos (kx − ωt) ,
(2.81)
48
Teorie di campo efficaci
Figura 2.4: La figura mostra una barretta Hall, in azzurro, con l’edge inferiore messo a terra e
l’edge superiore che vede il potenziale chimico δµ. La coordinata dell’edge superiore è indicata con
y+ , la direzione del campo magnetico è mostrata in figura.
per cui il campo elettrico lungo l’edge superiore sarà
~ = E [−qy+ sin (kx − ωt) x̂ + cos (kx − ωt) ŷ]
δE
(2.82)
dove con y+ abbiamo indicato la coordinata ŷ dell’edge superiore. Stiamo qui assumendo per
comodità che l’edge inferiore sia messo a terra, perciò possiamo considerare solamente l’edge superiore, indicato con l’indice +. La presenza del potenziale esterno può essere vista come una
perturbazione dell’Hamiltoniana, che si accoppia con la densità di particelle dell’edge superiore ρ+
δH = −ρ+ δµ,
(2.83)
dove abbiamo introdotto il potenziale elettrochimico dato da
δµ(x, t) = eδV (x, y+ , t)
(2.84)
in presenza del quale il sistema risponderà con una variazione della densità. Per cui possiamo
definire la compressibilità come
δρ+
χ+ = −
(2.85)
δµ
quantità che tiene conto delle variazioni di densità dell’edge superiore in presenza del potenziale
esterno [47, 49] Utilizzando la teoria della risposta lineare è facile convincersi che la perturbazione
della densità ρ+ , per la quale vale l’Eq. (2.38), è data direttamente dal commutatore con l’operatore
densità stesso. Infatti è proprio l’operatore densità che descrive l’azione della perturbazione dei
campi esterni sull’Hamiltoniana, si veda Eq. (2.83). Per cui, passando in trasformata di Fourier
nello spazio e nel tempo, avremo
δρ+ (k, ω) =
1
GR
(k, ω)δµ(k, ω),
(2π)2 ρ+ ,ρ+
(2.86)
dove nella precedente equazione abbiamo introdotto la funzione di Green ritardata densità-densità,
definita come
Z +∞
GR
(k,
ω)
=
−i
dtdxei(ωt−kx) Θ(t)h[∂x ϕ+ (x, t), ∂x ϕ+ (0, 0)]i,
(2.87)
ρ+ ,ρ+
−∞
dove con le parentesi quadrate abbiamo indicato il commutatore, mentre con le parentesi angolate
si intende la media sulla distribuzione d’equilibrio calcolata sull’Hamiltoniana imperturbata di
2.3 Quantizzazione della conduttanza per le teorie di edge
49
Eq. (2.33). Per calcolare la funzione densità-densità ritardata è conveniente valutare la funzione di
Green tempo ordinata in tempo immaginario Gρ+ ,ρ+ (k, iωn ). È noto infatti che da quest’ultima,
mediante continuazione analitica, può essere facilmente ottenuta la funzione di Green ritardata
definita in Eq. (2.87), tramite la relazione [47]
GR
ρ+ ,ρ+ (k, ω) = Gρ+ ,ρ+ (k, iωn → ω + iδ).
(2.88)
È opportuno quindi richiamare l’azione Euclidea in tempo immaginario per un campo chirale ϕ+
E
S+
=
1
4πν
Z
β
Z
+∞
dx∂x ϕ+ (i∂τ + v∂x ) ϕ+ ,
dτ
(2.89)
−∞
0
dove per comodità abbiamo omesso la dipendenza dalle variabili per il campo ϕ+ e indicato con
l’apice E l’azione Euclidea. Dall’azione Euclidea possiamo derivare facilmente l’equazione del moto
per la densità ∂x ϕ+ e conseguentemente per la funzione di Green in tempo immaginario definita
come
Gρ+ ,ϕ+ (x, τ ) = −hTτ ∂x ϕ+ (x, τ )ϕ+ (0, 0)i.
(2.90)
Avremo quindi che quest’ultima deve soddisfare l’equazione
(i∂τ + v∂x ) Gρ+ ,ϕ+ (x, τ ) = 2πνδ(τ )δ(x),
(2.91)
dove il fattore 2πν a secondo membro è determinato dalle proprietà di commutazione del campo
ϕ+ , ossia
[∂x ϕ+ (x), ϕ+ (y)] = i2πνδ(x − y).
(2.92)
Per cui risolvendo la precedente equazione, introducendo le frequenze di Matsubara ωn e andando
nello spazio dei momenti k, secondo la convenzione
Gρ+ ,ϕ+ (k, iωn ) =
Z
β
Z
+∞
dτ
0
−∞
dxei(ωn τ −kx) Gρ+ ,ϕ+ (x, τ ),
(2.93)
l’equazione (2.91) può essere risolta, ottenendo
Gρ+ ,ϕ+ (k, iωn ) = i
2πν
.
iωn − vk
(2.94)
La funzione di Green ritardata di Eq. (2.87) quindi è data, per continuazione analitica, da
GR
ρ+ ,ρ+ (k, ω) =
2πνk
,
ω − vk + iδ
(2.95)
dove si osservi come la derivata fatta sul campo ϕ+ di destra del correlatore Gρ+ ,ϕ+ (k, iωn ), definito
in precedenza, ha generato un fattore −ik a numeratore. A questo punto utilizzando l’Eq. (2.86),
possiamo calcolare la compressibilità, come rapporto della risposta della densità rispetto alla
perturbazione del potenziale elettrochimico
χ+ (k, ω) = −
ν
k
δρ+
=−
.
δµ
2π ω − vk + iδ
(2.96)
Possiamo quindi calcolare la conduttanza lineare tramite l’equazione di continuità, espressa nello
spazio di Fourier,
ikj+ (k, ω) − eiωρ+ (k, ω) = 0,
(2.97)
dalla quale potremo calcolare la perturbazione della corrente relativa all’edge superiore
ω
δj+ (k, ω) = e δρ+ (k, ω),
k
(2.98)
50
Teorie di campo efficaci
e ricordando che δµ(k, ω) = eδV (k, ω) avremo per la conduttanza
σ(k, ω) =
e2
ω
ν
2π ω − vk + iδ
(2.99)
che rappresenta infatti la conduttanza lineare dipendente dalla frequenza ω e dal momento k. La
conduttanza lineare Hall sarà quindi data da
σxy = lim lim σ(k, ω) =
ω→0 k→0
e2
ν,
2π
(2.100)
dove occorre effettuare prima il limite di grandi lunghezze d’onda k → 0, e successivamente quello
di frequenze nulle ω → 0 [49, 50]. È importante sottolineare che l’ordine di questi due ultimi
limiti non può essere scambiato, essi vanno effettuati nell’ordine sopra esposto. Abbiamo quindi
ottenuto la corretta quantizzazione della conduttanza per un sistema FQHE, con la conduttanza
pari a σxy = (νe2 )/2π come previsto. Il conto sopra esposto permette di comprendere meglio da
dove derivi il legame tra la conduttanza σxy e il filling factor ν per un sistema FQHE. Abbiamo
visto infatti che il fattore ν ottenuto in Eq. (2.100) è dato dal termine presente a secondo membro di
Eq. (2.91), e come abbiamo detto è legato alle proprietà di commutazione del campo ϕ+ , e quindi,
in ultima analisi, alle proprietà di statistica stesse. Ritroviamo quindi che le proprietà di statistica,
conseguenza diretta del fatto che le eccitazioni fondamentali del fluido Hall sono cariche frazionarie,
sono sufficienti a dimostrare che la conduttanza Hall deve essere quantizzata per valori frazionari.
Questo risultato dimostra che la teoria degli stati di bordo espressa in termini di un liquido di
Luttinger chirale è una corretta rappresentazione al fine di descrivere le proprietà di un sistema
Hall. È opportuno osservare come la dimostrazione della quantizzazione della conduttanza Hall
per un fluido FQHE nella sequenza di Jain, introdotta nella sezione 1.9 ed oggetto di questa tesi,
richiede alcune argomentazioni più complicate che utilizzano strumenti di analisi più avanzati, che
non avremo spazio di sviluppare in questa trattazione [54]. Nei prossimi paragrafi ci occuperemo
proprio del problema di estendere la teoria del liquido di Luttinger chirale al caso della sequenza
di Jain.
2.4
Teoria di Wen per la sequenza di Jain
Nelle sezioni precedenti abbiamo esposto una teoria effettiva in grado di spiegare lo stato FQHE
nella sequenza di Laughlin. Vogliamo ora descrivere la generalizzazione, proposta da X. G. Wen e
A. Zee [7, 40], alla sequenza di Jain con ν = |p|/(2n|p| ± 1).
L’idea è quella di costruire una Lagrangiana in analogia con l’Eq. (2.18), che è scritta in termini
di un singolo campo di gauge aµ . Introducendo |p| campi abeliani aiµ , con i = 1, 2, . . . , |p|, la più
generale densità Lagrangiana può essere scritta nella forma3 [7, 54]
L=
e
1
Kij εµνρ aiµ ∂ν ajρ −
ti εµνρ Aµ ∂ν aiρ − li aiµ j µ ,
4π
2π
(2.101)
dove i vettori adimensionali ~t e ~l indicano rispettivamente l’intensità dell’accoppiamento con il
potenziale vettore Aµ del campo esterno e con il termine di sorgente j µ . Gli accoppiamenti tra i
vari campi di gauge sono descritti dalla matrice K di dimensione |p| × |p|. Si dimostra [55] che le
grandezze fondamentali del sistema possono essere espresse in termini della matrice K e dei vettori
~t e ~l. Qui riportiamo soltanto il risultato. In particolare il filling factor sarà dato da
ν = ti (K −1 )ij tj
(2.102)
mentre la carica per un’ l-eccitazione sarà
Ql = −eli (K −1 )ij tj ,
(2.103)
3 Gli indici ripetuti si intendono sommati. Con indici latini corrono sui campi di gauge, mentre gli indici greci
identificano la componente spazio-temporale.
2.4 Teoria di Wen per la sequenza di Jain
51
ed il corrispondente angolo statistico
θl = πli (K −1 )ij lj .
(2.104)
Un generico stato FQH risulta completamente caratterizzato dalla scelta della matrice K e del
vettore ~t, i cui elementi possono assumere solamente valori interi Kij , ti ∈ N, ∀ i, j. Inoltre la
scelta del vettore ~l, i cui elementi possono assumere valori interi, determina il tipo di eccitazione.
Due diverse scelte per la matrice di accoppiamento ed il vettore di carica (K, ~t) e (K0 , ~t0 ) sono dette
equivalenti e riproducono lo stesso stato FQH se possono essere ricondotte l’una nell’altra tramite
la trasformazione
~t0 = W~t
K0 = Wt KW
(2.105)
con W matrice di trasformazione unitaria i cui elementi hanno valori interi [7]. Per descrivere la
sequenza di Jain dobbiamo quindi fissare K e ~t. Noi effettuiamo la scelta della base simmetrica
per cui il vettore di accoppiamento di carica ~t è tale che ti = 1∀ i e si ha
Kij = ±δi,j + 2nCij
(2.106)
dove Cij sono gli elementi di una matrice |p| × |p| tali che Cij = 1∀ i, j. Il segno ± in Eq. (2.106)
corrisponde alle due diverse sottosequenze con ν = |p|/(2n|p|±1). Osservando che Cij Cjk = |p|Cik ,
si ottiene l’inversa per K
2n
Cij .
(2.107)
K −1 ij = ±δij ∓
2n|p| ± 1
dalla quale si ha che l’Eq. (2.102) è verificata per il valore di filling factor definito in precedenza.
Dato che, come abbiamo detto, la scelta del vettore di accoppiamento ~l definisce il tipo di eccitazione, se scegliamo il vettore con una componente uguale a 1 e le altre |p| − 1 componenti uguali
a 0 abbiamo la quasiparticella con carica Qqp = −e/|2np + 1|, come è facile verificare utilizzando
l’Eq. (2.103)4 . La statistica della quasiparticella può essere calcolata dall’Eq. (2.104) ed è pari a
2n
θ = π ±1 ∓
(2.108)
2n|p| ± 1
che è equivalente alla Eq. (1.122).
L’Eq. (2.101) descrive le proprietà del fluido Hall nel bulk, procedendo analogamente a quanto
fatto per il caso della sequenza di Laughlin si può ottenere una teoria 1 + 1 dimensionale definita
per gli stati di bordo. Questa proiezione fu analizzata in dettaglio da X. G. Wen [56] e C. L. Kane
e M. P. A. Fisher [54]; il risultato che si ottiene è una densità di Lagrangiana per un generico stato
di edge definita in termini di |p| campi bosonici ϕi
1
LEDGE = −
Kij ∂x ϕi ∂t ϕj + vij ∂x ϕi ∂x ϕj .
(2.109)
4π
La matrice vij rappresenta sia il termine di velocità del campo i-esimo (componenti diagonali vii )
sia un termine di interazione tra i campi bosonici (componenti vi6=j ) e non ha carattere universale,
ma dipende da fattori quali, ad esempio, la forma del potenziale di confinamento. Ora, sempre
in analogia con il caso di Laughlin, si può rappresentare l’operatore densità di particelle come in
Eq. (2.38)
|p|
1 X
∂x ϕi (x)
(2.110)
ρ(x) =
2π i=1
e la forma bosonizzata per una generica eccitazione di tipo l sarà
F (l) i P|p|
Ψ(l) (x) = √
e j=1 lj ϕj (x)
2πa
(2.111)
4 Si osservi che per la forma della matrice K il vettore di accoppiamento risulta |p| volte degenere, perciò la scelta
di quale componente sia non nulla è arbitraria.
52
Teorie di campo efficaci
con lj coefficienti a valori interi determinati a seconda del tipo di eccitazione. La lagrangiana in
Eq. (2.109) può essere diagonalizzata attraverso alcuni passaggi. In primo luogo si può diagonalizzare la matrice K, cosa che risulta evidente, con la nostra scelta di base, dalla natura simmetrica
della matrice stessa. In questo modo si ottiene un termine che è pari alla somma di tutti i campi
ϕi che viene detto campo carico, in quanto questa particolare combinazione dei campi è quella che
compare in Eq. (2.110). Le altre |p| − 1 combinazioni lineari indipendenti che si trovano definiscono
|p| − 1 campi che vengono detti campi neutri.
Il passo successivo consiste nel riscalare i campi in modo tale da avere tutti gli autovalori della
matrice K uguali a ±1. Cosı̀ facendo si dimostra [54], come visto in appendice B, che esistono
solamente due classi possibili per la matrice K, una uguale all’identità, cioè con autovalori tutti 1,
e l’altra di tipo Lorentz con segnatura (1, |p| − 1), cioè con il primo autovalore 1 e gli altri |p| − 1
pari a −1.
Il segno degli autovalori della matrice K si riflette sulla natura chirale dei campi che definiscono
gli stati di edge e ne fissa il verso di propagazione. In particolare il primo autovalore corrisponde
al campo carico e gli altri |p| − 1 sono riferiti ai campi neutri. Cosı̀ per la prima classe di matrici
abbiamo che tutti i campi si propagano nella medesima direzione (modi copropaganti), mentre
per la seconda classe si ha il campo carico che si propaga in una direzione e i campi neutri nella
direzione opposta (modi contropropaganti).
Abbiamo per ora trascurato il termine di interazione vij , che risulta di più difficile trattazione. Si
può infatti dimostrare, con argomenti di gruppo di rinormalizzazione [54, 57], che i termini vi6=j
risultano irrilevanti in presenza di impurezze. Questo fatto, sempre vero per campioni reali, risulta
fondamentale e ci assicura che gli unici termini importanti sono quelli diagonali vii , perciò diagonalizzando la matrice K si ottiene una descrizione in termini di campi completamente disaccoppiati.
Nel loro lavoro C. L. Kane e M. P. Fisher mostrano che le matrici K hanno una particolare simmetria di tipo SU (|p|), inoltre sfruttando questo fatto, mostrano che avendo reso diagonale la matrice
vij e applicando su di essa delle trasformazioni particolari che lasciano invariate K, la matrice di
interazione vij risulta ancora diagonale anche nella base dei campi carichi e neutri. Nei prossimi
paragrafi illustreremo in dettaglio due casi particolari con ν = 2/5 e ν = 2/3. Fisseremo quindi
il numero di campi pari a |p| = 2, perdendo in generalità, ma questi saranno i casi di interesse su
cui ci concentreremo nel seguito della tesi, dal momento che per essi si ha la possibilità di avere
risultati sperimentali con cui confrontare le predizioni teoriche.
2.4.1
Il caso ν = 2/5
In questo caso consideriamo una teoria descritta da 2 campi copropaganti, prendiamo quindi |p| = 2
ed il segno + nelle Eq. (2.106) , Eq. (2.108), o equivalentemente p = 2. Si ottiene la matrice K
pari a
3 2
K=
,
(2.112)
2 3
con inversa
K
−1
1
=
5
3
−2
−2
3
,
(2.113)
avendo scelto la base simmetrica, per cui ~t = (1, 1) e indicato una generica eccitazione con il vettore
~l = (l1 , l2 ). In questo caso si diagonalizza la densità Lagrangiana effettuando le trasformazioni
e
ϕc = ϕ1 + ϕ2
(2.114)
ϕn = ϕ1 − ϕ2
(2.115)
dove ϕc e ϕn indicano rispettivamente il campo carico e il campo neutro, in accordo con quanto
detto in precedenza. La densità Lagrangiana diventa
1 5
1
LEDGE = −
∂x ϕc ∂t ϕc + vc ∂x ϕc ∂x ϕc + ∂x ϕn ∂t ϕn + vn ∂x ϕn ∂x ϕn
(2.116)
4π 2
2
53
2.4 Teoria di Wen per la sequenza di Jain
dove vc e vn rappresentano rispettivamente la velocità del modo carico e di quello neutro.
Le regole di commutazione tra i campi bosonici sono date da
[ϕσ (x), ϕσ0 (x0 )] = iπδσ,σ0 νσ sign(x − x0 )
σ, σ 0 = c, n
(2.117)
con νc = 2/5 per il campo carico e νn = 2 per quello neutro.
In questa base l’operatore di una generica eccitazione Eq. (2.111), può essere scritto in termini dei
nuovi campi carichi e neutri come
F (m) i( m2 ϕc (x)+ 2j ϕn (x))
e
Ψ(m) (x) = √
2πa
(2.118)
dove m = l1 +l2 è legato alla carica dell’eccitazione, mentre il numero quantico addizionale j = l1 −l2
gioca un ruolo simile all’isospin [58]. La carica di questi operatori di m-agglomerato è data da
Qm = −(emνc )/2 = −(em)/5, e risultano essere dei multipli interi della carica Qqp = −e/5
dell’eccitazone fondamentale, la quasiparticella. Si noti che m e j, per costruzione, hanno la stessa
parità. L’operatore elettronico è costruito a partire dalla Eq. (2.118) fissando m = 5, in questo
caso avremo un valore dispari per j = 2q + 1 con q ∈ Z. Si ottiene inoltre una suddivisione in due
classi di possibili operatori elettronici, in particolare una famiglia per valori di q pari e l’altra per
q dispari.
0
Infatti se consideriamo due generiche eccitazioni elettroniche, indicate con Ψ(e) (x) Ψ(e ) (x) con
j = 2q + 1(j 0 = 2q 0 + 1), utilizzando le regole di commutazione di Eq. (2.117) otteniamo per il
mutuo angolo statistico
Ψ(e) (x)Ψ(e ) (x0 ) = Ψ(e ) (x0 )Ψ(e) (x)e−iπ[ 2 +2qq +(q+q )+ 2 ] .
0
0
5
0
0
1
(2.119)
Osserviamo quindi che se q e q 0 sono entrambi pari, o dispari, il mutuo angolo statistico è un
multiplo dispari di π e quindi si ha una statistica fermionica, al contrario se q e q 0 hanno parità
opposta il mutuo angolo statistico risulta un multiplo pari di π. Le eccitazioni che appartengono
quindi a famiglie con parità differenti in q si comportano mutuamente come se fossero bosoni.
Otteniamo quindi degli operatori elettronici che commutano, in piena contraddizione con le usuali
regole di anticommutazione; questi oggetti vengono detti parafermioni [59]. Non abbiamo però
considerato la presenza dei fattori di Klein che in questo contesto risultano fondamentali e sono in
grado di ristabilire le corrette proprietà di statistica tra le due diverse famiglie parafermioniche, in
modo che gli operatori elettronici anticommutino anche tra le diverse classi.
In generale, comunque, si trova che l’angolo statistico per un m-agglomerato è dato da
θm = πm2
3
5
mod(2π),
(2.120)
perciò per la quasiparticella abbiamo θ = π(3/5).
Nella sezione 2.3 abbiamo ricavato la quantizzazione della conduttanza per un sistema FQHE nella
sequenza di Laughlin, risultato che può essere esteso anche agli altri filling factor. Nel caso di
ν = 2/5 la generalizzazione della Eq. (2.100) risulta molto semplice. Gli stati di edge, infatti,
sono descritti da due campi bosonici copropaganti. La conduttanza, perciò, risulta essere ancora
una caratteristica universale, indipendente ad esempio dalle impurezze presenti nel campione. Per
ottenere il giusto valore di quantizzazione della conduttanza dovremo quindi sommare su tutti i
contributi portati dai singoli modi, ottenendo anche in questo caso
hIi = ν
con ν = 2/5.
e2
δV
2π
(2.121)
54
2.4.2
Teorie di campo efficaci
Il caso ν = 2/3
Analizziamo ora il caso di una teoria a due campi bosonici contropropaganti, scegliendo perciò
p = −2. Otteniamo quindi la matrice K data da
1 2
K=
(2.122)
2 1
con inversa
K −1 =
1
3
−1
2
2
−1
(2.123)
.
Anche in questo caso si può diagonalizzare la densità Lagrangiana effettuando le trasformazioni in
Eq. (2.114) e Eq. (2.115)
ϕc = ϕ1 + ϕ2
ϕn = ϕ1 − ϕ2
(2.124)
ottenendo
LEDGE
1
1 3
∂x ϕc ∂t ϕc − ∂x ϕn ∂t ϕn + vc ∂x ϕc ∂x ϕc + vn ∂x ϕn ∂x ϕn
=−
4π 2
2
(2.125)
avendo nuovamente introdotto il campo carico ϕc e quello neutro ϕn con le rispettive velocità vc
e vn . Si noti il segno negativo di differenza con l’Eq. (2.116), indice dell’opposta chiralità relativa
tra i due campi. Le regole di commutazione di questi campi sono
[ϕσ (x), ϕσ0 (x0 )] = iησ πδσ,σ0 νσ sign(x − x0 )
σ, σ 0 = c, n
(2.126)
dove ησ assume il valore ηc = 1 nel caso del campo carico, e ηn = −1 per quello neutro. Il
parametro νσ è pari a νc = 2/3 oppure νn = 2. Nuovamente possiamo definire l’operatore di una
generica eccitazione come visto in 2.4.1
F (m) i( m2 ϕc (x)+ 2j ϕn (x))
Ψ(m) (x) = √
e
2πa
(2.127)
avendo utilizzato le notazioni precedenti. In questo caso, sfruttando le regole di commutazione dei
campi Eq. (2.126), si ottiene la carica dell’m-agglomerato Qm = −e(mνc )/2 = −em/3. L’angolo
statistico di tali eccitazioni è pari a
θm = πm2
5
3
mod(2π)
(2.128)
da cui l’eccitazione fondamentale di quasiparticella risulta θ = π(5/3).
Si noti che analogamente a quanto discusso nel caso di ν = 2/5 si ha la suddivisione in due famiglie
parafermioniche per i possibili operatori elettronici. Anche qui il ruolo dei fattori di Klein risulta
fondamentale per ristorare le giuste regole di commutazione. Nel caso in esame si hanno due campi
contropropaganti, cosa che complica molto il calcolo della conduttanza. Si dimostra che il corretto
valore di quantizzazione può essere ottenuto anche in questo caso, ma il procedimento è molto più
complicato e utilizza argomenti di gruppo di rinormalizzazione. In particolare bisogna ammettere
la presenza di impurezze nel campione e sfruttare la particolare simmetria della matrice K già citata
in precedenza, in questo modo si riesce a ottenere un processo di “riequilibrazione” che ripristina il
corretto valore quantizzato per la conduttanza. Per una discussione dettagliata di questo problema
si rimanda alla letteratura [54, 57]. Per quanto riguarda la nostra trattazione ipotizziamo che il
precedente meccanismo abbia operato equilibrazione all’interno dell’edge e quindi la conduttanza
sia correttamente quantizzata a ν = 2/3.
55
2.5 Teoria di Fradkin e Lopez
2.5
Teoria di Fradkin e Lopez
Nei paragrafi precedenti abbiamo descritto la teoria efficace proposta da X. G. Wen per la sequenza
di Jain, che prevede l’introduzione di |p| campi di gauge abeliani nel caso di ν = |p|/(2n|p| ± 1).
In questo risiede anche uno dei punti deboli della costruzione, infatti all’aumentare di |p| della
sequenza cresce di conseguenza il numero di campi di gauge coinvolti, e quindi anche il numero di
correnti conservate associate deve aumentare. Se si considerano valori del filling factor più elevati,
ad esempio 3/7, 4/9, . . ., la trattazione risulta molto più complicata e di difficile comprensione.
In particolare alcune proprietà, come la conduttanza termica, che scalano con il numero di modi
dovrebbero divergere per p → ∞, ossia per ν → 1/2 [60]. Inoltre un ulteriore conseguenza dell’aumento del numero di modi è la possibilità di trovare candidati alternativi per la matrice K che
spiegano gli stessi valori di filling factor, e che difficilmente possono essere distinti dalla teoria originale. In un certo senso perciò la teoria diventa meno predittiva. Per rispondere quindi ad alcuni
di questi problemi, alla fine degli anni 0 90 fu proposta una diversa teoria che, prendendo ispirazione
dai successi del modello a composite fermion [6, 61], descrivesse in maniera alternativa la sequenza
di Jain. Vogliamo ora esporre questa teoria efficace alternativa alla costruzione gerarchica di Wen,
proposta da E. Fradkin e A. Lopez [9].
L’idea è quella di costruire una densità di Lagrangiana per il bulk analoga alla Eq. (2.101) utilizzando solamente tre campi di gauge abeliani per tutta la sequenza ν = p/(2np + 1) con p ∈ Z. La
matrice K che si costruisce in questo caso è di dimensione 3 × 3


2n −1 0
(2.129)
K =  −1 −p 0  ,
0
0 −1
e per il vettore di carica ~t si fa la scelta
~t = (1, 0, 0),
(2.130)
diversa da quella fatta per il caso di Wen nella base simmetrica. La forma del vettore di carica, di
accoppiamento con il campo elettromagnetico, induce una densità di corrente pari a
Jµ = −
e µνρ
ε ∂µ a1ρ
2π
(2.131)
che dipende solamente dal campo a1µ che è quindi detto campo carico.
Le proprietà del sistema si possono ricavare tramite le relazioni Eq. (2.102), Eq. (2.103) e Eq. (2.104)
che valgono per tutte le teorie di bassa energia descritte da una densità Lagrangiana nella forma
di Eq. (2.101), caratterizzate dalla matrice K. La matrice inversa di K per cui sarà


p
−1
0
1
 −1 −2n

0
K −1 =
(2.132)
2np + 1
0
0
−2np − 1
dalla quale si ricava, mediante l’Eq. (2.102), il filling factor ν = p/(2np + 1), come richiesto per
descrivere la sequenza di Jain.
Per quanto riguarda la carica e la statistica di una generica eccitazione si considera il vettore
~l = m(0, −1, 1) con m ∈ N. Otteniamo quindi la carica e la statistica per un m-agglomerato
definito dal vettore ~l
m
Qm = −e
(2.133)
|2np + 1|
e
2n(p + 1) + 1
ν
1
θm = −πm2
= πm2
−
1
−
mod(2π)
(2.134)
2np + 1
p2
p
che, considerando la periodicità dell’angolo statistico, corrispondono ai risultati trovati in sezione
2.4.
56
Teorie di campo efficaci
Si noti che anche in questo caso si ottiene la quasiparticella per m = 1 e l’elettrone che può essere
considerato un agglomerato con m = 2np + 1. Gli stati del FQHE appartenenti alla sequenza di
Jain possono pertanto essere descritti in questo modello in termini di soli tre campi e non più
con un numero |p| di campi crescente all’aumentare del livello dello stato. Questa è una notevole
semplificazione se si considerano valori di |p| ≥ 3, mentre risulta più complicata la descrizione della
sequenza di Laughlin. Non si riesce infatti a ottenere una riduzione di questa teoria in termini di
quella delineata nella sezione 2.1.
In linea di principio si potrebbe pensare di sviluppare una teoria per il bulk basata su due soli
campi, eliminando per esempio a3µ . Si avrebbe quindi la matrice
K=
2n
−1
−1
−p
(2.135)
ed i vettori di accoppiamento ~t = (1, 0) e ~l = m(0, −1). In questo caso il valore del filling factor e
la carica della quasiparticella assumerebbero i valori ottenuti in precedenza, ma l’angolo statistico
dell’eccitazione fondamentale sarebbe
θqp = −
2n
π.
2np + 1
(2.136)
che non riproduce il corretto valore di statistica5 . Per questo motivo Fradkin e Lopez [9] hanno
introdotto un secondo campo neutro che ha il ruolo di garantire le corrette proprietà di statistica
della teoria, rispettando la richiesta statistica gerarchica.
Procedendo in analogia a quanto fatto nelle Sezioni 2.2 e 2.4 si può ottenere una proiezione di questa
teoria di bulk per gli stati definiti sul bordo del campione. Si ottiene una densità di Lagrangiana
descritta da tre campi bosonici, uno carico ϕc e due neutri ϕn1 e ϕn2
1 1
vc
LEDGE = −
∂t ϕc ∂x ϕc + (∂x ϕc )2 − ∂t ϕn1 ∂x ϕn1 + vn1 (∂x ϕn1 )2
4π ν
ν
−∂t ϕn2 ∂x ϕn2 + vn2 (∂x ϕn2 )2
(2.137)
dove vc , vn1 e vn2 rappresentano le rispettive velocità dei campi bosonici6 . Nuovamente la densità
di particella è data da
1
∂x ϕc (x)
(2.138)
ρ(x) =
2π
ed è legata solamente al campo carico ϕc (x). Si osservi che in questo caso il campo carico si propaga
in una determinata direzione, mentre i due campi neutri si propagano nella direzione opposta.
In particolare nel lavoro originale di Fradkin e Lopez i modi neutri vengono considerati topologici,
con le velocità vn1 = vn2 = 0. In questo caso l’unico contributo alla dinamica viene dal modo
carico che ha velocità finita vc . Questa scelta risulta restrittiva, soprattutto se si vogliono indagare
le importanti proprietà derivanti dalla presenza dei modi neutri [62, 63]. Nel seguito considereremo
perciò una generalizzazione del modello di Fradkin e Lopez, considerando velocità finite per i modi
neutri. In generale si possono considerare velocità finite per tali modi, ma si dimostra [64, 65, 66]
che deve valere la relazione vn1 ≈ vn2 vc .
La relazione precedente è ragionevole, infatti possiamo pensare che le velocità dei campi boso~ campo elettrico generato al bordo dal ponici siano dell’ordine di grandezza di |E|/|B| con E
tenziale di confinamento. La velocità vc del modo carico risente però di un ulteriore contributo dovuto all’interazione Coulombiana, che ne incrementa fortemente il valore. Le velocità
dei modi neutri possono essere considerate dello stesso ordine di grandezza, nel seguito porremo
vn1 = vn2 . Questa assunzione permetterà di dare una descrizione degli stati di bordo in termini
di una teoria minimale che considera solamente due campi bosonici definiti lungo l’edge ϕc (x) e
5 Si
noti che l’elettrone m = 2n + 1 avrebbe una statistica di tipo bosonico.
l’indice c indichiamo il campo carico, mentre n1 e n2 indicano i due campi neutri.
6 Con
57
2.5 Teoria di Fradkin e Lopez
ϕn (x) = √
1
ϕn1 (x)
1+|p|
+
q
|p|
1+|p| ϕn2 (x)
che sono le uniche combinazioni che intervengono nella
fisica del sistema, comparendo nella scrittura operatoriale delle eccitazioni. [9, 67]. Nel seguito
studieremo questa teoria minimale a due campi, costruendo gli operatori degli m-agglomerati in
forma bosonizzata, in particolare per i valori di filling factor ν = 2/5 e ν = 2/3.
2.5.1
Il caso ν = 2/5
La teoria minimale in questo caso, a differenza di quello di Wen in 2.4.1, consiste in due modi
contropropaganti, uno carico ϕc (x) e uno neutro ϕn (x)[63]. La Lagrangiana in questo caso è
1
1 1
∂x ϕc ∂t ϕc −
∂x ϕn ∂t ϕn + vc ∂x ϕc ∂x ϕc + vn ∂x ϕn ∂x ϕn
(2.139)
LEDGE = −
4π νc
νn
con νc = 2/5 e νn = 1. Le regole di commutazione di questi campi sono
[ϕσ (x), ϕσ0 (x0 )] = iησ πδσ,σ0 νσ sign(x − x0 )
σ, σ 0 = c, n
(2.140)
dove ηc = 1 e ηn = −1 rispecchiano la chiralità dei campi.
Anche in questo caso possiamo descrivere gli operatori delle possibili eccitazioni mediante la tecnica
della bosonizzazione. L’operatore per un generico m-agglomerato sarà scritto nuovamente nella
forma
F (m) i(αm ϕc (x)+βm ϕn (x))
Ψ(m) (x) = √
e
(2.141)
2πa
con αm e βm parametri che identificano il tipo di eccitazione. Per caratterizzare completamente
l’operatore in Eq. (2.141) dobbiamo determinare i parametri αm e βm , imponendo i vincoli generali
di carica e statistica dati dalla teoria gerarchica [7].
Per cui il fatto che ogni eccitazione carica risulti un multiplo della carica fondamentale e∗ = e/5
impone che la carica di un m-agglomerato Qm sia pari a Qm = −(emν)/p = −em/5. Questo si
riflette sulle relazioni di commutazione tra l’operatore Ψ(m) (x) e la densità di carica ρ(x)
h
i
ν
ρ(x), Ψ(m) (x0 ) = −m δ(x − x0 )Ψ(m) (x0 ),
(2.142)
p
che fissano il coefficiente αm . Ricordando l’espressione della densità in termini del campo bosonico
carico
1
ρ(x) =
∂x ϕc (x),
(2.143)
2π
si può effettuare il calcolo diretto nella Eq. (2.142) utilizzando le regole di commutazione in
Eq. (2.140). Si ottiene
h
i
ρ(x), Ψ(m) (x0 ) = −αm νδ(x − x0 )Ψ(m) (x0 ),
da cui si ha
(2.144)
m
.
(2.145)
2
Per determinare il secondo coefficiente βm imponiamo che gli m-agglomerati obbediscano ad una
statistica di tipo frazionario, come previsto per la statistica gerarchica
αm =
0
Ψ(m) (x)Ψ(m) (x0 ) = Ψ(m) (x0 )Ψ(m) (x)e−iθm sign(x−x )
(2.146)
con θm angolo statistico dato in Eq. (2.134). Utilizzando nuovamente l’espressione esplicita in
Eq. (2.141) e le regole di commutazione Eq. (2.140) si giunge a
r
3 2
βm =
m + 2k
(2.147)
2
58
Teorie di campo efficaci
dove abbiamo utilizzato il fatto che p = 2. Il parametro k ∈ Z riflette la molteplicità dovuta alla
periodicità dell’angolo statistico ed è legato al fatto che con due modi vi sono infinite possibili
eccitazioni che descrivono lo stesso valore di carica, ma differiscono per il contributo dovuto ai
modi neutri7 . Per cui il coefficiente del modo neutro dipende da un parametro libero k, indice
del fatto che a fissato m esiste una famiglia di diverse possibili eccitazioni con la stessa statistica.
Dalla radice in Eq. (2.147) si ottiene una condizione sul valore minimo che può assumere k
2 m 3
,
(2.148)
k ≥ kmin = −Int
2 2
dove con Int(x) abbiamo indicato la parte intera di x. I possibili valori di k sono limitati da un
terzo vincolo. Il sistema deve infatti rispettare la condizione di monodromia [41, 68], una qualsiasi
eccitazione che compia un giro intorno ad un elettrone deve acquisire una fase pari ad un multiplo
intero di 2π. Da questa condizione, come mostrato in appendice C, si ottiene
k = 3(q 2 − s2 ) + 3d(q − s) ,
(2.149)
dove q ∈ Z è un numero quantico addizionale, mentre s e d sono valori interi che identificano
l’m-agglomerato, essendo m = s|p| + d. Come abbiamo visto in appendice C possiamo scrivere,
fissando p = 2, m = 2s + d, con d = 0, 1 e s ≥ 0. Il coefficiente del modo neutro può quindi essere
riscritto nella forma
√
d
(2.150)
βm (q) = 6 q +
2
dove abbiamo esplicitato la dipendenza da q. In conclusione la forma bosonizzata dell’operatore
di m-agglomerato diventa perciò
F (m) i[(s+ d2 )ϕc (x)+√6(q+ d2 )ϕn (x)]
Ψ(m) (x) = √
e
2πa
2.5.2
(2.151)
Il caso ν = 2/3
Come già osservato, il filling factor ν = 2/3 corrisponde a p = −2. In questa situazione possiamo
costruire una teoria minimale in termini di due campi copropaganti, nuovamente uno carico ϕc (x)
e uno neutro ϕn (x). Si noti che in questo caso la teoria può essere vista come una riduzione della
teoria di Fradkin Lopez data in Eq. (2.137), dove l’ultimo coefficiente sulla diagonale è cambiato
di segno.8 La densità Lagrangiana risulta
1 1
1
LEDGE = −
∂x ϕc ∂t ϕc +
∂x ϕn ∂t ϕn + vc ∂x ϕc ∂x ϕc + vn ∂x ϕn ∂x ϕn
(2.152)
4π νc
νn
con i parametri νc = 2/3 e νn = 1. I campi bosonici soddisfano le relazioni di commutazione
[ϕσ (x), ϕσ0 (x0 )] = iπδσ,σ0 νσ sign(x − x0 )
σ, σ 0 = c, n
(2.153)
che risultano analoghe alle Eq. (2.117).
Infine dobbiamo caratterizzare l’operatore di m-agglomerato, che può essere scritto nella forma
in Eq. (2.141), con i parametri αm e βm che dovranno essere scelti opportunamente. Possiamo
infatti ripercorrere esattamente i ragionamenti fatti nella sezione precedente per determinare i
parametri caratteristici dell’eccitazione. Nuovamente dobbiamo imporre i tre vincoli sulla carica
dell’m-agglomerato, sulla sua statistica e utilizzare la condizione di monodromia.
Si ottengono i parametri
√
d
m
βm (q) = 6(q + )
(2.154)
αm =
2
2
7 Si noti che questo fatto avveniva anche nel caso di Wen, dove sono presenti diversi tipi di eccitazioni indipendenti
con stesso contributo di carica e statistica, ma differente isospin.
8 Si può dimostrare che cambiando il segno di tale coefficiente, tutte le discussioni fatte continuano a essere valide
tenendo conto del cambio del verso di propagazione dell’ultimo campo.
59
2.6 Unione dei modelli per gli stati di edge
con m = 2s + d e i possibili valori di q,s e d analoghi ai precedenti.
L’operatore di m-agglomerato, anche in questo caso, è scritto come
F (m) i[(s+ d2 )ϕc (x)+√6(q+ d2 )ϕn (x)]
Ψ(m) (x) = √
e
2πa
(2.155)
che risulta formalmente analoga alla Eq. (2.151) per il caso con ν = 2/5.
2.6
Unione dei modelli per gli stati di edge
Nelle sezioni 2.4.1, 2.4.2, 2.5.1 e 2.5.2 abbiamo analizzato i possibili modelli che descrivono gli stati
di edge per un sistema FQHE con filling factor ν = 2/5 e ν = 2/3. Tutti questi modelli sono
descritti mediante i due campi ϕc e ϕn definiti lungo un edge che abbiamo assunto di lunghezza
infinita. I due campi bosonici si propagano con velocità finite vc e vn e la direzione di propagazione
relativa tra i due dipende dal modello. Come abbiamo visto le analogie tra i diversi casi sono
molteplici, perciò in questa sezione vogliamo esporre una teoria minimale a due campi che sia in
grado di riassumere e contenere tutti e quattro i modelli al variare dei parametri. La densità di
Lagrangiana può essere quindi scritta come
1
1 1
∂x ϕc ∂t ϕc + ξ ∂x ϕn ∂t ϕn + vc ∂x ϕc ∂x ϕc + vn ∂x ϕn ∂x ϕn
(2.156)
LEDGE = −
4π νc
νn
dove νn = 1, mentre il parametro associato al modo carico vale νc = p/(2p + 1). Si noti che questa
Lagrangiana differisce da quelle esposte nelle Sezioni 2.4.1 e 2.4.2, nel coefficiente che moltiplica la
parte neutra νn . Abbiamo infatti per comodità ridefinito il campo neutro ϕn in modo da ottenere
un’unica scrittura per tutti i modelli. Questa ridefinizione del campo è lecita e non impatta in
alcun modo nella nostra discussione.
Abbiamo introdotto quindi un parametro ξ = ±1 che discrimina la direzione di propagazione
relativa del modo neutro rispetto al modo carico. In particolare avremo due modi copropaganti
per ξ = 1 oppure due modi contropropaganti se ξ = −1. Il caso trattato in sezione 2.4.1 corrisponde
a ξ = 1 e p = 2, mentre quello in sezione 2.4.2 si ottiene con ξ = −1 e p = −2. I modelli derivati
dalla generalizzazione della teoria di bordo di Fradkin-Lopez sono dati da ξ = −1 e p = 2 per
quello in 2.5.1, e ξ = 1 e p = −2 per il caso in 2.5.2.
Le regole di commutazione dei campi sono date da
[ϕσ (x), ϕσ0 (x0 )] = iπησ νσ sign(x − x0 )δσ,σ0
dove ηc = 1, mentre ηn = ξ.
L’angolo statistico per un m-agglomerato sarà
1
ν
2
+ξ−
− 2kπ
θm = πm
p2
p
σ, σ 0 = c, n,
(2.157)
(2.158)
con k ∈ Z che indica la periodicità. L’operatore di m-agglomerato può essere scritto [69], utilizzando le notazioni già introdotte in precedenza, come
h
i
√
d
d
F (m) i (s+ |p|
)ϕc (x)+ p2 −ξp(q+ |p|
)ϕn (x)
Ψ(m) (x) = √
e
(2.159)
2πa
dove m = s|p| + d, q ∈ Z e s, d ∈ N tali che s ≥ 0 e d = 0, 1. Nell’ultima abbiamo esplicitato i
valori dei coefficienti αm e βm (q) che sono dati da
p
m
d
d
2
αm =
=s+
βm (q) = p − ξp q +
.
(2.160)
|p|
|p|
|p|
60
Teorie di campo efficaci
2.7
Dimensione di scala
Vogliamo ora studiare il comportamento della teoria e degli operatori al variare delle diverse scale
di energia. Per far questo è utile considerare la funzione di correlazione a due punti a tempo
immaginario per gli operatori che definiscono le eccitazioni del sistema. Vogliamo quindi calcolare
la funzione di correlazione, considerando due operatori in uno stesso punto x a due istanti diversi
τ1 e τ2 . Sfruttando l’invarianza traslazionale per la componente spaziale possiamo calcolare questa
funzione nel punto x = 0, mentre per la componente temporale possiamo definire un’unica variabile
τ = τ1 − τ2 . La funzione di correlazione può essere quindi scritta come
†
C (m) (0, τ ) = hT̂τ Ψ(m) (0, τ )Ψ(m) (0, 0)i
(2.161)
dove con T̂τ abbiamo indicato l’operatore di ordinamento temporale a tempo immaginario [70, 71]
e con le parentesi angolate la media termica rispetto alla distribuzione di equilibrio.
Per procedere nel calcolo dobbiamo utilizzare la scrittura bosonizzata per gli operatori di magglomerato in Eq. (2.159). Si noti che i fattori di Klein presenti negli operatori fattorizzano
nella media termica e contribuiscono solamente per un segno non rilevante per le considerazioni
successive [52]. Inseriamo quindi le espressioni di Eq. (2.159) nella Eq. (2.161). Possiamo sfruttare
le proprietà di commutazione dei campi bosonici (Eq. (2.157)) per separare il valor medio in due
medie termiche che coinvolgono separatamente i campi carichi e quelli neutri. Otteniamo quindi
C (m) (0, τ )
=
≡
1
hT̂τ eiαm ϕc (0,τ ) e−iαm ϕc (0,0) ihT̂τ eiβm (q)ϕn (0,τ ) e−iβm (q)ϕn (0,0) i
2πa
2
>
1 α2m G̃c> (0,τ ) βm
e
e (q)G̃n (0,τ ) .
2πa
(2.162)
dove per comodità abbiamo reintrodotto i parametri αm e βm (q) dati in Eq. (2.160). Nel secondo
passaggio abbiamo utilizzato la relazione di Baker-Hausdorff in Eq. (2.72), e introdotto le usuali
funzioni di Green per i campi bosonici a tempo immaginario [70, 71]
G̃σ> (0, τ ) = hT̂τ ϕσ (0, τ )ϕσ (0, 0)i − h(ϕσ (0, 0))2 i ,
(2.163)
con l’indice σ = c, n. L’espressione dell’azione a tempo immaginario per uno stato di edge,
necessaria per calcolare le Eq. (2.163), è data da
SσE =
1
4πνσ
Z
β
Z
+∞
dτ
dx∂x ϕσ (iξ∂τ + vσ ∂x ) ϕσ .
(2.164)
−∞
0
Il calcolo può essere fatto in maniera analoga a quello riportato in Appendice D, effettuando però
una continuazione analitica nel piano complesso [70]. Limitandoci al caso a temperatura nulla
T = 0 otteniamo
1
>
,
(2.165)
G̃σ (0, τ ) = νσ ln
1 + ωσ |τ |
dove con ωσ = vσ /a abbiamo indicato i “cut-off” naturali sulle energie dettati dalle velocità dei
modi vc e vn . 9 Questi “cut-off” definiscono le due scale di energia della teoria, e dalle relazioni
tra le velocità del modo carico e di quello neutro vn vc si ottiene
(2.166)
vn vc → ωn ωc .
Nel seguito potremo quindi considerare ωc come la più grande scala di energia in gioco.
Inserendo il risultato trovato in Eq. (2.165) nella Eq. (2.162) si ha
C
9 Come
(m)
1
(0, τ ) =
2πa
1
1 + ωc |τ |
να2m 1
1 + ωn |τ |
2
βm
(q)
,
già fatto in precedenza, con a indichiamo la lunghezza caratteristica di “cut-off”.
(2.167)
61
2.7 Dimensione di scala
avendo utilizzato νc = ν e νn = 1, che corrispondono ai valori adottati nel modello minimale
presentato nella sezione precedente.
Se valutiamo il limite di grandi tempi τ → ∞ della Eq. (2.167), si ottengono degli andamenti
tipo legge di potenza. In questo modo si possono avere informazioni sulle proprietà di scala degli
operatori della teoria. Vedremo infatti che l’andamento a grandi τ del correlatore C (m) (0, τ ) è
determinante per definire quali siano gli operatori dominanti nella teoria. Vedremo che queste
proprietà di scala avranno un’importante conseguenza nel determinare quale siano le eccitazioni
dominanti nelle proprietà di tunneling attraverso, ad esempio, un point contact. Il tunneling
infatti, come vedremo, può essere scritto in termini di operatori a due punti e quindi le proprietà di
trasporto sono riconducibili direttamente a queste proprietà di scala. In particolare ora studieremo
e confronteremo le diverse proprietà di scala tra differenti operatori di m-agglomerato. A questo
scopo introduciamo il concetto di dimensione di scala ∆m (q). Questa può essere definita come
la metà dell’esponente della funzione di Green valutata a temperatura nulla, nel limite di grandi
tempi [72]
C (m) (0, τ ) ∝ |τ |−2∆m (q) .
(2.168)
τ →∞
La dimensione di scala è una proprietà intrinseca di un operatore e ne definisce la rilevanza. Gli
operatori più rilevanti della teoria saranno quelli con dimensione di scala minima.
Si noti che effettuare il limite di grandi tempi corrisponde a valutare il regime di basse energie
|τ |−1 ∝ ω
→
|τ |→∞
0.
(2.169)
Come abbiamo già osservato, nel nostro modello si hanno due scale di energia caratteristiche a
causa della presenza dei due modi. In questo caso avremo due possibili regimi. Il primo sarà quello
in cui le energie in gioco sono molto più piccole di entrambe le scale caratteristiche, date dal modo
neutro e da quello carico ω ωn ωc . Il secondo regime è quello in cui si considerano energie
molto maggiori di ωn , ma sempre molto più piccole di ωc , perciò ωn ω ωc . In questo secondo
caso, in analogia con quanto sopra esposto, possiamo definire una dimensione di scala effettiva ∆eff
m
che dipenderà solamente dal modo carico.
Iniziamo analizzando il primo di questi due regimi, per cui vale ω ωn , ωc . Dalla Eq. (2.167) si
ottiene (vedi Eq. (2.168))
∆m (q) =
ν
2
s+
d
|p|
2
2
1
d
+ (p2 − ξp) q +
2
|p|
(2.170)
avendo esplicitato i valori di αm e βm (q) in Eq. (2.160).
Possiamo ora analizzare il risultato ottenuto e cercarne il valore minimo per una data famiglia di
m-agglomerati. Fissato m = s|p| + d abbiamo che la dimensione di scala minima si ha per q = 0
se d/|p| < 1/2 oppure per q = −1 per d/|p| > 1/2. Nel nostro caso, in cui |p| = 2, si ha q = 0,
che risulta essere un degenere con q = −1. Dobbiamo ora tener conto dei possibili valori che può
assumere d. La prima possibilità è d = 0. Questo corrisponde ad avere eccitazioni con m = s|p|.
Queste eccitazioni risultano essere tutte multipli interi di un nuovo oggetto, il |p|-agglomerato, che
nei casi che analizzeremo sarà un 2-agglomerato [62, 63]. In questo caso il |p|-agglomerato risulta
essere l’oggetto con dimensione di scala minima, infatti ponendo s = 1 si ha
∆p =
ν
2
(2.171)
dove per semplicità abbiamo omesso la dipendenza da q in quanto q = 0.
La seconda possibilità per d risulta essere d = 1. Per questo valore si ottiene che l’operatore con
dimensione di scala minima corrisponde alla singola quasiparticella, e in particolare si ha
1
ξ
ν
∆1 = 2 +
1−
(2.172)
2p
2
p
62
Teorie di campo efficaci
dove si è preso s = 0 e d = 1.
Confrontando le dimensioni di scala ottenute in Eq. (2.171) e Eq. (2.172) si osserva facilmente che
per basse energie l’operatore dominante, ossia con dimensione di scala minima, risulta essere il |p|agglomerato. Facciamo notare che l’unico caso patologico risulta essere quello discusso nella sezione
2.4.2 per ν = 2/3 in quanto le dimensioni di scala per la quasiparticella e per il |p|-agglomerato
risultano degeneri e assumono lo stesso valore. Questo significa che per quel modello, in questo
regime, i due operatori sono ugualmente rilevanti.
Analizziamo ora il secondo regime con ωn ω ωc . Si può definire anche qui una dimensione di
scala effettiva
eff
C (m) (0, τ ) ∝ |τ |−2∆m
(2.173)
dove si ha
∆eff
m =
ν
ν 2
α =
2 m
2
2
d
s+
|p|
(2.174)
che dipende solamente dal contributo del modo carico. In questo caso l’operatore dominante risulta
essere sempre quello di singola quasiparticella m = 1, la cui dimensione di scala è data da
∆eff
1 =
infatti per m-agglomerati si avrebbe
ν
2p2
2 eff
∆eff
m = m ∆1
(2.175)
(2.176)
ed in particolare per il |p|-agglomerato si avrebbe
∆eff
p =
ν
.
2
(2.177)
Abbiamo quindi ottenuto un comportamento diverso nei due possibili regimi, nei quali gli operatori
più rilevanti risultano essere rispettivamente il |p|-agglomerato oppure la singola quasiparticella,
a seconda del regime di energia considerato. Questo fatto apre la possibilità di avere un “crossover” tra i due tipi di eccitazioni dominanti, cosa che, come vedremo nel seguito, sembra essere
cruciale per spiegare le diverse osservazioni sperimentali. In conclusione abbiamo visto come,
mediante argomenti di dimensione di scala, è stato possibile comprendere le peculiarità delle eccitazioni di singola quasiparticella e di |p|-agglomerato, rispetto a tutte le possibili eccitazioni di
m-agglomerato. È importante far osservare che la rilevanza dei |p|-agglomerati nel regime di bassa
energia era già stata osservata anche da altri autori [7], ma la possibilità di vedere un “cross-over”
tra singola quasiparticella e |p|-agglomerato non era stata presa in considerazione10 .
2.7.1
Rinormalizzazione dei modi
Vogliamo infine commentare sulla possibilità che il sistema sia soggetto a interazioni esterne, possibilità fino ad ora trascurata avendo considerato il caso “nudo”. Per tener conto di questa possibilità
si possono introdurre due parametri di rinormalizzazione gc e gn associati rispettivamente al modo
carico e a quello neutro. In letteratura si possono trovare diversi modelli che generano questi tipi
di rinormalizzazioni. In questa trattazione non entreremo nel dettaglio di nessuno di essi. Vale
però la pena citare i principali modelli che si basano su accoppiamenti con bagni di fononi [73],
interazioni elettrone-elettrone [74, 75], processi di ”edge reconstruction” [76, 77]; ovviamente a seconda del tipo di modello avremo diverse restrizioni sui parametri gc e gn . Tali modelli sono stati
spesso studiati al fine di introdurre opportune correzioni ai modelli “nudi” che fossero in grado
di spiegare i comportamenti effettivamente osservati negli esperimenti di tunneling, ad esempio,
attraverso un point contact, come illustreremo nel seguito, o in geometrie differenti quali “Cleaved
Edge Overgrowth” (CEO) [78, 79].
10 Ad onor del vero gli esperimenti presenti fino ad allora non sembravano suggerire tale possibilità. Gli esperimenti
che mostreremo nel seguito danno invece una forte indicazione del fatto che questo “cross-over” sia possibile.
63
2.7 Dimensione di scala
Noi ci limiteremo a considerare la restrizione gc , gn ≥ 1 tipica dell’accoppiamento con un bagno di
fononi unidimensionali.
Le dimensioni di scala in Eq. (2.170) e Eq. (2.175) vengono perciò modificate dalla presenza di
queste rinormalizzazioni, e in particolare per m = s|p| + d
ν
∆m (q) = gc
2
d
s+
|p|
2
2
1
d
2
+ gn (p − ξp) q +
,
2
|p|
(2.178)
nel primo regime in cui ω ωn ωc , e
ν
d 2
∆eff
)
m = gc (s +
2
|p|
(2.179)
nel secondo in cui ωn ω ωc .
Quindi perchè il |p|-agglomerato risulti dominante rispetto alla singola quasiparticella, come sembrano indicare gli esperimenti, è richiesto che valga la seguente condizione
ξ
gn
> ν(1 + ),
gc
p
(2.180)
che garantisce una fenomenologia analoga al caso “nudo”. Infatti se vale l’Eq. (2.180) l’operatore
più rilevante nel limite di basse energie ω → 0 risulta sempre essere il |p|-agglomerato. Un ultimo
commento va fatto per quanto riguarda il caso del modello in sezione 2.4.2, che come abbiamo
detto in assenza di interazioni esterne risulta degenere. Se assumiamo la presenza di interazioni,
e conseguentemente introduciamo anche una piccolissima rinormalizzazione, la degenerazione tra
le dimensioni di scala della quasiparticella e del |p|-agglomerato viene meno. Otteniamo perciò
nuovamente che nel primo regime anche per il modello in 2.4.2 domina il |p|-agglomerato.
È interessante osservare come la teoria che sviluppiamo continui ad essere stabile anche in presenza
di interazioni. Ciò dimostra implicitamente che i risultati, e quindi anche la loro stabilità, non sono legati a peculiari valori dei parametri, ma rimangono validi per un range piuttosto esteso degli
stessi [63]. Vedremo nel seguito che per spiegare alcune misure sperimentali sarà necessario considerare questi fenomeni di rinormalizzazione che per loro natura hanno carattere non universale,
ma nonostante ciò la fenomenologia del “ cross-over” risulterà stabile. Vogliamo infine commentare
che, introducendo un parametro di rinormalizzazione gn per il modo neutro, si può ottenere un
mapping completo tra i modelli esposti nelle sezioni 2.4.1 e 2.4.2 e quelli in 2.5.1 e 2.5.2. Infatti se
identifichiamo con gn0 e gn rispettivamente il fattore di rinormalizzazione per i casi di Wen e quelli
di Fradkin Lopez, i diversi modelli possono essere ricondotti l’uno nell’altro tramite la sostituzione
gn0 = gn
p2 + |p|
,
p2 − |p|
relazione che di fatto completa la discussione presentata nel paragrafo 2.6.
(2.181)
64
Teorie di campo efficaci
Capitolo 3
Proprietà di trasporto in un
quantum point contact
Le teorie efficaci per gli stati di bordo fin qui presentate sono state ottenute mediante una “proiezione” al bordo delle teorie di bulk. Occorre quindi verificare sperimentalmente se e quando queste
teorie descrivano effettivamente gli stati di bordo di un sistema FQHE. Per fare ciò, in questo
capitolo, analizzeremo un sistema FQHE in presenza di un quantum point contact. In questa
geometria studieremo le proprietà di trasporto degli stati di bordo, analizzando in particolare la
corrente di tunneling ed il rumore di corrente ad essa associato. Queste quantità sono testate in
diversi esperimenti, con i quali potremo confrontare i modelli sopra esposti. Dal confronto con gli
esperimenti potremo quindi valutare la bontà delle previsioni teoriche.
È opportuno però, prima di entrare nella valutazione esplicita del trasporto, discutere meglio quale
sia la metodologia generale che abbiamo adottato per calcolare tali proprietà di fuori equilibrio del
sistema. Infatti la corrente, e anche il rumore nel regime di “shot noise”, di un point contact rappresentano la risposta del sistema all’applicazione di un potenziale di bias esterno e alla possibilità
tra gli edge superiore ed inferiore di essere messi in interazione mediante un termine di tunneling.
Ci troviamo a dover studiare un sistema in interazione e per giunta un problema di fuori equilibrio.
In generale per affrontare questo tipo di problematica è conveniente utilizzare le tecniche introdotte
durante la seconda metà del secolo scorso da J. S. Schwinger e da L. V. Keldysh.
3.1
La tecnica dei contorni alla Schwinger-Keldysh
Intendiamo ora dare una breve introduzione alla tecnica dei contorni alla Schwinger-Keldysh
[80, 81]. La discussione sarà necessariamente sintetica e molti dei concetti che esporremo possono essere trovati nei libri di testo [47, 48, 82, 83] ed in letteratura [84, 85, 86]. Qui ci limiteremo
a presentare i concetti di base del formalismo dei contorni alla Schwinger-Keldysh ed in particolare
tutte quelle definizioni che verranno utilizzate nel seguito per calcolare le proprietà di trasporto.
Vogliamo quindi trattare l’evoluzione temporale di un sistema quantistico a molti corpi governato
da un’Hamiltoniana H = H0 + V (t), dove H0 rappresenta l’Hamiltoniana stazionaria mentre con
V (t) indichiamo una generica perturbazione, che in generale potrà dipendere dal tempo. Ipotizziamo inoltre di conoscere la decomposizione spettrale dell’Hamiltoniana stazionaria H0 , e conseguentemente l’insieme completo degli stati a molti corpi |ni, dove con |0i indichiamo lo stato
fondamentale del sistema. Il termine che descrive la perturbazione V (t) in generale può non commutare con H0 , rendendo il problema di difficile trattazione. Risulta quindi necessario un approccio
di tipo perturbativo, soprattutto nel caso di un sistema a molti corpi.
La perturbazione V (t) potrà in generale contenere termini che generano la dinamica di fuori equilibrio e termini di interazione a molti corpi, che in linea di principio possono rendere molto complicata
la diagonalizzazione del problema. La perturbazione V (t) potrà contenere infatti un termine che
65
66
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
tenga conto della presenza di un potenziale esterno, sia esso dipendente o meno dal tempo, che
porterà il sistema fuori equilibrio, dove in generale lo stato iniziale e quello finale differiscono.1
Si noti che nel seguito considereremo un sistema in cui è presente un termine di interazione, che
descriverà il tunneling di particelle tra i due bordi della barretta Hall, ed un termine che genererà
la dinamica di fuori equilibrio, descrivendo la presenza di un potenziale esterno (bias) applicato ai
bordi della barretta Hall. Siamo in presenza perciò di un problema molto complesso.
Per affrontare problematiche cosı̀ complicate è necessario generalizzare gli approcci convenzionali
alle funzioni di Green sviluppati principalmente per sistemi in equilibrio [48, 71, 83, 87] al caso di
un problema di fuori equilibrio. Come vedremo, questo può essere fatto mantenendo la struttura
formale della teoria ma generalizzando il concetto di evoluzione temporale ad un particolare cammino temporale, detto appunto di Schwinger-Keldysh.
Per comodità di analisi supponiamo che la perturbazione V (t) sia accesa “adiabaticamente” al
tempo t = −∞. Assumiamo perciò che il sistema al tempo t = −∞ sia governato dall’Hamiltoniana stazionaria H0 , mentre la dipendenza temporale della perturbazione V (t) per tempi t > 0
sarà arbitraria. L’accensione adiabatica della perturbazione nel remoto passato è infatti necessaria,
come vedremo, per individuare una base, cioè gli autostati |ni di H0 , sui quali definire il problema
perturbativo. La condizione di adiabaticità garantisce inoltre che le proprietà del sistema per t > 0
siano sostanzialmente equivalenti al caso in cui il termine della perturbazione sia sempre stato
presente, a partire dal tempo t = −∞.
Data una generica osservabile O, il suo valor medio al tempo t in rappresentazione di Heisemberg
(indicata con H ), o alternativamente in quella di interazione (indicata con I ), sarà
hO(t)i = Tr[ρH OH (t)] = Tr[ρI (t)OI (t)],
(3.1)
dove abbiamo indicato con ρH e ρI la matrice densità del sistema nelle due diverse rappresentazioni. Si noti che OH (t = 0) = OI (t = 0) ≡ O, mentre ρH ≡ ρI (t = 0) costituisce la condizione di
equivalenza per la matrice densità al tempo t = 0 nelle due diverse rappresentazioni. Ricordiamo
inoltre che per un problema a molti corpi, l’operazione di traccia Tr[. . .] va intesa sull’insieme degli
stati a molti corpi. In rappresentazione di interazione le osservabili evolvono secondo l’Hamiltoniana stazionaria H0 , per cui OI (t) = eiH0 t Oe−iH0 t , mentre l’operatore densità, che descrive lo stato
del sistema, evolve secondo l’equazione di Liouville
∂t ρI (t) = −i [VI (t), ρI (t)]
(3.2)
che contiene solo il potenziale di perturbazione VI (t) = eiH0 t VH (t)e−iH0 t , e con condizione iniziale
ρI (t = 0) = ρH . Si ricorda che il sistema di unità di misura adottato è quello naturale con
~ = c = 1. È possibile mostrare che la soluzione della precedente equazione è data da
ρI (t) = UI (t)ρH UI† (t)
(3.3)
avendo introdotto l’operatore unitario di evoluzione UI (t) definito come
UI (t) = T̂ e−i
Rt
0
dτ VI (τ )
,
(3.4)
dove si è indicato con T̂ l’operatore di ordinamento temporale cronologico. Si noti che l’operatore
di anti-evoluzione
Rt
(3.5)
UI† (t) = UI−1 (t) = T̃ e+i 0 dτ VI (τ )
dipende, come è naturale, dall’ordinamento anticronologico T̃ , rappresentando di fatto un processo
di “antievoluzione”. Si può inoltre verificare che l’evoluzione temporale di uno stato |ψi, in questa
rappresentazione, soddisfa l’equazione
|ψI (t)i = SI (t, t0 )|ψI (t0 )i
(3.6)
1 Si pensi ad esempio ad una situazione in cui il numero di particelle dello stato iniziale e di quello finale non
coincidono.
3.1 La tecnica dei contorni alla Schwinger-Keldysh
67
dove abbiamo introdotto la matrice SI (t, t0 ), che rappresenta il propagatore nel tempo dello stato
del sistema ed è definita come
SI (t, t0 ) = UI (t)UI† (t0 ).
(3.7)
Per questa matrice vale la proprietà di composizione SI (t, t00 ) = SI (t, t0 )SI (t0 , t00 ) e quella ovvia
SI (t, t) = I, dove I indica l’operatore identità. Le precedenti proprietà discendono direttamente
dall’unitarietà dell’operatore UI (t) e dalla definizione della matrice SI (t, t0 ).
Dopo questa breve digressione sulla rappresentazione di interazione, nella quale abbiamo definito
diverse quantità, che utilizzeremo tra poco, è opportuno tornare al problema iniziale della definizione del valor medio di un operatore al tempo t come mostrato in Eq. (3.1). Prima di tutto,
dobbiamo definire su quale matrice densità calcoleremo le medie.
Per un sistema in equilibrio appare abbastanza ovvio considerare la matrice densità all’equilibrio
−βH
ρeq
dove con H si intende l’Hamiltoniana totale del sistema.
H ∝e
Per un sistema fuori equilibrio, tale prescrizione non è prima di tutto ben definita, a causa per
esempio della possibile dipendenza temporale di V (t), e non è più giustificabile. Se lo scopo della
nostra analisi è confrontare le nostre previsioni teoriche con gli esperimenti è necessario essere sicuri di calcolare grandezze che siano effettivamente significative e riproducibili per gli esperimenti
stessi.
Per fare ciò prima di tutto osserviamo che, nell’ipotesi adiabatica, il sistema al tempo t = −∞ è
governato solamente dalla Hamiltoniana stazionaria imperturbata H0 . Appare quindi ragionevole
ipotizzare che il sistema al tempo t = −∞ sia in equilibrio termodinamico con
ρI (t = −∞) =
1 X −βEn
e−βH0
=
e
|nihn|,
−βH
0]
Tr[e
Z n
(3.8)
dove β = (kB T )−1 e nella seconda uguaglianza abbiamo esplicitamente scritto la matrice densità
decomponendola negli stati |ni, autostati della Hamiltoniana a molti corpi H0 con autovalore
En . È opportuno a questo punto osservare che nel caso in cui valga la proprietà del sistema di
dimenticare la condizione iniziale dopo un tempo sufficientemente lungo di evoluzione (ergodicità),
allora la scelta della distribuzione iniziale è effettivamente inessenziale al fine del calcolo delle diverse
proprietà, siano esse medie di operatori o correlatori, come richiesto nel caso di interesse. La scelta
effettuata in Eq. (3.8) è però vantaggiosa computazionalmente in quanto permette di sfruttare
le potenzialità del teorema di Wick oltrechè essere la scelta naturale nell’ipotesi di accensione
adiabatica dell’interazione medesima.
Adesso siamo in grado di procedere nel calcolo del valor medio di un operatore proposto in Eq. (3.1).
È infatti possibile mostrare che in termini della matrice SI (t, t0 ) esso può essere scritto come
hO(t)i = Tr{SI (t, −∞)ρI (−∞)SI (−∞, t)OI (t)} = Tr{SI (−∞, t)OI (t)SI (t, −∞)ρI (−∞)} (3.9)
dove nel primo passaggio abbiamo esplicitato l’evoluzione della matrice densità a partire dal tempo
−∞ fino al tempo t e nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la proprietà di ciclicità degli operatori nella traccia. Osservando la precedente formula appare evidente come possiamo interpretare il
valor medio. Partendo infatti dal tempo −∞, il termine SI (t, −∞) descrive l’evoluzione del sistema
fino al tempo t. Il termine SI (−∞, t) invece descrive l’evoluzione inversa (“antievoluzione”) del
sistema dal tempo t fino al tempo −∞. Il risultato fin qui ottenuto è completamente generale e la
precedente formula è adatta sia al caso di equilibrio che al caso fuori equilibrio.
È conveniente quindi richiamare come le medie possono essere calcolate nel caso di equilibrio e poi
sviluppare la teoria al caso fuori equilibrio in tale prospettiva.
Nel sistema in equilibrio l’unica dipendenza temporale possibile può risiedere nella parte di accensione adiabatica che può essere resa comunque arbitrariamente lenta rispetto ai tempi caratteristici
del sistema. Risulta vantaggioso, per l’analisi che segue, propagare il sistema anche nel futuro ossia
per tempi maggiori del tempo t nel quale vogliamo calcolare la media di Eq. (3.1), propagando il
sistema fino a t → +∞.
68
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Utilizzando la proprietà di composizione della matrice SI (t, t0 ), possiamo quindi scrivere il precedente valor medio come
hO(t)i = Tr{SI (−∞, +∞)SI (+∞, t)OI (t)SI (t, −∞)ρI (−∞)}.
(3.10)
Esplicitando la matrice densità in Eq. (3.8) l’equazione precedente può essere riscritta come
hO(t)i =
=
X e−βEn
n
Z
X e−βEn
n
Z
hn|SI (−∞, +∞)SI (+∞, t)OI (t)SI (t, −∞)|ni
hn0 |SI (+∞, t)O(t)SI (t, −∞)|ni,
(3.11)
dove nel secondo passaggio abbiamo introdotto hn0 | che è dato da
hn0 | = hn|SI (−∞, +∞) = hSI (+∞, −∞)n|,
(3.12)
che indica l’evoluzione dello stato iniziale dal tempo −∞ al tempo +∞. Per sfruttare completamente i vantaggi dell’ipotesi adiabatica, nel caso di equilibrio che stiamo considerando, al tempo
t → +∞ si assume che il potenziale di interazione sia spento lentamente in maniera tale che a
suddetto tempo il sistema sia effettivamente governato solo dalla Hamiltoniana stazionaria H0 .
L’ipotesi adiabatica garantisce quindi che il sistema in equilibrio parta in un autostato dell’Hamiltoniana H0 , supponiamo nel generico stato |ni, ed arrivi al tempo +∞ nuovamente nello stato |ni.
Questo risultato è dimostrato in letteratura e costituisce essenzialmente il Teorema di Gell-Mann
e Low [88].
La condizione di adiabaticità garantisce quindi che per un sistema all’equilibrio lo stato iniziale |ni
a t = −∞ e finale |n0 i a t = +∞ coincidano differendo, al limite, per un fattore di fase eiφn dato
dalla formula
eiφn = hn0 |ni = hn|SI (−∞, +∞)|ni.
(3.13)
Per cui le medie termiche, ma anche i correlatori come le funzioni di Green, possono essere espresse
in termini dell’operatore di ordinamento cronologico T̂ definito sull’asse temporale t ∈ (−∞, +∞).
Dalla definizione della matrice densità all’equilibrio ρI (−∞) data in Eq. (3.8) si ha
+∞
dτ VI (τ )
R +∞
X e−βEn hn|T̂ e−i −∞
OI (t)|ni
= hT̂ e−i −∞ dτ
hO(t)i =
Z
hn|SI (+∞, −∞)|ni
n
R
VI (τ )
OI (t)i,
(3.14)
dove abbiamo raggruppato le matrici SI (+∞, t) e SI (t, −∞) dell’Eq. (3.10) avendo utilizzato le
proprietà dell’operatore di ordinamento temporale T̂ . Si noti che i termini a denominatore cancellano esattamente i fattori di fase eiφn discussi in precedenza. Nella seconda ugualianza abbiamo
usato la notazione compatta h. . .i per indicare la media termica, ossia la traccia sulla distribuzione
di equilibrio ρI (−∞) espressa in Eq. (3.8).
Espandendo perturbativamente nel termine di interazione VI (t) è possibile scrivere quindi ogni
media termica come una somma perturbativa di prodotti di operatori tempo ordinati. Siccome
poi la media termica è fatta sulla Hamiltoniana imperturbata, che è quadratica negli operatori di
creazione e di distruzione canonici, allora possiamo applicare il teorema di Wick [48]. Ogni termine
dell’espansione perturbativa potrà quindi essere espresso in termini di somme di prodotti costituiti
da tutte le possibili combinazioni di coppie di operatori imperturbati.
Analogamente lo stesso tipo di considerazioni può essere ripetuto per calcolare funzioni di correlazione, che vengono ad essere espresse solo in termini di funzioni di Green tempo ordinate
imperturbate
0
0
(0)
GA,B (t, t0 ) = hT̂ eiH0 t Ae−iH0 (t−t ) Be−iH0 t i,
(3.15)
per le quali l’evoluzione temporale è determinata solamente da H0 [48].
Per un sistema fuori equilibrio invece, lo stato iniziale a t = −∞ e quello finale a t = +∞ possono
69
3.1 La tecnica dei contorni alla Schwinger-Keldysh
in generale differire. Per esempio nel caso di trasporto di corrente lo stato di uno dei contatti
potrebbe avere un numero di particelle differente rispetto a quello dello stato iniziale al tempo
t = −∞. In tal caso non è possibile procedere come fatto in precedenza. Schwinger [80] comprese
che, dopo essere evoluti fino al tempo t, se si facesse “antievolvere” il sistema fino al tempo −∞
allora sarebbe possibile definire la media sullo stato iniziale, che per definizione è noto.
Questo fatto può essere riconosciuto guardando l’Eq. (3.9), dove il termine di antievoluzione può
essere identificato con la matrice SI (−∞, t) che propaga il sistema dal tempo t al tempo −∞.
Anche in questo caso è conveniente riscrivere il valor medio facendo propagare il sistema da t
fino al tempo +∞, e poi di evolvere all’indietro fino al tempo −∞ con SI (−∞, +∞), ottenendo
nuovamente l’Eq. (3.10). Tecnicamente si può interpretare tale sviluppo come un’evoluzione su
di un particolare loop temporale che comprenda l’evoluzione temporale da (−∞, +∞), seguita da
un’antievoluzione (+∞, −∞). Tale loop è indicato come cK ed è rappresentato in Fig. 3.1. Questo
cammino è chiamato di Schwinger-Keldysh in onore dei due fisici che per primi utilizzarono questo
approccio [80, 81].
Per questo particolare percorso risulta naturale associare un tipo diverso di operatore di ordina-
Figura 3.1: Rappresentazione del contorno alla Schwinger-Keldysh. La branca superiore (forward)
è indicata con +, mentre quella inferiore (backward) con −. Il sistema viene fatto evolvere da
t = −∞ fino a t = +∞ lungo il ramo forward e infine riportato a t = −∞ seguendo il ramo
backward.
mento temporale T̂K , che mette più a sinistra gli operatori che vengono “dopo” sul cammino di
Schwinger-Keldysh. Per cui il valor medio di Eq. (3.1) può essere riscritto come
hO(t)i = Tr{T̃ e−i
R −∞
T̂ e−i
R +∞
dτ VI (τ )
−∞
dτ VI (τ )
OI (t)ρI (−∞)} = Tr{T̂K e
−i
R
dτ VI (τ )
OI (t)ρI (−∞)},
(3.16)
dove si noti che nel primo passaggio abbiamo cambiato il segno nell’operatore di antievoluzione rispetto all’Eq. (3.5), invertendo però gli estremi di integrazione. Nel secondo passaggio abbiamo poi
identificato l’evoluzione su tale percorso con l’operatore di evoluzione sul cammino di SchwingerKeldysh, rappresentato in Fig. 3.1, e abbiamo utilizzato le proprietà dell’operatore di ordinamento
temporale T̂K definito su tale cammino. Si noti inoltre che nell’ultimo passaggio il cambio di segno legato all’antievoluzione è automaticamente incluso nel fatto che gli estremi di integrazione
della branca negativa del cammino di Schwinger-Keldysh sono invertiti rispetto alla branca positiva. Il risultato appena ottenuto è fondamentale per comprendere come a tutti gli effetti un
problema di fuori equilibrio possa in un certo senso essere ridotto ad un formalismo analogo a
quello di equilibrio. Basta infatti confrontare il numeratore del termine di sinistra di Eq. (3.14)
con il termine di sinistra della precedente equazione per convincersi della forte analogia formale
tra le due teorie. Infatti si può mostrare che è possibile generalizzare molti risultati ottenuti nella
teoria di equilibrio al caso fuori equilibrio sostituendo l’integrazione nei tempi con l’integrazione
+∞
cK
70
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
sul cammino di Schwinger-Keldysh e l’operatore di ordinamento temporale con l’operatore di ordinamento temporale di Keldysh. L’integrazione sul cammino di Schwinger-Keldysh può risultare
poco pratica computazionalmente. È conveniente quindi svolgere gli integrali sempre sull’asse reale
t ∈ (−∞, +∞), ma utilizzando un indice η, detto di branca, nella variabile temporale, per distinguere il cammino nella branca “forward” (η = +) da quello nella branca “backward” (η = −).
Utilizzando tale notazione possiamo scrivere la media di Eq. (3.16) come
hO(t)i =
R +∞
η
1 X
Tr{T̂K e−iη −∞ dτ
2 0
η,η =±
VI (τ η )
0
O(tη )ρI (−∞)} =
R +∞
η
1 X
hT̂K e−iη −∞ dτ
2 0
η,η =±
VI (τ η )
0
O(tη )i,
(3.17)
dove nell’ultimo passaggio abbiamo nuovamente utilizzato la notazione compatta h. . .i per esprimere la media termica sulla matrice densità ρI (−∞).
In questo contesto è utile introdurre le funzioni di Green nel formalismo alla Schwinger-Keldysh,
che utilizzeremo nel seguito. Dati due operatori A e B viene definita la funzione di Green come
(η,η )
GA,B1 (t, t0 ) = hT̂K e
−i
R
cK
dτ VI (τ )
η
A(tη )B(t0 1 )i,
(3.18)
dove T̂K indica l’operatore di ordinamento temporale di Keldysh, mentre gli indici η, η1 = ±
etichettano le possibili branche del contorno di Schwinger-Keldysh. Al variare delle possibili combinazioni di η e η1 per le variabili temporali, si otterranno differenti funzioni di Green. Scegliendo
infatti entrambe le variabili temporali nel ramo forward (backward) ritroveremo le usuali definizioni di funzioni di Green tempo (anti-tempo) ordinate [48]. Prendendo le variabili temporali sui
due diversi rami si ha G(+,−) (t, t0 ) = G< (t, t0 ) per t nella branca forward e t0 in quella backward,
oppure G(−,+) (t, t0 ) = G> (t, t0 ) per il caso opposto.
Nelle sezioni successive utilizzeremo queste funzioni di Green per valutare esplicitamente le quantità osservabili di interesse. Si noti che nel nostro sistema la perturbazione V (t) sarà composta
da un termine di tunneling, che tratteremo perturbativamente, e da un termine che descrive l’accoppiamento con un potenziale esterno, che in generale potrà dipendere dal tempo, responsabile
della dinamica di fuori equilibrio. Nel seguito illustreremo anche alcune particolari simmetrie delle funzioni di Green alla Schwinger-Keldysh, che saranno utili al fine di calcolare le proprietà di
trasporto del nostro sistema e che sono legate al fatto che abbiamo espresso la media rispetto a
ρI (−∞) data in Eq. (3.8).
3.2
La geometria di quantum point contact
In questa sezione descriveremo la più semplice configurazione che si può costruire per investigare
le proprietà di tunneling tra due bordi di una barretta Hall, ovvero la geometria di quantum point
contact (QPC) [10]. Questa consiste nel restringere la sezione della barretta Hall mediante un
potenziale di gate Vg negativo applicato a due elettrodi posizionati sul campione, come in Fig. 3.2.
La restrizione è tale da generare tunneling tra i due stati di bordo e quindi si possono investigare
le proprietà dinamiche degli stessi, attraverso lo studio della corrente di backscattering, o equivalentemente della corrente trasmessa attraverso il QPC.
In tal caso il moto del fluido Hall è confinato dentro la restrizione, possiamo quindi pensare i due
elettrodi come una pinza che avvicina i bordi del campione. In assenza di potenziale, Vg = 0, i
due bordi sono distanti su scale di lunghezza di tipo macroscopico, e sono quindi indipendenti. In
questo caso, come discusso nella sezione 2.3, la conduttanza misurata agli estremi del campione è
quantizzata, universale e pari a (νe2 )/(2π) (Eq. (2.4)). Accendendo un debole potenziale Vg i bordi vengono leggermente avvicinati e diventa possibile, per esempio, che una particella che si trova
nel bordo superiore passi nel bordo inferiore per effetto tunnel, invertendo la propria chiralità. Si
noti che se il potenziale è sufficientemente debole il fluido Hall è presente tra i due bordi e questo
permette il passaggio di qualsiasi tipo di eccitazione di m-agglomerato, dalla quasiparticella all’elettrone e cosı̀ via. Questo regime viene chiamato “weak pinch-off” ed è mostrato schematicamente
71
3.3 Hamiltoniana di tunneling
Figura 3.2: Applicazione di un potenziale di gate Vg alla barretta Hall. Esso avvicina “fisicamente”
l’edge superiore (progressivo) e quello inferiore (regressivo) e rende possibile il tunneling fra i due
edge (linee tratteggiate) generando una corrente di backscattering.
in Fig. 3.3a. Il tunneling di questi oggetti modifica il valore della corrente Hall del campione in
Eq. (2.3) che viene diminuita da un termine di corrente di tunneling o backscattering. Si ha infatti
per la corrente totale trasmessa attraverso la restrizione
I=ν
e2
V − IB ,
2π
(3.19)
dove V rappresenta il potenziale applicato ai capi della barra Hall e IB indica la corrente di backscattering.
Se si aumenta il potenziale di gate Vg negativo si viene a creare una regione di svuotamento tra i
punti di contatto nella quale il fluido Hall è assente, come si vede in Fig. 3.3b. In questo limite,
che prende il nome di “strong pinch-off”, la corrente attraverso il QPC diminuisce fortemente, in
quanto la componente di backscattering, vista la particolare configurazione, tende ad aumentare.
Fisicamente questa situazione è molto differente dal caso presentato precedentemente. Siccome nel
restringimento non si trova più un liquido elettronico nello stato Hall, allora le uniche eccitazioni che possono fare tunneling nel QPC sono elettroni, in quanto queste particelle sono le uniche
che possono esistere anche in assenza del fluido Hall. È interessante osservare che, nel caso della
sequenza di Laughlin, è possibile ottenere un mapping tra i risultati della corrente nel limite di
“weak pinch-off” con quelli nel limite di “strong pinch-off”. Qui non tratteremo questa dualità tra
i due diversi regimi, ma un’estesa trattazione può essere trovata in letteratura [89].
Se il potenziale di gate Vg assume valori troppo intensi e negativi la barretta Hall viene definitivamente separata in due zone completamente indipendenti e non vi può più essere trasporto, per
cui la corrente totale I risulta nulla.
Nel seguito analizzeremo da un punto di vista teorico il sistema in presenza di un quantum point
contact in regime di “weak pinch-off”, nel quale, come abbiamo detto, è possibile osservare il passaggio tra i due bordi delle eccitazioni che sono ammissibili all’interno del fluido Hall. Studiando
le proprietà di trasporto di questa particolare configurazione potremo infatti ottenere indicazioni
sulla natura delle eccitazioni e, inoltre, potremo confrontare i nostri modelli con diverse osservazioni sperimentali, in quanto questo setup rappresenta la più semplice configurazione di misura per
gli stati di edge.
3.3
Hamiltoniana di tunneling
Consideriamo nuovamente una situazione con edge indipendenti accoppiati con due serbatoi esterni
in equilibrio a due potenziali chimici diversi, come descritto nella sezione 1.4.1. Nel seguito indicheremo con L e R i due edge, associando questi indici alla loro direzione di propagazione, sinistra (L)
72
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Figura 3.3: Andamenti di weak (a) e strong (b) pinch-off. Il potenziale di gate è applicato ai
contatti rappresentati schematicamente in nero in figura. (a) il potenziale di gate è debole e non
separa il fluido, ma serve solo a consentire l’avvicinamento dei bordi fra i quali si può avere il
passaggio di eccitazioni cariche mediante tunneling diretto. (b) il potenziale di gate è cosı̀ intenso
(con segno negativo) da rimuovere completamente il fluido Hall al centro del campione (zona
bianca). Il sistema è cosı̀ diviso in due regioni distinte con due differenti fluidi (zone grigie). Fra
esse l’unico processo di tunneling possibile e quello di elettroni.
o destra (R). I due edge si troveranno in equilibrio con il serbatoio dal quale provengono, quindi
in particolare avremo l’edge etichettato con L in equilibrio al potenziale chimico µR e viceversa
l’edge indicato con R al potenziale µL .
L’Hamiltoniana totale che descrive il sistema può essere scritta nella forma
H0 = HL + HR − µL NR − µR NL ,
(3.20)
dove HL e HR sono le Hamiltoniane dei singoli edge disaccoppiate, e NL e NR indicano il numero
totale di particelle sui due edge dato da
Z +∞
Nj =
dxρj (x)
j = R, L.
(3.21)
−∞
con ρ = ∂x ϕ/2π la densità elettronica. Ricordiamo inoltre che i potenziali chimici sono legati al
potenziale esterno da µR − µL = −eV . La forma esplicita per le Hamiltoniane degli edge dipende,
come visto nel capitolo precedente, dal modello considerato per la descrizione degli stessi. Per il
momento, non entreremo nel dettaglio della loro espressione, ossia non faremo distinzione tra un
modello contenente un solo campo chirale, come nel caso di Laughlin, o quelli che contengono più
campi chirali, come discusso nel capitolo 2.
73
3.3 Hamiltoniana di tunneling
Vogliamo ora ammettere la presenza di un termine che descriva il point contact, introducendo
il minimo numero di parametri incogniti. Per fare ciò ipotizzeremo che il termine di tunneling
sia puntuale nella generica posizione x0 e che permetta il tunneling tra i due bordi R e L. Per
mantenere la massima generalità nella descrizione del QPC nel limite di “weak pinch-off”, nel
quale in generale è ammesso il passaggio di eccitazioni con cariche multipli interi della carica
fondamentale e∗ , tratteremo il caso in cui il tunneling coinvolga un generico m-agglomerato di
carica me∗ . Successivamente vedremo che in realtà sarà sufficiente considerare solo alcune delle
possibili eccitazioni, ossia quelle che risultano essere dominanti nel regime di tunneling considerato.
Introduciamo quindi l’Hamiltoniana di tunneling attraverso un QPC relativa, come detto, ad un
generico m-agglomerato
ε
X
(m)
(m) †
(m)
(3.22)
HT =
tm ΨR (x0 , t)ΨL (x0 , t)
ε=±
avendo usato la scrittura compatta [85]
 +

(m) †
(m)

 tm ΨR (x0 , t)ΨL (x0 , t)
−
†

(m)

 tm Ψ(m)
(x
,
t)Ψ
(x
,
t)
0
0
R
L
(m) †
= t m ΨR
(m) †
= t∗m ΨL
(m)
(x0 , t)ΨL (x0 , t)
(3.23)
(m)
(x0 , t)ΨR (x0 , t)
dove tm indica l’ampiezza del processo di tunneling considerato. Qui assumiamo che l’ampiezza di
tunneling non dipenda dall’energia, tale approssimazione è valida solo se il potenziale di gate non è
troppo elevato, in ogni caso le osservazioni sperimentali non sembrano contraddire questa ipotesi.
Gli operatori di campo nella Eq. (3.22) descrivono un generico m-agglomerato e, come abbiamo
visto nella sezione 2.6, possono essere scritti nella forma
(m)
(m)
Ψj
Fj
ei(αm ϕj,c (x,t)+βm ϕj,n (x,t))
(x, t) = √
2πa
(3.24)
con j = R, L e i parametri αm e βm che dipendono dal modello considerato. Abbiamo introdotto
l’indice j che indica il bordo sul quale sono definiti gli operatori di campo, esso può infatti assumere
i valori R o L. 2 . Riportiamo qui le regole di commutazione dei campi bosonici definiti sui due
edge
[ϕj,σ (x), ϕj 0 ,σ0 (y)] = ηj iνσ πsign(x − y)δσ,σ0 δj,j 0
(3.25)
dove l’indice j = R, L specifica anche la chiralità dell’operatore di campo e ηR/L = +/ − 1, mentre
σ = c, n si riferisce al tipo di campo (carico o neutro). Si noti che operatori definiti su bordi diversi
j 6= j 0 commutano tra di loro.
(m)
Si osservi che i fattori di Klein Fj
non verranno scritti esplicitamente nel seguito, in quanto ci
limiteremo ad un’analisi al prim’ordine nel tunneling, dove questi non contribuiscono, se non per
l’ovvia proprietà di conservazione del numero di particelle nel processo [52].
Vogliamo ora tener conto della presenza di un voltaggio esterno (bias) applicato ai due edge, che
poniamo costante e pari a V . Possiamo procedere con una trasformazione di gauge, in modo che
la componente scalare V venga riassorbita nella definizione degli operatori. Poniamo pertanto
∂Λ
∂t
0
~
~
~
~
A → A = A + ∇Λ
V → V0 = V −
(3.26)
(3.27)
con la condizione che V0 = 0. Sotto questa trasformazione gli operatori di campo acquistano una
fase del tipo
∗
(m)
0(m)
(m)
Ψj (x, t) → Ψj (x, t) = eime Λj Ψj (x, t)
(3.28)
2 Si
noti che la notazione j = R, L, in appendice D è sostituita per comodità notazionale da j = +, −
74
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
con Λj = Λ(yj , t) dove yj rappresenta l’ordinata dell’edge j = R, L. Per cui dall’Eq. (3.26) si
ha λj = Vj t, e supponendo di mettere a terra l’edge inferiore si avrà VL = 0, mentre il termine
dell’edge superiore corrisponderà al bias esterno VR = V . Nell’ultima equazione si noti la presenza
della carica della generica eccitazione di m-agglomerato del fluido Hall me∗ = (mνe)/|p|.
È conveniente definire l’energia di tunneling per un m-agglomerato come
Em =
mν
eV
|p|
(3.29)
e scaricare quindi il contributo dato dalla trasformazione di gauge nell’ampiezza di tunneling tm
che verrà modificata assumendo una fase [85]
(3.30)
tm → tm eiEm t .
3.4
La corrente di backscattering
(m)
La presenza di HT fa sı̀ che il numero di particelle lungo un edge non sia più una costante del moto,
instaurando una corrente IB di backscattering o tunneling. Vogliamo ora ottenere un’espressione
per l’operatore di corrente, esso in generale sarà dato da
−e ṄR − ṄL
(3.31)
IB (t) =
2
dove con NR e NL abbiamo indicato il numero totale di particelle sui due edge in Eq. (3.21). La
conservazione della carica lungo tutto il sistema impone che questa sia una costante del moto
ṄL + ṄR = 0.
(3.32)
Possiamo quindi calcolare la variazione di carica nel tempo in rappresentazione di Heisenberg,
assumendo che il termine di interazione sia dato dall’Hamiltoniana di tunneling in Eq. (3.22), e
ricordando che le Hamiltoniane degli edge presenti in Eq. (3.20) conservano il numero di particelle,
dato che commutano con Nj . Abbiamo quindi
(m)
Ṅj = i[HT , Nj ].
(3.33)
La corrente sarà dunque data dai due contributi della Eq. (3.31). Ricordiamo la relazione di
(m)
commutazione fra la densità elettronica e l’operatore di distruzione Ψj
per l’m-agglomerato
(m)
contenuto nel termine HT
di Eq. (3.22)
h
i
ν
(m)
(m)
ρj (x), Ψj (y) = −m δ(x − y)Ψj (y).
|p|
(3.34)
In tal caso la corrente è determinata solo dal contributo dell’eccitazione che fa tunneling e quindi,
nel nostro caso, dall’m-agglomerato. Inserendo l’espressione in Eq. (3.22) nella Eq. (3.33) si ha
(m)
IB (t) = ime∗
X
(m) †
εeiεEm t [tm ΨR
(m)
(x0 , t)ΨL (x0 , t)](ε) ,
(3.35)
ε=±
avendo utilizzato la notazione compatta introdotta in Eq. (3.22).
3.5
Calcolo della corrente di tunneling
Calcoleremo ora, utilizzando le tecniche introdotte nella sezione 3.1, il valor medio della corrente di
backscattering IB per un quantum point contact sottoposto ad un bias V . Procederemo in analogia
a quanto fatto in [85] per la sequenza di Laughlin, ma la nostra derivazione terrà conto del fatto
75
3.5 Calcolo della corrente di tunneling
che il sistema potrebbe avere eccitazioni di m-agglomerato, anzichè di singola quasiparticella, e
la formalizzazione sarà tale che potremo in seguito generalizzare agevolmente i risultati ai casi di
ν = 2/5 e ν = 2/3 che considereremo.
In presenza di un bias il sistema viene portato fuori equilibrio e quindi per trattare il problema
è opportuno utilizzare le tecniche precedentemente introdotte3 . Possiamo quindi calcolare il valor
medio dell’operatore di corrente IB nella rappresentazione di interazione utilizzando le funzioni di
Green alla Schwinger-Keldysh. Il valor medio della corrente di backscattering di un dato processo
che coinvolge un m-agglomerato, descritto nella sezione 3.4, può essere quindi scritto in generale
come
(m)
hIB (t)i =
R
(m)
1 X
dt H
(t )
−i
(m)
hT̂K {IB (tη )e cK 1 T 1 }i ,
2 η=±
(3.36)
dove per comodità di calcolo abbiamo riscritto l’operatore di corrente al tempo t come una combinazione simmetrica sulla branca η = + (forward) e quella η = − (backward). Si noti che in
generale la teoria che sviluppiamo è perfettamente in grado di considerare il caso di corrente media
dipendente dal tempo, come nel caso della risposta del sistema ad un campo dipendente dal tempo4 . Siccome nel seguito ci limiteremo al caso del trasporto in DC, ci aspettiamo che al tempo t il
sistema abbia effettivamente dimenticato la condizione iniziale al tempo t = −∞ (ergodicità). In
questo caso il valor medio della corrente sarà costante al variare del tempo t. Nel seguito manterremo esplicita la dipendenza temporale, ma dimostreremo sulla base della simmetria per traslazioni
temporali del sistema che la corrente è effettivamente costante nel tempo.
Per procedere nel calcolo sviluppiamo l’espressione precedente per ottenere una serie perturbativa
nell’ampiezza di tunneling tm . Se consideriamo l’ordine più basso si avrà
(m)
hIB (t)i =
×
me∗ |tm |2
2
X
η,η1 ,ε,ε1
(m) †
hT̂K [ΨR
Z
+∞
εη1
dt1 ei(Em (εt+ε1 t1 ))
−∞
(m)
(m) †
(x0 , tη )ΨL (x0 , tη )]ε · [ΨR
(m)
(x0 , tη11 )ΨL (x0 , tη11 )]ε1 i
(3.37)
dove gli indici η, η1 derivano dalla scrittura sul contorno di Schwinger-Keldysh rispettivamente
dell’operatore di corrente e dell’Hamiltoniana di tunneling, mentre gli indici ε, ε1 = ±1 rappresentano la notazione compatta usata in Eq. (3.22) e Eq. (3.35) per descrivere i termini hermitiani
coniugati. Con Em si indica l’energia di tunneling per un m-agglomerato definita in Eq. (3.29).
Con h. . .i si intende la media degli operatori calcolata sulla distribuzione d’equilibrio espressa in
termini dell’Hamiltoniana del sistema al tempo t = −∞, ossia in assenza del termine di tunneling,
come previsto nel formalismo alla Schwinger-Keldysh. Come si è già detto nella sezione 2.2.2, i
fattori di Klein garantiscono la conservazione del numero di particelle nel processo, questo si riflette
in Eq. (3.37) nel fatto che il correlatore tra le parentesi angolate risulta diverso da zero solamente
per ε = −ε1 . Come detto in precedenza, questo è l’unico ruolo dei fattori di Klein se si considera
il prim’ordine nel tunneling [52, 85]. Notiamo che il correlatore è poi invariante per traslazioni, in
quanto la corrente di tunneling IB non dipende dalla posizione dove avviene il tunneling x0 , se si
ipotizza come nel nostro caso una lunghezza infinita per gli stati di edge. Per comodità scegliamo
quindi di considerare nel seguito gli operatori nel punto x0 = 0, per cui useremo la notazione
ϕ(0, t) ≡ ϕ(t).
3 Vedremo che per questo sistema, e nell’approssimazione che considereremo di prim’ordine nel tunneling, in linea
di principio anche approcci più semplici sono in grado di determinare le proprietà di trasporto. In generale però,
per impostare correttamente il problema, un approccio fuori equilibrio è necessario. Inoltre con lo stesso formalismo
possono essere calcolate le proprietà di trasporto con potenziali esterni dipendenti dal tempo, come nel caso della
corrente e del rumore in AC. Il formalismo permette anche in maniera naturale un’estensione della teoria nel caso in
cui si voglia effettuare un’analisi considerando gli ordini successivi nell’ampiezza di tunneling. Riteniamo quindi che
l’approccio fuori equilibrio sia estremamente vantaggioso, anche se più complicato rispetto ad altri possibili approcci
più elementari, ma meno flessibili.
4 In tal caso il termine che dipende dal potenziale esterno E
m risulterà dipendente dal tempo.
76
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Inserendo le forme bosonizzate degli operatori di m-agglomerato di Eq. (3.24) possiamo scrivere
(m)
hIB (t)i =
Z +∞
me∗ |tm |2 X
εη
dt1 eiεEm (t−t1 )
1
2(2πa)2 η,η ,ε
−∞
1
h
η
η
−i(αm ϕR,c (tη )+βm ϕR,n (tη ))
×hT̂K e
· ei(αm ϕL,c (t )+βm ϕL,n (t ))
iε
η1
η1
η1
η1
·e−i(αm ϕL,c (t1 )+βm ϕL,n (t1 )) · ei(αm ϕR,c (t1 )+βm ϕR,n (t1 )) i.
(3.38)
Per valutare l’Eq. (3.38) utilizziamo il teorema di Wick, che proprio grazie al formalismo di
Schwinger-Keldysh risulta essere generalizzato per un sistema fuori equilibrio con correlatori ordinati temporalmente sul contorno alla Schwinger-Keldysh [85]. Sfruttando poi le proprietà di
commutazione dei campi bosonici liberi in Eq. (3.25), si ottiene
(m)
hIB (t)i =
Z
ime∗ |tm |2 X
η
dt1 sin(Em (t − t1 ))
1
(2πa)2 η,η
1
×hT̂K e
η
−iαm ϕR,c (tη ) iαm ϕR,c (t1 1 )
e
η1
η
η1
η
i · hT̂K e−iβm ϕR,n (t ) eiβm ϕR,n (t1 ) i
η1
η
·hT̂K eiαm ϕL,c (t ) e−iαm ϕL,c (t1 ) i · hT̂K eiβm ϕL,n (t ) e−iβm ϕL,n (t1 ) i
(3.39)
dove abbiamo sommato sull’indice ε utilizzando la simmetria della media hT̂K . . .i nell’Eq. (3.38) per
il cambio ε → −ε. Siccome i termini del tipo hT̂K . . .i dipenderanno solamente dalla differenza dei
tempi t−t1 , si può facilmente dimostrare mediante un cambiamento di variabile di integrazione t0 =
t−t1 , che l’espressione in Eq. (3.39) non dipende effettivamente dalla variabile temporale t esterna.
Per quanto mostrato d’ora in poi potremo sopprimere la dipendenza temporale nell’espressione della
(m)
corrente media hIB i.
η1
η
Il generico elemento hT̂K eiaϕj,σ (t ) e−iaϕj,σ (t1 ) i può essere quindi riscritto utilizzando la formula di
Baker-Hausdorff in Eq. (2.72) tenendo conto che il commutatore dei campi bosonici è un c-numero,
per cui
hT̂K eiaϕj,σ (t ) e−iaϕj,σ (t1 ) i = hT̂K eia(ϕj,σ (t
η
η1
η
)−ϕj,σ (t1 1 ))
η
η
ie−[iaϕj,σ (t
η
),−iaϕj,σ (t1 1 )]/2
,
(3.40)
dove σ = c, n e j = R, L. Siccome le medie sono espresse sulla matrice densità all’equilibrio di
Eq. (3.8), per le combinazioni lineari di campi liberi possiamo utilizzare le proprietà valide per
medie gaussiane. Il valor medio termico all’equilibrio di un campo bosonico si ottiene quindi dalla
relazione
2
heiϕ i = e−hϕ /2i ,
(3.41)
che può essere generalizzata al caso di Eq. (3.40), dove è presente una combinazione lineare di
campi bosonici calcolati a tempi diversi.
A tal fine risulta conveniente introdurre le funzioni di Green alla Schwinger-Keldysh
(η,η1 )
G̃j,σ
(t, t1 ) = hT̂K ϕj,σ (tη )ϕj,σ (tη11 )i −
1
hϕ2j,σ (tη )i + hϕ2j,σ (tη11 )i ,
2
(3.42)
dove abbiamo sottratto il contributo della funzione di Green calcolata a tempi uguali. Abbiamo
denotato queste funzioni di Green con il simbolo G̃, per contraddistinguerle dalle usuali funzioni di
Green definite in precedenza. Utilizzando infatti le espressioni in Eq. (3.40), Eq. (3.41) e Eq. (3.42)
possiamo scrivere
η
η1
2
hT̂K eiaϕj,σ (t ) e−iaϕj,σ (t1 ) i = ea
(η,η1 )
(t,t1 )
G̃j,σ
.
(3.43)
Questi correlatori hT̂K . . .i, nel caso DC, e conseguentemente le funzioni di Green in Eq. (3.42)
dipendono solamente dalla differenza dei tempi t − t1 , il che dimostra proprio che la corrente media
77
3.5 Calcolo della corrente di tunneling
in Eq. (3.39) non dipende dal tempo. Le funzioni di Green appena introdotte soddisfano le seguenti
simmetrie
(+,+)
(−,+)
(+,−)
(−,+)
G̃j,σ (t) = G̃j,σ (|t|) G̃j,σ (t) = G̃j,σ (−t)
(−,+)
(−,+)
(−,−)
(−,+)
G̃j,σ (t) = G̃j,σ (t) G̃j,σ (t) = G̃j,σ (−|t|).
(3.44)
Per cui da queste relazioni è facile verificare la seguente simmetria
(η,η1 )
G̃j,σ
(−η,−η1 )
(t) = G̃j,σ
(−t),
(3.45)
(−,+)
Ricordando che G̃j,σ (t) = G̃>
j,σ (t), possiamo ricondurre il calcolo delle precedenti funzioni al
calcolo di G̃>
(t),
riportato
in
appendice
D. Dalle proprietà di analiticità della funzione di Green
j,σ
>
G̃j,σ (t) si ha inoltre
(η,−η)
G̃j,σ
(η,−η)
(t0 ) = G̃j,σ
(−t0 )∗
(3.46)
e
(η,−η)
G̃j,σ
(η,−η)
(t0 + iηβ) = [G̃j,σ
(t0 )]∗ ,
(3.47)
dove la temperatura inversa del sistema è β = (kB T )−1 . Da queste e dal fatto che i campi definiti
sugli edge R e L hanno chiralità opposte, segue che
(−,+)
G̃j,σ
(+,−)
(t) = G̃j 0 ,σ (−t),
(3.48)
come è facile verificare in appendice D dalle Eq. (D.10) e Eq. (D.12) considerando x = 0.
Proseguiamo a calcolare la corrente media di Eq. (3.39). Come primo passo riscriviamo i valori
medi hT̂K . . .i, effettuando la sostituzione t0 = t − t1 ed esprimendo i correlatori in termini delle
funzioni definite in Eq. (3.42), secondo la relazione di Eq. (3.43), abbiamo
2
(η1 ,η)
(η,η )
(η1 ,η)
(η,η )
2
(−t0 )+G̃L,c 1 (t0 ))+βm
(G̃R,n
(−t0 )+G̃L,n 1 (t0 ))
eαm (G̃R,c
,
(3.49)
avendo utilizzato le simmetrie di Eq. (3.46) e Eq. (3.48). Si noti ora che per l’antisimmetria nella
(+,+)
(−,−)
variabile temporale della funzione seno, i termini G̃j,σ (t0 ) e G̃j,σ (t0 ) si cancellano in quanto
5
simmetrici per inversione temporale . Per cui la corrente in Eq. (3.39) può essere riscritta come
(m)
hIB i =
Z +∞
2
(η,−η) 0
2
ime∗ |tm |2 X
(t )+2βm
G̃(η,−η)
(t0 ))
n
η
dt0 sin(Em t0 )e(2αm G̃c
.
2
(2πa)
−∞
η±
(3.50)
Si noti la presenza dei fattori 2 a esponente, dovuti nuovamente all’uso della simmetria in Eq. (3.48),
avendo soppresso l’indice j = R, L ed avendo definito un unico tipo di funzione di Green per gli
(η,−η)
(η,−η)
(−η,η)
edge G̃σ
(t) ≡ G̃R,σ (t) = G̃L,σ (−t).
Dopo aver calcolato la somma sugli indici di Schwinger-Keldysh, l’Eq. (3.50) può essere ridotta
nella forma
Z
(−,+) 0
2
2
ime∗ |tm |2 +∞ 0
(m)
(t )+2βm
G̃(−,+)
(t0 ))
n
dt sin(Em t0 )e(2αm G̃c
,
(3.51)
hIB i =
2π 2 a2
−∞
dove si noti che il prefattore di Eq. (3.50) è stato moltiplicato per un fattore 2 dovuto alla somma
su η.
5 Proprietà ovvie, in quanto le funzioni di Green alla Schwinger-Keldysh appartenenti alla stessa branca sono
tempo o antitempo ordinate, ed i campi ϕσ (t), ai quali si riferiscono le funzioni di Green di Eq. (3.42), sono campi
reali.
78
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
È utile a questo punto osservare che il risultato ottenuto al prim’ordine può essere interpretato
utilizzando la regola d’oro di Fermi. Possiamo infatti definire il rate di tunneling6 , che sarà dato
da
Z +∞
2
(−,+) 0
2
0
|tm |2
(t )+2βm
G̃(−,+)
(t0 ))
(m)
n
dt0 eiEm t e(2αm G̃c
Γ (Em ) =
.
(3.52)
(2πa)2 −∞
Qui non deriveremo questo risultato e per una trattazione dettagliata si rimanda alla estesa letteratura in merito [62, 90, 91]. Dalla definizione di rate in Eq. (3.52) è facile mostrare che la corrente
può essere riscritta come
(m)
hIB i = me∗ [Γ(m) (Em ) − Γ(m) (−Em )],
(3.53)
Γ(m) (−Em ) = e−βEm Γ(m) (Em ),
(3.54)
ossia come la differenza del rate cosidetto di forward Γ(m) (Em ) con quello di backward Γ(m) (−Em ),
che descrive il processo di tunneling inverso ed infatti è caratterizzato dall’energia −Em . Si noti che è possibile inoltre dimostrare, utilizzando la simmetria della funzione di Green calcolata
all’equilibrio in Eq. (3.47), che il rate soddisfa una relazione di bilancio dettagliato
e che quindi è possibile riscrivere la corrente come
(m)
hIB i = me∗ 1 − e−βEm Γ(m) (Em ),
(3.55)
dalla quale osserviamo che l’unica quantità da calcolare risulta essere il rate di Eq. (3.52). Nell’ultimo capitolo, dove valuteremo esplicitamente la corrente di tunneling per i modelli esposti nel
capitolo 2, dovremo quindi calcolare o con metodi analitici o eventualmente con metodi numerici
il rate Γ(m) (Em ) di Eq. (3.52). Qui di seguito considereremo il caso di Laughlin che può essere
risolto analiticamente, utilizzando un’appropriata approssimazione, anche a temperatura finita.
3.6
Corrente per gli stati di Laughlin
In questa sezione vogliamo valutare a titolo esemplificativo la corrente media per il caso di Laughlin
con ν = 1/3. Questo permetterà di confrontarci con alcune misure sperimentali, dallo studio
delle quali emergeranno diverse problematiche di cui dovremo tener conto anche nel modello che
analizzeremo nel seguito per ν = 2/3 e ν = 2/5. Come abbiamo visto nella sezione precedente,
(m)
l’elemento fondamentale per il calcolo del contributo della corrente di backscattering hIB i è dato
dal rate di tunneling in Eq. (3.52). La valutazione di suddetto rate dipende in maniera cruciale dal
modello utilizzato e dal numero di campi in esso coinvolti, conseguentemente è necessario conoscere
le funzioni di Green associate. Ricordiamo che gli stati di bordo nella sequenza di Laughlin sono
descritti in termini di un solo campo carico ϕc con cut-off sulle energie dato da ωc = vc /a, come
visto nella sezione 2.2. Ricordiamo anche che le regole di commutazione del campo carico sono
date da
[ϕj,c (x), ϕj 0 ,c (y)] = ηj iνc πsign(x − y)δj,j 0 ,
(3.56)
con j = R, L e ηR/L = +/ − 1. Come abbiamo visto nella sezione 2.2.2 possono essere ammissibili
anche eccitazioni multiple intere di un’eccitazione elementare, queste pertanto saranno scritte nella
forma
(m)
Ψj (x) ∝ eimϕj,c (x) ,
(3.57)
dove m ∈ Z. In questo caso il coefficiente del modo carico αm si riduce a αm = m, come può essere
verificato in Eq. (3.57). Il contributo alla corrente di una generica m-eccitazione sarà dato dalla
Eq. (3.55) dove il rate di tunneling in questo caso è (vedi Eq. (3.52))
Z +∞
0
2 (−,+) 0
|tm |2
(t )
(m)
dt0 eiEm t e2m G̃c
,
(3.58)
Γ (Em ) =
(2πa)2 −∞
6 Ossia, in questo caso, la probabilità di transizione per unità di tempo che un m-agglomerato effettui tunneling
nel QPC.
79
3.6 Corrente per gli stati di Laughlin
(−,+)
dove G̃c
(t0 ) indica la funzione di Green del singolo modo presente. Possiamo utilizzare le
espressioni ottenute in appendice D, dove abbiamo valutato esplicitamente questo tipo di funzioni
di Green (Eq. (D.29)). In questo caso si ha a temperatura finita
 2 
t0 1
 Γ 1 + βωc − i β 
G̃(−,+)
(t0 ) = ν ln  ,
c
1
0)
(1
+
iω
t
Γ2 1 + βω
c
c
(3.59)
dove Γ(x) è la funzione Gamma di Eulero [92] che inserita nella Eq. (3.58) fornisce il rate
Γ(m) (Em ) =
2
|tm |
(2πa)2
Z
+∞
−∞
 2 2νm2
1
t0 1
+
−
i
Γ
0 
βωc
β 
dt0 eiEm t  .

1
2
0
Γ 1 + βωc (1 + iωc t )
(3.60)
Per calcolare l’integrale in Eq. (3.60) possiamo richiamare i risultati ricavati in appendice E ottenuti
nel limite di βωc 1. In particolare si ottiene
Γ(m) (Em ) =
|tm |2 1 βEm
e 2
(2πa)2 ωc
2π
βωc
2νm2 −1
βEm
βEm 2
,m ν + i
B m2 ν − i
2π
2π
(3.61)
dove B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y) è la funzione Beta di Eulero [92]. Per la corrente si ha
(m)
hIB i
|tm |2 1
= 2me
sinh
(2πa)2 ωc
∗
βEm
2
2π
βωc
2νm2 −1
βEm
βEm 2
2
,m ν + i
. (3.62)
B m ν−i
2π
2π
Questa sarà la formula con la quale fitteremo gli esperimenti di trasporto attraverso un QPC per
la sequenza di Laughlin. È importante osservare che tale formula è necessaria solo nel regime
intermedio quando βEm ≈ 1. Per i limiti di alta e bassa temperatura ci sono approssimazioni che
discuteremo qui di seguito.
3.6.1
Limiti di alte e basse temperature
Possiamo studiare ora alcuni limiti particolari per l’espressione ottenuta in Eq. (3.62). Il primo
limite di interesse è quello di bassa temperatura, che corrisponde alla regione βEm 1. In questo
caso è utile considerare l’espansione asintotica della funzione gamma di Eulero
|Γ(x + iy)|
=
|y|→∞
√
π
πe− 2 y |y|
x− 12
(3.63)
utilizzando la quale si ottiene
(m)
hIB i
≈
βEm 1
me∗
|tm |2
2πa2
Em
ωc
2νm2
−1
(Em )
Θ(Em ),
Γ(2νm2 )
(3.64)
dove Θ(x) è la funzione di Heaviside. Tale espressione diventa esatta nel limite di temperatura
2νm2 −1
nulla T → 0. Nella precedente equazione si può notare l’andamento a legge di potenza Em
con esponente pari a 2νm2 − 1.
Il secondo limite è quello di alte temperature βEm 1. Considerando il primo termine della serie
di Taylor in βEm nella Eq. (3.62), si ottiene
(m)
hIB i
|tm |2 1
≈ me
βEm 1
(2πa)2 ωc
∗
2π
βωc
2νm2 −1
Γ2 m2 ν
βEm
Γ (2m2 ν)
(3.65)
80
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
2
con un andamento a legge di potenza T 2νm −2 e lineare nell’energia Em , che ricordiamo è direttamente legata al potenziale di bias V applicato al QPC essendo Em = me∗ V . Dalla corrente è
possibile quindi ricavare la conduttanza differenziale lineare
(m)
G
dhIB i
|tm |2 1
=
= (me∗ )2
dV
(2πa)2 ωc
2πkB
ωc
2νm2 −1
Γ2 m2 ν 2νm2 −2
T
,
Γ (2m2 ν)
(3.66)
che in questo regime infatti non dipende da V .
In generale si può osservare che le leggi di potenza descritte sono un importante segnale del comportamento fortemente correlato degli elettroni negli stati di bordo. Andamenti simili sono infatti
predetti e osservati anche in altri sistemi, ove gli elettroni sono confinati in una dimensione. Da
un punto di vista teorico infatti per un liquido di Luttinger ci aspettiamo che il comportamento
peculiare della densità degli stati come funzione dell’energia sia di tipo legge di potenza quando
gli elettroni sono interagenti [51]. Questo andamento caratteristico nella densità degli stati si riflette in leggi di potenza per il bias e per la temperatura. In particolare, nel caso considerato del
tunneling attraverso un QPC, si osserva che se la dipendenza della corrente di backscattering dal
bias è di tipo V η , allora la dipendenza della temperatura per bassi voltaggi è di tipo T η−1 , come
si può verificare confrontando l’Eq. (3.64) e l’Eq. (3.65).
Questo comportamento non è solo peculiare degli stati di bordo, ma vale in generale per molti sistemi elettronici unidimensionali, come ad esempio nei nanotubi di carbonio [93], nei fili quantistici
[94] o in particolari conduttori organici quali i sali di Bechgaard [51]. Questo motiva anche perchè
le teorie degli stati di bordo hanno avuto un grande successo, infatti mediante esse è possibile descrivere le proprietà di trasporto dei sistemi Hall utilizzando l’analogia con il liquido di Luttinger
chirale, e quindi molti dei comportamenti dinamici osservati possono essere spiegati in termini di
una fenomenologia molto studiata per sistemi elettronici unidimensionali interagenti. Abbiamo
visto nel capitolo 2 come questa analogia possa essere estesa anche al caso delle frazioni di Hall
composte, quali ad esempio quelle che considereremo successivamente con ν = 2/3 e ν = 2/5,
per le quali devono essere introdotti i modi neutri, che pur avendo dinamica simile al liquido di
Luttinger chirale, corrispondono a eccitazioni neutre al bordo.
3.7
La corrente di quasiparticella
Nella sezione precedente abbiamo esposto il calcolo della corrente per il caso di Laughlin ν =
1/(2n + 1) senza specificare un particolare tipo di eccitazione. Abbiamo quindi ottenuto delle
(m)
espressioni valide per il contributo dovuto ad un m-agglomerato hIB i. In questo caso però,
trattando il regime di “weak pinch-off”, per ν = 1/3 si può verificare che i termini dominanti
nel processo di tunneling sono dati dalla singola quasiparticella m = 1 di carica fondamentale
e∗ = νe. È facile infatti ripetere gli argomenti utilizzati nella sezione 2.7 del capitolo precedente
per determinare quale sia l’eccitazione dominante. Nel caso di Laughlin la dimensione di scala per
gli m-agglomerati è ∆m = mνgc , per cui l’eccitazione dominante è quella per m = 1. Le espressioni
per la corrente di backscattering e per la conduttanza, dovute alla singola quasiparticella sono
quindi ottenute inserendo questi parametri rispettivamente nelle equazioni Eq. (3.62) e Eq. (3.66).
Per semplicità riportiamo qui l’andamento a legge di potenza per la corrente in Eq. (3.64), che è
dato da
∗ 2ν−1
e V
(1)
Θ(V ),
(3.67)
hIB i ∝
ωc
il cui esponente per ν = 1/3 risulta −1/3. Si noti che se, come discusso nel capitolo 2, includessimo effetti di rinormalizzazione sugli esponenti, allora le leggi di scala potrebbero anche differire
notevolmente da quelle previste dalla teoria nuda. Vedremo che negli esperimenti questo tipo di
fenomenologia è effettivamente verificato e risulta piuttosto comune.
3.7 La corrente di quasiparticella
3.7.1
81
Confronto con gli esperimenti
In questa sezione vogliamo mostrare alcune misure sperimentali che verificarono gli andamenti
teorici predetti per un sistema FQHE con ν = 1/3 nella geometria di QPC. Questi esperimenti
hanno dimostrato la validità di alcune previsioni teoriche fin qui descritte per una quasiparticella
di carica frazionaria, analizzando la corrente di backscattering per un QPC nel regime di “weak
pinch-off”.
Il primo risultato sperimentale che vogliamo illustrare è dovuto al gruppo di F. Beltram dei laboratori NEST di Pisa [95]. In questo caso il setup sperimentale è composto da un gas bidimensionale
di elettroni sulla cui superficie vengono depositati due contatti di gate. Il campione si trova in uno
stato Hall frazionario con ν = 1/3, con l’intensità del campo magnetico pari a B ≈ 6 T. Il potenziale di gate è posto pari a Vg = −0.4 V, in modo che gli stati di bordo del sistema FQHE risultino
più vicini e formino la geometria di QPC, e quindi sia permesso il tunneling di quasiparticelle tra
di essi attraverso il QPC. In questa configurazione viene praticamente misurata la conduttanza
differenziale G(VT ) = dIT /dVT della corrente di backscattering IT al variare del bias (nel lavoro
indicato con VT ).
In Fig. 3.4a sono riportati i dati sperimentali della conduttanza al variare del potenziale di bias
VT per diversi valori di temperatura. Le temperature vanno da un massimo di 900 mK fino ad un
valore minimo di 30 mK. Si può osservare che per temperature che vanno da 400 mK a 700 mK si
ha un picco centrato intorno allo zero, la cui intensità diminuisce all’aumentare della temperatura. Da un punto di vista teorico la conduttanza differenziale può essere direttamente calcolata a
partire dall’espressione per la corrente di backscattering in Eq. (3.62). Dalla previsione teorica ci
aspettiamo che la conduttanza differenziale sviluppi un picco centrato intorno a valori di bias nullo
VT = 0. Inoltre al diminuire della temperatura l’intensità del picco cresce, mentre la larghezza tende a diminuire. Questo comportamento è legato alle leggi di potenza caratteristiche, che abbiamo
discusso nelle sezioni precedenti. Gli andamenti teorici appena descritti sono illustrati in Fig. 3.4b,
dove vengono mostrate le curve attese per la conduttanza differenziale in funzione del bias per
tre diverse temperature. Si può osservare come per temperature che vanno da circa 400 mK a
700 mK si ha un picco centrato intorno allo zero, la cui intensità diminuisce all’aumentare della
temperatura. Come si può vedere in Fig. 3.4c i dati sono in buon accordo con le curve attese per
una singola quasiparticella di carica frazionaria, in un range di valori di temperatura compresi tra
400 mK e 900 mK.
Per valori intorno a T = 900 mK il picco tende a sparire, in accordo con quanto mostrato nella
sezione 3.6.1. La teoria riesce infatti a spiegare anche questo “appiattimento” della curva per
alti valori di temperatura, legato proprio alla caratteristica legge di potenza della conduttanza in
funzione della temperatura.
Per temperature più basse di 400 mK i dati presentano un comportamento molto diverso. Infatti
la forma della conduttanza inizia a essere meno simmetrica, intorno a VT = 0 e abbassando ulteriormente la temperatura si presenta un minimo, contrariamente al picco atteso, per potenziale di
bias nullo. Questo comportamento inaspettato per il regime di più basse temperature può essere
spiegato utilizzando diversi modelli, in particolare il gruppo del NEST in un successivo lavoro fornı̀
un’interpretazione in termini di una teoria che sfrutta la simmetria particella-buca [96]. Vedremo
come l’andamento osservato può anche essere spiegato introducendo opportuni parametri di rinormalizzazione, come già discusso nella sezione 2.7.1.
Vogliamo ora presentare un diverso esperimento, effettuato dal gruppo di M. Heiblum del Weizmann Institute [97]. Anche in questo caso il sistema si trova in regime FQHE con ν = 1/3 in
presenza di un QPC che permette il tunneling di particelle tra i due bordi del campione. Le misure
sono effettuate a temperature molto basse, arrivando ad una temperatura minima decisamente
inferiore a quella dell’esperimento esposto in precedenza. Il regime qui considerato è quello di
“weak pinch-off”, l’ampiezza di tunneling è legata al parametro r ∼ 0.03 che indica la riflessività,
ossia la frazione di corrente riflessa dal QPC. Le misure sono effettuate a temperature estremamente basse, fino a T ∼ 9 mK. L’intensità del campo magnetico, misurata al centro del plateau
di conduttanza per ν = 1/3, risulta essere B ∼ 14.26 T, come mostrato in Fig. 3.5. In questa
82
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Figura 3.4: Misura della conduttanza differenziale in funzione del potenziale di bias VT . a) Nella
figura vengono mostrati i dati della conduttanza differenziale dIT /dVT per ν = 1/3 per diversi
valori di temperatura( 30 mK, 100 mK, 200 mK, 300 mK, 400 mK, 500 mK, 700 mK e 900 mK).
b) La figura mostra le curve teoriche attese per la conduttanza differenziale, calcolata derivando
la Eq. (3.62), per tre diversi valori di temperatura 500 mK, 700 mK e 900 mK. c) Nella figura
vengono riportati i dati sperimentali che corrispondono alle stesse temperature delle curve teoriche
del pannello b. Si può osservare come esse abbiano un andamento qualitativamente simile. Tratto
da [95], con la cortesia di F. Beltram.
Figura 3.5: Andamento della conduttanza tipico nel regime di FQHE. La conduttanza è riportata
in unità di g0 = e2 /h. Al centro del plateau per ν = 1/3 l’intensità del campo magnetico misurata
è pari a 14.26 T. Tratto da [97], con la cortesia di M. Heiblum.
configurazione l’esperimento mostra l’andamento della corrente di backscattering IB in funzione
della temperatura T , in scala logaritmica. In Fig 3.6 si osserva chiaramente una legge di potenza.
È importante sottolineare che l’andamento risulta essere crescente, contrariamente a quanto ci si
sarebbe aspettato dal modello teorico sopra esposto utilizzando le leggi di potenza per la tempera-
3.8 Proprietà del rumore di corrente nei sistemi elettronici
83
tura T 2ν−2 = T −4/3 . Questo andamento è simile a quello dell’esperimento descritto in precedenza.
Per tener conto di questo fatto possiamo richiamare le considerazioni fatte nella sezione 2.7.1,
riguardo ai possibili parametri di rinormalizzazione, in questo caso gc , introdotti per considerare
eventuali interazioni esterne. Introducendo il parametro gc di rinormalizzazione per il modo carico,
gli esponenti vengono modificati dalle interazioni con i gradi di libertà esterni, quindi a causa dei
possibili valori che può assumere gc possiamo avere un cambio di pendenza ottenendo il corretto
andamento decrescente.
In particolare gli esponenti diventano
(1)
hIB i ∝ V 2gc ν−1
T →0
(1)
hIB i ∝ T 2gc ν−2 .
V →0
(3.68)
Nel caso nudo abbiamo gc = 1 e conseguentemente un esponente pari a 2/3 − 2 = −4/3, se invece
consideriamo un valore di gc > 3 otteniamo un’inversione del segno e un andamento in grado di
riprodurre quello osservato sperimentalmente.
Da questo tipo di analisi abbiamo ottenuto informazioni sugli esponenti previsti dal modello e
abbiamo potuto effettuare confronti con le misure sperimentali, ma non abbiamo ottenuto alcuna
indicazione forte su una delle proprietà fondamentali delle quasiparticelle di un fluido Hall, ovvero
la frazionarietà della carica. Non riusciamo infatti a ottenere una chiara evidenza dell’esatto valore
della carica dell’eccitazione. L’unica informazione associata alla carica, in principio, potrebbe
essere ottenuta valutando la larghezza del picco di conduttanza in funzione del bias a diverse
temperature, come si può vedere nell’esperimento del gruppo di F. Beltram [95]. Purtroppo questa
misura è affetta potenzialmente da diversi errori sistematici, tanto da non poter essere conclusiva
sulla carica della quasiparticella. A questo scopo nelle sezioni successive introdurremo una nuova
quantità osservabile, ossia il rumore, dallo studio della quale otterremo interessanti informazioni
proprio sulla natura frazionaria della carica.
Figura 3.6: Andamento della corrente di backscattering in funzione della temperatura. La linea
retta rappresenta un fit tipo legge di potenza. Tratto da [97], con la cortesia di M. Heiblum.
3.8
Proprietà del rumore di corrente nei sistemi elettronici
In questa sezione vogliamo introdurre brevemente i concetti base sul rumore [85, 98, 99, 100],
grandezza fondamentale per caratterizzare le fluttuazioni dal valor medio di un’osservabile, nel
nostro caso la corrente (Fig. 3.7). La grandezza che tipicamente viene utilizzata per caratterizzare
84
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Figura 3.7: Rappresentazione della corrente come funzione del tempo. Si osservano le fluttuazioni
della corrente attorno al suo valore medio hIi, che possono essere caratterizzate tramite lo studio
del rumore.
il rumore è la densità spettrale di rumore S(ω). Essa è definita come la trasformata di Fourier
della funzione di autocorrelazione corrente-corrente. Per un sistema fuori equilibrio, dove quindi la
corrente media hIi risulta diversa da zero, è conveniente esprimere la densità spettrale in termini
delle fluttuazioni di corrente δI(t) = I(t) − hIi
S(ω) =
Z
+∞
−∞
dteiωt hδI(t)δI(0) + δI(0)δI(t)i
(3.69)
dove le parentesi angolate indicano la media termodinamica. Si noti inoltre che abbiamo adottato
una definizione di densità spettrale in forma simmetrizzata negli operatori di corrente, in quanto in
generale questi non commutano se presi a tempi diversi. Vale la pena far osservare che recentemente
è stata dimostrata la possibilità di definire un rumore non simmetrizzato [101, 102, 103, 104], e
definire consistenti protocolli di misura, ma in questa tesi non ci occuperemo di tali quantità.
La definizione di rumore in Eq. (3.69) corrisponde quindi alla quantità che comunemente viene
considerata essere la densità spettrale di rumore.
Benchè, per motivi sperimentali, le misure di rumore vengono tipicamente effettuate a frequenza
finita, da un punto di vista fisico le scale di frequenze effettivamente considerate sono talmente
piccole sulla scala di variazione caratteristica per la densità spettrale, che essa a tutti gli effetti
coincide con la densità spettrale di rumore a frequenza nulla. Nel seguito ci limiteremo perciò a
valutare solamente la componente ω = 0 per quest’osservabile, cioè S(ω = 0).
In generale per un sistema, per il quale i portatori dominanti hanno carica q, esistono diversi tipi di
regimi caratteristici per questa grandezza. Considerando un sistema nel regime di alta temperatura
per cui vale qV kB T , è possibile dimostrare, sfruttando il fatto che la densità spettrale è espressa
in termini di un correlatore, che vale la relazione
S(ω = 0) = 4kB T G
(3.70)
dove con G abbiamo indicato la conduttanza lineare. Tale espressione può essere ottenuta utilizzando il teorema fluttuazione dissipazione, e per sistemi elettronici viene identificata con il rumore
di “Johnson Nyquist” [98, 100], dal nome dei due fisici che per primi ne diedero una prova sperimentale e teorica. Possiamo osservare che in questo regime, detto termico, le misure di rumore
sono sostanzialmente equivalenti a misure di conduttanza e non permettono di estrarre alcun tipo
di informazione sulla natura dei portatori, se non quelle eventualmente contenute nella stessa conoscenza della conduttanza.
Al contrario l’informazione sulla carica dei portatori può essere estratta considerando la dinamica
del rumore per il regime cosidetto di “shot noise” per cui si ha qV kB T . In questo regime,
nel quale il sistema si trova fuori equilibrio, la sorgente del rumore non è più legata all’agitazione
termica, ma bensı̀ alla natura discreta dei portatori di carica. Come osservato per la prima volta
da W. Schottky [105] nello studio del rumore in tubi a vuoto, è possibile legare la densità di rumore a frequenza nulla a basse temperature direttamente alla corrente media hIi e alla carica dei
3.8 Proprietà del rumore di corrente nei sistemi elettronici
85
portatori, secondo la relazione
S(ω = 0) = 2ehIi,
(3.71)
per l’appunto detta di “shot-noise”. Si noti che nell’espressione precedente compare la carica
del portatore, perciò da misure di corrente e rumore si possono facilmente estrarre informazioni
su questa grandezza. È opportuno osservare che il risultato ottenuto da Schottky è valido se il
processo di trasporto avviene per eventi che coinvolgono singoli elettroni in maniera completamente
scorrelata, ossia eventi di tipo poissoniano. Si può infatti dimostrare [85, 106] che se contiamo gli
elettroni che passano in una certa sezione di un circuito nel tempo t, e chiamiamo questa variabile
di conteggio Nt , ne possiamo facilmente calcolare quale sia la varianza, nell’ipotesi che gli eventi di
trasporto siano scorrelati, e che quindi seguano una distribuzione poissoniana. In tal caso avremo
2
h(Nt − hNt i) i = hNt i,
(3.72)
dove le medie sono considerate su diverse realizzazioni. Osserviamo quindi che la varianza di Nt è
caratterizzata essenzialmente dal numero medio di eventi hNt i. Questo risultato espresso in termini
di corrente conduce proprio all’Eq. (3.71), che quindi rappresenta il limite poissoniano del trasporto
di corrente. Per sistemi interagenti in genere è possibile aspettarsi violazioni dalla semplice formula
riportata, che vale solo per sistemi in regime poissoniano, come tubi a vuoto o giunzioni pn nel
limite di basse correnti. Tali violazioni possono avere diversa origine. Se infatti come avviene nel
FQHE, la carica q dei portatori dominanti risulta essere differente da quella dell’elettrone q = e, è
opportuno sostituire questa diversa carica a quella dell’elettrone stesso. In altri casi invece, come
ad esempio nei punti quantici, l’interazione elettrone-elettrone introduce una correlazione tra gli
eventi di trasporto, modificandone conseguentemente la statistica del trasporto [106]. Per cui il
fattore di proporzionalità nell’Eq. (3.71) è modificato per tenere conto della differente statistica di
trasporto non più scorrelato. È conveniente a questo punto introdurre il fattore di Fano, definito
come
F=
S(ω = 0)
.
2qhIi
(3.73)
Variazioni dal comportamento poissoniano standard potrebbero indicare rispettivamente sia una
differente carica dei portatori, rispetto a quella ipotizzata per definire il limite poissoniano, sia
variazioni della statistica del processo. Fortunatamente è possibile dimostrare [107] che per un
QPC, all’ordine più basso nel tunneling, ossia nel caso che considereremo in questa trattazione,
la statistica del processo è di tipo poissoniano. Per essere precisi, nel caso di temperatura finita,
a causa di eventi rari di tipo “backward”, ossia contrari al flusso di corrente media, in realtà la
statistica del QPC è di tipo poissoniano bidirezionale.
In questo caso il fattore di Fano diventa una misura diretta della carica dei portatori. Nel caso di
statistica poissoniana bidirezionale, come quella del QPC, è possibile inoltre, come vedremo, generalizzare le precedenti relazioni in modo da poter interpolare tra i due possibili regimi, ottenendo
un’unica espressione valida per un qualunque rapporto qV /kB T . Discuteremo successivamente
meglio come dallo studio della relazione tra corrente e rumore si possano estrarre ulteriori informazioni sulla natura dei portatori. In questa breve sezione abbiamo illustrato i due regimi opposti
di rumore termico e di “shot noise”, ma in generale la densità spettrale di rumore consisterà di
entrambi i contributi.
Da questa discussione è facile comprendere perchè nei sistemi Hall le misure di rumore abbiano
assunto un ruolo di fondamentale importanza. Infatti, mediante la misura di rumore in un QPC
è stato possibile osservare direttamente la predizione della carica frazionaria. Questi esperimenti
hanno contribuito a dare una prova definitiva delle teorie di Laughlin per l’effetto Hall frazionario,
motivando sperimentalmente il premio Nobel per l’effetto Hall, vinto proprio da R. Laughlin e D.
C. Tsui e H. L. Stormer.
86
3.9
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Calcolo del rumore in un quantum point contact
In questa sezione vogliamo valutare la densità spettrale di rumore a frequenza nulla per la geometria
di QPC in regime di “weak pinch-off”. In particolare calcoleremo il contributo al rumore per un generico m-agglomerato e quali sono le relazioni generali che legano la corrente ed il rumore nei regimi
(m)
considerati. Prima di tutto indichiamo con SB (t, t1 ) il correlatore corrente-corrente del processo
di tunneling dell’m-agglomerato generato dall’Hamiltoniana di tunneling data dall’Eq. (3.22)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
SB (t, t1 ) = hIB (t)IB (t1 )i + hIB (t1 )IB (t)i − 2hIB (t)ihIB (t1 )i,
(3.74)
(m)
dove con IB abbiamo nuovamente indicato l’operatore di corrente di backscattering dell’magglomerato definito in Eq. (3.35). Le parentesi angolate sono intese come medie d’insieme, e
quindi nell’ipotesi ergodica sono identiche alle medie temporali. Per procedere nel calcolo possiamo nuovamente utilizzare il formalismo di Schwinger-Keldysh introdotto in 3.1. Il correlatore in
Eq. (3.74) può essere quindi riscritto in pittura di interazione sui contorni alla Schwinger-Keldysh
come
R
X
(m)
−i c dt2 HT (t2 )
(m)
(m)
(m)
(m)
k
}i − 2hIB i2 ,
(3.75)
)e
SB (t, t1 ) =
hT̂K {IB (tη )IB (t−η
1
η=±
dove si noti che abbiamo omesso per comodità notazionale l’indice I , utilizzato nella sezione 3.1,
in quanto d’ora in avanti procederemo sempre in questa rappresentazione. All’ordine più basso
nell’ampiezza di tunneling tm l’evolutore temporale scritto in forma esponenziale è posto uguale
all’identità perchè l’operatore corrente contiene già una potenza di tm . Allo stesso tempo il termine
(m)
hIB i2 non contribuisce perchè interverrebbe a partire da una potenza |tm |4 . Avremo quindi
X
(m)
SB (t, t1 ) = −(me∗ )2 |tm |2
εε1 eiEm (εt+ε1 t1 )
(3.76)
η,ε,ε1
×
(m) †
(m)
hT̂K [ΨR (tη )ΨL (tη )]ε
(m) †
· [ΨR
−η ε1
(t−η
1 )ΨL (t1 )] i,
(m)
dove abbiamo considerato il sistema sottoposto ad un bias costante ed indipendente dal tempo,
per cui Em = me∗ V . Nuovamente, per la conservazione del numero di particelle, questi correlatori
risultano diversi da zero solamente se ε = −ε1 . Essendo il sistema imperturbato invariante per
(m)
(m)
(m)
traslazioni temporali, avremo SB (t, t1 ) = SB (t − t1 ) = SB (t0 ) con t0 = t − t1 . Per cui, con
passaggi analoghi al caso della corrente, si veda sezione 3.5, otteniamo
(m)
SB (t0 ) =
2
(η,−η) 0
2
(me∗ )2 |tm |2 X
(t )+2βm
G̃(η,−η)
(t0 ))
n
cos(Em t0 )e(2αm G̃c
,
2(πa)2
η
(3.77)
dove la somma su ε è stata ridotta al termine cos(Em t0 ) in quanto il valor medio hT̂K . . .i è
simmetrico per scambio ε in −ε.
(m)
Per ottenere la densità spettrale di rumore SB (ω) consideriamo la trasformata di Fourier, della
quale prenderemo solo la componente a frequenza nulla. Per cui avremo
Z
2
(η,−η) 0
2
(me∗ )2 |tm |2 X +∞ 0
(m)
(t )+2βm
G̃(η,−η)
(t0 ))
n
dt cos(Em t0 )e(2αm G̃c
.
(3.78)
SB (ω = 0) =
2(πa)2
−∞
η
Utilizzando le proprietà di Eq. (3.44) si ottiene
Z
2
(−,+) 0
2
(me∗ )2 |tm |2 +∞ 0
(m)
(t )+2βm
G̃(−,+)
(t0 ))
n
SB (ω = 0) =
dt cos(Em t0 )e(2αm G̃c
.
2
2
π a
−∞
(3.79)
Inserendo la definizione di rate in Eq. (3.52) e la relazione di bilancio dettagliato di Eq. (3.54) si
ha
(m)
SB (ω = 0) = 2(me∗ )2 1 + e−βEm Γ(m) (Em ).
(3.80)
87
3.10 Misura della carica frazionaria nell’effetto Hall
La densità spettrale di rumore a frequenza nulla si riduce quindi, come nel caso della corrente, alla
sola conoscenza del rate di tunneling di Eq. (3.52).
È utile discutere quale sia la relazione tra corrente e rumore, e se essa sia una caratteristica
universale. Confrontando la Eq. (3.55) e la Eq. (3.80) si ottiene il rapporto tra il contributo alla
densità spettrale di rumore a frequenza nulla e la corrente di backscattering
(m)
SB (ω = 0)
(m)
|hIB i|
= 2me coth
∗
me∗ V
2kB T
(3.81)
.
Il termine coth (me∗ V /2kB T ) è diretta conseguenza del bilancio dettagliato in Eq. (3.54) e del
differente ruolo del rate di “backward” nelle due espressioni per la corrente ed il rumore. Questa
relazione può essere interpretata come una generalizzazione del teorema di fluttuazione-dissipazione
al caso di un sistema fuori equilibrio. Possiamo notare che l’equazione Eq. (3.81) è in grado di
riprodurre i due regimi asintotici descritti in precedenza per la densità spettrale di rumore. In
particolare se consideriamo il limite di basse energie, ovvero me∗ V kB T , otteniamo
2kB T
(m)
(m)
∗
|hIB i| = 4kB T G(m) ,
(3.82)
SB (ω = 0) = 2me
V →0
me∗ V
dove nell’ultimo passaggio abbiamo introdotto la definizione di conduttanza lineare del processo
(m)
G(m) = |hIB i|/V . In questo caso abbiamo riottenuto esattamente il risultato previsto per il
V →0
regime termico. Se invece consideriamo il limite opposto, in cui me∗ V kB T , si ha
(m)
(m)
SB (ω = 0) = 2me∗ |hIB i|,
(3.83)
T →0
che riproduce il regime di “shot noise”, come già ottenuto in Eq. (3.71) dove q = me∗ .
In questa trattazione abbiamo supposto di considerare il caso di un generico m-agglomerato, in
quanto questa proprietà universale può essere vista come valida singolarmente per ogni contributo
di tunneling. In generale dalla proprietà di poissonianità bidirezionale si può generalizzare il
precedente risultato a tutta la sequenza dei momenti di corrente per il sistema in quanto, note
le proprietà statistiche del processo di tunneling, sono note tutte le proprietà di fluttuazione del
sistema [107]. Questa osservazione è di estrema utilità nel caso in cui si vogliano considerare
momenti di corrente superiori al rumore, come ad esempio il terzo momento detto skewness. In
questa tesi ci limiteremo comunque al solo caso del rumore, vista la preminenza sperimentale del
medesimo.
Possiamo ora scrivere l’espressione analitica per un generico m-agglomerato nel caso di Laughlin,
partendo dalla soluzione analitica del rate, come esposto in Eq. (3.61). Si ottiene quindi
|tm |2 1
= 0) = (2me )
cosh
(2πa)2 ωc
3.10
∗ 2
βEm
2
2π
βωc
2νm2 −1
βEm
βEm 2
,m ν + i
B m ν−i
,
2π
2π
(3.84)
dove si noti la presenza del fattore cosh(x), diversamente dal caso della corrente che conteneva un
fattore del tipo sinh(x). Abbiamo visto che questa differenza non è casuale, ma bensı̀ riconducibile
alla statistica poissoniana bidirezionale del processo di tunneling attraverso il QPC.
(m)
SB (ω
2
Misura della carica frazionaria nell’effetto Hall
In questa sezione illustreremo gli esperimenti di rumore che hanno confermato la natura frazionaria
della carica di quasiparticella per un sistema FQHE con ν = 1/3. Il setup sperimentale è composto
dal gas bidimensionale di elettroni, sulla cui superficie vengono depositati due contatti metallici
che determinano il potenziale di gate Vg per creare il QPC. Il sistema è connesso ad un circuito
risonante LRC che ha il compito di traslare in frequenza il segnale, centrandolo intorno ad una
88
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
frequenza dell’ordine del MHz, ed a uno stadio di amplificazione del segnale. Le fluttuazioni della
corrente vengono poi rilevate da un analizzatore di spettro in una banda di ∼ 100 kHz centrata
attorno ad una frequenza di ∼ 4 MHz. Il sistema, a potenziale di gate nullo Vg = 0, sarà affetto
da due sorgenti di rumore, il primo contributo sarà quello termico e il secondo sarà dovuto alla
circuiteria stessa del setup.
Il primo passo è quello di effettuare una misura di calibrazione, grazie alla quale sia possibile sottrarre il contributo della circuiteria ad una certa temperatura. Per fare ciò si misura la variazione
del rumore in funzione della conduttanza (ossia variando il potenziale di gate Vg , e quindi di conseguenza l’opacità del QPC) a temperatura fissata. In assenza di bias ci si aspetta che il rumore sia
dato dall’equazione Eq. (3.70) più il termine della circuiteria, che per un preamplificatore ideale
rappresenta un contributo di fondo e costante, ed è quindi determinato dal valore del rumore a
conduttanza nulla G = 0 (QPC chiuso). Il rumore a bias nullo, lineare con la temperatura e
la conduttanza, permette di estrarre la temperatura del sistema dalla pendenza della curva dello
stesso, in funzione della conduttanza del QPC.
Questa misura di temperatura, oltre che confermare quale sia il regime nel quale si trova il sistema,
risulta di estrema utilità, in quanto, come vedremo, la temperatura del sistema elettronico è un
parametro fondamentale per comprendere la fisica del sistema stesso e spesso a cosı̀ basse temperature è difficile da determinare. Infatti lavorando alle temperature minime del criostato a diluizione
(∼ 10 mK), le tecniche standard di valutazione della temperatura non possono essere utilizzate, in
quanto introducono delle perturbazioni al sistema. Le misure di rumore hanno infatti il pregio di
estrarre informazioni, in questo caso la temperatura, senza introdurre alcune perturbazioni esterne,
ma solo registrandone l’output naturale in termini di fluttuazioni di corrente.
Per la misura di carica dobbiamo invece considerare il regime fuori equilibrio, ossia a bias V non
nullo e possibilmente nel regime di “shot noise” con qV kB T . A questo proposito è conveniente introdurre il cosidetto “excess noise” SB,ex , ovvero la componente di rumore sottratta della
componente termica,
SB,ex (V, T ) = SB (V, T ) − SB (V = 0, T )
(3.85)
dove nel rumore è stata esplicitata la dipendenza dal bias V e dalla temperatura T . Come vedremo
meglio in seguito, dal fitting di questa quantità si può trarre un’informazione univoca sulle cariche
dei portatori coinvolti nel processo di tunneling.
Si noti infine che spesso negli esperimenti viene misurato il rumore di corrente trasmessa SI che
però si può dimostrare coincidere, all’ordine perturbativo più basso, con il rumore di corrente di
backscattering SB [108, 109].
Due sono i gruppi sperimentali che hanno condotto per primi in contemporanea questi pioneristici
esperimenti, ossia il gruppo del Prof. M. Heiblum del Weizmann Institute ed il gruppo del Prof.
D. C. Glattli a Saclay, alla fine degli anni 0 90. Le misure sono state effettuate sullo stato Hall con
ν = 1/3, in quanto esso presenta un plateau molto stabile ed è la prima frazione della sequenza
di Laughlin ad essere stata diffusamente discussa in letteratura [5, 11, 12]. Nel caso del gruppo di
M. Heiblum [11], le misure sono state effettuate con un campo magnetico di intensità B = 14 T
misurato attorno al plateau di conduttanza per ν = 1/3.
I risultati dell’esperimento in Fig. 3.8a sono confrontati con la teoria prevista per una carica frazionaria q = e∗ = e/3. Si vede come i dati sovrappongano molto bene le previsioni teoriche, per
due diversi valori di trasmissione t = 1 − r.7 Sull’asse delle ordinate viene presentato il rumore di
corrente, mentre sull’asse delle ascisse la corrente di backscattering. In Fig. 3.8a viene riportata
anche la curva attesa per un valore di carica pari a q = e (linea tratteggiata).
Viene quindi riportato (Fig. 3.8b) lo shot noise in funzione della corrente di backscattering IB , a
trasmissione costante, per tre diverse temperature (la temperatura più bassa risulta T ∼ 57 mK).
Si osservi come, aumentando la temperatura, aumenti il valore del rumore a corrente nulla IB ∼ 0,
come ovvio essendo quel valore determinato sia dalla componente termica sia da quella dovuta
alla circuiteria stessa, quest’ultima sostanzialmente indipendente dalla temperatura. Inoltre all’aumentare della temperatura, il regime lineare di “shot noise” delle curve si riduce, in quanto la
7 Si
osservi che la riflessività r è proporzionale all’ampiezza di tunneling tm nel processo di backscattering.
3.10 Misura della carica frazionaria nell’effetto Hall
89
regione termica nelle curve aumenta. Infatti la regione in cui cessa di validità l’approssimazione
di shot per il regime termico, ossia e∗ V ' kB T , si sposta al variare della temperatura. Si noti che
l’andamento di queste curve è legato e assomiglia alla curvatura data dal termine coth(x) presente
in Eq. (3.81). Infine possiamo osservare una deviazione dagli andamenti teorici per alti valori della
corrente di backscattering, il che potrebbe indicare andamenti di tipo fortemente non lineare, ed
il modello teorico utilizzato nell’esperimento per il fitting non tiene sufficientemente in conto di
queste non linearità [11].
Contemporaneamente L. Saminadayar e D. C. Glattli [12] effettuarono uno studio analogo nel
Figura 3.8: Misura di shot noise per un sistema FQHE a ν = 1/3 in presenza di un QPC. a)
La figura mostra l’andamento del rumore SI in funzione della corrente di backscattering IB per
due diversi valori di trasmissione t, a temperatura costante T = 57 mK. Vengono riportate le
curve attese per una carica e/3 (linea continua) e carica e (linea tratteggiata). b) La figura mostra
l’andamento del rumore SI in funzione della corrente di backscattering IB , vengono mostrate tre
curve per tre diversi valori di temperatura. Tratto da [11], con la cortesia di M. Heiblum.
quale confermarono anch’essi la natura frazionaria dei portatori con carica q = e∗ = e/3 per
ν = 1/3. Lo schema di misura era analogo a quello descritto in precedenza, in questo caso le
temperature raggiunte furono anche più basse, fino a T ∼ 25 mK.
Riportiamo la figura che mostra anche in questo caso l’andamento del rumore in funzione della
corrente di backscattering Fig. 3.9a; nella Fig. 3.9b viene mostrato il “cross-over” del rumore tra
il regime di “Johnson Nyquist” Eq. (3.70) e il regime di “shot noise” Eq. (3.71), che sottolinea il
corretto valore di carica frazionaria.
Gli esperimenti illustrati in precedenza mostrano quindi un eccellente accordo con la previsione
teorica di una carica frazionaria dei portatori pari a e∗ = νe/|p| = e/3. In questo caso particolare,
con ν = 1/3, la frazione di carica coincide con il valore del filling factor, che determina il valore
di quantizzazione della conduttanza. Si potrebbe quindi pensare che le misure di “shot noise” non
siano indipendenti dalle misure di conduttanza e che il valore misurato sia in qualche modo legato
al filling factor da e∗ = νe, diversamente da quanto previsto. Per dimostrare che effettivamente la
quantità misurata corrisponde alla carica frazionaria prevista per il sistema FQHE nella sequenza
di Laughlin, e che queste misure sono indipendenti da quelle di conduttanza, è necessario considerare il sistema in uno stato Hall diverso da ν = 1/3.
In un esperimento successivo nel 1999 il gruppo di M. Heiblum [110] effettuò, a tal fine, delle misure
di “shot noise” in un campione con ν = 2/5, che come detto corrisponde ad una frazione FQHE
composta. Il setup sperimentale era analogo a quelli descritti in precedenza, ossia una geometria
di quantum point contact. In questo caso l’intensità del campo magnetico risultò pari a 12 T,
misurata attorno al plateau di conduttanza ν = 2/5, mentre la banda di frequenza considerata
90
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Figura 3.9: Misure di rumore in regime di “shot noise”. a) La figura mostra l’andamento del
rumore in funzione della corrente di backscattering per una temperatura di T = 25 mK. Vengono
mostrati gli andamenti attesi per una carica e∗ = e/3 (linea con tratto lungo) e per e∗ = e (linea
con tratto corto). Si osserva che i dati sono in accordo con la previsione per una carica e∗ = e/3,
come atteso per una singola quasiparticella di Laughlin. b) La figura mostra il “cross-over” tra
il regime di shot noise e quello di rumore Johnson Nyquist ad una temperatura di T = 134 mK.
Anche in questo caso i dati sono in accordo con l’andamento per e∗ = e/3. Tratto da [12], con la
cortesia di D. C. Glattli.
era di larghezza 30 kHz attorno ad un valore centrale di 1.68 MHz. Le temperature minime allora
considerate risultarono di T = 85 mK. In questo caso venne nuovamente espresso il rumore in
funzione della corrente di backscattering per diversi valori di trasmissione. Le misure, come si
può osservare in Fig. 3.10, risultano in accordo con l’andamento previsto per una carica e∗ = e/5,
essendo il valore della carica fondamentale della quasiparticella per ν = 2/5 esattamente e/5. Si
osservi inoltre che le misure non sarebbero compatibili con la curva calcolata per e∗ = e/3. Vedremo che per questo esperimento questa misura di carica frazionaria è stata rivista, durante delle
misure successive, compiute dallo stesso gruppo, a più basse temperature, intorno a 10 mK. Queste nuove misure, pur non mettendo in discussione i modelli largamente accettati basati su cariche
frazionarie, indicano che considerando fluidi Hall composti bisogna tener conto di una più ricca fenomenologia. Esempi di questo fatto sono proprio i valori di filling factor ν = 2/3 e ν = 2/5, valori
che considereremo nel seguito. Nel capitolo successivo studieremo più in dettaglio i diversi aspetti
di questa ricca fenomenologia, da un punto di vista teorico e vedremo inoltre come diverse osservazioni sperimentali sembrano essere spiegate mediante un adeguato utilizzo delle teorie ad oggi
note, ma tenendo conto del ruolo dei modi neutri che fino ad oggi è stato fortemente sottostimato.
3.10 Misura della carica frazionaria nell’effetto Hall
91
Figura 3.10: Misura di rumore per ν = 2/5. Nella figura l’asse delle ascisse corrisponde alla
corrente totale, mentre sulle ordinate vengono indicati sia la conduttanza del sistema (in unità di
G0 = e2 /h), sia il rumore SI . I rombi corrispondono alle misure di conduttanza, e sono compatibili
con ν = 2/5. I punti invece corrispondono ai dati misurati per le fluttuazioni di corrente SI . Nella
figura vengono anche riportate le curve (linee continue) previste per e/3 e e/5. Si osserva che i
dati sono in accordo con l’andamento atteso per e∗ = e/5. Tratto da [110], con la cortesia di M.
Heiblum.
92
Proprietà di trasporto in un quantum point contact
Capitolo 4
Trasporto nei sistemi Hall
composti
Nel capitolo precedente abbiamo mostrato come la teoria efficace che descrive gli stati di edge del
FQHE per la sequenza di Laughlin sia in buon accordo con le evidenze sperimentali. In particolare
abbiamo potuto confrontare le previsioni teoriche e le misure sperimentali per quanto riguarda la
corrente di backscattering e la densità spettrale di rumore del sistema nella geometria di QPC in
regime di “weak pinch-off”. In questo capitolo discuteremo il caso delle frazioni di Hall composte,
analizzando in particolare i casi con filling factor ν = 2/3 e ν = 2/5. Come abbiamo visto nel
capitolo 2, in questo caso i modelli efficaci sono descritti in termini di due campi, uno carico ed uno
neutro. La presenza di questo nuovo campo neutro introduce un’energia caratteristica ωn = vn /a,
che è direttamente legata alla velocità del modo neutro vn , aprendo la possibilità ad una più
ricca fenomenologia, rispetto al caso di Laughlin, a seconda del regime di energie considerato.
Studieremo le importanti conseguenze dettate dalla presenza dei modi neutri, concentrandoci sulle
proprietà di trasporto nel caso di tunneling attraverso un QPC nel regime di “weak pinch-off”. In
particolare considereremo le eccitazioni dominanti del fluido Hall nel regime di tunneling che, come
discusso nella sezione 2.7, risultano essere la singola quasiparticella ed il |p|-agglomerato, ponendo
particolare attenzione su quest’ultimo oggetto che è il più rilevante a bassissime energie [62, 63].
In questo capitolo ci concentreremo soprattutto sulle evidenze sperimentali, ad oggi disponibili,
per i valori di filling factor ν = 2/3 e ν = 2/5, con le quali potremo confrontare i modelli teorici
fin qui sviluppati e quindi verificarne la bontà. Mostreremo come le misure sperimentali sembrano
indicare la presenza del |p|-agglomerato nel regime di più basse energie e come questa eccitazione
risulta fondamentale per spiegare tali esperimenti.
4.1
Corrente di singola quasiparticella
Nella sezione 2.6 abbiamo presentato una teoria minimale per gli stati di bordo in termini di due
campi, uno carico ϕc ed uno neutro ϕn . Abbiamo inoltre visto che il parametro p, presente nella
definizione di filling factor ν = p/(2p + 1), può assumere il valore p = 2 o p = −2 nei due casi
che studieremo, rispettivamente per ν = 2/5 o ν = 2/3. Il parametro ξ = ±1 discrimina tra le
possibili chiralità relative dei due campi bosonici e, insieme alla scelta del parametro p, identifica
un particolare modello per gli stati di bordo tra le diverse possibilità esposte nella sezione 2.6.
Inoltre una generica eccitazione verrà identificata dai parametri αm e βm (q) in Eq. (2.160).
(1)
Prima di tutto studiamo la corrente di backscattering di quasiparticella hIB i, ponendo particolare attenzione agli effetti dovuti alla presenza del modo neutro. In questo caso per la singola
93
94
Trasporto nei sistemi Hall composti
quasiparticella abbiamo
s
1
α1 =
|p|
β1 =
ξ
1− ,
p
(4.1)
dove abbiamo posto m = s|p| + d = 1 con d = 1, s = 0 e q = 0 in Eq. (2.160).
Per il momento non entreremo nel dettaglio di un preciso modello ma, in modo del tutto generale,
ricaveremo i risultati per il caso di una singola quasiparticella. Come abbiamo visto nel capitolo
3, l’ingrediente fondamentale per valutare la corrente di backscattering in Eq. (3.55) è il rate
di tunneling Γ(m) (Em ) di Eq. (3.52). Dovremo quindi valutare suddetto rate, che in generale
dipenderà dalle funzioni di Green a temperatura finita dei campi bosonici ϕc e ϕn che descrivono il
modo carico e quello neutro. In appendice D è esposto il calcolo esplicito di tali funzioni di Green,
dalle quali si ottiene per il rate
Γ(1) (E1 )
=
|t1 |2
(2πa)2
 2 2gc νc α21
1
t
+∞
 Γ 1 + βωc − i β 
dt eiE1 t  
1
−∞
(1 + iωc t)
Γ2 1 + βω
c
Z
(4.2)
 2 2gn νn β12
1
t 1
+
−
i
βωn
β  Γ

× 
1
2
Γ 1 + βωn (1 + iωn t)
avendo posto m = 1, che corrisponde al caso della singola quasiparticella, e introdotto i parametri
νc = p/(2p + 1), νn = 1 e gli eventuali parametri di rinormalizzazione gc e gn . Diversamente dal
caso di Laughlin, nel quale è presente solamente un campo carico, ora non si ha un’espressione
analitica per il rate a temperatura finita in Eq. (4.2) (si paragoni con Eq. (3.61)). Per valutare
quindi il rate di tunneling in generale sarà necessario utilizzare tecniche di tipo numerico, e solo nel
caso di temperatura nulla possiamo ricavare una formula analitica. Sfruttando i risultati ottenuti
in appendice F possiamo infatti ottenere a T = 0
2gc νc α21 2gn νn β12
E
|t1 |2 E1
E1
(E1 )−1
− ωc1
(1)
Γ (E1 ) =
(4.3)
e
2πa2 ωc
ωn
Γ(2gc νc α12 + 2gn νn β12 )
1
1
×1 F1 2gn νn β12 , 2gc νc α12 + 2gn νn β12 ; E1
−
Θ(E1 ),
ωc
ωn
dove ricordiamo che E1 = e∗ V , mentre 1 F1 [a, b; z] rappresenta la funzione ipergeometrica di Kummer (Eq. (F.16)) [92]. Si ricorda inoltre che la corrente di backscattering di singola quasiparticella
nel limite di temperatura nulla è legata al rate come
(1)
hIB i = e∗ Γ(1) (E1 ),
(4.4)
dove ovviamente e∗ = νe/|p|.
È utile studiare i limiti della corrente al variare del rapporto tra l’energia di tunneling E1 e i
“cut-off” naturali per il modo carico ωc e il modo neutro ωn . Prima di tutto osserviamo, come gia
visto nella sezione 2.7, che ωc ωn , assumeremo inoltre che ωc rappresenti la più grande scala di
energia in gioco. Considereremo quindi i limiti che rivestono interesse da un punto di vista fisico,
tali per cui ωn , E1 ωc .
Per il caso E1 ωn ωc è utile ricordare l’espansione di Taylor della funzione di Kummer
α
(4.5)
lim 1 F1 (α, γ; −z) = 1 − z + O(z 2 ).
z→0
γ
All’ordine più basso in E1 /ωn otteniamo
(1)
hIB i
=
|tm |2
e∗
2πa2
E1
ωc
2gc νc α21 E1
ωn
2gn νn β12
(E1 )−1
Θ(E1 ).
Γ(2gc νc α12 + 2gn νn β12 )
(4.6)
95
4.1 Corrente di singola quasiparticella
2
2
Esiste quindi una legge di potenza per l’energia del tipo (E1 )2gc νc α1 +2gn νn β1 −1 .
Per il caso ωn E1 ωc , ovvero considerando energie molto maggiori del “cut-off” sui modi
neutri, ma comunque sempre molto inferiori a ωc ci aspettiamo un andamento analogo al caso in
cui sia presente solo un modo, cioè quello carico. Per tale regime i modi neutri risultano saturati e
non danno più contributo alla dinamica. Per questo consideriamo un secondo limite per la funzione
di Kummer, cioè quello in cui |z| → ∞ e Re(z) < 0
lim
|z|→∞;Re{z}<0
1 F1 (α, γ; z)
=
Γ(γ)
(−z)−α + O(z 2 ).
Γ(γ − α)
(4.7)
Otteniamo quindi
(1)
hIB i = e∗
|tm |2
2πa2
E1
ωc
2gc νc α21
(E1 )−1
Θ(E1 ),
Γ(2gc νc α12 )
(4.8)
che è in perfetto accordo con il risultato trovato in Eq. (3.64), quando abbiamo calcolato la corrente in presenza di un singolo modo. Ciò dimostra che in questo regime, una volta saturati i
modi neutri, la dinamica è sostanzialmente determinata dal solo modo carico. Nelle precedenti
equazioni abbiamo ottenuto gli andamenti asintotici nel bias per la corrente nel limite di temperatura nulla, esplicitando gli esponenti delle leggi di potenza. Tali esponenti sono determinati dal
modello utilizzato, inoltre il loro valore dipende in maniera cruciale dai fattori di rinormalizzazione gc e gn , che come discusso nella sezione 2.7.1 sono dovuti a eventuali interazioni esterne. Al
variare dei parametri gc e gn si possono ottenere comportamenti molto differenti per la corrente di
backscattering. A titolo di esempio vogliamo illustrare il caso di filling factor pari a ν = 2/5 con
il modello esposto in sezione 2.5.1 dove ξ = −1 e p = 2. In questo
p caso i parametri caratteristici
delle eccitazioni in Eq. (2.160) risultano pari a α1 = 1/2 e β1 = (3/2). La legge di potenza per
la corrente nel primo regime dato in Eq. (4.6) sarà quindi
(1)
hIB i ∝ V gc /5+3gn −1
e∗ V ωn ωc ,
T =0
(4.9)
mentre nel regime opposto in Eq. (4.8) si ha
(1)
ωn e∗ V ωc ,
hIB i ∝ V gc /5−1
T =0
(4.10)
che mostrano chiaramente la dipendenza da gc e gn . Ricordiamo che nella sezione 2.7.1 abbiamo
assunto che gc , gn ≥ 1 con il caso “nudo” dato da gc = gn = 1. Nel regime di più basse energie
quindi, al variare di gc e gn , si ha un solo andamento possibile, la corrente risulta sempre crescente
all’aumentare del voltaggio. A più alte energie, si veda Eq. (4.10), si possono, invece, ottenere
due diversi andamenti al variare di gc . Questo comportamento peculiare è mostrato in Fig. 4.1a e
Fig. 4.1b, con le due curve continue in nero che rappresentano il limite di T = 0 rispettivamente
nel caso “nudo” (gc = gn = 1) e nel caso rinormalizzato con gc = 6 e gn = 2.
Nel caso di temperatura finita è necessario ricorrere a tecniche di tipo numerico per la valutazione
del rate di tunneling in Eq. (4.2). In questo caso, comunque, ci aspettiamo un andamento lineare
nel voltaggio nel regime e∗ V kB T , in cui si avrà
(1)
(1)
hIB i = V GB (T ),
(1)
(4.11)
avendo indicato con GB la conduttanza lineare. In questo regime la corrente avrà una dipendenza
dalla temperatura di tipo legge di potenza, come già detto nella sezione 3.6.1. In particolare
ricordiamo che, se indichiamo con η l’esponente ottenuto per la legge di potenza nel voltaggio
(1)
hIB i ∝ V η , si avranno degli andamenti proporzionali a T η−1 per la conduttanza.
Nel regime opposto, ovvero per e∗ V kB T , la corrente non avrà più un comportamento lineare
nel voltaggio, ma anche a temperatura finita si avranno andamenti asintotici a legge di potenza
nel voltaggio simili a quelli ottenuti per T = 0. Questa fenomenologia è mostrata in Fig. 4.1a e
Fig. 4.1b, dove sono illustrate le curve per diversi valori di temperatura. In particolare per il caso
96
Trasporto nei sistemi Hall composti
(a)
(1)
hIB i/It
e∗ V /ω0
(b)
(1)
hIB i/It
e∗ V /ω0
Figura 4.1: Andamento della corrente di backscattering di quasiparticella in funzione del voltaggio,
in scala bilogaritmica, per diversi valori di temperatura. Si osservi come in questa rappresentazione
le diverse leggi di potenza appaiano come andamenti lineari con differenti pendenze. Sulle ascisse
i voltaggi sono misurati in unità di ω0 = 10−3 ωc che definisce la scala del sistema, sulle ordinate
(1)
la corrente hIB i è espressa in unità di It = (e∗ |t1 |2 )/(4π 2 a2 ωc ). I parametri scelti per le energie
dei due modi sono pari a ωc = 103 ω0 e ωn = 10ω0 . La linea continua (nera) indica la curva a
temperatura nulla (T = 0), quella tratteggiata (verde) indica T = 1 mK. Le curve tratto punto
(azzurro) e tratto corto (blu) rappresentano rispettivamente T = 10 mK e T = 60 mK. La figura
mostra gli andamenti della corrente di backscattering di quasiparticella per filling factor ν = 2/5,
modello di Fradkin Lopez, nel caso “nudo”, pannello (a), con gc = 1 e gn = 1 e in presenza di forte
rinormalizzazione, pannello (b), con gc = 6 e gn = 2.
“nudo”, pannello (a), si osserva, a temperatura nulla (curva nera continua), una pendenza positiva
della curva per piccoli voltaggi e∗ V ωn , mentre si ha un cambio di pendenza nella regione
opposta, ossia per e∗ V ωn . Aumentando la temperatura (linee colorate) le curve presentano un
primo tratto lineare nel voltaggio, effetto dovuto proprio alla temperatura finita, e tendono poi a
seguire l’andamento della curva nera. Nel pannello (b), per il caso rinormalizzato, si può notare il
diverso andamento delle curve rispetto al caso precedente. In particolare le pendenze delle curve, e
quindi le corrispondenti leggi di potenza associate, sono cambiate. Nella regione prima di ωn si ha
sempre un andamento crescente, mentre nella seconda regione la pendenza passa da essere negativa
(caso “nudo”) a positiva. Infine si può notare come all’aumentare della temperatura il punto di
transizione tra i due diversi regimi si sposti verso destra, essendo dato approssimativamente da
kB T ' e∗ V .
Nella discussione precedente abbiamo illustrato il caso ν = 2/5 con il modello di Fradkin Lopez,
ma la fenomenologia sarà qualitativamente simile anche per gli altri modelli. Infatti è possibile
utilizzare un mapping, si veda Eq. (2.181), che consente, a partire dal modello di Fradkin Lopez, di
descrivere il modello di Wen esposto in sezione 2.4.1. I risultati mostrati in Fig. 4.1 corrispondono
anche al modello di Wen scegliendo gn0 = 3gn . Nel caso di filling factor ν = 2/3 otteniamo dei
diversi esponenti per le leggi di potenza nei regimi asintotici, ma il comportamento qualitativo
rimane lo stesso.
4.2
Corrente di quasiparticella e |p|-agglomerato
Nella sezione precedente abbiamo considerato il contributo alla corrente di backscattering di una
singola quasiparticella in presenza di un modo neutro, mostrando come quest’ultimo apra la pos-
97
4.2 Corrente di quasiparticella e |p|-agglomerato
sibilità ad una ricca fenomenologia. In generale però, come abbiamo visto, qualsiasi eccitazione di
m-agglomerato ammessa dall’Hamiltoniana di tunneling di Eq. (3.22) darà un contributo alla cor(m)
rente di backscattering hIB i. Nella nostra analisi, all’ordine più basso nell’ampiezza di tunneling,
i processi di tunneling di diversi m-agglomerati sono indipendenti, e quindi possono essere valutati
separatamente. Seguendo i ragionamenti della sezione 2.7 i contributi più rilevanti sono quelli di
singola quasiparticella e di |p|-agglomerato. La corrente totale perciò sarà data ragionevolmente
dalla somma di questi due contributi
(1)
(|p|)
hIB i = hIB i + hIB
i.
(4.12)
È importante sottolineare che questa relazione non sarà valida in generale. Abbiamo infatti scelto
di considerare solamente i due contributi più rilevanti nel regime di tunneling, la singola quasiparticella ed il |p|-agglomerato. Inoltre, volendo tener conto degli ordini successivi nell’ampiezza di
tunneling, potrebbero comparire dei termini aggiuntivi dovuti a processi di interferenza, ma, come
detto, in questa tesi ci limiteremo al prim’ordine perturbativo nel tunneling.
Come abbiamo visto nella sezione 2.7 il |p|-agglomerato risulta l’oggetto più rilevante nel regime
di basse energie, mentre per energie più alte domina tipicamente la singola quasiparticella. Si apre
quindi la possibilità di un fenomeno di “cross-over” in una zona intermedia, dove il contributo di
|p|-agglomerato inizia ad essere meno rilevante rispetto a quello di singola quasiparticella.
Ricordiamo che i contributi alla corrente di backscattering sono legati all’ampiezza di tunneling
tm , che in questa trattazione abbiamo assunto indipendente dall’energia Em . In particolare assumeremo t1 = t per la quasiparticella e t|p| = k|p| t per il |p|-agglomerato. Il parametro k|p| nel
nostro modello è libero, e gestisce il peso relativo tra i due diversi contributi. Esso dovrà essere
fissato in accordo con le misure sperimentali, nelle quali sembra essere osservata la presenza del
|p|-agglomerato solamente nel regime di più bassi voltaggi e temperature [97].
Per valutare la corrente totale in Eq. (4.12) ricordiamo che una generica eccitazione può essere
scritta in termini di m = s|p| + d, perciò il |p|-agglomerato è ottenuto con la scelta dei parametri
d = 0 e s = 1. Ponendo q = 0 in Eq. (2.160), si ottiene
α|p| = 1
β|p| = 0,
(4.13)
che mostra come la dinamica del |p|-agglomerato sia determinata solamente dal modo carico e non
risenta di quello neutro. Si osservi che il contributo alla corrente del |p|-agglomerato è completamente analogo a quello discusso nella sezione 3.6, dove abbiamo esposto il caso della corrente di
Laughlin in presenza del solo modo carico, effettuando l’ovvia sostituzione αm = α|p| .
Possiamo definire V ∗ come il valore del bias per cui i due contributi per la corrente di backscat(1)
(|p|)
tering a temperatura nulla risultano uguali hIB (T = 0)i = hIB (T = 0)i. Questo valore, che
dipende in maniera cruciale da k|p| e da altri parametri come gc e gn , non deve essere considerato
come una nuova scala di energia caratteristica, ma determina qualitativamente il valore del bias
per cui ci si aspetta che avvenga il “cross-over” tra il |p|-agglomerato e la singola quasiparticella.
Anche in questo caso le diverse scale di energia sono determinate dai “cut-off” naturali ωc e ωn ,
ma il “cross-over” introduce potenzialmente tutta una nuova fenomenologia. Nei regimi asintotici
la corrente totale avrà sempre un comportamento a legge di potenza, il cui esponente dipenderà
dal range di energia considerato.
In particolare la corrente totale avrà tre distinti andamenti tipo legge di potenza, come si può
osservare in Fig. 4.2, dove le curve nere continue descrivono nuovamente il caso a temperatura
nulla per ν = 2/5 nel caso “nudo” (a) e in presenza di rinormalizzazione (b). Nel caso “nudo”,
pannello (a), per bassi V la curva nera è decrescente fino ad un valore che corrisponde circa a
e∗ V ∗ , dove il contributo di singola quasiparticella inizia a dominare sul |p|-agglomerato, e la curva
cambia pendenza diventando crescente con V . Superato ωn si ha un ulteriore cambio di pendenza,
coerentemente con le leggi di potenza previste per la singola quasiparticella.
Nel caso di temperatura finita, invece, l’andamento della curva è lineare per bassi voltaggi. All’aumentare del voltaggio il contributo termico diventa trascurabile e le curve seguono nuovamente
98
Trasporto nei sistemi Hall composti
(a)
(b)
hIB i/It
hIB i/It
e∗ V /ω0
e∗ V /ω0
Figura 4.2: Corrente di backscattering di singola quasiparticella e |p|-agglomerato in funzione di e∗ V ∗ /ω0 per ν = 2/5, modello di Fradkin Lopez, in scala bilogaritmica in unità di
It = (e∗ |t|2 )/4π 2 a2 ωc ). I parametri scelti sono per ωc e ωn gli stessi della Fig. 4.1, mentre
k|p| = 0.603. Linea nera continua T = 0, linea verde tratteggiata T = 0.2 mK, linea azzurra
tratto punto T = 0.5 mK e linea blu tratto corto T = 1 mK. La figura mostra la corrente di
backscattering totale nel caso “nudo”, pannello (a), con gc = 1 e gn = 1 e nel caso rinormalizzato,
pannello (b), con gc = 6 e gn = 2.
l’andamento di temperatura nulla. Per le più basse temperature si osserva una struttura a due
picchi. Aumentando la temperatura il regime in cui si ha un andamento lineare aumenta, fino a
mascherare completamente la legge di potenza del |p|-agglomerato. Invece per il caso rinormalizzato, pannello (b), nel regime di più basse energie la corrente è crescente all’aumentare del voltaggio,
e in prossimità di e∗ V ∗ non si osserva più un minimo, ma solamente un cambio di legge di potenza
(pendenza). Successivamente si avrà un ulteriore cambio di legge di potenza nella regione in cui i
modi neutri sono saturati, come già mostrato in Fig. 4.1. Nel caso di temperatura finita, analogamente al caso “nudo”, pannello (a), il contributo termico è segnalato da un primo tratto lineare in
V . All’aumentare della temperatura i cambi di pendenza che segnalano il passaggio tra i diversi
regimi risultano meno evidenti, rendendo più difficile identificare i diversi contributi.
Consideriamo innanzitutto il caso di temperatura nulla. Per comodità di analisi supponiamo infatti
di avere e∗ V ∗ ωc , condizione che sembra ben descrivere gli esperimenti. Nel range di più basse
energie, in cui e∗ V e∗ V ∗ ωn , ωc , la corrente sarà dominata dal |p|-agglomerato e seguirà un
andamento del tipo
(|p|)
hIB i ≈ hIB i ∝ V 2gc νc −1 ,
(4.14)
avendo posto α|p| = 1. Mentre per e∗ V ∗ e∗ V, ωn , ωc la singola quasiparticella sarà dominante,
con
2
2
(1)
hIB i ≈ hIB i ∝ V 2gc νc α1 +2gn νn β1 −1 ,
(4.15)
se e∗ V ωn e
(1)
2
hIB i ≈ hIB i ∝ V 2gc νc α1 −1 ,
(4.16)
se e∗ V ωn , con α1 e β1 dati in Eq. (4.1). A seconda del valore di V ∗ avremo quindi la possibilità di osservare nuovi andamenti a legge di potenza, che anche in questo caso dipenderanno
dai parametri di rinormalizzazione gc e gn . Abbiamo già discusso nella sezione precedente come i
valori di gc e gn possano modificare qualitativamente il comportamento della corrente di singola
quasiparticella, qui ci concentreremo perciò sulla parte di |p|-agglomerato che domina la corrente
per bassi voltaggi, come si vede in Eq. (4.14), e sulla regione di “cross-over”. Come viene mostrato
99
4.2 Corrente di quasiparticella e |p|-agglomerato
in Fig. 4.2a, per piccoli valori di rinormalizzazione 1 ≤ gc < 1/(2νc ), la corrente totale, a temperatura nulla (curva nera continua), risulta decrescente all’aumentare del voltaggio e si osserva un
minimo attorno a V ∗ . Se invece si considerano più alti valori di rinormalizzazione, in particolare
gc > 1/(2νc ), il comportamento risulta molto diverso. In questo caso, come si vede in Fig. 4.2b,
la corrente è crescente all’aumentare del voltaggio, e il fenomeno di “cross-over” è segnalato solamente da un cambio di pendenza attorno a V ∗ . All’aumentare dei parametri di rinormalizzazione
questo cambio di pendenza tenderà a essere meno evidente, quanto più le due leggi di potenza del
|p|-agglomerato e della singola quasiparticella intorno a e∗ V ∗ si avvicinano. Per questo motivo sarà
più difficile identificare il fenomeno di “cross-over” osservando solamente il trasporto di corrente.
Vogliamo ora commentare il caso di temperatura finita, rappresentato in Fig. 4.2 dalle diverse
curve colorate1 . Come abbiamo discusso nella sezione precedente, la corrente avrà inizialmente
un andamento lineare nel voltaggio hIB i = V GB (T ), nel regime in cui e∗ V kB T , con GB (T )
la conduttanza totale. Considerando sempre le due eccitazioni dominanti nel regime di tunneling,
possiamo scrivere la conduttanza totale GB (T ) come
(1)
(|p|)
GB (T ) = GB (T ) + GB (T ),
(4.17)
dove abbiamo esplicitato i contributi di singola quasiparticella e di |p|-agglomerato. In questo
regime di bassi voltaggi V → 0, la conduttanza totale assumerà degli andamenti tipo legge di
potenza nella temperatura. Ricordando che, per un liquido di Luttinger, alle leggi di potenza nel
voltaggio V η corrispondono leggi di potenza T η−1 nella temperatura, è facile comprendere che al
variare dell’energia avremo una fenomenologia analoga a quella discussa in precedenza anche per
la conduttanza totale GB (T ) in funzione della temperatura. In particolare ci aspettiamo anche
in questo caso un fenomeno di “cross-over” tra il |p|-agglomerato e la singola quasiparticella. È
(1)
possibile definire T ∗ come la temperatura per cui i due contributi di singola quasiparticella GB (T )
(|p|)
e di |p|-agglomerato GB (T ) risultano uguali. Il fenomeno di “cross-over” quindi si determina, al
variare della temperatura, quando T = T ∗ . Analogamente al caso della corrente totale con V 6= 0
discusso in precedenza, ci aspettiamo che il |p|-agglomerato sia dominante per basse temperature,
mentre nel regime di più alte temperature la singola quasiparticella sarà il contributo più rilevante.
Avremo quindi tre diversi andamenti a legge di potenza, al variare di T ∗ , a seconda delle energie
considerate. Nel range di più basse energie, in cui kB T kB T ∗ ωn , ωc , la conduttanza sarà
dominata dal |p|-agglomerato e seguirà un andamento del tipo
(|p|)
GB (T ) ≈ GB (T ) ∝ T 2gc νc −2 ,
(4.18)
mentre per kB T ∗ kB T, ωn , ωc la singola quasiparticella sarà dominante, con
2
(1)
2
GB (T ) ≈ GB (T ) ∝ T 2gc νc α1 +2gn νn β1 −2 ,
se kB T ωn e
(1)
2
GB (T ) ≈ GB (T ) ∝ T 2gc νc α1 −2 ,
(4.19)
(4.20)
se kB T ωn , con α1 e β1 dati in Eq. (4.1). Si osservi come, anche in questo caso, i parametri
di rinormalizzazione gc e gn possano modificare qualitativamente gli andamenti a legge di potenza
per la conduttanza totale.
Per voltaggi più alti, per cui e∗ V kB T , il comportamento lineare nella corrente hIB i scompare,
e le curve tendono a seguire via via l’andamento del caso a temperatura nulla. Nel caso di piccole
rinormalizzazioni gc < 1/(2νc ), come si vede in Fig. 4.2a si ha la possibilità che si formino due picchi, uno dovuto alla transizione dal regime lineare a quello di legge di potenza del |p|-agglomerato
in Eq. (4.14), e l’altro dovuto ai due diversi regimi della singola quasiparticella in presenza dei
modi neutri, che saturano per alti voltaggi (come si può osservare nella curva verde tratteggiata).
Per alti valori di rinormalizzazione invece, questi picchi tendono a scomparire all’aumentare di gc
1 Anche in questo caso sono state utilizzate tecniche di tipo numerico per valutare i contributi a temperatura
finita.
100
Trasporto nei sistemi Hall composti
e gn , come si vede in Fig. 4.2b, dove sono presenti solo dei cambi di legge di potenza (pendenza)
nelle diverse regioni. Questi comportamenti sono in accordo con quanto discusso nel paragrafo
precedente nel caso della corrente di singola quasiparticella.
La discussione precedente mostra come si possano trovare diversi segnali della presenza del |p|agglomerato studiando la corrente di backscattering, e come esso possa influenzarne qualitativamente il comportamento. Abbiamo mostrato in Fig. 4.2 un caso particolare, con filling factor
ν = 2/5 per il modello di Fradkin Lopez della sezione 2.5.1, ma nuovamente le discussioni possono essere ripetute per gli altri modelli che descrivono ν = 2/5, adattando opportunamente le
leggi di potenza. Anche nel caso di ν = 2/3, il discorso fatto qualitativamente non cambia. Occorrerà infatti modificare opportunamente le leggi di potenza, si veda Eq. (4.14), Eq. (4.15) e
Eq. (4.16), modificando i parametri νc , νn e β1 . Nel regime di più basse energie, dove domina il
|p|-agglomerato, la corrente non può mai essere decrescente all’aumentare del voltaggio ed al variare del valore di gc . Non vi sarà in questo caso la possibilità di osservare un minimo nella regione
di “cross-over”, ma questo fenomeno sarà segnalato solamente da un cambio di legge di potenza
(pendenza in scala bilogaritmica) attorno a e∗ V ∗ . Nel seguito studieremo più in dettaglio il caso
di ν = 2/3, concentrandoci in particolare sulle proprietà legate alla densità spettrale di rumore,
anzichè sulla corrente di backscattering.
4.2.1
Confronto con gli esperimenti per ν = 2/5
In questo paragrafo vogliamo confrontare le previsioni teoriche sopra esposte con le misure sperimentali ad oggi disponibili. In un lavoro del gruppo di M. Heiblum del 2003 [97] viene misurata
la corrente di backscattering in regime di “weak pinch-off” per ν = 2/5 in funzione della temperatura. Il setup sperimentale è analogo a quello descritto nella sezione 3.7.1, con il valore del campo
magnetico, misurato attorno al plateau per ν = 2/5, pari a B = 12.2 T. Il potenziale di gate qui è
posto pari a Vg = −0.03 V, in modo che la riflessività del QPC sia pari a r = 0.02, che garantisce
la condizione di “weak pinch-off”, mentre il range di voltaggi di bias considerato è sufficientemente
piccolo, circa 0.5 µV rispetto alle temperature di lavoro T = 9 mK che corrispondono a 2.4 µV,
da poter ritenere la corrente di backscattering sempre nel regime lineare in V . In questa configurazione, a tutti gli effetti, le misure di corrente hIB i sono sostanzialmente equivalenti a misure di
conduttanza GB (T ), come già discusso nella sezione 3.6.1. Ci aspettiamo perciò che la corrente, al
variare della temperatura, segua gli andamenti caratteristici a legge di potenza previsti dal modello
di Luttinger chirale. Per quanto sopra esposto, a seconda del range di temperatura considerato,
ci aspettiamo tre diversi andamenti a legge di potenza, ricordiamo infatti che se indichiamo con η
l’esponente tipico nel voltaggio, la legge di potenza corrispondente nella temperatura sarà data da
T η−1 . I dati sperimentali sono riportati in un range di temperature che va da circa 8 mK a circa
90 mK, e mostrano chiaramente un cambio di pendenza intorno a T ∼ 50 mK, si veda Fig. 4.3.
Se si osservano i dati corrispondenti ai più bassi valori di temperatura si può notare un ulteriore
cambio di pendenza, che dovrebbe essere più evidente scendendo ancora in temperatura2 . I modelli teorici da noi considerati permettono di spiegare il cambio di pendenza intorno a T ∼ 50 mK
grazie al contributo dei modi neutri. Infatti per energie vicine a ωn ci aspettiamo un cambio di
pendenza per la corrente di quasiparticella, come mostrato in Fig. 4.1. Possiamo associare questo
cambio di pendenza alla saturazione dei modi neutri e alla corrispondente modifica della legge di
potenza nel contributo di singola quasiparticella. Nel regime di più basse temperature il contributo
dominante, come abbiamo visto, è dato dal |p|-agglomerato, che dovrebbe essere segnalato da un
ulteriore cambio di pendenza a basse temperature. La Fig. 4.3 mostra, in scala bilogaritmica, i dati
sperimentali (rombi neri) e il fit (curva rossa) con il modello teorico a due campi sopra esposto. In
particolare abbiamo scelto il modello di Fradkin Lopez descritto nel paragrafo 2.5.1 in presenza di
rinormalizzazioni per il campo carico e quello neutro. I dati sembrano essere in ottimo accordo con
la scelta effettuata di gc = 3 e gn = 4, mostrando che il cambio di pendenza intorno a T ∼ 50 mK
può essere spiegato scegliendo un valore di ωn = 50 mK per il modo neutro. L’andamento nella
2 Condizione difficile da realizzare sperimentalmente, in quanto la temperatura minima di un criostato a diluizione
è proprio dell’ordine di 10 mK.
101
4.3 Densità spettrale di rumore
regione di basse temperature sembra indicare la presenza del |p|-agglomerato, anche se per una
chiara conferma sarebbero necessari dati ad ancora più basse temperature.
È conveniente a questo punto osservare che, a causa degli errori di misura della curva e del ristretto
range di temperature considerato, la valutazione delle leggi di potenza rappresenta un elemento
piuttosto critico nella procedura di fitting. Infatti i valori di rinormalizzazione possono essere
modificati consistentemente, ottenendo fit altrettanto buoni. Diversamente, il cambio di legge di
potenza per temperature maggiori di T ∼ 50 mK risulta essere un’osservazione robusta nella procedura di fitting [62]. Abbiamo quindi visto come il modello teorico sia in grado di riprodurre la
hIB i(pA)
T (mK)
Figura 4.3: Corrente totale di backscattering in pA per ν = 2/5 in funzione della temperatura in
mK in scala bilogaritmica. La figura mostra i dati sperimentali (rombi neri) tratti dal lavoro del
gruppo di M. Heiblum [97], con la cortesia di M. Heiblum, per un range di temperature da 8 mK
a 90 mK. La curva rossa rappresenta il fit dei dati con il modello teorico a due campi di Fradkin
Lopez. I parametri ottenuti sono gc = 3, gn = 4, k|p| = 0.422 e ωn = 50 mK. Si può notare come
la curva sia in ottimo accordo con i dati sperimentali.
misura sperimentale, che inizialmente appariva inconsistente con i modelli teorici considerati all’epoca dell’esperimento, in cui il contributo alla dinamica dei modi neutri a velocità di propagazione
finita non era stato sufficientemente chiarito. Vediamo come il ruolo dei modi neutri a velocità di
propagazione finita risulti cruciale per spiegare il cambio di pendenza osservato intorno a ∼ 50 mK.
4.3
Densità spettrale di rumore
Nella discussione precedente abbiamo mostrato la fenomenologia della corrente di backscattering
per ν = 2/5, considerando entrambi i contributi più rilevanti nel processo di tunneling. Abbiamo
poi confrontato le previsioni teoriche con le misure sperimentali ad oggi disponibili, dalle quali
abbiamo estratto importanti informazioni sul ruolo dei modi neutri. Come già discusso nel capitolo
3 dalle misure di corrente non si può estrarre direttamente informazione su quale sia la carica dei
102
Trasporto nei sistemi Hall composti
portatori. Abbiamo visto infatti che per ottenere tale grandezza è necessario studiare la densità
spettrale di rumore. Nella sezione 3.9 abbiamo esposto il calcolo della densità spettrale di rumore
(m)
a frequenza nulla SB (ω = 0) per un generico m-agglomerato. Come nel caso della corrente, se
ci limitiamo ad un’analisi al prim’ordine nell’ampiezza di tunneling, i diversi contributi al rumore
saranno indipendenti e il rumore totale sarà dato dalla somma dei contributi più rilevanti nel
processo di tunneling. Possiamo quindi scrivere
(1)
(|p|)
SB = SB + SB
(4.21)
,
dove nuovamente abbiamo considerato solo il contributo di singola quasiparticella e di |p|-agglomerato,
e per comodità notazionale abbiamo omesso l’indicazione di frequenza nulla ω = 0. Utilizzando la
relazione in Eq. (3.81) il rumore totale in Eq. (4.21) può essere riscritto come
∗ |p|e∗ V
e V
(1)
(|p|)
∗
∗
hIB i + 2|p|e coth
hIB i,
(4.22)
SB = 2e coth
2kB T
2kB T
dove e∗ = (νe)/|p| indica la carica dell’eccitazione fondamentale. L’equazione precedente è in
grado di descrivere il rumore totale nei diversi regimi al variare del rapporto e∗ V /(kB T ). Se siamo
interessati a studiare il regime di “shot noise” con e∗ V kB T , utile per estrarre informazioni
sulla carica dei portatori, essa si riduce a
(1)
(|p|)
SB = 2e∗ hIB i + 2|p|e∗ hIB
i
(4.23)
nella quale si riconosce chiaramente la somma dei due contributi analoghi alla Eq. (3.71). In particolare, a seconda del regime considerato, avremo la dominanza del contributo di |p|-agglomerato
o di quello di singola quasiparticella. Perciò ci aspettiamo che la carica dei portatori dominanti
sia differente nei due diversi regimi. Analogamente si può affermare che la pendenza del rumore in
funzione della corrente differirà nei diversi regimi.
A prova di questo fatto possiamo considerare nuovamente l’esperimento del gruppo di M. Heiblum
[97], nel quale venne misurato anche il rumore di corrente per ν = 2/5 a diverse temperature. La
Fig. 4.4 mostra i dati del rumore di corrente in funzione della corrente di backscattering per due diverse temperature, T = 9 mK e T = 82 mK. Gli andamenti della densità spettrale di rumore come
funzione della corrente IB risultano essere consistenti con le espressioni di Eq. (4.22). In particolare
per il caso a basse temperature il rumore è lineare con IB , coerentemente con quanto atteso per
il regime di “shot noise”. Per la temperatura più alta, la curva devia dall’andamento lineare, tale
effetto è dovuto proprio al fatto che non siamo più in regime di “shot noise”. Le osservazioni sono
compatibili con due diversi valori di carica dei portatori per le due diverse temperature. Per la
temperatura più alta (T = 82 mK) la curva è compatibile con un valore di carica e/5, valore atteso
per la singola quasiparticella, mentre per la temperatura più bassa si trova un buon accordo con la
carica 2e/5, che sembrerebbe indicare la presenza del |p|-agglomerato, come previsto dai modelli
teorici da noi considerati. Da questa misura si osservano infatti due diversi valori dei portatori di
carica, e in particolare i dati sembrano confermare la presenza del |p|-agglomerato nel regime di
più basse temperature.
4.3.1
Il fattore di Fano
Cerchiamo ora di dare più dirette informazioni riguardo alla carica dei portatori in gioco, per
questo è conveniente richiamare la definizione di fattore di Fano F in Eq. (3.73). Dallo studio
di tale quantità è possibile risalire direttamente alle cariche dei portatori, evidenziando il “crossover” tra i possibili regimi. Nel nostro sistema, in cui le eccitazioni dominanti sono la singola
quasiparticella e il |p|-agglomerato, il fattore di Fano sarà dato da
(1)
F=
(|p|)
SB + SB
SB
=
,
(1)
(|p|)
2ehIB i
2ehIB i + 2ehIB i
(4.24)
W LET T ERS
4.3 Densità spettrale di rumore
week ending
21 NOVEMBER 2003
4
ν =2/5
ν =2/5
b
9mK
q=2e/5
3
-30
2
Shot Noise, S (10 A /Hz)
1
103
1.0
teff
0.1
0.5
0.0
0
.01
40
1
82mK
q=e/5
80
Voltage (µV)
10
0
0
Electron Temperature, T (mK)
3.0
2
20
60
Back Scattered Current, IB (pA)
Figura 4.4: Misura di “shot noise” in funzione della corrente di backscattering per ν = 2/5. La
figura mostra il rumore di corrente SI in funzione della corrente IB per due diverse temperature
T = 9 mK e T = 82 mK. I dati risultano in accordo con una carica dei portatori pari a e/5 per
T = 82 mK, mentre per T = 9 mK questi sono compatibili con una carica 2e/5. Tratto da [97],
con la cortesia di M. Heiblum.
2.5
dove nell’ultima uguaglianza abbiamo esplicitato i contributi totali del rumore e della corrente di
backscattering. Ricordando l’Eq. (4.22) il fattore di Fano può essere riscritto come
∗ ∗ (1)
(|p|)
|p|e V
e V
∗
e∗ coth 2k
hI
i
+
|p|e
coth
hIB i
B
2kB T
BT
F=
,
(4.25)
(1)
(|p|)
ehIB i + ehIB i
2.0
1.5
espressione generale in grado di interpolare tra i diversi regimi al variare del rapporto e∗ V /(kB T ).
Nel limite di temperatura nulla, tipico del regime di “shot noise”, otteniamo
1.0
(1)
F=
0.5
0.0
40
0
(|p|)
ν hIB i + |p|hIB i
,
|p| hI (1) i + hI (|p|) i
B
(4.26)
B
dove abbiamo esplicitato il valore della carica dell’eccitazione fondamentale in unità della carica
dell’elettrone e∗ /e = ν/|p|. A temperatura nulla, al variare del voltaggio V , ritroveremo quindi i
due regimi in cui dominano la singola quasiparticella o il |p|-agglomerato. Nella regione di più bassi
voltaggi, come detto, il contributo dominante sarà quello di |p|-agglomerato con carica |p|e∗ , ed il
fattore di Fano sarà F = ν, mentre nel regime opposto, in cui domina la singola quasiparticella,
20F = ν/|p|. Si osservi
40 che questi valori60
80 la frazione di carica dei
avremo
restituiscono esattamente
Electron Temperature (mK)
G. 2. (a) Backscattered current as a function of the electron
perature at a filling factor ! ! 2=5. Two distinct slopes are
erved with a transition temperature of about 45 mK. Inset:
104
Trasporto nei sistemi Hall composti
portatori dominanti. In questo caso perciò ci aspetteremo una struttura a due plateau, come si
vede in Fig. 4.5, dove abbiamo rappresentato il fattore di Fano per ν = 2/5 come funzione del bias.
Il valore della carica dei due portatori, in unità della carica dell’elettrone, è dato direttamente dal
valore dei plateau, come si vede nella curva nera di temperatura nulla. Questo comportamento è
un segnale evidente della presenza di due portatori di carica.
Un ulteriore vantaggio nel considerare il fattore di Fano risiede nella sua stessa definizione, in
Eq. (3.73). Infatti abbiamo visto che sia la corrente di backscattering hIB i sia la densità spettrale
di rumore SB possono avere comportamenti piuttosto complicati e seguire diversi andamenti a
legge di potenza nel voltaggio. Lo studio del fattore di Fano risulta perciò vantaggioso in quanto
è più stabile al variare del voltaggio e risente meno delle non linearità, essendo il rapporto di due
quantità, rumore e corrente, che nel limite e∗ V kB T e in presenza di un portatore dominante,
sono infatti proporzionali. I contributi a legge di potenza della densità spettrale di rumore, infatti,
vengono compensati in questa grandezza, dal fatto che essa contiene una normalizzazione rispetto
alla corrente hIB i. Nella zona intermedia tra i due regimi asintotici, il fattore di Fano presenta
una transizione tra i due plateau, mostrando il regime in cui avviene il “cross-over”. La larghezza
di questa zona di transizione non è universale e come si osserva in Fig. 4.5 dipende in maniera
cruciale dalla differenza delle leggi di potenza del |p|-agglomerato e di singola quasiparticella, e
quindi in ultima istanza dai parametri di rinormalizzazione gc e gn . Nelle Fig. 4.5a e Fig. 4.5b le
curve nere mostrano gli andamenti sopra descritti per il fattore di Fano a temperatura nulla per
ν = 2/5 e per il modello di Fradkin Lopez, nel caso “nudo” e in presenza di rinormalizzazione.
La precedente discussione va però generalizzata al caso di temperatura finita, per confrontarci
(a)
F
e∗V /ω0
(b)
F
e∗V /ω0
Figura 4.5: Fattore di Fano per ν = 2/5, modello di Fradkin Lopez con p = 2 e ξ = −1. La figura
mostra l’andamento del fattore di Fano F in funzione del voltaggio V per diverse temperature.
La scala di colori indica le diverse temperature: linea nera continua T = 0, verde tratteggiata
T = 0.025 mK, azzurro tratto punto T = 0.1 mK, blu tratto corto T = 1 mK. Il valore del “cutoff” sul modo neutro è ωn = 50 mK e il peso relativo k|p| = 0.422. (a) La figura mostra il fattore
di Fano nel caso “nudo”. Si osservi come il regime termico influisca sull’andamento della curva
rispetto alla linea nera continua del caso di temperatura nulla. (b) La figura mostra il fattore di
Fano in presenza di rinormalizzazione con gc = 3 e gn = 4. Gli andamenti sono qualitativamente
simili al caso “nudo”, con una zona di transizione decisamente più netta.
con gli esperimenti dobbiamo infatti valutare la robustezza di questa grandezza al variare della
temperatura. Nel limite di bassi voltaggi e∗ V kB T , la densità spettrale di rumore sarà data
dal contributo di “Johnson Nyquist” di Eq. (3.70), e conseguentemente il fattore di Fano avrà un
105
4.3 Densità spettrale di rumore
comportamento divergente in V del tipo
F∝
kB T
,
eV
(4.27)
fenomenologia presente in tutti i casi di temperatura finita mostrati in Fig. 4.5 rappresentati dalle
curve colorate. Dalla Fig. 4.5 si può inoltre osservare che se la temperatura è sufficientemente bassa
con kB T e∗ V ∗ , dove V ∗ indica il voltaggio per cui i contributi della corrente di |p|-agglomerato
e singola quasiparticella sono uguali, le curve raggiungono il plateau più alto e tendono poi a
seguire l’andamento della curva di temperatura nulla, finchè e∗ V ' kB T . All’aumentare della
temperatura il punto in cui le curve si distanziano dall’andamento di temperatura nulla (curva nera
continua) si sposta. Se si considerano temperature tali che e∗ V ∗ kB T le curve raggiungeranno
direttamente il secondo plateau, quello che indica il valore di carica della singola quasiparticella,
senza presentare alcun regime di plateau intermedio. Per temperature sufficientemente alte perciò
la visibilità del |p|-agglomerato sarà compromessa dalla componente termica del rumore, infatti
il fattore di Fano passerà direttamente dal regime di “Johnson Nyquist” a quello in cui domina
la singola quasiparticella con plateau intorno a F = ν/|p|. Da questa discussione si comprende
facilmente che se si desidera rilevare la presenza di due diverse eccitazioni con un’opportuna misura
della carica, è necessario considerare il regime per cui kB T e∗ V ∗ , che spesso sperimentalmente
corrisponde a temperature molto basse. La Fig. 4.5 mostra inoltre il comportamento del fattore di
Fano al variare dei parametri di rinormalizzazione gc e gn . Nella Fig. 4.5a viene illustrato il caso
“nudo”, mentre nella Fig. 4.5b il caso in presenza di interazioni esterne, con la scelta dei parametri
di rinormalizzazione gc = 3 e gn = 4. Si può osservare che nel caso in Fig. 4.5a la transizione tra
i due plateau avviene in maniera liscia, mentre in Fig. 4.5b si ha una transizione decisamente più
netta tra i due diversi regimi. La tendenza ad avere una zona di transizione più stretta e più netta
sembra essere una caratteristica comune all’aumentare dei parametri di rinormalizzazione, e si può
dimostrare [62, 63] che ciò dipende in maniera cruciale dal rapporto delle diverse dimensioni di
scala delle eccitazioni coinvolte.
Infine vogliamo ricordare che abbiamo presentato il caso particolare per ν = 2/5 con il modello di
Fradkin Lopez, ma gli stessi risultati possono essere ottenuti anche per il modello di Wen tramite
la relazione in Eq. (2.181).
4.3.2
Misura del rumore per ν = 3/7
In questo paragrafo vogliamo illustrare brevemente un’ulteriore misura effettuata nello stesso lavoro
del gruppo di M. Heiblum [97] presentato in precedenza. Nella seconda parte del lavoro viene infatti
mostrata una misura di rumore di corrente SI , in regime di “shot noise”, in funzione della corrente
di backscattering per lo stato FQHE con ν = 3/7, si veda Fig. 4.6. Analogamente al caso con
ν = 2/5 vengono presentate le curve per due diverse temperature, in questo caso T = 27 mK e
T = 9 mK. I dati presentano nuovamente degli andamenti di tipo lineare, come atteso per il regime
di “shot noise”, e sono compatibili con due diversi valori di carica dei portatori. In particolare si
può osservare in Fig. 4.6 che i dati a T = 27 mK sono compatibili con una carica frazionaria pari
a e/7, valore atteso per la singola quasiparticella nello stato con ν = 3/7. I dati riportati per la
temperatura più bassa T = 9 mK, invece, risultano in accordo con una carica frazionaria pari a
2.4e/7.
Questa misura sembrerebbe indicare una fenomenologia analoga a quella esposta in precedenza
per ν = 2/5, mostrando anche in questo caso la presenza di due portatori di carica dominanti
nel tunneling attraverso il QPC. Possiamo pensare ad una generalizzazione delle teorie esposte
in precedenza. Come abbiamo visto nella sezione 2.5 lo stato con ν = 3/7 può essere descritto
in termini della teoria di Fradkin Lopez e quindi, analogamente al caso con ν = 2/5, utilizzando
il modello minimale a due campi per gli stati di bordo. Lo stesso può dirsi per la teoria di
Wen che, sebbene per lo stato con ν = 3/7 preveda tre campi di cui uno carico e due neutri,
può essere ridotta ad una teoria minimale a due campi nel caso in cui i due campi neutri siano
identici. È possibile mostrare che questi modelli minimali a due modi possono essere descritti
indicates again bunching of e=7 quasiparticles —very
[see in Fig. 2(b) two extreme examples].
much like the behavior at ! ! 2=5; however, it seems
mining the charge in a most general filling
that an even lower temperature than our lowest temperas to rely on the CF model. According to that
ture (T < 9 mK) is needed to establish bunching of three
flected current, carrying the noise, is that of
e=7 quasiparticles to a charge q ! 3e=7 as well as to
d Landau level (LL), namely p ! 2, with the
achieve a perfect FQH plateau.
ticles (in the 1st LL) being fully transmitted
Summarizing our results, one should recall the followibuting to the shot noise [4]. Hence, one can
ing: (a) the 2DEG is rather pure with mobility 2 '
ective transmission coefficient of 2nd LL
106
Trasporto
106 cm2 V%1 s%1 ; hence, scattering is dominated
tg2=5 % g1=3 #="g2=5 %
g1=3 # ! 6t % 5, which
by thenei sistemi Hall composti
an the bare transmission t. However, when t
o unity, teff $ t and the determination of q is
1.5
to the exact value of t. The two solid lines in
eeing with the data, are the calculated shot
ng to the expression above with charges q !
9 mK and q ! e=5 at T $ 82 mK (with
9mK
peratures determined independently). While
q=2.4e/7
charge at high temperature q ! e=5 had
before [4], the scattered charge at low tem1.0
!e ! 2e=5 was unexpected. Note that while
ectron temperature was hovering around 8–
fferent cooldowns, the quasiparticle charge
ntly measured to be q ! 2e=5. Measurerepeated on two different MBE grown
h slightly different carrier densities, and
27mK
was thermally recycled a few times; always
he same quasiparticle charge 2e=5 at the
0.5
q=e/7
rature range. Figure 2(c) shows the charge
the temperature is being increased in the
< T < 50 mK. Most of the change takes
20 mK range. In comparison, temperature
measurements were conducted in a separately
ll bar. While the ! ! 2=5 conductance plad unaffected at this temperature range and
0.0
nal resistance Rxx increased with temperaendence was quite different from that of IB
0
10
20
30
C.
unexpected bunching take place also in
Back Scattered Current, IB (pA)
lling factors p ! 3, namely, at ! ! 3=7?
he relatively weak magnetic field at the ! !
FIG. 3. Shot noise at a filling factor ! ! 3=7 at two different
Misuratodel rumore
di corrente
SI perquasiparticle
ν = 3/7. charge
La figura
mostra i dati sperimentali
5 T) the many-bodyFigura
energy 4.6:
gap required
temperatures.
The backscattered
is found
gQ ! "3=7#e2 =h plateau
is rather
della misura
di small.
rumore di
corrente
in funzione
della
in regime di “shot
to be
around "2–2:5#e=7
at 9 mK
andcorrente
e=7 at 27 di
mK.backscattering
The QPC
y, the plateau is barely
established
at temperature.
was set to reflect some
2% of thecome
impinging
current
at the
two
noise”
per dueeven
diverse
Si osserva
i dati
siano
compatibili
con due differenti
mperature [see Fig. 2(a)],
is aper
finite
valoriand
dithere
carica
le duetemperatures.
diverse temperature. In particolare per T = 27 mK la curva è in accordo
-30
2
Shot Noise, S (10 A /Hz)
ν = 3/7
con la carica e/7 prevista per la quasiparticella, mentre per la temperatura più bassa T ∼ 9 mK i
216804-3 di M. Heiblum.
dati sono compatibili con il valore 2.4e/7. Tratto da [97], con la cortesia
in termini della Lagrangiana per gli edge di Eq. (2.156) con νc = p/(2p + 1) = 3/7, scegliendo
p = 3. I risultati ottenuti in precedenza, quali ad esempio la scrittura dell’operatore di campo di
Eq. (2.159), continuano ad essere validi, sostituendo opportunamente p = 3.
In particolare si può dimostrare che gli oggetti più rilevanti nel processo di tunneling saranno
nuovamente o la singola quasiparticella o l’eccitazione con carica tripla rispetto all’eccitazione
dominante (|p|-agglomerato). Anche in questo caso potremo quindi osservare la fenomenologia di
“cross-over” tra il |p|-agglomerato e la singola quasiparticella. Per cui le cariche frazionarie previste
per le eccitazioni dominanti saranno e/7 per la singola quasiparticella tipicamente nel regime di
alte energie, e 3e/7 per il |p|-agglomerato, per basse energie.
La misura sperimentale esposta in Fig. 4.6 sembra indicare, come detto, proprio la presenza di due
portatori di carica. Il valore di carica estratto alla temperatura più bassa non coincide con quello
atteso per il |p|-agglomerato, ma riteniamo che questo sia dovuto al fatto che per tale sistema quella
temperatura sia ancora nella regione di “cross-over” tra la dominanza del |p|-agglomerato e della
singola quasiparticella. Per questo motivo non si osserva ancora il corretto valore di carica, anche
se si avvicina molto ad esso. Se questo scenario è corretto, ci aspettiamo che scendendo ancora in
temperatura, le misure di rumore di corrente si assestino sul valore atteso per il |p|-agglomerato
con carica dei portatori 3e/7.
Questa misura fornisce un ulteriore conferma della bontà del modello fin qui sviluppato, indicando
la presenza di due diversi portatori di carica nel regime di tunneling, aprendo la strada ad una
facile generalizzazione ad altri valori di filling factor ν = p/(2p + 1) con p ≥ 2.
4.4 Misure di rumore per ν = 2/3
4.4
107
Misure di rumore per ν = 2/3
SB,ex(10−29A2/Hz)
V (µV)
Figura 4.7: “Excess noise” per ν = 2/3. In questa figura vengono mostrati i dati sperimentali (rombi neri), tratti da [111] con la cortesia di M. Heiblum, della misura di “excess noise” (10−29 A2 /Hz)
in funzione del voltaggio (µV) alla temperatura di T = 10 mK. La curva rossa rappresenta il fit
con il modello teorico, avendo scelto i parametri p = −2, ξ = −1, k|p| = 0.01, ωn = 200 mK. I
parametri di rinormalizzazione sono gc = 1.6 e gn = 8.1. Si può osservare l’ottimo accordo tra la
previsione teorica e le misure sperimentali.
In questa sezione vogliamo confrontare le previsioni teoriche con le misure sperimentali ad oggi
disponibili per ν = 2/3. Ricordiamo che anche questo valore di filling factor è descritto in termini
di due campi, uno carico ϕc e uno neutro ϕn . In questo caso il parametro p presente nella definizione di filling factor ν = p/(2p + 1) sarà p = −2, mentre il parametro ξ = ±1 discriminerà tra
le possibili chiralità relative dei campi. Ricordiamo inoltre che nel modello di Wen presentato in
sezione 2.4.2 il campo neutro è contropropagante ξ = −1, mentre nel modello di Fradkin Lopez,
generalizzato a velocità finite, presentato in sezione 2.5.2 il campo neutro è copropagante ξ = 1,
rispetto al campo carico. Ricordiamo inoltre che, anche in questo caso, le eccitazioni dominanti
risultano essere il |p|-agglomerato con |p| = 2 nel regime di più basse energie, e la singola quasiparticella per energie più alte. Una peculiarità del caso a ν = 2/3, già discussa nella sezione 2.7,
si trova analizzando la dimensione di scala per il modello di Wen. Abbiamo visto infatti che le
dimensioni di scala del |p|-agglomerato e della singola quasiparticella nel caso “nudo” in questo
modello sono degeneri. Per questa caratteristica peculiare, in assenza di interazioni esterne, non è
possibile osservare il “cross-over” tra |p|-agglomerato e singola quasiparticella. Se si introducono
anche piccole rinormalizzazioni gc e gn la fenomenologia risulta invece analoga agli altri casi ed il
“cross-over” è effettivamente possibile a voltaggi sufficientemente elevati. Come abbiamo visto in
precedenza, per spiegare le misure sperimentali sembra essere necessario introdurre questi parametri di rinormalizzazione, che tengano conto delle eventuali interazioni esterne, per cui lo scenario
di “cross-over” è sicuramente possibile.
In un lavoro del 2009 il gruppo di M. Heiblum [111] ha effettuato delle misure di carica proprio
108
Trasporto nei sistemi Hall composti
sullo stato con ν = 2/3. La geometria utilizzata è analoga a quelle presentate in precedenza, misure
di rumore in un QPC in regime di “weak pinch-off”. Nel lavoro vengono riportati i dati relativi
all’ “excess noise” definito in Eq. (3.85) in funzione del voltaggio esterno3 . Le misure sono state
effettuate ad una temperatura molto bassa T = 10 mK, praticamente nel regime di “shot noise”
con e∗ V > kB T . I dati in Fig. 4.7 (rombi neri) sono riportati per un range di voltaggi fino a 70 µV
e mostrano ad alti voltaggi un andamento quasi lineare, che evidenzia una sola legge di potenza.
Nel nostro modello il rumore totale sarà dato dalla somma dei due contributi delle eccitazioni più
rilevanti nel regime di tunneling.
Per confrontarsi con l’esperimento è opportuno definire l’“excess noise” per il caso considerato.
Utilizzando la definizione di Eq. (3.85) avremo
(1)
(|p|)
(1)
(|p|)
SB,ex (V, T ) = SB (V, T ) + SB (V, T ) − 4kB T GB + GB
(4.28)
dove abbiamo utilizzato il fatto che il rumore totale a bias nullo è dato dal contributo termico di
“Johnson Nyquist”. Abbiamo poi esplicitato i contributi di |p|-agglomerato e singola quasiparticella sia nel rumore SB sia nella conduttanza GB . Si osservi che proprio dalla definizione precedente
di Eq. (4.28) si può vedere che l’andamento dell’“excess noise” per bassi voltaggi, e∗ V kB T , è
quadratico nel bias SB,ex ∝ V 2 , mentre nel regime opposto, e∗ V kB T , riproduce l’andamento
atteso per il regime di “shot noise”.
Nel regime considerato nell’esperimento [111] ci aspettiamo però che solamente il contributo di
|p|-agglomerato sia rilevante, come sembrano confermare le misure di rumore, si veda Fig. 4.7,
dove osserviamo un’unica legge di potenza. Possiamo pensare che in quel range di voltaggi l’unica
legge di potenza osservata sia quella del |p|-agglomerato. Abbiamo quindi effettuato un fit dei dati
sperimentali con l’ipotesi della presenza del solo |p|-agglomerato per quel range di voltaggi. In
questo caso abbiamo scelto di utilizzare il modello di Wen, si veda anche dopo, con il modo neutro
contropropagante ξ = −1, con un valore di “cut-off” per il modo neutro pari a ωn = 200 mK,
consistente con i dati sperimentali in nostro possesso. Dal fit abbiamo ottenuto il parametro di
rinormalizzazione per il modo carico pari a gc = 1.6. Con questo particolare valore del parametro
di rinormalizzazione otteniamo una legge di potenza per l’“excess noise” quasi lineare (η ' 1), coerentemente con quanto sembrano mostrare i dati sperimentali. Come si può osservare in Fig. 4.7
la curva rossa è in ottimo accordo con i dati sperimentali, mostrando un andamento quadratico
per piccoli valori del bias (e∗ V kB T ) e un andamento quasi lineare nella regione di voltaggi
più elevati (e∗ V kB T ). È importante sottolineare che ci aspettiamo che per questo range di
temperature e voltaggi il“cross-over” tra il |p|-agglomerato e la singola quasiparticella non sia visibile nella finestra considerata. Quest’ipotesi di lavoro potrebbe essere ulteriormente verificata
conoscendo il fattore di Fano per gli stessi valori del bias, cosa che l’esperimento non mostra4 .
Purtroppo non possediamo altri dati sui quali testare il nostro modello. Non sono attualmente
disponibili misure a più alte energie nel regime di “weak pinch-off” per questo stato Hall. Non
siamo quindi in grado di mettere in luce la fisica del “cross-over” tra i due regimi in cui dominano
le diverse eccitazioni. Notiamo inoltre che abbiamo scelto di fittare i dati con il modello di Wen
a due campi contropropaganti, ma utilizzando gli argomenti esposti in sezione 2.6, e in particolare sfruttando l’Eq. (2.181), possiamo riprodurre la stessa curva nel modello di Fradkin Lopez
semplicemente cambiando il parametro gn . In questa semplice configurazione infatti il nostro modello teorico non è in grado di discriminare effettivamente la direzione relativa di propagazione
dei campi, ma i risultati ottenuti con un particolare modello possono essere riottenuti anche nell’altro, a patto di modificare opportunamente il parametro di rinormalizzazione del modo neutro
utilizzando l’Eq. (2.181). Più recenti misure [112] che utilizzano una configurazione sperimentale
più complicata a molti terminali, sembrano indicare che per ν = 2/3 il modo neutro si propaghi
in direzione opposta a quello carico. Per questo motivo, ad oggi, la scelta del modello di Wen con
3 Nell’articolo [111] viene definita la corrente I
imp che è legata direttamente al voltaggio esterno da Iimp = V G,
con G = (νe2 )/h conduttanza Hall del sistema.
4 Si noti che misure di carica efficace, si veda la sezione successiva, sembrano confermare la bontà dell’ipotesi
fatta.
4.4 Misure di rumore per ν = 2/3
109
p = −2 e ξ = −1 sembra essere quella corretta, a discapito di più alti valori del parametro di
rinormalizzazione del modo neutro gn , si veda Eq. (2.181).
Vogliamo infine mostrare, anche in questo caso, l’andamento teorico del fattore di Fano F in
F
(a)
e∗V /ω0
(b)
F
e∗V /ω0
Figura 4.8: Fattore di Fano per ν = 2/3, modello di Wen con p = −2 e ξ = −1 in funzione
del voltaggio V per diverse temperature. La scala di colori indica le diverse temperature: linea
nera continua T = 0, verde tratteggiata T = 0.025 mK, azzurro tratto punto T = 0.1 mK, blu
tratto corto T = 1 mK. (a) Fattore di Fano con parametri di rinormalizzazione: gc = 1.6 e
gn = 3. Si osserva che il regime termico determina la divergenza per V → 0 e la deviazione dalla
curva del caso di temperatura nulla (curva nera continua). (b) Fattore di Fano con parametri di
rinormalizzazione: gc = 1.6 e gn = 8.1. Gli andamenti sono qualitativamente simili al caso del
pannello (a), con una zona di transizione decisamente più netta.
funzione del voltaggio, sottolineando come questa quantità possa evidenziare il valore delle cariche
frazionarie delle eccitazioni dominanti del sistema. Anche in questo caso ci aspettiamo una fenomenologia analoga a quella presentata nella sezione 4.3.1, con il fattore di Fano che presenta due
plateau caratteristici, uno a 2/3 nel regime di più bassi voltaggi e uno a 1/3 nel regime opposto.
Questo scenario è confermato dalla Fig. 4.8, dove le curve nere continue indicano il caso a T = 0
ed evidenziano i due plateau descritti. In Fig. 4.8 riportiamo il fattore di Fano per diversi valori
di temperatura, nel caso di ν = 2/3 con ξ = −1 per il modello di Wen. Le linee colorate indicano
il comportamento per i casi di temperatura non nulla. Si può osservare che per temperatura finita
è presente un primo tratto divergente per bassi voltaggi che indica proprio il regime termico, e le
curve tendono poi a seguire l’andamento del caso a temperatura nulla solo quando e∗ V kB T ,
come già discusso nella sezione 4.3.1.
Abbiamo deciso di riportare anche in questo caso l’andamento del fattore di Fano al variare dei
parametri di rinormalizzazione, illustrando come al variare di questi si modifichi qualitativamente
il comportamento della zona di “cross-over”. In Fig. 4.8a viene mostrato il caso di deboli rinormalizzazioni con gc = 1.6 e gn = 3, in quanto come già discusso per il caso “nudo” la dimensione
di scala delle eccitazioni dominanti sarebbe degenere. Si può osservare una regione di “cross-over”
piuttosto ampia con una transizione liscia tra il plateau 2/3 caratteristico del |p|-agglomerato e
quello a 1/3 atteso per la singola quasiparticella. In Fig. 4.8b riportiamo invece il fattore di Fano
in presenza di più forti rinormalizzazioni, avendo scelto i parametri gc = 1.6 per il modo carico e
gn = 8.1 per quello neutro, parametri già utilizzati per effettuare il fit dell’“excess noise” presente
in Fig. 4.7. Si può notare come in questo caso la transizione tra i due plateau risulti decisamente
più netta e stretta, analogamente a quanto già visto nel caso di ν = 2/5 in Fig. 4.5.
110
4.5
Trasporto nei sistemi Hall composti
La carica efficace
Spesso negli esperimenti [97, 111, 112] viene introdotto il concetto di carica efficace eeff (T ), definita
come il valore di carica che meglio interpola le misure della componente di “excess noise” ad una
data temperatura. Possiamo infatti supporre che il rumore osservato sia generato da un solo tipo
di portatore con una carica efficace eeff (T ). In tal caso riesprimiamo l’“excess noise” in termini di
un singolo portatore efficace come
eeff (T )V
hIB i − 4kB T GB (T ).
(4.29)
SB,ex = 2eeff (T ) coth
2kB T
Nel caso in cui il sistema abbia più portatori in competizione, la carica efficace restituirà una media
pesata dei diversi contributi. Si noti che questa quantità dipende fortemente dal regime di voltaggi
V considerati. Nel regime di “shot noise”, in cui e∗ V kB T , la carica efficace sarà data da
!
(1)
(|p|)
hIB i + |p|hIB i
∗
,
(4.30)
eeff = e
(1)
(|p|)
hIB i + hIB i
dove abbiamo esplicitato la somma pesata sui contributi di singola quasiparticella e di |p|-agglomerato.
Si noti che è stata eliminata la dipendenza dalla temperatura nella carica efficace in quanto, nel
regime di “shot noise”, essa non dipenderà più dalla temperatura.
Nel regime opposto, e∗ V . kB T , il contributo termico diventa rilevante e quindi il valore della
carica efficace dovrà essere ottenuto dal fit diretto della formula in Eq. (4.29). In generale però
il fitting non è ottimale, in quanto un modello a singolo portatore non sarà in grado di fittare
in maniera soddisfacente il caso di un sistema con uno o più portatori in competizione, si veda
Eq. (4.22). Nel limite termico e∗ V kB T possiamo sviluppare l’espressione in Eq. (4.22) a bassi
voltaggi. Vedremo che ciò garantirà un buon fit dei dati sperimentali mediante una singola carica
efficace.
Ricordando che il termine in coth(x) può essere espanso in serie di Taylor come
1 x
+ + O(x2 ),
x→0 x
3
possiamo espandere la corrente in Eq. (4.12) per V → 0
coth(x) =
hIB (V, T )i = GB (T )V +
V 2 ∂ 2 hIB i V 3 ∂ 3 hIB i +
+ O(V 4 ),
2
V =0
2 ∂V
6 ∂V 3 V =0
(4.31)
(4.32)
dove abbiamo utilizzato la definizione di conduttanza differenziale lineare GB (T ). Sostituendo
l’Eq. (4.31) e l’Eq. (4.32) nell’Eq. (4.29) si ottiene
∂ 2 hIB i GB (T ) 2
∂ 3 hIB i 2
SB,ex = 2kB T V
+ eeff (T )
+ kB T
V 2 + O(V 3 ).
(4.33)
∂V 2 V =0
3kB T
3
∂V 3 V =0
Si noti come, nel caso che la corrente sia lineare nel voltaggio5 , l’“excess noise” avrà solamente un
contributo quadratico proporzionale alla conduttanza. Dal termine quadratico si può ricavare la
carica efficace, ottenendo
s
3kB T ∂ 2 SB,ex 4
∂ 3 hIB i eeff (T ) =
− kB T
,
(4.34)
2GB
∂V 2 V =0 3
∂V 3 V =0
che indica quale sia la carica efficace “vista” per un certo sistema, essendo nota solamente la
curvatura dell’“excess noise” ∂ 2 SB,ex /∂V 2 e la possibile non linearità della corrente ∂ 3 hIB i/∂V 3 .
5 Condizione che nel limite di basse temperature, come abbiamo visto nel caso del liquido di Luttinger chirale,
non è in generale verificata.
111
4.5 La carica efficace
Se definiamo la carica efficace come la carica apparente del sistema nel limite termico in Eq. (4.34),
possiamo definire tale grandezza anche per il nostro modello, anche se siamo in presenza di diverse
eccitazioni con differenti valori di carica. Questo è necessario se vogliamo verificare quale sia la
carica apparente prevista dal nostro modello per confrontarla con le misure sperimentali.
Sostituendo quindi le espressioni per la corrente ed il rumore date rispettivamente in Eq. (4.12) e
Eq. (4.22) per il nostro modello, possiamo calcolare l’espressione in Eq. (4.34). Si può verificare
che sostituendo le diverse espressioni, ottenute all’ordine più basso nel tunneling, la carica efficace
(1)
(|p|)
è scrivibile in termini delle conduttanze GB (T ) e GB (T ) come
v
!
u
(1)
2 (|p|)
u
∗ t GB + |p| GB
,
(4.35)
eeff (T ) = e
(1)
(|p|)
GB + GB
relazione valida nel limite termico, per V → 0. Nell’ultima formula si evidenzia la somma pesata sui
due diversi contributi di singola quasiparticella e di |p|-agglomerato. Si noti che si può dimostrare
[63, 69] che quest’ultima espressione coincide con la radice quadrata della skewness normalizzata,
ossia l’asimmetria rispetto alla corrente della distribuzione delle fluttuazioni di corrente, nel limite di voltaggio nullo. L’espressione trovata in Eq. (4.35) per la carica efficace può essere quindi
direttamente comparata con quella misurata negli esperimenti al variare della temperatura. La
formula teorica in Eq. (4.34) infatti rappresenta a tutti gli effetti la speranza matematica della
carica efficace ottenuta nel fit, nel limite di voltaggi sufficientemente piccoli.
Ci aspettiamo che l’andamento della carica efficace in funzione della temperatura riproduca i
eeff /e
(a)
eeff /e
(b)
T (mK)
T (mK)
Figura 4.9: Carica efficace eeff in unità della carica dell’elettrone e in funzione della temperatura
(mK), per gli stati ν = 2/5 (a) e ν = 2/3 (b). (a) Dati sperimentali (rombi neri) tratti da [111],
con la cortesia di M. Heiblum, e la curva teorica (linea rossa) per ν = 2/5. I parametri scelti per
il fit dei dati sono gc = 3, gn = 4, k|p| = 0.422 e ωn = 50 mK per il modello di Fradkin Lopez con
ξ = −1. Si osserva un ottimo accordo tra la previsione teorica e i dati sperimentali. (b) Previsione
teorica (curva rossa) per il caso con ν = 2/3. I parametri scelti in questo caso sono gc = 1.6,
gn = 8.1, k|p| = 0.04 e ωn = 200 mK per il modello di Wen con ξ = −1.
valori delle cariche delle eccitazioni dominanti nei due regimi asintotici. Il valore della carica efficace eeff (T ) per le temperature più basse sarà perciò dato dalla carica del |p|-agglomerato, cioè
|p|e∗ = νe. Nel regime di più alte temperature, invece, la carica efficace raggiungerà il valore
previsto per la singola quasiparticella e∗ = (νe)/|p|. Nella regione intermedia anche in questo caso
potremo osservare il “cross-over” tra i due diversi regimi. Nella Fig. 4.9 riportiamo gli andamenti
teorici (linea rossa) per la carica efficace eeff in funzione della temperatura per i casi di filling factor
ν = 2/5 (Fig. 4.9a) e ν = 2/3 (Fig. 4.9b). Si può osservare come le curve riproducano gli andamenti
descritti in precedenza. Nella Fig. 4.9a vengono riportati anche i dati sperimentali (rombi neri)
[111] per questa grandezza. Si può notare come la curva teorica, ottenuta con gli stessi parametri
utilizzati per il fit esposto in Fig. 4.3, sia in ottimo accordo con i dati sperimentali.
Per il caso con ν = 2/3 riportiamo solamente la previsione teorica, infatti non sono state ancora
112
Trasporto nei sistemi Hall composti
pubblicate le misure sperimentali per questa grandezza. Nel lavoro del gruppo di M. Heiblum [111]
viene mostrata una misura di carica efficace per ν = 2/3, ma in un range di valori di trasmissione
che vanno ben oltre al regime perturbativo trattato nel nostro modello. Purtroppo la misura di
carica efficace richiede lunghi tempi di presa dati, e non fu considerata all’epoca della pubblicazione
di quel lavoro, in quanto non pertinente con il soggetto della discussione centrale di quell’articolo.
Dalle discussioni tenute con il gruppo sperimentale sappiamo che se ripeteranno la misura con il
QPC per ν = 2/3 provvederanno a effettuare test più specifici per verificare la nostra teoria.
Abbiamo mostrato come il nostro modello minimale a due campi sia in grado di riprodurre i dati
sperimentali anche per la carica efficace, quantità spesso utilizzata negli esperimenti per determinare il valore dei portatori di carica al variare della temperatura. Abbiamo quindi ottenuto le cariche
previste dalla teoria nei due regimi asintotici di bassa e alta temperatura, trovando rispettivamente
i valori attesi per il |p|-agglomerato e la singola quasiparticella. Abbiamo infine mostrato come il
regime di “cross-over” sia in buon accordo con il modello da noi sviluppato.
Conclusioni
In questo lavoro di tesi abbiamo studiato la fisica dell’effetto Hall quantistico frazionario in termini
di teorie di campo efficaci basate sulla teoria di Chern-Simons. Abbiamo illustrato alcune teorie
in grado di riprodurre i valori di filling factor ν appartenenti alla sequenza di Jain, evidenziando
le proprietà di carica e statistica, soffermandoci in particolare sui casi con ν = 2/5 e ν = 2/3 dei
quali disponiamo di misure sperimentali. Ci siamo concentrati sulle teorie efficaci che descrivono
gli stati di bordo, fondamentali per spiegare le peculiari proprietà di trasporto in un quantum point
contact ottenuto da tale sistema. Abbiamo quindi mostrato come questi modelli possano essere
descritti in termini di una teoria minimale a due campi bosonici, uno carico ed uno neutro.
Per verificare la bontà dei modelli considerati abbiamo studiato il sistema nella geometria di quantum point contact. In questa configurazione i due bordi del campione, altrimenti indipendenti,
sono posti localmente in contatto ed è permesso il passaggio di particelle tra di essi attraverso un
processo di tunneling. Abbiamo quindi ricavato le espressioni per la corrente di tunneling e per
la densità spettrale di rumore a frequenza nulla, al prim’ordine perturbativo, tenendo conto delle
eccitazioni dominanti nel regime di tunneling considerato. Abbiamo infine confrontato i nostri
risultati con le misure sperimentali, ad oggi disponibili, per tali proprietà di trasporto. L’accordo
ottenuto con gli esperimenti è molto buono.
Uno degli effetti considerati in dettaglio nel corso della tesi è stato lo studio della dinamica dei modi
neutri, il cui ruolo sembra essere cruciale per spiegare alcune osservazioni sperimentali. Abbiamo
calcolato la corrente di backscattering al variare del voltaggio, studiando nel dettaglio gli esponenti
delle leggi di potenza ottenute, considerando anche gli effetti dovuti alle possibili interazioni con
gradi di libertà esterni. Mediante questa analisi siamo riusciti a spiegare gli andamenti osservati
sperimentalmente, motivando i diversi cambi di legge di potenza proprio grazie alla presenza dei
modi neutri. In questo contesto le eccitazioni dominanti risultano essere la singola quasiparticella
ed il |p|-agglomerato, a seconda del range di energie considerato. In particolare è possibile un
fenomeno di “cross-over” tra il |p|-agglomerato, che domina per le più basse energie, e la singola
quasiparticella, oggetto più rilevante nel regime di più alte energie, scenario che sembra essere
confermato dagli esperimenti.
Dallo studio della densità spettrale di rumore e del fattore di Fano abbiamo ottenuto informazioni
sulla carica delle eccitazioni del sistema. È stato possibile valutare queste previsioni con le misure di rumore di corrente, effettuando un fit con i dati sperimentali, ottenendo un buon accordo.
Abbiamo infine studiato la carica efficace, quantità spesso utilizzata negli esperimenti, mostrando
come essa possa essere interpretata con il nostro modello teorico, effettuando anche un buon fit
con i dati disponibili per lo stato con ν = 2/5.
Una naturale estensione di questo lavoro di tesi riguarderà lo studio delle proprietà di trasporto a
frequenza finita, con le quali potremmo verificare ulteriormente la bontà della teoria sviluppata,
anche se al momento non esistono risultati sperimentali a causa dell’estrema difficoltà della realizzazione di misure di rumore a frequenza finita. Un approccio simile a quello sviluppato, inoltre,
potrebbe essere utile per spiegare alcune recenti anomalie osservate per stati Hall non appartenenti
alla sequenza di Jain, quali ad esempio ν = 5/2.
113
114
Conclusioni
Appendice A
Operatore di campo per edge di
lunghezza finita
In questa appendice vogliamo ricavare le relazioni riportate nella sezione 2.2 per l’espressione
quantizzata dei campi ϕ± (x) in Eq. (2.54) e le corrispettive regole di commutazione di Eq. (2.55).
Discuteremo qui il caso di un edge di lunghezza finita L, per un campo ϕ+ (x) con direzione di
propagazione progressiva, riportando alla fine i risultati per quello regressivo.
Come punto di partenza ricordiamo la relazione di Eq. (2.38)
ρ+ (x) =
1
∂x ϕ+ (x),
2π
(A.1)
che lega la densità di particelle cariche ρ+ (x) ed il campo bosonico ϕ+ (x). Dalla scrittura della
densità ρ+ in termini degli usuali operatori di creazione e distruzione
r
r
2π
2π
†
b+,k =
ρ+,−k
b+,k =
ρ+,k ,
(A.2)
νkL
νkL
valida per i momenti k 6= 0 possiamo scomporre il campo ϕ+ come
ϕ+ (x) = ϕ+,p (x) + ϕ+,0 (x)
(A.3)
dove abbiamo esplicitato il contributo di modo zero (k = 0) e quelli associati ai modi plasmonici
(p). Dalle Eq. (A.1) e Eq. (A.2) si ottiene l’espressione per i modi plasmonici ϕ+,p (x)
r
a
2πν X
i
i
ϕ+,p (x) =
− √ b+,k eikx + √ b†+,k e−ikx e− 2 |k| ,
(A.4)
L
k
k
k>0
avendo introdotto un fattore di “cut-off” sui momenti, con a lunghezza caratteristica associata,
necessario per garantire la convergenza delle quantità di interesse. La forma esplicita del “cut-off”
in generale non è univoca, noi qui abbiamo scelto quella esponenziale che è spesso utilizzata nel
contesto di sistemi quantistici dissipativi [90]. Il contributo di modo zero può essere scritto, nella
più generale forma compatibile con l’Eq. (A.1), come
ϕ+,0 (x) =
2π
xρ+,0 + απ+,0 ,
L
(A.5)
dove abbiamo indicato con ρ+,0 il numero totale di particelle
ρ+,0 = ρk=0 =
Z
L
0
115
dxρ(x) = N+
(A.6)
116
Operatore di campo per edge di lunghezza finita
e con π+,0 l’operatore hermitiano coniugato a ρ+,0 , si veda Eq. (2.50). Si noti che la costante α
per ora è arbitraria, ma dovrà essere fissata in seguito.
Calcoliamo ora il commutatore
[ϕ+,p (x), ϕ+,p (x0 )]
(A.7)
per i modi plasmonici con k 6= 0. Utilizzando le regole di commutazione degli operatori di creazione
e distruzione bosonici si ha
[ϕ+,p (x), ϕ+,p (x0 )] =
0
0
a
a
i
i
i
i
2πν X
− √ b+,k eikx + √ b†+,k e−ikx e− 2 |k| , − √ b+,q eiqx + √ b†+,q e−iqx e− 2 |q| =
L
q
q
k
k
k,q>0
i
i
1 h
1 h
2πν X
†
†
|k| − a
|q|
|k| − a
|q|
i(kx−qx0 ) − a
−i(kx−qx0 ) − a
2
2
2
2
√
e
−√
e
=
b+,k , b+,q e
e
b+,k , b+,q e
e
L
kq
kq
k,q>0
2πν X 1 ik(x−x0 ) −ak 1 −ik(x−x0 ) −ak
e
e
− e
e
=
L
k
k
k>0
∞ X
0
2πn
2πn
1
1 i 2πn (x−x0 ) −a 2πn
L
− e−i L (x−x ) e−a L
(A.8)
ν
e L
e
n
n
n=1
dove abbiamo sfruttato il fatto che per un edge di lunghezza finita con condizioni al contorno
periodiche i momenti sono quantizzati come k = (2πn)/L con n ∈ N. Utilizzando il fatto che
− ln (1 − x) =
+∞ n
X
x
,
n
n=1
(A.9)
otteniamo per l’ultima espressione in Eq. (A.8)
#
"
0
2π
1 − e−i L (x−x )−ia
ν ln
2π
0
1 − e+i L (x−x )+ia
' 2πiν arctan(
x − x0
2πνi
2πνi
)−
(x − x0 ) −→ iπνsign(x − x0 ) −
(x − x0 ),
a→0
a
L
L
(A.10)
dove la seconda relazione è data nel limite di a L. Dalle relazioni precedenti si ottiene per il
commutatore completo, compreso il contributo dei modi zero,
[ϕ+ (x), ϕ+ (x0 )] = iπνsign(x − x0 ) −
a→0
2πνi
(x − x0 ) + [ϕ+,0 (x), ϕ+,0 (x0 )] ,
L
(A.11)
per il quale richiederemo che valga
[ϕ+ (x), ϕ+ (x0 )] = iπνsign(x − x0 ),
(A.12)
2πνi
(x − x0 ),
L
(A.13)
indipendentemente dal valore di L. Da questa richiesta segue che
[ϕ+,0 (x), ϕ+,0 (x0 )] =
da cui, utilizzando l’Eq. (A.5) e le regole di commutazione canoniche
[ρ+,0 (x), π+,0 (x0 )] = iδ(x − x0 ),
(A.14)
si determina la costante α = ν in Eq. (A.5).
Abbiamo quindi ottenuto la scrittura per il campo progressivo
ϕ+ (x) = ϕ+,p (x) + ϕ+,0 (x),
(A.15)
117
con
ϕ+,0 (x) =
e
r
ϕ+,p (x) =
2π
xρ+,0 + νπ+,0 ,
L
2πν X
i
i † −ikx − a |k|
ikx
− √ b+,k e + √ b+,k e
e 2 .
L
k
k
k>0
(A.16)
(A.17)
Analogamente per il campo regressivo ϕ− (x) si possono ripetere gli argomenti precedenti trovando
ϕ− (x) = ϕ−,p (x) + ϕ−,0 (x),
(A.18)
2π
xρ−,0 − νπ−,0
L
(A.19)
con
ϕ−,0 (x) =
e
r
ϕ−,p (x) =
con i commutatori
a
i
2πν X
i
− √ b−,k e−ikx + √ b†−,k eikx e− 2 |k| ,
L
k
k
k>0
[ϕ− (x), ϕ− (x0 )] = −iπνsign(x − x0 )
(A.20)
(A.21)
equivalenti a quelli verificati per il campo progressivo in Eq. (A.12).
Concludiamo questa appendice riportando, a titolo di esempio, la forma bosonizzata, si veda la
sezione 2.2.2, per un operatore elettronico per un edge di lunghezza finita
(e)
Ψ+ (x) = √
2π
1
i
1
1
e ν ϕ+ (x) = √
ei( ν ϕ+,p (x)+ νL xρ+,0 +π+,0 ) ,
2πa
2πa
(A.22)
che può essere riscritto come
2π
F (e) i( ν1 ϕ+,p (x)+ νL
(e)
xρ+,0 )
Ψ+ (x) = √
e
,
2πa
dove abbiamo identificato con
F (e) = e+iπ+,0 .
(A.23)
(A.24)
il fattore di Klein associato [52]. Si osservi che i fattori di Klein sono necessari per la natura chirale
dei campi bosonici nel caso di edge finito. Infatti utilizzando l’equazione di evoluzione per i modi
zero
dϕ+,0
= i [HEDGE , ϕ+,0 ]
(A.25)
dt
con HEDGE quella di Eq. (2.53), si ottiene
ϕ+,0 (x, t) =
2π
ρ+,0 (x − vt) ,
L
che esplicita il carattere chirale delle eccitazioni.
(A.26)
118
Operatore di campo per edge di lunghezza finita
Appendice B
Le classi delle matrici K
In questa appendice vogliamo verificare che le matrici K di dimensione |p| × |p| in Eq. (2.106)
appartengono a due classi, una con autovalori tutti positivi, e l’altra con un autovalore positivo e
tutti gli altri negativi. Ricordiamo che queste matrici sono della forma
Ki,j = ±δi,j + 2nCi,j
n ∈ N,
(B.1)
con Ci,j = 1∀i, j. Vogliamo dimostrare che se scegliamo il segno positivo nella Eq. (B.1) abbiamo
una matrice definita positiva quindi con autovalori tutti positivi, mentre se scegliamo il segno meno
abbiamo una matrice di tipo iperbolico. Iniziamo ricordando che la matrice C è una matrice i cui
elementi sono pari a 1 di dimensione |p| × |p|. Si ha quindi che il rango di questa matrice è 1,
perciò per essa avremo |p| − 1 autovalori nulli ed un unico autovalore non nullo. Per determinare
quest’ultimo possiamo costruire il polinomio caratteristico associato a C in modo che abbia zeri di
ordine |p| − 1, e in particolare sarà scritto nella forma
Λ|p|−1 (Λ − Λ0 )
(B.2)
dove con Λ0 abbiamo indicato l’unico autovalore non nullo. Da semplici teoremi di algebra lineare
è facile risalire al coefficiente del termine di ordine |p| − 1 di un polinomio caratteristico di ordine
|p| e determinare quindi Λ0 . Si ha infatti che Λ0 = Tr(C) = |p|, perciò risulta essere sempre un
autovalore positivo.
Possiamo ora impostare il problema agli autovalori per la matrice K
α
(±δi,j + 2nCi,j ) uα
j = λα ui
(B.3)
con α = 1 . . . |p|. Nell’equazione precedente abbiamo indicato con uα gli autovettori associati agli
autovalori λα . 1 Possiamo riscrivere la Eq. (B.3) portando a secondo membro il primo termine
dell’equazione
1
α
Ci,j uα
(λα ∓ 1) uα
(B.4)
i = Λα ui
j =
2n
ottenendo quindi un problema agli autovalori per la matrice C. Dalle discussioni precedenti conosciamo già gli autovalori Λα della matrice C. Possiamo quindi imporre |p| relazioni e trovare gli
autovalori λα , si ha infatti per |p| − 1 autovalori la relazione
(λα ∓ 1) = 0
α = 1, 2, . . . , |p| − 1,
(B.5)
mentre per l’ultimo autovalore avremo
λ|p| ∓ 1 = |p|.
1 Si
noti che in questo caso gli indici ripetuti α non sono sommati.
119
(B.6)
120
Le classi delle matrici K
I primi |p| − 1 autovalori della matrice K sono quindi λα = ±1, con il segno ± che corrisponde a
quello in Eq. (B.1). Per l’ultimo autovalore invece si ha λ|p| = 2n|p| ± 1, che è sempre positivo per
ogni scelta di |p| e n. Abbiamo quindi mostrato che se si sceglie il segno positivo nella Eq. (B.1)
si ha una matrice definita positiva, con tutti autovalori positivi. Se effettuiamo invece la scelta
opposta, prendendo il segno negativo in Eq. (B.1), si ottiene un autovalore positivo e tutti gli altri
negativi.
Appendice C
Determinazione dei parametri
βm(k)
In questa appendice vogliamo caratterizzare completamente gli operatori di campo in Eq. (2.141),
determinando il valore del parametro βm (k) che descrive la parte neutra delle eccitazioni di magglomerato. Nel seguito discuteremo nel dettaglio il caso esposto nella sezione 2.5.1 con p = 2 e
ξ = −1, generalizzando solo alla fine i risultati agli altri casi possibili (2.6).
Se si considerano due diverse eccitazioni di tipo m e m0 , si può generalizzare la definizione di angolo
statistico θm in Eq. (2.146), introducendo il mutuo angolo statistico θm,m0 dato da
0
0
Ψ(m) (x)Ψ(m ) (y) = Ψ(m ) (y)Ψ(m) (x)e−iθm,m0 sign(x−y)
(C.1)
dove la fase θm,m0 dipenderà dai parametri αm , αm0 , βm (k) e βm0 (k 0 ) che definiscono le due diverse
eccitazioni in Eq. (2.141). Ricordiamo che le espressioni per i parametri αm e βm (k) saranno in
generale date da
s m
ξ
2
αm =
βm (k) = m 1 −
+ 2k,
(C.2)
|p|
p
dove il primo è stato determinato imponendo il vincolo sulla carica (Eq. (2.142)), mentre il secondo
dipende dal parametro libero k che vogliamo determinare. Ricordando le regole di commutazione
dei campi in Eq. (2.140), si ottiene per il mutuo angolo statistico
θm,m0 = π [ναm αm0 − βm (k)βm0 (k 0 )] ,
(C.3)
fase che dovrà rispettare certi vincoli. Dalla condizione di monodromia introdotta in 2.5.1, infatti
sappiamo che una generica eccitazione di tipo m che compie un giro attorno ad un elettrone deve
acquisire una fase banale che sia un multiplo intero di 2π [41, 68].
Iniziamo considerando due diverse eccitazioni elettroniche con m = 2p + 1 scegliendo per comodità
k 0 = 0 e lasciando generico k 6= 01 . Il mutuo angolo statistico in Eq. (C.3) tra due diverse eccitazioni
elettroniche sarà pertanto
θ2p+1,2p+1 = π [α2p+1 α2p+1 − β2p+1 (k)β2p+1 (0)] = πr,
con r ∈ Z. Inserendo le espressioni di Eq. (C.2) in Eq. (C.4) si ha
i
p
1 h
1 − (p + 1)(4p3 + 8p2 + 5p + 1 + 2kp) = r.
2+
p
1 L’ammissibilità
di questa scelta dovrà essere verificata in seguito.
121
(C.4)
(C.5)
122
Determinazione dei parametri βm (k)
Per risolvere quest’equazione è necessario, prima di tutto, imporre una condizione sul radicando,
e cioè
(p + 1)(4p3 + 8p2 + 5p + 1 + 2kp) = a2 ,
(C.6)
di modo che esso sia il quadrato di un numero intero. La condizione di monodromia in Eq. (C.4)
pertanto sarà scritta come
2p + 1
(1 − a) = r,
(C.7)
p
dalla quale segue, insieme all’Eq. (C.6), che a deve essere un intero. La più generale soluzione della
Eq. (C.7) può essere scritta in termini di un numero u ∈ Z come
a = 1 + up
r = −u(2p + 1),
(C.8)
che sostituita nella Eq. (C.6) dà
pu2 + 2u − (4p3 + 12p2 + 13p + 6) = 2k(p + 1),
(C.9)
che rappresenta un’equazione diofantina parabolica in u e k [63]. La soluzione dell’espressione in
Eq. (C.9), ricordando che nel nostro caso p = 2, sarà data da2
u = 1 + t(p + 1)
k=
1
(p + 1)(t − 2)(2 + 2p + pt),
2
(C.10)
dove t ∈ Z. Si osservi che la scelta t = 2 fornisce k = 0, che giustifica la scelta iniziale per k 0 .
Sostituendo la soluzione per k trovata in Eq. (C.10) nelle espressioni in Eq. (C.2) con m = 2p + 1
si ha
p
1
1
α2p+1 = 2 +
β2p+1 (t) = p (p + 1) t +
,
(C.11)
p
p
espressioni valide per una generica eccitazione elettronica.
Consideriamo ora il caso di un generico m-agglomerato. Dalla condizione di monodromia, il mutuo
angolo statistico in Eq. (C.3) tra un m-agglomerato descritto dai parametri in Eq. (C.2) ed un
elettrone definito dalle condizioni in Eq. (C.11), sarà
"
#
p
p
m − 2kp + m2 (p + 1) (p + 1)(pt + 1)
θm,2p+1 = π
= πv
(C.12)
p
dove v ∈ Z. Nuovamente è necessario imporre una condizione sul radicando in Eq. (C.12), cioè
2kp + m2 (p + 1) (p + 1) = b2 ,
(C.13)
da cui la condizione dimonodromia in Eq. (C.12) viene riscritta come
m − b(1 + pt)
= v,
p
(C.14)
che fissa i valori di b ∈ Z. La soluzione dell’espressione in Eq. (C.14) è data da
b = m − fp
v = f + (f p − m)t,
(C.15)
con f ∈ Z.
Sostituendo il precedente risultato per b nella Eq. (C.13) si ottiene l’espressione
f 2 p − 2f m − m2 (p + 2) = 2k(p + 1),
2 La
(C.16)
soluzione esposta non è la più generale possibile al variare di p, ma si può dimostrare essere valida per p ≤ 6.
123
le cui soluzioni, analogamente a prima, sono date da
f = −m − h(p + 1)
k = h(p + 1)(m +
h
p),
2
(C.17)
con h ∈ Z. Si noti che per m = 2p + 1 e scegliendo f = 2 − u si ritrova l’espressione in Eq. (C.9)
per un’ecctazione elettronica.
Inserendo le parametrizzazioni m = sp + d e h = q − s con s, d, q ∈ Z l’Eq. (C.17) può essere
riscritta come
p (p + 1) 2
k=
q − s2 + d (p + 1) (q − s) ,
(C.18)
2
che corrisponde all’espressione di Eq. (2.149) riportata nella sezione 2.5.1 per ν = 2/5, p = 2 e
ξ = −1. Sostituendo il risultato di Eq. (C.18) nell’espressione in Eq. (C.2) si ottiene
p
d
βm (q) = p (p + 1) q +
(C.19)
p
che corrisponde al risultato cercato per la caratterizzazione di βm e dipende da q ∈ Z, che può
essere visto come un nuovo numero quantico aggiuntivo.
Gli argomenti precedenti possono essere ripetuti per tener conto degli altri possibili casi in 2.6, al
variare dei possibili valori di p e ξ, e si ottiene l’espressione generale
p
d
(C.20)
βm (q) = p2 − ξp q +
|p|
che, insieme a
αm =
m
,
|p|
descrive completamente un generico operatore di m-agglomerato in Eq. (2.159).
(C.21)
124
Determinazione dei parametri βm (k)
Appendice D
Calcolo della funzione di Green
In questa appendice vogliamo calcolare esplicitamente la funzione di Green G̃>
j,σ (t) definita come
2
G̃>
j,σ (x, t) = hϕj,σ (x, t)ϕj,σ (0, 0)i − ϕj,σ (0, 0)
(D.1)
con σ = c, n e j = R, L.
Siccome conosciamo direttamente l’espressione esplicita per i campi bosonici Eq. (2.54), possiamo
calcolarne i correlatori nella Eq. (D.1). Abbiamo reintrodotto la dipendenza dalla posizione pur
sapendo che nella situazione del tunneling calcolato per un point contact è necessario conoscere
solo il caso x = 0.
Le Hamiltoniane sono quadratiche in ϕ
Z +∞
vσ
H(±),σ =
dx(∂x ϕ(±),σ (x))2 ,
(D.2)
4πνσ −∞
dove con ± ho indicato le due diverse chiralità per il campo ϕ, per un bordo propagante nella
direzione destra (sinistra) si è usato il simbolo +(−) anzichè R(L). Abbiamo introdotto vσ e νσ
che sono rispettivamente la velocità e un parametro caratteristico che descrive l’interazione, che
cambiano a seconda del tipo di campo che consideriamo (carico o neutro). Si noti che nel caso di
un campo carico νσ è legato tipicamente al filling factor. I commutatori dei campi sono dati da
ϕ(±),σ (x), ϕ(±),σ0 (y) = ±iνσ πsign(x − y)δσ,σ0 .
(D.3)
La trattazione che facciamo considera edge di lunghezza infinita (L → ∞), perciò trascureremo i
modi zero. Per comodità introduciamo ora i modi plasmonici definiti su un bordo di lunghezza L
e con la condizione di periodicità ϕ(x + L) = ϕ(x)
r
2πνσ X
i †(±) ∓ik(x∓vσ t) − a |k|
i (±) ±ik(x∓vσ t)
ϕ(±),σ (x, t) =
+ √ ak,σ e
e 2
(D.4)
− √ ak,σ e
L
k
k
k>0
dove si è introdotta la lunghezza di cut-off a.
Inserendo queste espressioni nella funzione di correlazione, si vede subito che le medie termiche
agiscono solamente sugli operatori di creazione e distruzione. Poichè stiamo considerando operatori
che obbediscono alla statistica di Bose-Einstein, valgono le seguenti relazioni
†(±)
(±)
†(±)
hak,σ a(±)
q,σ i = hak,σ aq,σ i = 0
1
†(±)
δk,q
hak,σ a(±)
q,σ i =
eβvσ k − 1
eβvσ k
(±)
hak,σ a†(±)
δk,q
q,σ i =
βv
e σk − 1
125
(D.5)
(D.6)
(D.7)
126
Calcolo della funzione di Green
Perciò possiamo riscrivere la funzione di correlazione
βvσ k
2πνσ X e−a|k|
e
1
±ik(x∓vσ t)
∓ik(x∓vσ t)
(x,
t)
=
G̃>
(e
−
1)
+
(e
−
1)
. (D.8)
(±),σ
L
k
eβvσ k − 1
eβvσ k − 1
k>0
Passando al limite continuo con L → ∞ e cioè (2π/L)
R
. . . → dk . . . otteniamo
Z +∞ −a|k|
e
βvσ k
(x,
t)
=
−ν
dk
G̃>
[(1
−
cos(k(x
∓
v
t)))
coth
∓ i sin(k(x ∓ vσ t))]. (D.9)
σ
σ
(±),σ
k
2
0
P
k
È conveniente ora passare dall’integrale sui momenti a quello sulle energie utilizzando la relazione
ω = vσ k
G̃>
(±),σ (x, t) = −νσ
Z
|ω|
+∞
dω
0
e− ωσ
[(1 − cos(ω(x/vσ ∓ t))) coth
ω
βω
2
∓ i sin(ω(x/vσ ∓ t))], (D.10)
dove abbiamo introdotto il cut-off caratteristico sulle energie, labellato dall’indice σ = c, n che
distingue il tipo di campo, carico o neutro
ωσ =
vσ
.
a
(D.11)
Dalla precedente espressione risulta che la funzione di Green considerata, posto x = 0, dipende
dalla velocità di propagazione solo attraverso il cut-off ωσ , ma non dipende dalla chiralità del modo
considerato. Indicheremo quindi con G̃>
σ (t) la funzione di Green calcolata per x = 0, sopprimendo
l’indice della chiralità che, come abbiamo visto, è inessenziale. Si ha infatti
G̃>
σ (x
= 0, t) ≡
G̃>
σ (t)
= −νσ
+∞
Z
0
|ω|
e− ωσ
dω
ω
βω
(1 − cos(ωt)) coth
+ i sin(ωt)
2
(D.12)
Gli integrali di questo tipo sono ampiamente discussi nel contesto di sistemi quantistici dissipativi
[90] e possono essere calcolati in termini di funzioni speciali.
Per questo separiamo l’integrale in Eq. (D.12) in due termini
>
>
G̃>
σ (t) = G̃0,σ (t) + G̃β,σ (t)
(D.13)
dove
G̃>
0,σ (t) = −νσ
|ω|
e− ωσ
[1 − cos(ωt) + i sin(ωt)] ,
ω
+∞
Z
dω
0
(D.14)
dà il contributo a temperatura nulla, mentre il secondo termine
G̃>
β,σ (t) = −νσ
Z
|ω|
+∞
dω
0
e− ωσ
ω
βω
(1 − cos(ωt)) coth(
)−1
2
(D.15)
il contributo a temperatura finita.
Consideriamo il primo termine G̃>
0,σ
G̃>
0,σ (t)
= −νσ
Z
0
+∞
|ω|
e− ωσ
dω
1 − e−iωt ,
ω
utilizzando l’espansione in serie del secondo esponenziale otteniamo
" +∞
#
Z +∞
X 1
|ω|
− ωσ
>
n n−1
G̃0,σ (t) = −νσ
dωe
−
(−it) ω
.
n!
0
n=1
(D.16)
(D.17)
127
Mediante il cambio di variabile y = ω/ωσ si ha
G̃>
0,σ (t)
= −νσ
Z
"
+∞
+∞
X
1
−
(−iωσ t)n y n−1
n!
n=1
−y
dye
0
#
(D.18)
Il fattore esponenziale garantisce la convergenza dell’integrale per n fissato, per cui dalla convergenza uniforme della serie è lecito scambiare la sommatoria con l’integrale. Perciò otteniamo
G̃>
0,σ (t) = −νσ
+∞
X
(−1)n+1 (iωσ t)n
n=1
Γ(n)
,
n!
(D.19)
in cui abbiamo tenuto conto della rappresentazione integrale della funzione gamma di Eulero
Z +∞
Γ(n) =
dt tn−1 e−t .
(D.20)
0
Ricordando che Γ(n) = (n − 1)!, possiamo ricondurre alla funzione logaritmo la serie di Eq. (D.19)
ln(1 + x) =
+∞
X
(−1)n+1
n=1
Si ha quindi
G̃>
0,σ (t)
= νσ ln
xn
.
n
1
1 + iωσ t
.
(D.21)
(D.22)
Questa corrisponde al limite a temperatura nulla della funzione di Green [85].
Analizziamo ora il termine G̃>
β,σ (t) a temperatura finita, che può essere riscritto come
G̃>
β,σ (t)
= −νσ
Z
= −νσ
Z
+∞
0
0
+∞
e−βω
dω − ωω
e σ 2 − eiωt − e−iωt
(D.23)
ω
1 − e−βω
i
1
t
1
t
dy h −(1+ βω1 )y
1
σ
2e
− e(1+ βωσ −i β )y − e−(1+ βωσ +i β )y
,
y
1 − e−y
dove nella seconda uguaglianza abbiamo utilizzato la sostituzione y = βω.
Considerando la rappresentazione integrale della funzione Zeta di Hurwitz [92]
Z +∞
1
dt e−qt
ζ(α, q) =
Γ(α) 0
t1−α 1 − e−t
(D.24)
e osservando che singolarmente ogni contributo nell’integrale in Eq. (D.23) è divergente nell’infrarosso, si può dimostrare che la somma converge come può essere facilmente verificato prendendo il
limite ω → 0 nell’Eq. (D.15). Per cui si ha
1
t
1
t
1
>
G̃β,σ (t) = −νσ lim Γ(α) 2ζ α, 1 +
− ζ α, 1 +
−i
− ζ α, 1 +
+i
.
α→0
βωσ
βωσ
β
βωσ
β
(D.25)
Infine ricordando che
otteniamo il risultato
ζ(0, q)
=
1
−q
2
∂α ζ(α, q)|α=0
=
ln Γ(q) −
(D.26)
1
ln 2π
2

1
2
1
+
Γ
βωσ


G̃>
2  .
β,σ (t) = −νσ ln  Γ 1 + βω1 σ − i βt (D.27)

(D.28)
128
Calcolo della funzione di Green
>
>
La funzione di Green G̃>
σ (t) = G̃0,σ (t) + G̃β,σ (t) è pertanto data da
 2 
t 1
−
i
1
+
Γ
βωσ
β 
 G̃>
.
σ (t) = νσ ln 
1
2
Γ 1 + βωσ (1 + iωσ t)
(D.29)
Infine possiamo considerare il limite particolare di temperatura nulla T → 0 per il quale si riottiene
1
G̃>
(t)
=
ν
ln
.
(D.30)
σ
σ
T →0
1 + iωσ t
Appendice E
Rate per temperatura finita
In questa appendice vogliamo valutare esplicitamente il rate di tunneling in Eq. (3.58). L’espressione che vogliamo calcolare è
(m)
Γ
dove
|tm |2
(Em ) =
(2πa)2
+∞
Z
2
(−,+)
dteiEm t e2αm G̃c
(t)
(E.1)
,
−∞
 2 
t 1
−
i
1
+
Γ
βωc
β 

G̃(−,+)
(t) = νc ln  ,
c
1
Γ2 1 + βωc (1 + iωc t)
(E.2)
che, utilizzando la proprietà della funzione gamma Γ(1 + x) = xΓ(x), può essere riscritta come

 t
1
t
1
+
i
Γ
1
+
−
i
Γ βω
β
βωc
β
c
.
G̃(−,+)
(t) = νc ln 
c
1
2
βωc Γ 1 + βωc
(E.3)
Possiamo ora considerare il limite di βωc 1 e, tenendo solamente l’ordine dominante, introdu(−,+)
(t − i β2 )
ciamo la funzione X(t) = G̃c

 

Γ 12 + i βt Γ 12 − i βt
π
 = νc ln 
 .
X(t) = νc ln 
βωc
βωc cosh πt
β
(E.4)
Si noti che la sostituzione t → t − i β2 , è lecita grazie alle proprietà di analiticità della funzione di
Green. Sostituiamo ora l’Eq. (E.4) nella Eq. (E.1), effettuando il precedente cambio di variabile
e sfruttando il fatto che X(t) è una funzione reale e simmetrica
Γ(m) (Em ) = 2
2
βEm
|tm |
e 2
(2πa)2
Z

+∞
dt cos(Em t) 
0
2α2m νc
π
.

βωc cosh π βt
(E.5)
2
Chiamiamo per semplicità g = 2αm
νc e riscriviamo in forma esponenziale i termini coseno e coseno
iperbolico. Effettuando la sostituzione z = exp [−(πt)/β] otteniamo
(m)
Γ
|tm |2
(Em ) = 2
(2πa)2
g
π
βωc
g
e
βEm
2
129
β
π
Z
1
dz z
0
g−1 z
i βEπm
βEm
π
+ z −i
(1 + z 2 )g
.
(E.6)
130
Rate per temperatura finita
Poniamo ora s = z 2 /(z 2 + 1) in modo da avere
g
2
βEm β
π
(m)
g−1 |tm |
e 2
Γ (Em ) = 2
(2πa)2 βωc
π
Z 12 h
i
βEm
βEm
βEm
βEm
g
g
g
g
×
ds (1 − s) 2 −1+i 2π s 2 −1−i 2π + (1 − s) 2 −1−i 2π s 2 −1+i 2π
(E.7)
0
che può essere facilmente ricondotto a
g
Z 1
βEm
βEm
βEm β
g
g
|tm |2
π
2
Γ(m) (Em ) = 2g−1
e
ds(1 − s) 2 −1+i 2π s 2 −1−i 2π .
2
(2πa)
βωc
π 0
(E.8)
Infine quest’ultima può essere riscritta ricordando la definizione della funzione Beta di Eulero [92]
B(x, y) =
1
Z
0
da cui
Γ(m) (Em ) = 2g−1
|tm |2
(2πa)2
π
βωc
dssx−1 (1 − s)y−1
g
e
βEm
2
β
B
π
g
βEm g
βEm
−i
, +i
2
2π 2
2π
(E.9)
(E.10)
che è il risultato cercato. Il rate di tunneling può essere riscritto come
(m)
Γ
(Em ) =
2π
βωc
2α2m νc −1
βEm 2
βEm
1 |tm |2 βEm
2
2
e
B αm νc − i
, αm νc + i
ωc (2πa)2
2π
2π
avendo esplicitato tutti i coefficienti.
(E.11)
Appendice F
Calcolo di alcuni integrali
F.1
Integrale con un singolo modo
Siamo interessati a calcolare un integrale della forma I1 (E)
I1 (E)
+∞
Z
=
dteiEt
−∞
1
ωcδ
=
1
(1 + iωc t)δ
+∞
Z
dteiEt
−∞
1
.
( ω1c + it)δ
(F.1)
(F.2)
Introduciamo la rappresentazione integrale derivata dalla definizione della funzione gamma di
Eulero
Z ∞
1
1
1
dξe−( ωc +it)ξ ξ δ−1
=
(F.3)
1
δ
Γ(δ)
( ωc + it)
0
che sostituita nella Eq. (F.2) ci dà
1 1
I1 (E) =
Γ(δ) ω δ
Z
+∞
Z
+∞
dt
−∞
dξeiEt e−( ωc +it)ξ ξ δ−1 .
1
(F.4)
0
Possiamo effettuare l’integrazione nella variabile t ottenendo
2π 1
I1 (E) =
Γ(δ) ω δ
Z
+∞
0
ξ
dξe− ωc ξ δ−1 δ(E − ξ),
(F.5)
Infine, considerando il dominio di integrazione della variabile ξ, possiamo scrivere
I1 (E) =
F.2
2π 1 δ−1 − ωE
E
e c Θ(E).
Γ(δ) ω δ
(F.6)
Integrale con due modi
Vogliamo ora valutare un’integrale nella forma I2 (E)
I2 (E)
=
Z
+∞
dteiEt
−∞
=
1 1
ωcδ ωnρ
Z
1
1
δ
(1 + iωc t) (1 + iωn t)ρ
+∞
dteiEt
−∞
131
1
1
.
( ω1c + it)δ ( ω1n + it)ρ
(F.7)
(F.8)
132
Calcolo di alcuni integrali
Utilizzando nuovamente la rappresentazione integrale introdotta in Eq. (F.3) abbiamo
1
1 1 1
I2 (E) = δ ρ
ωc ωn Γ(δ) Γ(ρ)
Z
+∞
+∞
Z
dt
−∞
+∞
Z
dξ
0
dηeiEt e−( ωc +it)ξ ξ δ−1 e−( ωn +it)η η ρ−1 .
1
1
(F.9)
0
Nuovamente risolvendo l’integrale in t
I2 (E)
=
=
=
2π
1 1
ωcδ ωnρ Γ(δ)Γ(ρ)
+∞
Z
Z
dξ
0
E
1 1
2π
e− ωc
ρ
δ
ωc ωn Γ(δ)Γ(ρ)
Z
E
2π
1 1
e− ωc
ρ
δ
ωc ωn Γ(δ)Γ(ρ)
Z
0
+∞
0
E
0
+∞
ξ
η
dηe− ωc e− ωn ξ δ−1 η ρ−1 δ(E − ξ − η)
1
1
dηe( ωc − ωn )η (E − η)δ−1 η ρ−1 Θ(E − η)
1
1
dηe( ωc − ωn )η (E − η)δ−1 η ρ−1 .
(F.10)
(F.11)
(F.12)
Effettuiamo ora il cambio di variabile
y=
1
1
−
ωc
ωn
η
(F.13)
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
(F.14)
e introduciamo la funzione Beta di Eulero
B(x, y) =
in modo tale da ottenere
I2 (E)
E
e− ωc
δ+ρ−1
1
1
ωc − ωn
δ−1
Z E ( ω1 − ω1 ) c
n
1
1
×
dy E
−
−y
y ρ−1 ey .
ωc
ωn
0
=
1 1
2π
1
ωcδ ωnρ Γ(δ + ρ) B(δ, ρ)
(F.15)
Introducendo la rappresentazione integrale della funzione ipergeometrica confluente di Kummer
[92]
Z z
z 1−γ
dtet tα−1 (z − t)γ−α−1
(F.16)
1 F1 (α, γ; z) =
B(α, γ − α) 0
giungiamo a
1 1
2π
1
1
− ωEc δ+ρ−1
E
I2 (E) = δ ρ
e
−
) Θ(E).
1 F1 ρ, δ + ρ; E(
ωc ωn Γ(δ + ρ)
ωc
ωn
(F.17)
Ringraziamenti
Se mi trovo a scrivere queste pagine conclusive lo devo a molte persone, che mi hanno accompagnato durante tutto questo percorso e hanno condiviso con me questi ultimi anni.
Prima di tutto vorrei ringraziare il mio relatore Alessandro Braggio, una persona geniale, che mi
ha insegnato molto, trasmettendomi una passione per la materia ed una dedizione davvero uniche.
Un grazie speciale alla mia relatrice Maura Sassetti, per l’incredibile disponibilità, per le fondamentali spiegazioni ed i molti consigli.
Mi ritengo davvero fortunato ad aver avuto due persone cosı̀ fantastiche e sempre presenti che mi
hanno guidato in questo lavoro di tesi.
Grazie a Dario, è stato davvero bello condividere questo periodo di fisici “in erba” nell’affascinante
mondo dell’Hall, dalla mattutina e quotidiana rassegna stampa agli integrali svolti negli interminabili viaggi in treno.
Un doveroso e sentito grazie al mio correlatore Enrico Galleani per le molte osservazioni e per il
grande interesse mostrato nel leggere la mia tesi.
Grazie a Fabio Cavaliere e Nicodemo Magnoli, per le innumerevoli conversazioni e gli utili consigli.
Grazie a Giulia, una grande amica più che una compagna d’ufficio, per l’enorme pazienza e l’aiuto
con le figure ed i grafici.
Grazie a Massimo D’elia, per la straordinaria chiarezza ed i preziosi insegnamenti durante la laurea
triennale.
Desidero ringraziare tutti i miei tutor di questi anni, la vostra presenza e i vostri appunti sono
stati fondamentali.
Un grazie particolare a Damiano e Francesco, i miei primi “coinquilini”, a voi due devo davvero
molto .... porterò sempre un pò di Spezia con me.
Grazie ai miei ultimi, ma non unici, compagni di studio Grande Fra e Nico, mi sono davvero divertito a affrontare con voi l’avventura della fisica teorica. Grazie a Papigliano e Piccolo Fra, per gli
innumerevoli caffè e tutte le divertenti pause al quinto piano. Grazie a Lara e Miche, per avermi
ricordato più volte che non è importante solo lo studio.
Grazie alla mia amica Francesca, per avermi capito e per avermi fatto sorridere anche quando
l’umore non era dei più buoni.
Grazie ai miei amici di Grenoble, Giulia e Ale, perchè la vostra convinzione è una forte spinta a
cercare di continuare nel mondo della ricerca.
Grazie a Giovanni, anche se non siamo più al liceo è come se fossi sempre il mio fidato compagno
di banco. Grazie ad Allo, perchè le nostre discussioni sono state spesso più utili di molte ore di
lezione.
Infine voglio ringraziare la mia famiglia, Claudio, Gabriella e Alessio, per avermi sopportato in
questo periodo e per essermi sempre vicini.
133
134
Ringraziamenti
Bibliografia
[1] M. O. Goerbig, Quantum Hall Effects. Lecture Notes of the Les Houches Summer School 2009
(Singapore Session) (2009).
[2] S. M. Girvin, Lectures Delivered at Ecole d’eté Les Houches, Les Edition de Physique, Les
Ulis (2000).
[3] K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).
[4] D. C. Tsui, H. L. Stormer, A. C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).
[5] R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983).
[6] J. K. Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199 (1989).
[7] X. G. Wen, Adv. Phys. 44, 405 (1995).
[8] A. Zee, Field Theory, Topology, Condensed Matter Physics SPRINGER VERLAG, Berlin
(1995).
[9] A. Lopez, E. Fradkin, Phys. Rev. B 59, 15323 (1999).
[10] A. M. Chang, Rev. Mod. Phis. 75, 1449 (2003).
[11] R. de Picciotto, M. Reznikov, M. Heiblum, V. Umansky, G. Bunin, D. Mahalu, Nature 389,
162 (1997).
[12] L. Saminadayar, D. C. Glattli, Y. Jin, B. Etienne, Phys. Rev. Lett. 79, 2526 (1997).
[13] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley, New York (1981).
[14] G. Bastard, Wave Mechanics Applied to Semiconductors Heterostructures Monographies de
Physique, ed. G. Bastard, LES EDITIONS DE PHYSIQUE, Le Ulis (1988).
[15] H. L. Stormer, Rev. Mod. Phys. 71, 875 (1999).
[16] N. M. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, SANDERS COLLEGE, Philadelphia
(1979).
[17] G. Grosso, G. Pastori Parravicini, Solid State Physics, ACADEMIC PRESS, San Diego (2000).
[18] S. H. Simon, The Chern-Simons Fermi Liquid Description of Fractional Quantum Hall States,
capitolo in Composite Fermions, ed. O. Heinonen, WORLD SCIENTIFIC, Singapore (1998).
[19] E. H. Hall, Phil. Mag. 8, 289 (1879).
[20] D. C. Tsui, Rev. Mod. Phys. 71, 891 (1999).
[21] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics Vol. 5, PERGAMON, Oxford
(1976).
135
136
BIBLIOGRAFIA
[22] B. Kramer, Quantum Transport, Dissipation, WILEY VCH, Weinheim (1997).
[23] B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).
[24] C. W. Beenakkeer, H. van Houten, Solid State Phys. 44, 1 (1991).
[25] E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42,
673 (1979).
[26] H. Aoki, J. Phys. C 10, 2583 (1977).
[27] http://www.sp.phy.cam.ac.uk/SPWeb/research/FQHE.html.
[28] R. Willett, J. P. Eisenstein, H. L. Störmer, D. C. Tsui, A. C. Gossard, J. H. English, Phys.
Rev. Lett. 59, 1776 (1987).
[29] R. Morf, B. I. Halperin, Phys. Rev. B 33, 2221 (1986).
[30] F. Wilczek, Fractional Statistics and anyon Superconductivity, WORLD SCIENTIFIC,
Singapore (1990).
[31] A. Stern, Ann. Phys. 323, 204 (2008).
[32] G. S. Boebinger, A. M. Chang, H. L. Stormer, D. C. Tsui, Phys. Rev. Lett. 55, 1606 (1985).
[33] A. Lerda, Anyons, Quantum Mechanics of Particles with Fractional Statistics, SPRINGERVERLAG, Berlin (1992).
[34] C. Nayak, S. Simon, A. Stern, M. Freedman, S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008).
[35] M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984).
[36] Y. Aharonov, D. Bohm, Phys. Rev. (II edition) 115, 485 (1959).
[37] C. Nayak, Lecture notes for Physics: Quantum Condensed Matter Physics, novembre 2004
(www.physics.ucla.edu/˜nayak.course.html).
[38] A. Lopez, E. Fradkin, Phys. Rev. B 44 5246 (1991).
[39] G.V. Dunne, Aspects of Chern-Simons Theory, Les Houches Lectures (1998).
[40] X. G. Wen, A. Zee, Phys. Rev. B 46, 2290 (1992).
[41] K. Ino, Phys. Rev. Lett. 81, 5908 (1998).
[42] V. G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, BIRKHAUSER, Boston (1983).
[43] S. Tomonaga, Prog. Theor. Phys. (Kyoto) 5, 544 (1950).
[44] E. Witten, Commun. Math. Phys. 117, 353 (1988).
[45] L. Susskind, J. Math. Phys. 36(1995) 6377–6396.
[46] F. D. M. Haldane, J. Phys. C: Solid State Phys 14, 2585 (1981).
[47] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii, Course of Theoretical Physics Vol. 10,
PERGAMON, Oxford (1981).
[48] G. D. Mahan, Many-Particle Physics KLUWER ACADEMIC/PLENUM PUBLISHERS, New
York (1981).
[49] R. Shankar, Int. J. Mod. Phys. 4, 2371 (1990).
BIBLIOGRAFIA
137
[50] O. Heinonen, S. Eggert, Phys. Rev. Lett. 77, 358 (1996).
[51] T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension OXFORD UNIVERSITY PRESS, Oxford
(2004).
[52] R. Guyon, P. Devillard, T. Martin, I. Safi, Phys. Rev. B 65, 153304 (2002).
[53] J. T. Chalker, Y. Gefen, M. Y. Veillette, Phys. Rev. B 76, 085320 (2007).
[54] C. L. Kane, M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 51, 13449 (1995).
[55] X. G. Wen, A. Zee, Phys. Rev. B 44, 274 (1991).
[56] X. G. Wen, Phys. Rev. Lett. 64 2206 (1990).
[57] C. L. Kane, M. P. A. Fisher, J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 72, 4129 (1994).
[58] D. Ferraro, A. Braggio, N. Magnoli, M. Sassetti, Physica E doi:10.1016/j.physe.2009.06.037
(2009).
[59] Y. Nambu, M. Y.Han, Phys. Rev. D 10 (1974) 674–683.
[60] C. L. Kane, M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 55, 15832 (1997).
[61] O. Heinonen, Composite Fermions: A Unified View in The Quantum Hall Effect WORLD
SCIENTIFIC, Maryland (1998).
[62] D. Ferraro, A. Braggio, M. Merlo, N. Magnoli, M. Sassetti, Phys. Rev. Lett. 101, 166805
(2008).
[63] D. Ferraro, A. Braggio, N. Magnoli, M. Sassetti, New J. Phys. 12, 013012 (2010).
[64] I. P. Levkivskyi, E. V. Sukhorukov, Phys. Rev. B 78, 045322 (2008).
[65] I. P. Levkivskyi, A. Boyarsky, J. Frohlich, E. V. Sukhorukov, Phys. Rev. B 80, 045319 (2009).
[66] K.I. Imura, Europhys. Lett. 47(2), 233 (1999).
[67] C. Chamon, E. Fradkin, A. Lopez, Phys. Rev. Lett. 98, 176801 (2007).
[68] J. Fröhlich, U. M. Studer, E. Thiran, J. Stat. Phys. 86, 821 (1997).
[69] D. Ferraro, A. Braggio, N. Magnoli, M. Sassetti, Phys. Rev. B 82, 085323 (2010).
[70] P. Brouwer, Theory of Many-Particle systems,
http://people.ccmr.cornell.edu/brouwer/p654/notes.pdf.
[71] H. Bruus, K. Flensberg, Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics, Oxford
University Press, Oxford (2004).
[72] C. L. Kane, M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 68, 1220 (1992).
[73] B. Rosenow, B. I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 88, 096404 (2002).
[74] E. Papa, A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 93, 126801 (2004).
[75] S. S. Mandal, J. K. Jain, Phys. Rev. Lett. 89, 096801 (2002).
[76] K. Yang, Phys. Rev. Lett. 91, 036802 (2003).
[77] I. L. Aleiner, L. I. Glazman, Phys. Rev. Lett. 72, 2935 (1994).
138
BIBLIOGRAFIA
[78] A. M. Chang, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Phys. Rev. Lett. 77, 2538 (1996).
[79] M. Grayson, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, A. M. Chang, Phys. Rev. Lett. 80, 1062
(1998).
[80] J. S. Schwinger, J. Math. Phys. 2, 407 (1961).
[81] L. V. Keldysh, Zh. Ekso. Teor. Fiz. 47, 1515 (1964).
[82] J. Rammer, Quantum Field Theory of Non Equilibrium States CAMBRIDGE UNIVERSITY
PRESS, New York (2007).
[83] H. Haug, A. P. Jauho, Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors,
SPRINGER- VERLAG, Berlin (2008).
[84] A. Kamenev, Les Houches Session LXXXI, ed. Bouchiat et al. 177, Elsevier (2005).
[85] T. Martin, Les Houches Session LXXXI, ed. Bouchiat et al. 283, Elsevier (2005).
[86] A. Kamenev, A. Levchenko, Adv. Phys. 58, 197 (2009).
[87] A. L. Fetter, J. D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems MCGRAW-HILL
BOOK COMPANY, New York (1971).
[88] M. Gell-Mann, F. Low, Phys. Rev. 84, 350 (1951).
[89] P. Fendley, A. W. W. Ludwig, H. Saleur, Phys. Rev. Lett. 75, 2196 (1995).
[90] U. Weiss, Quantum Dissipative Systems, Second Edition, World Scientific (1999).
[91] A. Braggio, M. Sassetti, B. Kramer, Phys. Rev. Lett. 87, 146802 (2001).
[92] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Tables of integral, Series, and products, Academic Press,
London, 1994.
[93] R. Egger, Phys. Rev. Lett. 83, 5547 (1999).
[94] T. Kleimann, M. Sassetti, B. Kramer, A. Yacoby, Phys. Rev. B 62, 8144 (2000).
[95] S. Roddaro, V. Pellegrini, F. Beltram, Phys. Rev. Lett. 90, 046805 (2003).
[96] S. Roddaro, V. Pellegrini, F. Beltram, G. Biasiol, L. Sorba, Phys. Rev. Lett. 93, 046801
(2004).
[97] Y. C. Chung , M. Heiblum, V. Umansky Phis. Rev. Lett. 91 216804 (2003).
[98] M. Büttiker, Phys. Rev. Lett. 65, 2901 (1990).
[99] Y. M. Blanter, M. Büttiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000).
[100] M. Büttiker, R. Landauer, Phys. Rev. Lett. 49, 1739 (1982).
[101] P. M. Billangeon, F. Pierre, H. Bouchiat, R. Deblock, Phys. Rev. Lett 96, 136804 (2006).
[102] F. W. J. Hekking, J. P. Pekola, Phys. Rev. Lett 96, 056603 (2006).
[103] R. Aguado, L. P. Kouwenhoven, Phys. Rev. Lett 84, 1986 (2000).
[104] C. Bena, I. Safi, Phys. Rev. B 76, 125317 (2007).
[105] W. Schottky, Ann. Phys. (Leipzig) 57, 541 (1918).
BIBLIOGRAFIA
139
[106] Y. V. Nazarov, Y. M. Blanter, Quantum Transport. Introduction to Nanoscience.
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, New York (2009).
[107] L. S. Levitov, M. Reznikov, Phys. Rev. B 70, 115305 (2004).
[108] V. V. Ponomarenko, N. Nagaosa, Phys. Rev. B 60, 16865 (1999).
[109] F. Dolcini, B. Trauzettel, I. Safi, H. Grabert, Phys. Rev. B 71, 165309 (2005).
[110] M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griffiths, M. Heiblum, V. Umansky, Nature 399 238
(1999).
[111] A. Bid, N. Ofek, M. Heiblum, V. Umansky, D. Mahalu, Phys. Rev. Lett. 103, 236802 (2009).
[112] A. Bid, N. Ofek, H. Inoue, M. Heiblum, C. L. Kane, V. Umansky, D. Mahalu, Nature 466,
585 (2010).