Programma svolto - Pietro d`Avenia

Politecnico di Bari
Programma preventivo dei corsi (accorpati) di:
Complementi di Matematica (LS in Ingegneria Elettronica)
Analisi (LS in Ingegneria delle Telecomunicazioni)
A.A. 2009/2010
docente: Pietro d’Avenia
1. Spazi normati e spazi con prodotto scalare
1.1. Spazi vettoriali. Definizione di campo. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazio vettoriale.
Lineare indipendenza. Base. Dimensione.
1.2. Spazi vettoriali normati. Norma. Spazio metrico. Distanza. Intorni. Spazio di Banach. Completezza di (C ([a, b]) , k · k∞ ). Non completezza di (C ([a, b]) , k · k1 ).
1.3. Spazi con prodotto scalare. Prodotto scalare. Disuguaglianza di Schwarz. Identità del parallelogramma. Spazio di Hilbert.
1.4. Funzioni lineari e continue. Funzioni continue. Funzioni lineari e continue.
2. Cenni sull’integrazione secondo Lebesgue
2.1. Cenni sull’integrazione astratta. σ–algebra. Spazio con misura.
2.2. Funzioni misurabili. Funzioni misurabili. Funzioni semplici.
2.3. L’integrale di Lebesgue. Integrale di funzioni semplici, misurabili e positive. Integrale di funzioni
misurabili e positive. Funzioni sommabili. Proprietà elementari dell’integrale.
2.4. Insiemi di misura nulla e misure complete. Insiemi di misura nulla. Teorema della convergenza
dominata. Estremo superiore essenziale. Misure complete.
2.5. X = Rn . σ–algebra di Borel. Pluriintervalli. Misura e integrale di Lebesgue. Teorema di Fubini.
Teorema di Tonelli.
2.6. Spazi Lp . Definizione di spazio Lp . Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza di Minkowski. Lo
spazio L∞ . Teorema di immersione.
3. Funzioni di variabile complessa
3.1. Il campo complesso. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Modulo e argomento di un numero complesso. Formula di De Moivre. Intorno. Piano complesso esteso.
3.2. Funzioni di una variabile complessa. Aperto connesso. Limite. Funzione continua. Funzione
argomento principale. Radice quadrata. Regione fondamentale. Radice n–sima.
3.3. Funzioni olomorfe. Derivata. Differenziale. Condizioni di Cauchy–Riemann. Funzione esponenziale. Condizioni di Cauchy–Riemann in coordinate polari. Funzione logaritmo. Funzione potenza.
Funzioni circolari. Funzioni iperboliche.
3.4. Serie di potenze. Definizione. Lemma di Abel. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy–
Hadamard. Derivazione termine a termine.
3.5. Integrazione in campo complesso. Curva regolare. Circuito. Poligonale. Integrale. Proprietà
dell’integrale. Primitiva. Esistenza di una primitiva. Aperto semplicemnte connesso. Teorema della
divergenza. Teorema di Cauchy. Formula di Cauchy. Indice di avvolgimento. Funzioni analitiche.
Teorema di Morea. Teorema di Goursat.
3.6. Proprietà delle funzioni analitiche. Zeri di una funzione analitica. Principio di identità.
Prolungamento analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale
dell’algebra.
1
2
3.7. Punti singolari. Serie bilatere. Punto singolare isoltato. Singolarità eliminabile. Polo. Singolarità essenziale. Residuo. Corona. Serie bilatera. Parte caratteristica. Parte regolare. Serie di Laurent.
Sviluppo in serie di Laurent di una funzione razionale fratta.
3.8. Il teorema dei residui. Teorema dei residui. Teorema dell’indicatore logaritmico. Alcuni lemmi
tecnici. Calcolo di integrali.
4. Serie di Fourier
Vettori ortogonali. Proiezione ortogonale su un insieme convesso e chiuso. Proiezione ortogonale su un
sottospazio chiuso. Successioni ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Basi ortonormali. Completezza
del sistema trigonometrico.
5. Trasformate di Fourier
5.1. Prodotto di convoluzione. Definizione. Teorema di Young. Proprietà.
5.2. Trasformata di Fourier in L1 (Rn ). Definizione. Proprietà. Esempio di funzione in L∞ (Rn ) che
non è trasformata di Fourier di alcuna funzione in L1 (Rn ).
5.3. Trasformata di Fourier in L2 (Rn ). Definizione. Teorema di Parceval. Lo spazio delle funzioni a
decrescenza rapida. Invertibilità della trasformata di Fourier in L2 (Rn ).
5.4. Esempi e applicazioni. Nuclei di Gauss-Weierstrass e applicazione all’equazione del calore. Nuclei
di Cauchy-Poisson e applicazione all’equazione di Laplace.
6. Distribuzioni
6.1. Distribuzioni. Supporto compatto e funzioni a supporto compatto. Definizione di distribuzione.
La δ di Dirac. Distribuzioni generate da funzioni misurabili e sommabili sui compatti.
6.2. Derivata nel senso delle distribuzioni. Definizione. La δ di Dirac come derivata della funzione
di Heaviside.
6.3. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier. La
trasformata di Fourier della δ di Dirac.
Elenco dei teoremi dimostrati
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(C ([a, b]) , k · k∞ ) è di Banach.
(C ([a, b]) , k · k1 ) non è di Banach.
Ogni spazio con prodotto scalare è una norma (con disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).
Condizione necessaria e sufficiente per la misurabilità delle funzioni semplici.
Disuguaglianza di Minkowsky.
Teorema di immersione.
Equivalenza tra la continuità di f in z0 e la continuità di Re f e Im f in (x0 , y0 ).
Condizioni di Cauchy–Riemann.
Condizioni di Cauchy–Riemann in coordinate polari.
Teorema di Cauchy.
Formula di Cauchy.
f olomorfa ⇒ f analitica.
Teorema di Morea.
Teorema sugli zeri di funzioni analitiche.
Teorema sull’insieme degli zeri di funzioni analitiche.
Teorema di Liouville (con disuguaglianze di Cauchy).
Teorema fondamentale dell’algebra.
Formula per il calcolo del residuo di un polo.
Singolarità isolate e serie di Laurent.
Teorema dell’indicatore logaritmico.
Invertibilità della trasformata di Fourier in L2 (Rn ).
La δ di Dirac non è una distribuzione generata da una funzione misurabile e sommabile sui
compatti.
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• La δ di Dirac come limite di distribuzioni generate da funzioni misurabili e sommabili sui compatti.
Testi di riferimento
• G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli.
• P. Cannarsa, T. D’Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale, Springer.
• Appunti a cura del docente.
Altri testi
• W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri.
• G. Di Fazio, M. Frasca, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi.